Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания
Предложена модель неоднородного по профилю скорости звука волновода на жидком поглощающем полупространстве. В ее рамках получены асимптотические формулы для вертикальных волновых чисел в водном слое и основании. Проанализированы зависимости численных результатов от параметров рассматриваемой системы...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Акустичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79771 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания / Ю.И. Папкова // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-79771 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-797712017-04-20T21:00:10Z Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания Папкова, Ю.И. Предложена модель неоднородного по профилю скорости звука волновода на жидком поглощающем полупространстве. В ее рамках получены асимптотические формулы для вертикальных волновых чисел в водном слое и основании. Проанализированы зависимости численных результатов от параметров рассматриваемой системы. Запропоновано модель неоднорiдного за профiлем швидкостi звуку хвилеводу на рiдиннiй поглинаючiй основi. У її рамках отримано асимптотичнi формули для вертикальних хвильових чисел у водному шарi й основi. Проаналiзовано залежностi числових результатiв вiд параметрiв розглянутої системи. A model of a waveguide with an inhomogeneous sound velocity profile and attenuation in liquid bottom half-space is proposed. Within this scope, the asymptotic expressions for complex vertical wave numbers in water layer and bottom are obtained. The dependencies of the numerical results from parameters of considered system are analyzed. 2010 Article Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания / Ю.И. Папкова // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79771 534.231 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложена модель неоднородного по профилю скорости звука волновода на жидком поглощающем полупространстве. В ее рамках получены асимптотические формулы для вертикальных волновых чисел в водном слое и основании. Проанализированы зависимости численных результатов от параметров рассматриваемой системы. |
| format |
Article |
| author |
Папкова, Ю.И. |
| spellingShingle |
Папкова, Ю.И. Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания Акустичний вісник |
| author_facet |
Папкова, Ю.И. |
| author_sort |
Папкова, Ю.И. |
| title |
Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания |
| title_short |
Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания |
| title_full |
Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания |
| title_fullStr |
Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания |
| title_full_unstemmed |
Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания |
| title_sort |
волновод пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79771 |
| citation_txt |
Волновод Пекериса в случае неоднородного профиля скорости звука и поглощающего основания / Ю.И. Папкова // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT papkovaûi volnovodpekerisavslučaeneodnorodnogoprofilâskorostizvukaipogloŝaûŝegoosnovaniâ |
| first_indexed |
2025-07-06T03:45:19Z |
| last_indexed |
2025-07-06T03:45:19Z |
| _version_ |
1836867670874521600 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
УДК 534.231
ВОЛНОВОД ПЕКЕРИСА В СЛУЧАЕ
НЕОДНОРОДНОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ ЗВУКА
И ПОГЛОЩАЮЩЕГО ОСНОВАНИЯ
Ю. И. П А П К ОВ А
Севастопольский национальный технический университет
Получено 22.10.2010
Предложена модель неоднородного по профилю скорости звука волновода на жидком поглощающем полупространс-
тве. В ее рамках получены асимптотические формулы для вертикальных волновых чисел в водном слое и основании.
Проанализированы зависимости численных результатов от параметров рассматриваемой системы.
Запропоновано модель неоднорiдного за профiлем швидкостi звуку хвилеводу на рiдиннiй поглинаючiй основi. У її
рамках отримано асимптотичнi формули для вертикальних хвильових чисел у водному шарi й основi. Проаналiзо-
вано залежностi числових результатiв вiд параметрiв розглянутої системи.
