Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки
При помощи нового подхода рассматривается задача об активном демпфировании вынужденных резонансных колебаний ортотропной вязкоупругой композитной цилиндрической панели с шарнирно опертыми торцами. Механическая нагрузка считается неизвестной и находится по экспериментальным показаниям сенсора. Задача...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Акустичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79831 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки / Т.В. Карнаухова // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 24-30. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-79831 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-798312015-04-06T03:01:54Z Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки Карнаухова, Т.В. При помощи нового подхода рассматривается задача об активном демпфировании вынужденных резонансных колебаний ортотропной вязкоупругой композитной цилиндрической панели с шарнирно опертыми торцами. Механическая нагрузка считается неизвестной и находится по экспериментальным показаниям сенсора. Задача решается методом Бубнова-Галеркина. Получена формула для разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для демпфирования резонансных колебаний панели. Исследовано влияние размеров сенсоров и актуаторов, диссипативных свойств материалов и температуры на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний цилиндрической панели. За допомогою нового пiдходу розглянуто задачу про активне демпфiрування вимушених резонансних коливань ортотропної в'язкопружної композитної цилiндричної панелi з шарнiрно обпертими торцями. Механiчне навантаження вважається невiдомим i знаходиться за експериментальними показниками сенсора. Задача розв'язується методом Бубнова-Гальоркiна. Одержано формулу для рiзницi потенцiалiв, яку потрiбно пiдвести до актуатора для демпфiрування резонансних коливань панелi. Дослiджено вплив розмiрiв сенсорiв та актуаторiв, дисипативних властивостей матерiалiв i температури на ефективнiсть активного демпфiрування вимушених резонансних коливань цилiндричної панелi. The problem on active damping of the forced resonant vibrations of the orthotropic viscoelastic composite cylindrical panel with simply supported edges is considered by new approach. The mechanical load is supposed to be unknown and is found after the experimental sensor's data. The problem is solved by the Bubnov-Galerkin method. The formula for a voltage to be applied to the actuator for compensating of the resonance panel vibrations has been obtained. The effect of the dimensions of sensors and actuators, dissipative properties of materials and the temperature on the effectiveness of active damping of forced resonant vibrations of the cylindrical panel have been studied. 2008 Article Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки / Т.В. Карнаухова // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 24-30. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79831 539.374 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
При помощи нового подхода рассматривается задача об активном демпфировании вынужденных резонансных колебаний ортотропной вязкоупругой композитной цилиндрической панели с шарнирно опертыми торцами. Механическая нагрузка считается неизвестной и находится по экспериментальным показаниям сенсора. Задача решается методом Бубнова-Галеркина. Получена формула для разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для демпфирования резонансных колебаний панели. Исследовано влияние размеров сенсоров и актуаторов, диссипативных свойств материалов и температуры на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний цилиндрической панели. |
| format |
Article |
| author |
Карнаухова, Т.В. |
| spellingShingle |
Карнаухова, Т.В. Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки Акустичний вісник |
| author_facet |
Карнаухова, Т.В. |
| author_sort |
Карнаухова, Т.В. |
| title |
Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки |
| title_short |
Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки |
| title_full |
Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки |
| title_fullStr |
Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки |
| title_full_unstemmed |
Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки |
| title_sort |
активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79831 |
| citation_txt |
Активное демпфирование вынужденных резонансных колебаний пологой вязкоупругой композитной цилиндрической панели при действии на нее неизвестной механической нагрузки / Т.В. Карнаухова // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 24-30. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhovatv aktivnoedempfirovanievynuždennyhrezonansnyhkolebanijpologojvâzkouprugojkompozitnojcilindričeskojpanelipridejstviinaneeneizvestnojmehaničeskojnagruzki |
| first_indexed |
2025-07-06T03:47:52Z |
| last_indexed |
2025-07-06T03:47:52Z |
| _version_ |
1836867831094837248 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 24 – 30
УДК 539.374
АКТИВНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ
ВЫНУЖДЕННЫХ РЕЗОНАНСНЫХ
КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ
КОМПОЗИТНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ
ПРИ ДЕЙСТВИИ НА НЕЕ НЕИЗВЕСТНОЙ
МЕХАНИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
Т. В. К АР Н А УХ О ВА
Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев
Получено 28.09.2008
При помощи нового подхода рассматривается задача об активном демпфировании вынужденных резонансных ко-
лебаний ортотропной вязкоупругой композитной цилиндрической панели с шарнирно опертыми торцами. Механи-
ческая нагрузка считается неизвестной и находится по экспериментальным показаниям сенсора. Задача решается
методом Бубнова–Галеркина. Получена формула для разности потенциалов, которую необходимо подвести к акту-
атору для демпфирования резонансных колебаний панели. Исследовано влияние размеров сенсоров и актуаторов,
диссипативных свойств материалов и температуры на эффективность активного демпфирования вынужденных ре-
зонансных колебаний цилиндрической панели.
