О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения
Визначається коефiцiєнт затухання у сингуларисному розкладаннi стрибкуватих вхiдних напружень електроланцюгiв постiйного та змiнного струмiв.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7903 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 32-35. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7903 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-79032010-04-23T12:00:59Z О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика Визначається коефiцiєнт затухання у сингуларисному розкладаннi стрибкуватих вхiдних напружень електроланцюгiв постiйного та змiнного струмiв. The coefficient of damping in the singularisnal expansion of jump-like input voltages for direct and alternating current electric circuits is defined. 2009 Article О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 32-35. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7903 621.3(0758) ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Божко, А.Е. О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения |
| description |
Визначається коефiцiєнт затухання у сингуларисному розкладаннi стрибкуватих вхiдних напружень електроланцюгiв постiйного та змiнного струмiв. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения |
| title_short |
О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения |
| title_full |
О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения |
| title_fullStr |
О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения |
| title_full_unstemmed |
О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения |
| title_sort |
о коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7903 |
| citation_txt |
О коэффициенте затухания в сингуларисном разложении скачкообразного напряжения / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 32-35. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae okoéfficientezatuhaniâvsingularisnomrazloženiiskačkoobraznogonaprâženiâ |
| first_indexed |
2025-07-02T10:41:32Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:41:32Z |
| _version_ |
1836531468834177024 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2009
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 621.3(0758)
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О коэффициенте затухания в сингуларисном
разложении скачкообразного напряжения
Визначається коефiцiєнт затухання у сингуларисному розкладаннi стрибкуватих вхiд-
них напружень електроланцюгiв постiйного та змiнного струмiв.
В работах [1, 2] представлено особое (сингуларисное) разложение скачкообразных напря-
жений в задачах по переходным процессам в электрических цепях. Такое разложение обус-
ловлено эффектом автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными
элементами при входных полигармонических сигналах [3]. В работах [4, 5] данное син-
гуларисное разложение используется с целью уточнения начального участка переходного
процесса электрической цепи при скачкообразном входном напряжении. При этом указыва-
ется, что коэффициент затухания α в этом разложении значительно больше коэффициента
затухания δ электрической цепи. И далее оговариваются условия, что если α = ∞, то
теория с сингуларисным разложением полностью совпадает с классической теорией расче-
та переходных процессов в электрических цепях. В связи с этим возникает вопрос: почему
коэффициент затухания α сравнивается с величиной, равной бесконечности (∞), а не с дру-
гой? Я, как автор новой концепции о переходных процессах в электрических цепях [6, 7],
полагаю, что ответ является очевидным. По-моему, он может быть следующим.
Сингуларисное разложение скачкообразного напряжения U1(t), где 1(t) — единичная
функция 1(t) =
{
1 при t > 0,
0 при t < 0,
t — время, имеет следующий вид [2]:
U1(t) = U(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (1)
где U = const;
n
∑
k=1
Uak = U ; Ua1 = U/π; Uak = Ua1/k; k = ωk/ω1; ωk, k = 1, n, — круговая
частота k-й гармоники (ωk = 2πfk, fk — частота, Гц).
В выражении (1) n определяет максимальное число гармоник в сингуларисном разложе-
нии скачкообразной функции. Реально малые амплитуды Uak при больших k слабо влияют
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
на характер переходного процесса в электрической цепи. Поэтому так называемый хвост
спектрального разложения скачкообразной функции в виде m < n-гармоник может быть
не учтен. Тогда выражение (1) запишем так:
U1(t) = U(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n−m
∑
k=1
Uak cos ωkt. (2)
Из (2) видно, что коэффициент затухания α можно определить с помощью дифференци-
рования (2) по t. Тогда имеем
dU1(t)
dt
= U
d1(t)
dt
= Uδ(t) = Uαℓ−αt − αℓ−αt
n−m
∑
k=1
Uak cos ωkt − ℓ−αt
n−m
∑
k=1
Uak sin ωkt, (3)
где δ(t) — дельта-функция [8].
Примем в (3) аргумент t = 0. Тогда (3) имеет вид
Uδ(0) = Uα − α
n−m
∑
k=1
Uak = αU
(
1 −
n−m
∑
k=1
1
πk
)
,
откуда коэффициент затухания α определяется соотношением
α =
δ(0)
(
1 −
n−m
∑
k=1
1
πk
) . (4)
При m = 0, т. е. при учете всего спектра гармоник в сингуларисном разложении (1),
α = ∞. Кроме выражения (4), приведем еще соотношения относительно коэффициента α.