A model of waveguide with an inhomogeneous sound velocity profile and attenuation in liquid bottom half-space is
proposed. Within this scope, the asymptotic expressions for complex vertical wave numbers in water layer and bottom
are obtained. The dependencies of the numerical results from parameters of the considered system are analyzed.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в основу теории распростра-
нения звука в море положена концепция неидеаль-
ных волноводов [1]. Впервые такая модель волно-
вода, состоящего из водного слоя (скорость зву-
ка c1), который лежит на жидком полупространс-
тве (скорость звука c2>c1), рассмотрена Пекери-
сом [2]. Его решение для акустического поля состо-
яло из суммы нормальных мод и интеграла по ра-
зрезу, проведенному параллельно мнимой оси ком-
плексной плоскости горизонтальных волновых чи-
сел ξ (П разрез). Модель Пекериса получила хоро-
шее экспериментальное подтверждение при иссле-
довании геофизических волноводов в мелких мо-
рях восточного побережья США [1]. Позднее она
была подробно исследована Стиклером [3], чье ре-
шение состояло из двух компонент: конечной сум-
мы нормальных мод (идентичных собственным
модам в решении Пекериса) и контурного интегра-
ла вокруг разреза, предложенного Юингом, Жар-
децки и Прессом (ЮЖП разрез). Преобразование
ЮЖП разреза в П разрез приводит к тому, что
используемый интеграл по замкнутому контуру
частично переходит на второй лист комплексной
плоскости горизонтально волновых чисел ξ. В ре-
зультате появляются вытекающие моды, отвечаю-
щие экспоненциально затухающим с расстоянием
и экспоненциально растущим с глубиной членам.
Систематические натурные эксперименты показа-
ли, что структура звукового поля на мелководье
в целом соответствует теории [1]. При этом тру-
днее всего было объяснить наблюдаемый спад ам-
плитуды звукового давления, который во всех слу-
чаях происходит быстрее, чем предсказывает мо-
дель. Поскольку поглощение звука в самой мор-
ской среде мало, то в большинстве случаев этот
эффект, имеющий большое практическое значе-
ние, обусловлен диссипативными потерями в по-
дводном грунте, т. е. наличием поглощения в дон-
ном полупространстве.
Необходимость учета затухания в жидком грун-
те привела к тому, что в модели Пекериса [2] вол-
новые числа, характеризующие жидкое дно, ста-
новятся комплексными. Первыми на этот факт
обратили внимание Корнхаузер и Рени [1]. Так
как указанное затухание обусловлено диссипатив-
ными потерями и утечкой энергии в грунт, то в
этом случае появляются дополнительные диссипа-
тивные моды. Их присутствие усложняет исследо-
вание поля звукового давления, поэтому в рабо-
те [4] рассмотрен волновод Пекериса с дном в виде
поглощающего полупространства. Здесь исследо-
вано звуковое давление в двухслойном волноводе,
где первый и второй слои характеризуются посто-
янными профилями скорости звука c1 и c2 соо-
тветственно. При этом учитывалось наличие за-
тухания во втором слое. Основная сложность пре-
длагаемой методики решения заключается в пои-
ске и отборе корней полученного дисперсионного
уравнения.
Цель данной статьи состоит в обобщении моде-
ли двухслойного волновода на случай произволь-
ного профиля скорости звука в водном слое, при-
чем второй слой считается жидким однородным
поглощающим полупространством с постоянной
42 c© Ю. И. Папкова, 2010
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
скоростью звука. На основе теории квазиполино-
мов строятся асимптотические формулы для кор-
ней дисперсионного уравнения с учетом затуха-
ния. Проводится сравнение вертикальных и гори-
зонтальных волновых чисел для гидроакустиче-
ского волновода при наличии и отсутствии зату-
хания.
1. МОДЕЛЬ ВОЛНОВОДА
Рассматриваемый волновод представляет собой
однородный слой жидкости со скоростью звука
c1(z) и плотностью ρ1, лежащий на жидком по-
глощающем полупространстве со скоростью звука
c2>c1(z), плотностью ρ2 и коэффициентом зату-
хания γ, рис. 1. Акустическое поле точечного гар-
монического источника с частотой ω, расположен-
ного в точке O′ с цилиндрическими координата-
ми (0; z0), в данном волноводе выражается контур-
ным интегралом
Φ(r, z) =
1
4π
∫
C
G(z, z0, ξ
2)H
(1)
0 (ξr)ξdξ, (1)
где G(z, z0, ξ
2) – функция Грина следующей крае-
вой задачи:
G′′
1 +
(
ω2
c21(z)
− ξ2
)
G1 = −δ(z − z0),
0 ≤ z ≤ h,
(2)
G′′
2 + (k̄2
2 − ξ2)G2 = 0, z > h, (3)
G1(0) = 0,
ρ1G1(h) = ρ2G2(h),
G′
1(h) = G′
2(h).
