Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде

На основе метода Ньютона найдены решения дисперсионных уравнений для проницаемой и непроницаемой свободной границы пористо-упругого полупространства, насыщенного вязкой сжимаемой жидкостью. Получены зависимости затухания объемных и поверхностных волн от частоты при изменении как физических параметро...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Городецкая, Н.С., Соболь, Т.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2010
Series:	Акустичний вісник
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79766
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 15-22. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79766
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-797662017-04-20T20:58:05Z Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. На основе метода Ньютона найдены решения дисперсионных уравнений для проницаемой и непроницаемой свободной границы пористо-упругого полупространства, насыщенного вязкой сжимаемой жидкостью. Получены зависимости затухания объемных и поверхностных волн от частоты при изменении как физических параметров среды, так и граничных условий. Установлено, что фазовые скорости быстрой продольной, поперечной и поверхностной волн слабо зависят от частоты. В отличие от них, скорость медленной продольной волны оказывается существенно частотно зависимой. На базi методу Ньютона знайденi розв'язки дисперсiйних рiвнянь для проникної й непроникної вiльної межi пористо-пружного пiвпростору, насиченого в'язкою стисливою рiдиною. Отриманi залежностi згасання об'ємних i поверхневих хвиль вiд частоти при змiнi як фiзичних параметрiв середовища, так i граничних умов. Установлено, що фазовi швидкостi швидкої поздовжньої, поперечної й поверхневої хвиль слабо залежать вiд частоти. На вiдмiну вiд них, швидкiсть повiльної поздовжньої хвилi виявляється iстотно частотно залежною. The solutions of the dispersion equations for permeable and impermeable free boundary of a porous-elastic half-space saturated by a viscous compressed liquid have been found on the basis of the Newton's method. For attenuation of the volume and surface waves, frequency dependencies have been obtained at variation of both the physical parameters of medium and boundary conditions. Phase velocity of the fast longitudinal, transversal and surface waves are found to be weakly dependent from frequency. In contrary, the velocity of the slow longitudinal wave demonstrates the substantial frequency dependence. 2010 Article Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 15-22. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79766 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе метода Ньютона найдены решения дисперсионных уравнений для проницаемой и непроницаемой свободной границы пористо-упругого полупространства, насыщенного вязкой сжимаемой жидкостью. Получены зависимости затухания объемных и поверхностных волн от частоты при изменении как физических параметров среды, так и граничных условий. Установлено, что фазовые скорости быстрой продольной, поперечной и поверхностной волн слабо зависят от частоты. В отличие от них, скорость медленной продольной волны оказывается существенно частотно зависимой.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде Акустичний вісник
author_facet	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде
title_short	Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде
title_full	Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде
title_fullStr	Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде
title_full_unstemmed	Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде
title_sort	влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79766
