Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория

Предложены физическая и математическая модели грудной клетки человека, учитывающие наличие средостения, правого и левого легких, а также окружающей воздушной среды. На основе метода частичных областей решена соответствующая задача о распространении звука. При этом предполагалось, что источниками зву...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Вовк, И.В., Косовец, Л.И., Мацыпура, В.Т., Олийнык, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79849
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория / И.В. Вовк, Л.И. Косовец, В.Т. Мацыпура, В.Н. Олийнык // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 2. — С. 16-25. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79849
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-798492015-04-06T03:02:08Z Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория Вовк, И.В. Косовец, Л.И. Мацыпура, В.Т. Олийнык, В.Н. Предложены физическая и математическая модели грудной клетки человека, учитывающие наличие средостения, правого и левого легких, а также окружающей воздушной среды. На основе метода частичных областей решена соответствующая задача о распространении звука. При этом предполагалось, что источниками звука могут быть колебания трахеи и точечные источники в легких. Проведен численный анализ качества выполнения принятых граничных условий и условий сопряжения полей давлений и колебательных скоростей на границах частичных областей. Установлено, что в диапазоне частот от 100 до 1500 Гц для удовлетворительного выполнения условий сопряжения при численном решении соответствующих алгебраических систем достаточно удерживать от 130 до 520 неизвестных комплексных коэффициентов. Показано, что в этом случае погрешность выполнения закона сохранения энергии не превосходит 3·10⁻⁴%. Запропоновані фізична й математична моделі грудної клітки людини, які враховують наявність середостіння, правої й лівої легень, а також оточуючого повітряного середовища. На основі методу часткових областей розв'язано відповідну задачу про поширення звуку. При цьому припускалося, що джерелами звуку можуть бути коливання трахеї й точкові джерела в легенях. Проведено чисельний аналіз якості виконання прийнятих граничних умов та умов спряження полів тиску й коливальної швидкості на межах часткових областей. Встановлено, що в діапазоні частот від 100 до 1500 Гц для задовільної якості виконання умов спряження при чисельному розв'язуванні відповідних алгебраїчних систем достатньо утримувати від 130 до 520 невідомих комплексних коефіцієнтів. Показано, що в цьому випадку похибка виконання закону збереження енергії не більша за 3·10⁻⁴%. The physical and mathematical models of human thorax are proposed, with the allowance for mediastinum, left and right lungs and environmental air. The corresponding problem on sound propagation has been solved by the method of partial domains. In doing so, the sound sources were assumed to be generated by the tracheal oscillations and point sources in the lungs. The fulfillment quality for the boundary conditions and matching conditions for pressure and vibrational velocity fields has been numerically estimated on the interfaces of subdomains. It is found that for satisfactory meeting of matching conditions in frequency range 100 of 1500 Hz, it is sufficient to retain 130 to 520 unknown complex coefficients when solving the corresponding algebraic systems. The error of fulfillment of energy conservation law in this case is found to be ≤ 3·10⁻⁴%. 2011 Article Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория / И.В. Вовк, Л.И. Косовец, В.Т. Мацыпура, В.Н. Олийнык // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 2. — С. 16-25. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79849 534.7 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложены физическая и математическая модели грудной клетки человека, учитывающие наличие средостения, правого и левого легких, а также окружающей воздушной среды. На основе метода частичных областей решена соответствующая задача о распространении звука. При этом предполагалось, что источниками звука могут быть колебания трахеи и точечные источники в легких. Проведен численный анализ качества выполнения принятых граничных условий и условий сопряжения полей давлений и колебательных скоростей на границах частичных областей. Установлено, что в диапазоне частот от 100 до 1500 Гц для удовлетворительного выполнения условий сопряжения при численном решении соответствующих алгебраических систем достаточно удерживать от 130 до 520 неизвестных комплексных коэффициентов. Показано, что в этом случае погрешность выполнения закона сохранения энергии не превосходит 3·10⁻⁴%.
format	Article
author	Вовк, И.В. Косовец, Л.И. Мацыпура, В.Т. Олийнык, В.Н.