За допомогою нового пiдходу розглянуто задачу про активне демпфiрування вимушених резонансних коливань
ортотропної в’язкопружної композитної цилiндричної панелi з шарнiрно обпертими торцями. Механiчне наванта-
ження вважається невiдомим i знаходиться за експериментальними показниками сенсора. Задача розв’язується
методом Бубнова –Гальоркiна. Одержано формулу для рiзницi потенцiалiв, яку потрiбно пiдвести до актуатора для
демпфiрування резонансних коливань панелi. Дослiджено вплив розмiрiв сенсорiв та актуаторiв, дисипативних вла-
стивостей матерiалiв i температури на ефективнiсть активного демпфiрування вимушених резонансних коливань
цилiндричної панелi.
The problem on active damping of the forced resonant vibrations of the orthotropic viscoelastic composite cylindrical
panel with simply supported edges is considered by new approach. The mechanical load is supposed to be unknown and
is found after the experimental sensor’s data. The problem is solved by the Bubnov –Galerkin method. The formula for
a voltage to be applied to the actuator for compensating of the resonance panel vibrations has been obtained. The effect
of the dimensions of sensors and actuators, dissipative properties of materials and the temperature on the effectiveness of
active damping of forced resonant vibrations of the cylindrical panel have been studied.
ВВЕДЕНИЕ
Неупругие композитные тонкие цилиндриче-
ские панели находят широкое применение во мно-
гих областях современной науки и техники: в ко-
смической технике, авиа-, автомобиле-, судо-, ма-
шиностроении, радиоэлектронике и т. п. Очень ча-
сто на них действуют нестационарные и гармони-
ческие во времени механические нагрузки. Осо-
бенно опасны резонансные колебания, когда ча-
стота гармонической во времени силы совпада-
ет с собственной частотой колебаний элемента.
В связи с этим возникает задача демпфирования
вынужденных резонансных колебаний таких па-
нелей. Для этого широко используются пассив-
ные методы, когда в структуру элемента включаю-
тся неупругие компоненты с высокими гистерези-
сными потерями. По этим вопросам опубликовано
большое количество работ, принадлежащих отече-
ственным и зарубежным ученым. Их обзор можно
найти в монографиях [1, 2].
В последние годы для указанной цели нача-
ли применяться активные методы, базирующие-
ся на включении пьезоэлектрических компонент
в структуру пассивного (без пьезоэффекта) тон-
костенного элемента из металлического, полимер-
ного или композитного материала [3 – 5]. Одни из
них выполняют функции сенсоров, дающих ин-
формацию о механическом состоянии тела, а дру-
гие – так называемых актуаторов. Существуют
два основных подхода к активному демпфирова-
нию колебаний. При использовании первого из них
для демпфирования применяются пьезоэлектри-
ческие включения, выполняющие функции акту-
атора. При этом основная задача состоит в расче-
те той разности потенциалов, которую необходимо
подвести к актуатору для компенсации резонан-
сной составляющей внешней механической нагруз-
ки. Если величина нагрузки известна, то соответ-
ствующим выбором разности потенциалов можно
полностью задемпфировать определенную (напри-
мер, первую) моду, амплитуда колебаний на кото-
24 c© Т. В. Карнаухова, 2008
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 24 – 30
рой станет равна нулю. При использовании второ-
го подхода, кроме актуаторов, применяются еще и
пьезоэлектрические сенсоры, а к актуаторам по-
дводится разность потенциалов, пропорциональ-
ная показателям сенсора – току или первой произ-
водной по времени от разности потенциалов, сни-
маемой с сенсоров. Коэффициент пропорциональ-
ности носит название коэффициента обратной свя-
зи. Это позволяет изменять диссипативные хара-
ктеристики пластины, в результате чего уменьша-
ется амплитуда ее колебаний. При использовании
описанного метода уровень резонансных колеба-
ний можно существенно снизить за счет соответ-
ствующего выбора коэффициента обратной связи.
