Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства

Проанализированы особенности распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью полупространстве со свободной границей. Показано, что для непроницаемой границы существует поверхностная волна, фазовая скорость которой стремится к скорости медленной продольной волны c₀. Для прон...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Городецкая, Н.С., Соболь, Т.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79752
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 1. — С. 3-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79752
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-797522015-04-05T03:02:22Z Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Проанализированы особенности распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью полупространстве со свободной границей. Показано, что для непроницаемой границы существует поверхностная волна, фазовая скорость которой стремится к скорости медленной продольной волны c₀. Для проницаемой границы поверхностная волна всегда существует, если скорость поперечной волны c₂ - самая низкая. Кроме того, для узкого диапазона изменения параметров среды поверхностная волна может существовать и при условии, что c₀<c₂. Кинематика поверхностной волны для проницаемой и непроницаемой границ отличается за счет различной степени влияния поровой жидкости на движение частиц в волне. Проаналізовано особливості поширення поверхневих хвиль у пористо-пружному насиченому рідиною півпросторі з вільною межею. Показано, що для непроникної межі існує поверхнева хвиля, фазова швидкість якої прямує до швидкості повільної поздовжньої хвилі c₀. Для проникної межі поверхнева хвиля завжди існує, якщо швидкість поперечної хвилі c₂ - найнижча. Окрім того, для вузького діапазону зміни параметрів середовища поверхнева хвиля може існувати й за умови, що c₀<c₂. Кінематика поверхневої хвилі для проникної та непроникної меж відрізняється за рахунок різного ступеня впливу порової рідини на рух частинок у хвилі. The paper deals with analyzing of features of surface wave propagation in a porous-elastic fluid-saturated half-space with a free boundary. In the case of a boundary with closed pores, the existence of the surface wave is shown, which phase velocity approaches the velocity of the slow longitudinal wave c₀. For the open-pore boundary, the surface wave always exists, if the velocity of shear wave c₂ is the lowest one. Moreover, in the case of c₀<c₂ the surface wave is also possible for the narrow range of parameters of media. The kinematics of the surface wave for the boundaries with open and closed pores differs due to different effect of the pore fluid on particle motion in the wave. 2008 Article Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 1. — С. 3-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79752 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Проанализированы особенности распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью полупространстве со свободной границей. Показано, что для непроницаемой границы существует поверхностная волна, фазовая скорость которой стремится к скорости медленной продольной волны c₀. Для проницаемой границы поверхностная волна всегда существует, если скорость поперечной волны c₂ - самая низкая. Кроме того, для узкого диапазона изменения параметров среды поверхностная волна может существовать и при условии, что c₀<c₂. Кинематика поверхностной волны для проницаемой и непроницаемой границ отличается за счет различной степени влияния поровой жидкости на движение частиц в волне.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства Акустичний вісник
author_facet	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства
title_short	Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства
title_full	Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства
title_fullStr	Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства
title_full_unstemmed	Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства
title_sort	особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79752