spellingShingle	Вовк, И.В. Косовец, Л.И. Мацыпура, В.Т. Олийнык, В.Н. Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория Акустичний вісник
author_facet	Вовк, И.В. Косовец, Л.И. Мацыпура, В.Т. Олийнык, В.Н.
author_sort	Вовк, И.В.
title	Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория
title_short	Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория
title_full	Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория
title_fullStr	Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория
title_full_unstemmed	Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория
title_sort	моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. часть 1. теория
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79849
citation_txt	Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория / И.В. Вовк, Л.И. Косовец, В.Т. Мацыпура, В.Н. Олийнык // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 2. — С. 16-25. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT vovkiv modelirovanieprocessarasprostraneniâzvukavgrudnojkletkečelovekačastʹ1teoriâ AT kosovecli modelirovanieprocessarasprostraneniâzvukavgrudnojkletkečelovekačastʹ1teoriâ AT macypuravt modelirovanieprocessarasprostraneniâzvukavgrudnojkletkečelovekačastʹ1teoriâ AT olijnykvn modelirovanieprocessarasprostraneniâzvukavgrudnojkletkečelovekačastʹ1teoriâ
first_indexed	2025-07-06T03:48:38Z
last_indexed	2025-07-06T03:48:38Z
_version_	1836867878904659968
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 УДК 534.7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В ГРУДНОЙ КЛЕТКЕ ЧЕЛОВЕКА. ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ И. В. ВО В К∗, Л. И. К О СО В ЕЦ∗, В. Т. МА Ц ЫП У Р А∗∗, В. Н. ОЛ И Й Н Ы К∗ ∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев ∗∗Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко Получено 19.04.2011 Предложены физическая и математическая модели грудной клетки человека, учитывающие наличие средостения, правого и левого легких, а также окружающей воздушной среды. На основе метода частичных областей решена соответствующая задача о распространении звука. При этом предполагалось, что источниками звука могут быть колебания трахеи и точечные источники в легких. Проведен численный анализ качества выполнения принятых граничных условий и условий сопряжения полей давлений и колебательных скоростей на границах частичных областей. Установлено, что в диапазоне частот от 100 до 1500 Гц для удовлетворительного выполнения условий сопряжения при численном решении соответствующих алгебраических систем достаточно удерживать от 130 до 520 неизвестных комплексных коэффициентов. Показано, что в этом случае погрешность выполнения закона сохранения энергии не превосходит 3 · 10−4 %. Запропонованi фiзична й математична моделi грудної клiтки людини, якi враховують наявнiсть середостiння, пра- вої й лiвої легень, а також оточуючого повiтряного середовища. На основi методу часткових областей розв’язано вiдповiдну задачу про поширення звуку. При цьому припускалося, що джерелами звуку можуть бути коливання трахеї й точковi джерела в легенях. Проведено чисельний аналiз якостi виконання прийнятих граничних умов та умов спряження полiв тиску й коливальної швидкостi на межах часткових областей. Встановлено, що в дiапазонi частот вiд 100 до 1500 Гц для задовiльної якостi виконання умов спряження при чисельному розв’язуваннi вiдпо- вiдних алгебраїчних систем достатньо утримувати вiд 130 до 520 невiдомих комплексних коефiцiєнтiв. Показано, що в цьому випадку похибка виконання закону збереження енергiї не бiльша за 3 · 10−4 %. The physical and mathematical models of human thorax are proposed, with the allowance for mediastinum, left and right lungs and environmental air. The corresponding problem on sound propagation has been solved by the method of partial domains. In doing so, the sound sources were assumed to be