citation_txt	Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 15-22. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns vliânievâzkihpoterʹnaakustičeskieharakteristikipoverhnostnojvolnyvporistouprugojsrede AT sobolʹtv vliânievâzkihpoterʹnaakustičeskieharakteristikipoverhnostnojvolnyvporistouprugojsrede
first_indexed	2025-07-06T03:45:06Z
last_indexed	2025-07-06T03:45:06Z
_version_	1836867657070018560
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 УДК 539.3 ВЛИЯНИЕ ВЯЗКИХ ПОТЕРЬ НА АКУСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ В ПОРИСТО-УПРУГОЙ СРЕДЕ Н. С. Г ОР ОД Е Ц К АЯ, Т. В. С ОБ О ЛЬ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 10.02.2010 На основе метода Ньютона найдены решения дисперсионных уравнений для проницаемой и непроницаемой свобо- дной границы пористо-упругого полупространства, насыщенного вязкой сжимаемой жидкостью. Получены зависи- мости затухания объемных и поверхностных волн от частоты при изменении как физических параметров среды, так и граничных условий. Установлено, что фазовые скорости быстрой продольной, поперечной и поверхностной волн слабо зависят от частоты. В отличие от них, скорость медленной продольной волны оказывается существенно частотно зависимой. На базi методу Ньютона знайденi розв’язки дисперсiйних рiвнянь для проникної й непроникної вiльної межi пористо- пружного пiвпростору, насиченого в’язкою стисливою рiдиною. Отриманi залежностi згасання об’ємних i поверхне- вих хвиль вiд частоти при змiнi як фiзичних параметрiв середовища, так i граничних умов. Установлено, що фазовi швидкостi швидкої поздовжньої, поперечної й поверхневої хвиль слабо залежать вiд частоти. На вiдмiну вiд них, швидкiсть повiльної поздовжньої хвилi виявляється iстотно частотно залежною. The solutions of the dispersion equations for permeable and impermeable free boundary of a porous-elastic half-space saturated by a viscous compressed liquid have been found on the basis of the Newton’s method. For attenuation of the volume and surface waves, frequency dependencies have been obtained at variation of both the physical parameters of medium and boundary conditions. Phase velocity of the fast longitudinal, transversal and surface waves are found to be weakly dependent from frequency. In contrary, the velocity of the slow longitudinal wave demonstrates the substantial frequency dependence. ВВЕДЕНИЕ Поверхностные волны, распространяющиеся на значительные расстояния и несущие важную ин- формацию о свойствах среды – традиционный объект исследования в сейсмологии, акустоэле- ктронике, геофизике. Еще в XIX столетии Рэлей обнаружил существование волны, которая распро- страняется вдоль свободной границы упругого по- лупространства и экспоненциально убывает в глу- бину, не перенося туда энергию. Для описания волновых процессов в пористо-упругом полупро- странстве используют широко известную и экспе- риментально проверенную модель Био. Она пред- сказывает существование трех волн – двух про- дольных и одной сдвиговой, за счет взаимодей- ствия которых на границе может быть сформиро- вана поверхностная волна. Важным моментом в теории Био является учет различных механизмов затухания. В пористо- упругой среде затухание волн обусловлено потеря- ми энергии двух различных типов – диссипацией в каждой из фаз (в упругом скелете и в жидкости) и диссипацией, возникающей за счет их взаимо- действия и связанной с течением вязкой жидко- сти по порам упругого скелета. Впервые Био [1], а впоследствии Столл [2] предположили, что об- щее затухание может быть описано как суперпо- зиция эффектов, вызываемых указанными причи- нами. Полученные различными исследователями экспериментальные данные подтвердили это пред- положение [2 – 4]. Диссипация в упругом скелете (по анало- гии с вязкоупругой средой) учитывается по- средством введения комплексных модулей сдвига µ̃=µ(1+iδs) и