Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу

Розглянуто задачу про власнi коливання в'язкої нестисливої рiдини з вiльною поверхнею в прямому круговому цилiндрi пiд дiєю сили тяжiння при врахуваннi сили поверхневого натягу. Запропоновано проекцiйний метод для наближеного розв'язку задачi. При цьому будуються координатнi функцiї, якi п...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Барняк, М.Я., Лещук, О.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79767
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу / М.Я. Барняк, О.П. Лещук // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 3-12. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79767
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-797672015-04-05T03:02:32Z Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу Барняк, М.Я. Лещук, О.П. Розглянуто задачу про власнi коливання в'язкої нестисливої рiдини з вiльною поверхнею в прямому круговому цилiндрi пiд дiєю сили тяжiння при врахуваннi сили поверхневого натягу. Запропоновано проекцiйний метод для наближеного розв'язку задачi. При цьому будуються координатнi функцiї, якi повторюють якiснi властивостi шуканого розв'язку, задовольняють рiвняння задачi всерединi областi й частину крайових умов. Знайденi частоти й логарифмiчнi декременти коливань порiвнюються з експериментальними даними й результатами, обчисленими асимптотичним методом. Показано, що при малих значеннях числа Галiлея H запропонований проекцiйний метод є бiльш точним, нiж асимптотичний. Рассмотрена задача о собственных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в прямом круговом цилиндре под действием силы тяжести при учете силы поверхностного натяжения. Предложен проекционный метод для приближенного решения задачи. При этом строятся координатные функции, повторяющие качественные свойства искомого решения, удовлетворяющие уравнение задачи внутри области и часть краевых условий. Найденные частоты и логарифмические декременты колебаний сравниваются с экспериментальными данными и результатами, вычисленными асимптотическим методом. Показано, что при малых значениях числа Галилея H предложенный проекционный метод более точен, чем асимптотический. The paper deals with the problem on eigen-oscillations of viscous incompressible liquid with a free surface in a right circular cylinder under action of gravitational force with allowance for surface tension. A projection method for approximate solving the problem is proposed. In doing so, the coordinate functions are developed that posses the qualitative properties of desired solution, satisfy the problem equations inside the domain and some boundary conditions. The found frequencies and logarithmic oscillation decrements are compared with experimental data and results obtained by an asymptotic method. It is shown that at low Galileo numbers H, the proposed projection method is more accurate than the asymptotic one. 2008 Article Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу / М.Я. Барняк, О.П. Лещук // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 3-12. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79767 517.9; 532.593 uk Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглянуто задачу про власнi коливання в'язкої нестисливої рiдини з вiльною поверхнею в прямому круговому цилiндрi пiд дiєю сили тяжiння при врахуваннi сили поверхневого натягу. Запропоновано проекцiйний метод для наближеного розв'язку задачi. При цьому будуються координатнi функцiї, якi повторюють якiснi властивостi шуканого розв'язку, задовольняють рiвняння задачi всерединi областi й частину крайових умов. Знайденi частоти й логарифмiчнi декременти коливань порiвнюються з експериментальними даними й результатами, обчисленими асимптотичним методом. Показано, що при малих значеннях числа Галiлея H запропонований проекцiйний метод є бiльш точним, нiж асимптотичний.
format	Article
author	Барняк, М.Я. Лещук, О.П.
spellingShingle	Барняк, М.Я. Лещук, О.П. Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу Акустичний вісник
author_facet	Барняк, М.Я. Лещук, О.П.
author_sort	Барняк, М.Я.
title	Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу
title_short	Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу
title_full	Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу
title_fullStr	Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу
title_full_unstemmed	Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу
title_sort	проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79767
citation_txt	Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу / М.Я. Барняк, О.П. Лещук // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 3-12. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT barnâkmâ proekcijnijmetodrozvâzuvannâzadačiprovlasnikolivannâvâzkoíridinivcilindrizurahuvannâmpoverhnevogonatâgu AT leŝukop proekcijnijmetodrozvâzuvannâzadačiprovlasnikolivannâvâzkoíridinivcilindrizurahuvannâmpoverhnevogonatâgu
first_indexed	2025-07-06T03:45:09Z