generated by the tracheal oscillations and point sources in the lungs. The fulfillment quality for the boundary conditions and matching conditions for pressure and vibrational velocity fields has been numerically estimated on the interfaces of subdomains. It is found that for satisfactory meeting of matching conditions in frequency range 100 of 1500 Hz, it is sufficient to retain 130 to 520 unknown complex coefficients when solving the corresponding algebraic systems. The error of fulfillment of energy conservation law in this case is found to be ≤ 3 · 10−4 %. ВВЕДЕНИЕ Шумы и звуки, прослушиваемые врачами с по- мощью стетофонендоскопа на поверхности гру- дной клетки, продолжают оставаться одними из важнейших информационных составляющих при диагностике заболеваний легких. На основе мно- гочисленных исследований сложилось мнение, что физическая причина возникновения шумов при акте дыхания связана с особенностями движения воздуха в бронхиальном дереве в норме и пато- логии (см. например [1 – 5] и обширную библио- графию в них). Таким образом, звуки дыхания имеют аэродинамическую природу и обусловле- ны преобразованием энергии воздушного потока в звуковую энергию за счет взаимодействия пото- ка со стенками дыхательных путей и различными препятствиями, например, в виде сгустков мокро- ты, образующихся на стенках при некоторых за- болеваниях [6]. Генерируемый потоком шум про- никает через расположенные в грудной клетке ор- ганы и, в конечном итоге, достигает внешней по- верхности грудной клетки, заставляя ее совершать колебания. Именно они и прослушиваются врачом с помощью стетофонендоскопа. Необходимо отметить, что эффективность пре- образования энергии потока в звуковую энергию шума весьма низка и, в лучшем случае, не пре- восходит одного-двух процентов [6]. Кроме того, затухание звука в паренхиме легких и бронхиаль- ном дереве довольно значительно [7 – 10]. Именно в силу этих причин уровень колебаний поверхно- сти грудной клетки, вызванных потоком воздуха в дыхательных путях, очень мал и в некоторых слу- чаях плохо прослушивается через стетофонендо- скоп. Поэтому в последние десятилетия интенсив- но разрабатываются электронные стетофонендо- скопы, способные регистрировать звуки дыхания эффективнее и в более широком диапазоне частот, чем при прослушивании с помощью традиционно- го механического стетофонендоскопа [4, 5]. Элек- тронные стетофонендоскопы также обеспечивают 16 c© И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык, 2011 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 визуализацию респираторных сигналов в виде спе- ктрограмм. Это дает возможность объективизи- ровать исторически сложившиеся у медиков су- бъективные вербальные модели шумов дыхания и исключить влияние естественного разброса остро- ты слуха медиков на результаты классификации шумов дыхания [11, 12]. Однако создание эффективных электронных средств регистрации и классификации звуков дыхания в определенной мере связано с необхо- димостью выработки модели канала распростра- нения их от источника до поверхности грудной клетки. Ее построение необходимо как для оцен- ки фильтрующих свойств различных органов, че- рез которые распространяется звук, так и для ре- шения обратной задачи – по регистрируемым на поверхности грудной клетки сигналам определять координаты источника звука внутри нее [13]. Ана- лиз литературных источников показывает, что в настоящее время указанная проблема весьма дале- ка от своего решения. Причины этого очевидны – колоссальная сложность анатомического строения грудной клетки и недостаточное количество дан- ных об акустических свойствах ее внутренних ор- ганов. Остановимся на описанных в литературе моде- лях более подробно. В 1989 году в статье [7] пре- дложена простейшая физическая система, состо- ящая из двух элементов – трубы, моделирующей трахею, и окружающего ее кольцевого слоя вяз- кой