Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола

Развит вариационный метод решения спектральной задачи о свободных осесимметричных колебаниях куполообразных оболочек вращения, который обладает одинаковой скоростью сходимости как при средних, так и при малых значениях их относительной толщины. Системы координатных функций строились с учетом установ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Троценко, В.А., Троценко, Ю.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79826
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 2. — С. 45-57. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79826
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-798262015-04-06T03:02:07Z Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Развит вариационный метод решения спектральной задачи о свободных осесимметричных колебаниях куполообразных оболочек вращения, который обладает одинаковой скоростью сходимости как при средних, так и при малых значениях их относительной толщины. Системы координатных функций строились с учетом установленной структуры формальных асимптотических разложений фундаментальной системы решений исходной системы дифференциальных уравнений. В качестве примера приведен расчет частот и форм колебаний оболочки, имеющей форму сферического купола. Розвинуто варiацiйний метод розв'язання спектральної задачi про вiльнi осесиметричнi коливання куполоподiбних оболонок обертання, який має однакову швидкiсть збiжностi як при середнiх, так i при малих значеннях їх вiдносної товщини. Системи координатних функцiй будувалися з урахуванням встановленої структури формальних асимптотичних розкладiв фундаментальної системи розв'язкiв вихiдної системи диференцiальних рiвнянь. В якостi прикладу наведено розрахунок частот та форм коливань оболонки, що має форму сферичного купола. A variational method is proposed for solution of the spectral problem on free vibration of shells of revolution. This method had the same rate of convergence both for middle and small shell thickness ratios. The systems of coordinate functions were formed subject to the preset structure of the formal asymptotic decompositions of fundamental system solutions of the initial system of differential equations. The computation of frequencies and vibration modes for the dome-like shell of revolution is presented as an example. 2008 Article Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 2. — С. 45-57. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79826 539.3:534.13 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Развит вариационный метод решения спектральной задачи о свободных осесимметричных колебаниях куполообразных оболочек вращения, который обладает одинаковой скоростью сходимости как при средних, так и при малых значениях их относительной толщины. Системы координатных функций строились с учетом установленной структуры формальных асимптотических разложений фундаментальной системы решений исходной системы дифференциальных уравнений. В качестве примера приведен расчет частот и форм колебаний оболочки, имеющей форму сферического купола.
format	Article
author	Троценко, В.А. Троценко, Ю.В.
spellingShingle	Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола Акустичний вісник
author_facet	Троценко, В.А. Троценко, Ю.В.
author_sort	Троценко, В.А.
title	Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола
title_short	Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола
title_full	Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола
title_fullStr	Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола
title_full_unstemmed	Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола
title_sort	равномерно сходящийся метод ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79826
citation_txt	Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 2. — С. 45-57. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT trocenkova ravnomernoshodâŝijsâmetodritcavzadačeobosesimmetričnyhkolebaniâhoboločkivraŝeniâvformekupola AT trocenkoûv ravnomernoshodâŝijsâmetodritcavzadačeobosesimmetričnyhkolebaniâhoboločkivraŝeniâvformekupola
first_indexed	2025-07-06T03:47:41Z
last_indexed	2025-07-06T03:47:41Z
_version_	1836867819379097600
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 УДК 539.3:534.13 РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЙСЯ МЕТОД РИТЦА В ЗАДАЧЕ ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ В ФОРМЕ КУПОЛА В. А. ТРО Ц ЕН К О, Ю. В. ТРО Ц ЕН К О Институт математики НАН Украины, Киев Получена 10.06.2008 Развит вариационный метод решения спектральной задачи о свободных осесимметричных колебаниях куполообра- зных оболочек вращения, который обладает одинаковой скоростью сходимости как при средних, так и при малых значениях их относительной толщины. Системы координатных функций строились с учетом установленной струк- туры формальных асимптотических разложений фундаментальной системы решений исходной системы дифферен- циальных уравнений. В качестве примера приведен расчет частот и форм колебаний оболочки, имеющей форму сферического купола. Розвинуто варiацiйний метод розв’язання спектральної задачi про вiльнi осесиметричнi коливання куполоподiбних оболонок обертання, який має однакову швидкiсть збiжностi як при середнiх, так i при малих значеннях їх вiд- носної товщини. Системи координатних функцiй будувалися з урахуванням встановленої структури формальних асимптотичних розкладiв фундаментальної системи розв’язкiв вихiдної системи диференцiальних рiвнянь. В якостi прикладу наведено розрахунок частот та форм коливань оболонки, що має форму сферичного купола. A variational method is proposed for solution of the spectral problem on free vibration of shells of revolution. This