Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства

На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде, проанализировано отражение-прохождение волн от границы жидкости и пористо-упругого полупространства. Найдено распределение энергии падающей волны между отраженными и прошедшими вол...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Городецкая, Н.С., Соболь, Т.В., Косовец, Л.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79824
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь, Л.И. Косовец // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 2. — С. 24-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79824
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-798242015-04-06T03:02:05Z Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Косовец, Л.И. На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде, проанализировано отражение-прохождение волн от границы жидкости и пористо-упругого полупространства. Найдено распределение энергии падающей волны между отраженными и прошедшими волнами. Качественные различия в рассматриваемом процессе для проницаемой и непроницаемой границы наблюдались, если медленная продольная волна переносила не менее 2% энергии падающей волны. Для вертикальной компоненты среднего за период потока мощности справедлив принцип суперпозиции по энергии. Он заключается в том, что энергия, приносимая на границу падающей волной, равна сумме энергий, переносимых отраженными и прошедшими волны. Неоднородная волна не переносит энергию в направлении, перпендикулярном границе. Вдоль границы полупространства принцип суперпозиции по энергии не выполняется. На базi теорiї Бiо, яка передбачає iснування трьох типiв хвиль у пористо-пружному насиченому рiдиною середовищi, проаналiзовано вiдбиття-проходження хвиль на межi рiдини й пористо-пружнього пiвпростору. Знайдено розподiл енергiї падаючої хвилi мiж вiдбитими хвилями i хвилями, що пройшли. Якiснi вiдмiнностi в розглянутому процесi для проникної й непроникної меж спостерiгалися за умови, що повiльна повздовжня хвиля переносила не менш, нiж 2% енергiї падаючоi хвилi. Для вертикальної компоненти середнього за перiод потоку потужностi працює принцип суперпозицiї по енергiї. Вiн полягає у тому, що енергiя, яку приносить на межу падаюча хвиля, дорiвнює сумi енергiй, яку переносять вiдбитi хвилi та хвилi, що пройшли. Неоднорiдна хвиля не переносить енергiю в напрямку, перпендикулярному межi. Уздовж межi принцип суперпозицiї не виконується. Wave reflection-transmission on the interface of the fluid and porous-elastic meduim has been analyzed on the basis of the Biot theory, predicting the existence of three kinds of bulk waves in the porous-elastic fluid-saturated medium. Energy distribution of the incident wave between the reflected and transmitted waves has been found. For the interfaces with open and close boundary pores, the qualitative distinctions in the considered process are observed in the case when the slow longitudinal wave transfers over 2% of energy of the incident wave. For vertical components of a period-averaged energy flux, the principle of superposition on energy is valid. It consists in equality of energy of the incident wave and sum of energies of the reflected and transmitted waves. The evanescent wave does not transfer the energy deep into the medium. The principle of superposition is not valid along the boundary. 2008 Article Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь, Л.И. Косовец // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 2. — С. 24-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79824 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде, проанализировано отражение-прохождение волн от границы жидкости и пористо-упругого полупространства. Найдено распределение энергии падающей волны между отраженными и прошедшими волнами. Качественные различия в рассматриваемом процессе для проницаемой и непроницаемой границы наблюдались, если медленная продольная волна переносила не менее 2% энергии падающей волны. Для вертикальной компоненты среднего за период потока мощности справедлив принцип суперпозиции по энергии. Он заключается в том, что энергия, приносимая на границу падающей волной, равна сумме энергий, переносимых отраженными и прошедшими волны. Неоднородная волна не переносит энергию в направлении, перпендикулярном границе. Вдоль границы полупространства принцип суперпозиции по энергии не выполняется.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Косовец, Л.И.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Косовец, Л.И. Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства Акустичний вісник
author_facet	Городецкая, Н.С. Соболь, Т.В. Косовец, Л.И.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства
title_short	Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства
title_full	Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства
title_fullStr	Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства
title_full_unstemmed	Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства
title_sort	отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79824
citation_txt	Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства / Н.С. Городецкая, Т.В. Соболь, Л.И. Косовец // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 2. — С. 24-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns otraženievolnotgranicyrazdelažidkostiiporistouprugogonasyŝennogožidkostʹûpoluprostranstva AT sobolʹtv otraženievolnotgranicyrazdelažidkostiiporistouprugogonasyŝennogožidkostʹûpoluprostranstva AT kosovecli otraženievolnotgranicyrazdelažidkostiiporistouprugogonasyŝennogožidkostʹûpoluprostranstva