Заметим, что при применении обоих методов не-
обходимо знать внешнюю нагрузку.
В этой статье рассматривается задача об актив-
ном демпфировании вынужденных резонансных
колебаний ортотропных вязкоупругих цилиндри-
ческих панелей с помощью нового подхода в слу-
чае, когда внешняя нагрузка неизвестна. Его суть
состоит в том, что по показаниям сенсора (за-
ряду или разности потенциалов) восстанавливае-
тся внешняя механическая нагрузка. После этого
используется описанная выше методика, когда к
актуатору подводится разность потенциалов, рас-
считанная по экспериментальным показаниям сен-
сора.
В дальнейшем предложенный подход будем на-
зывать третьим. В его рамках подводимая к акту-
атору разность потенциалов для компенсации соо-
тветствующей моды колебаний рассчитывается по
экспериментальным показателям сенсора – току
или разности потенциалов в зависимости от ти-
па электрических граничных условий. В результа-
те подавляются колебания на определенной моде.
Это является принципиальным отличием от вто-
рого подхода, при использовании которого имеет
место лишь уменьшение амплитуды вынужденных
резонансных колебаний за счет увеличения коэф-
фициента затухания.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим цилиндрическую панель размером
(a×b), на которую действует давление p(x, y)eiωt,
изменяющееся во времени по гармоническому за-
кону с частотой, близкой к резонансной. Колеба-
ния панели описываются на основе гипотез Кирх-
гофа – Лява, дополненных адекватными им ги-
потезами относительно распределения электри-
ческих полевых величин [6 – 9]. Пассивные слои
могут быть металлическими, полимерными либо
композитными. Будем считать их ортотропными.
Пьезоактивные слои считаются трансверсально-
изотропными и поляризованными по толщине пла-
стины. Если между слоями электроды отсутству-
ют, то на границе их раздела имеет место идеаль-
ный механический и электрический контакт. Дис-
сипативные свойства материалов пассивных и пье-
зоактивных слоев учитываются на основе конце-
пции комплексных характеристик [10]. Основные
соотношения теории оболочек с распределенными
сенсорами и актуаторами представлены в рабо-
тах [3, 5, 10]. Приведем те из них, которые исполь-
зуются в дальнейшем.
Ограничимся случаем трехслойной цилиндри-
ческой панели, средний слой толщиной h0 ко-
торой изготовлен из пассивного ортотропного
вязкоупругого материала, а два внешних (оди-
наковой толщины h1) – из пьезоэлектрических
трансверсально-изотропных вязкоупругих мате-
риалов с противоположными направлениями по-
ляризации. Общая толщина панели составляет
h=h0+2h1. Тогда комплексные определяющие
уравнения для усилий и моментов будут иметь
следующий вид [10]:
N1 = C11ε1 + C12ε2,
N2 = C12ε1 + C22ε2,
M1 = D11κ1 + D12κ2 + M0,
M2 = D12κ1 + D22κ2 + M̃0,
S = C66ε12,
H = D66κ12.
(1)
Величина M̃0 =M0e
iωt играет основную роль при
демпфировании резонансных колебаний. Именно
за счет соответствующего выбора этой величи-
ны и компенсируется механическая нагрузка при
использовании первого из указанных выше мето-
дов.
В монографии [10] приведены выражения для
жесткостных характеристик уравнений состоя-
ния (1) для слоистых пьезоэлектрических тонко-
стенных элементов произвольной структуры. На-
пример, если пьезоактивные слои трехслойной
пьезопанели имеют одинаковую толщину и оди-
наковые свойства, за исключением того, что они
имеют противоположную поляризацию
2
d31=−
1
d31,
справедливы следующие выражения для ком-
плексных электромеханических характеристик в
определяющих уравнениях (1).
В присутствии внутренних электродов, к
которым подведены разности потенциалов
Т. В. Карнаухова 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 24 – 30
V1 =−V2 =V0/2:
Cij = h0
0
Bij + 2h1
1
Bij,
Dij =
h3
0
12
0
Bij +
2
3
1
Bij+
+(1+
1
ν)
1
B11
k2
p
2(1−k2
p)
×
×
1−
3
4h1
[(
h0
2
+h1
)2
−
(
h0
2
)2]2
(
h0
2
+h1
)3
−
(
h0
2
)3
×
×
[(
h0
2
+ h1
)3
−
(
h0
2
)3]
,
M0 =
1
2
1
γ31(h1 + h0)V0.