method had the same rate of convergence both for middle and small shell thickness ratios. The systems of coordinate functions were formed subject to the preset structure of the formal asymptotic decompositions of fundamental system solutions of the initial system of differential equations. The computation of frequencies and vibration modes for the dome-like shell of revolution is presented as an example. ВВЕДЕНИЕ В машиностроении и строительстве широко при- меняются конструкции, при моделировании кото- рых используется теория тонкостенных оболочек. Определение частот и форм свободных колебаний как основных характеристик оболочек является первым этапом их динамического расчета. Боль- шое количество публикаций посвящено разрабо- тке методов решения соответствующих спектраль- ных задач теории оболочек (например, см. обзор в [1]). Из этих работ следует, что при исследовании собственных колебаний оболочек вращения наибо- лее распространены метод конечных элементов и метод, основанный на сведении двухточечной гра- ничной задачи к последовательности начальных задач, для решения которых применяется числен- ный метод Рунге – Кутта с использованием дис- кретной ортогонализации решений С. К. Годуно- ва [2 – 4]. Из аналитических подходов здесь наи- большее развитие получил асимптотический ме- тод, изложенный в монографии [5]. Следует отметить, что упомянутые численные методы решения задач о колебаниях оболочек весьма чувствительны к значению ее относитель- ной толщины. С уменьшением толщины оболоч- ки приходится уменьшать шаг дискретизации. При определенных параметрах тонкостенности это приводит к потере устойчивости вычислитель- ного процесса до достижения предельных значе- ний для искомых решений. Дело в том, что при малых значениях относительной толщины оболоч- ки исходная задача переходит в разряд сингулярно возмущенной граничной задачи, для которой ха- рактерно наличие высоких градиентов решений, локализованных в малой окрестности граничных точек [6]. Аппроксимация таких решений разно- стными соотношениями или конечными рядами без использования специальных приемов вызыва- ет значительные трудности. Как правило, при решении сингулярно возму- щенных задач существует такая область измене- ния малого параметра, где асимптотические под- ходы еще не дают требуемой точности (необходимо брать большое число приближений), а традицион- ные уже не могут применяться. В связи с этим возникает известная проблема разработки таких методов решения граничных задач для уравнений с параметром при старшей производной, которые имели бы одинаковую сходимость как при малых, так и при средних его значениях. В литературе они получили название равномерно сходящихся по па- раметру. Обзор библиографии по численным ме- тодам решения сингулярно возмущенных краевых задач содержится в публикации [7]. Разработке разностных схем, сходящихся равномерно по па- c© В. А. Троценко, Ю. В. Троценко, 2008 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 раметру, посвящена монография [8]. Несмотря на свою привлекательность, метод Ри- тца не нашел должного применения при решении задач теории оболочек. По-видимому, это связано с проблемой построения систем базисных функ- ций, позволяющих эффективно аппроксимировать искомые решения во всей области их определения. Полученные на такой основе аналитические реше- ния оказываются весьма полезными в случаях, ко- гда оболочка является составляющим элементом более сложной упругой конструкции или когда не- обходимо рассматривать ее взаимодействие с на- ходящейся внутри жидкостью. Из числа опубли- кованных в последнее время работ по примене- нию метода Ритца в оболочечных задачах следу- ет отметить публикации [9, 10]. В первой из этих работ рассматривались колебания толстостенной конической оболочки, а во второй – колебания ци- линдрической оболочки с присоединенным к одно- му из ее торцов абсолютно твердым телом коне- чных размеров. Применение вариационного мето- да при решении сингулярно возмущенной задачи о собственных колебаниях незамкнутой в меридио- нальном направлении оболочки вращения рассмо- трено в статье [11]. Данное исследование посвящено развитию ме- тода Ритца для решения задачи о колебаниях осе- симметричной оболочки вращения в форме купо- ла в условиях ее сингулярного возмущения. При этом класс допустимых функций, на котором реа- лизуется метод Ритца, выбирается на основе уста- новленной структуры асимптотического разложе- ния фундаментальной системы решений исходных уравнений, имеющих особенности как по парамет- ру при старшей производной, так и по независи- мой переменной (регулярная особая точка в полю- се оболочки). Эффективность такого подхода по- строения приближенного аналитического решения спектральной задачи и его сходимость проанали- зирована на примере задачи о собственных коле- баниях сферической оболочки. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим тонкостенную упругую оболочку, срединная поверхность которой является поверх- ностью вращения. Предполагается, что оболочка ограничена одной из ее параллелей и замкнута в своей вершине. В дальнейшем будем рассматри- вать линейные осесимметричные колебания объ- екта. В качестве независимой переменной выбе- рем длину дуги меридиана s, отсчитываемую от вершины оболочки (0≤s≤s1), а расстояние точек срединной поверхности до оси вращения обозна- чим через r(s). Тогда главные радиусы кривизны поверхности оболочки R1 и R2 определяются по формулам R1 = − √ 1 − (r′)2 r′′ , R2 = r √ 1 − (r′)2 . (1) Проекции перемещения точек срединной по- верхности на положительное направление мериди- ана и ее внешнюю нормаль обозначим через u(s, t) и w(s, t), где t – временная координата. Обозна- чим через h толщину оболочки, а через R0 – ее характерный линейный размер. При рассмотрении свободных колебаний оболоч- ки после отделения временной координаты и пе- рехода к безразмерным величинам уравнения для определения функций u(s), w(s) и частоты коле- баний ω будут иметь вид [12] − d ds ( 1 r d ds (ru) ) − (1 − ν) R1R2 u + (1 − ν) R2 dw ds − − d ds (( 1 R1 + 1 R2 ) w ) − λu = 0, 1 r ( 1 R1 + 1 R2 ) d ds (ru) − (1 − ν) r d ds ( r R2 u ) + + ( 1 R2 1 + 2ν R1R2 + 1 R2 2 ) w + c2 [ ∆∆w+ + (1 − ν) r d ds ( r R1R2 dw ds )] − λw = 0, (2) ∆= 1 r d ds ( r d ds ) , c2 = h2 12R2 0 , λ= (1−ν2)ρR2 0ω 2 E , где E, ν , ρ – модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки соответственно. При написании соотношений (2) в формулах для изменения кривизны и кручения поверхно- сти оболочки были удержаны члены, содержащие только компоненту перемещения w(s). Такие урав- нения получили название уравнений Муштари – Донелла – Власова [13] и нашли широкое приме- нение при расчетах упругих конструкций. Решения системы обыкновенных дифференци- альных уравнений (2) с переменными коэффици- ентами должны быть подчинены соответствую- щим граничным условиям. При абсолютно жест- ком закреплении края оболочки они имеют вид u(s1) = w(s1) = dw ds ∣ ∣ ∣ ∣ s=s1 = 0. (3) Для свободного перемещения края оболочки си- ловые граничные условия при s=s1 будут следу- 46 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 ющими: T1 = du ds + w R1 + ν ( r′ r u + w R2 ) = 0, M1 = −c2 ( d2w ds2 + ν r′ r dw ds ) = 0, Q1 = −c2 ( d ds ∆w + 1 − ν R1R2 dw ds ) = 0. (4) Здесь T1, M1, Q1 – усилие, момент и перерезыва- ющая сила в срединной поверхности деформиро- ванной оболочки соответственно. В других случа- ях крепления края используется линейная комби- нация условий (3) и (4). В полюсе решения u(s) и w(s) должны обеспечивать ограниченность пере- мещений и деформаций. В дальнейшем для решения спектральной за- дачи для системы уравнений (2) при граничных условиях (3) или (4) будет использован вариаци- онный метод Ритца, реализация которого в суще- ственной мере зависит от выбора систем базисных функций для аппроксимации искомых решений u(s) и w(s). Для построения систем таких функ- ций предварительно установим формальную стру- ктуру фундаментальных решений системы урав- нений (2) для оболочек в форме купола, применяя элементы аналитической теории дифференциаль- ных уравнений с малым параметром при старших производных и уравнений с регулярной особой то- чкой. 2. ФОРМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ИНТЕГРА- ЛОВ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ Под куполообразными будем понимать такие оболочки, для которых в вершине имеется гори- зонтальная касательная плоскость, а для радиусов кривизны выполняются соотношения (R1)s=0 = (R2)s=0 = R. (5) К этому классу относятся, в частности, сфера, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения. Для них r(s) – аналитическая нечетная функция, которую в окрестности точки s = 0 можно пред- ставить в виде разложения r(s) = s ( 1 − 1 6R2 s2 + a4s 4 + . . . ) . (6) В свою очередь, кривизны рассматриваемых обо- лочек будут иметь следующие представления в окрестности их вершин: 1 R1 = 1 R [ 1+ ( 1 8R2 −15R2a4 ) s2+b4s 4+ . . . ] , 1 R2 = 1 R [ 1+ ( 1 24R2 −5R2a4 ) s2+c4s 4+ . . . ] . (7) Следует отметить, что сформулированная в пре- дыдущем разделе спектральная задача имеет две характерные особенности. Первая из них связана разложениями (6) и (7), которые определяют сте- пень вырождения коэффициентов системы урав- нений (2) при s→0 и, следовательно, асимптотику искомых ограниченных решений в окрестности по- люса оболочки. Вторая же обусловлена наличием параметра c2 при старшей производной от функ- ции w(s) в исходных уравнениях, который для тон- костенных оболочек может принимать достаточно малые значения. В этом случае рассматриваемая задача будет относиться к разряду сингулярно во- змущенных граничных задач, для которых хара- ктерно наличие медленно меняющейся составля- ющей решения и части решения с высоким гради- ентом, которая локализована в окрестности края оболочки. Исходя из этих рассуждений, будем строить формальные разложения для интегралов исхо- дных уравнений. Для удобства в дальнейшем вве- дем малый параметр µ, который связан с параме- тром тонкостенности оболочки c2 следующим со- отношением: µ4 = c2. (8) Чтобы выяснить характер поведения линейно не- зависимых решений системы (2) в окрестности вершины купола оболочки и оценить влияние ма- лого параметра µ на их структуру, воспользуемся методами асимптотического интегрирования син- гулярно возмущенных задач [6, 14]. Первые интегралы уравнений (2), которые огра- ничены при s = 0, будем искать в виде прямого разложения по параметру µ: u(s) = ∞ ∑ k=0 µ4kuk(s), w(s) = ∞ ∑ k=0 µ4kwk(s). (9) Для определения функций uk(s) и wk(s) подста- вим разложения (9) в исходные уравнения (2) и приравняем к нулю коэффициенты при различ- ных степенях параметра µ. При µ = 0 полу- чим вырожденную систему уравнений относитель- В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 но функций u0(s) и w0(s). После несложных пре- образований ее можно представить в виде α1 du0 ds + α2u0 + α3w0 = 0, γ1 dw0 ds + γ2w0 + γ3u0 = 0. (10) Переменные коэффициенты этих уравнений опре- деляются следующим образом: α1 = 1 R1 + ν R2 , α2 = r′ r ( ν R1 + 1 R2 ) , α3 = 1 R2 1 + 2ν R1R2 + 1 R2 2 − λ, γ1 = −α1 ( λ − 1 − ν2 R2 2 ) , γ2 = (1 − ν2) [ 1 R2 1 ( 1 R2 − 1 R1 ) ′ + + 2 R1R2 ( 1 R2 ) ′ ] + +λ [( 1 R1 ) ′ + (2ν − 1) ( 1 R2 ) ′ ] , γ3 = (ν − 1) ( r′ r )′( 1 R2 1 + ν − 1 R1R2 − ν R2 2 ) + +(ν2 − 1) r′ r [ 1 R2 ( 1 R1 )′ − 1 R1 ( 1 R2 )′] + +(1 − ν) ( r′ r )2( ν R2 1 − 1 R2 2 + 1 − ν R1R2 ) − −α2 1 ( λ + 1 − ν R1R2 ) . (11) Очевидно, что функции u0(s) и w0(s) определяют