жидкости, моделирующего паренхиму легко- го. Осесимметричные колебания стенок трубы во- збуждали цилиндрические звуковые волны в коль- цевом слое и колебания его внешней поверхности. Полагая, что внешний диаметр слоя существенно меньше длины звуковой волны в нем, авторы на основе теории электромеханических аналогий за- менили исходную пространственную физическую систему эквивалентной электрической схемой с со- средоточенными параметрами. С использованием этой модели была получена расчетная оценка пе- редаточной функции при прохождении сигнала от трахеи к внешней поверхности паренхимы. Пока- зано, что коэффициент передачи имеет тенденцию снижаться с ростом частоты, что в общих чертах согласуется с экспериментальными данными. В 1995 году опубликована статья [14], в ко- торой модель грудной клетки была значитель- но усложнена. Она состояла из трахеи, кольцево- го слоя паренхимы легкого, кольцевых мышечно- реберного и внешнего мышечно-жирового слоев. как и в [7], источником звука считались осесим- метричные колебания стенок трахеи. Даже такой грубый учет топографии биологических тканей грудной клетки позволил получить более реали- стичные передаточные функции при прохождении сигнала от трахеи к поверхности тела. Кроме то- го, с помощью этой модели удалось оценить часто- тные зависимости механического импеданса по- верхности грудной клетки, что позволило вырабо- тать технические требования к акустическим да- тчикам, регистрирующим ее колебания. Наконец, в 2001 году появилась работа [15], в которой сделана попытка определить координаты источника сигнала внутри грудной клетки по ре- гистрируемым на ее поверхности сигналам. Были разработаны специальная многоэлементная аку- стическая (фазированная) антенная решетка из Q микрофонов и компьютерный алгоритм для обра- ботки получаемых с них сигналов. Тестовые экспе- рименты при Q=16 проводились на простейшем макете грудной клетки, состоящем из трех элемен- тов – “трахеи” в виде резиновой трубки и “парен- химы” в виде цилиндра из вспененного желати- на, охваченного тонким слоем обычного желати- на, на котором располагались микрофоны. После тестирования, по аналогичной методике проводи- лись эксперименты на реальных пациентах, имею- щих проблемы с легкими. Авторы обсуждаемой публикации утверждают, что разработанная методика оправдала их ожи- дания и ее, в принципе, можно использовать для диагностики заболеваний легких. Однако с этим выводом трудно согласиться. Дело в том, что, как уже отмечалось выше, в грудной клетке находятся не только легкие, но и ряд других органов. Все они сильно отличаются друг от друга не только по конфигурации, объему и месту расположения в грудной клетке, но и по плотности, скорости ра- спространения в них звука и величине его затуха- ния. Более того, даже беглый взгляд на картинки анатомического атласа [16] убеждает, что грудная клетка, в отличие от моделей [14, 15] не является в геометрическом смысле осесимметричным объе- ктом. Кроме того, легкие здесь моделировались цилиндром, акустические свойства которого не за- висят от азимутального направления распростра- нения звука к поверхности. Поэтому, если внутри макета имеется некоторый источник звука и мы с помощью антенной решетки, размещенной на его внешней поверхности, хотим определить его коор- динаты, то такая задача становится тривиальной, ибо величина задержки сигнала при его прохожде- нии от источника до q-го микрофона будет про- порциональна расстоянию между ними. Очевидно, что в грудной клетке пациента такая зависимость сохраняться не будет и прямое перенесение на нее указанной методики не вполне корректно. И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 а б Рис. 1. Легкие и дыхательные пути: а – вид во фронтальной плоскости (эскиз), б – горизонтальное сечение грудной клетки примерно на уровне 8-го позвонка (компьютерная томография); 1 – правое легкое, 2 – левое легкое, 3 – средостение, 4 – реберно-мышечный и жировой слой, 5 – трахея (на оригинальном томографическом изображении не видна) 6 – гортань Учитывая сказанное, цель данной работы со- стоит построении более реалистичной физической модели грудной клетки человека, формулирова- нии эквивалентной ей математической модели и решении задачи о распространении звука в гру- дной клетке человека. 1. ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ ГРУДНОЙ КЛЕТКИ За основу возьмем физическую модель, разра- ботанную в публикации [14]. При этом внесем в нее ряд существенных корректив, суть кото- рых изложим ниже. Для начала отметим неко- торые важные особенности анатомического строе- ния легких. На рис. 1, а изображен общий вид лег- ких и дыхательных путей (гортань, трахея, глав- ные бронхи и остальная часть бронхиального де- рева) [16]. На рис. 1, б представлено томографи- ческое изображение сечения легких примерно на уровне восьмого позвонка [17]. Как известно, лег- кие являются парным органом, т. е. делятся на ле- вое и правое, причем их пространственная фор- ма исключительно сложна. Однако если рассма- тривать только горизонтальное срединное сечение (см. рис. 1б), то в первом приближении каждое из легких выглядит как сектор цилиндрическо- го слоя. Далее, внутри между легкими существу- ет область (имеющая приблизительно цилиндри- ческую форму), называемая средостением. В ней находится целый комплекс органов, включая мно- гочисленные кровеносные сосуды, лимфатические узлы, стволы нервов и т. д. Примерно в середи- не средостения располагается трахея, от которой ответвляются главные бронхи. Таким образом, колебания стенок трахеи, вы- званные потоком воздуха в трахее при акте дыха- ния [3, 4, 6, 7, 14], вызывают появление звуковых волн, прежде всего, в средостении. Затем они про- никают в легкие и в зоны, расположенные между ними со стороны спины и груди. Наконец, прой- дя через реберно-мышечный слой и жировой слои, эти звуки достигают поверхности кожи грудной клетки, вызывая ее колебания. Результаты такого краткого анатомического анализа дают основание считать, что для получе- ния более реалистичной картины процесса распро- странения звука в грудной клетке разработанную в [14] модель необходимо усложнить за счет допол- нительного введения области средостения и еще четырех областей, занимаемых правым и левым легкими, а также зонами, расположенными между ними во фронтальном и дорсальном направлениях (рис. 2). Остановимся на особенностях предлагаемой фи- зической модели более подробно. Как и в рабо- те [14], данная модель двумерна, т. е. ее свой- ства определяются в двумерной полярной си- стеме координат (r, ψ). Моделируемая область имеет форму круга, причем главный источник звука – колеблющиеся стенки трахеи, на внеш- 18 И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 ней поверхности которой (при r=r0) создае- тся звуковое давление p0. Область I, ограничен- ная координатами r0≤r≤r1, 0≤ψ≤2π, модели- рует средостение. Сегменты цилиндрических сло- ев II и IV, ограниченные координатами r1≤r≤r2, 2π−ψ0≤ψ≤ψ0 и r1≤r≤r2, π−ψ0≤ψ≤π+ψ0 со- ответственно, моделируют левое и правое легкие. Сегменты цилиндрических слоев III и V, ограни- ченные координатами r1≤r≤r2, ψ0≤ψ≤π−ψ0 и r1≤r≤r2, π+ψ0≤ψ≤2π−ψ0 соответственно, мо- делируют межлегочные зоны. Кольцевая цилин- дрическая область VI, ограниченная координа- тами r2≤r≤r6, 0≤ψ≤2π, моделирует реберно- мышечный слой, а область VII, ограниченная ко- ординатами r6≤r≤r7, 0≤ψ≤2π, – жировой слой и кожную поверхность грудной клетки. Поми- мо этого, мы ввели в модель внешнюю область VIII с координатами r≥r7, 0≤ψ≤2π, моделирую- щую окружающее грудную клетку воздушное про- странство. Следует сказать, что колебания стенок трахеи – не единственный источник шумов, прослушивае- мых на поверхности грудной клетки. При опреде- ленных заболеваниях легких и бронхиального де- рева