citation_txt	Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 1. — С. 3-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns osobennostipoverhnostnyhvolnnasvobodnojgraniceporistouprugogopoluprostranstva AT sobolʹtv osobennostipoverhnostnyhvolnnasvobodnojgraniceporistouprugogopoluprostranstva
first_indexed	2025-07-06T03:44:45Z
last_indexed	2025-07-06T03:44:45Z
_version_	1836867634998542336
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 УДК 539.3 ОСОБЕННОСТИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ ПОРИСТО-УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА Н. С. Г ОР ОД Е Ц К АЯ, Т. В. С ОБ О ЛЬ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 20.03.2008 Проанализированы особенности распространения поверхностных волн в пористо-упругом насыщенном жидкостью полупространстве со свободной границей. Показано, что для непроницаемой границы существует поверхностная волна, фазовая скорость которой стремится к скорости медленной продольной волны c0. Для проницаемой границы поверхностная волна всегда существует, если скорость поперечной волны c2 – самая низкая. Кроме того, для уз- кого диапазона изменения параметров среды поверхностная волна может существовать и при условии, что c0<c2. Кинематика поверхностной волны для проницаемой и непроницаемой границ отличается за счет различной степени влияния поровой жидкости на движение частиц в волне. Проаналiзовано особливостi поширення поверхневих хвиль у пористо-пружному насиченому рiдиною пiвпросторi з вiльною межею. Показано, що для непроникної межi iснує поверхнева хвиля, фазова швидкiсть якої прямує до швидкостi повiльної поздовжньої хвилi c0. Для проникної межi поверхнева хвиля завжди iснує, якщо швидкiсть поперечної хвилi c2 – найнижча. Окрiм того, для вузького дiапазону змiни параметрiв середовища поверхнева хвиля може iснувати й за умови, що c0 <c2. Кiнематика поверхневої хвилi для проникної та непроникної меж вiдрiзняється за рахунок рiзного ступеня впливу порової рiдини на рух частинок у хвилi. The paper deals with analyzing of features of surface wave propagation in a porous-elastic fluid-saturated half-space with a free boundary. In the case of a boundary with closed pores, the existence of the surface wave is shown, which phase velocity approaches the velocity of the slow longitudinal wave c0. For the open-pore boundary, the surface wave always exists, if the velocity of shear wave c2 is the lowest one. Moreover, in the case of c0 <c2 the surface wave is also possible for the narrow range of parameters of media. The kinematics of the surface wave for the boundaries with open and closed pores differs due to different effect of the pore fluid on particle motion in the wave. ВВЕДЕНИЕ Упругие поверхностные волны являются пре- дметом интенсивных исследований, начиная с ра- боты лорда Рэлея (1885 г.), который впервые те- оретически показал, что вдоль свободной грани- цы упругого полупространства может распростра- няться упругая волна с экспоненциально убываю- щей в поперечном направлении амплитудой (рэле- евская поверхностная волна). Она не переносит энергию вглубь среды и существует за счет вза- имодействия на границе продольной и поперечной упругих волн. Поверхностные волны нашли широкое примене- ние в различных областях. В акустоэлектронике их свойства применяются при призводстве филь- тров и резонаторов, а в геофизике – для опреде- ления физических характеристик среды. В сей- смологии информация о поверхностных волнах используется для оценки силы землетрясений. Традиционно волна Рэлея изучается в однофа- зном идеально упругом полупространстве. При этом поверхностная волна в упругом полупро- странстве существует для любых параметров сре- ды. Ее фазовая скорость определяется из дис- персионного уравнения [1], которое зависит толь- ко от коэффициента Пуассона среды ν . Для всех его значений, соответствующих реальным средам (0≤ν≤0.5), это уравнение имеет только один дей- ствительный корень, соответствующий поверхно- стной волне. Во многих практически важных ситуациях, осо- бенно применительно к задачам сейсмологии, не- обходимо