решения для уравнений безмоментной теории обо- лочек вращения. Определение последующих членов разложе- ний (9) сводится к интегрированию системы урав- нений (10), правые части которой содержат неко- торые операторы от решений, найденных на пре- дыдущем приближении. Высшие члены в разло- жениях (9) не влияют на структуру решений ну- левого приближения. Это позволяет установить поведение интегралов уравнений (10) в окрестно- сти точки s=0. Сведем исходную систему уравне- ний к нормальному виду (коэффициенты – ана- литические функции при s∈ [0, s1]). Заметим, что с учетом разложений (6) и (7) коэффициенты α2 и γ3 имеют полюсы первого порядка при s→0, а остальные являются аналитическими функциями. Введя в рассмотрение вектор-функцию ~y = {y1, y2}, y1 = u0(s), y2 = w0(s), (12) систему уравнений (10) перепишем в нормальной форме s d~y ds = F (s, λ)~y. (13) Здесь элементы fij матрицы F (s, λ) – аналитиче- ские функции при s∈ [0, 1] и не все одновременно обращаются в нуль при s=0. Они определяются выражениями f11 = −α2 α1 s, f12 = −α3 α1 s, f21 = −γ3 γ1 s, f22 = −γ2 γ1 s. (14) Из вида уравнений (13) следует, что s=0 является для них регулярной особой точкой [6]. При постро- ении интегралов этих уравнений будем пользова- ться обобщенным методом степенных рядов. Матрицу F (s, λ) можно представить в виде ря- да, расположенного по целым степеням s: F (s, λ) = ∞ ∑ k=0 Fksk. (15) Матрицы Fk (k=1, 2, . . .) имеют следующую стру- ктуру: F0 = ∥ ∥ ∥ ∥ −1 0 0 0 ∥ ∥ ∥ ∥ , F2k−1= ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 0 f (2k−1) 12 f (2k−1) 21 0 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ , F2k = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ f (2k) 11 0 0 f (2k) 22 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ . Здесь f (k) ij – коэффициенты разложений в степен- ные ряды элементов fij . Решение системы (13) будем искать в виде yi = sσ ∞ ∑ k=0 gi,ksk, i = 1, 2. (16) В этих разложениях σ и gi,k – неопределенные по- стоянные. Воспользовавшись далее формулой Ко- ши для умножения степенных рядов, получим fp,qyq = sσ ∞ ∑ k=0 k ∑ j=0 gq,jf (k−j) p,q sk, p, q = 1, 2. (17) Подстановка рядов (16) и (17) в уравнения (13) и приравнивание коэффициентов при sσ в обеих 48 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 частях полученного равенства приводит к одно- родной алгебраической системе относительно пер- вых коэффициентов разложений (16), которая в матричном представлении имеет вид (F0 − σE)~g0 = 0. (18) Здесь E – единичная матрица; ~g0 – вектор с ком- понентами gi,0 (i=1, 2). Приравнивание коэффициентов при sσ+k (k=1, 2, . . .) приводит к неоднородным алгебраи- ческим системам вида [F0 − (σ + k)] ~gk = ~dk. (19) Здесь ~gk – векторы с компонентами gi,k; ~dk – ве- кторы с компонентами d (k) i , которые вычисляются по формулам d (k) i = − 2 ∑ q=1 k−1 ∑ j=0 gq,jf (k−j) i,q . Таким образом, определение показателя σ и ко- эффициентов разложений (16) свелось к решению однородной алгебраической системы (18) относи- тельно вектора ~g0 и последовательности неодно- родных систем (19) относительно векторов ~gk (k = 1, 2, . . .), правые части которых линейно выража- ются через k−1 решение предыдущих алгебраиче- ских систем. Из условия существования нетривиального ре- шения системы (18) получаем характеристическое уравнение относительно показателя σ, корни ко- торого принимают следующие значения: σ1 =0, σ2 =−1. Положив в уравнениях (19) σ=σ1, получим формальное представление первого интеграла уравнений (2): y1(s) = u(s) = ∞ ∑ k=1 g1,2k−1s 2k−1, y2(s) = w(s) = ∞ ∑ k=0 g2,2ks 2k. (20) Явное вычисление коэффициентов этих разложе- ний является весьма трудоемкой задачей. Для кор- ня σ2 =−1 можно получить второй интеграл исхо- дных уравнений, однако он будет принимать нео- граниченные значения при s→0. Прямое разложение решений по малому пара- метру не дает возможности получить все интегра- лы уравнений (2), необходимые для выполнения граничных условий (3) или (4). Поэтому в соответ- ствии с теорией сингулярно возмущенных уравне- ний [6, 14] остальные два интеграла будем искать в виде разложений, включающих в себя экспонен- циальный множитель, а именно: u(s) = µγ(s) ∞ ∑ k=1 µkũk(s), w(s) = γ(s) ∞ ∑ k=1 µkw̃k(s), γ(s) = exp    1 µ s ∫ s0 ϕ(t)dt    , (21) где s0 – пока произвольная точка интервала (0, s1]. Неизвестные функции ϕ(s), ũk(s) и w̃k(s) нахо- дим, подставляя разложения (21) в уравнения (2) и приравнивая к нулю коэффициенты при различ- ных степенях µ. При этом для определения функ- ции ϕ(s) получим уравнение (ϕ(s))4 − b0(s) = 0, b0(s) = λ − 1 − ν2 R2 2 . (22) В дальнейшем будем полагать, что b0(s) 6=0, b0(s)<0 при s∈ [0, s1]. Первое условие исключает из рассмотрения точки поворота, т. е. такие точ- ки, по разные стороны от которых представление искомых функций различно. Второе условие озна- чает, что мы ограничиваемся рассмотрением толь- ко низшей части спектра оболочки. При принятых допущениях уравнение (22) определяет четыре попарно-сопряженных компле- ксных корня. Два из них имеют отрицательные действительные части, а два – положительные. Ра- сполагая их в порядке возрастания действитель- ных частей, имеем ϕ1(s)= −1+i√ 2 \|b0\|1/4, ϕ2(s)= −1−i√ 2 \|b0\|1/4, ϕ3(s)= 1+i√ 2 \|b0\|1/4, ϕ4(s)= 1−i√ 2 \|b0\|1/4. (23) Каждому из значений ϕk(s) соответствует свое ча- стное решение исходных уравнений. Положим в представлении (21) s0 =s1 и подставим в них зна- чения корней ϕk(s) с положительной действитель- ной частью. Тогда после отделения в этих интегра- лах действительной и мнимой части для экспонен- циального множителя получим следующие выра- жения: eβ(s) cos β(s), eβ(s) sin β(s), β(s) = 1 µ √ 2 s ∫ s1 \|b0(t)\|1/4dt. (24) В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 Эти функции