first_indexed	2025-07-06T03:47:36Z
last_indexed	2025-07-06T03:47:36Z
_version_	1836867814221152256
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 УДК 539.3 ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТИ И ПОРИСТО-УПРУГОГО НАСЫЩЕННОГО ЖИДКОСТЬЮ ПОЛУПРОСТРАНСТВА Н. С. Г ОР О Д ЕЦ К АЯ, Т. В. СОБ О Л Ь, Л. И. К О СО ВЕ Ц Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 02.06.2008 На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жид- костью среде, проанализировано отражение – прохождение волн от границы жидкости и пористо-упругого полупро- странства. Найдено распределение энергии падающей волны между отраженными и прошедшими волнами. Каче- ственные различия в рассматриваемом процессе для проницаемой и непроницаемой границы наблюдались, если медленная продольная волна переносила не менее 2 % энергии падающей волны. Для вертикальной компоненты среднего за период потока мощности справедлив принцип суперпозиции по энергии. Он заключается в том, что энергия, приносимая на границу падающей волной, равна сумме энергий, переносимых отраженными и прошедши- ми волны. Неоднородная волна не переносит энергию в направлении, перпендикулярном границе. Вдоль границы полупространства принцип суперпозиции по энергии не выполняется. На базi теорiї Бiо, яка передбачає iснування трьох типiв хвиль у пористо-пружному насиченому рiдиною середовищi, проаналiзовано вiдбиття– проходження хвиль на межi рiдини й пористо-пружнього пiвпростору. Знайдено розподiл енергiї падаючої хвилi мiж вiдбитими хвилями i хвилями, що пройшли. Якiснi вiдмiнностi в розглянутому процесi для проникної й непроникної меж спостерiгалися за умови, що повiльна повздовжня хвиля переносила не менш, нiж 2 % енергiї падаючоi хвилi. Для вертикальної компоненти середнього за перiод потоку потужностi працює принцип суперпозицiї по енергiї. Вiн полягає у тому, що енергiя, яку приносить на межу падаюча хвиля, дорiвнює сумi енергiй, яку переносять вiдбитi хвилi та хвилi, що пройшли. Неоднорiдна хвиля не переносить енергiю в напрямку, перпендикулярному межi. Уздовж межi принцип суперпозицiї не виконується. Wave reflection-transmission on the interface of the fluid and porous-elastic meduim has been analyzed on the basis of the Biot theory, predicting the existence of three kinds of bulk waves in the porous-elastic fluid-saturated medium. Energy distribution of the incident wave between the reflected and transmitted waves has been found. For the interfaces with open and close boundary pores, the qualitative distinctions in the considered process are observed in the case when the slow longitudinal wave transfers over 2 % of energy of the incident wave. For vertical components of a period-averaged energy flux, the principle of superposition on energy is valid. It consists in equality of energy of the incident wave and sum of energies of the reflected and transmitted waves. The evanescent wave does not transfer the energy deep into the medium. The principle of superposition is not valid along the boundary. ВВЕДЕНИЕ Описание процесса отражения и прохождения волн на границе раздела жидкости и пористо- упругой насыщенной жидкостью среды важно не только с точки зрения решения прикладных за- дач подводной акустики, сейсмологии, неразруша- ющего контроля, но и для понимания особенно- стей волновых процессов на границе раздела одно- фазной и двухфазной сред. На сегодняшний день приведенные в специальной литературе данные неполны, а большинство из них получено только для специальных случаев. Работа [1] была одной из первых, где для описа- ния отражения волн от свободной границы исполь- зовалась теория Био. Условия на границе конта- кта пористо-упругой среды с вакуумом или жид- костью обсуждались в [2], где были сформулиро- ваны соответствующие типы граничных условий. В статье [3] на основе этой теории проанали- зирован процесс отражения волн, падающих из жидкости на границу раздела жидкость – пористо- упругое полупространство (рассматривалась мяг- кая пористо-упругая среда с большой пористо- стью). При этом учитывались потери в скелете и вязкость поровой жидкости, а основное вни- мание уделялось влиянию затухания на процесс отражения– прохождения волн. Показано, что су- ществуют качественные различия между отраже- нием и прохождением плоских волн на границах типа жидкость – вязкоупругая среда и жидкость – пористо-упругая среда, насыщенная вязкой жид- костью. Вязкие потери в поровой жидкости игра- ют значительную роль и обуславливают часто- тную зависимость коэффициентов прохождения. Следует отметить, что здесь рассматривался толь- ко случай отражения от границы с открытыми порами. Кроме того, энергетический анализ про- водился только для отраженного и прошедшего полей без количественной оценки распределения энергии падающей волны между различными ти- пами прошедших волн. В статье [4] анализировалось влияние часто- тно зависимой функции, определяемой характе- 24 c© Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец, 2008 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 ром движения жидкости по порам упругого ске- лета, на коэффициенты отражения– прохождения на границе раздела жидкости и пористо-упругой среды. Были получены количественные данные, подтверждающие, что коэффициенты отражения и прохождения существенно изменяются с часто- той. В работе [5] исследовалось отражение волны, па- дающей под углом на границу жидкость – пористо- упругое полупространство для граничных усло- вий общего типа (открытые или закрытые поры). Рассматривалось падение волны как из жидкости, так и из пористо-упругого полупространства. Дис- сипативные эффекты в средах не учитывались. Основное внимание уделялось