учитывать неоднофазность среды. В на- стоящее время для описания волновых процессов в двухфазных (пористо-упругих, насыщенных жид- костью) средах широкое распространение получи- ла теория, развитая Био [2]. Она предсказывает су- ществование в пористо-упругой среде трех распро- страняющихся независимо друг от друга объем- ных волн – быстрой и медленной продольных и по- перечной. На свободной границе пористо-упругого полупространства за счет взаимодействия волн этих типов может быть сформирована поверхно- стная волна, которая более адекватно, по сравне- нию с классической рэлеевской, описывает дина- мические процессы в пористо-упругой среде. По- этому для сейсмологии и геофизики очень важен анализ ее свойств и условий существования. На основе теории Био поверхностные волны в пористо-упругом полупространстве изучались в ряде работ. Одной из первых стала статья [3], в ко- c© Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, 2008 3 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 торой показано существование поверхностной вол- ны, образованной взаимодействием на свободной границе пористо-упругого полупространства нео- днородной поперечной волны и только одной из продольных волн (медленной или быстрой). В [4] для одного соотношения параметров среды най- дена поверхностная волна на свободной границе, сформированная с учетом всех трех волн, которые могут распространяться в пористо-упругой среде. В работе [5] показано, что в случае, когда скорость поперечной волны меньше, чем скорость медлен- ной продольной, на свободной проницаемой гра- нице может распространяться поверхностная вол- на. В статье [6] для свободной проницаемой гра- ницы пористо-упругого полупространства найде- на поверхностная волна при условии, что скорость медленной продольной волны является наимень- шей (рассматривались среды с малой пористо- стью). В [7] исследовались поверхностные волны на свободной проницаемой и непроницаемой гра- нице пористо-упругого полупространства с учетом затухания, обусловленного взаимодействием фаз. Показано, что для проницаемой границы суще- ствует одна поверхностная волна, а для непрони- цаемой – две. Заметим, что при этом рассматри- вались только конкретные пористо-упругие среды, а анализ условий существования поверхностных волн в недиссипативной среде не проводился. В данной работе изучены поверхностные волны на свободной границе пористо-упругого насыщен- ного невязкой жидкостью полупространства. По- казаны отличия акустических характеристик по- верхностной волны в зависимости от поведения жидкости на свободной границе (проницаемая или непроницаемая граница) при изменении механиче- ских характеристик упругого слоя. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается пористо-упругое полупро- странство −∞<x<∞, z≥0 со свободной поверх- ностью z=0. Векторы смещений упругого скелета u и жидкости v удовлетворяют уравнению дви- жения для упругой и жидкой фаз с учетом их взаимодействия: µ∆u + (H − µ) grad div u − C grad div w = = ρ ∂2 u ∂t2 − ρf ∂2 w ∂t2 , C grad div u − M grad div w = = ρf ∂2 u ∂t2 − αρf m ∂2 w ∂t2 − F ∂w ∂t . (1) Здесь m – пористость; w=m(u−v); H , C, M – комплексные коэффициенты, определяемые через характеристики среды [8]: H = (Ks − Kb) 2 D − Kb + Kb + 4µ 3 , M = K2 s D − Kb , C = Ks(Ks − Kb) D − Kb , D = Ks [ 1 + m ( Ks Kf − 1 )] ; (2) Ks – модуль всестороннего сжатия упругого ске- лета; ρf – плотность жидкости; Kf – модуль все- стороннего сжатия жидкости; Kb – модуль всесто- роннего сжатия пористой среды; µ – модуль сдвига пористой среды; α – извилистость; ρ12 =m(1−α)ρf =(1−m)ρs+mρf <0; ρ – средняя плотность; ρs – плотность упругого скелета; ρf – плотность жидкости. Кроме того, F =f(ω)ρf νf/Kpr , где νf – кинематическая вяз- кость; Kpr – проницаемость; f(ω) – частотно за- висимая функция, определяемая характером дви- жения жидкости по порам упругого скелета: f = kT (k) 4(1− 2T (k)/ik) , k = a2 √ ω νf , T (k) = ber′(k) + ibei′(k) ber(k) + ibei(k) ; (3) ber(k), bei(k) – действительная и мнимая части функций Кельвина; ω – круговая частота. Стру- ктурный параметр a2, имеющий размерность