last_indexed	2025-07-06T03:45:09Z
_version_	1836867659864473600
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 УДК 517.9; 532.593 ПРОЕКЦIЙНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧI ПРО ВЛАСНI КОЛИВАННЯ В’ЯЗКОЇ РIДИНИ В ЦИЛIНДРI З УРАХУВАННЯМ ПОВЕРХНЕВОГО НАТЯГУ М. Я. БА Р Н Я К, О. П. Л ЕЩ УК Iнститут математики НАН України, Київ Одержано 01.10.2008 Розглянуто задачу про власнi коливання в’язкої нестисливої рiдини з вiльною поверхнею в прямому круговому цилiндрi пiд дiєю сили тяжiння при врахуваннi сили поверхневого натягу. Запропоновано проекцiйний метод для наближеного розв’язку задачi. При цьому будуються координатнi функцiї, якi повторюють якiснi властивостi шу- каного розв’язку, задовольняють рiвняння задачi всерединi областi й частину крайових умов. Знайденi частоти й логарифмiчнi декременти коливань порiвнюються з експериментальними даними й результатами, обчисленими асимптотичним методом. Показано, що при малих значеннях числа Галiлея H запропонований проекцiйний метод є бiльш точним, нiж асимптотичний. Рассмотрена задача о собственных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в прямом круговом цилиндре под действием силы тяжести при учете силы поверхностного натяжения. Предложен прое- кционный метод для приближенного решения задачи. При этом строятся координатные функции, повторяющие качественные свойства искомого решения, удовлетворяющие уравнение задачи внутри области и часть краевых условий. Найденные частоты и логарифмические декременты колебаний сравниваются с экспериментальными дан- ными и результатами, вычисленными асимптотическим методом. Показано, что при малых значениях числа Галилея H предложенный проекционный метод более точен, чем асимптотический. The paper deals with the problem on eigen-oscillations of viscous incompressible liquid with a free surface in a right circular cylinder under action of gravitational force with allowance for surface tension. A projection method for approximate solving the problem is proposed. In doing so, the coordinate functions are developed that posses the qualitative properties of desired solution, satisfy the problem equations inside the domain and some boundary conditions. The found frequencies and logarithmic oscillation decrements are compared with experimental data and results obtained by an asymptotic method. It is shown that at low Galileo numbers H, the proposed projection method is more accurate than the asymptotic one. ВСТУП Визначення частот i логарифмiчних декремен- тiв згасання власних коливань в’язкої рiдини з вiльною поверхнею, яка знаходиться в порожнинi обмежених розмiрiв, – давно вiдома складна зада- ча [1 – 10]. Згасання коливань, обумовлене в’язкi- стю рiдини, вiдбувається в усьому об’ємi рiдини та примежевих шарах бiля вiльної поверхнi й твердих стiнок посудини. Окрiм того, на динамiку рiдини впливають сили поверхневого натягу; забруднен- ня вiльної поверхнi рiдини, яке створює плiвку на вiльнiй поверхнi; рух лiнiї контакту рiдини, повi- тря й твердої стiнки порожнини. Ефект забрудне- ння вiльної поверхнi вивчався у [11], де забруднен- ня моделювалося за допомогою пружностi Маран- гонi. Рух лiнiї контакту – складна проблема, яка дотепер залишається вивченою недостатньо. При постановцi крайових умов на лiнiї контакту ча- сто використовують феноменологiчний пiдхiд [6]. З останнiми дослiдженнями в цьому напрямку мо- жна ознайомитися в [12]. При теоретичних розрахунках частот i декре- ментiв урахувати одночасно усi вказанi вище ефекти надзвичайно складно. Тому в цiй працi ми розглядаємо модель в’язкої рiдини з фiксованою лiнiєю контакту. Вважається, що на рух рiдини впливають лише вага й сили поверхневого натягу. При цьому використовується проекцiйний метод побудови розв’язкiв задачi, успiх реалiзацiї якого багато в чому залежить вiд вдалого вибору систе- ми координатних функцiй. За допомогою подан- ня розв’язкiв лiнеаризованих рiвнянь руху в’язкої нестисливої рiдини через гiдродинамiчнi потенцiа- ли [13] вдається побудувати системи координатних функцiй для наближення тиску й швидкостi руху рiдини, якi точно задовольняють рiвняння i набли- жено – частину крайових умов задачi. Додатко- во вибираються ортогональнi многочлени, якi вiд- ображають поведiнку вiдхилення вiльної поверхнi рiдини. Таким чином, побудованi системи й много- члени мають якiснi властивостi шуканого розв’яз- ку, що забезпечує ефективнiсть проекцiйного ме- тоду. У статтi [14] експериментально дослiджено вла- снi коливання в’язкої рiдини з вiльною поверхнею в посудинах, що мали форму прямих кругових ци- лiндрiв. Ми покажемо, що знайденi проекцiйним методом частоти й декременти коливань добре узгоджуються з цими даними. Також запропоно- c© М. Я. Барняк, О. П. Лещук, 2008 3 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 ваний метод буде порiвнюватися з асимптотичним методом розрахунку частот i декрементiв [7]. При зменшеннi числа Галiлея H проекцiйний метод ви- являється бiльш точним, нiж асимптотичний. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Позначимо через Σ вiльну поверхню рiдини в не- збуреному станi, а через S – змочену тверду стiнку посудини. Опишемо загальний випадок, коли Σ є криволiнiйною внаслiдок дiї сил поверхневого на- тягу, а лiнiя контакту вiльної поверхнi, повiтря й твердої стiнки посудини (S∩Σ) залишається неру- хомою пiд час коливань рiдини. В околi Σ введе- мо криволiнiйну систему координат (ξ1, ξ2, ξ3) так, щоб поверхня Σ вiдповiдала рiвнянню ξ3 =0, а ко- ординатнi лiнiї ξ3 при ξ3 =0 були спрямованi по нормалi n̄ й мали коефiцiєнт Ламе l3 =1. Оскiль- ки розглядаються власнi коливання рiдини, то всi шуканi величини залежать вiд часової змiнної t за законом e−λt i ї ї можна вiдокремити. З точнiстю до малих вищого порядку вiдхилення збуреної пiд час коливань поверхнi вiд Σ по нормалi, взяте з вiдповiдним знаком, позначимо через h(ξ1, ξ2)e−λt. Будемо користуватися лiнеаризованими рiвнян- нями руху, а крайовi умови зi збуреної вiльної по- верхнi зносити на Σ. Тодi власнi коливання в’язкої нестисливої рiдини описуються такою спектраль- ною крайовою задачею [15]: −ν∆v̄+1 ρ ∇p=λv̄, div v̄=0 в Ω; v̄=0 на S; v1,3+v3,1 =v2,3+v3,2 =0 на Σ; 2νv3,3− 1 ρ p+ σ ρ Bh=0, vn+λh=0 на Σ; h=0 на S ∩ Σ; ∫ Σ hdΣ=0. (1) Тут Ω – область, заповнена рiдиною в ста- нi спокою; (x, y, z) – декартова система коорди- нат, причому вiсь z направлена вертикально вго- ру; v̄(x, y, z)e−λt – швидкiсть частинок рiдини; p(x, y, z)e−λt – вiдхилення тиску в рiдинi вiдно- сно його статичного значення; λ – частотний па- раметр; ν – кiнематичний коефiцiєнт в’язкостi; σ – коефiцiєнт поверхневого натягу; ρ – густина рi- дини; vn =(v̄, n̄) – нормальна складова вектора v̄; vi,j – коварiантна похiдна вiд коварiантного векто- ра vi [16]. Оператор B визначається на класi функцiй, якi мають нульове середнє значення на поверхнi Σ, та- ким чином [15]: Bh ≡ ( − ρ σ ∂Π ∂n − k2 1 − k2 2 ) h− ∆Σh. (2) У формулi (2) ∆Σ – оператор Бельтрамi – Лапласа [17]; k1 i k2 – головнi кривизни поверхнi Σ; Π – потенцiал зовнiшнiх сил. Оскiльки планується порiвняння розрахункових даних з експериментами [14], будемо розглядати випадок, коли поверхня Σ плоска й лежить у пло- щинi z=0, а iз зовнiшнiх сил дiє лише сила тяжiн- ня Π=−gz (тут g – прискорення вiльного падiн- ня). Тодi кривизни будуть k1 =k2 =0, координати (ξ1, ξ2, ξ3)=(x, y, z), а напрямок нормалi n спiвпа- датиме з вiссю Oz. Перейдемо до безрозмiрних змiнних. Оскiльки густина рiдини ρ – стала, за- мiсть p/ρ надалi будемо писати p. Тодi задача (1) набуває вигляду [6, 7, 15] − 1 H ∆v̄ + ∇p = λv̄, div(v̄) = 0 в Ω; v̄ = 0 на S; ∂vx ∂z + ∂vz ∂x = ∂vy ∂z + ∂vz ∂y = 0 на Σ; 2 H ∂vz ∂z − p+ h− 1 B ∆h = 0, vz + λh = 0 на Σ; h = 0 на S ∩ Σ, ∫ Σ hdΣ = 0, (3) де число Галiлея H=g1/2L3/2ν−1 – безрозмiрний параметр, який характеризує спiввiдношення мiж силами ваги (∼ g), силами в’язкого тертя (∼ ν) й характерним лiнiйним розмiром порожнини L (тут – радiус цилiндра). Додатково введене число Бонда B=ρgL2σ−1 також безрозмiрне. Надалi спектральна задача (3) стає основним об’єктом дослiдження. За допомогою проекцiйно- го методу будуть побудованi її наближенi розв’яз- ки для випадку, коли Ω – прямий круговий ци- лiндр. 2. ПРОЕКЦIЙНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ НА- БЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ Зробимо замiну v̄∗ = v̄ H , ω2 = λH, h = −Hω λ f. (4) 4 М. Я. Барняк, О. П. Лещук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 Далi знак ∗ для зручностi запису опускаємо. Тодi вихiдна задача (3) набуває такого вигляду: −∆v̄+∇p=ω2v̄, div(v̄)=0 в Ω; v̄=0 на S; ∂vx ∂z + ∂vz ∂x = ∂vy ∂z + ∂vz ∂y =0 на Σ; ω ( 2 ∂vz ∂z −p ) −H2 ( f− 1 B ∆f ) =0 на Σ; vz =ωf на Σ; f=0 на S ∩ Σ; ∫ Σ fdΣ=0. (5) Завдяки замiнi (4), у формулюваннi (5) число Га- лiлея H входить лише в одну крайову умовi. Тому при побудовi розв’язкiв цiєї задачi доцiльно вважа- ти параметр ω фiксованим, а H – шуканим, тобто розглядати H як функцiю вiд ω. Аналогiчно до статтi [18], в якiй не враховували- ся сили поверхневого натягу, визначимо функцiо- нал K(v̄, p, f, H)=E(v̄, v̄)−ω2T (v̄, v̄)− −2ω ∫ Σ ( 2 ∂vz ∂z −p ) fdS+H2 ∫ Σ ( f2+ 1 B ( ∇f )2 ) dS, де H ∈C, ω∈C; f i p – скалярнi функцiї; f ∈W1 2(Σ); ∫ Σ fdS=0; f=0 на ∂Σ; p∈W1 2(Ω). Соленоїдальнi вектор-функцiї v̄∈W1 2(Ω) разом з функцiями p за- довольняють систему рiвнянь −∆v̄ + ∇p = ω2v̄, div(v̄) = 0 в Ω (6) i крайовi умови ∂vx ∂z + ∂vz ∂x = 0, ∂vy ∂z + ∂vz ∂y = 0 на Σ. (7) Функцiонали T i E мають такий вигляд: T (v̄, ū) = ∫ Ω (v1u1 + v2u2 + v3u3)dΩ, E(v̄, ū) = 1 2 3 ∑ i,j=1 ∫ Ω ( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi )( ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ) dΩ. Вони визначаються на класi вектор-функцiй v̄, ū, iнтегрованих з квадратом разом зi своїми перши- ми похiдними по областi Ω ({v̄, ū}⊂W1 2(Ω)). Для зручностi запису декартовi координати (x, y, z) по- значенi через (x1, x2, x3). Величина µE(v̄, ū) для дiйсних значень v̄ i ū має фiзичний змiст робо- ти, виконаної за одиницю часу в’язкими силами, що виникають за наявностi поля