Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп
Вивчається ZG-модуль A такий, що група G локально розв’язна, задовольняє умову min−nnz, її коцентралiзатор у модулi A не є нетеровим Z-модулем. Доведено, що група G розв’язна, описано її будову у випадку, коли G не є чернiковською групою....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7900 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 14-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7900 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-79002010-04-23T12:00:41Z Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп Дашкова, О.Ю. Математика Вивчається ZG-модуль A такий, що група G локально розв’язна, задовольняє умову min−nnz, її коцентралiзатор у модулi A не є нетеровим Z-модулем. Доведено, що група G розв’язна, описано її будову у випадку, коли G не є чернiковською групою. We study ZG-module A such that the group G is locally soluble, G satisfies the condition min−nnz, and the cocentralizer of G in module A is not a Noetherian Z-module. It is proved that G is a soluble group, and its structure is described in the case where G is not a Chernikov group. 2009 Article Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 14-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7900 512.544 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дашкова, О.Ю. Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп |
| description |
Вивчається ZG-модуль A такий, що група G локально розв’язна, задовольняє умову min−nnz, її коцентралiзатор у модулi A не є нетеровим Z-модулем. Доведено, що група G розв’язна, описано її будову у випадку, коли G не є чернiковською групою. |
| format |
Article |
| author |
Дашкова, О.Ю. |
| author_facet |
Дашкова, О.Ю. |
| author_sort |
Дашкова, О.Ю. |
| title |
Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп |
| title_short |
Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп |
| title_full |
Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп |
| title_fullStr |
Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп |
| title_full_unstemmed |
Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп |
| title_sort |
модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7900 |
| citation_txt |
Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с ограничениями на некоторые системы подгрупп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 14-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT daškovaoû modulinadceločislennymigruppovymikolʹcamilokalʹnorazrešimyhgruppsograničeniâminanekotoryesistemypodgrupp |
| first_indexed |
2025-07-02T10:41:25Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:41:25Z |
| _version_ |
1836531460880728064 |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2009
О.Ю. Дашкова
Модули над целочисленными групповыми кольцами
локально разрешимых групп с ограничениями
на некоторые системы подгрупп
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Вивчається ZG-модуль A такий, що група G локально розв’язна, задовольняє умову
min−nnz, її коцентралiзатор у модулi A не є нетеровим Z-модулем. Доведено, що група
G розв’язна, описано її будову у випадку, коли G не є чернiковською групою.
Пусть F — поле, A — векторное пространство над полем F , GL(F,A) — группа всех F -ав-
томорфизмов векторного пространства A. Группа GL(F,A) и все ее подгруппы называются
линейными группами. В случае, когда векторное пространство A имеет бесконечную раз-
мерность над полем F , группа GL(F,A) исследовалась совсем мало. Такие исследования
требуют наложения дополнительных ограничений на рассматриваемые группы.
В [1] изучались подгруппы G группы GL(F,A), которые обладают тем свойством, что
семейство всех подгрупп группы G, имеющих бесконечную центральную размерность, удо-
влетворяет условию минимальности для подгрупп. Было описано строение групп этого
класса.
Если G — подгруппа группы GL(F,A), A может быть рассмотрен как FG-модуль.
Обобщением этой ситуации является случай RG-модуля, где R — коммутативное кольцо,
достаточно близкое к полю (область целостности, дедекиндова область, область главных
идеалов и т. д.). Одним из обобщений конечномерного векторного пространства являются
R-модули с условием максимальности (нетеровы модули). В настоящей работе исследует-
ся ZG-модуль A такой, что фактормодуль A/CA(G) не является нетеровым Z-модулем.
В этом случае будем говорить, что коцентрализатор группы G в модуле A не является
нетеровым Z-модулем. Обозначим символом Lnnz(G) семейство всех подгрупп группы G,
коцентрализаторы которых в модуле A не являются нетеровыми Z-модулями. Если Lnnz(G)
удовлетворяет условию минимальности, будем говорить, что группа G удовлетворяет усло-
вию минимальности для подгрупп, коцентрализаторы которых в модуле A не являются
нетеровыми Z-модулями, или, просто, группа G удовлетворяет условию min−nnz.