дли- ны и зависящий от размера и формы пор, опреде- ляется экспериментально. В работе [2] он задан в виде a2 = η √ Kpr m , (4) где η – коэффициент, учитывающий геометрию пор. Для песков можно принять η=3.2 [9]. Для свободной границы пористо-упругого полу- пространства возможны два типа граничных усло- вий – свободная поверхность с открытыми порами (проницаемая граница) и свободная поверхность с закрытыми порами (непроницаемая граница). Для проницаемой границы [10] τ (s) zz (x, 0) = 0, σxz(x, 0) = 0, σ(x, 0) = 0, (5) а для непроницаемой – σzz(x, 0) = 0, σxz(x, 0) = 0, σij = τ (s) ij + σδij , uz(x, 0) = vz(x, 0). (6) 4 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 Здесь σij – тензор напряжений, приложенных к пористо-упругой среде; τ (s) ij – тензор напряжений, приложенных к упругому скелету; σ=−mp0; p0 – давление в жидкости. В рамках модели Био пред- полагается, что сдвиговые напряжения связаны только со скелетом, а тензор вязких напряжений в жидкости пренебрежимо мал, т. е. вязкость жид- кости присутствует только в силе межфазного вза- имодействия. В данном исследовании рассматри- вается среда без диссипации и вязкость жидкости не учитывается. 2. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ Раскладывая векторы смещений для поровой жидкости и скелета на скалярный и векторный по- тенциалы, получаем волновые уравнения для бы- строй и медленной продольных волн, а также по- перечной волны. Их решения будем искать в виде плоской поверхностной волны, которая образуется за счет взаимодействия на границе всех трех ти- пов волн и распространяется вдоль свободной по- верхности с экспоненциально затухающей вглубь амплитудой [7]. Для проницаемой свободной границы (5) дис- персионное уравнение имеет вид α2ξ 2 ( k2 2 2 (α0 − α1) − e1(α0k 2 1 − α1k 2 0) ) + +e1β 2(k2 1 − k2 0) = 0, (7) где β = ξ2 − k2 2 2 ; αj = √ ξ2 − k2 j ; j = 0, 1; k2 0,1 = ω2z0,1 c2 = ω2 c2 0,1 ; c2 = H ρ ; e1 = 1 − ν 1 − 2ν ; k2 2 = ω2ρ µ (Γ11 + Γ12M2 + (1 − M2)iΓ) = ω2 c2 2 ; M2 = iΓ − Γ12 Γ22 + iΓ ; ξ – волновое число поверхностной волны; z0,1 – корни уравнения A1z 2 − B1z + C1 = 0, A1 = q22q11 − q2 12, C1 = Γ11Γ22 − Γ2 12 + iΓ, B1 = q11Γ22 + q22Γ11 − 2q12Γ12 + iΓ. (8) Здесь введены обозначения q11 = H − 2Cφ + Mφ2 H ; q12 = Cφ− Mφ2 H ; q22 = Mφ2 H ; ρ = (1 − φ)ρs + φρf ; ρ11 = (1 − φ)ρs − ρ12 ; ρ22 = φρf − ρ12 ; Γij = ρij ρ ; Γ = φ2ρfνf Kprρω . Для непроницаемой границы (условие (6)) дис- персионное уравнение принимает вид α0α1α2ξ 2(M1 − M0)− −ξ2(1 − M2)(α1τ0 − α0τ1)+ +β(α1τ0(1 − M1) − α0τ1(1 − M0)) = 0. (9) Здесь M0,1 = Γ11q22 − Γ12q12 − A1z0,1 + (q22 + q12)iΓ Γ22q12 − Γ12q22 + (q22 + q12)iΓ ; τ0,1 = ξ2 − H − Cm + M0,1Cm 2µ k2 0,1. Соотношения (7) и (9) при переходе к чисто упру- гой среде преобразуются в уравнение Рэлея для упругого полупространства [1]. 3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ Рассмотрим пористо-упругое полупространство без диссипации, подразумевая, что скелет идеаль- но упругий, а поровое пространство заполнено не- вязкой сжимаемой жидкостью. Тогда коэффици- енты дисперсионных уравнений (7) и (9) – дей- ствительные числа, и если эти уравнения имеют действительные корни, то в пористо-упругом по- лупространстве существует классическая поверх- ностная волна. Для проницаемой свободной границы в [5] пока- зано, что если поперечная волна является самой медленной, т. е. c2 <c0, то существует поверхно- стная волна с фазовой скоростью, меньшей, чем скорости объемных волн. В то же время, значи- тельный интерес представляет условие существо- вания поверхностной волны для случая, когда ско- рость медленной продольной волны – наименьшая (такая ситуация довольно часто встречается на практике). Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь 5 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 Табл 1. Фазовые скорости объемных волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде µ/Kf = 10 µ/Kf = 1 µ/Kf = 0.1 µ/Kf = 0.01 ν c1/c2 c0/c2 c1/c2 c0/c2 c1/c2 c0/c2 c1/c2 c0/c2 0.1 1.50 0.39 2.08 0.84 5.57 0.98 17.35 0.99 0.2 1.63 0.40 2.14 0.89 5.59 1.07 17.35 1.08 0.25 1.74 0.41 2.18 0.93 5.60 1.13 17.36 1.15 0.3 1.92 0.42 2.25 0.97 5.61 1.22 17.36 1.24 0.4 3.11 0.44 2.61 1.11 5.69 1.57 17.38 1.63 Табл 2. Скорость поперечной волны в пористо-упругой среде при Kf =2350 МПа µ/Kf c2 материал 10 3503 горная порода 1.0 1107 горная порода 0.1 350.3 мягкий грунт 0.01 110.7 мягкий грунт В связи с большим, по сравнению с идеально упругой средой, количеством физических параме- тров и широким диапазоном их изменения, ана- лиз условий существования действительного кор- ня уравнения (7) до настоящего времени не прове- ден. Более того, с достаточной степенью полноты это можно сделать только численно. В этой ситуа- ции выбор исходных расчетных данных очень ва- жен, поскольку на примерах нескольких конкрет- ных ситуаций необходимо показать как возмож- ность существования поверхностной волны, так и закономерности изменения ее характеристик. В табл. 1 приведены фазовые скорости объем- ных волн в пористо-упругой насыщенной жидко- стью среде для различных комбинаций ее параме- тров. При этом считалось, что m=0.3, ρs/ρf =2.65. Из таблицы видно, что для мягких материалов (µ/Kf ≤0.1), кроме случая ν=0.1 (неконсолидиро- ванный упругий скелет), скорость медленной про- дольной волны превышает скорость поперечной – c0 >c2. Для жестких пористых сред (например, горная порода) имеем c0 <c2. В табл. 2 представлены значения скорости попе- речной волны для различных соотношений µ/Kf для случая, когда поровой жидкостью является вода (Kf =2350 МПа). Для свободной проницаемой границы на рис. 1 представлена зависимость фазовых скоростей объемных волн и поверхностной волны от отноше- ния µ/Kf . Поскольку при проведении расчетов па- раметры поровой жидкости фиксировались, изме- нение отношения µ/Kf фактически эквивалентно изменению модуля сдвига скелета. Кривая c0 со- ответствует медленной продольной, c1 – быстрой продольной, c2 – поперечной, cr – поверхностной волне. Штриховой дана часть кривой cr, для кото- рой существует “вытекающая” поверхностная вол- на. Приведенные графики имеют ряд характер- ных особенностей. Прежде всего, отметим, что “классическая” поверхностная волна как суперпо- зиция трех неоднородных волн существует как при c2≤c0, так и для случая c2 >c0. Одна- ко если c2 >c0, поверхностная волна существу- ет не для всех соотношений параметров пористо- упругой среды. Видно, что при увеличении µ/Kf наступает момент, когда c0 =cr. Обозначим соо- тветствующее значение модуля сдвига через µ∗. Для µ<µ∗ вдоль свободной проницаемой границы пористо-упругого полупространства распростра- няется “классическая” поверхностная волна. При µ≥µ∗ она приобретает характер “вытекающей”, т. е. ее волновое число становится комплексным, волна затухает в направлении распространения и переносит энергию в глубину. Соответствующая фазовая скорость cr1 = Re ω ξ меньше скоростей продольной и поперечной волн, но больше скорости медленной продольной волны. Следует отметить, что в данном случае энергия поверхностной волны “перекачивается” в энергию медленной продольной волны, которая становится распространяющейся и переносит энергию от сво- бодной границы в глубину среды. С ростом коэф- фициента Пуассона увеличивается диапазон моду- лей сдвига упругого скелета, при которых суще- ствует “классическая” поверхностная волна. Оценить величину фазовой скорости поверхно- стной волны в пористо-упругом полупространс- тве можно, используя приближенное выражение для поверхностной волны в идеально упругой сре- де [1, 11]: crs = 0.87 + 1.12ν 1. + ν c2. (10) 6 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 /Kf0.5 1 1.5 cj 0 500 1000 1500 2000 2500 c1 c2 c0 cr cr1 /Kf0 0.5 1 1.5 c 0 500 1000 1500 c0 c2 cr cr1 а б Рис. 1. Зависимость фазовых скоростей объемных и поверхностной волн от отношения µ/Kf (свободная проницаемая граница): а – ν =0.2, б – ν =0.4 /Kf0.25 0.5 0.75 1 1.25 cr /c2 0.8 0.85 0.9 0.95 2 1 4 3 Рис. 2. Зависимость фазовой скорости поверхностной волны от отношения µ/Kf (свободная проницаемая граница): 1 – c/c2 при ν =0.2, 2 – crs/c2 при ν =0.2, 3 – c/c2 при ν =0.4, 4 – crs/c2 при ν =0.4 На рис. 2 представлены графики зависимости c/c2 (кривая 1 – для ν =0.2; кривая 3 – для