при малых значениях параметра µ являются сильно осцилирующими и резко убыва- ют при удалении от точки s=s1 вовнутрь интерва- ла (0, s1). При подстановке в выражения (21) кор- ней ϕk(s) с отрицательными действительными ча- стями получим решения, которые будут резко воз- растать с уменьшением независимой переменной s. Для анализа оболочек в форме купола такие ин- тегралы не нужны. Для нахождения функций ũk(s) и w̃k(s), вхо- дящих в разложения (21), приходится, кроме ал- гебраических, решать линейные дифференциаль- ные уравнения первого порядка. Явные выраже- ния для главных членов асимптотических разло- жений получены в работах П. Е. Товстика [5, 15]. Нетрудно убедиться, что функции ũk(s) и w̃k(s) могут быть представлены в виде разложений в ря- ды Тейлора в окрестности точки s=s1 . Конкре- тные значения коэффициентов этих рядов здесь не понадобятся, поскольку в дальнейшем нас будет интересовать лишь структура интегралов исхо- дных уравнений. Исходя из сказанного, заключаем, что два по- следних интеграла уравнений (2), которые локали- зованы в окрестности края оболочки, имеют сле- дующее формальное представление: u(j)(s) = µγ(j)(s) ∞ ∑ k=0 µk ∞ ∑ i=0 u (j) k,i(s − s1) i, w(j)(s) = γ(j)(s) ∞ ∑ k=0 µk ∞ ∑ i=0 w (j) k,i(s− s1) i. (25) Здесь u (j) k,i, w (j) k,i – неизвестные коэффициенты ра- зложений; j=2, 3 – индекс, указывающий на номер найденного частного решения; γ(j)(s) =    eβ(s) cos (β(s)) при j = 2, eβ(s) sin (β(s)) при j = 3. Для тех оболочек вращения, для которых инте- грал, входящий в выражение для β(s), не вычи- сляется в элементарных функциях, решения (25) можно представить в другой форме, воспользо- вавшись результатами работы [14]. Например, ре- шения для функций w(j)(s) при Reϕj+1(s)>0 (j=2, 3) записываются виде следующих асимпто- тических разложений: w(j)(s) = exp{ϕj+1(s1)τ} ∞ ∑ k=0 µkP (k) j (τ ), (26) где τ =(s−s1)/µ; P (k) j (τ ) – полином по τ степени 2k с постоянными коэффициентами, зависящими от коэффициентов уравнений (2) и их производных в точке s=s1. При построении интегралов (25) предполага- лось, что оболочка обладает такими геометриче- скими параметрами, при которых можно прене- бречь влиянием функций погранслоя на поведение искомых решений в окрестности ее полюса. При этом допускается малая погрешность порядка ε = exp    − 1 µ √ 2 s1 ∫ 0 \|b0(t)\|1/4dt    . Учитывая полученные формальные представле- ния всех линейно независимых решений системы уравнений (2), ее общее решение после перегруп- пировки членов в выражениях (25) можно пред- ставить в следующем виде: [u, w] = R[u, w]+ +eβ(s) cos β(s) ∞ ∑ i=0 [ui,1, wi,1](s− s1) i+ +eβ(s) sin β(s) ∞ ∑ i=0 [ui,2, wi,2](s − s1) i, (27) где R[u, w] – регулярная часть общего решения, структура которого представлена формулами (20); ui,1, ui,2 и wi,1, wi,2 – неопределенные постоян- ные (в них входит и параметр µ), предназначен- ные для аппроксимации соответственно функций u(s) и w(s). По сути, представления решений в форме (27) включают в себя все последовательные приближе- ния при асимптотическом интегрировании рассма- триваемых уравнений. После их подчинения глав- ным граничным условиям задачи, оставшиеся нео- пределенные постоянные будем находить из усло- вий стационарности соответствующего квадрати- чного функционала. 3. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗА- ДАЧИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ Для получения вариационного уравнения для рассматриваемой спектральной задачи воспользу- емся принципом возможных перемещений δΠ = δA, (28) где δΠ – вариация потенциальной энергии упругой деформации оболочки; δA – работа инерционных сил на возможных перемещениях оболочки. По- тенциальная энергия Π и работа δA при свободных 50 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 колебаниях оболочки после перехода к безразмер- ным величинам принимают вид [13] Π = 1 2 s1 ∫ 0 [ε2 1 + ε2 2 + 2νε1ε2+ +c2(κ2 1 + κ 2 2 + 2νκ1κ2)]rds, δA = λ s1 ∫ 0 (uδu + wδw)rds. Здесь деформации срединной поверхности оболоч- ки выражаются через ее перемещения по следую- щим формулам: ε1 = du ds + w R1 , ε2 = r′ r u + w R2 , κ1 = −d2w ds2 , κ2 = −r′ r dw ds . С учетом этого вариационное уравнение рассма- триваемой задачи удобно представить как δI = s1 ∫ 0 [Ψ11(u, δu) + Ψ12(w, δu)+ +Ψ12(δw, u) + Ψ22(w, δw)]rds− −λ s1 ∫ 0 (uδu + wδw)rds = 0. (29) Введенные здесь дифференциальные операторы Ψij(p, q) определяются выражениями Ψ11(p, q) = ( dp ds + νr′ r p ) dq ds + + [ ν r′ r dp ds + ( r′ r )2 p ] q, Ψ12(p, q) = ( 1 R1 + ν R2 ) p dq ds + r′ r ( 1 R2 + ν R1 ) pq, Ψ22(p, q) = ( 1 R2 1 + 2ν R1R2 + 1 R2 2 ) pq+ +c2 { d2p ds2 d2q ds2 + [ νr′ r d2p ds2 + ( r′ r )2 dp ds ] dq ds + + νr′ r dp ds d2q ds2 } . Для решения вариационной задачи (29) восполь- зуемся методом Ритца. В связи с этим представим функции u(s) и w(s) в виде отрезков обобщенных рядов: u(s) = N ∑ j=1 xjUj(s), w(s) = N ∑ j=1 xj+NWj(s). (30) Здесь xj (j =1, 2, . . . , 2N) – неопределенные посто- янные; {Uj(s)} и {Wj(s)} – системы координатных функций, которые подчинены лишь кинематиче- ским граничным условиям задачи. Силовые гра- ничные условия являются естественными гранич- ными условиями для соответствующего функцио- нала I и, следовательно, нет необходимости их априорного выполнения в представлениях (30) для перемещений оболочки. Это существенно облег- чает проблему построения систем координатных функций. Для вывода алгебраической системы относи- тельно неизвестных xj (j=1, 2, . . . , 2N) подставим разложения (30) в уравнение (29). Отсюда, пола- гая δu=Ui(s), δw=0, получим первые N уравне- ний, а остальные – при δu=0, δw=Wi(s), где i пробегает значения от 1 до N . В итоге решение исходной задачи сводится к решению обобщенной алгебраической проблемы на собственные