изучению влияния типа граничных условий на распределение энер- гии между различными типами волн в отражен- ном и прошедшем полях. При этом процесс отра- жения – прохождения рассматривался только для конкретных сред, а зависимости процесса от пара- метров пористой среды не анализировались. В статье [6] получены асимптотические выраже- ния для коэффициентов отражения и прохожде- ния на границе раздела пористо-упругой и жид- кой сред при условии, что скелет – абсолютно жесткий. Экспериментальные данные об отраже- нии волн на границе жидкости и пористо-упругой среды [7] хорошо согласуются с теоретическими. В данной работе в рамках теории Био изучен процесс отражения– прохождения плоских волн на границе раздела жидкости и пористо-упругого полупространства. Рассмотрены как проницаемая, так и непроницаемая граница. При этом основное внимание уделено анализу влияния параметров пористо-упругой среды на распределение энергии падающей волны между отраженными и прошед- шими волнами. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются два полупространства с общей границей, совпадающей с плоскостью z=0. Вол- новое движение считается плоским (все его хара- ктеристики не зависят от координаты y). Верх- нее полупространство заполнено жидкостью, а ни- жнее – пористо-упругой насыщенной жидкостью средой. Жидкость описывается следующими хара- ктеристиками: ρ (1) f – плотность, K (1) f – модуль все- стороннего сжатия (всем величинам, относящимся к верхнему полупространству, присвоен верхний индекс (1)). Пористо-упругая насыщенная жидко- стью среда описывается в рамках модели Био. В пористо-упругом полупространстве векторы сме- щений упругого скелета u и жидкости v удовле- творяют уравнению движения для упругой и жид- кой фаз с учетом их взаимодействия [8]: µ∆u+ (H − µ) grad divu −C grad divw = = ρ ∂2u ∂t2 − ρf ∂2w ∂t2 , C graddivu −M grad divw = = ρf ∂2u ∂t2 − αρf m ∂2w ∂t2 − F ∂w ∂t . (1) Компоненты тензора напряжений в пористо- упругой среде имеют вид [1] τij = 2µeij+ +[(H − 2µ−Cm)e− (C −mM)ζ]δij , σf = m(Ce−Mζ), τij = σs ij + σf , ζ = divw, e = divu. (2) Здесь eij – тензор деформаций; τij – тензор на- пряжений, приложенных к пористо-упругой среде; σs ij – тензор напряжений, приложенных к упруго- му скелету; σf =−mpf ; pf – давление жидкости в порах упругого скелета; δij – символ Кронекера; m – пористость; w=m(u−v). Величины H , C, M – это коэффициенты, опре- деляемые через характеристики среды: H = (Ks −Kb) 2 D −Kb +Kb + 4µ 3 , M = K2 s D−Kb , C = Ks(Ks −Kb) D−Kb , D = Ks [ 1 +m ( Ks Kf − 1 )] . (3) Здесь ρs – плотность упругого скелета; Ks – мо- дуль всестороннего сжатия упругого скелета; ρf – плотность поровой жидкости, Kf – модуль всесто- роннего сжатия поровой жидкости; Kb – модуль всестороннего сжатия пористой среды; µ – модуль сдвига пористой среды; α – извилистость. Величи- на α определяет коэффициент динамической свя- зи упругого скелета и жидкости: ρ12 = (1 − α)ρfm < 0. Средняя плотность ρ связана с плотностями упру- гого скелета и жидкости соотношением ρ = (1 −m)ρs +mρf . Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец 25 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 Диссипативный член в уравнении (1) имеет структуру F =f(ω)ρf νf/Kpr, где νf – кинематиче- ская вязкость поровой жидкости; Kpr – проницае- мость; f(ω) – частотно-зависимая функция, опре- деляемая характером движения жидкости по по- рам упругого скелета: f = kT (k) 4(1 − 2T (k)/ik) , k = a2 √ ω νf , T (k) = ber′(k) + ibei′(k) ber(k) + ibei(k) . (4) Функции ber(k), bei(k) – действительная и мни- мая части функций Кельвина; ω – круговая ча- стота, a2 – структурный коэффициент. Параметр a2 имеет размерность длины, зависит от размера и формы пор. Его величина определяется экспе- риментально. В работе [8] a2 задан в виде a2 = η √ Kpr m , (5) где η – коэффициент, учитывающий геометрию пор. Согласно последним экспериментам, прове- денным на ансамбле сфер, η=3.2 [9]. Для полноты постановки задачи необходимо за- дать условия сопряжения полупространств, т. е. дать математическую формулировку характера взаимодействия сред на границе. Начиная с рабо- ты [1] (см. также [3,5,10]), условия сопряжения для контакта жидкость – пористо-упругая среда на по- верхности z=0 принято выражать через: • непрерывность нормальных напряжений σs zz(x, 0) + σf = −p(1); (6) • отсутствие касательных напряжений σs zx(x, 0) = 0; (7) • равенство объемов жидкости, протекающей через границу (1 −m) ∂uz(x, 0) ∂t +m ∂vz(x, 0) ∂t = ∂v (1) z (x, 0) ∂t ; (8) • линейное соотношение между скачком дав- ления и нормальной компонентами скорости жидкости в пористо-упругой среде k ( ∂v (1) z (x, 0) ∂t − ∂uz(x, 0) ∂t ) = p(1) − pf , (9) где p(1) и v(1) – соответственно, давление и смещение в жидком полупространстве, а па- раметр k – коэффициент сопротивления, ко- торый характеризует граничную поверхность пористой среды. Случай открытых пор k=0 соответствует беспре- пятственному обмену жидкостью на границе. То- гда уравнение (9) принимает вид p(1) = pf . (10) Для случая полностью закрытых пор k=∞. Тогда уравнение (9) может быть представлено как vz(x, 0) = uz(x, 0). (11) Промежуточные случаи конечных значений k>0 соответствуют ограниченному обмену жидкостью. Для пористо-упругой среды векторы смещения жидкости в порах и упругом скелете могут быть выражены через скалярный и векторный потенци- алы: u = ∇φs + rot ψs, div ψs = 0, v = ∇φf + rot ψf , div ψf = 0. (12) При этом, согласно [8], скалярный потенциал до- пускает представление φs = φ0 + φ1. (13) Функции φj определяются как решения уравнений Гельмгольца ∆φj + k2 jφj = 0, k2 j = ω2 c2 sj , j = 0, 1. (14) Здесь sj – корень квадратного уравнения A1s 2 j −B1sj +C1 = 0, j = 0, 1 (15) с коэффициентами A1 = q22q11 − q212, C1 = Γ11Γ22 − Γ2 12 + iΓ, B1 = q11Γ22 + q22Γ11 − 2q12Γ12 + iΓ, при записи которых использованы обозначения q11 = H − 2Cm+Mm2 H , q22 = Mm2 H , q12 = Cm−Mm2 H , c2 = H ρ , ρ11 = (1 −m)ρs − ρ12, ρ22 = mρf − ρ12, Γij = ρij ρ , Γ = m2ρfνf Kprρω . 