Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью

Исходя из основных положений линейной теории движения твердых тел с полостями, частично заполненными идеальной жидкостью, и линейной теории тонкостенных стержней развита общая математическая модель динамики упругого стержня, несущего резервуар с жидкостью. Предложен вариационный метод решения спектр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Троценко, В.А., Троценко, Ю.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2010
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79776
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 51-67. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79776
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-797762017-04-20T21:00:52Z Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Исходя из основных положений линейной теории движения твердых тел с полостями, частично заполненными идеальной жидкостью, и линейной теории тонкостенных стержней развита общая математическая модель динамики упругого стержня, несущего резервуар с жидкостью. Предложен вариационный метод решения спектральной задачи, описывающей поперечные колебания системы стержень-резервуар-жидкость. Приведены результаты расчетов собственных частот и форм колебаний рассматриваемой механической системы. Виходячи з основних положень лінійної теорії руху твердих тіл з порожнинами, частково заповненими ідеальною рідиною, й лінійної теорії тонкостінних стержнів розвинуто загальну математичну модель динаміки пружного стержня, який несе резервуар з рідиною. Запропоновано варіаційний метод розв'язання спектральної задачі, яка описує поперечні коливання системи стержень-резервуар-рідина. Наведено результати розрахунку власних частот і форм коливань розглянутої механічної системи. A general mathematical model of the dynamic elastic rod bearing the tank with a liquid is developed originating from the fundamental statements of linear theory of moving rigid body with the cavity partially filled with an ideal liquid and linear theory of thin-walled rods. A variational method is proposed for solving of the spectral problem describing the transversal oscillations of the system rod-tank-liquid. The results of computation of oscillation eigen frequencies and forms for the considered mechanical system are presented. 2010 Article Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 51-67. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79776 532.595 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исходя из основных положений линейной теории движения твердых тел с полостями, частично заполненными идеальной жидкостью, и линейной теории тонкостенных стержней развита общая математическая модель динамики упругого стержня, несущего резервуар с жидкостью. Предложен вариационный метод решения спектральной задачи, описывающей поперечные колебания системы стержень-резервуар-жидкость. Приведены результаты расчетов собственных частот и форм колебаний рассматриваемой механической системы.
format	Article
author	Троценко, В.А. Троценко, Ю.В.
spellingShingle	Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью Акустичний вісник
author_facet	Троценко, В.А. Троценко, Ю.В.
author_sort	Троценко, В.А.
title	Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью
title_short	Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью
title_full	Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью
title_fullStr	Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью
title_full_unstemmed	Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью
title_sort	поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79776
citation_txt	Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 51-67. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT trocenkova poperečnyekolebaniâuprugogosteržnânesuŝegonasvobodnomkoncerezervuarsžidkostʹû AT trocenkoûv poperečnyekolebaniâuprugogosteržnânesuŝegonasvobodnomkoncerezervuarsžidkostʹû
first_indexed	2025-07-06T03:45:35Z
last_indexed	2025-07-06T03:45:35Z
_version_	1836867687416856576
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 УДК 532.595 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ, НЕСУЩЕГО НА СВОБОДНОМ КОНЦЕ РЕЗЕРВУАР С ЖИДКОСТЬЮ В. А. ТРО Ц ЕН К О, Ю. В. ТРО Ц ЕН К О Институт математики НАН Украины, Киев Получено 12.04.2010 Исходя из основных положений линейной теории движения твердых тел с полостями, частично заполненными иде- альной жидкостью, и линейной теории тонкостенных стержней развита общая математическая модель динамики упругого стержня, несущего резервуар с жидкостью. Предложен вариационный метод решения спектральной зада- чи, описывающей поперечные колебания системы стержень – резервуар –жидкость. Приведены результаты расчетов собственных частот и форм колебаний рассматриваемой механической системы. Виходячи з основних положень лiнiйної теорiї руху твердих тiл з порожнинами, частково заповненими iдеальною рiдиною, й лiнiйної теорiї тонкостiнних стержнiв розвинуто загальну математичну модель динамiки пружного стер- жня, який несе резервуар з рiдиною. Запропоновано варiацiйний метод розв’язання спектральної задачi, яка описує поперечнi коливання системи стержень – резервуар – рiдина. Наведено результати розрахунку власних частот i форм коливань розглянутої механiчної системи. A general mathematical model of the dynamic elastic rod bearing the tank with a liquid is developed originating from the fundamental statements of linear theory of moving rigid body with the cavity partially filled with an ideal liquid and linear theory of thin-walled rods. A variational method is proposed for solving of the spectral problem describing the transversal oscillations of the system rod– tank– liquid. The results of computation of oscillation eigen frequencies and forms for the considered mechanical system are presented. ВВЕДЕНИЕ Интерес к исследованию динамики упругих стержней, несущих жесткие резервуары с жидко- стью, вызван запросами ракетной и космической техники, а также повышенными требованиями к проектированию гражданских объектов в виде во- донапорных башен в сейсмически опасных райо- нах. В работах [1, 2] изучение динамики таких объектов проводилось в основном с использова- нием эквивалентной маятниковой модели колеба- ний рассматриваемой механической системы. При разработке таких моделей для конкретных случа- ев существенную роль играют экспериментальные исследования. В данной работе с использованием основных по- ложений линейной теории движения твердых тел с полостями, частично заполненными идеальной жидкостью, и линейной теории упругих стержней, построена общая математическая модель динами- ки стержня, несущего на свободном конце резер- вуар с жидкостью. При этом предполагается, что к осесимметричному резервуару приложены вне- шние сосредоточенные силы и моменты, а к стер- жню – распределенная нагрузка. С помощью вариационного принципа возмож- ных перемещений математическая модель связан- ных колебаний стержня и жидкости в резервуаре