Приведем некоторые факты о ZG-модулях. Отметим, что если K 6 H 6 G и коцент-
рализатор подгруппы H в модуле A является нетеровым Z-модулем, то коцентрализатор
подгруппы K в модуле A также является нетеровым Z-модулем. Если U , V 6 G такие,
что их коцентрализаторы в модуле A являются нетеровыми Z-модулями, то фактормодуль
A/(CA(U)
⋂
CA(V )) также является нетеровым Z-модулем. Следовательно, коцентрализа-
тор подгруппы 〈U, V 〉 в модуле A является нетеровым Z-модулем.
Предположим, что группа G удовлетворяет условию min−nnz. Если H1 > H2 > H3 >
> · · · — бесконечный строго убывающий ряд подгрупп группы G, то существует натураль-
ное число n такое, что коцентрализатор подгруппы Hn в модуле A является нетеровым
Z-модулем. Кроме того, если N — нормальная подгруппа группы G и коцентрализатор
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
подгруппы N в модуле A не является нетеровым Z-модулем, то факторгруппа G/N удов-
летворяет условию минимальности для подгрупп.
Лемма 1. Пусть A — ZG-модуль. Предположим, что G удовлетворяет условию min−
−nnz, X, H — подгруппы группы G, Λ — множество индексов, для которых выполняются
следующие условия:
(i) X = Drλ∈ΛXλ, где 1 6= Xλ — H-инвариантная подгруппа X для каждого λ ∈ Λ;
(ii) H
⋂
X 6 Drλ∈ΓXλ для некоторого подмножества Γ из Λ.
Если множество Ω = Λ \ Γ бесконечно, то коцентрализатор подгруппы H в модуле A
является нетеровым Z-модулем.
Лемма 2. Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию min−nnz. Пусть
H и K — подгруппы группы G такие, что K — нормальная подгруппа H. Предполо-
жим, что существует множество индексов Λ и подгруппы Hλ группы G такие, что
H/K = Drλ∈ΛHλ/K, и множество Λ бесконечно. Тогда коцентрализатор подгруппы H
в модуле A является нетеровым Z-модулем.
Лемма 3. Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию min−nnz. Если
элемент g ∈ G имеет бесконечный порядок, то коцентрализатор подгруппы 〈g〉 в модуле A
является нетеровым Z-модулем.
Лемма 4. Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию min−nnz. Если
коцентрализатор группы G в модуле A не является нетеровым Z-модулем, то фактор-
группа G/G′ является черниковской группой.
Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию min−nnz. Символом ND(G)
обозначим множество элементов x ∈ G таких, что коцентрализатор группы 〈x〉 в моду-
ле A является нетеровым Z-модулем. Так как CA(xg) = CA(x)g для всех x, g ∈ G, отсюда
вытекает, что ND(G) является нормальной подгруппой группы G. Назовем эту подгруппу
нетеровым радикалом группы G.
Лемма 5. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима, удовлетворяет усло-
вию min−nnz и ее коцентрализатор в модуле A не является нетеровым Z-модулем. Тогда
либо группа G является периодической, либо G = ND(G).
Доказательство. Предположим противное. Пусть группа не является периодической
и G 6= ND(G). Обозначим через S семейство подгрупп H 6 G таких, что H не является
периодической, и H 6= ND(H). S не является пустым. Если H 6= ND(H), то существу-
ет элемент h ∈ H, для которого фактормодуль A/CA(h) не является нетеровым Z-моду-
лем. Следовательно, S ⊆ Lnnz(G), и поэтому S удовлетворяет условию минимальности.
Пусть D — минимальный элемент множества S. Пусть L = ND(D), и отметим, что L 6= 1,
так как D не является периодической подгруппой. Если L 6 S 6 D и S 6= D, то S = ND(S),
и поэтому S 6 L. Следовательно, D/L имеет порядок q для некоторого простого числа q.