швидкостей v̄ на можливому перемiщеннi, яке визначається полем швидкостей ū. Тут µ=ρν – динамiчний коефiцiєнт в’язкостi. Як i при вiдсутностi поверхневого натягу [18] (B→∞), в основу проекцiйного методу побудови наближених розв’язкiв (5) покладемо таке твер- дження. Для того, щоб вектор-функцiя v̄(x, y, z) й скалярна функцiя p(x, y, z), якi задовольняють систему рiвнянь (6) та крайовi умови (7) разом зi скалярною функцiєю f(x, y) й вiдповiдним їм вла- сним значенням H при заданому значеннi ω були розв’язками задачi (5), необхiдно й достатньо, щоб вони надавали стацiонарне значення функцiоналу K(v̄, p, f, H). Наближений розв’язок задачi (5) подамо у ви- глядi скiнченних сум: v̄n1 = n1 ∑ k=1 ak v̄k, pn1 = n1 ∑ k=1 akpk, fn2 = n2 ∑ k=1 bkfk, де функцiї v̄k, pk, fk належать областi визначен- ня функцiоналу K. Невiдомi коефiцiєнти ak, bk, а також значення числа H знаходимо з умов стацiо- нарностi K: ∂K(v̄n1 , pn1 , fn2 , H) ∂ai = 0, i = 1, n1, ∂K(v̄n1 , pn1 , fn2 , H) ∂bj = 0, j = 1, n2. 3. ПОБУДОВА СИСТЕМИ КООРДИНАТ- НИХ ФУНКЦIЙ v̄k , pk i fk Перейдемо до цилiндричної системи координат (r, η, z): x = r cos(η), y = r sin(η), z = z, у якiй Ω={(r, η, z) : 0≤r<1, 0≤η≤2π, −h<z<0}; S=S1∪S2, S1 – дно цилiндра, S2 – його бiчна поверхня, S1 = {(r, η, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 2π, z = −h}; S2 = {(r, η, z) : r = 1, 0 ≤ η ≤ 2π, −h ≤ z ≤ 0}; Σ = {(r, η, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 2π, z = 0}. Вiдомо, що розв’язки системи рiвнянь (6) можна подати у виглядi [13] v̄ = ∇ϕ+ rot ( rot(ψ1ēz) ) + rot(ψ2ēz), p = ω2ϕ, М. Я. Барняк, О. П. Лещук 5 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 де скалярнi функцiї ϕ, ψ1, ψ2 задовольняють рiв- няння ∆ϕ = 0, ∆ψ1 + ω2ψ1 = 0, ∆ψ2 + ω2ψ2 = 0. Задача (5) допускає вiдокремлення кругової ко- ординати η для довiльної областi, яка має форму тiла обертання. Тому шуканi функцiї v̄ i p запише- мо як v̄ = ∇ ( ϕ∗(r, z) cos(mη) ) + +rot ( rot ( ψ∗ 1(r, z) cos(mη) ) ) + +rot ( ψ∗ 2(r, z) sin(mη) ) , p = ω2ϕ∗(r, z) cos(mη), m = 0, 1, 2, . . . (8) Надалi для зручностi запису знак ∗ опускаємо. Функцiї ϕ(r, z), ψ1(r, z), ψ2(r, z) повиннi задоволь- няти рiвняння ∆mϕ ≡ 1 r ∂ ∂r ( r ∂ϕ ∂r ) + ∂2ϕ ∂z2 − m2 r2 ϕ = 0, (9) ∆mψ1 + ω2ψ1 = 0, ∆mψ2 + ω2ψ2 = 0. (10) Компоненти вектора швидкостi v̄ i функцiї тиску p виражаються через функцiї ϕ, ψ1, ψ2 таким чином: vr = ( m r ψ2 + ∂2ψ1 ∂z∂r + ∂ϕ ∂r ) cos(mη), vη = − ( ∂ψ2 ∂r + m r ∂ψ1 ∂z + m r ϕ ) sin(mη), vz = ( ∂2ψ1 ∂z2 + ω2ψ1 + ∂ϕ ∂z ) cos(mη), p = ω2ϕ cos(mη). Розглянемо систему функцiй ϕ1 k = Jm(ξkr)ch (ξk(z + h)) Jm(ξk)ch (ξkh) , k = 1, 2, 3, . . . , де Jm(z) – функцiї Бесселя першого роду; чис- ло ξk – k-ий розв’язок рiвняння J ′ m(ξ)=0. Функ- цiї ϕ1 k cos(mη) й вiдповiднi їм власнi числа σ2 k =ξkth (ξkh) є розв’язками задачi ∆ϕ=0 в Ω, ∂ϕ ∂n =0 на S, ∂ϕ ∂n =σ2ϕ на Σ, (11) яка описує власнi коливання iдеальної рiдини з вiльною поверхнею у прямому круговому цилiн- дрi Ω. Позначимо через H(Ω) пiдпростiр гармонiчних в Ω функцiй iз простору Соболєва W1 2(Ω). Долучимо до ϕ1 k ще двi системи функцiй: ϕ2 k = Jm(ξkr)sh (ξkz) Jm(ξk)ch (ξkh) , ϕ3 k = Im(skr) sin(skz) Im(sk) , де Im(z) – модифiкованi функцiї Бесселя першо- го роду; sk =kπ/h; k=1, 2, 3, . . . Вiдзначимо, що всi ϕi k задовольняють рiвняння (9). Як показано у працi [20], сукупнiсть функцiй ϕi k cos(mη), i=1, 3, k=1,∞ утворює повну систему в просторi H(Ω) з властивостями ортогональностi ∫ Ω ∇ ( ϕi1 k cos(mη) ) ∇ ( ϕi2 j cos(mη) ) dΩ = 0 у випадках k 6=j (при довiльних i1, i2) або i1 6= i2 (при довiльних k i j). Це означає, що потенцiальну складову шуканої вектор-функцiї v̄ можна як зав- годно точно апроксимувати лiнiйною комбiнацiєю градiєнтiв функцiй ϕi k cos(mη). До кожної функцiї ϕi k пiдберемо функцiї ψi 1,k й ψi 2,k так, щоб вiдповiднi їм вектор-функцiї v̄i k, по- будованi за формулою (8), задовольняли частину крайових умов задачi (5) i, що найголовнiше, умо- ви (7). Детально опишемо випадок i=1. Розглянемо розв’язки рiвняння (10) f1 1,k = Im(qkr)sh (ξk(z + h)) Im(qk)ξkch (ξkh) , f1 2,k = Im(qkr)ch (ξk(z + h)) Im(qk)ch (ξkh) , f1 3,k = Jm(ξkr)e −pk(z+h) Jm(ξk)pkch (ξkh) , f1 4,k = Jm(ξkr)e pkz Jm(ξk)pk , (12) де pk = √ −ω2+ξ2k; qk = √ −ω2−ξ2k. Функцiї ψ1 1,k й ψ1 2,k шукаємо у виглядi ψ1 1,k = c11,kf 1 1,k + c13,kf 1 3,k + c14,kf 1 4,k, ψ1 2,k = c12,kf 1 2,k. (13) При середнiх i великих числах Галiлея H (100≤H ≤ 100000) абсолютнi значення pk, qk зна- ходяться в межах 102÷103. Звiдси випливає, що функцiї (12) мають характер примежевого шару в околi межi областi Ω: f1 1,k та f1 2,k суттєво вiдмiн- нi вiд нуля лише в околi r=1, −h≤z≤0; f1 3,k – в околi z=−h, 0≤r≤1; f1 4,k – в околi z=0, 0≤r≤1. 