сведена к интегрированию уравнения колебания упругого стержня с учетом продольной сжимаю- щей силы при определенных граничных условиях и интегрированию системы обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Входящие в них коэффи- циенты определяются с помощью квадратур от ре- шений основных внутренних краевых задач дина- мики жидкости в подвижных полостях, к которым относится спектральная задача о собственных ко- лебаниях жидкости в неподвижном сосуде и нео- днородная задача Неймана, связанная с нахожде- нием потенциала Стокса – Жуковского. При динамических расчетах строений на сей- смические и ветровые нагрузки в первую очередь необходимо располагать информацией об их ча- стотах и формах собственных колебаний. В свя- зи с этим предложен вариационный метод реше- ния данной спектральной задачи, в рамках кото- рого собственные числа входят как в разрешаю- щие уравнения, так и в граничные условия. В ре- зультате решение исходной краевой задачи сведе- но к решению обобщенной алгебраической задачи на собственные значения. Для резервуара, имеющего форму прямого кру- гового цилиндра, проанализирована эффектив- ность предложенного алгоритма решения задачи и приведены некоторые результаты расчетов частот и форм колебаний данной механической системы. c© В. А. Троценко, Ю. В. Троценко, 2010 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВОГО ВОЗДЕЙ- СТВИЯ ЖИДКОСТИ НА РЕЗЕРВУАР ПРИ ЗАДАННОМ ЕГО ДВИЖЕНИИ Рассмотрим абсолютно жесткий резервуар (по- ка произвольной конфигурации), частично запол- ненный идеальной несжимаемой жидкостью и со- вершающий заданное движение в пространстве. Требуется определить движение жидкости и во- зникающие при этом силы и моменты, действую- щие на резервуар со стороны жидкости. При рас- смотрении этой задачи будем пользоваться основ- ными положениями теории движения тел, содер- жащих жидкость, изложенными в работах [3 – 6]. Пусть твердое тело и жидкость движутся в по- ле сил тяжести с вектором ускорения ~g. Введем неподвижную прямоугольную систему координат O∗x∗y∗z∗, ось O∗z∗ которой направлена противо- положно вектору ~g. Связанную с телом систему координат Oxyz расположим так, чтобы она в на- чальный момент времени t совпадала с системой координат O∗x∗y∗z∗. Орты осей Ox, Oy и Oz бу- дем обозначать через~i1,~i2 и~i3, а соответствующие орты неподвижной системы – ~i∗1, ~i ∗ 2 и ~i∗3 . При рас- смотрении движения данной механической систе- мы предполагаем перемещения, скорости и уско- рения частиц жидкости и стенок резервуара на- столько малыми, что произведениями, квадрата- ми и более высокими их степенями можно пре- небречь. Введенная гипотеза малости параметров движения системы позволяет существенно упро- стить постановку рассматриваемой задачи, сохра- нив при этом ее практическое значение. При огово- x x y y W u(t) (t) y z S S SQ zz x O O O 1 1 1, 1 q * * * * / Рис. 1. Общий вид рассматриваемой системы ренных условиях, если начальное движение жид- кости – безвихревое, то в силу теоремы Лагранжа, свойство его потенциальности будет сохраняться все время. Предположим теперь, что резервуар совершает относительно системы координат некоторое задан- ное движение O∗x∗y∗z∗, характеризвуемое векто- ром малого смещения ~u(t) точки O относитель- но точки O∗ и вектором малого поворота ~θ(t) по- движной системы координат Oxyz относительно O∗x∗y∗z∗ (рис. 1). Для описания движения жидкости в ре- зервуаре воспользуемся потенциалом смещений χ(x, y, z, t), который связан с потенциалом скоро- стей χ′(x, y, z, t) соотношением χ′ = ∂χ ∂t . (1) В случае малых движений для потенциала смеще- ний частиц жидкости справедливы те же соотно- шения, что и для потенциала скоростей: ∆χ = 0, ~w = ∇χ. (2) Здесь ~w – вектор смещений частиц жидкости; ∆ и ∇ – операторы Лапласа и Гамильтона соответ- ственно. Таким образом, вектор смещения ~w игра- ет здесь роль, аналогичную вектору скорости ча- стиц жидкости при описании картины ее движе- ния с помощью потенциала скоростей. Сформулируем граничные условия, которым должна удовлетворять гармоническая функция χ. Обозначим через Q фиксированную область, огра- ниченную смачиваемой поверхностью полости S и свободной поверхностью жидкости Σ в ее невозму- щенном состоянии. В силу принятых допущений о малости движений частиц жидкости и стенок резервуара граничные условия можно отнести к поверхностям Σ и S. На смачиваемой поверхно- сти нормальная составляющая смещения жидко- сти равна соответствующей составляющей смеще- ния стенки резервуара. На свободной поверхности жидкости она зависит еще и от смещения ξ(x, y, t) свободной поверхности жидкости в направлении оси Oz за счет ее волновых движений. Учитывая сказанное, кинематическим гранич- ным условиям для потенциала смещения жидко- сти χ(x, y, z, t) можно придать следующую форму: ∂χ ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ S = ~u · ~ν + (~θ × ~r) · ~ν = ~u · ~ν + ~θ · (~r × ~ν), ∂χ ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ Σ = ~u · ~ν + ~θ · (~r × ~ν) + ξ(x, y, t). (3) 52 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 Здесь ~ν – орт внешней нормали к поверхности S или Σ; ~r – радиус-вектор произвольной точки с поверхности S или Σ относительно точки O. Динамическое граничное условие на свободной поверхности жидкости устанавливается в предпо- ложении, что давление на ней равно постоянной величине p0. Давление в произвольной точке жид- кости p(x, y, z, t) можно определить из линеаризо- ванного интеграла Лагранжа – Коши [7]: ∂2χ ∂t2 + U + p ρ = f(t). (4) Здесь ρ – массовая плотность жидкости; f(t) – произвольная функция времени; U – потенциал сил тяжести, который можно представить в виде U = −~g · ~r∗, ~r∗ = ~u+ ~r, (5) где ~r∗ – радиус-вектор точки жидкости относи- тельно начала O∗ абсолютной системы координат; ~r – радиус вектор этой же точки относительно точ- ки O. Таким образом, динамическое граничное усло- вие на свободной поверхности жидкости можно за- писать следующим образом: [ ∂2χ ∂t2 − ~g · ~r + gξ(x, y, t) ] Σ = f(t) − p0 ρ + ~g · ~u, (6) где g – модуль вектора ~g. При выводе условия (6) было учтено, что радиус-вектор точки возмущен- ной свободной поверхности Σ′ выражается через радиус-вектор соответствующей точки невозму- щенной поверхности Σ по формуле ~r(x, y, z, t) ∣ ∣ Σ′ = ~r(x, y, z) ∣ ∣ Σ +ξ(x, y, t)~i3. (7) Заметим, что правая часть уравнения (6) не за- висит от координат на свободной поверхности, но зависит от времени t. Кинематические граничные условия (3) позво- ляют представить потенциал смещений жидкости в следующем виде: χ(x, y, z, t) = ~u · ~Φ + ~θ · ~Ψ + ϕ. (8) Здесь ~Φ(x, y, z), ~Ψ(x, y, z) и ϕ(x, y, z, t) – гармо- нические функции, удовлетворяющие граничным условиям ∂~Φ ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ Σ∪S = ~ν, ∂~Ψ ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ Σ∪S = ~r × ~ν, ∂ϕ ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ S = 0, ∂ϕ ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ Σ = ξ(x, y, t). (9) Решения для функций Φ1, Φ2 и Φ3 можно выпи- сать в