(4)
Здесь δ(z) – дельта-функция Дирака;
k̄2 =k2(1−iγ); k2=ω/c2; γ – коэффициент за-
тухания (тангенс угла потерь). Путь интегри-
рования C выбирается так, чтобы охватить все
особенности функции Грина G на подходящем
листе комплексной ξ плоскости горизонтальных
волновых чисел.
Разбив двухслойное пространство [0;∞) на две
части, построим функцию Грина исходной зада-
чи (2) – (4) на двух слоях: [0; h] и (h;∞). В жидком
однородном полупространстве с постоянным про-
филем скорости звука c2 функцию Грина G2 ищем
в виде
G2 = L exp(−iµ2z),
O'
O
z0
h
z
r
1(z), !1
c2, !2,
z
Рис. 1. Схема гидроакустического волновода
где L – константа, определяемая из условий (4), а
волновые числа µ2 =
√
k̄2
2−ξ2 должны удовлетво-
рять условию затухания в жидком полупространс-
тве Im (µ2)<0.
Для построения функции Грина G1 в слое [0; h]
представим соответствующую краевую задачу в
виде системы дифференциальных уравнений:
~X′ = P (z) · ~X + ~Q(z),
A · ~X(0) + B · ~X(h) = 0,
(5)
где
~X =
(
G1
G′
1
)
; ~Q(z) =
(
0
−δ(z − z0)
)
;
A =
(
1 0
0 0
)
; B =
0 0
1
ρ2
iρ1µ2
;
P (z) =
0 1
−
(
ω2
c21(z)
− ξ2
)
0
.
Зная фундаментальную матрицу
S =
(
s1 s2
s′1 s′2
)
однородной системы (5), определяем функцию
Ю. И. Папкова 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
Грина G̃(z, p) данной системы по формуле
G̃(z, p)=
S(z) · [(A ·S(0)+
+B ·S(h))−1 ·A ·S(0) − E2] · S−1(p),
0 ≤ z < p,
S(z) · [(A ·S(0)+
+B ·S(h))−1 ·A ·S(0)] · S−1(p),
p < z < h.
Здесь E2 – единичная матрица второго порядка.
Таким образом, решение неоднородной систе-
мы (5) может быть получено в форме
~X =
h
∫
0
G̃(z, p) · ~Q(z)dp =
(
−[G̃(z, z0)]1,2
−[G̃(z, z0)]2,2
)
.
Окончательно G1 в интервале [0; h] найдем как
G1=−[G̃(z, z0)]1,2.
Основную сложность при построении функции
Грина G1 в слое [0; h] представляет нахожде-
ние фундаментальной матрицы однородной систе-
мы (5), так как скорость звука в водном слое в
первом приближении зависит от глубины z. Пусть
профиль скорости звука c1(z) определен системой
опорных точек c(zi)=ci. Тогда отрезок [0; h] ра-
збивается на N частей системой точек {zk}N
k=0
(z0 =0, zN =H), на каждой из которых про-
филь скорости звука допускает аппроксимацию
c(z)=ck(z) (z∈ [zk−1; zk]), обеспечивающую суще-
ствование аналитических решений дифференци-
ального уравнения (2). Линейно-независимые ре-
шения уравнения (2) для аппроксимации [5]
(
ω
ck(z)
)2
= ak + bkz,
ak =
ω2
zk+1 − zk
(
zk+1
c2k
− zk
c2k+1
)
;
bk =
ω2
zk+1 − zk
(
1
c2k+1
− 1
c2k
)
при bk 6=0 выражаются через функции Эйри:
ϕk
1(z; ξ) = Ai
(
ξ2 − ak
3
√
b2k
− 3
√
bkz
)
,
ϕk
2(z; ξ) = Bi
(
ξ2 − ak
3
√
b2k
− 3
√
bkz
)
;
а при bk =0 – через показательную и тригономе-
трические функции:
ϕk
1(z; ξ) =
cos(
√
ak − ξ2z), ak − ξ2 ≥ 0,
exp(
√
ξ2 − akz), ak − ξ2 < 0;
ϕk
2(z; ξ) =
sin(
√
ak − ξ2z), ak − ξ2 ≥ 0,
exp(−
√
ξ2 − akz), ak − ξ2 < 0.
Таким образом, на отрезке аппроксимации
z∈ [zk−1; zk] профиля скорости звука общее
решение однородного дифференциального урав-
нения (2) имеет вид
ψk = φ1,kC1,k + φ2,kC2,k, k = 1, 2, . . . , N.