ν =0.4) и crs/c2 (кривая 2 – для ν=0.2; кривая 4 – для ν =0.4). Как видно из них, фазовая скорость по- верхностной волны в пористо-упругом полупро- странстве стремится к скорости crs при увеличе- нии модуля сдвига скелета. Соотношение (10) с до- статочной точность дает оценку фазовой скорости поверхностной волны в области параметров сре- ды, где она становится “вытекающей”. Для “клас- сической” же поверхностной волны (особенно для /Kf0 2 4 6 8 0 10 20 30 40 1 2 Рис. 3. Зависимость затухания для “вытекающей” волны от отношения µ/Kf (свободная проницаемая граница): 1 – ν =0.2, 2 – ν =0.4 мягких неконсолидированных сред) такая оценка не достаточна. Затухание вдоль направления распространения для “вытекающей” волны запишем в виде ζ = Im ω ξ . На рис. 3 показана зависимость ζ для “вытекаю- щей” волны от µ/Kf . Кривая 1 соответствует ко- эффициенту Пуассона ν =0.2, а кривая 2 – ν=0.4. Очевидно, что не только величина, но и харак- Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь 7 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 z/0 0.5 1 1.5 uj /uz0 0 0.5 1 uz/uz0 ux/uz0 Рис. 4. Зависимость нормированной амплитуды смещений в поверхностной волне от глубины для ν=0.2 (свободная проницаемая граница): сплошные – µ/Kf =0.01, штриховые – µ/Kf =1.06 Табл 3. Отношение компонент смещений в поверхностной волне при z=0 для µ/Kf =0.01 ν 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 ux/uz 0.805 0.741 0.672 0.606 0.575 тер затухания существенным образом зависит от значений коэффициента Пуассона и µ. Чем боль- ше затухание, тем большая часть энергии поверх- ностной волны “перекачивается” в энергию ме- дленной продольной волны и уносится в глуби- ну пористо-упругого полупространства. Отметим, что для бездиссипативной среды cr1 и ζ не зависят от частоты, а определяются параметрами среды. Зная фазовую скорость поверхностной волны, можно определить компоненты смещения по осям x и z, которые описываются следующим выраже- нием для упругого скелета: ux = iAξ ( eα1z + γ0e α0z − α2γ2e α2z ) × ×ei(ξx−ωt), uz = A ( α1e α1z + γ0α0e α0z − γ2ξ 2eα2z ) × ×ei(ξx−ωt). (11) Для проницаемой границы справедливо γ0 = − mC − m2M + m2MM1 mC − m2M + m2MM0 k2 1 k2 0 , γ2 = α0γ0 + α1 β . z/0 0.5 1 W/W0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Wf 1 Wf 2 W1 W2 Рис. 5. Распределение по глубине среднего за период потока мощности поверхностной волны (свободная проницаемая граница) Смещения упругого скелета определены с точно- стью до произвольной постоянной A. Посколь- ку компоненты смещения в поверхностной волне сдвинуты по фазе на π/2, то частицы движутся по эллипсу. На рис. 4 представлены зависимости нормиро- ванных амплитуд смещений в поверхностной вол- не от глубины z/λ для ν =0.2 Здесь λ – длина поверхностной волны. Сплошные кривые соответ- ствуют µ/Kf =0.01 (когда c2 <c0). Штриховые – построены для µ/Kf =1.06 (в этом случае c2 >c0. Как следует из графика, увеличение модуля сдви- га упругого скелета слабо влияет на uz – верти- кальная компонента смещения поверхностной вол- ны в пористо-упругом и в упругом полупространс- твах подобны. В то же время, горизонтальная ком- понента смещения изменяется при увеличении мо- дуля сдвига скелета и отличается от ux поверхно- стной волны в упругом полупространстве. Кроме того, для µ/Kf =0.01 наблюдается смена знака го- ризонтальной компоненты смещений при z=0.25λ. Это говорит о том, что на этой глубине происхо- дит изменение направления вращения частиц. Для µ/Kf =1.06 компонента смещения ux знакопосто- янна, т. е. смены направления вращения частиц не происходит. В табл. 3 приведены отношения компонент сме- щений поверхностной волны на свободной поверх- ности z=0 при изменении ν для µ/Kf =0.01. Ве- личина ux/uz соответствует отношению полуосей эллипса, по которому движутся частицы в поверх- ностной волне. Как видно из таблицы, с увеличе- нием ν величина ux/uz падает. Аналогичная тен- 8 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 /Kf1 2 3 4 5 6 cj 0 500 1000 1500 2000 2500 c1 c2 c0 cr crs /Kf0 0.2 0.4 0.6 0.8 cj 0 200 400 600 800 1000 c2 c0 cr а б Рис. 6. Зависимость фазовых скоростей