явном виде: Φ1 = x, Φ2 = y, Φ3 = z. (10) На функции Ψi(x, y, z) (i=1, 2, 3) и ϕ(x, y, z, t) дол- жны быть наложены дополнительные ограниче- ния: ∫ Σ∪S ∂Ψi ∂ν dS = 0, ∫ Σ ∂ϕ ∂ν dS = 0, (11) вытекающие из условий разрешимости краевых задач Неймана для уравнения Лапласа. В спра- ведливости выполнения первого условия можно убедиться, воспользовавшись формулами Гаусса – Остроградского. Гармонические векторные функции ~Φ и ~Ψ связа- ны с описанием поведения жидкости при поступа- тельных и вращательных относительно точки O движениях резервуара для случаев, когда свобо- дная поверхность жидкости остается невозмущен- ной. Функцию ϕ(x, y, z, t), характеризующую волно- вые движения жидкости, представим посредством разложения ϕ = ∞ ∑ n=1 βn(t)ϕn(x, y, z). (12) Здесь ϕn(x, y, z) – собственные функции спек- тральной задачи с параметром κn в граничном условии: ∆ϕn = 0, (x, y, z) ∈ Q, ( ∂ϕn ∂ν − κnϕn ) ∣ ∣ ∣ ∣ Σ = 0, ∫ Σ ∂ϕn ∂z dS = 0, ∂ϕn ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ S = 0. (13) Краевая задача (13) описывает свободные колеба- ния жидкости в неподвижном сосуде. При этом квадрат частоты σ2 n n-ой формы собственных ко- лебаний жидкости связан с частотным параме- тром κn соотношением σ2 n = gκn. (14) Известно, что совокупность собственных функ- ций ϕn обладает свойством полноты в области Σ и удовлетворяет следующим соотношениям орто- В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 гональности [8]: ∫ Σ ϕndS = 0, ∫ Σ ϕnϕmdS = 0, ∫ Σ ∂ϕn ∂ν ∂ϕm ∂ν dS = 0 (m 6= n). (15) Таким образом, окончательное выражение для по- тенциала смещений жидкости можно представить в виде χ = ~u · ~r(x, y, z) + ~θ · ~Ψ(x, y, z)+ + ∞ ∑ i=1 βi(t)ϕi(x, y, z). (16) Для потенциала χ(x, y, z, t) осталось выполнить динамическое условие на свободной поверхности жидкости. Для этого подставим выражение (16) в граничное условие (6), затем умножим его на ρ∂ϕn/∂ν и проинтегрируем результат по невозму- щенной поверхности Σ. Тогда с учетом условий ортогональности (15) получим следующую систе- му дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат βn(t): µn(β̈n+σ2 nβn)+~̈u · ~λn+~̈θ · ~λ0n−~g · ~λn =0 (n=1, 2, . . .), (17) где коэффициенты этих уравнений определяются по формулам µn =ρ ∫ Σ ϕn ∂ϕn ∂ν dS, ~λn =ρ ∫ Σ ~r ∂ϕn ∂ν dS, ~λ0n =ρ ∫ Σ ~Ψ ∂ϕn ∂ν dS. (18) Здесь и везде далее двоеточие означает двукра- тное дифференцирование по времени t. Следует заметить, что третья компонента вектора ~λn рав- на нулю. Нахождение коэффициентов (18), которые в дальнейшем будем называть гидродинамически- ми, связано с решением неоднородной краевой за- дачи для потенциала Стокса – Жуковского ~Ω и од- нородной спектральной задачи (13) с параметром в граничном условии. Интегрируя уравнения (17) с учетом задания формы свободной поверхности и распределения поля скоростей на ней в начальный момент вре- мени определяем движение жидкости в резерву- аре при заданных его поступательных и угловых ускорениях. Полученные результаты позволяют перейти к вычислению сил и моментов, действующих на ре- зервуар со стороны жидкости при заданном его движении. Их можно разделить на две группы. К первой из них отнесем статические силы ~P (s) и моменты ~M (s) 0 относительно точки O, которые обусловлены массовыми силами и не связаны с ускорениями, возникающими при движении сис- темы координат Oxyz относительно O∗x∗y∗z∗. Ко второй группе отнесем силы ~P (d) и моменты ~M (d) 0 относительно точки O, которые действуют на ре- зервуар со стороны жидкости за счет ее подвижно- сти в емкости. Векторы статических сил и моментов ~P (s) и ~M (s) 0 определяются по формулам ~P (s) = mw~g, ~M (s) 0 = ~L × ~g, ~L = ρ ∫ Q′ ~rdQ′, (19) где mw – масса жидкости; Q′ – область, занятая жидкостью в ее возмущенном состоянии. Для нахождения вектора ~L область Q′ предста- вим в виде суммы области Q, занимаемой жид- костью в ее невозмущенном состоянии, и области возмущенного слоя жидкости Q∗. Элементарный объем области Q∗ можно вычислить как объем цилиндра с площадью основания dΣ и высотой ξ(x, y, t): dQ∗ = ξ(x, y, t)dΣ = ∞ ∑ i=1 βi(t) ∂ϕi ∂z dΣ. С учетом этого выражения с точностью до вели- чин первого порядка малости получаем: ~L = ρ ∫ Q ~rdQ+ ρ ∫ Q∗ ~rdQ∗ = = mw~rcw + ∞ ∑ i=1 βi(t)~λi, (20) где ~rcw – радиус-вектор относительно точкиO цен- тра масс затвердевшей жидкости: ~rcw = ρ mw ∫ Q ~rdQ. Таким образом, вектор ~M (s) 0 будет определяться по формуле ~M (s) 0 = mw(~rcw × ~g) + ∞ ∑ i=1 βi(t)(~λi × ~g). (21) 54 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 Перейдем к определению динамических состав- ляющих главных векторов сил и моментов ~P (d) и ~M (d) 0 , действующих на резервуар со стороны жид- кости. Их можно определить на основе теорем об изменении количества движения жидкости в обла- сти Q. С точностью до членов первого порядка ма- лости имеем [7]: ~P (d) = − ∂ ~K ∂t , ~M (d) 0 = − ∂ ~G0 ∂t . (22) Входящие в эти выражения векторы количества движения ~K и кинетического момента ~G0 относи- тельно точки O вычисляются по формулам ~K = ρ ∫ Q ~V dQ = ρ ∫ Q ∂ ∂t ∇χdQ, ~G0 = ρ ∫ Q (~r × ~V )dQ = ρ ∫ Q (~r ×∇) ∂χ ∂t dQ, (23) где ~V – вектор скорости частиц жидкости. Подставив в выражения (23) потенциал смеще- ний (16), получим ∂ ~K ∂t = ρ ∫ Q ∇ ( ~̈u · ~r + ~̈θ · ~Ψ + ∞ ∑ i=1 β̈iϕi ) dQ, (24) ∂ ~G0 ∂t = ρ ∫ Q [ ~r ×∇(~̈u · ~r) + ~r ×∇(~̈θ · ~Ψ)+ + ∞ ∑ i=1 β̈i · (~r ×∇ϕi) ] dQ. (25) Преобразуем выражения (24) и (25) к более удо- бной форме, используя гармоничность функций ~r, ~Ψ и ϕ, общую формулу Гаусса – Остроградского ∫ Q Λ(∇)dQ = ∫ S∪Σ Λ(~ν)dS и формулу Грина ∫ Q (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ)dQ = ∫ S∪Σ ( ϕ ∂ψ ∂ν − ψ ∂ϕ ∂ν ) dS, где Λ – линейный оператор; ϕ и ψ – непрерывные вместе с частными производными до второго по- рядка скалярные функции. Вычислим сначала составляющие выраже- ния (24): ρ ∫ Q ∇(~̈u · ~r)dQ = ~̈uρ ∫ Q dQ = mw~̈u, ρ ∫ Q ∇(~̈θ · ~Ψ)dQ = ρ ∫ S∪Σ ( ~̈θ · ∂~Ψ ∂ν ) ~rdS = = ρ ∫ Q (~̈θ × ~r)dQ = mw(~̈θ × ~rcw ), ρ ∫ Q ∇ϕidQ = ρ ∫ S∪Σ ~r ∂ ~ϕi ∂ν dS = = ρ ∫ Σ ~r ∂ ~ϕi ∂z dΣ = ~λi. (26) В этих обозначениях главный вектор гидродина- мических сил, действующих на резервуар, прио- бретет следующий вид: ~P (d) = −mw~̈u−mw(~̈θ × ~rcw ) − ∞ ∑ i=1 β̈i ~λi. (27) Теперь перейдем к вычислению составляющих выражения (25): ρ ∫ Q [~r ×∇(~̈u · ~r)]dQ = = ρ ∫ Q (~r × ~̈u)dQ = mw(~rcw × ~̈u), ρ ∫ Q [~r ×∇(~̈θ · ~Ψ)]dQ = = ρ ∫ S∪Σ (~̈θ · ~Ψ) ∂~Ψ ∂ν dS = I (w) · ~̈θ, ρ ∫ Q (~r ×∇ϕi)dQ = ρ ∫ Σ ~Ψ ∂ϕi ∂ν dS = ~λ0i, (28) где I (w) – тензор инерции жидкости для гармони- ческих функций с компонентами I (w) ij = ∫ S∪Σ ∂Ψj ∂ν ΨidS. (29) Важно отметить симметрию тензора I (w), вытека- ющую из формулы Грина. С учетом формул (21), (22), (25) и (28), главный момент ~M (w) 0 относительно точки O сил давлений, В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 действующих со стороны жидкости на резервуар, примет следующий вид: ~M (w) 0 = ~M (d) 0 + ~M (s) 0 = =−mw(~rcw ×~̈u)−I (w) · ~̈θ− − ∞ ∑ i=1 β̈i ~λ0i+mw(~rcw ×~g)+ ∞ ∑ i=1 βi(~λi×~g). (30) Таким образом, вектора ~P (d) и ~M (d) 0 , характе- ризующие