Для построения непрерывных со своей пер-
вой производной линейно-независимых решений
для всего водного слоя в точках z1, z2, . . . ,
zN−1, получим однородную систему линейных ал-
гебраических уравнений относительно C1,k и C2,k
(k=1.2, . . . , N):
φ1,1(z1)C1,1 + φ2,1(z1)C2,1 =
= φ1,2(z1)C1,2 + φ2,2(z1)C2,2,
φ′
1,1(z1)C1,1 + φ′
2,1(z1)C2,1 =
= φ′
1,2(z1)C1,2 + φ′
2,2(z1)C2,2,
φ1,2(z2)C1,2 + φ2,2(z2)C2,2 =
= φ1,3(z2)C1,3 + φ2,3(z2)C2,3,
φ′
1,2(z2)C1,2 + φ′
2,2(z2)C2,2 =
= φ′
1,3(z2)C1,3 + φ′
2,3(z2)C2,3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
φ1,N−1(zN−1)C1,N−1 + φ2,N−1(zN−1)C2,N−1 =
= φ1,N(zN−1)C1,N + φ2,N(zN−1)C2,N ,
φ′
1,N−1(zN−1)C1,N−1 + φ′
2,N−1(zN−1)C2,N−1 =
= φ′
1,N(zN−1)C1,N + φ′
2,N(zN−1)C2,N .
Ее решение зависит от двух свободных постоян-
ных, так как число неизвестных равно 2N при
ранге системы 2(N−1). Действительно, предста-
вим данную систему в виде последовательности
матричных уравнений:
S̃k+1(zk) · ~Ck+1 = S̃k(zk) · ~Ck,
k = 1, 2, . . . , N − 1,
(6)
44 Ю. И. Папкова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
где
S̃k(z) =
(
φ1,k φ2,k
φ′
1,k φ′
2,k
)
; ~Ck =
(
C1,k
C2,k
)
.
Непосредственно из уравнений (6) следуют соот-
ношения
~Ck = Mk · ~C1, k > 1,
Mk =
k−1
∏
j=1
S̃
−1
j+1(zj) · S̃j(zj).
Следовательно, общее решение на отрезке [zk1; zk]
может быть выражено в форме
ψk = φ̃1,kC1,1 + φ̃2,kC2,1,
где
φ̃1,k = [Mk]1,1φ1,k(z) + [Mk]2,1φ2,k(z);
φ̃2,k = [Mk]1,2φ1,k(z) + [Mk]2,2φ2,k(z).
В качестве линейно-независимых решений одно-
родного уравнения (2) на отрезке [0; h] во-
зьмем функции s1 = φ̃1,k, s2 = φ̃2,k при z∈ [zk−1; zk]
(k=2, 3, . . . , N) и s1 = φ̃1,1, s2 = φ̃2,1 при z∈ [z0, z1].
Это позволяет построить фундаментальную ма-
трицу S однородной системы (5).
В результате функция Грина G1 в слое [0; h]
представляется следующим образом:
G1 = − 1
∆(ξ)(s1(z0)s′2(z0) − s′1(z0)s2(z0))
×
×
[(
s1(h) −
iρ2
ρ1µ2
s′1(h)
)
×
×(s1(0)s2(z0)s2(z) − s2(0)s1(z<)s2(z>))+
+
(
s2(h) −
iρ2
ρ1µ2
s′2(h)
)
×
×(−s1(0)s1(z>)s2(z<) + s2(0)s1(z)s1(z0))
]
,
(7)
где
∆(ξ) = s1(0)
[
s2(h) −
iρ2
ρ1µ2
s′2(h)
]
−
−s2(0)
[
s1(h) −
iρ2
ρ1µ2
s′1(h)
]
;
z< = min(z; z0), z> = max(z; z0).
Заметим, что при отсутствии затухания (γ=0) и
постоянной скорости звука c1 в водном слое фор-
мула (7) дает известное выражение для функции
Грина в волноводе Пекериса [2]:
G1 =
sin(µ1z<)
µ1∆(ξ)
[
µ1 cos(µ1(h − z>))+
+ib12µ2 sin(µ1(h− z>))
]
,
G2 =
sin(µ1z0) exp(−iµ2(z − h))
∆(ξ)
,
где
b12 =
ρ1
ρ2
; µj =
√
(
ω
cj
)2
− ξ2 , j = 1, 2;
∆(ξ) = µ1 cos(µ1h) + ib12µ2 sin(µ1h).
2. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
Функции G1 и G2 содержат в знаменателе выра-
жение ∆(ξ), равенство нулю которого определя-
ет дисперсионное уравнение (дает полюса функ-
ции Грина в комплексной плоскости горизонталь-
ных волновых чисел ξ). В случае мелкой воды об-
щие решения однородного вертикального волно-
вого уравнения (2) для различных вариаций про-
филя скорости звука [6] отличаются мало и могут
быть описаны с помощью следующих асимптоти-
ческих формул:
s1 = sin µ̃1z +O
(
1
µ̃1
)
,
s2 = cos µ̃1z +O
(
1
µ̃1
)
,
(8)
где µ̃1 =
√
k̃2
1−ξ2 – вертикальное волновое чис-
ло; k̃1 =ω/c̃1; c̃1 =(max c1(z)+min c1(z))/2 – сред-
нее значение скорости звука в водном слое иссле-
дуемого волновода.
В результате дисперсионное уравнение может
быть приведено к виду
µ̃1 cos µ̃1h+ ib12µ2 sin µ̃1h = 0. (9)
Выразив µ2 =−
√
k̄2
2−k̃2
1+µ̃2
1, соотношение (9)
можно записать как
tg (µ̃1h) = − µ̃1
b12
√
k̃2
1 − k̄2
2 − µ̃2
1
,
m=1, 2, . . . ,
(10)
Ю. И. Папкова 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
где m – номер собственной моды волновода.
Уравнение (10) совпадает с дисперсионным
уравнением для волновода с постоянным профи-
лем скорости звука c1 = c̃1 в водном слое, иссле-
дованным в работе [4]. Отсюда следует, что оно
имеет лишь конечное число M≥1 решений, удов-
летворяющих условию Im (µ2)<0.
3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОД И АСИМПТО-
ТИКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
3.1. Двухслойный волновод без затухания в
жидком полупространстве
Рассмотрим двухслойный волновод с произволь-
ным профилем скорости звука в водном слое, ле-
жащем на жидком однородном полупространс-
тве с постоянным волновым числом k2 =ω/c2. В
случае постоянного профиля скорости звука в
воде получаем классический волновод Пекериса.
При произвольном профиле скорости звука в си-
лу асимптотической формулы (8) распределение
корней дисперсионного уравнения будет в первом
приближении описываться уравнением с усреднен-
ным значением скорости звука.
При отсутствии затухания существуют толь-
ко захваченные моды, удовлетворяющие условию
Im (µ2)<0. Их количество может быть найдено из
уравнения (10) при условии, что µ̃1 =
√
k̃2
1−k2
2 :
M0 =
[
µ̃1h
π
+
1
2
]
.
Далее корни дисперсионного уравнения в иссле-
дуемом волноводе обычно находятся с помощью
численного метода Ньютона:
Xn+1 = Xn − f(Xn)
f ′(Xn)
,
где f(X) – преобразованная функция из уравне-
ния (10):
f(X) = X −
(
m− 1
2
)
π−
−arctg
b12
√
h2(k̃2
1 − k2
2) −X2
X
;
X= µ̃1h (m=1, 2, . . . ,M0). В качестве начального
приближения берут X0 =(m−1/2)π.
Используя тот факт, что всякую аналитическую
функцию можно определить через степенной ряд,
получаем асимптотическую формулу для (10), ра-
зложив функцию в ряд Маклорена по степеням
µ̃1h:
arctg
µ̃1
b12
√
k̃2
1 − k2
2 − µ2
1
≈ µ̃1h
b12h
√
k̃2
1 − k2
2
,
µ̃1h ≈ mπ − µ̃1h
b12h
√
k̃2
1 − k2
2
.
(11)
Асимптотическая формула (11) может быть при-
ведена к виду [4]
µ̃1,m ≈ mπ
he
,
где величина he =H(1+b12h
√
k̃2
1−k2
2) носит назва-
ние “эффективной” глубины.