Пусть x ∈ D \ L. Если элемент a имеет бесконечный порядок, то из выбора D следует,
что 〈x, a〉 = D. Отсюда следует, что L конечно порождена, и поскольку L = ND(L), то
фактормодуль A/CA(L) является нетеровым Z-модулем. Поскольку подгруппа L нормаль-
на в группе D, то C = CA(L) является ZD-подмодулем модуля A. Если R = CD(A/C), то
R — нормальная подгруппа группы D, и факторгруппа D/R изоморфна подгруппе груп-
пы GL(r,Z) [2, гл. 7]. Согласно [3], факторгруппа D/R разрешима, откуда ввиду теоремы
А.И. Мальцева [2, гл. 7] следует, что D/R полициклическая. Согласно следствию к тео-
реме 9.12 [4], факторгруппа D/R финитно аппроксимируема. Пусть U — нормальная под-
группа конечного индекса группы D. Подгруппа U не является периодической, и поэтому
подгруппа 〈U, x〉 также непериодическая, и 〈U, x〉 6= ND(〈U, x〉). Из выбора D вытекает,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 15
что D = 〈U, x〉, и тогда факторгруппа D/U абелева. Если E — конечный резидуал груп-
пы D, то факторгруппа D/E абелева. Отсюда с учетом включения E 6 R вытекает, что
факторгруппа D/R также абелева. Подгруппа R
⋂
L является подгруппой стабилизатора
ряда длины 2, и поэтому она является абелевой. Следовательно, факторгруппа D/(R
⋂
L)
абелева, и D является конечно порожденной метабелевой группой. По теореме Ф. Холла
[4, теорема 9.51] группа D финитно аппроксимируема. Как и ранее, устанавливаем, что D
абелева. Поскольку D = U〈x〉 для любой подгруппы U конечного индекса, то группа D —
бесконечная циклическая. Согласно лемме 3, D = ND(D). Противоречие с выбором под-
группы D. Лемма доказана.
Если группа G локально разрешима и фактормодуль A/CA(G) является нетеровым
Z-модулем, то факторгруппа G/CG(A/CA(G)) изоморфна локально разрешимой подгруппе
группы GL(r,Z). Поскольку Z является целостным кольцом, его можно вложить в поле F .
Отсюда вытекает, что факторгруппа G/CG(A/CA(G)) изоморфна некоторой локально раз-
решимой подгруппе линейной группы GL(r, F ). Следовательно, согласно следствию 3.8 [5],
факторгруппа G/CG(A/CA(G)) разрешима, и, поскольку централизатор CG(A/CA(G)) абе-
лев, отсюда следует разрешимость группы G. Поэтому при изучении локально разрешимых
групп с условием min−nnz необходимо сосредоточить внимание на исследовании локально
разрешимых групп G, для которых фактормодуль A/CA(G) не является нетеровым Z-мо-
дулем.
Лемма 6. Пусть A — ZG-модуль, группа G — периодическая, локально разрешимая,
удовлетворяет условию min−nnz и ее коцентрализатор в модуле A не является нете-
ровым Z-модулем. Тогда либо группа G удовлетворяет условию минимальности, либо
G = ND(G).
Доказательство. Предположим противное. Пусть группа G не удовлетворяет условию
минимальности и G 6= ND(G). Обозначим через S семейство подгрупп H 6 G таких, что
H не удовлетворяет условию минимальности и H 6= ND(H). Тогда S 6= ∅ и удовлетво-
ряет условию минимальности. Пусть D — минимальный элемент S и пусть L = ND(D).
Существует бесконечный строго убывающий ряд подгрупп группы D
H1 > H2 > H3 > · · · .
Поскольку группа D удовлетворяет условию min−nnz, существует натуральное чис-
ло d такое, что коцентрализатор подгруппы Hd в модуле A является нетеровым Z-модулем.