объемных и поверхностной волн от отношения µ/Kf (свободная непроницаемая граница): а – ν =0.2, б – ν =0.4 денция наблюдается и для поверхностной волны в упругом полупространстве [1]. Для анализа энергетических характеристик по- верхностной волны рассмотрим средний за период поток мощности в направлении распространения: Wx = − iω 4 (τxxũx + τxzũz + σṽx− −τ̃xxux − τ̃xzuz − σ̃vx). Здесь символом ∼ обозначены комплексно сопря- женные величины. На рис. 5 для ν =0.2 пред- ставлено изменение с глубиной среднего за пери- од потока мощности поверхностной волны, нор- мированного на мощность волны на свободной границе (W0). Кривые W1 и Wf1 построены для µ/Kf =0.01, а кривые W2 и Wf2 – для µ/Kf =1.06. Зависимости W1 и W2 описывают полный поток мощности, а Wf1 и Wf2 – поток, переносимый по- ровой жидкостью. Как видно из графика, при уве- личении модуля сдвига скелета растет доля энер- гии, сосредоточенной в поровой жидкости. Кроме того, при этом энергия поверхностной волны про- никает на все большие глубины. Если для мягких она падает на два порядка в слое 1.1λ, то для жес- тких материалов – уже в слое 6.7λ. Рассмотрим непроницаемую свободную грани- цу пористо-упругого полупространства. В отли- чие от проницаемой границы, в данном случае “классическая” поверхностная волна не вырожда- ется в “вытекающую”. На рис. 6 представлена за- висимость фазовых скоростей объемных волн (c1, c2, c0) и поверхностной волны (cr) при измене- нии µ/Kf для непроницаемой границы. Кривая crs соответствует фазовой скорости поверхностной волны Рэлея в эквивалентной однофазной среде, вычисленной по формуле (10). Как видно из гра- фика, для мягких пористо-упругих сред скорость поверхностной волны близка к скорости волны Рэлея. При увеличении модуля сдвига скорость по- верхностной волны стремится к скорости медлен- ной продольной волны. Для жестких материалов (µ/Kf >10) скорости c0 и cr совпадают до пяти значащих цифр. При нахождении действительного корня дисперсион- ного уравнения (9) достаточную точность и прак- тически одинаковые результаты обеспечили метод Ньютона и метод Мюллера. Заметим, что в рабо- те [7] “классическая” поверхностная волна в случае непроницаемой границы для жестких материалов (когда скорость поверхностной волны практичес- ки совпадает со скоростью медленной продольной волны) не была найдена, так как расчет проводил- ся методом половинного деления с недостаточной точностью. Кинематика поверхностной волны для свобо- дной непроницаемой границы существенно отли- чается от движения частиц поверхностной волны в пористом скелете для проницаемой границы. В рассматриваемом случае коэффициенты в выра- жениях для смещения (11) имеют вид γ0 = − β(1 − M1) − ξ2(1 − M2) β(1 − M0) − ξ2(1 − M2) α1 α0 , γ2 = α1 M1 − M0 β(1 − M0) − xi2(1 − M2) . Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь 9 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 z/0 0.5 1 1.5 2 uj /uz0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ux/uz0 uz/uz0 ux/uz0 Рис. 7. Зависимость нормированной амплитуды смещений в поверхностной волне от глубины для ν =0.2 (свободная непроницаемая граница): сплошные – µ/Kf =0.01, штриховые – µ/Kf =7.02 z/0 0.5 1 1.5 W/W0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 W1 Wf 1 W2 Рис. 8. Распределение по глубине среднего за период потока мощности поверхностной волны (свободная непроницаемая граница) На рис. 7 представлены зависимости нормиро- ванных амплитуд смещений в поверхностной вол- не от глубины z/λ для ν=0.2. Сплошные кри- вые соответствуют µ/Kf =0.01, а штриховые – µ/Kf =7.02. В отличие от поверхностной волны в пористо-упругом полупространстве со свободной проницаемой границей или в идеально упругом полупространстве, для рассматриваемого случая нормированная вертикальная компонента смеще- ния uz/uz0 не превышает 1. При вариации моду- ля сдвига среды вертикальная компонента смеще- ния изменяется слабо. Горизонтальная компонента ux/uz0 для мягких материалов не изменяет знак и затухает с глубиной так же, как и uz/uz0. Для жестких материалов ux/uz0 затухает с глубиной намного медленнее, чем вертикальная компонен- та. Отличия