3.2. Двухслойный волновод с затуханием в
жидком полупространстве
Рассмотрим гидроакустический волновод, в ко-
тором первый слой характеризуется непрерывным
распределением скорости звука c1(z), а второй
представляет собой жидкое однородное поглоща-
ющее полупространство (грунт) с постоянной ско-
ростью звука c2. Наличие затухания приводит к
тому, что характеризующее жидкое дно верти-
кальное волновое число становится комплексным:
k̄2 =k2(1−iγ), где γ – коэффициент затухания. Мо-
дель такого волновода с постоянной скоростью
звука в водном слое подробно исследована в [4].
Как известно, наличие затухания приводит к то-
му, что моды волновода делятся на захваченные и
диссипативные моды.
В данном случае дисперсионное уравнение (9)
примет вид
µ̃1h cos(µ̃1h) − ib12h
√
µ̃2
1 + k̄2
2 − k̃2
1 sin(µ̃1h) = 0.
Обозначив µ̃1h=Z и h2(k̄2
2−k̃2
1)=τ , представим
его как
z cos z − ib12
√
z2 + τ sin z = 0. (12)
При решении дисперсионного уравнения основ-
ная сложность состоит в поиске и отборе кор-
ней уравнения на комплексной плоскости. Поста-
вим задачу построения асимптотической аналити-
ческой формулы, описывающей решение уравне-
ния (12), которое перепишем в форме
z2 cos 2z− b212(z
2 + τ ) cos 2z+(1 + b212)z
2 + b12τ = 0.
Использовав соотношение
cos 2z =
exp(2zi) + exp(−2zi)
2
46 Ю. И. Папкова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
и осуществив замену переменной 2zi=ζ, предста-
вим его правую часть в форме квазиполинома:
(1 − b212)ζ
2 exp(2ζ) + 4τb212 exp(2ζ)+
+2(1 + b212)ζ
2 exp ζ − 8τb212 exp ζ+
+(1 − b212)ζ
2 + 4τb212 = 0.
(13)
Напомним, что квазиполиномом называют [7] ли-
нейную комбинацию функций вида ζmj exp(βjζ),
где mj – неотрицательные целые числа; βj – нео-
трицательные вещественные числа.
Воспользуемся асимптотическим методом опре-
деления нулей квазиполиномов, описанным в ра-
боте Беллмана [7]. Построим на плоскости мно-
жества точек (βj , mj), соответствующих всем чле-
нам квазиполинома: (2, 2); (2, 0); (1, 2); (1, 0); (0, 2);
(0, 0), рис. 2. Согласно указанному методу, про-
водится выпуклая вверх (без вертикальных зве-
ньев) ломаная, ограничивающая множество точек
(βj , mj) сверху и имеющая вершины в точках, при-
надлежащих ему. Например, на рис. 2 ломаная
проходит через три точки (βj , mj).
Корни квазиполинома могут быть вычислены из
уравнений, полученных посредством опускания в
нем всех слагаемых, кроме тех, которые соответ-
ствуют точкам границы множества, расположен-
ным только на одном из отрезков ломаной. Таким
образом исходное уравнение (12) разделяется на
два:
(1 − b212)ζ
2 + 2(1 + b212)ζ
2 exp ζ = 0,
(1 − b212)ζ
2 exp(2ζ) + 2(1 + b212)ζ
2 exp ζ = 0.
(14)
Первое из них дает
ζk = ln
∣
∣
∣
∣
b212 − 1
2(1 + b212)
∣
∣
∣
∣
+ iπ(2k + 1), k ∈ Z. (15)
Решения второго уравнения (14) дополняют кор-
ни (15) с комплексно сопряженными значениями.
Оставляя решение в форме (15) и возвращаясь
к переменной z, получаем приближенные значения
корней уравнения (12):
zk =
π(2k + 1)
2
− i
2
ln
∣
∣
∣
∣
b212 − 1
2(1 + b212)
∣
∣
∣
∣
, k ∈ Z. (16)
Перейдя к вертикальным волновым числам, имеем
µ̃1k =
π(2k + 1)
2h
− i
2h
ln
∣
∣
∣
∣
b212 − 1
2(1 + b212)
∣
∣
∣
∣
, k ∈ Z. (17)
m
O
1 2
1
2
Рис. 2. Точки (βj, mj), соответствующие
всем членам квазиполинома
Дальнейшее уточнение корней осуществим по ите-
рационному методу Ньютона:
zk = z0,k, z(p+1),k = zp,k +
F (zp,k)
F ′(zp,k)
,
p = 0, 1, 2, . . . ,
(18)
где F (z) – преобразованная функция в уравне-
нии (12):
F (z) = tg z +
iz
b12
√
z2 + τ
.