Следовательно, Hd 6 L, и поэтому L не удовлетворяет условию минимальности. Отсюда
вытекает, что если x ∈ D \ L, то 〈x,L〉 = D ввиду выбора подгруппы D. Следовательно,
факторгруппа D/L имеет порядок q для некоторого простого числа q. Заменяя x, если это
необходимо, подходящей степенью, можно положить, что x имеет порядок qr для некоторо-
го натурального числа r. Поскольку группа D не является черниковской, согласно теореме
Д.И. Зайцева [6], D содержит 〈x〉-инвариантную абелеву подгруппу B = Drn∈N 〈bn〉, и мож-
но считать, что элементы bn имеют простые порядки для каждого n ∈ N . Пусть 1 6= c1 ∈ B
и C1 = 〈c1〉
〈x〉. Тогда C1 конечна и существует подгруппа E1 такая, что B = C1 ×E1. Пусть
U1 = core〈x〉E1. Тогда U1 имеет конечный индекс в B. Если 1 6= c2 ∈ U1 и C2 = 〈c2〉
〈x〉, то
C2 — конечная 〈x〉-инвариантная подгруппа, и 〈C1, C2〉 = C1 ×C2. Продолжая это построе-
ние, можно построить семейство подгрупп {Cn | n ∈ N} = Drn∈NCn. Из леммы 1 следует,
что x ∈ L. Противоречие. Лемма доказана.
Из доказанных лемм вытекает справедливость следующей теоремы.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Теорема 1. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима, удовлетворяет
условию min−nnz и ее коцентрализатор в модуле A не является нетеровым Z-модулем.
Тогда либо группа G удовлетворяет условию минимальности, либо G = ND(G).
Лемма 7. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима, удовлетворяет усло-
вию min−nnz и коцентрализатор группы G в модуле A не является нетеровым Z-моду-
лем. Тогда либо группа G разрешима, либо G обладает возрастающим рядом нормальных
подгрупп 1 = S0 6 S1 6 · · · 6 Sω = ∪n∈NSn 6 G таким, что коцентрализатор каждой
подгруппы Sn в модуле A является нетеровым Z-модулем, факторы Sn+1/Sn абелевы для
n > 0, а факторгруппа G/Sω — разрешимая черниковская группа.
Лемма 8. Пусть A — ZG-модуль, группа G удовлетворяет условию min−nnz, ко-
централизатор группы G в модуле A не является нетеровым Z-модулем и G = ND(G).
Тогда факторгруппа G/GIm конечна.
Доказательство. Предположим противное. Пусть факторгруппа G/GIm бесконечна.
Тогда группа G обладает бесконечным убывающим рядом нормальных подгрупп G > N1 >
> N2 > · · · таким, что факторгруппы G/Ni конечны для каждого номера i. Следовательно,
существует номер k, для которого факторгруппа G/Nk конечна и коцентрализатор подгруп-
пы Nk в модуле A является нетеровым Z-модулем. Поскольку G = ND(G), можно выбрать
подгруппу H такую, что H = ND(H), и G = HNk. Следовательно, коцентрализатор груп-
пы G в модуле A является нетеровым Z-модулем. Противоречие. Лемма доказана.
Лемма 9. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима, удовлетворяет усло-
вию min−nnz и ее коцентрализатор в модуле A не является нетеровым Z-модулем. Если
G обладает возрастающим рядом нормальных подгрупп 1 = S0 6 S1 6 · · · 6 Sn 6 · · · 6
6
⋃
n>1
Sn = G таким, что коцентрализатор каждой подгруппы Sn в модуле A является
нетеровым Z-модулем, и каждый фактор Sn+1/Sn абелев, то группа G разрешима.