(2)
В отсутствии внутренних электродов:
Cij = h0
0
Bij+2h1
1
Bij +
1+
1
ν
2
1
B11
1
kp
2
1−
1
kp
2
,
Dij =
h3
0
12
0
Bij +
2
3
1
Bij+
+(1+
1
ν)
1
B11
k2
p
2(1−k2
p)
×
×
1−
3
4h1
[(
h0
2
+h1
)2
−
(
h0
2
)2]2
(
h0
2
+h1
)3
−
(
h0
2
)3
×
×
[(
h0
2
+h1
)3
−
(
h0
2
)3]
2h1
0
γ33
h0
1
γ33+2h1
0
γ33
,
M0 =
0
γ31h1(h0 + h1)
0
γ33
h0
1
γ33 + 2h1
0
γ33
V0.
(3)
Здесь для пассивного ортотропного материала
0
B11 =
E1
1 − ν1ν2
,
0
B22 =
E2
1 − ν1ν2
,
0
B12 = ν1
0
B11 = ν2
0
B22,
0
B66 = G12.
Для пьезоэлектрического трансверсально-
изотропного материала
k
B11 =
k
B22 =
(
1 −
k
ν2
)
/
k
S11,
k
B12 =
k
ν
k
B11,
k
B66 =
(
1 −
k
ν
) k
B11/2,
k
γ33 =
k
εT
33
(
1 −
k
k2
p
)
,
k
γ31 =
k
d31/
[
k
SE
11
(
1 −
k
ν2
)]
,
k
kp
2 = 2
k
d31
2/
[
k
εT
33
k
SE
11
(
1 −
k
ν
)]
,
1
d31 = −
2
d31 > 0,
k
ν = −SE
12/
k
SE
11.
Уравнения вынужденных колебаний пологой
цилиндрической панели в декартовой системе ко-
ординат имеют вид [6, 7, 10]
∂N1
∂x
+
∂S
∂y
= 0,
∂S
∂x
+
∂N2
∂y
= 0,
∂2M1
∂x2
+ 2
∂2H
∂x∂y
+
∂2M2
∂y2
+
1
R
N2+
+p(x, y) + ρ̃ω2w = 0.
(4)
Здесь ρ̃ – приведенная плотность.
Кинематические соотношения в этих координа-
тах будут следующими:
ε1 =
∂u
∂x
, ε2 =
∂v
∂y
−
1
R
w, ε12 =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
,
κ1 =−
∂2w
∂x2
, κ2 =−
∂2w
∂y2
, κ12 =−2
∂2w
∂x∂y
.
(5)
Для пологой цилиндрической панели уравнение
совместности деформаций запишутся как
∂2ε1
∂y2
+
∂2ε2
∂x2
−
∂2ε12
∂x∂y
= −
1
R
∂2w
∂x2
. (6)
Функция усилий
N1 = h
∂2Φ
∂y2
, N2 = h
∂2Φ
∂x2
, S = −h
∂2Φ
∂x∂y
(7)
делает первые два уравнения (4) тождественно
равными нулю.
Из уравнений состояния (1) получим
εx = A11N1 − A12N2,
εy = −A12N1 + A22N2,
εxy = A66S.
(8)
Здесь A11 =C22/∆, A22 =C11/∆, A66 =1/C66,
∆=C11C22−C2
12.
26 Т. В. Карнаухова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 24 – 30
Подставив в уравнения (8) соотношения (7), а
результат – в уравнения совместности деформа-
ций (6), получим первое разрешающее уравнение
h
[
A11
∂4Φ
∂x4
+ (−2A12 + A66)
∂4Φ
∂x2∂y2
+
+A22
∂4Φ
∂y4
]
= −
1
R
∂2w
∂x2
.