6 М. Я. Барняк, О. П. Лещук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 Усi компоненти (12) експоненцiально спадають, якщо рухатися вiд межi Ω всередину областi, при- чому чим бiльше число Галiлея H , тим швидше спадання i, вiдповiдно, тонший примежевий шар. Скористаємося цiєю властивiстю пiд час визначе- ння коефiцiєнтiв c11,k, c12,k, c13,k, c 1 4,k. Будемо на- ближено вважати, що f1 1,k 6=0 i f1 2,k 6=0 лише при r=1, −h≤z≤0; f1 3,k 6=0 лише при z=−h, 0≤r≤1; f1 4,k 6=0 лише при z=0, 0≤r≤1. Коефiцiєнти c11,k i c12,k знайдемо з умов vz = 0, vη = 0 при r = 1. (14) Тодi c11,k = ξ2k q2k , c12,k = −m(c11,k + 1)Im(qk) qkIm+1(qk) +mIm(qk) . Для обчислення коефiцiєнтiв c13,k використаємо спiввiдношення vr = 0, vη = 0 при z = −h. (15) Тодi c13,k = 1. Коефiцiєнти c14,k визначаються з умов вiдсутно- стi дотичних напружень на вiльнiй поверхнi (7). В цилiндричнiй системi координат вони мають ви- гляд ∂vz ∂r + ∂vr ∂z = 0, ∂vη ∂z + 1 r ∂vz ∂η = 0 на Σ. (16) Тодi c14,k = −2ξkpkth (ξkh) 2ξ2k − ω2 . Точно кажучи, за допомогою такого пiдбору коефiцiєнтiв у формулi (13) ми задовольняємо крайовi умови (14) – (16) лише наближено. Втiм, оскiльки функцiї (12) при H≥100 мають харак- тер примежевого шару, спiввiдношення (14) – (16) задовольняються з високою точнiстю. Найгiршою буде якiсть виконання цих умов у околах перетину вiльної поверхнi й бiчної стiнки та перетину бiчної стiнки й дна цилiндра (тобто, поблизу кутових то- чок меридiального перерiзу областi Ω). Вiдзначи- мо, що радiус цiєї зони приблизно дорiвнює тов- щинi примежевого шару i має порядок 1/ √ H. Аналогiчним чином за допомогою ϕ2 k, ϕ3 k побу- дуємо функцiї ψj 1,k = cj1,kf j 1,k + cj3,kf j 3,k + cj4,kf j 4,k, ψj 2,k = cj2,kf j 2,k, j = 2, 3 (17) так, щоб вiдповiднi вектор-функцiї v̄j k задовольня- ли умови (14) – (16): f2 1,k = Im(qkr)ch (ξkz) Im(qk)ξkch (ξkh) , f2 2,k = Im(qkr)sh (ξkz) Im(qk)ch (ξkh) , f2 3,k = Jm(ξkr)e −pk(z+h) Jm(ξk)pkch (ξkh) , f2 4,k = Jm(ξkr)e pkz Jm(ξk)pk , c21,k = ξ2k q2k , c22,k = −m(c21,k + 1)Im(qk) qkIm+1(qk) +mIm(qk) , c23,k = −sh (ξkh), c24,k = −2pkξk ch (ξkh)(2ξ2k − ω2) , f3 1,k = Im(q3,kr) cos(skz) Im(q3,k)sk , f3 2,k = Im(q3,kr) sin(skz) Im(q3,k) , f3 3,k = 0, f3 4,k = Im(skr)ch (p3,k(z + h)) Im(sk)ch (p3,kh) , c31,k = −s2k −s2k + ω2 , c32,k = −m(−c31,k + 1)Im(q3,k) q3,kIm+1(q3,k) +mIm(q3,k) , c33,k = 0, c34,k = 2sk 2s2k + ω2 , q3,k = √ s2k − ω2 , p3,k = √ −s2k − ω2. Вiдхилення вiльної поверхнi f шукаємо у вигля- дi лiнiйної комбiнацiї функцiй fi = P (2,2m+1) i−1 (2r − 1)(1 − r)rm cos(mη), i = 1, 2, . . . , де P (a,b) i−1 – многочлени Якобi. Вони мають такi властивостi ортогональностi [21]: 1 ∫ −1 P (a,b) i (r)P (a,b) j (r)(1 − r)a(1 + r)bdr = = { 0, i 6= j, 6= 0, i = j. Завдяки цьому функцiї fi також є ортогональни- ми: 1 ∫ 0 rfifjdr = { 0, i 6= j, 6= 0, i = j. М. Я. Барняк, О. П. Лещук 7 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 При r=0 рiвняння (9), (10) вироджуються i їхнi обмеженi в цiй точцi розв’язки мають поводитись як rm при r→0. Саме таким є характер коорди- натних функцiй ϕi k, f i j,k, i=1, 3, j=1, 4, k=1,∞. Тодi з крайової умови vz =ωf на Σ випливає, що для вiдхилення f також має бути пропорцiйне до rm при r→0. Саме тому множник rm був явно уве- дений при означеннi fi. Окрiм того, згiдно з умо- вою задачi (5) вiдхилення f дорiвнює нулевi при r=1. Цю умову функцiї fi задовольняють завдяки множнику (1−r). За побудовою, для координатних функцiй fi при m=1, 2, 3, . . . буде ∫ Σ fidS = 1 ∫ 0 2π ∫ 0 rfidηdr = 0. (18) При m=0 ця умова не виконується i вiдхилення f слiд шукати у виглядi лiнiйної комбiнацiї функцiй gi = fi+1 − c5,if1, i = 1, 2, 3, . . . , де коефiцiєнти c5,i визначаються так, щоб викону- валось спiввiдношення (18), i мають вигляд c5,i = 1 ∫ 0 rfi+1dr 1 ∫ 0 rf1dr . Отже, координатнi функцiї fi, gi повторюють властивостi шуканого вiдхилення f . 4. АЛГОРИТМ РЕАЛIЗАЦIЇ НАБЛИЖЕНО- ГО МЕТОДУ ПОБУДОВИ РОЗВ’ЯЗКУ Для наближення поля швидкостi v̄ використа- ємо вектор-функцiї v̄i k, i=1, 2, 3, k=1, 2, 3, . . ., якi будуються за допомогою трiйок скалярних фун- кцiй 〈ϕi k, ψ i 1,k, ψ i 2,k〉 за формулою (8). Функцiї ϕi k використовуються також для наближення шука- ної функцiї тиску p. Позначимо w̄j =            v̄1 j , 1 ≤ j ≤ N1, v̄2 j , N1 < j ≤ N1 +N2, v̄3 j , N1 +N2 < j ≤ N1 +N2 +N3, φj =            ω2ϕ1 j , 1 ≤ j ≤ N1, ω2ϕ2 j , N1 < j ≤ N1 +N2, ω2ϕ3 j , N1 +N2 < j ≤ N1 +N2 +N3, де j=1, N , N=N1+N2+N3. Задамо комплексне число ω. Наближений розв’язок v̄N задачi (5) шу- каємо у виглядi v̄N = N ∑ k=1 akw̄k. Тодi вiдповiдне наближення pN для функцiї тиску буде таким: pN = N ∑ k=1 akφk. Наближення fN4 для функцiї f в задачi (5) шука- ємо у виглядi fN4 =              N4 ∑ k=1 bkfk при m = 1, 2, 3, . . . , N4 ∑ k=1 bkgk при m = 0. Пiдставимо одержанi v̄N , pN , fN4 у функцiонал K i визначимо невiдомi коефiцiєнти ak, bk з умов його стацiонарностi: ∂K(v̄N , pN , fN4 , H) ∂ai = 0, i = 1, N, ∂K(v̄N , pN , fN4 , H) ∂bj = 0, j = 1, N4. (19) Звiдси отримуємо матричну спектральну задачу ( A ωB ωBT −H2C )( α β ) = 0 (20) зi спектральним параметром H2 та фiксованим значенням ω. Матрицi й вектори у постановцi (20) 8 М. Я. Барняк, О. П. Лещук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 мають такий вигляд: Aij = ω2T (w̄i, w̄j) − E(w̄i, w̄j), i = 1, N, j = 1, N ; Bij = 2π ∫ 0 1 ∫ 0 r ( 2 ∂wz,i ∂z ∣ ∣ ∣ ∣ z=0 − φi ){ fj gj } drdη, i = 1, N, j = 1, N4; Cij = 2π ∫ 0 1 ∫ 0 r ({ fi gi } × { fj gj } + + 1 B ∇ { fi gi } ∇ { fj gj }) drdη, i = 1, N4, j = 1, N4. При обчисленнi Bij , Cij слiд вибирати fi, якщо m=1, 2, 3, . . ., i gi, якщо m=0; α – вектор-стовпчик коефiцiєнтiв ak; β – вектор-стовпчик коефiцiєнтiв bk. Для того щоб при заданому значеннi числа Га- лiлея H0 визначити власнi значення λ задачi (3), скористаємось методом хорд. Це еквiвалентно ви- значенню ω в задачi (5) при заданомуH0, тому при реалiзацiї описаного вище алгоритму її розв’язува- ння отримуємо H як функцiю вiд ω. Розглянемо функцiю g(ω) = H(ω) −H0 i визначимо комплексне число ω∗, при якому g(ω∗)=0. Задамо початкове значення ω1 = √ µkH0, де µk = √ ξkth (ξkh). Покладемо ωa =ω1+∆. Згiдно з методом хорд [22], (n+1)-ше наближення ω∗ шу- каємо у виглядi ωn+1 = ωn − g(ωn)(ωn − ωa) g(ωn) − g(ωa) , n = 1, 2, 3, . . . (21) Рекурентний процес (21) повторюватимемо поки \|g(ωn+1)\|>ε, пiсля чого покладемо ω∗=ωn+1. При розрахунках приймалося ∆=(1+i)/10, ε=5·10−11. Знаючи H0 i ω∗, можна визначити власнi значення λ задачi (3) за формулою λ = (ω∗)2 H0 . Вкажемо спосiб, яким можна знайти елементи матрицi A, обчислюючи квадратури лише по ме- жi областi Ω. Вважатимемо, що вектор-функцiї v̄, ū задовольняють рiвняння (6), i використовувати- мемо позначення (v̄, ū) = v1u1 + v2u2 + v3u3. Тодi в декартовiй системi координат ω2T (v̄, ū) −E(v̄, ū) = ω2 ∫ Ω (v̄, ū)dΩ− −1 2 3 ∑ i,j,=1 ∫ Ω ( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi )( ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ) dΩ = = ω2 ∫ Ω (v̄, ū)dΩ− −1 2 3 ∑ i,j=1 ∫ Ω ( ∂ ∂xj (( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ) ui ) + + ∂ ∂xi (( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ) uj ) ) dΩ+ + 1 2 3 ∑ i,j=1 ∫ Ω ( ( ∂2vi ∂x2 j + ∂2vj ∂xi∂xj ) ui+ + ( ∂2vi ∂xi∂xj + ∂2vj ∂x2 i ) uj ) dΩ = = ω2 ∫ Ω (v̄, ū)dΩ + ∫ Ω (∆v̄, ū)dΩ− − 3 ∑ i,j=1 ∫ Ω ∂ ∂xi (( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ) uj ) dΩ = = ∫ Ω (ω2v̄ + ∆v̄ −∇p, ū)dΩ + ∫ Ω (∇p, ū)dΩ− − 3 ∑ i,j=1 ∫ ∂Ω ( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ) cos(n̄, xi)ujdS = = ∫ ∂Ω ( p 3 ∑ i=1 ui cos(n̄, xi)− − 3 ∑ i,j=1 ( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ) cos(n̄, xi)uj ) dS. У цилiндричнiй системi координат ω2T (v̄, ū) − E(v̄, ū) = = ∫ ∂Ω (ur, uη, uz)U(v̄)   cos(n̄, r̄) cos(n̄, η̄) cos(n̄, z̄)   dS, М. Я. Барняк, О. П. Лещук 9 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 де елементи матрицi U(v̄) мають такий вигляд: U11 = −2 ∂vr ∂r + p; U1,2 = −1 r ∂vr ∂η − ∂vη ∂r + vη r ; U1,3 = −∂vz ∂r − ∂vr ∂z ; U22 = −2 ( 1 r ∂vη ∂η + vr r ) + p; U23 = −1 r ∂vz ∂η − ∂vη ∂z ; U33 = −2 ∂vz ∂z + p; U21 = U12; U31 = U13; U32 = U23. 5. ПОРIВНЯННЯ З ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИ- МИ ДАНИМИ Й АСИМПТОТИЧНИМ МЕ- ТОДОМ У працi [14] за допомогою лазерної методики ви- мiрювань дослiджувались власнi частоти й декре- менти згасання коливань вiльної поверхнi рiдини. Експерименти проводились у двох прямих круго- вих цилiндрах, заповнених до країв. Їхнi висоти d були вiдповiдно 2.764±0.005 i 1.180±0.005 см, а вiдношення радiуса до висоти – Λ=R/d=0.725 i 4.33. У дослiдах використовувались силiконовi олiї й високоочищена вода. Зазначимо, що завдяки та- кому вибору рiдин практично вдається уникну- ти ефекту забруднення вiльної поверхнi. Остан- нiй призводить до утворення поверхневої плiвки, яка суттєво впливає на результати вимiрювань. Для кожного цилiндра верхнiй край, який межує з вiльною поверхнею рiдини, заточувався, а при використаннi силiконових олiй – додатково покри- вався фторполiмером. Така обробка дозволила до- сягти того, що лiнiя контакту рiдини, повiтря й твердої стiнки цилiндра залишалась нерухомою. У початковому положеннi незбурена вiльна поверх- ня рiдини була плоскою. У статтi [7] запропоновано асимптотичний метод обчислення власних частот i декрементiв згасання коливань вiльної поверхнi рiдини. Тут розв’язок задачi (3) будувався у виглядi ряду по степенях малого параметра H−1/2. При цьому враховува- лись поверхневий натяг i дисипацiя енергiї як в примежевих шарах бiля стiнок цилiндра, так i у всьому об’ємi рiдини. Було встановлено, що диси- пацiя енергiї в примежевому шарi бiля вiльної по- верхнi має порядок H−3/2. В асимптотичному ме- тодi вона не враховувалася. При побудовi розв’яз- ку використовували три члени асимптотичного ряду – доданки при степенях H0, H−1/2 i H−1. Наголосимо, що в попереднiх працях [1, 2, 4 – 6] зберiгались лише два доданки (при степенях H0, H−1/2), а також не завжди враховувались поверх- невий натяг i дисипацiя енергiї в об’ємi рiдини. Та- ким чином, метод [7] є найбiльш точним з вiдомих авторам асимптотичних методiв розрахунку вла- сних частот i декрементiв коливань. У працi [8] наведено наближений метод побу- дови розв’язку задачi (3) для прямого кругового цилiндра. Вiн грунтується на вiдокремленнi кру- гової координати η i поданнi шуканого ров’яз- ку у виглядi суми рядiв, координатнi функцiї в яких задовольняють рiвняння задачi (3) всереди- нi областi. Невiдомi