26 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 Для потенциала φf справедливо уравнение φf = M0φ0 +M1φ1 с коэффициентами Mj = Γ11q22−Γ12q12−A1sj +(q22+q12)iΓ Γ22q12−Γ12q22+(q22+q12)iΓ , j = 0, 1. (16) Векторный потенциал ψs удовлетворяет уравне- нию Гельмгольца ∆ψs + k2 2ψs = 0, k2 2 = ω2ρ µ [ Γ11 +M2Γ12 + (1 −M2)iΓ ] (17) и соотношению ψf = M2ψs, M2 = −Γ12 + iΓ Γ22 + iΓ . (18) Вектор смещения в жидком полупространстве представим через соответствующий скалярный по- тенциал: v(1) = ∇φ(1). (19) 2. ОТРАЖЕНИЕ – ПРОХОЖДЕНИЕ ОБЪ- ЕМНЫХ ВОЛН БЕЗ УЧЕТА ДИССИПАЦИИ Рассмотрим отражение объемных волн от гра- ницы раздела жидкого и пористо-упругого полу- пространств без учета затухания в среде. Если диссипация в пористо-упругом полупространстве не учитывается, то νf =0, а H , µ, C, M – действи- тельные коэффициенты. Пусть из пористо-упругого полупространства падает быстрая продольная волна, которая опи- сывается потенциалом φ(1) = Ã1e i(ξ̃x+α̃1z)e−iωt, α̃1 = √ k2 1 − ξ̃2. (20) Здесь ξ̃=k1 cos γ – волновое число падающей вол- ны; γ – угол падения; k1 =ω/c1. Геометрия задачи показана на рис. 1. В соответствии с возможностью существования трех типов волн в пористо-упругой среде, отра- женное поле запишем как сумму быстрой и ме- дленной продольных волн, а также поперечной z x 0 2 3 Pf P1 P0 P1 SV 1 Рис. 1. Геометрия задачи волны с потенциалами φ0 = A0e i(ξ0x−α0z)e−iωt, φ1 = A1e i(ξ1x−α1z)e−iωt, ψ1 = Bei(ξ2x−α2z)e−iωt, αi = √ k2 i − ξ2i , ξi = ki cos θi, i = 0, 1, 2. (21) В жидком полупространстве существует прошед- шая волна φ(1) = Dei(ξ3x+α3z)e−iωt, k3 = ω/c (1) f , c (1) f = √ K (1) f /ρ (1) f , α3 = √ k2 3 − ξ23 , ξ3 = k3 cos θ3. (22) Из граничных условий следует связь между углами падения и отражения (закон Снеллиуса): k1 cos γ = k3 cos θ3 = k0 cos θ0 = = k1 cos θ1 = k2 cos θ2, ξ̃ = ξ3 = ξ0 = ξ1 = ξ2 = ξ. (23) Таким образом, угол отражения быстрой продоль- ной волны равен ее углу падения, а углы отражен- ных медленной продольной и поперечных волн и прошедшей волны в жидкость определяются соо- тношениями (23). Выполнение условий (6) – (8) для открытых пор (проницаемая граница, случай (10)) приводит к Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец 27 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 системе алгебраических уравнений α0(1 −mm0)A0 + α1(1 −mm1)A1− ξ(1 −mm2)B + α3D = α1(1 −mm1)Ã1, α0ξA0 + α1ξA1 + βB = α1ξÃ1, τ0A0 + τ1A1 − α2ξB − ρ (1) f ω2 2µ D = −τ1Ã1, r0k 2 0A0 + r1k 2 0A1 − mρ (1) f ω2 2µ D = −r1k 2 1Ã1. (24) При выполнении условий (6) – (8) для закрытых пор (непроницаемая граница, случай (11)) первые три уравнения системы (24) сохраняются, а че- твертое принимает вид α0m0A0 + α1m1A1 − ξm2B = α1m1Ã1. (25) Здесь τj = αj + H − 2µ−mjCm 2µ k2 i ; mi = 1 −Mi; rj = Cm−m2Mmj 2µ ; β = k2 2 2 − ξ2; i = 0, 1, 2; j = 0, 1. Несмотря на кажущуюся простоту соотно- шений (24) и (25), аналитическое исследова- ние специфических случаев процесса отражения– прохождения представляет значительные труд- ности. Имеется в виду определение условий, при которых наблюдается полное сохранение типа дви- жения (в отраженном поле существует только вол- на того же вида, что и падающая) или полная трансформация типа движения (в отраженном по- ле отсутствует волна, имеющая тот же типа, что и падающая). Такое исследование будет проведе- но в дальнейшем численными методами. Здесь же отметим, что, как и при отражении от свободной границы пористо-упругого полупространства [11], медленная продольная и поперечная волны выро- ждаются при скользящем падении (α1=0). При нормальном падении (ξ=0) на проницаемую или непроницаемую границы в отраженном поле пол- ностью вырождается только поперечная волна. Медленная продольная волна и волна, прошедшая в жидкое полупространство, существуют при лю- бых параметрах пористой среды. При падении на границу медленной продольной или поперечной волны, приходящей из пористо- упругого полупространства, или при падении вол- ны из жидкости ситуация существенно меняется, поскольку здесь падающая волна распространя- ется медленнее одной (быстрой продольной) или нескольких объемных волн. В этом случае про- цесс отражения– прохождения невозможно истол- ковать в рамках лучевых представлений для всех углов падения. Так, при определенных значениях угла падения углы для быстрой продольной волны θ1 становятся чисто мнимыми и она превращается в неоднородную. Это происходит для углов паде- ния, меньших критического угла для быстрой про- дольной волны: • cos γ=c2/c1 – при падении поперечной волны; • cos γ=c0/c1 – при падении медленной про- дольной волны; • cos γ=c (1) f /c1 – при падении волны из жидко- сти. Для указанных углов процесс отражения может быть проанализирован количественно на основа- нии решения систем (24), (25), с учетом того, что α1 = i √ k2 2 cos γ − k2 1 . Пусть на границу раздела падает поперечная волна из пористо-упругого полупространства. То- гда, в зависимости от параметров среды, для ме- дленной продольной волны возможны следующие варианты: 1) ее скорость меньше скорости поперечной вол- ны (c0<c2) и медленная продольная волна при всех углах падения остается распростра- няющейся; 2) ее скорость превышает скорость поперечной волны (c0>c2) и при определенных углах па- дения медленная продольная волна станови- тся неоднородной. В этом случае количественные оценки можно по- лучить из соотношений (24), (25) учитывая, что α0 = i √ k2 2 cos γ − k2 0 . Отметим, что неравенство c1>c0 справедливо все- гда. Поэтому существует диапазон углов падения поперечной волны, при которых медленная про- дольная волна остается распространяющейся, а быстрая – уже неоднородная. Для прошедшей в жидкое полупространство волны справедливы аналогичные рассуждения: если cf >c2, то при определенных углах падения поперечной волны прошедшая волна становится 28 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 неоднородной. В этом случае в соотношениях (24), (25) нужно принять α3 = i √ k2 2 cos γ − k2 3 . Если угол падения поперечной волны меньше кри- тического, то амплитуды отраженных и прошед- шей волн становятся комплексными, т. е. суще- ствует сдвиг фаз между силами, действующими на упругий скелет, и вектором его перемещений u, а также силами, действующими на поровую жид- кость, и вектором ее перемещений v (то же – для жидкого полупространства). Подобный анализ можно провести для случаев падения медленной продольной волны или волны из жидкости. Отметим также, что при изменении типа падающей волны в системах уравнений (24) и (25) меняется только правая часть. 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Исследование волновых процессов будет непол- ным без изучения их энергетических характери- стик. Рассмотрим распределение потока мощности падающей волны между различными объемными волнами. Компоненты вектора плотности потока мощности в пористо-упругой насыщенной жидко- стью среде определяются соотношением [5] Pi = −σs ijuj − σfδijvj . Для гармонических процессов, как правило, опе- рируют величиной Pj, усредненной за период T =2π/ω: P̃i = 1 T T∫ 0 Pidt = − iω 4 ( σs iju ∗ j − σs∗ ij uj+ +σf δijv ∗ j − σf∗δijvj ) . Индекс ∗ означает комплексное сопряжение. Для рассматриваемого двумерного случая ком- поненты среднего потока мощности можно запи- сать как P̃x = − iω 4 ( σs xxu ∗ x − σs∗ xxux + σs xzu ∗ z− −σs∗ xzuz + σfv∗x − σf∗vx ) , P̃z = − iω 4 ( σs zzu ∗ z − σs∗ zzuz + σs xzu ∗ x− −σs∗ xzux + σfv∗z − σf∗vz ) . (26) В жидком полупространстве поток мощности име- ет вид P (1) z =− iω 4 [ p(1) ( −iωv(1) z ) ∗ −p(1)∗ ( −iωv(1) z )] , P (1) x =− iω 4 [ p(1) ( −iωv(1) x )∗ −p(1)∗ ( −iωv(1) x )] . (27) В случае падения на проницаемую или непрони- цаемую границу раздела быстрой продольной вол- ны получаем P̃z = ωµ 2 ( H µ [ Λ1α1(Ã2 1 −A2 1) − Λ0α0A 2 0 ] − −α2k 2 2B 2 − ρ (1) f ω2 µ α3D 2 ) , Λi = k2 i (q11 + 2q12Mi + q22M 2 i ). (28) Поскольку в выражение (28) не входят слагае- мые с перекрестными произведениями A0, A1, B и D, то z-компонента среднего за период пото- ка мощности в направлении z определяется сум- мой потоков мощностей, которые уносятся отдель- ными волнами. Следовательно, в этом направле- нии справедлив принцип суперпозиции средних потоков мощности, переносимых разными типа- ми волн, и равенство (28) выражает закон сохра- нения энергии. Вдоль границы компонента сре- днего за период вектора потока мощности имеет иную структуру и принцип суперпозиции по по- току мощности к ней не применим, поскольку в соответствующее выражение входят слагаемые с перекрестными произведениями. Кроме того, x- компонента вектора потока мощности зависит от z, т. е. является направленной величиной. В случае падения медленной продольной или поперечной волны из пористо-упругого полупро- странства, а также волны, приходящей из жидко- го полупространства, при углах падения, меньших критического, в выражении для средней за период плотности потока мощности в глубину (в направ- лении z) следует сделать замены, учитывающие то, что отраженные или прошедшие волны могут стань неоднородными. Например, если падающей является поперечная волна, то при закритических углах для быстрой поперечной волны следует пи- сать α1A 2 1 = α1 + α∗ 1 2 \|A1\| 2 exp (α1 − α∗ 1)z; для углов падения, когда медленная продольная волна становиться неоднородной, – α0A 2 0 = α0 + α∗ 0 2 \|A0\| 2 exp (α0 − α∗ 0)z; Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец 29 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 а для углов, когда прошедшая волна в жидкое по- лупространство становиться неоднородной, – α3D 2 = α3 + α∗ 3 2 \|D\|2 exp (α3 − α∗ 3)z. Для докритических углов падения выполняются равенства α∗ 0 =α0, α ∗ 1 =α1, α ∗ 3 =α3 и все эти вели- чины являются вещественными. Для закритиче- ских углов для быстрой продольной волны полу- чаем α∗ 1 =−α1 (неоднородная быстрая продольная волна энергию в глубину не переносит). Аналогич- ный вывод справедлив и в случаях закритических углов для медленной продольной волны и волны прошедшей в жидкость. Подобные же преобразо- вания следует проводить при падении на границу раздела медленной продольной волны или волны из жидкости. 4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Для более полного описания особенностей отражения волн от границы раздела жидкости и пористо-упругой среды проведенный качествен- ный анализ следует дополнить количественными данными. Для этого приведем рассчитанные рас- пределения энергии падающей волны между раз- личными типами объемных волн для конкретных параметров пористо-упругих сред. При этом осо- бое внимание будет уделено влиянию изменения физических констант среды на энергетические ха- рактеристики отраженного и прошедшего полей. Рассмотрим пористо-упругую среду, для кото- рой α=1.25, ρf =103 кг/м3, Kf =2.25·109 Н/м2, Ks =49.9·109 Н/м2, µ=2.25·109Н/м2, ν=0.24. Считаем, что верхнее полупространство заполне- но жидкостью, обладающей теми же свойствами, что и поровая жидкость (ρf =ρ (1) f , Kf =K (1) f ). 