(9)
Использовав третье уравнение движения (4), урав-
нения состояния (1) и соотношения (7), придем ко
второму разрешающему уравнению
D11
∂4w
∂x4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+
+D22
∂4w
∂y4
−
h
R
∂2w
∂x2
− ρ̃ω2w − q(x, y) = 0,
(10)
где
q = p + ∆M0, ∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
. (11)
Таким образом, комплексная разрешающая сис-
тема уравнений для пологой композитной цилин-
дрической панели имеет такой вид:
h
[
A11
∂4Φ
∂x4
+ (−2A12 + A66)
∂4Φ
∂x2∂y2
+
+A22
∂4Φ
∂y4
]
+
1
R
∂2w
∂x2
= 0,
(12)
D11
∂4w
∂x4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+
+D22
∂4w
∂y4
−
h
R
∂2w
∂x2
− ρ̃ω2w − q(x, y) = 0.
(13)
К ней добавим граничные условия, отвечающие
случаю шарнирного опирания торцов панели:
w=0, Mx =0, Φ=0,
∂2Φ
∂x2
=0 (x=0, a);
w=0, My =0, Φ=0,
∂2Φ
∂y2
=0 (y=0, b).
(14)
Уравнения (12) – (14) дают возможность иссле-
довать активное демпфирование цилиндрической
панели при действии на нее неизвестной механи-
ческой нагрузки. Задача состоит в расчете той ра-
зности потенциалов, которую необходимо подве-
сти к актуатору для компенсации механической
нагрузки. В связи с тем, что нагрузка считается
неизвестной, ее надо восстановить по эксперимен-
тальным показаниям сенсора.
2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Для шарнирного опирания торцов решение за-
дачи о вынужденных резонансных колебаниях ци-
линдрической панели по некоторой моде при дей-
ствии на нее гармонических механической и эле-
ктрической нагрузок будем искать в виде
w = wmn sin kmx sin pny,
Φ = Φmn sin kmx sin pny,
km = mπ/a, pn = nπ/b.
(15)
Резонансные составляющие механической и эле-
ктрической нагрузки ищем как
p0 = qmn sin kmx sin pny,
M0 = Mmnsinkmx sinpny.
(16)
Пусть центр актуатора размещен в точке (ξ, η), а
его размеры равны (c, d). Тогда
Mmn =
16M0φ(ξ, η, c, d)
abkmpn
,
φ(ξ, η, c, d)=sinkmξ sin pnη sin
knc
2
sin
pnd
2
.
(17)
Для определения величин wmn, Φmn мож-
но использовать вариационные методы или ме-
тод Бубнова – Галеркина. В соответствии с после-
дним подставим выражения (15), (16) в уравне-
ния (12), (13), а полученный результат умножим
на функцию формы и проинтегрируем по площади
оболочки:
wmn =
∆1mn
∆2mn
, Φmn =
k2
m
hR∆mn
wmn. (18)
Здесь
∆1mn =pmn − (k2
m+p2
n)Mmn ,
∆2mn =D11k
4
m+2(D12+2D66)k
2
mp2
n+
+D22p
4
n+
k4
m
R2∆mn
− ρ̃ω2,
∆mn =A22k
4
m+(−2A12+A66)k
2
mp2
n+A11p
4
n.
(19)
Реализуя предлагаемый подход к демпфирова-
нию колебаний при неизвестной механической на-
грузке, необходимо иметь выражения для показа-
ний сенсора при действии на панель только меха-
нической нагрузки. Для коротко замкнутых эле-
ктродов величина заряда на сенсоре определяется
Т. В. Карнаухова 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 24 – 30
выражением
Q = −γ31(h0 + h1)
∫∫
(S1)
(κ1 + κ2)dxdy. (20)
Для разомкнутых электродов разность потенциа-
лов находится по формуле
VS =
h1Q
S1γ33
. (21)
Для определения показаний при колебаниях на
некоторой моде (m, n) подставим (15) в выраже-
ния (20), (21) и вычислим интегралы по площа-
ди сенсора. Для простоты будем считать, что пье-
зоэлектрические включения выполняют одновре-
менно функции сенсора и актуатора. Тогда по-
сле соответствующих вычислений получим следу-
ющее выражение для показаний сенсора при коле-
баниях цилиндрической панели по моде (m, n):
Qmn = −4γ31(h0 + h1)
φ(ξ, η, c, d)
kmpn
wmn . (22)
Разность потенциалов сенсора при механических
колебаниях на определенной моде определяется по
формуле
VSmn =
h1Qmn
S1γ33
. (23)
Решение задачи о резонансных механических ко-
лебаниях панели на моде (m, n) имеет следующий
вид:
wmn =
pmn
∆2mn
. (24)
Собственная частота резонансных колебаний
определяется из выражения
ωmn =
√
1
ρ̃
[
D′
11k
4
m+2(D′
12+2D′
66)k
2
mp2
n+
...