Из (1) имеем
ℓαt =
(
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
− U
U [1(t) − 1]
,
откуда
α =
1
t
ln
(
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
−U
U [1(t) − 1]
=
1
t
{
ln
[(
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
−U
]
−lnU−ln[1(t)−1]
}
. (5)
Из выражения (5) при t = 0 α = ∞, что соответствует формуле (4). Реально коэффи-
циент затухания α 6= ∞, но значительно больше коэффициента затухания δ электричес-
кой цепи. Реальный α создает условие возникновения медленно нарастающего начального
участка в переходном процессе, например, тока в RL цепи при входном напряжении U1(t).
Величина этого участка ∆t ≈ 4,6/α небольшая, но физически существующая.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 33
Кроме разложения (1), в работе [9] представлено особое разложение напряжения U(t) =
= Ua sin(ωt ± ϕ), имеющее скачок при t = 0, т. е. в этот момент U(t) = Ua sinϕ. Это особое
разложение имеет вид
U(t) = Ua sin(ωt ± ϕ) = Ua sin(ωt ± ϕ)(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt sinϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (6)
где Ua1 = (Ua sin ϕ)/π; Uak = Ua1/k; ωk = kω1;
n
∑
k=1
Uak = Ua; α — коэффициент затухания;
ω — круговая частота; ϕ — угол сдвига. При α = ∞ выражение (6) приобретает первона-
чальный вид U(t) = Ua sin(ωt ± ϕ).
В разложении (6) коэффициент затухания α также значительно больше коэффициента
затухания электрической цепи, к которой приложено напряжение (6). Определим его из (6)
двумя способами, подобными тем, что применялись при определении коэффициента α для
разложения (1).
Продифференцируем по времени выражение (6). В результате получим
U ′(t) = Uaω cos(ωt ± ϕ) = Uaω cos(ωt ± ϕ)(1 − ℓ−αt) + Ua sin(ωt ± ϕ)αℓ−αt −
− αℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
ωkUak sin ωkt. (7)
Рассмотрим (7) при t = 0. Тогда
U ′(0) = Uaω cos(±ϕ) = αUa sin(±ϕ) − α sin(±ϕ)
n
∑
k=1
Uak. (8)
Из выражения (8)
α =
Uaω ctg ϕ
Ua −
n
∑
k=1
Uak
. (9)
При условии
n
∑
k=1
Uak = Ua из (9) следует, что коэффициент затухания α = ∞. Если же,
как и ранее, пренебречь спектральным хвостом в разложении (6) и принять число гармоник
n − m, то
α =
Uaω ctg ϕ
Ua −
n−m
∑
k=1
Uak
. (10)
С учетом того, что Ua1 = Ua/π, Ua = Ua1/k, k = ωk/ω1, (10) примет вид
α =
ω ctg ϕ
1 −
n−m
∑
k=1
1
πk
,
где знак угла ϕ включен внутрь ϕ.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
В формуле при m = 0 коэффициент α = ∞.
По второму способу коэффициент α из (6) определяется следующим образом:
α =
1
t
ln
sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − Ua sin(ωt + ϕ)
Ua sin(ωt + ϕ) − Ua sin(ωt + ϕ)
. (11)
Из (11) также видно, что α = ∞.
Таким образом, в результате приведенного вычисления определена формула для α и ма-
тематически показано, что коэффициент затухания α близок к бесконечно большой ве-
личине.
1. Божко А.Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Украї-
ни. – 2004. – № 9. – С. 83–87.
2. Божко А. Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электри-
ческих цепях // Там само. – 2007. – № 6. – С. 81–87.
3. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных сигналах // Там само. – 2002. – № 11. – С. 84–86.
4. Божко А. Е. О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колеба-
тельными системами // Там само. – 2007. – № 1. – С. 40–43.
5. Божко А. Е. Структурно-аналитическая интерпретация сигналов в системах фазового управления
вентильных преобразователей // Там само. – 2007. – № 4. – С. 36–41.
6. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электрических цепях // Там само. – 2003. –
№ 12. – С. 72–76.
7. Божко А. Е. Аргументация новой концепции о переходных процессах в электроцепях с позиций вол-
новой механики // Там само. – 2006. – № 3. – С. 83–88.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1972. – 736 с.
9. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока //
Доп. НАН України. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
Поступило в редакцию 03.10.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On the damping coefficient of the singularisnal expansion of a jump-like
voltage
The coefficient of damping in the singularisnal expansion of jump-like input voltages for direct and
alternating current electric circuits is defined.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 35
|