4.1. На границу раздела падает быстрая про- дольная волна из пористо-упругого полупро- странства На рис. 2 представлены распределения норми- рованной энергии Pj/P 0 между различными отра- женными волнами и прошедшей волной при раз- личных углах падения γ. По сути, это – коэффици- енты отражения и прохождения по энергии. Здесь и далее кривые 0 соответствуют медленной про- дольной, 1 – быстрой продольной, 2 – поперечной, а 3 – прошедшей волне. Из графиков видно, что распределение энергии между отраженными волнами сильно зависит от угла падения. С его увеличением коэффициент отражения по энергии для быстрой продольной волны падает, достигая минимума (около 17 % ве- личины P 0) при γ=0.66 для обоих типов грани- чных условий, после чего незначительно возрас- тает. Энергия, переносимая быстрой продольной волной, практически (в пределах 2 %) не зависит от типа граничных условий. Поведение энергии поперечной волны демонстрирует зависимость от типа граничных условий. Ее доля растет с увели- чением угла и достигает максимума – до 25 % энер- гии падающей волны при γ=0.53 для проницае- мой границы, а для непроницаемой – до 30 % при γ=0.47. Медленная продольная волна возбужда- ется незначительно: для проницаемой границы она переносит до 2.5 % энергии, а для непроницаемой – не более 1 %. Коэффициент прохождения для прошедшей волны с увеличением угла падения возрастает. При нормальном падении быстрой продольной волны в верхнее (жидкое) полупространство пе- реходит 64.5 % энергии P 0 для проницаемой гра- ницы и 66.2 % – для непроницаемой границы. Для обоих случаев рассматриваемые энергетиче- ские коэффициенты прохождения близки (отли- чие составляет не более 5 % относительно прони- цаемой границы). Итак, для данных параметров среды тип гра- ничных условий наиболее сильно сказывается на коэффициенте отражения медленной продольной волны. Хотя она возбуждается относительно сла- бо, но для непроницаемой границы коэффициент прохождения по энергии оказывается значительно меньшим, чем для проницаемой. При малых углах падения это отличие компенсируется различной степенью возбуждения поперечной волны для ра- зных типов граничных условий, а при больших (близких к нормальному падению) – неодинако- вым возбуждением прошедшей волны. Аналоги- чное влияние типа граничных условий на распре- деление энергии падающей волны между различ- ными отраженными и прошедшей волной отмеча- лось в работе [5]. Однако при изменении параме- тров среды ситуация может меняться и эффект смены типа граничных условий может будет бо- лее значительным. Рассмотрим влияние пористости на особенности процесса отражения– прохождения волн на грани- це раздела. На рис. 3 представлены распределения энергии падающей волны между отраженными и прошедшей волнами для m=0.5, а на рис. 4 – для m=0.7. Прежде всего отметим, что для вы- бранных величин пористости существуют углы па- дения, при которых наблюдается полное превра- щение типа движения, т. е. амплитуда отражен- ной быстрой продольной волны равна нулю. Для 30 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 0 /4 /2 Pj /P 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 а б Рис. 2. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γ быстрой продольной волны из пористо-упругого полупространства (m=0.2): а – проницаемая граница, б – непроницаемая граница 0 /4 /2 Pj /P 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 а б Рис. 3. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γ быстрой продольной волны из пористо-упругого полупространства (m=0.5): а – проницаемая граница, б – непроницаемая граница 0 /4 /2 Pj /P 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 а б Рис. 4. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γ быстрой продольной волны из пористо-упругого полупространства (m=0.7): а – проницаемая граница, б – непроницаемая граница Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец 31 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 P0 x 104 P2 x 103 Рис. 5. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γ быстрой продольной волны из мягкой среды. Для медленной продольной волны значения увеличены в 10 4, а для поперечной – в 10 3 раз m=0.5 такой угол один, а для m=0.7 их два. В зависимости от типа граничных условий, вели- чины углов, соответствующих полному превраще- нию типа движения, изменяются. При увеличении пористости возрастают отличия в поведении коэф- фициентов отражения– прохождения для различ- ных типов граничных условий. Для случая про- ницаемой границы (см. рис. 3, а, 4, а) значитель- ная часть энергии переносится поперечной вол- ной (кривая 2). Для непроницаемой границы (см. рис. 3, б, 4, б) поперечная волна возбуждается намного слабее, а наиболее энергетически выра- женной оказывается прошедшая волна (кривая 3). Для непроницаемой границы медленная продоль- ная волна возбуждается сильнее, чем для прони- цаемой границы. Таким образом, утверждение о том, что ха- рактер проницаемости слабо влияет на процесс отражения– прохождения волн на границе разде- ла пористо-упругого полупространства и жидко- сти в общем случае некорректно. Рассмотрим влияние модуля сдвига на изу- чаемые процессы. Изменение этого параметра практически важно, поскольку оно характеризу- ет различные типы пористых сред. Мягкие сре- ды, подобные песку, имеют отношение порядка µ/Kf =0.01. Для жестких сред (например, горной породы) типично µ/Kf =10. Для мягких сред на рис. 5 представлено распре- деление энергии падающей волны между отражен- ными и прошедшей волной для m=0.3 в случае проницаемой границы. Из графика следует, что медленная продольная и поперечная волны при 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0z 0 1z 12z 2 3z 3 Рис. 6. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γ быстрой продольной волны из жесткой среды. Индексы z соответствуют непроницаемой границе отражении от границы раздела быстрой продоль- ной волны практически не возбуждаются. Таким образом, процесс отражения– прохождения прак- тически полностью определяется отраженной бы- строй продольной волной и прошедшей волной в жидкое полупространство. Изменение типа грани- чных условий почти не влияет на распределение энергии в отраженном и прошедшем полях. Хо- тя для проницаемой границы отраженная медлен- ная продольная волна возбуждается значительно сильнее, однако она переносит не более 1.6 % энер- гии падающей волны. На рис. 6 показаны величины, аналогичные рис. 5, но для жесткой пористо-упругой среды (ин- дексы z соответствуют непроницаемой границе). Очевидно, что тип граничных условий существен- но изменяет распределение энергии между отдель- ными волнами. При этом медленная продольная волна возбуждается значительно, а для непрони- цаемой границы ее вклад в общее поле больше, чем для проницаемой. Таким образом, можно сделать вывод, что тип граничных условий оказывает существенное влия- ние на распределение энергии быстрой продольной волны между отраженными и прошедшей волнами только тогда, когда медленная продольная волна возбуждается достаточно сильно. 4.2. Волна падает из жидкого полупространства Как уже отмечалось, в данном случае суще- ствуют критические углы падения, при которых в прошедшем поле появляются неоднородные вол- ны. Они не переносят энергию в глубину пористо- упругого полупространства, однако их появление 32 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 f 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 f 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 а б Рис. 7. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γf волны из жидкого полупространства (m=0.2): а – проницаемая граница, б – непроницаемая граница f 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 23 f 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 а б Рис. 8. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γf волны из жидкого полупространства (m=0.7): а – проницаемая граница, б – непроницаемая граница существенно изменяет картину волнового поля. Проведем энергетический анализ процесса отра- жения – прохождения волны, падающей из жидко- сти, по аналогии с предыдущим разделом. Вна- чале рассмотрим влияние пористости. На рис. 7 представлены распределения энергии падающей волны между отраженными и прошедшей волна- ми для m=0.2, а на рис. 8 – для m=0.7. Как для проницаемой, так и для непроницаемой гра- ницы при нормальном падении энергия падающей волны распределяется между волной, отражен- ной в жидкость, и прошедшими в пористо-упругое полупространство быстрой и медленной продоль- ными волнами. В зависимости от типа граничных условий и параметров среды наиболее энергети- чески выраженной может стать как медленная, так и быстрая продольная волна. При пористо- сти m=0.2 для обоих типов граничных условий основная часть энергии переносится прошедшей быстрой продольной волной. При m=0.7 в отра- женном поле для случая проницаемой границы до- минирует медленная продольная волна, а для не- проницаемой – быстрая продольная. Во всех си- туациях основная часть энергии падающей волны передается в пористо-упругое полупространство. При изменении угла падения наступает мо- мент, когда быстрая продольная волна станови- тся неоднородной. Область углов вблизи крити- ческого значения для быстрой продольной волны (γf <θ (1) cr ) характеризуется резким ростом энергии отраженного поля. Значительное уменьшение до- ли энергии, проходящей в пористо-упругую сре- Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец 33 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 f 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 Рис. 9. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γ волны из жидкости в мягкую среду ду, в области критического угла отмечалось и для других параметров среды [5]. При анализе процес- са отражения– прохождения волн на границе двух упругих сред [12] также было показано, что при околокритических углах наблюдается резкое уве- личение энергии отраженного поля. Дальнейшее уменьшение угла падения приводит к росту энергии, проходящей в пористо-упругое полупространство. При этом она уносится попере- чной и медленной продольной волнами. Уровень их возбуждения зависит от типа граничных усло- вий и параметров среды. Для пористости m=0.7 существует еще один критический угол для по- перечной волны (θ (2) cr =0.35). Вблизи него не на- блюдается резкого увеличения энергии отражен- ного поля, однако существует локальный макси- мум энергии, переносимой медленной продольной волной. Рассмотрим влияние модуля сдвига. На рис. 9 представлены энергетические коэффициенты отражения и прохождения при падении волны из жидкости на границу раздела с мягкой средой (µ/Kf =0.01). Как при падении быстрой про- дольной волны, волновое здесь поле описывается быстрой продольной волной и волной, отражен- ной в жидкое полупространство. Поперечная и медленная продольная волны возбуждаются незначительно и практически не влияют на общую картину. Независимо от типа граничных условий, при нормальном падении основная часть энергии проходит в пористо-упругую среду. С уменьшением угла падения энергия отражен- ного поля постепенно возрастает и при углах, меньших критического для быстрой продольной волны, практически вся энергия падающей волны отражается от границы. Ситуация существенно изменяется при отраже- нии от жесткого пористо-упругого полупространс- тва с µ/Kf =10 (рис. 10). Для непроницаемой гра- ницы сохраняются отмеченные ранее особенности процесса отражения– прохождения. Речь идет о существовании локального максимума в энергии отраженного поля при угле