всестороннего сжатия K̃b =Kb(1+iδl) [5, 6], мнимые части которых определяются через логарифмический декремент затухания для поперечной и быстрой продольной волн соответственно. В общем случае величины µ, Kb и δs, δl – частотно зависимые и нелиней- ные функции амплитуд напряжений [7]. Потери в жидкости учитываются через комплексную объемную вязкость. Второй механизм затухания обусловлен отно- сительным движением фаз и определяется силой межфазного взаимодействия. Вызванное движе- нием жидкости по порам относительно упругого скелета затухание определяется сдвиговой вязко- стью жидкости, проницаемостью и поправочным множителем, который учитывает частотную зави- симость вязкого сопротивления потоку. Как правило, в разных частотных диапазо- нах преобладают различные механизмы затухания волн в пористо-упругой среде. На низких частотах затухание в пористой среде в основном определя- c© Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, 2010 15 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 ется потерями в скелете, а на более высоких – до- минируют вязкие потери, обусловленные течением поровой жидкости. Следует отметить, что разде- ление на низкие и высокие частоты носит доволь- но условный характер, поскольку влияние различ- ных механизмов затухания определяется не толь- ко частотой, но и физическими характеристиками фаз. В частности, хорошо известно из эксперимен- та, что в песках на низких частотах преобладают потери в скелете грунта, а на высоких – вязкие потери. В то же время, с увеличением жесткости скелета возрастает влияние вязких потерь на все более низких частотах. В глинах, где жесткость и проницаемость малы, потери в скелете домини- руют почти всегда. В песчаниках вклады трения поровой жидкости и вязкости скелета в диссипа- цию – величины одного порядка [2]. Отметим так- же, что затухание в песках значительно больше, чем в песчаниках и глине. Несмотря на то, что для некоторых сред не- возможно разделить различные механизмы зату- хания по частотным диапазонам, отдельный учет затухания в каждой из фаз и затухания, обу- словленного их взаимодействием, позволяет выде- лить определяющие факторы влияющие на фа- зовую скорость и затухание поверхностных волн. Отметим также, что игнорирование диссипатив- ных эффектов в пористой среде приводит не толь- ко к изменению количественных характеристик поверхностных волн, но и к качественным ошиб- кам при определении зависимостей фазовых ско- ростей волн от параметров среды. Поскольку правильная интерпретация экспери- ментальных данных, полученных при изменении акустических параметров поверхностных волн, очень важна для различных практических прило- жений, в настоящее время появилось значительное количество публикаций, посвященных изучению поверхностных волн в пористых средах (без уче- та затухания – работы [8 – 10] и с учетом затуха- ния, обусловленного течением вязкой жидкости – работы [11 – 15]). Заметим, что в статье [11] рас- сматривались только пористые среды, для кото- рых скорость поперечной волны меньше, чем ско- рость медленной продольной волны. В [12,13] изу- чались только конкретные пористо-упругие среды и никаких обобщений не делалось. В статье [16] представлен достаточно полный обзор исследова- ний, посвященных анализу распространения по- верхностной волны в пористо-упругой среде. Рас- смотрена зависимость фазовой скорости и зату- хания от частоты, коэффициента Пуассона, про- ницаемости, модуля сдвига, пористости, трещино- ватости скелета, однако и здесь рассматривались только отдельные среды. В работе [17] показано, что фазовая скорость волны Рэлея в однородной упругой среде [18] меньше, чем скорость поверх- ностной волны в пористо-упругой среде. Экспери- ментальные данные относительно распростране- ния поверхностной волны вдоль свободной грани- цы пористо-упругой среды были получены в [3, 3]. В данном исследовании рассматриваются фазо- вые скорости и затухание трех объемных волн и поверхностной волны для различных параметров пористо-упругой среды. Соответственно изучаю- тся частотные зависимости фазовой скорости и за- тухания. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим пористо-упругое изотропное полу- пространство −∞<x<∞, z≥0 со свободной по- верхностью z=0, заполненное вязкой сжимае- мой жидкостью. Для свободной границы пористо- упругого полупространства возможны два типа граничных условий – поверхность с открытыми или закрытыми порами. Для случая открытых пор (проницаемая граница) граничные условия имеют вид [19] σs zz(x, 0) = 0, σs xz(x, 0) = 0, σf (x, 0) = 0. (1) Первые два соотношения выражают отсутствие приложенных к упругой фазе напряжений, а по- следнее говорит об отсутствии напряжений, при- ложенных к жидкой фазе. Если же поры за- крыты (непроницаемая граница), граничные усло- вия изменяются: σzz(x, 0) = 0, σxz(x, 0) = 0, σij = σs ij + σf δij , ūz(x, 0) = Ūz(x, 0). (2) Первое из них означает равенство нулю приложен- ных к жидкой и к упругой фазам полных нормаль- ных напряжений; второе – отсутствие касатель- ных напряжений, приложенных к упругой фазе: третье – неперетекание жидкости на границе. Уравнение движения в перемещениях имеет вид µ∆u + (H − µ) grad divu− C grad divw = = ρ ∂2u ∂t2 − ρf ∂2w ∂t2 , C grad divu− M graddivw = = ρf ∂2u ∂t2 − αρf m ∂2w ∂t2 − F ∂w ∂t . (3) 16 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 Здесь m – пористость; w=m(u−v); H , C, M – ко- эффициенты, определяемые через характеристи- ки среды [2, 20]: H = (Ks − Kb) 2 D − Kb + Kb + 4µ 3 , M = K2 s D − Kb , C = Ks(Ks − Kb) D − Kb , D = Ks [ 1 + m ( Ks Kf − 1 )] ; (4) Ks – модуль всестороннего сжатия упругого ске- лета; Kf – модуль всестороннего сжатия поровой жидкости; Kb – модуль всестороннего сжатия по- ристой среды; µ – модуль сдвига пористой среды; α — извилистость. Посредством величины α опре- деляется коэффициент динамической связи упру- гого скелета и жидкости ρ12 <0: ρ12 = (1 − α)mρf . Средняя плотность ρ связана с плотностями упру- гого скелета ρs и жидкости ρf соотношением ρ = (1 − m)ρs + mρf . Кроме того, F =f(ω)ρf νf/Kpr , где νf – кинема- тическая вязкость; Kpr – проницаемость; f(ω) – частотно-зависимая функция, определяемая хара- ктером движения жидкости по порам упругого скелета: f = kT (k) 4(1 − 2T (k)/ik) , k = a2 √ ω νf , T (k) = ber′(k) + ibei′(k) ber(k) + ibei(k) . (5) Функции ber(k), bei(k) представляют собой дей- ствительную и мнимую части функций Кельвина; ω – круговую частоту; a2 – структурный коэффи- циент. Последний имеет размерность длины и за- висит от размера и формы пор, и определяется экспериментально; так, согласно работе [21], a2 = η √ Kpr m , (6) где η – коэффициент учитывающий геометрию пор. Для песков можно принять η=3.2 [3]. Разложим вектор смещения в жидкости и в упругом скелете на скалярный и векторный по- тенциалы [11]: u = ∇φs + rotψs, divψs = 0, v = ∇φf + rotψf , divψf = 0. (7) При этом скалярный потенциал допускает пред- ставление φs = φ0 + φ1. (8) Функции φj определяются как решения уравнений Гельмгольца: ∆φj + k2 j φj = 0, k2 j = ω2 c2 zj , j = 0, 1. (9) Здесь zj – корни квадратного уравнения A1z 2 j − B1zj + C1 = 0 (10) с коэффициентами A1 = q22q11 − q2 12 , C1 = Γ11Γ22 − Γ2 12 + iΓ, B1 = q11Γ22 + q22Γ11 − 2q12Γ12 + iΓ, где q11 = H − 2Cm + Mm2 H ; q22 = Mm2 H ; q12 = Cm− Mm2 H ; c2 = H ρ ; ρ11 = (1 − m)ρs − ρ12; ρ22 = mρf − ρ12; Γij = ρij ρ ; Γ = m2ρfνf Kprρω . Для потенциала φf справедливо уравнение φf = M0φ0 + M1φ1, с коэффициентами (i= √ −1) M0,1 = Γ11q22−Γ12q12−A1z0,1+(q22+q12)iΓ Γ22q12−Γ12q22+(q22+q12)iΓ . (11) Для векторного потенциала ψs уравнение Гельм- гольца имеет вид ∆ψs + k2 2 ψs = 0, ψf = M2ψs, k2 2 = ω2ρ µ [ Γ11 + M2Γ12 + (1 − M2)iΓ ] , M2 = −Γ12 + iΓ Γ22 + iΓ . (12) Таким образом, получены волновые уравнения для быстрой и медленной продольных волн (9), а также для поперечной волны (12). Для нахожде- ния дисперсионных уравнений для поверхностной волны представим ее в виде распространяющей- ся вдоль свободной поверхности и экспоненциаль- но затухающей в глубину волны, образованной за Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 счет взаимодействия на границе объемных волн волн всех трех типов [13]. Для проницаемой свободной границы дисперси- онное уравнение имеет вид α2ξ 2 [ k2 2 2 (α0 − α1) − e1(α0k 2 1 − α1k 2 0 ) ] + +e1β 2(k2 1 − k2 0 ) = 0, (13) а для непроницаемой – α0α1α2ξ 2(M1 − M0)+ +ξ2(1 − M2)(α1τ0 − α0τ1)− −β [ (α1τ0(1 − M1) − α0τ1(1 − M0) ] = 0. (14) Здесь ξ – волновое число поверхностной волны; α0,1,2 = √ ξ2 − k2 0,1,2 ; e1 = 1 − ν 1 − 2ν ; β = ξ2 − k2 2 2 ; k2 0,1 = ω2 c2 z0,1 = ω2 c2 0,1 ; τ0,1 = ξ2 − H − Cm + M0,1Cm 2µ k2 0,1. Соотношения (13) и (14) при переходе к чисто упругой среде преобразуются в уравнение Рэлея для упругого полупространства [22]. Дисперсионные уравнения решались численно методом Ньютона. В качестве начального прибли- жения была выбрана низкочастотная асимптотика искомых корней уравнения (10) при ω→0, Γ→∞: z1 ≈ 1 − i Γ ( q11q22 − q2 12 − −Γ11q22 − Γ22q11 + 2Γ12q12 + Γ11Γ22 − Γ2 12 ) , z0 ≈ iΓ q11q22 − q2 12 + Γ11q22 + Γ22q11 − 2Γ12q12 q11q22 − q2 12 − 1 соответственно; для поперечной волны справедли- во k2 2 ≈ ωρ µ ( 1 + i Γ (Γ12 + Γ22) 2 ) . В низкочастотном пределе часть дисперсионного уравнения (13), имеющая порядок Γ, приобретает вид ( 2 − ω2 ξ2 1 c2 0s )2 − 4 √ 1 − ω2 ξ2 1 c2 0s √ 1 − ω2 ξ2 1 c2 0p = 0. Здесь c0s =µ/ρ; c0p =H/ρ. В случае c2 <c0 это уравнение имеет действительный корень, который принимался за начальное приближение при расче- тах. 2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ Для примера рассмотрим насыщенные жидко- стью пористо-упругие среды со следующими ха- рактеристиками: • поровая жидкость (вода) – ρf =1000 кг/м3, Kf =2.25·109 Па, νf =10−6 м2/c; • упругий скелет – m=0.2, ρs =2480 кг/м3, Ks = 4.99·1010 Па, Kpr =10−10 м2, α=1.25. Значения модуля сдвига упругого скелета µ варьи- ровались в пределах от 0.01Kf до 2Kf . В качестве начального приближения принима- лась скорость квазиповерхностной волны, найден- ная по соотношению для поверхностной волны в идеально упругой среде [22]: cr = 0.87 + 1.12ν 1 + ν c2 . (15) Вначале рассмотрим свободную проницаемую границу (рис. 1). Здесь и везде далее скорости всех волн нормированы на c= √ H/ρ, а частота – на критическое значение Ω=ω/ωc (ωc =mνf/Kpr). Как следует из графиков, скорость поверхностной волны изменяется весьма незначительно: для низ- кочастотной области характерно незначительное ее уменьшение. Это хорошо видно на рис. 2, где частотные зависимости фазовой скорости поверх- ностной волны на проницаемой границе (при двух разных значениях µ/Kf) показаны в увеличен- ном масштабе. На существование диапазона ча- стот, в котором наблюдается уменьшение скоро- сти поверхностной волны, указывалось также в работе [23]. Отметим, что для среды с отношени- ем µ/Kf =0.01 этот эффект выражен существенно слабее, чем для более жесткой среды (µ/Kf =2). Наблюдаемое снижение скорости поверхностной волны на свободной границе пористо-упругого по- лупространства на низких частотах объясняется значительной дисперсией медленной продольной волны. В низкочастотном пределе фазовые скоро- сти быстрой продольной и поперечной волн стре- мятся к постоянным величинам, а медленной про- дольной – к нулю как √ ω [1, 21]. С ростом ча- стоты для всех рассмотренных сред фазовая ско- рость поверхностной волны медленно увеличива- ется (см. рис. 1), но всегда остается меньше ско- рости поперечной волны. При сравнении со ско- ростью медленной продольной волны наблюдает- ся иная ситуация. Поскольку скорость поверхно- стной волны слабо зависит от частоты, а медлен- ной продольной – сильно, то можно выделить и те диапазоны, в которых c3 >c0, и те, где c3 <c0. 