...
+D′
22p
4
n+
k4
m∆′
mn
R2(∆′2
mn+∆′′2
mn)
]
.
(25)
При резонансных колебаниях считается, что
частота механической и электрической нагрузки
близка к частоте ωmn, в окрестности которой и
совершаются колебания панели. Подставив соот-
ношение (24) в формулы (22) и (23), найдем связь
между показаниями сенсора и нагрузкой:
pmn = −
Qmn∆2mn
4γ31(h0 + h1)ϕ(ξ, η, c, d)
,
pmn = −
S1γ33VSmn∆2mn
4γ31h1(h0 + h1)ϕ(ξ, η, c, d)
.
(26)
Полученные выражения дают возможность реали-
зовать предлагаемый нами третий подход.
3. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
Из формул (18), (19) видно, что для компенса-
ции внешней механической нагрузки к актуатору
необходимо подвести разность потенциалов, опре-
деляемую соотношением
VA =
ab
16f1
kmpnpmn
(k2
m + p2
n)
1
φ(ξ, η, c, d)
. (27)
Здесь, согласно уравнениям (2), (3),
f1 =
1
2
1
γ31(h1 + h0) либо f1 =
0
γ31h1(h0 + h1)
0
γ33
h0
1
γ33 + 2h1
0
γ33
в зависимости от размещения электродов.
При выполнении соотношения (27) амплитуда
изгибных колебаний на рассматриваемой моде бу-
дет равна нулю. При этом второе из соотноше-
ний (18) дает Φmn =0.
Соотношение (27) остается справедливым в слу-
чае зависимости свойств материала от температу-
ры (например, температуры диссипативного разо-
грева) и даже при учете физической нелинейности
материалов. Из него следует, что если свойства
активного материала не зависят от температуры
или амплитудных значений деформаций, то необ-
ходимая для компенсации основной моды колеба-
ний разность потенциалов не зависит от свойств
пассивного материала, так что в таком случае на
нее не влияет ни температура, ни физическая не-
линейность. Этот очень важный вывод позволя-
ет рассчитывать указанную разность потенциалов
по простейшей линейной теории вязкоупругости.
Если же свойства пьезоматериала зависят от тем-
пературы или амплитуд деформаций, то из фор-
мулы (27) видно, что разность потенциалов может
существенно измениться в зависимости от чув-
ствительности (например, γ31) к изменению тем-
пературы или амплитуде колебаний.
Основные недостатки основанного на форму-
ле (27) подхода состоят в том, что свободные коле-
бания не демпфируются и необходимо знать вне-
шнюю механическую нагрузку. Первый недоста-
ток устраняется за счет диссипативных (вязкоу-
пругих) свойств материалов. Для устранения вто-
рого используем третий подход, основанный на со-
отношениях (26), (27).
Подставим найденную из выражений (25), (26)
нагрузку в формулу (27) для потенциала актуато-
ра, компенсирующую данную нагрузку. В резуль-
28 Т. В. Карнаухова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 24 – 30
тате получим следующие выражения:
VA =
=−
ab
64f1
(kmpn)2∆2mnQmn
γ31(h0+h1)(k2
m+p2
n)φ(ξ, η, c, d)
=
=−
ab
64f1
(kmpn)2∆2mnVSmnγ33S1
γ31h1(h0+h1)(k2
m+p2
n)φ(ξ, η, c, d)
.
(28)
Как видно, при использовании предлагаемого под-
хода к актуатору подводится разность потенциа-
лов, определяемая из экспериментальных показа-
ний сенсора по формулам (28). При таком подхо-
де необходимо лишь знать форму колебаний, эле-
ктромеханические свойства материалов пластины
и ее размеры.