Доказательство. Поскольку фактормодуль A/CA(Sk) является нетеровым Z-модулем,
то существует конечный ряд ZG-подмодулей A = A0 > A1 > · · · > An(k) = CA(Sk), каж-
дый фактор которого является либо конечным ZG-модулем, либо ZG-модулем, аддитивная
группа которого конечно порождена и не имеет кручения. Поскольку коцентрализатор под-
группы Sk+1 в модуле A является нетеровым Z-модулем, можно продолжить построенный
ряд ZG-подмодулей A = A0 > A1 > · · · > An(k) > · · · > An(k+1) = CA(Sk+1), каждый фак-
тор которого является либо конечным ZG-модулем, либо ZG-модулем, аддитивная группа
которого конечно порождена и не имеет кручения. Продолжая это построение, мы получим
ряд ZG-подмодулей A = A0 > A1 > A2 > · · · > Aω = CA(G) с указанными свойствами.
Пусть H =
⋂
j>0
CG(Aj/Aj+1). Для каждого j факторгруппа G/CG(Aj/Aj+1) являет-
ся полициклической [2, гл. 7], и, согласно следствию к теореме 9.12 [4], факторгруппа
G/CG(Aj/Aj+1) финитно аппроксимируема. Поскольку G/H вкладывается в декартово
произведение факторгрупп G/CG(Aj/Aj+1), то G/H финитно аппроксимируема. Кроме то-
го, группа G является объединением подгрупп, коцентрализаторы которых в модуле A явля-
ются нетеровыми Z-модулями. Следовательно, G = ND(G). По лемме 8 факторгруппа G/H
конечна. Так как G = ND(G), то коцентрализатор подгруппы H в модуле A не является
нетеровым Z-модулем. Покажем, что подгруппа H разрешима. Положим Lj = CH(A/Aj),
j = 1, 2, . . . . Пусть H 6= Lj для некоторого j. Предположим сначала, что существует номер t,
для которого факторгруппа H/Lt бесконечна. Тогда найдется номер k > j, k > t, для ко-
торого среди факторов ряда A/Ak = A0/Ak > A1/Ak > A2/Ak > · · · > Aj/Ak > · · · > Ak/Ak
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 17
есть бесконечные. Тогда в силу результатов [7, гл. 8] H имеет нильпотентный непериоди-
ческий образ. Отсюда следует, что в H можно выбрать нормальную подгруппу H1, для ко-
торой факторгруппа H/H1 — нильпотентная непериодическая группа, и поэтому найдется
нормальная подгруппа H2, для которой факторгруппа H/H2 — абелева группа без круче-
ния. Противоречие с леммой 4. Следовательно, H = Lj для любого номера j, j = 1, 2, . . ..
Пусть теперь для любого номера j, j = 1, 2, . . ., факторгруппа H/Lj конечна. Предположим,
что существует номер j, для которого коцентрализатор подгруппы Lj в модуле A является
нетеровым Z-модулем. Пусть j — наименьший номер с указанным свойством, и поэтому
коцентрализатор подгруппы Lj−1 в модуле A не является нетеровым Z-модулем. Посколь-
ку факторгруппа Lj−1/Lj конечна и G = ND(G), то коцентрализатор подгруппы Lj−1
в модуле A является нетеровым Z-модулем. Противоречие. Следовательно, коцентрализа-
тор каждой подгруппы Lj в модуле A не является нетеровым Z-модулем. Поскольку H
удовлетворяет условию min−nnz, существует номер m, для которого Lj = Lm для всех
j > m. Отсюда с учетом выбора Lj вытекает, что подгруппа Lm разрешима. Так как фак-
торгруппа H/Lm конечна, то H также разрешима. Лемма доказана.
Из полученных результатов вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима, ее коцентрализатор
в модуле A не является нетеровым Z-модулем и G удовлетворяет условию min−nnz.
Тогда группа G разрешима.
Теорема 3. Пусть A — ZG-модуль, G — локально разрешимая нечерниковская группа,
удовлетворяющая условию min−nnz, причем коцентрализатор группы G в модуле A не
является нетеровым Z-модулем. Тогда группа G содержит нормальную нильпотентную
подгруппу H такую, что факторгруппа G/H черниковская.