18 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 0 1 2 3 cr /c 0 500 1000 1500 2000 2500 0 1 2 3 0 1 2 3 cr /c 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 1 2 3 а б Рис. 1. Частотные зависимости фазовых скоростей медленной и быстрой продольных (0, 1), поперечной (2) и поверхностной (3) волн (проницаемая граница): а – µ/Kf =1, б – µ/Kf =2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 cr/c 98 99 100 101 102 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 cr/c 1380 1400 1420 1440 1460 а б Рис. 2. Частотная зависимость фазовой скорости поверхностной волны (проницаемая граница): а – µ/Kf =0.01, б – µ/Kf =2 С увеличением модуля сдвига эта зависимость схо- дит на нет. Очевидно, что для всех частот скорость поверхностной волны всегда меньше скорости бы- строй продольной волны. Затухание поверхностной волны (Im ξ) суще- ственно зависит от частоты (увеличивается с ее ростом) и от модуля сдвига упругого скелета (уменьшается с его ростом). Этот вывод следует из анализа рис. 3 (как явствует из обозначений, разные кривые соответствуют различным отноше- ниям µ/Kf). Вообще говоря, при учете диссипации поверхностная волна затухает вдоль направления распространения и переносит часть энергии в глу- бину. При этом вдоль направления распростране- ния она затухает слабее, чем медленная продоль- ная волна, но сильнее, чем поперечная и быстрая продольная волны (рис. 4). Как явствует из гра- фиков, увеличение модуля сдвига скелета приво- дит к уменьшению затухания поверхностной вол- ны, которое обусловлено вязким взаимодействием между поровой жидкостью и скелетом. Теперь рассмотрим пористо-упругое полупро- странство с непроницаемой границей (рис. 5). И в этом случае для рассмотренных сред во всем частотном диапазоне скорость поверхностной вол- ны меньше скорости быстрой продольной волны. Что касается сравнения со скоростью медленной продольной волны, здесь наблюдается иная ситу- ация. Поскольку скорость поверхностной волны слабо зависит от частоты, а медленной продоль- ной – сильно, то можно выделить жесткие сре- ды, в которых c3 >c0, и мягкие, в которых c3 <c0. Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 0 1 2 3 4 Im 0 1 2 3 4 5 0.01 1 1.3 2 Рис. 3. Частотные зависимости затухания поверхностной волны для различных Kf (проницаемая граница) Отметим, что в высокочастотном пределе скоро- сти объемных волн в пористо-упругой среде вновь стремятся к постоянным величинам. На рис. 6 показаны частотные зависимости за- тухания вдоль направления распространения для случая закрытых пор. Наблюдаемая здесь карти- на аналогична случаю проницаемой границы: за- тухание поверхностной волны зависит от частоты, увеличиваясь с ее ростом. Кроме того, вдоль на- правления распространения поверхностная волна всегда затухает слабее, чем медленная продоль- ная. Для рассмотренных выше пористо-упругих сред поверхностная волна затухает сильнее, чем попе- речная и быстрая продольная, как для проница- емой, так и для непроницаемой границы. Одна- ко при изменении материальных параметров эта закономерность может нарушаться. В частности, при увеличении коэффициента Пуассона затуха- ние поверхностной волны может быть слабее, чем поперечной, но все же сильнее, чем затухание бы- строй продольной волны. Сравнивая рис. 1 и 5, отметим, что тип сво- бодной границы практически не влияет на ско- рость поверхностной волны. При µ/Kf =0.01 ра- зличие между случаями проницаемой и непрони- цаемой границ составляет всего (2 . . .3) %, а при µ/Kf ≥1 – до 10 %. Для обоих типов свободной границы наблюдается слабая зависимость