После подстановки в соотношения (18) соответ-
ствующих функций итерационная формула при-
мет вид
z(p+1),k =zp,k+
tg zp,k+
izp,k
b12
√
z2
p,k+τ
1 + tg 2zp,k+
iτ
b12
(
√
z2
p,k+τ
)3
,
p=0, 1, 2, . . .
(19)
Используя (19), можно уточнить асимптотиче-
скую формулу (17) для вертикального волнового
числа µ̃1:
µ̃1m =
π(2k + 1)
2h
− i
2h
ln
∣
∣
∣
∣
b212 − 1
2(1 + b212)
∣
∣
∣
∣
+
+i
(b12 − 1)
(
3b212 + 1
)
8hb12(b212 + 1)
.
(20)
Таким образом, конечное множество реше-
ний m=1, 2, . . . ,М дисперсионного уравне-
ния (9), удовлетворяющих условию затухания
Im (µ2)<0, можно разделить на M0 захваченных
и М1 =М−М0 диссипативных мод.
Ю. И. Папкова 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
Таблица. Собственные значения для волновода Занга (f =200 Гц, γ=0.0916171)
m ξ0m ξm µ2m
1 0.837503 + 0.000710i 0.835944 + 0.000091i 0.166527− 0.338912i
2 0.833454 + 0.002142i 0.830478 + 0.000365i 0.171496− 0.327767i
3 0.825298 + 0.003605i 0.821283 + 0.000831i 0.180685− 0.308997i
4 0.812909 + 0.005245i 0.808221 + 0.001507i 0.195687− 0.282559i
5 0.796098 + 0.006727i 0.791067 + 0.002450i 0.219032− 0.249167i
10 0.630171 + 0.017942i 0.625199 + 0.012925i 0.480745− 0.100746i
20 0.030327 + 0.765292i 0.027885 + 0.767616i 1.095970− 0.032034i
30 0.023440 + 1.497920i 0.022561 + 1.498770i 1.690460− 0.013428i
40 0.021970 + 2.139880i 0.021461 + 2.140340i 2.278660− 0.004643i
а б
Рис. 3. Значения горизонтальных волновых чисел ξ
во второй четверти комплексной плоскости для волновода Занга:
а – затухание в грунте γ =0.0916171; б – без затухания
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Re z
-0.15
-0.1
-0.05
Im µ 2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Rez
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
Imµ2
а б
Рис. 4. Значения вертикальных волновых чисел µ2 для волновода Занга:
а – затухание в грунте γ =0.0916171; б – без затухания
48 Ю. И. Папкова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
4. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
В гидроакустическом волноводе Занга [8], пред-
ставляющем собой однородный слой воды h=54 м
с усредненной скоростью звука c̃1 =1500 м/с на
жидком полупространстве с затуханием γ и ско-
ростью звука c2 =1600 м/с при отношении пло-
тностей b12 =0.8, проводилось исследование спе-
ктра краевой задачи (2). При этом варьирова-
лись частота f и коэффициент затухания γ. В
таблице приведено численное сопоставление ре-
зультатов для горизонтальных волновых чисел
ξ=−
√
k̃2
1−µ̃2
1 (k̃1 =ω/c̃1), вычисленных с помо-
щью итерационного метода Ньютона, с прибли-
женными значениями ξ0m =−
√
k̃2
1−(µ̃0
1m)2, полу-
ченными на основе представления (20), при часто-
те f=200 Гц и γ=0.0916171. Рассмотренный вол-
новод представляет собой достаточно характер-
ный пример для случая мелкой воды. Заметим,
что при достаточно высоком затухании в нем име-
ется большое количество мод М=45, удовлетво-
ряющих условию Im (µ2)<0. Из представленных
в таблице данных следует, что предлагаемая в ста-
тье асимптотическая формула (20) для собствен-
ных значений волновода ξm, дает удовлетвори-
тельные результаты даже для первых собственных
значений, с увеличением порядкового номера точ-
ность улучшается.