падения, равном кри- тическому значению для быстрой продольной вол- ны (γf =1.30), и резком увеличении энергии отра- женного поля при падении под критическим углом для поперечной волны (γf =1.13). Отличитель- ной особенностью данного случая является резкое уменьшение энергии отраженного поля при закри- тических углах для быстрой продольной и попере- чной волн. В этом диапазоне энергию падающей волны в направлении, перпендикулярном границе, переносят только волна, отраженная в жидкость, и прошедшая медленная продольная волна. При угле падения (γf =1.08) энергия отраженного поля резко падает, причем в прошедшем поле медлен- ная продольная волна переносит до 60 % энергии падающей волны. Такое перераспределение энер- гетических вкладов не может быть предсказано в рамках модели однофазных сред и является спе- цифической особенностью процесса отражения– прохождения для пористо-упругих насыщенных сред. Для проницаемой границы жесткой пористой среды (см. рис. 10, б) при угле падения, равном критическому углу для быстрой продольной вол- ны, также наблюдается локальный максимум в энергии отраженного поля. В то же время, при падении под критическим углом для поперечной волны локальный экстремум в энергетическом распределении отсутствует. Значение угла паде- ния γf =1.08 (γf <θ (2) cr ) также является особым. В отличие от случая непроницаемой границы, здесь наблюдается максимум отраженного поля – до 99 % энергии падающей волны. Таким образом, при падении волны из жидкости картина распределения энергии падающей волны между отраженными и прошедшими волнами кар- динально изменяется в соответствии с типом гра- ничных условий. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проанализирован процесс отражения объем- ных волн от границы раздела жидкость – пористо- упругое полупространство. Показано, что значи- тельные количественные и качественные различия при отражении волн от проницаемой и непрони- 34 Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 24 – 35 f 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 f 0 /4 /2 Pj /P0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 а б Рис. 10. Коэффициенты отражения и прохождения по энергии при различных углах падения γf волны из жидкости в жесткую среду: а – проницаемая граница, б – непроницаемая граница; цаемой свободной границы существуют, если ме- дленная продольная волна возбуждается доста- точно сильно (переносит не менее 2 % энергии па- дающей волны). Как и при отражении волны от границы жидкости с упругим полупространством, для определенных параметров пористой среды на- блюдаются явления как полного сохранения, так и полного превращения типа движения. При падении на границу волны из жидко- сти существуют критические углы, ниже кото- рых объемная волна становится неоднородной. Вблизи критических значений при незначитель- ных изменениях углов падения наблюдаются рез- кие изменения в распределении энергии падающей волны по отдельным типам движения. Для про- цесса отражения– прохождения волн на границе жидкость – пористо-упругое полупространство ха- рактерно резкое изменение характера распределе- ния энергии падающей волны для закритических углов (т. е. углов, меньших критического). Для вертикальной компоненты среднего за пе- риод вектора потока мощности справедлив прин- цип суперпозиции по энергии. Он заключается в том, что энергия, которая приносится на границу падающей волной, равна энергии, которую пере- носят отраженная и прошедшие волны. Неодноро- дная волна энергию в глубину не переносит. Вдоль границы полупространства принцип суперпозиции по энергии не выполняется. 1. Deresiewicz H., Rice J. T. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solid. III. Reflection of plane waves at a free plane boundary (general case) // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1962.– 52, N 3.– P. 595–625. 2. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1963.– 53, N 4.– P. 783–788. 3. Stoll R., Kan T.-K. Reflection of acoustic waves at a water-semident interface // J. Acoust. Soc. Amer.– 1981.– 70, N 1.– P. 149–156. 4. Santon J. E., Corbero J. M., Ravazzoli C. L., Hensley J. L. Reflection and transmission coeffici- ents in fluid-saturated porous media // J. Acoust. Soc. Amer.– 1992.– 91, N 4, Pt. 1.– P. 1911–1923. 5. Wu K., Xue Q, Adler L. Reflection and transmission of elastic waves from a fluid-saturated porous solid boundary // J. Acoust. Soc. Amer.– 1990.– 87, N 6.– P. 2349–2358. 6. Denneman A. I. M., Drijkoningen G. G., Smeulders D. M. J., Wapenaar K. Reflection and transmission of waves at a fluid/porous-medium interface // Geophysics.– 2002.– 67, N 1.– P. 282– 291. 7. Chotiros N. P. Biot model of sound propagation in water-saturated sand // J. Acoust. Soc. Amer.– 1995.– 97, N 1.– P. 199–214. 8. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, N 2.– P. 168–191. 9. Badiey M.,Cheng A. H.-D., Mu Y. From geology to geoacoustics. – Evaluation of Biot –Stoll sound speed and attenuation for shallow water acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 103, N 1.– P. 309–320. 10. Feng F., Johnson D. L. High-frequency acoustic properties of a fluid-porous solid interface. I. New surface mode // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 74, N 3.– P. 906–914. 11. Городецкая Н. С. Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидко- стью полупространства // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 4.– С. 5–14. 12. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. Н. С. Городецкая, Т. В. Соболь, Л. И. Косовец 35

Отражение волн от границы раздела жидкости и пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства

Репозитарії

Схожі ресурси