скоро- сти поверхностной волны от частоты с низкочасто- тным минимумом. Модуль сдвига упругого скеле- та является одним из основных параметров, опре- деляющих величину c3. Сравнение рис. 3 и 6 показывает, что для не- проницаемой границы поверхностная и медленная продольная волны затухают в направлении рас- пространения сильнее, чем для проницаемой гра- ницы. Однако это отличие также незначительно и в рассмотренном диапазоне частот составляет не более 10 %. Что касается затухания быстрой про- дольной и поперечной волн, то здесь различие со- ставляет не более (1 . . . 2) %. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Исследованы фазовая скорость и затухание поверхностных волн, распространяющихся вдоль свободной границы пористо-упругого насыщен- ного вязкой жидкостью полупространства. Для численного решения дисперсионного уравнения использовался метод Ньютона. Установлено, что при учете затухания, обуслов- ленного движением вязкой жидкости по порово- му пространству, волновая картина существенно изменяется в зависимости от того, проницаема граница или нет. Фазовая скорость поверхностной волны как для проницаемой, так и для непрони- цаемой границ слабо зависит от частоты. В обла- сти низких частот фазовые скорости быстрой про- дольной и поперечной волн также довольно сла- бо зависят от частоты и пропорциональны ее ква- драту. В то же время, соответствующая фазовая скорость медленной продольной волны изменяе- тся как корень квадратный из частоты, т. е. демон- стрирует сильную частотную зависимость. Таким образом, на низких частотах в среде с затуханием поверхностная волна формируется в основном за счет взаимодействия быстрой продольной и попе- речной волн. С ростом частоты влияние медлен- ной продольной волны на формирование поверх- ностной волны увеличивается. Для проницаемой границы можно выделить ди- апазоны частот, в которых скорость поверхно- стной волны больше скорости медленной продоль- ной волны (преимущественно, на низких частотах) и диапазоны, в которых она меньше ее. Однако указанная зависимость наблюдается не для всех сред. Для непроницаемой же границы скорость поверхностной волны во всем частотном диапазо- не больше скорости медленной продольной волны. Независимо от того, проницаема граница или нет, скорость поверхностной волны всегда меньше ско- ростей быстрой продольной и поперечной волн. Затухание поверхностной волны и медленной продольной волны для непроницаемой границы во всем частотном диапазоне происходит слабее, чем в пористо-упругом полупространстве с проницае- мой границей. При этом затухание волн с ростом частоты увеличивается. Поверхностная волна за- тухает слабее, чем медленная продольная волна 20 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 0 1 2 3 Im 0 5 10 15 20 0 1 2 3 0 1 2 3 Im 0 0.5 1 1.5 2 0 12 3 а б Рис. 4. Частотные зависимости затухания медленной и быстрой продольных (0, 1), поперечной (2) и поверхностной (3) волн (проницаемая граница): а – µ/Kf =0.01, б – µ/Kf =2 0 5 10 15 cr/c 0 50 100 150 200 250 0 2 3 0 5 10 15 cr/c 0 1000 2000 3000 4000 5000 1 0 2 3 а б Рис. 5. Частотные зависимости фазовых скоростей медленной и быстрой продольных (0, 1), поперечной (2) и поверхностной волн (3) (непроницаемая граница): а – µ/Kf =0.01, б – µ/Kf =1 0 5 10 15 Im 0 5 10 15 20 25 30 1 0 2 3 0 5 10 15 Im 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 0 2 3 а б Рис. 6. Частотные зависимости затухания медленной и быстрой продольных (0, 1), поперечной (2) и поверхностной волн (3) (непроницаемая граница): а – µ/Kf =0.01, б – µ/Kf =1 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь 21 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 15 – 22 и сильнее, чем быстрая продольная и поперечная волны в случае проницаемой границы. Таким образом, можно сделать вывод, что фазо- вая скорость поверхностной волны слабо зависит от частоты, в то время как ее затухание демон- стрирует сильную частотную зависимость. 1. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, № 2.– P. 168–178. 2. Столл Р. Д. Акустические волны в водонасыщен- ных осадках // Акустика морских осадков.– М., 1977.– С. 28–46. 3. Badiey M., Cheng A. H.-D., Mu Y. From geology to geoacoustics: Evaluation of Biot –Stoll sound speed and attenuation for shallow water acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 103, № 1.– P. 309–320. 4. Oqushwitz P.R. Application of the Biot theory. II. Suspensions // J.Acoust.Soc.Amer.– 1985.– 77, № 2.– P. 440-452. 5. Stoll R. D., Kan T.-K. Reflection of acoustic waves at water-sediment interface // J. Acoust. Soc. Amer.– 1981.– 70, № 1.– P. 149-156. 6. Yamamoto T. Acoustic propagation in the ocean wi- th a poro-elastic bottom // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 73, № 5.– P. 1578–1596. 7. Rasolofosaon P. N. J. Plane acoustic waves in li- near viscoelastic porous media: Energy, particle di- splacement and physical interpretation // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 89, № 4, Pt. 1.– P. 1532–1551. 8. Jones J. P. Rayleigh waves in a porous, elastic, saturated solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1961.– 33, № 7.– P. 959–962. 9. Tajuddin M. Rayleigh waves in a poroelastic half- space // J. Acoust. Soc. Amer.– 1984.– 75, № 3.– P. 682–684. 10. Городецкая Н. С., Соболь Т. В. Особенности по- верхностных волн на свободной границе пористо- упругого полупространства // Акуст. вiсн.– 2008.– 11, № 1.– С. 3–11. 11. Косачевский Л. Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // Прикл. мат. мех.– 1959.– 23, № 6.– С. 1115–1123. 12. Ильясов Х. Х. Распространение неизлучающих волн вдоль свободной поверхности пористой флюидонасыщенной среды // Ж. выч. мат. физ.– 2004.– 44, № 12.– С. 2268–2275. 13. Городецкая Н. С. Волны на границе пористо- упругого полупространства. I. Свободная грани- ца // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, № 1-2.– С. 28–41. 14. Городецкая Н. С., Соболь Т. В. Особенности ра- спространения поверхностных волн в пористо- упругом, насыщенном жидкостью полупространс- тве // Тр. акуст. симпоз. КОНСОНАНС-2005.– К.: Ин-т гидромеханики НАН Украины.– 2005.– С. 21. 15. Городецька Н. С., Соболь Т. В. Особливостi двох типiв поверхневих хвиль на вiльнiй границi пористо-пружного пiвпростору // 7-ий Укр.-поль. симпоз. “Актуалнi задачi механiки неоднорiдних структур”.– Львiв.– 2007.– С. 48–49. 16. Beskos D. E., Papadicis C. N. Dynamics of saturated rocks. III. Rayleigh waves // J. Eng. Mech.– 1989.– 115, № 5.– P. 1017–1034. 17. Deresiewicz H. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solid. IV. Surface waves in a half-space // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1962.– 52, № 3.– P. 627–638. 18. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн // Физическая акустика. Том 6.– M.: Мир, 1973.– С. 139–202. 19. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1963.– 53, № 4.– P. 783–788. 20. Gassmann F. Elastic waves through a packing of spheres // Geophys.– 1951.– 16.– P. 673–685. 21. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. Part II. Higher frequency range // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, № 2.– P. 179–191. 22. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах.– М.: Наука, 1981.– 278 с. 23. Albers B. Surface waves in two-component poroelastic media on impermeable boundaries – Numerical analysis in the whole frequency domain. – Lecture notes // WIAS-Preprint.– 2004.– № 862.– P. 1–20. 22 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь

Влияние вязких потерь на акустические характеристики поверхностной волны в пористо-упругой среде

Institution

Similar Items