коефiцiєнти в рядах визнача- ються так, щоб задовольнити крайовi умови за- дачi (3). Частину коефiцiєнтiв було знайдено точ- но, а iншi – наближено, так, щоб нев’язка деяких крайових умов задачi (3) була ортогональна до повних систем функцiй {Jm(ξkr)/Jm(ξk)}∞k=1 або {sin(skz)}∞k=1. Порiвняємо експериментальнi данi [14] (αе, βе) з результатами, одержаними асимптотичним [7] (αас, βас), наближеним [8] (αн, βн) i запропонова- ним нами проекцiйним методом (αпр, βпр). Декре- менти αпр i частоти βпр виражаються через вла- снi числа λ задачi (3) як αпр=Re (λ), βпр =Im (λ). При розрахунках проекцiйним методом викори- стовувалась така кiлькiсть координатних функцiй: N1 =N2 =N3 =5, N4 =10. У табл. 1 наведено результати порiвняння для цилiндра з вiдношенням Λ=0.725, заповненого ви- сокоочищеною водою, B=103.2, поданi в тому ж порядку, як i у працi [14]. У першiй колонцi вка- зано величину 1/H , обернену до числа Галiлея, у другiй – впорядковану пару (mn), яка визначає моду коливань. Тут m – кiлькiсть вузлових дiа- метрiв на вiльнiй поверхнi (азимутальне хвильове число [6]), n – кiлькiсть вузлових кiл на вiльнiй поверхнi ((n+1) – номер частоти коливань). Третя й четверта колонки дають обчисленi проекцiйним методом частоту βпр й декремент αпр. Представле- нi в подальших колонках вiдноснi величини хара- ктеризують, наскiльки обчисленi проекцiйним та асимптотичним [7] методами частоти й декремен- ти близькi до експериментальних значень. Аналогiчнi результати зведено в табл. 2. Тут ци- лiндр з вiдношенням Λ=0.725 заповнювався силi- коновими олiями. В експериментах число Бонда B варiювалося в межах 357≤B≤374, що, як ствер- джують автори [14], мало впливало на вимiрюванi частоти й декременти. При розрахунках проекцiй- ним методом приймалося B=(357+374)/2=365.5. У статтi [14] наведено данi для ширшої множи- 10 М. Я. Барняк, О. П. Лещук ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 Табл 1. Порiвняння запропонованого проекцiйного методу, експериментальних даних [14] й асимптотичного методу [7] для випадку заповнення цилiндра високоочищеною водою при Λ=0.725, B=103.2 1/H Мода βпр αпр βас/βе αас/αе βпр/βе αпр/αе 6.354 · 10−5 (10) 1.5583 0.0048274 1.007 1.046 1.007 1.045 6.215 · 10−5 (20) 2.1176 0.0070952 1.007 0.984 1.007 0.981 6.215 · 10−5 (01) 2.2878 0.0038834 1.007 0.879 1.007 0.887 6.354 · 10−5 (30) 2.6128 0.0095734 1.008 0.990 1.008 0.979 Табл 2. Порiвняння запропонованого проекцiйного методу, експериментальних даних [14] й асимптотичного методу [7] для випадку заповнення цилiндра силiконовими олiями при Λ=0.725, B=365.5 1/H Мода βпр αпр βас/βе αас/αе βпр/βе αпр/αе 7.647 · 10−5 (10) 1.4479 0.0058629 1.006 0.963 1.007 0.974 7.647 · 10−5 (20) 1.9137 0.0089176 1.006 0.973 1.008 0.988 7.647 · 10−5 (01) 2.0913 0.0049148 1.004 0.948 1.006 0.953 7.647 · 10−5 (30) 2.2907 0.011838 1.006 0.996 1.008 1.009 7.647 · 10−5 (11) 2.5192 0.0079582 1.005 0.948 1.007 0.970 7.647 · 10−5 (40) 2.6322 0.014835 1.006 0.946 1.009 0.955 1.731 · 10−3 (10) 1.428 0.040378 1.009 1.088 1.008 0.961 1.731 · 10−3 (20) 1.8842 0.073656 1.01 1.132 1.008 0.980 1.738 · 10−3 (01) 2.0777 0.064719 1.008 1.135 1.006 0.981 1.759 · 10−3 (30) 2.2514 0.11371 1.012 1.13 1.008 0.975 1.752 · 10−3 (11) 2.496 0.11463 1.01 1.13 1.005 0.980 3.670 · 10−3 (10) 1.4164 0.068182 1.011 1.197 1.008 1.002 3.684 · 10−3 (20) 1.8643 0.13021 1.013 1.169 1.007 0.955 3.705 · 10−3 (01) 2.0643 0.125 1.01 1.193 1.003 0.983 Табл 3. Порiвняння запропонованого проекцiйного методу, експериментальних даних [14] i наближеного методу [8] для моди (01) для випадку заповнення цилiндра силiконовими олiями при Λ=0.725, B=365.5 1/H βпр αпр βе αе βн αн 10−5 2.0929 0.001186 − − 2.091 0.00109 7.647 · 10−5 2.0914 0.0049143 2.079 0.0052 2.090 0.0047 1.557 · 10−4 2.0903 0.008531 2.075 0.0088 2.089 0.0083 3.816 · 10−4 2.0880 0.017713 2.075 0.0181 2.087 0.0175 7.591 · 10−4 2.0849 0.031672 2.072 0.0332 2.084 0.0314 1.738 · 10−3 2.0778 0.064718 2.066 0.0660 2.077 0.0643 3.705 · 10−3 2.0644 0.125 2.059 0.127 2.062 0.1245 10−2 2.0118 0.28836 − − 2.009 0.292 4 · 10−2 1.6252 0.86744 − − 1.656 0.840 10−1 0.61511 1.5585 − − 0.685 1.552 ни значень C, а також для цилiндра з Λ=4.33 при 1223≤B≤1280 (заповнення – силiконовi олiї). За браком мiсця, тут ми обмежились iлюстрацiєю ви- падкiв для високоочищеної води i силiконових олiй при Λ=0.725 при “малих” (порядку 10−5) i “вели- ких” (порядку 10−3) значень C. Втiм, при форму- люваннi висновкiв брались до уваги всi експери- ментальнi данi, представленi в [14]. У табл. 3 наведено результати для моди (01) у випадку, коли цилiндр з Λ=0.725 заповнював- М. Я. Барняк, О. П. Лещук 11 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 3 – 12 ся силiконовими олiями (B=365). З неї видно, як спiввiдносяться мiж собою результати, отриманi за допомогою запропонованого проекцiйного й на- ближеного [8] методiв з експериментом [14]. ВИСНОВКИ З табл. 1 – 3 видно, що знайденi проекцiйнi ча- стоти коливань добре узгоджуються з експеримен- тальними (в усiх випадках вони вiдрiзняються мiж собою на ≤ 1 %. Вiдзначимо, що проекцiйнi декре- менти також близькi до експериментальних. Єди- ний виняток становить мода (01) у випадку, ко- ли цилiндр заповнювався високоочищеною водою. Для неї вiдхилення проекцiйного декремента вiд експериментального складає 11.3 %. Зазначимо, що при цьому асимптотичний метод дає навiть трохи гiршу похибку – 12.1 %. Таку невiдповiд- нiсть теоретичних розрахункiв i експерименталь- них даних вiдзначено в працях [6,7,14].