На рис. 3 отображены значения горизонтальных
волновых чисел ξ для волновода Занга при часто-
те f=100 Гц при γ=0.0916171 и без затухания.
Сравнение этих результатов показывает, что на-
личие затухания в грунте не оказывает качествен-
ного влияния на значения горизонтальных волно-
вых чисел ξ в случае “мелкой” воды, а лишь незна-
чительно изменяет расположение горизонтальных
волновых чисел ξ. Данный факт подтверждается
натурными экспериментами, проведенными Корн-
хаузером и Рени [1].
Следует отметить, что даже незначительные ва-
риации горизонтальных волновых чисел ξ приво-
дят к существенным отличиям в расположении
вертикальных волновых чисел µ2, характеризу-
ющих грунт. При наличии затухания (рис. 4, а)
они имеют как действительную, так и мнимую
часть, поскольку затухание обусловлено диссипа-
тивными потерями и утечкой энергии в грунт.
Если же затухания в грунте нет (рис. 4, б), то
вертикальные волновые числа делятся на чисто
мнимые, отвечающие захваченным модам, и ком-
плексные. Наличие чисто мнимых µ2 обусловлено
исключительно утечкой энергии в грунт.
Связь между захваченными и диссипативными
Рис. 5. Рост количества мод
при увеличении частоты
модами для волновода Занга при низких часто-
тах иллюстрирует рис. 5. Здесь сплошной линией
указано количество захваченных мод, а пунктир-
ной – общее количество мод M . О рис. 5 мож-
но заметить, что с увеличением частоты при фи-
ксированном ненулевом коэффициенте затухания
γ=0.0916171 число M0 нарастает гораздо медлен-
нее, чем M . Следовательно, с ростом частоты f
количество диссипативных мод M1, характеризуе-
мое разницей между верхней и нижней зависимо-
стями, будет увеличиваться быстрее, чем количе-
ство захваченных мод.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представлено обобщение модели гидроакусти-
ческого волновода на случай произвольного про-
филя скорости звука в водном слое и наличия за-
тухания в жидком основании. Для профиля ско-
рости звука, заданного системой опорных точек,
построена функция Грина, в случае постоянной
скорости звука совпадающая с известными фор-
мулами для волновода Пекериса.
На основе теории квазиполиномов получе-
на асимптотическая формула, приближенно опи-
сывающая вертикальные и горизонтальные вол-
новые числа задачи. Сравнение полученных асим-
птотических значений с точными показало удовле-
творительное их совпадение уже для низших соб-
ственных чисел. С увеличением номера точность
асимптотического приближения растет.
На примере волновода Занга представлены ре-
зультаты численных исследований влияния коэф-
фициента затухания на спектр задачи.
1. Толстой И., Клей К. С. Акустика океана.– М.:
Мир, 1969.– 301 с.
Ю. И. Папкова 49
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 42 – 50
2. Pekeris C. L. Theory of propagation of explosive
sound in shallow water // Propagation of sound in
the ocean.– New York: Geol. Soc. Amer., Mem. 27,
1948.– P. 1–117.
3. Stickler D. C. Normal-mode program with both the
discrete and branch line contributions // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1975.– 57.– P. 856–861.
4. Buckingham M. J., Giddens E. M. On the acoustic
field in a Pekeris waveguide with attenuation in the
bottom half space // J. Acoust. Soc. Amer.– 2006.–
119.– P. 123–142.
5. Papkova J. I., Papkov S. O., Yaroshenko A. A. Energy
characteristics of the hydroacoustic field in a nonuni-
form marine medium with a cylindrical body floating
on the surface // Phys. Oceanogr.– 2006.– 16, N 3.–
P. 168–176.
6. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых
сред.– М.: Наука, 1989.– 416 с.
7. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-
разностные уравнения.– М.: Мир, 1967.– 548 с.
8. Zhang Z. Y., Tindle C. T. Complex effective depth of
the ocean bottom // J. Acoust. Soc. Amer.– 1993.–
93.– P. 205–213.
50 Ю. И. Папкова
|