воздействие жидкости на подвижный резервуар, выражаются через гидродинамические коэффициенты (14), (18), (29), параметры движе- ния резервуара и обобщенные координаты βi(t), характеризующие волновые движения жидкости. Если резервуар осесимметричен, ограничимся рассмотрением его поперечного движения в пло- скостиO∗x∗y∗z∗. Этот выбор произволен, посколь- ку в данном случае все поперечные направления равноценны. Тогда представления для векторов ~u, ~θ и ~g упрощаются: ~u = u2 ~i2, ~θ = ϑ1 ~i1, ~g = −g~i∗3 = −gϑ1 ~i2 − g~i3. (31) Выпишем проекции векторов ~P (w)= ~P (s)+ ~P (d) и ~M (w) 0 на оси O∗y∗ и Ox соответственно. Опустив несущественные теперь индексы при компонентах векторов (31), получим следующие выражения: ~P (w) O∗y∗ = −mwü+mwzcw ϑ̈− ∞ ∑ i=1 β̈iλi, ~M (w) 0x = mwzcw ü− I(w)ϑ̈− − ∞ ∑ i=1 β̈iλ0i +mwzcw gϑ− ∞ ∑ i=1 βigλi. (32) Гидродинамические коэффициенты здесь прио- бретают вид λi = ρ ∫ Σ y ∂ϕi ∂z dS, λ0i = ρ ∫ Σ Ψ ∂ϕi ∂z dS, I(w) = ρ ∫ S∪Σ Ψ ∂Ψ ∂ν dS, (33) где потенциал Стокса – Жуковского Ψ определяе- тся из решения следующей неоднородной краевой задачи Неймана: ∆Ψ = 0, (x, y, z) ∈ Q, ∂Ψ ∂ν ∣ ∣ ∣ ∣ S∪Σ = y cos(ν, z) − z cos(ν, y), (34) а ϕi – собственные функции спектральной зада- чи (13), обладающие свойством симметричности относительно плоскости Oyz и несимметричности относительно плоскости Oxz. Заметим, что последние два слагаемых в выра- жении для ~M (w) 0x представляют собой моменты жидкости, которые обусловлены массовыми сила- ми, возникающими за счет поворота резервуара на малый угол ϑ и деформации свободной поверхно- сти жидкости. 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОПЕ- РЕЧНЫХ ДВИЖЕНИЙ РЕЗЕРВУАРА С ЖИДКОСТЬЮ, ЗАКРЕПЛЕННОГО НА УПРУГОЙ ОПОРЕ Рассмотрим частично заполненный жидкостью резервуар в форме тела вращения, который жест- ко прикреплен к верхнему краю вертикально ра- сположенной упругой опоры, обладающей осевой симметрией. При этом предполагается, что оси симметрии резервуара и опоры совпадают, а ни- жний край опоры жестко закреплен. Перейдем к выводу уравнений поперечных колебаний рассма- триваемой механической системы под воздействи- ем внешних распределенных и сосредоточенных нагрузок, приложенных к резервуару и упругой опоре. В большинстве практически важных случаев упругая опора представляет собой тонкостенную оболочку вращения, равномерно подкрепленную расположенными на ее внутренней поверхности стрингерами и шпангоутами. Уравнения колеба- ний такой оболочки могут быть существенно упро- щены для случая, когда продольные и поперечные ребра расположены достаточно часто. Тогда в ре- зультате усреднения жесткостных и массовых ха- рактеристик такая структура заменяется некото- рой конструктивно ортотропной оболочкой, жес- ткостные и массовые характеристики которой за- висят от свойств элементов подкрепляющего на- бора. Если же длина такой оболочки значитель- но больше характерного линейного размера ее по- перечного сечения, то можно предположить, что все поперечные сечения оболочки при ее изгиб- ных колебаниях остаются плоскими и перпендику- лярными к деформированной оси. Исходя из это- го, рассматриваемую опору можно отождествить с 56 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 тонкостенным упругим стержнем с меняющимися по длине площадью поперечного сечения F , эква- ториальным моментом инерции J , модулем упру- гости при растяжении E и массовой плотностью материала ρ1. Границы применимости такой упро- щенной постановки задачи на примере свободных колебаний изотропной цилиндрической оболочки установлены в статье [9]. Этот же вопрос в рам- ках различных теорий стержней обсуждался в ра- боте [10], в которой рассматривались собственные колебания цилиндрической оболочки с присоеди- ненным к одному из ее торцов абсолютно жестким телом конечных размеров. Для описания колебаний стержня введем в рас- смотрение еще одну систему координат O1x1y1z1 с началом, связанным с закрепленным краем стер- жня. Ось O1z1 совместим с осью симметрии сис- темы, а оси Ox1 и Oy1 расположим параллель- но осям O∗x∗ и O∗y∗ соответственно. Предполо- жим, что к резервуару приложена суммарная си- ла PO∗y∗ , действующая в направлении оси O∗y∗ и суммарный момент MOx системы внешних сил относительно оси Ox. Будем также считать, что на стержень действует переменная поперечная нагрузка q(z1, t) в направлении оси O1y1. Кро- ме того, опора подвержена действию сжимающей осевой силы, обусловленной весом резервуара с жидкостью и собственным весом стержня. Соста- вим уравнения связанных колебаний в поперечной плоскости O1y1z1 стержня и прикрепленного к не- му резервуара с жидкостью. Поскольку уравнения движения жидкости в резервуаре при его поступа- тельных и угловых перемещениях были получены в предыдущем разделе, перейдем к выводу урав- нений движения стержня в плоскости O1y1z1. Во внешнюю для него нагрузку следует включить ре- зультирующие силы и моменты, действующие со стороны резервуара с жидкостью. При выводе ука- занных уравнений будем пользоваться вариацион- ным принципом возможных перемещений, кото- рый в сочетании с принципом Даламбера может быть применен и в динамических задачах. Обо- значим через w(z1, t) прогиб нейтральной линии стержня в сечении z1 в направлении оси O1y1 под воздействием приложенных сил, а через l – длину стержня. В рассматриваемом случае компоненты векторов ~u(t) и ~ϑ(t), характеризующих движение резервуара, будут иметь вид, аналогичный (31). Перемещение резервуара в направлении оси Oy и угол его поворота относительно оси Ox мож- но выразить через функцию w(z1, t) и ее произво- дную в сечении z1 = l: u = w(l, t), ϑ = − ∂w ∂z1 ∣ ∣ ∣ ∣ z1=l . (35) Если исходная форма стержня – равновесная, то, согласно принципу возможных перемещений, дол- жно выполняться равенство вариации потенци- альной энергии деформации изгиба стержня δW и суммы работ внешних сил на возможных пере- мещениях δw стержня: δW = 5 ∑ i=1 δAi, (36) где δW = l ∫ 0 EJ ∂2w ∂z2 1 ∂2δw ∂z2 1 dz1. Работа δA1 сил инерции и массовых сил, дей- ствующих на корпус резервуара на возможных его перемещениях может быть вычислена следующим образом: δA1 = − ∫ Q0 ρ0~̈u ∗ · δ~u∗dQ+ ∫ Q0 ρ0(~r × ~g)dQ, (37) где ρ0 – массовая плотность материала, из которо- го изготовлен резервуар; Q0 – объем резервуара; ~u∗=~u+(~ϑ× ~r). После вычисления объемных инте- гралов в соотношении (37) с учетом разложений смещений по осям соответствующих систем коор- динат выражение для δA1 примет вид δA1 = −I(0)ϑ̈δϑ+m0zc0 (ϑ̈δu+ üδϑ)− −m0üδu+ gm0zc0 ϑδϑ, I(0) = ρ ∫ Q0 (y2 + z2)dQ. (38) Здесь I(0) – момент инерции корпуса резервуара относительно оси Ox; m0 и zc0 – масса резервуара и координата его центра тяжести на оси Oz. Работа δA2 сил инерции стержня и распределен- ной нагрузки q(z1, t) на его возможном перемеще- нии δw может быть представлена выражением δA2 = − l ∫ 0 ρ1F ẅδwdz1 + l ∫ 0 q(z1, t)δwdz1, (39) где ρ1 – массовая плотность материала стержня. В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 Вариация работы δA3 сжимающей силы N(z1) может быть вычислена