Автори [14] пояснюють її ефектом забруднення вiльної поверх- нi рiдини, якого не вдалося уникнути навiть пiд час експериментiв з високоочищеною водою. Без урахування моди (01) для високоочищеної води вiдхилення проекцiйного декремента вiд екс- периментального не перевищує 7.9 % i загалом складає 2.3 %. Разом з тим, середнє вiдхилення асимптотичного декремента вiд експерименталь- ного дорiвнює 4.9 %, а максимальне – 19.7 %. Зауважимо, що при H>103 як проекцiйний, так i асимптотичний методи дають значення декре- ментiв, однаково близькi до експериментальних. При H<103 вiдхилення асимптотичного декре- мента вiд експериментального перевищує 10 % i в найгiрших випадках досягає 19.7 %. Одночасно, за допомогою проекцiйного методу вдається з до- статньо високою точнiстю обчислювати частоти i декременти при будь-яких значеннях H . Зi статтi [8] вiдомо, що наближений метод, на вiдмiну вiд асимптотичного, добре узгоджується з експериментом на всьому дiапазонi значень числа Галiлея. З табл. 3 також видно, що обчисленi ча- стоти βпр i декременти αпр близькi вiдповiдно до βн й αн. Це означає, що запропонований проекцiй- ний метод добре узгоджується з наближеним мето- дом [8] i дає приблизно ту саму точнiсть, хоча має iнше пiдгрунтя, базуючись на побудовi функцiона- лу K, стацiонарнi значення якого досягаються на розв’язках задачi (3). Пiсля побудови вiдповiдної системи координатних функцiй проекцiйний пiд- хiд може бути узагальнено на порожнини бiльш складної форми, нiж цилiндр. 1. Case K. M., Parkinson W. C. Damping of surface waves in an incompressible liquid // J. Fluid Mech.– 2.– 1957.– P. 172–184. 2. Keulegan G. H. Energy dissipation in standing waves in rectangular basins // J. Fluid Mech.– 6.– 1959.– P. 33–50. 3. Крейн С. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосу- де // Докл. АН СССР.– 1964.– 159, N 2.– С. 262– 265. 4. Miles J. W. Surface wave damping in closed basins // Proc. Roy. Soc. London.– A297.– 1967.– P. 459–475. 5. Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с поло- стями, содержащими жидкость.– М.: ВЦ АН СС- СР, 1968.– 230 с. 6. Henderson D. M., Miles J. W. Surface-wave dampi- ng in a circular cylinder with a fixed contact line // J. Fluid Mech.– 1994.– 275.– P. 285–299. 7. Martel C., Nicolas J. A., Vega J. M. Surface-wave damping in a brimful circular cylinder // J. Fluid Mech.– 1998.– 360.– P. 213–228. 8. Nicolas J. A. The viscous damping of capillary- gravity waves in a brimful circular cylinder // Phys. Fluids.– 2002.– 14.– P. 1910–1919. 9. Ibrahim R. A. Liquid sloshing dynamics.– Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005.– 948 p. 10. Kidambi R. Oscillations of a viscous free surface with pinned contact line // Fluid Dyn. Resch.– 2007.– 39.– P. 121–138. 11. Nicolas J. A., Vega J. M. A note on the effect of surface contamination in water wave damping // J. Fluid Mech.– 2000.– 410.– P. 367–373. 12. Pomeau Y. Recent progress in the moving contact- line problem: A review // C. R. Acad. Sci. Mech.– 2002.– 330.– P. 207–222. 13. Гузь А. Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости.– К.: АСК, 1998.– 350 с. 14. Howell D. R., Buhrow B., Heath T., McKenna C., Hwong W., Schatz M. F. Measurements of surface- wave-damping in a container // Phys. Fluids.– 2000.– 12.– P. 322–326. 15. Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Гидромеханика невесомости.– М.: Наука, 1976.– 504 с. 16. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.– М.: Физматгиз, 1963.– 411 с. 17. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна.– М.: ОНТИ, 1935.– 332 с. 18. Барняк М. Я. Проекцiйний метод побудови розв’язкiв задачi про власнi коливання в’язкої рi- дини в посудинi // Обчислювальна математика i математичнi проблеми механiки. Працi Україн- ського математичного конгресу 2001.– К.: Iн-т ма- тематики НАН України, 2002.– С. 5–24. 19. Копачевский Н. Д. О задаче Коши для малых ко- лебаний вязкой жидкости в слабом поле массовых сил // Ж. выч. мат. физ.– 1987.– 7, N 1.– С. 128– 146. 20. Барняк М. Я. Применение метода ортогональных проекций к исследованию малых колебаний жид- кости в сосуде // Мат. физ. нелиней. мех.– 1988.– 10(44).– С. 37–43. 21. Абрамовиц М., Стиган И. Cправочник по специ- альным функциям.– М.: Наука, 1979.– 832 с. 22. Демидович Б. И., Марон И. А. Основы вычисли- тельной математики.– М.: Наука, 1966.– 664 с. 12 М. Я. Барняк, О. П. Лещук

Проекцiйний метод розв'язування задачi про власнi коливання в'язкої рiдини в цилiндрi з урахуванням поверхневого натягу

Репозитарії

Схожі ресурси