значе- ния (A − λB)~x = 0, ~x = (x1, x2, . . . , x2N) (31) с симметричными матрицами A и B. Симметри- чность матрицы A следует из симметричности опе- ратора, порожденного дифференциальными урав- нениями (2) и определенного на классе функций, подчиненных граничным условиям задачи и уста- новленным свойствам поведения решений в окре- стности регулярной особой точки. Элементы aijи bij матриц A и B соответственно в алгебраической системе (31) вычисляются по следующим форму- лам: ai,j = s1 ∫ 0 Ψ11(Uj , Ui)rds, ai+N,j+N = s1 ∫ 0 Ψ22(Wj , Wi)rds, bi,j = s1 ∫ 0 (Uj , Ui)rds, bi+N,j+N = s1 ∫ 0 (Wj , Wi)rds (i = 1, 2, . . . , N, j ≥ i), В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 ai,j+N = s1 ∫ 0 Ψ12(Wj , Ui)rds, bi,j+N = 0 (i, j = 1, 2, . . . , N). Построение координатных функций осуществ- ляется на основе подчинения общего решения за- дачи (27) главным граничным условиям. В резуль- тате получаем некоторые дополнительные соот- ношения между коэффициентами в разложениях для функций u(s) и w(s), подставив которые в об- щий вид решения, находим наборы координатных функций для метода Ритца. Полученные таким образом координатные функции для аппроксима- ции регулярной части решений выражаются через степенные функции с некоторыми весовыми мно- жителями. Они оказываются пригодными для тех случаев, когда в разложениях для u(s) и w(s) мож- но удерживать небольшое количество членов ряда, поскольку вычисление степенных функций приво- дит к достаточно быстрому накоплению погрешно- стей в их значениях. Поэтому в дальнейшем, не нарушая полноты представления решений, степен- ные ряды заменим соответствующими полинома- ми Лежандра, которые являются линейными ком- бинациями степенных функций. Целесообразность такой подстановки обусловлена тем, что полино- мы Лежандра имеют амплитудные значения, за- ключенные в интервале [−1, 1] и для достаточ- но высоких их степеней могут быть вычислены с помощью существующих рекуррентных соотноше- ний без заметного накопления погрешностей. По- строенные таким образом системы координатных функций позволяют в четыре – пять раз увеличить предельное значение количества членов в разло- жениях регулярной части решений по сравнении со степенном базисом. Это обеспечивает возмож- ность расширения диапазона входных параметров задачи, при которых можно проводить расчеты с заданной точностью. После применения описанной процедуры систе- ма базисных функций для аппроксимации функ- ции w(s) приобретет следующую структуру: {Wi(s)}N i=1 = {W1, . . . , Wm; Wm+1, . . . , Wm+mp ; Wm+mp+1 , . . . , Wm+2mp }. (32) В выражении (32) выделены три группы функций, отделенные друг от друга точкой с запятой. Пер- вая группа из m функций представляет собою ре- гулярный базис, образованный из полиномов Ле- жандра с определенной весовой функцией. Вторая и третья группы связаны с аппроксимацией по- гранслойных решений в окрестности точки s=s1. Количество функций в этих группах обозначено через mp. Аналогичную структуру имеют и коор- динатные функции для нахождения функции u(s). Явные выражения для координатных функ- ций Uj(s) и Wj(s) при использовании представле- ния погранслойных функций в форме Вышика – Люстерника (26) таковы: Uj = s(s2 − s2 1)P2j−1 ( 2s s1 − 1 ) , Wj = (s2 − s2 1) 2P2j−1 ( 2s s1 − 1 ) , (j = 1, 2, . . . , m), Um+1 = gc − s s1 , Um+2 = (s − s1)gc, Um+mp +1 = gs, Um+mp+2 = (s − s1)gs, Wm+1 = gc − 1 − p 2s1 (s2 − s2 1), Wm+2 = (s − s1)gc − 1 2s1 (s2 − s2 1), Wm+mp+1 = gs − p 2s1 (s2 − s2 1), Wm+mp+2 = (s − s1)gs, Um+j = Wm+j = (s − s1) j−1gc, Um+mp+j = Wm+mp+j = (s − s1) j−1gs (j = 3, 4, . . . , mp). (33) Здесь функции gc(s) и gs(s) вычисляются по фор- мулам gc = exp{p(s− s1)} cos p(s − s1); gs = exp{p(s − s1)} sin p(s − s1); p = p(λ) = 1 µ √ 2 4 √ ∣ ∣ ∣ ∣ λ − 1 − ν2 R2 2(s1) ∣ ∣ ∣ ∣ , а Pj(s) – смещенные на единицу по индексу j и перенесенные на интервал [0, s1] многочлены Ле- 52 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 Табл 1. Значения низших частот колебаний сферической оболочки в зависимости от количества членов m в регулярном базисе при mp =2 и θf =135 ◦ m ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 δ = 100 2 0.424822 0.810329 0.935994 1.036195 1.595648 4 0.424767 0.801161 0.886484 0.925515 1.091895 6 0.424767 0.801159 0.885994 0.920509 0.951959 8 0.424767 0.801159 0.885994 0.920490 0.943053 10 0.424767 0.801159 0.885994 0.920490 0.942929 12 0.424767 0.801159 0.885994 0.920490 0.942929 δ = 1000 2 0.407475 0.810061 0.962506 1.067890 1.541983 4 0.407312 0.791919 0.880269 0.925323 0.959443 6 0.407312 0.791908 0.878332 0.910762 0.929201 8 0.407312 0.791908 0.878330 0.910476 0.925902 10 0.407312 0.791908 0.878330 0.910476 0.925853 12 0.407312 0.791908 0.878330 0.910476 0.925853 δ = 2000 2 0.405188 0.810334 0.966930 1.070927 1.562291 4 0.404998 0.790777 0.879828 0.926367 0.960434 6 0.404998 0.790765 0.877607 0.910297 0.929309 8 0.404998 0.790765 0.877605 0.909941 0.925456 10 0.404998 0.790765 0.877605 0.909941 0.925388 12 0.404998 0.790765 0.877605 0.909941 0.925388 жандра. Вычисление их и первых двух произво- дных по аргументу s осуществляется с помощью рекуррентных соотношений Pj+2(s) = 1 j + 1 [(2j + 1)sPj+1(s) − jPj(s)], P ′ j+2(s) = sP ′ j+1(s) + (j + 1)Pj+1(s), P ′′ j+2(s) = sP ′′ j+1(s) + (j + 2)P ′ j+1(s), P1(s) = 1, P2(s) = s, P3(s) = 1 2 (3s2 − 1). Определенные неудобства доставляет то, что, как и следовало ожидать, в показатель изменя- емости p погранслойных координатных функций входит заранее неизвестный частотный параметр λ. Это переводит линейную алгебраическую за- дачу (31) в разряд нелинейной задачи по ее соб- ственным значениям. Во избежание упомянутой трудности параметр λ в формулах (33) можно за- менить его приближенным значением λ̃, отлича- ющимся