по формуле δA3 = l ∫ 0 N(z) ∂w ∂z1 ∂δw1 ∂z1 dz1. (40) Здесь сила N(z), не меняющая своего направления и своей величины в процессе колебания системы, имеет следующий вид: N(z1) = mg + ρ1Fg(l− z1), (41) где m=m0+mw – масса резервуара с жидкостью. Вариация работы δA4 приложенных к резервуа- ру суммарных внешних сил PO∗y∗ и моментовMOx относительно оси Ox определяется выражением δA4 = PO∗y∗δu+MOxδϑ. (42) С учетом формул (32) вариация работы δA5 сил, действующих на резервуар со стороны жидкости, примет вид δA5 = ( −mwü+mwzcw ϑ̈− ∞ ∑ i=1 β̈iλi ) δu+ + ( mwzcw ü− I(w)ϑ̈− ∞ ∑ i=1 β̈iλ0i+ +gmwzcw ϑ− g ∞ ∑ i=1 βiλi ) δϑ. (43) Собрав полученные результаты вместе, вариа- ционное уравнение (36) с учетом кинематических соотношений (35) можно представить в следую- щей форме: l ∫ 0 [ EJ ∂2w ∂z2 1 ∂2δw ∂z2 1 −N(z) ∂w ∂z1 ∂δw ∂z1 + +ρ1F ẅδw − q(z1, t)δw ] dz1+ + [ I ∂ẅ ∂z1 ∂δw ∂z1 +mẅδw+ +mzc ( ẅ ∂δw ∂z1 + ∂ẅ ∂z1 δw ) + + ∞ ∑ i=1 β̈i ( λiδw − λ0i ∂δw ∂z1 ) − −gmzc ∂w ∂z1 ∂δw ∂z1 − g ∞ ∑ i=1 βiλi ∂δw ∂z1 − −PO∗y∗δw +MOx ∂δw ∂z1 ] z1=l = 0. (44) Здесь I=I(0) + I(w) – момент инерции относитель- но оси Ox резервуара и подвижной жидкости; zc – координата центра масс системы “резервуар – жидкость” на оси Oz, вычисляемая по формуле zc = m0zc0 +mwzcw m0 +mw . Преобразуем интегралы, входящие в уравне- ние (44) и содержащие производные от вариации прогиба стержня. С помощью интегрирования по частям получим l ∫ 0 EJ ∂2w ∂z2 1 ∂2δw ∂z2 1 = = [ EJ ∂2w ∂z2 1 ∂δw ∂z1 − ∂ ∂z1 ( EJ ∂2w ∂z2 1 ) δw ]l 0 + + l ∫ 0 ∂2 ∂z2 1 ( EJ ∂2w ∂z2 1 ) δwdz1, − l ∫ 0 N(z) ∂w ∂z1 ∂δw ∂z1 dz1 =− [ N(z1) ∂w ∂z1 δw ]l 0 + + l ∫ 0 ∂ ∂z1 ( N(z1) ∂w ∂z1 ) δwdz1, (45) где в силу условий закрепления нижнего края стержня δw и ∂δw/∂z1 при z1 =0 равны нулю. Подставляя выражения (45) в вариационное уравнение (44) и учитывая произвольность вариа- ции δw в области интегрирования, а также прои- звольность вариаций δw и ∂δw/∂z1 при z1 = l, по- лучаем следующую краевую задачу относительно прогиба стержня w(z, t): ∂2 ∂z2 1 ( EJ ∂2w ∂z2 1 ) + ∂ ∂z1 ( N(z1) ∂w ∂z1 ) + +ρ1F ẅ = q(z1, t), z1 ∈ (0, l), (46) 58 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 [ ∂ ∂z1 ( EJ ∂2w ∂z2 1 ) +N(z1) ∂w ∂z1 ] z1=l = = ( mẅ +mzc ∂ẅ ∂z1 ) z1=l + + ∞ ∑ i=1 β̈iλi − PO∗y∗ , ( EJ ∂2w ∂z2 1 ) z1=l = = ( gmzc ∂w ∂z1 −mzcẅ − I ∂ẅ ∂z1 ) z1=l + + ∞ ∑ i=1 β̈iλ0i + g ∞ ∑ i=1 βiλi −MOx, w(0, t) = ∂w(z1 , t) ∂z1 ∣ ∣ ∣ ∣ z=0 = 0. (47) Уравнение (46) относительно функции w(z1, t) – известное уравнение изгибных колебаний сжатого осевой силой N(z1) стержня, к которому прило- жена распределенная нагрузка q(z1, t). Поскольку поперечная сила и изгибающий момент стержня в некотором его сечении определяются по формулам Q = − [ ∂ ∂z1 ( EJ ∂2w ∂z2 1 ) +N(z1) ∂w ∂z1 ] , M = −EJ ∂2w ∂z2 1 , то первое и второе граничные условия в (47) выра- жают собой соответственно условия равновесия сил и моментов, действующих в сечении стержня при z= l. В эти граничные условия входят заранее неиз- вестные обобщенные координаты βi(t), характери- зующие волновые движения жидкости в подви- жном резервуаре. Поэтому к уравнениям (46), (47) необходимо еще добавить уравнения (17) с учетом кинематических соотношений (35): µn(β̈n + σ2 nβn) + λnẅ(l, t)− −λ0n ∂ẅ(l, t) ∂z1 − gλn ∂w(l, t) ∂z1 = 0, n = 1, 2, . . . (48) Уравнения (46) – (48) вместе с начальными усло- виями, наложенными на свободную поверхность жидкости и стержень, полностью определяют взаимосвязанные колебания механической систе- мы “стержень – резервуар – жидкость” под воздей- ствием приложенных к ней внешних сил и момен- тов. Следует заметить, что уравнение (48) можно получить также из вариационного уравнения (36), добавив в его правую часть работу сил давления на свободной поверхности жидкости на ее возмож- ных перемещениях. Для того, чтобы в дальнейшем упростить ра- счеты при исследовании движения рассматривае- мой механической системы, целесообразно в вари- ационном уравнении (44) и уравнениях (46) – (48) перейти к безразмерным величинам. Использовав теорию размерностей и выбрав для системы хара- ктерный линейный размер R0, запишем следую- щие формулы перехода от размерных к безразмер- ным величинам (они обозначены черточкой свер- ху): ϕn = R0ϕ̄n, Ψ = R2 0Ψ̄, w = R0w̄, t2 = R0 g t̄2, σ2 n = g R0 σ̄2 n, µn = ρR3 0µ̄n, I = ρR5 0Ī, Ī = ρ0 ρ I(0) + I(w), βn = R0β̄n, λn = ρR3 0λ̄n, EJ = E0J0ĒJ̄ , N = E0J0 R2 0 N̄ , N̄ = D ( m̄+ ρ1 ρ (l̄− z̄1) ) , D = ρR5 0g E0J0 , m = ρR3 0m̄, m̄ = ( ρ0 ρ m̄0 + m̄w ) , F = R2 0F̄ , q = E0J0 R3 0 q̄, PO∗y∗ = E0J0 R2 0 P̄O∗y∗ , MOx = E0J0 R0 M̄Ox. (49) Здесь E0J0 – изгибная жесткость стержня в его характерном сечении. С учетом этих формул вариационное уравне- ние (44) можно представить в безразмерном ви- де (черточки над безразмерными величинами для В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 59 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 упрощения записи в дальнейшем опускаем): l ∫ 0 [ EJ ∂2w ∂z2 1 ∂2δw ∂z2 1 −N(z1) ∂w ∂z1 ∂δw ∂z1 + + ρ1 ρ DF ∂2w ∂t2 δw − q(z1, t)δw ] dz1+ + { D [ I ∂3w ∂z1∂t2 ∂δw ∂z1 + +mzc ( ∂2w ∂t2 ∂δw ∂z1 + ∂3w ∂z1∂t2 δw ) + +m ∂2w ∂t2 δw + ∞ ∑ i=1 d2βi dt2 ( λiδw − λ0i ∂δw ∂z1 ) − −mzc ∂w ∂z1 ∂δw ∂z1 − ∞ ∑ i=1 βiλi ∂δw ∂z1 ] − −PO∗y∗δw +MOx ∂δw ∂z1 } z1=l = 0. (50) В свою очередь безразмерное уравнение (48) принимает следующую форму: µn ( d2βn dt2 + σ2 nβn ) + + ( λn ∂2w ∂t2 − λ0n ∂3w ∂z1∂t2 − λn ∂w ∂z1 ) z1=l = 0. (51) В дальнейшем вариационное уравнение (50) бу- дет использовано для построения приближенных решений задач динамики рассматриваемой систе- мы. В уравнения (50) и (51) входят гидродинами- ческие коэффициенты σ2 n, λn, λ0n и I(w), нахо- ждение которых связано с решениями однородной спектральной задачи с параметром в граничном условии (13) и неоднородной краевой задачи Не- ймана (34) для потенциала Стокса – Жуковского Ψ. Поэтому перед дальнейшим исследованием ди- намики рассматриваемой системы упомянутые ко- эффициенты необходимо определить. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕС- КИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ РЕЗЕРВУА- РА В ФОРМЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА Краевые задачи (13) и (34) для резервуаров, имеющих осевую симметрию, удобно решать в ци- линдрической системе координат x = r cos η, y = r sin η, z = z, (52) где r и η – полярные координаты проекции прои- звольной точки на плоскость Oxy. Представляя функцию ϕ(x, y, z) краевой зада- чи (13) в виде ϕ(x, y, z) = f(η)ψ(r, z), (53) получаем следующие уравнения относительно функций ψ(r, z) и f(η): ∂2ψ ∂r2 + 1 r ∂ψ ∂r + ∂2ψ ∂z2 − m2 r2 ψ = 0, (r, z) ∈ G, ( ∂ψ ∂z −κψ ) L0 =0, ( ∂ψ ∂ν ) L1 =0, d2f dη2 +m2f=0. (54) Здесь L0 и L1 – линии пересечения меридиональ- ного сечения со свободной поверхностью Σ и сма- чиваемой поверхностью S соответственно; G – область, ограниченная линиями L0, L1 и осью Oz. Уравнение относительно функции f(η) решае- тся в тригонометрических функциях. Условие пе- риодичности функции ϕ(r, z, η) по переменной η с периодом 2π приводит к целочисленным значени- ям параметра m. В