кинематики поверхностной волны для непроницаемой и проницаемой свободной границ обусловлены разницей в поведении поровой жид- кости. На рис. 8 показана зависимость среднего за пе- риод потока мощности поверхностной волны при изменении глубины для ν =0.2. Кривая W1 – это полный поток мощности, а Wf1 – поток мощ- ности, переносимый поровой жидкостью (обе для µ/Kf =0.01). Значения Wf1/W0 увеличены на два порядка. Кривая W2 соответствует полному по- току мощности, а маркеры – потоку мощности в поровой жидкости для µ/Kf =7.02. Как следует из графика, для мягких материалов основная до- ля энергии поверхностной волны сосредоточена в упругом скелете, а для жестких – в поровой жид- кости. Это и определяет отличие динамического и кинематического поведения поверхностной вол- ны для мягких и жестких материалов в пористо- упругом полупространстве со свободной непрони- цаемой границей. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В пористо-упругом, насыщенном жидкостью по- лупространстве со свободной проницаемой или не- проницаемой границей существует поверхностная волна, причем при рассмотренных материальных параметрах среды фазовая скорость волны в слу- чае проницаемой границы больше, чем для не- проницаемой. В обоих случаях если поровая жид- кость и скелет таковы, что скорость поперечной волны – самая низкая, то поверхностную волну образуют три неоднородные волны. Такая поверх- ностная волна распространяются вдоль свободной границы и затухает в глубину. Для проницаемой границы в узком диапазо- не изменения параметров среды, когда медленная продольная волна имеет наименьшую фазовую скорость, также возможно существование “класси- ческой” поверхностной волны. Для жестких мате- риалов поверхностная волна становится “вытека- ющей”, т. е. затухает в направлении распростране- ния и переносит энергию в глубину. В этом случае энергия поверхностной волны “перекачивается” в медленную объемную продольную волну. В случае непроницаемой границы поверхно- стная волна существует как для мягких, так и для жестких материалов. При этом для мягкого скелета фазовая скорость и кинематика поверхно- стной волны близки к характеристикам поверхно- 10 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 3 – 11 стной волны в идеально упругом полупространс- тве. Энергия поверхностной волны сосредоточена в упругом скелете. Для жестких материалов ско- рость поверхностной волны стремится к скорости медленной продольной волны и ее энергия сосре- доточена в поровой жидкости. 1. Викторов И. А Звуковые поверхностные волны в твердых телах.– М.: Наука, 1981.– 288 с. 2. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, N 2.– P. 168–191. 3. Jones J. P. Rayleigh waves in a porous, elastic, saturated solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1961.– 33, N 7.– P. 959–962. 4. Tajuddin M. Rayleigh waves in a poroelastic half- space // J. Acoust. Soc. Amer.– 1984.– 75, N 3.– P. 682–684. 5. Косачевский Л. Я О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ.– 1959.– 23, N 6.– С. 1115–1123. 6. Ильясов Х. Х Распространение неизлучающих волн вдоль свободной поверхности пористой флюидонасыщенной среды // Ж. выч. матем. мат. физ.– 2004.– 44, N 12.– С. 2268–2275. 7. Городецкая Н. С. Волны на границе пористо- упругого полупространства. I. Свободная грани- ца // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, N 1-2.– С. 28–41. 8. Столл Р. Д. Акустические волны в водонасыщен- ных осадках // Акустика морских осадков.– М., 1977.– С. 28–46. 9. Badiey M.,Cheng A. H.-D., Mu Y. From geology to geoacoustics Evaluation of Biot –Stoll sound speed and attenuation for shallow water acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 103, N 1.– P. 309– 320. 10. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1963.– 53, N 4.– P. 783–788. 11. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко- лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум- ка, 1981.– 284 с. Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь 11

Особенности поверхностных волн на свободной границе пористо-упругого полупространства

Репозитарії

Схожі ресурси