Доказательство. Отметим, что по теореме 2 группа G разрешима. Пусть G = D0 >
> D1 > D2 > · · · > Dn = 1 — производный ряд подгруппы S. Согласно лемме 4, существует
номер m такой, что коцентрализатор подгруппы Dm в модуле A не является нетеровым
Z-модулем, а коцентрализатор подгруппы Dm+1 в модуле A является нетеровым Z-моду-
лем. По лемме 4, факторгруппы Di/Dj+1, i = 0, 1, . . . ,m, являются черниковскими. Пусть
U = Dm+1, тогда факторгруппа G/U черниковская. Положим C = CA(U). C является
ZG-подмодулем модуля A. Поскольку коцентрализатор подгруппы U в модуле A является
нетеровым Z-модулем, то фактормодуль A/C является нетеровым Z-модулем, и поэтому
существует ряд подмодулей
0 = C0 6 C = C1 6 C2 6 · · · 6 Ct = A,
у которого каждый фактор Ci+1/Ci, i = 1, . . . , t − 1, является ZG-модулем, аддитивная
группа которого конечно порождена. Как и при доказательстве леммы 5 устанавливаем,
что факторгруппы G/CG(Ci+1/Ci), i = 1, . . . , t − 1, полициклические. Поскольку фактор-
группа G/U черниковская и U 6 CG(C1), то факторгруппа G/CG(C1) также является чер-
никовской.
Пусть H = CG(C1)
⋂
CG(C2/C1)
⋂
· · ·
⋂
CG(Ct/Ct−1). Положим G1 = G/H. Группа G1
вкладывается в прямое произведение M = G/CG(C1)×G/CG(C2/C1)×· · ·×G/CG(Ct/Ct−1).
Отметим, что группа M минимаксна, и поэтому минимаксна G1. В M можно выбрать дели-
мую абелеву черниковскую подгруппу D, для которой факторгруппа M/D полицикличес-
кая. G1 содержит делимую абелеву черниковскую подгруппу D1 такую, что факторгруппа
G1/D1 почти без кручения [8]. Следовательно, G1/D1 изоморфна некоторой подгруппе фак-
торгруппы M/D, и поэтому G1/D1 полициклическая. Как и при доказательстве леммы 5,
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
устанавливаем, что факторгруппа G1/D1 финитно аппроксимируема. Поскольку группа G
не является черниковской, то по лемме 6 G = ND(G). Отсюда с учетом леммы 8 выте-
кает конечность факторгруппы G1/D1. Следовательно, группа G1 = G/H черниковская.
Подгруппа H действует тривиально в каждом факторе ряда 0 = C0 6 C = C1 6 C2 6 · · · 6
6 Ct = A. Следовательно, H нильпотентна. Теорема доказана.
1. Dixon M.R., Evans M. J., Kurdachenko L.A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of
infinite central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, No 1. – P. 172–186.
2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – Москва: Наука, 1972. – 240 с.
3. Смирнов Д.М. О группах автоморфизмов разрешимых групп // Мат. сб. – 1953. – 32. – С. 365–384.
4. Robinson D. J. R. Finiteness conditions and generalized soluble groups // Ergebnisse der Mathematik und
ihrer Grenzgebiete. – New York: Springer, 1972. – Vol. 1, 2. – 464 p.
5. Wehrfritz B. A.F. Infinite linear groups // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. – New
York: Springer, 1973. – 229 p.
6. Зайцев Д.И. О разрешимых подгруппах локально разрешимых групп // Докл. АН СССР. – 1974. –
214, № 6. – С. 1250–1253.
7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. – Москва: Мир, 1973. – Т. 1. – 229 с.
8. Зайцев Д.И. К теории минимаксных групп // Укр. мат. журн. – 1971. – 23, № 5. – С. 652–660.
Поступило в редакцию 15.04.2008Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
O.Yu. Dashkova
Modules over the integral group rings of locally soluble groups with
restrictions on some systems of subgroups
We study ZG-module A such that the group G is locally soluble, G satisfies the condition min−nnz,
and the cocentralizer of G in module A is not a Noetherian Z-module. It is proved that G is a soluble
group, and its structure is described in the case where G is not a Chernikov group.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 19
|