дальнейшем займемся изуче- нием несимметричных колебаний жидкости в пло- скости Oyz, для которых главный вектор гидро- динамических сил, приложенных к движущему- ся резервуару, отличен от нуля, т. е. коэффициен- ты λn и λ0n не обращаются тождественно в нуль. Колебания такого класса соответствуют значению m=1. Таким образом, при движении резервуара в плоскости Oyz функцию ϕ(r, z, η) будем представ- лять в виде ϕ(r, z, η) = ψ(r, z) sinη. (55) В силу осевой симметрии резервуара функцию Ψ(r, z, η) краевой задачи (34) можно искать в фор- ме Ψ(r, z, η) = F (r, z) sinη. (56) Тогда для функции F (r, z) получаем двумерную неоднородную краевую задачу Неймана в области меридионального сечения резервуара: ∂2F ∂z2 + 1 r ∂F ∂z + ∂2F ∂z2 − 1 r2 F = 0, (r, z) ∈ G, ( ∂F ∂ν ) L0∪L1 =r cos(ν, z)−z cos(ν, r). (57) К граничным условиям задач (56) и (57) следу- ет добавить условие ограниченности соответству- ющих функций на оси Oz. 60 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 Разработке методов решения рассматриваемых краевых задач для различных форм резервуа- ров, в том числе и содержащих конструктивные устройства в виде ребер-перегородок, посвящены монографии [3, 8, 12]. Ниже будем рассматривать резервуар в форме прямого кругового цилиндра с плоским днищем. В качестве характерного линейного размера систе- мы выберем радиус цилиндра, а начало цилиндри- ческой системы координат поместим в плоскости днища. В этом случае решение краевой задачи (54) можно получить методом разделения переменных. При этом безразмерные функции ϕn(r, z, η) будут иметь следующий вид: ϕn(r, z, η) = ch (Knz) Knsh (Knh) J1(Knr) J1(Kn) sin η, (58) где J1(x) – функции Бесселя первого рода и первого порядка; Kn – n-ый корень уравнения J ′ 1(Kn)=0; h – глубина жидкости в резервуаре. Собственные значения κn задачи (54) определяю- тся по формуле κn = σ2 n = Knth (Knh). (59) Решения (58) нормированы таким образом, что ∂ϕn ∂z ∣ ∣ ∣ ∣ z=h, r=1, η=π/2 = 1. Принятая нормировка позволяет рассматривать обобщенные координаты βn(t) в разложениях (12) как смещения точки невозмущенной свободной по- верхности жидкости с координатами r=1, η=π/2 в направлении оси Oz при n-ой форме собствен- ных колебаний жидкости. При нахождении функции F (r, z), удовлетворя- ющей краевой задаче (57), выделяется слагаемое, пропорциональное (−zr), а оставшаяся часть за- писывается в виде разложения в обобщенный ряд Фурье – Бесселя. Поэтому функция Ψ(r, z, η) мо- жет быть представлена в следующей форме: Ψ(r, z, η) = −zr sin η+ + ∞ ∑ n=1 4 (K2 n − 1) Zn(z) J1(Knr) J1(Kn) sin η, (60) где Zn(z) = sh [ Kn ( z − h/2 )] Knch ( Knh/2 ) . Полученные решения задач (13) и (34) позволя- ют определить безразмерные гидродинамические коэффициенты для резервуара в форме кругового цилиндра: σ2 n = Knth (Knh), µn = π(K2 n − 1) 2K3 nth (Knh) , λn = π K2 n , λ0n = π K2 n [ h − 2 Kn th ( Knh 2 )] , I(w) = π [ 1 3 h3 − 3 4 h+ + ∞ ∑ n=1 16 K3 n(K2 n − 1) th ( Knh 2 )] . (61) Для резервуара, имеющего форму произволь- ного тела вращения, определение гидродинами- ческих коэффициентов сопряжено с применени- ем приближенных методов решения соответству- ющих краевых задач. 4. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДА- ЧИ О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ”СТЕРЖЕНЬ– РЕЗЕРВУАР – ЖИДКОСТЬ” Рассмотрим решение спектральной задачи, опи- сывающей собственные взаимосвязанные колеба- ния стержня и прикрепленного к нему резервуа- ра, который частично заполнен жидкостью. Ее ма- тематическую формулировку получаем из уравне- ний (46) – (48), в которых необходимо положить q(z1, t) = PO∗y∗ = MOx = 0, w(z1, t) = expiωt η(z1), βn(t) = expiωt bn. (62) После перехода к безразмерным величинам по формулам (49), получим следующую задачу отно- В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 61 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 сительно функции η(z1) и чисел bn: d2 dz2 1 ( EJ d2η dz2 1 ) + d dz1 ( N dη dz1 ) − −ω2 ρ1 ρ DFη = 0, z1 ∈ (0, l), ( EJ d2η dz2 1 ) z1=l = = ω2D [( mzcη + I dη dz1 ) z1=l − − ∞ ∑ i=1 biλ0i ] +Dmzc dη dz1 ∣ ∣ ∣ ∣ z1=l +D ∞ ∑ i=1 biλi, [ d dz1 ( EJ d2η dz2 1 ) +N dη dz1 ] z1=l = = −ω2D [ m ( η + zc dη dz1 ) z1=l + ∞ ∑ i=1 biλi ] , η(0) = dη dz1 ∣ ∣ ∣ ∣ z1=0 = 0, (63) µi(σ 2 i − ω2)bi+ + [ ω2 ( λ0i dη dz1 − λiη ) − λi dη dz1 ] z1=l = 0, i = 1, 2, . . . (64) Краевая задача (63) вместе с уравнениями (64), связывающими обобщенные координаты bi со зна- чениями прогиба стержня и его производной в се- чении z1 = l, образуют однородную спектральную задачу. Ее собственные числа ω2 j являются квадра- тами частот собственных колебаний рассматривае- мой системы, а собственные функции ηj(z1) – фор- мами свободных колебаний стержня. В соответ- ствии с разложением (12) числа b (j) i характеризу- ют волновые движения жидкости в резервуаре для j-ой формы собственных колебаний системы. Точное решение задачи (63), (64) можно по- строить только для случаев, когда входящее в со- отношения (63) уравнение имеет постоянные коэф- фициенты. Выполнение этого требования сильно сужает класс пригодных для рассмотрения кон- струкций. Кроме того, указанное решение имеет достаточно громоздкий вид, что затрудняет его применение при конкретных расчетах. Исходя из этого, далее будем строить приближенное решение задачи (63), (64) с использованием ее эквивален- тной вариационной формулировки. После подста- новки формул (62) в соотношение (50), вариаци- онное уравнение для задачи (63) примет вид l ∫ 0 [ EJ d2η dz2 1 d2δη dz2 1 −N(z1) dη dz1 dδη dz1 ] dz1− −mzcD ( dη dz1 dδη dz1 ) z1=l − −ω2D l ∫ 0 ρ1 ρ Fηδηdz1− −ω2D [ I dη dz1 dδη dz1 +mzc ( η dδη dz1 + dη dz1 δη ) + +mηδη + ∞ ∑ i=1 bi ( λiδη − λ0i dδη dz1 )] z1=l − −D ∞ ∑ i=1 biλi dδη dz1 ∣ ∣ ∣ ∣ z1=l = 0. (65) Поскольку силовые граничные условия в форму- лировке (63) являются естественными граничны- ми условиями для соответствующего квадрати- чного функционала, решение задачи (65) будем искать на классе функций, которые подчинены лишь кинематическим граничным условиям при z1 =0. Это существенно упрощает построение си- стем базисных функций при решении исходного вариационного уравнения методом Ритца. Представим функцию η(z1) в виде следующего отрезка обобщенного ряда: η(z1) = m0 ∑ q=1 ajWj(z1). (66) Здесь aj – подлежащие определению в дальней- шем постоянные;Wj(z1) – координатные функции, которые имеют вид Wj(z1) = z2 1Pj ( 2z1 l − 1 ) ; (67) где Pj(x) – смещенные на единицу по индексу j многочлены Лежандра. Значения функций Pj(x) и их производных без заметного накопления вычи- слительных погрешностей можно найти по следу- 62 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 ющим рекуррентным соотношениям: P1(x)=1, P2(x)=x, Pj+2(x)= 1 j+1 [ (2j+1)xPj+1(x)−jPj (x) ] , P ′ j+2(x)=xP ′ j+1(x)+(j+1)Pj+1(x), P ′′ j+2(x)=xP ′′ j+1(x)+(j+2)P ′ j+1(x). (68) Заметим, что первоначально координатные функ- ции строили на основе полиномиального пред- ставления решения, с удовлетворением граничных условий задачи при z1 =0. Замена в выраже- нии (67) полученных таким образом