от λ на малую величину порядка µ. По- скольку параметр λ – интегральная характеристи- ка задачи, то его приближенное значение с высо- кой точностью вычисляется при использовании только регулярной части базиса. При этом погре- шность задания λ в формулах (33) будет компен- сироваться полиномиальной частью погранслой- ных координатных функций. Значение λ̃ легко на- ходится в рамках общей программы расчета ча- стот и форм колебаний рассматриваемых оболо- чек. 4. АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ И НЕКОТОРЫЕ ЧИ- СЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Приведем некоторые результаты расчета частот и форм собственных колебаний сферического ку- пола с жестко закрепленным краем, полученных на основе предлагаемого алгоритма. В качестве ха- рактерного линейного размера оболочки выберем ее радиус и положим коэффициент Пуассона рав- ным 0.3. Отношение радиуса оболочки к ее толщи- не в обозначим через δ, угол между осью симме- трии оболочки и нормалью к ее срединной поверх- ности – через θ, а его значение для закрепленной параллели – через θf . В табл. 1 приведены значения первых пяти без- размерных частот ωi = √ λi осесимметричных ко- лебаний сферического купола в зависимости от В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 Табл 2. Значения w1, T1, M1, Q1 в точке θ∗ =0.95 для первой формы колебаний в зависимости от количества членов m в регулярном базисе при mp =2 и θf =135 ◦ m w1 T1 M1 Q1 δ = 100 2 −0.48655 0.32695 −0.3572 · 10−3 0.1540 · 10−2 4 −0.47964 0.32650 −0.3433 · 10−3 0.1330 · 10−2 6 −0.47954 0.32654 −0.3427 · 10−3 0.1332 · 10−2 8 −0.47953 0.32654 −0.3427 · 10−3 0.1333 · 10−2 10 −0.47952 0.32653 −0.3427 · 10−3 0.1333 · 10−2 12 −0.47952 0.32653 −0.3427 · 10−3 0.1333 · 10−2 δ = 1000 2 −0.66267 0.30698 0.2381 · 10−5 0.1218 · 10−4 4 −0.66974 0.31265 0.1276 · 10−5 −0.1936 · 10−4 6 −0.66974 0.31285 0.1253 · 10−5 −0.2058 · 10−4 8 −0.66972 0.31286 0.1253 · 10−5 −0.2078 · 10−4 10 −0.66971 0.31286 0.1254 · 10−5 −0.2085 · 10−4 12 −0.66970 0.31286 0.1256 · 10−5 −0.2085 · 10−4 14 −0.66970 0.31286 0.1256 · 10−5 −0.2084 · 10−4 δ = 2000 2 −0.65883 0.30248 0.7736 · 10−8 0.1982 · 10−4 4 −0.66188 0.31066 0.6321 · 10−7 0.1384 · 10−4 6 −0.66158 0.31068 0.6789 · 10−7 0.1371 · 10−4 8 −0.66154 0.31067 0.6874 · 10−7 0.1372 · 10−4 10 −0.66153 0.31067 0.6908 · 10−7 0.1374 · 10−4 12 −0.66153 0.31067 0.6913 · 10−7 0.1375 · 10−4 14 −0.66153 0.31067 0.6901 · 10−7 0.1376 · 10−4 количества членов m в регулярном базисе при θf =135◦ для трех значений параметра δ. Для ап- проксимации решений, локализованных в окре- стности точки θf и имеющих большие градиенты, использовались две погранслойные координатные функции (mp =2). Значения нормального проги- ба w1, меридионального усилия T1, изгибающего момента M1 и перерезывающей силы Q1 в точке θ∗=θ/θf = 0.95 при θf =135◦ для первой формы колебаний оболочки в зависимости от количества членов m в регулярном базисе при фиксированном числе погранслойных базисных функций (mp =2) приведены в табл. 2. Здесь и далее амплитуды собственных форм колебаний оболочки нормиро- вались к максимальному прогибу в направлении внешней нормали. Данные таблиц свидетельствуют о том, что пре- дложенный алгоритм решения рассматриваемой спектральной задачи обладает одинаковой сходи- мостью как при малых, так и при средних зна- чениях относительной толщины оболочки. Анало- гичный характер сходимости величин, приведен- ных в табл. 2, наблюдается и при других значе- ниях независимой переменной θ. Следовательно, построенные системы координатных функций обе- спечивают поточечную сходимость не только са- мих решений, но и их производных до определен- ного порядка. Это позволяет определять усилия, моменты и перерезывающие силы во всех точках срединной поверхности оболочки. Таким образом, при удачном выборе системы базисных функций вариационный метод позволяет построить прибли- женное решение задачи, которое в определенном смысле близко к ее точному решению. Следует также отметить, что подобные резуль- таты для рассматриваемой оболочки можно полу- чить с использованием только регулярных коор- динатных функций (mp =0), однако построенный на такой основе алгоритм решения задачи не бу- дет обладать свойством равномерной сходимости по параметру µ. Для получения результатов с за- данной точностью количество членов в разложе- ниях Ритца с использованием только регулярного базиса необходимо увеличить по отношению к ба- зису с погранслойными функциями в 1.5, 2 и 3 раза при δ=100, 1000 и 2000 соответственно. При дальнейшем уменьшении относительной толщины оболочки использование только регулярного бази- 54 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ϑ ∗ T 1 ϑ f =90° 120° 150° 0 0.2 0.4 0.6 0.8 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10 −5 ϑ ∗ M 1 ϑ f =90° 120° 150° 0.8 0.85 0.9 0.95 1 −2 0 2 4 6 8 10 x 10 −4 M 1 ϑ ∗ ϑ f =90° 120° 150° 0 0.2 0.4 0.6 0.8 −2 −1 0 1 x 10 −4 ϑ ∗ Q 1 ϑ f =90° 120° 150° 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 ϑ ∗ Q 1 ϑ f =90° 120° 150° Рисунок. Распределение усилий T1, моментов M1 и перерезывающих сил Q1 по меридиану оболочки для различных значений угла θf при δ=150 са для получения решений рассматриваемого ка- чества становится неэффективным, поскольку мо- жет наступить потеря устойчивости вычислитель- ного процесса до достижения предельных значе- ний рассчитываемых величин. Дело в том, что то- чные решения, включающие в себя экспоненциаль- ные функции с большим аргументом, плохо аппро- ксимируются рядами Тейлора. Если в практиче- ских расчетах нет необходимости вычислять прои- зводные от форм колебаний, то (в соответствии с результатами таблиц) можно существенно пони- зить порядок решаемой алгебраической системы. На