Эффективность активного демпфирования
вынужденных резонансных колебаний панели
зависит от эффективности работы сенсоров и
актуаторов. При заданной величине нагрузки
эффективнее работает тот актуатор, к которому
необходимо подвести меньшую разность потенци-
алов для компенсации заданной нагрузки. Счи-
тается, что при заданной механической нагрузке
более эффективен тот сенсор, у которого показа-
тели больше. Как видно из формул (22), (23), (27),
эффективность пьезовключений зависит от их
размещения и размеров, которые в свою очередь
зависят от моды колебаний. Оценка влияния этих
факторов сводится к анализу функции φ(ξ, η, c, d)
на экстремум. Для прямоугольной пластины он
проведен в работе [10], в которой представлены
результаты о влиянии расположения пьезовклю-
чений и их размеров на эффективность работы
сенсоров и актуаторов для различных мод коле-
баний пластины. Так как функции φ(ξ, η, c, d) для
панели и пластины одинаковы, то результаты [10]
остаются справедливыми и для цилиндрической
панели.
Обычно наибольшую опасность для работосп-
особности конструкций представляют колебания
на наименьшей частоте. Для ее определения необ-
ходимо исследовать выражение на минимум под
корнем в формуле (25). При этом можно пока-
зать, что для пологой цилиндрической панели в
широком диапазоне геометрических параметров и
жесткостных характеристик минимальной частоте
отвечают значения m=n=1. Для этого случая эф-
фективность работы пьезовключений будет самой
высокой при полном покрытии панели сенсорами
и актуаторами.
Из выражений (22) – (25) видно, что при отсут-
ствии вязкости в материале показания сенсоров
стремятся к бесконечности при приближении к ре-
зонансной частоте. Тогда малые ошибки в опреде-
лении механических свойств материалов должны
приводить к большим ошибкам в показаниях сен-
сора. Поэтому обязательным условием активного
демпфирования вынужденных резонансных коле-
баний панели с помощью предлагаемого подхода
является наличие гистерезисных потерь в матери-
алах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решена задача об активном демпфировании
вынужденных резонансных колебаний ортотро-
пных вязкоупругих цилиндрических панелей с по-
мощью пьезоэлектрических включений для слу-
чая, когда внешняя механическая нагрузка неи-
звестна. Для решения задачи использован ме-
тод Бубнова – Галеркина. Получены формулы для
восстановления механической нагрузки по изве-
стным показаниям сенсора – заряду либо разно-
сти потенциалов. После определения нагрузки для
демпфирования колебаний к актуатору подводи-
тся разность потенциалов, которая компенсирует
действие внешней нагрузки. При этом амплиту-
да колебаний по соответствующей моде станови-
тся равной нулю. В формулу для разности по-
тенциалов входят экспериментальные показания
сенсора. Исследовано влияние размещения сенсо-
ров и актуаторов, их размеров, вязкости и тем-
пературы на эффективность работы и на эффе-
ктивность активного демпфирования с их помо-
щью. Из полученных формул видно, что обяза-
тельным условием эффективного демпфирования
вынужденных резонансных колебаний по предла-
гаемому методу является наличие вязкости в мате-
риале пассивного слоя. При ее отсутствии показа-
ния сенсора на резонансе при приближении к резо-
нансной частоте стремятся к бесконечности. При
малой вязкости материала управление колебания-
ми становится очень чувствительным к ошибкам
измерений.
1. Матвеев В. В. Демпфирование колебаний дефор-
мируемых тел.– К.: Наук. думка, 1985.– 264 с.
2. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфи-
рование колебаний.– М.: Мир, 1988.– 448 с.
3. Gabbert U., Tzou H. S. Smart structures and
structronic systems.– Dordrecht: Kluver Academic
Pub., 2001.– 384 p.
4. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material
systems. Applications of functional materials //
Appl. Mech. Rev.– 1998.– 51, N 8.– P. 505–521.
5. Tzou H. S., Bergman L. A. Dynamics and control of
distributed systems.– Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1998.– 400 p.
Т. В. Карнаухова 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 24 – 30
6. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных
пластин.– М.: Наука, 1967.– 266 с.
7. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А.
Механика связанных полей в элементах констру-
кций. Том. 5. Электроупругость.– К.: Наук. думка,
1989.– 290 с.
8. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Механика свя-
занных полей в элементах конструкций. Том. 4.
Электротермовязкоупругость.– К.: Наук. думка,
1988.– 320 с.
9. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Вынужденные
гармонические колебания и диссипативный ра-
зогрев вязкоупругих тонкостенных элементов //
Успехи механики / Под ред. А. Н. Гузя. Том 1.–
К.: АСК, 2005.– С. 107–130.
10. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная
термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении.– Житомир:
ЖТТУ, 2005.– 428 с.
30 Т. В. Карнаухова
|