степенных функций полиномами Лежандра, являющимися их линейной комбинацией, обусловлена тем, что в отличие от степенного базиса, предлагаемые координатные функции позволяют удерживать в разложении (66) достаточно большое количество членов, при котором не нарушается устойчивость вычислительного процесса. Это позволяет полу- чать требуемые результаты с высокой точностью. Подставим разложения (66) в уравнения (64) и (65), для симметрии предварительно умножив первое из них на D, и положим в соотношен- нии (64) δη(z1)=Wi(z1). Ограничиваясь конечным набором постоянных bi (i=1, 2, . . . , n0), получаем однородную алгебраическую систему (A − ω2 B) ~X = 0, (69) в которой вектор-столбец ~X имеет координаты {a1, a2, . . . , am0 , b1, b2, . . . , bn0 }. Обозначим элементы симметричных матриц A и B через αij и βij соответственно. Они определя- ются по следующим формулам: αi,j = l ∫ 0 ( EJ d2Wj dz2 1 d2Wi dz2 1 − −N(z1) dWj dz1 dWi dz1 ) dz1− −mzcD ( dWj dz1 dWi dz1 ) z1=l , i, j=1, 2, . . . , m0; αi,j+m0 =−Dλj ( dWi dz1 ) z1=l , i = 1, 2, . . . , m0, j = 1, 2, . . . , n0; αi+m0,j+m0 =Dµiσ 2 i δij , i, j=1, 2, . . . , n0; (70) βi,j =D l ∫ 0 ρ1 ρ FWjWidz1+ +D [ mzc ( Wj dWi dz1 + dWj dz1 Wi ) + +I dWj dz1 dWi dz1 +mWiWj ] z1=l , i, j=1, 2, . . . , m0; βi,j+m0 =D ( λjWi − λ0j dWi dz1 ) z1=l , i=1, 2, . . . , m0, j=1, 2, . . . , n0; βi+m0,j+m0 =Dµiδij , i, j=1, 2, . . . , n0. (71) Здесь δij – символ Кронекера; элементы матриц, лежащие ниже главных диагоналей, находим из условий симметрии. Таким образом, определение частот и форм собственных колебаний системы “стержень – резервуар – жидкость” свелось к решению обоб- щенной алгебраической задачи на собственные значения (69). Предложенный подход применим для осесимметричных стержней с переменными упруго-массовыми характеристиками. 5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Пусть тонкостенный стержень, к верхнему тор- цу которого прикреплен цилиндрический резерву- ар, – однородный и имеет цилиндрическую фор- му. Введем следующие обозначения: r0 и δ – ра- диус и толщина стержня; a=r0/R0 – радиус стер- жня, отнесенный к радиусу резервуара; l1 = l/r0, δ1 =δ/r0 – длина и толщина стержня, отнесенные к его радиусу. Выберем в качестве характерно- го линейного размера рассматриваемой механиче- ской системы радиус резервуара R0. Безразмер- ные площадь поперечного сечения, его экватори- альный момент инерции и коэффициент D (фор- мулы (49)) представим в следующем виде: F = 2πa2δ1, J = πa4δ1, D = D1 1 πa4δ1 , D1 = ρgR0 E0 . Приведем некоторые результаты расчетов соб- ственных колебаний рассматриваемой механиче- ской системы, иллюстрирующие эффективность В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 63 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 Табл. 1. Значения частот ωi связанных колебаний рассматриваемой системы при h=1, l1 =20 в зависимости от числа членов m0 и n0 в разложениях (66) и (12) соответственно m0 ω1 ω2 ω3 ω4 ωn0+1 ωn0+2 ωn0+3 n0 = 1 3 1.3086905 6.8813844 84.34535 0.0000000 4 1.3086905 6.8813577 84.20592 301.67328 5 1.3086905 6.8813575 84.14868 299.39230 6 1.3086905 6.8813575 84.14739 296.54805 7 1.3086905 6.8813575 84.14727 296.49416 8 1.3086905 6.8813575 84.14727 296.46383 9 1.3086905 6.8813575 84.14727 296.46365 10 1.3086905 6.8813575 84.14727 296.46360 n0 = 2 3 1.3086864 2.3069021 6.9330735 84.87793 0.0000000 4 1.3086864 2.3069021 6.9330459 84.73512 305.50586 5 1.3086864 2.3069021 6.9330457 84.67563 303.38190 6 1.3086864 2.3069021 6.9330457 84.67431 300.29854 7 1.3086864 2.3069021 6.9330457 84.67418 300.24745 8 1.3086864 2.3069021 6.9330457 84.67418 300.21354 9 1.3086873 2.3069021 6.9330457 84.67418 300.21336 10 1.3086864 2.3069021 6.9330457 84.67418 300.21330 n0 = 3 3 1.3086859 2.3069007 2.9207033 6.9459150 85.03830 0.0000000 4 1.3086859 2.3069007 2.9207033 6.9458872 84.89454 306.55349 5 1.3086859 2.3069007 2.9207033 6.9458870 84.83435 304.47495 6 1.3086859 2.3069007 2.9207033 6.9458870 84.83303 301.32484 7 1.3086863 2.3069007 2.9207032 6.9458870 84.83290 301.27459 8 1.3086864 2.3069007 2.9207032 6.9458870 84.83290 301.23966 9 1.3086864 2.3069006 2.9207032 6.9458870 84.83290 301.23949 10 1.3086864 2.3069006 2.9207032 6.9458870 84.83290 301.23949 n0 = 4 3 1.3086858 2.3069004 2.9207026 3.4207562 6.9511865 85.10640 0.0000000 4 1.3086858 2.3069004 2.9207026 3.4207562 6.9511586 84.96226 306.98395 5 1.3086858 2.3069004 2.9207026 3.4207562 6.9511584 84.90177 304.92436 6 1.3086858 2.3069005 2.9207026 3.4207563 6.9511584 84.90045 301.74666 7 1.3086858 2.3069005 2.9207026 3.4207563 6.9511584 84.90032 301.69676 8 1.3086858 2.3069005 2.9207026 3.4207563 6.9511584 84.90032 301.66141 9 1.3086858 2.3069005 2.9207025 3.4207563 6.9511584 84.90032 301.66123 10 1.3086858 2.3069005 2.9207026 3.4207563 6.9511584 84.90032 301.66117 Табл. 2. Значения частот ωn0+1 связанных колебаний рассматриваемой системы при h=1, l1 =20, m0 =10 в зависимости от числа членов n0 в разложениях (66) n0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ωn0+1 6.954 6.955 6.956 6.957 6.959 6.960 6.960 6.960 6.960 6.961 6.962 ωn0+2 84.93 84.96 84.97 84.98 84.98 84.99 84.99 84.99 84.99 85.00 85.00 ωn0+3 301.9 302.0 302.1 302.1 302.1 302.2 302.2 302.2 302.2 302.2 302.2 64 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 0 10 20 30 0 5 10 0 1 2 h l ω 1 а 0 10 20 30 0 5 10 1 2 3 hl ω 2 б 0 10 20 30 0 5 10 2 2.5 3 h l ω 3 в Рис. 2. Поведение частот ωi связанных колебаний системы в зависимости от длины стержня l и глубины заполнения резервуара жидкостью h: а – ω1; б – ω2; в – ω3 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 x 10 −3 z 1 /R 0 η i i=1 2 3 4 5 а 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.3 −0,2 −0,1 0 0,1 0,2 0,3 r/R 0 φ i i=1 2 3 4 5 б Рис. 3. Низшие формы связанных колебаний стержня ηi и жидкости ϕi (i=1, . . . , 5) при h=1 и l1 =20: а – ηi; б – ϕi 0 1 2 3 4 5 6 7 0.5 1 1.5 2 2.5 h ω i σ 1 σ 2 ω 1 ∗ ω 1 ω 2 Рис. 4. Зависимость связанных и парциальных двух низших частот системы от относительной глубины жидкости в резервуаре В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 65 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 предложенного метода решения спектральной за- дачи и влияние колебаний жидкости в резервуа- ре на частоты и формы колебаний системы в це- лом. При расчетах массой резервуара пренебрега- ли. Кроме того, полагалось, что ρ0 ρ = 7.8, D1 = 0.476·10−7, a = 0.5, δ1 = 0.01. Глубина жидкости в резервуаре h и длина стержня l варьировались. В табл. 1 и 2 представлены зависимости ча- стот ωi связанных колебаний жидкости и упругого стержня при h=1 и l1 =20 в зависимости от чис- ла членов m0 и n0 в разложениях (66) и (12). Эти данные свидетельствуют о том, что спектр систе- мы состоит из двух типов частот. К первому из них относятся частоты, которые обусловлены в основ- ном колебаниями жидкости на свободной поверх- ности. Эти частоты будем называть частотами “преимущественно волновых колебаний”. Ко вто- рому типу будем относить частоты, которые об- условлены в