рисунке показано поведение функций T1(θ ∗), M1(θ ∗) и Q1(θ ∗) в зависимости от аргумента θ∗ =θ/θf при различных значениях угла θf закре- пленной параллели оболочки и при δ=150. Из гра- В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 фиков следует, что все рассматриваемые величи- ны принимают наибольшие значения в окрестно- сти закрепленного контура оболочки (за исклю- чением усилия T1 при θf =90◦). При этом в ука- занной окрестности по мере увеличения угла θf возрастают и амплитуды силовых факторов. Сле- дует отметить, что при расчете замкнутых в полю- се оболочек вращения непосредственное примене- ние ортогональной прогонки или других прибли- женных методов решения рассматриваемой спек- тральной задачи невозможно, так как в этом слу- чае система исходных дифференциальных урав- нений имеет регулярную особую точку. Поэтому в ряде работ [9, 16] принимается дополнительное предположение, что наличие малого отверстия в полюсе оболочки не оказывает существенного вли- яния на характер собственных колебаний замкну- тых в полюсе оболочек. При этом на параллели, соответствующей отверстию (θ=θ0), ставятся гра- ничные условия для свободного края: (T1)θ=θ0 = (M1)θ=θ0 = (Q1)θ=θ0 = 0. (34) Исходя из установленного выше поведения ре- шений u(θ) и w(θ) в окрестности полюса оболоч- ки, можно показать, что при θ→0 перерезываю- щая сила Q1 убывает до нуля, тогда как усилие T1 и момент M1 стремятся к своим предельным вели- чинам. Расчеты показывают, что функция M1(θ) в окрестности полюса оболочки принимает малые значения (см. рисунок). Таким образом, для исхо- дной оболочки при малых значениях угла θ пер- вое условие (34) не выполняется, а второе и третье выполняются приближенно. Тем не менее, сравне- ние полученных в этом исследовании частот коле- баний сферической оболочки с результатами ра- боты [16] подтверждает правомерность примене- ния в данном случае расчетной схемы, основанной на замене исходной оболочки оболочкой с малым свободным отверстием в окрестности полюса. По- видимому, несоответствие условий (34) действи- тельному поведению силовых факторов оболочки при θ→0 может сказаться при определении форм колебаний оболочки (особенно, их производных) в окрестности ее полюса. В целом же при расчете интегральных характеристик для куполообразных оболочек применение упомянутой приближенной расчетной схемы оправдано. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Разработанный на основе вариационного мето- да алгоритм решения задачи об осесимметричных колебаниях куполообразных оболочек вращения имеет одинаковую скорость сходимости как при малых, так и при средних значениях относитель- ной толщины оболочки. В области тех толщин, когда возможно применение регулярного базиса с использованием полиномов Лежандра, расшире- ние класса допустимых функций функциями типа погранслоя приводит к понижению порядка реша- емых алгебраических систем. Предложенные в работе системы координатных функций в методе Ритца обеспечивают равно- мерную сходимость решений и их первых прои- зводных во всех точках области интегрирования уравнений, описывающих собственные осесимме- тричные колебания куполообразных оболочек вра- щения. БЛАГОДАРНОСТИ Работа выполнена при частичной поддерж- ке Deutsche Forschung Gemeinschaft и НИР N 0107U002198. 1. Leissa A. W. Vibration of shells.– Washington, DC: NASA SP-288, Gov. Print. Of, 1993.– 428 p. 2. Григоренко Я. М., Беспалова Е. И., Китайгород- ский А. Б., Шинкарь А. И. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций.– К.: Наук. думка, 1986.– 172 с. 3. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.– М.: Машиностроение, 1975.– 376 с. 4. Годунов С. К. О численном решении крае- вых задач для систем линейных дифференциаль- ных уравнений // Усп. мат. наук.– 1961.– 16, вып. 3(99).– С. 171–174. 5. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек.– М.: Наука, 1979.– 384 с. 6. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений.– М.: Мир, 1968.– 464 с. 7. Боглаев Ю. П., Станилевский А. А. Обзор библи- ографии по численным методам решения задач с пограничным слоем.– М.: Препринт АН СССР, Ин-т физики твердого тела, 1984.– 48 с. 8. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем.– М.: Мир, 1983.– 200 с. 9. Kang J. H., Leissa A. W. Three-dimensional vibration analysis of thick, complete conical shells // Trans. ASME.– 2004.– 71.– P. 502–507. 10. Trotsenko Yu. V. Frequencies and modes of vibrati- on of a cylindrical shell with attached rigid body // J. Sound Vib.– 2006.– 292.– P. 535–551. 11. Троценко В. А., Троценко Ю. В. Решение зада- чи о собственных колебаниях незамкнутой оболоч- ки вращения в условиях ее сингуляпного возму- щения // Нелiнiйнi коливання.– 2005.– 8, N 3.– С. 415–432. 12. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Распределение соб- ственных частот тонких упругих оболочек.– М.: Наука, 1974.– 156 с. 56 В. А. Троценко, Ю. В. Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 2. С. 45 – 57 13. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек.– Л.: Су- достроение, 1962.– 431 с. 14. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное выро- ждение и пограничный слой для линейных диффе- ренциальных уравнений с малым параметром // Усп. мат. наук.– 1957.– 12, вып. 5(77).– С. 3–122. 15. Товстик П. Е. Низкочастотные колебания выпу- клой оболочки вращения // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела.– 1975.– N 6.– С. 110–116. 16. Медведев В. И., Соков Л. М. О собственных ко- лебаниях сферических оболочек // Прикл. пробл. прочн. пластичн.– 1975.– Вып. 2.– С. 36–43. В. А. Троценко, Ю. В. Троценко 57

Равномерно сходящийся метод Ритца в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме купола

Репозитарії

Схожі ресурси