основном упругими и инерционными свойствами стержня и прикрепленной на его тор- це массы жидкости, занимающей конечный объем. В данном примере при n0≤15 частоты второго ти- па начинаются с ωn0+1. С увеличением n0 частоты первого и второго типов начинают перемежаться. Расчеты показывают, что для получения младших частот ωk первого типа с точностью до пяти зна- чащих цифр необходимо положить n0 =k+1 при удержании m0 =10 членов в разложении (66). Для получения трех частот второго типа с такой же точностью при m0 =10 необходимо удерживать до 30 членов в разложении (12). Увеличение длины стержня не приводит к ухудшению установленной скорости сходимости решений. Поведение первых трех низших частот ωi свя- занных колебаний системы в зависимости от дли- ны стержня l и глубины жидкости в резервуаре h, отнесенных к R0, показано на рис. 2. На рис. 3 представлены низшие формы связанных колеба- ний стержня ηi и жидкости ϕi (i=1, . . . , 5), по- лученные при h=1 и l1 =20. Графики показыва- ют, что первым пяти формам колебаний свободной поверхности, соответствующим “преимущественно волновым колебаниям жидкости”, отвечают коле- бания стержня по его первой форме с различными амплитудными значениями. Высшие формы коле- баний стержня проявляются на втором типе ча- стотного спектра системы. Далее рассмотрим два спектра частот: {σi} и {ω∗ i }. Первый из них совпадает с набором соб- ственных частот системы при абсолютно жесткой опоре, а второй представляет собой частоты коле- баний упругого стержня с присоединенным к не- му резервуаром конечных размеров, поверхность жидкости в котором закрыта жесткой крышкой. Такие частоты можно получить из алгебраической системы (69), положив в ней n0 =0. В этом слу- чае исходная система с n=n0+m0 степенями сво- боды после наложения на нее n0 связей переходит в систему с m0 степенями свободы. Введение ча- стот {σi} и {ω∗ i } соответствует разделению исхо- дной механической системы на две подсистемы, называемые парциальными системами. Понятие о парциальных системах позволяет сформулировать некоторые общие выводы о влиянии параметров системы на ее собственные частоты. Один из них можно выразить в виде неравенств ωi ≤ ω∗ i ≤ ωi+n0 , i = 1, 2 . . .m0, т. е. парциальные частоты всегда лежат в интерва- ле, ограниченном частотами связанной системы. Более подробную информацию о поведении свя- занных и парциальных частот в зависимости от безразмерной глубины жидкости в резервуаре да- ет рис. 4. Результаты расчетов получены для стер- жня, относительная длина которого равна l1 =30. Сплошные линии на рисунке соответствуют двум низшим частотам связанных колебаний системы ω1 и ω2, а штриховые – парциальным частотам σ1 и σ2. Здесь же штрих-пунктирной линией обозна- чена зависимость парциальной частоты ω∗ 1 от па- раметра h. Численные значения этих частот для некоторых значений h приведены в табл. 3. Из графика и таблицы видно, что отсутствие связан- ности между парциальными системами достигае- тся в данном примере при h<1. При этом низ- шие частоты связанных колебаний системы близ- ки к частотам σ1 и σ2 первой парциальной систе- мы. Если h→0, то ω∗ 1 стремится к частоте колеба- ний стержня с одним защемленным и другим сво- бодным торцом. Слабая связанность между пар- циальными частотами наблюдается при h>5. Для этого случая первая частота системы ω1 близка к первой частоте ω∗ 1 второй парциальной системы. В то же время, при близости парциальных частот между собой связанные частоты заметно отлича- ются от их значений. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Построена общая математическая модель ди- намики упругих стержней, несущих резервуа- ры, частично заполненные жидкостью. 2. Разработан вариационный метод решения спектральной задачи, описывающей свобод- 66 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 51 – 67 Табл. 3. Значения связанных и парциальных частот системы при некоторых безразмерных глубинах жидкости в резервуаре h ω1 ω2 σ1 σ2 ω∗ 1 ω∗ 2 0.2 0.8007 2.0454 0.8056 2.0498 5.8171 43.908 0.6 1.1831 2.2972 1.2153 2.3051 3.8676 39.627 1.0 1.2735 2.2999 1.3232 2.3089 3.0533 37.927 1.4 1.2926 2.2969 1.3491 2.3090 2.5742 36.750 1.8 1.2950 2.2867 1.3551 2.3090 2.2477 35.573 2.2 1.2929 2.2046 1.3565 2.3090 2.0060 34.165 2.6 1.2886 1.9985 1.3568 2.3090 1.8173 32.457 3.0 1.2820 1.8219 1.3569 2.3090 1.6645 30.489 3.4 1.2716 1.6826 1.3569 2.3090 1.5374 28.368 3.8 1.2552 1.5748 1.3569 2.3090 1.4295 26.224 4.2 1.2298 1.4951 1.3569 2.3090 1.3364 24.161 4.6 1.1934 1.4411 1.3569 2.3090 1.2551 22.249 5.0 1.1481 1.4076 1.3569 2.3090 1.1833 20.517 ные колебания стержня и прикрепленного к его верхнему торцу резервуара с жидкостью. 3. Анализ полученных решений свидетельствует об эффективности предложенного алгоритма. Следует подчеркнуть, что рассматриваемая математическая модель имеет смысл только для низших форм поперечных колебаний, по- скольку при повышении частоты собственных колебаний системы утрачивают силу допуще- ния, используемые при описании колебаний стержня. 4. Расчеты показывают, что эффект волновых движений жидкости в резервуаре при его по- перечных колебаниях может быть весьма су- щественным и в общем случае нельзя им пре- небрегать. 1. Sweedan A. M. I. Equivalent mechanical model for seismic forces in combined tanks subjected to vertical earthquake excitation // Thin-Wall. Struct.– 2009, 47.– P. 942–952. 2. Dutta S., Mandal A., Dutta S.C. Soilstructure interaction in dynamic behaviour of elevated tanks with alternate frame staging configurations // J. Sound Vib.– 2004, 277.– P. 825–853. 3. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твер- дого тела с полостями, частично заполненными жидкостью.– М.: Машиностроение, 1968.– 532 с. 4. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в ди- намике космических аппаратов.– М.: Машиностро- ение, 1978.– 148 с. 5. Нариманов Г. С. О движении твердого тела, по- лость которого частично заполнена жидкостью // Прикладная математика и механика.– 1956.– 20, N 1.– С. 21–38. 6. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость.– М.: Наука, 1965.– 439 с. 7. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теорети- ческая гидромеханика: том 1.– М.: Гостехиздат, 1948.– 535 с. 8. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Методы определения присоединен- ных масс жидкости в подвижных полостях.– К.: Наук. думка, 1969.– 250 с. 9. Forsberg K. Axisymmetric and beam-type vibrati- ons of thin cylindrical shells // AIAA J.– 1969, 2.– P. 221–227. 10. Trotsenko Yu. V. Frequencies and modes of vibrati- on of a cylindrical shell with attached rigid body // J. Sound Vib.– 2006, 292.– P. 535–551. 11. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем.– М.: Физ.-мат. л-ра, 1963.– 880 с. 12. Троценко В. А. Колебания жидкости в подвижных полостях с перегородками.– К.: Ин-т мат. НАН Украины, 2006.– 320 с. В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 67

Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном конце резервуар с жидкостью

Репозитарії

Схожі ресурси