могут возникать так называемые сухие и вла- жные хрипы [18]. В общем случае, причина их по- явления связана с набуханием отдельных бронхов и бронхиол и выделением вязкой мокроты, кото- рая частично или полностью перекрывает прохо- ждение по ним воздуха при акте дыхания. При этом могут возникать свисты и щелчки различно- го характера. Такие источники звука носят преи- мущественно локальный характер и их можно рас- сматривать как точечные. Поэтому, чтобы иметь возможность исследовать распространение в гру- дной клетке звука, возникающего от такого ти- па источников, мы ввели в областях, моделирую- щих легкие, точечные источники p (1) 2 , p (2) 2 ,. . . , p (i) 2 (область II) и p (1) 4 , p (2) 4 ,. . . , p (i) 4 (область IV) Здесь i – номер источника (см. рис. 2). Разумеется, при наличии таких источников необходимо задавать координаты их расположения. Будем полагать, что каждая из пространс- твенных областей I – VIII принятой физической модели заполнена акустической средой с плот- ностью ρm и скоростью распространения звука cm= c̄m(1−iµm), где µm – коэффициент затуха- ния; m – номер области. Остается последний открытый вопрос: какими акустическими свойствами наделить границы, ра- зделяющие области легких II и IV и межлего- чные области III и V, т. е. поверхности r1≤r≤r2 при ψ=ψ0, π−ψ0, π+ψ0, 2π−ψ0? Ответ может Рис. 2. Геометрия модели грудной клетки оказаться простым, если вспомнить, что волновое сопротивление паренхимы легких намного мень- ше волнового сопротивления мышечной и жиро- вой тканей, а также органов, заполненных кро- вью и лимфой. Действительно, по данным ра- бот [7, 14] среднее волновое сопротивление па- ренхимы легких составляет около 104 кг/(м2с), а для остальных биотканей его уровень составляет 1.5 · 106 кг/(м2с) и более. Таким образом, волновое сопротивление легочной ткани на два порядка ни- же, чем для остальных. Эта оценка дает основание считать, что со стороны легочных областей ука- занные границы вполне допустимо считать аку- стически жесткими, а со стороны межлегочных областей – акустически мягкими. Наделив всеми необходимыми свойствами фи- зическую модель грудной клетки, можно перейти к ее эквивалентной математической формулиров- ке и решению. Итак, мы имеем плоскую задачу излучения звука в цилиндрической системе коор- динат. Будем полагать все источники гармониче- скими с частотой ω. Полная область существова- ния звукового поля разбита на ряд граничащих между собой подобластей, каждая из которых за- полнена акустической средой с известными значе- ниями плотности, скорости звука и его затухания в среде. Заданы координаты гармонических исто- чников звука и характер распределения звуково- го поля на их поверхности. Требуется определить поля давлений и колебательных скоростей в ка- ждой из подобластей на заданных частотах. Оче- видно, что мы пришли к классической многосвя- И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 зной задаче излучения звука, в которой необходи- мо отыскать решение уравнения Гельмгольца в ци- линдрической системе координат при следующих граничных условиях. На поверхности трахеи pI = p0, r = r0, 0 ≤ ψ ≤ 2π, (1) где p0 – амплитуда давления источника звука на поверхности, моделирующей трахею; pI – по- ле давления в области I. Временной множитель exp(−iωt) здесь и ниже опускаем. Как уже отмечалось, с внутренних сторон лего- чных областей II и IV запишем граничное условие для акустически жестких поверхностей: ∂pII ∂ψ =0, r1≤r≤r2, ψ=ψ0, 2π−ψ0; ∂pIV ∂ψ =0, r1≤r≤r2, ψ=π−ψ0, π+ψ0, (2) где pII и pIV – давление в областях II и IV. В то же время, со стороны межлегочных обла- стей III и V навяжем граничное условие для аку- стически мягких поверхностей: pIII=0, r1≤r≤r2, ψ=π+ψ0, 2π−ψ0; pV=0, r1≤r≤r2, ψ=ψ0, π−ψ0, (3) где pIII и pV – давление в областях III и V. Что ка- сается точечных источников в легочных областях, то способ их введения мы укажем ниже. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Сформулированную граничную задачу будем решать методом частичных областей [19,20]. Изна- чально предположим, что задача симметрична относительно оси Ox (рис. 2), т. е. достаточно рас- сматривать только область y≥0, где угловая ко- ордината изменяется в пределах 0≤ψ≤π. С одной стороны, такое допущение фактически не ограни- чивает общности рассмотрения исследуемой про- блемы, а с другой – существенно облегчает постро- ение вычислительного алгоритма. В каждой из частичных областей звуковое поле представим в виде суперпозиции известных част- ных решений уравнения Гельмгольца для нее. По- ле давления в области I запишем в виде [19, 20] pI = ∞ ∑ n=0 A(1) n Jn(k1r) J ′ n(k1r1) cos(nψ)+ + ∞ ∑ n=0 B(1) n Yn(k1r) Y ′ n(k1r0) cos(nψ) , (4) где волновое число k1=ω/c1; Jn(k1r) и Yn(k1r) – функции Бесселя и Неймана соответственно. Бла- годаря наличию в формуле (4) двух последова- тельностей произвольных величин A (1) n и B (1) n , имеется возможность удовлетворить необходимые условия на граничных поверхностях области I – окружностях с радиусами r0 и r1. В области II возможно присутствие точечных источников. Сама же область представляет собой внешность жесткого клина, образованного лучами ψ=0 и ψ=ψ0. Поле давления точечного источни- ка в области II определим через функцию Грина для клина с жесткими границами [20]: G (2) j (r, ψ, rj, ψj) = p (j) 2 πi 2ψ0 × × ∞ ∑ n=0 εnJαn (k2r<)H (1) αn (k2r>)× × cos(αnψ) cos(αnψj). (5) Здесь k2=ω/c2 – волновое число; r и ψ – координа- ты произвольной точки в области II; rj и ψj – ко- ординаты источника, которому приписан номер j; ε0=1, εn=2 при n>0, H (1) αn (k2r>) – функция Хан- келя первого рода. Величины r< и r> определяют меньшее и большее из расстояний r и rj соответ- ственно. Числа αn, n=0, 1, 2, . . . находятся из гра- ничных условий на плоских поверхностях области II. Поскольку последние полагаются акустически жесткими, то αn=nπ/ψ0. Тогда поле в области II можно представить как pII = ∞ ∑ n=0 A(2) n Jαn (k2r) J ′ αn (k2r2) cos(αnψ)+ + ∞ ∑ n=0 B(2) n Yαn (k2r) Y ′ αn (k2r1) cos(αnψ)+ + J2 ∑ j=1 G (2) j (r, ψ, rj, ψj), (6) где J2 – количество точечных источников в обла- сти II (y≥0). Поле в области III будет pIII = ∞ ∑ n=0 A(3) n Jβn (k1r) J ′ βn (k1r2) sin(βn(ψ − ψ0))+ + ∞ ∑ n=0 B(3) n Yβn (k1r) Y ′ βn (k1r1) sin(βn(ψ − ψ0)). (7) Здесь числа βn, n=0, 1, 2, . . . определяются из гра- ничных условий на плоских поверхностях области 20 И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 III. В области III они полагаются акустически мяг- кими, так что βn=(n+1)π/(π−2ψ0). В области IV также возможно присутствие то- чечных источников. По аналогии с формулой (6), поле здесь зададим в форме pIV = ∞ ∑ n=0 A(4) n Jαn (k4r) J ′ αn (k4r2) cos(αn(ψ − π))+ + ∞ ∑ n=0 B(4) n Yαn (k4r) Y ′ αn (k4r1) cos(αn(ψ − π))+ + J4 ∑ j=1 G (4) j (r, ψ, rj, ψj), (8) где волновое число k4=ω/c4, а J4 – количество то- чечных источников в области IV (y≥0). Функция Грина точечного источника в области IV будет G (4) j (r, ψ, rj, ψj) = p (i) 4 πi 2ψ0 × × ∞ ∑ n=0 εnJαn (k2r<)H (1) αn (k2r>)× × cos(αn(ψ − π)) cos(αn(ψj − π)). (9) Поля в областях VI и VII записываются в виде, аналогичном формуле (4): pVI = ∞ ∑ n=0 A(6) n Jn(k6r) J ′ n(k6r6) cos(nψ)+ + ∞ ∑ n=0 B(6) n Yn(k6r) Y ′ n(k6r2) cos(nψ), (10) pVII = ∞ ∑ n=0 A(7) n Jn(k7r) J ′ n(k7r7) cos(nψ)+ + ∞ ∑ n=0 B(7) n Yn(k7r) Y ′ n(k7r6) cos(nψ), (11) где k6=ω/c6, k7=ω/c7. Поле в области VIII – внешности цилиндриче- ской поверхности радиуса r7 – представляется в виде суперпозиции цилиндрических волн: pVIII = ∞ ∑ n=0 A(8) n H (1) n (k8r) H (1) n ′(k8r7) cos(nψ), (12) где k8=ω/c8. Сформируем систему функциональных уравне- ний, определяющую условия непрерывности зву- кового поля на границах раздела областей I, II, III, IV, VI, VII и VIII: pI = p0, r = r0, ψ = [0, 2π]; (13) 1 ρ1 ∂pVI ∂r =                    1 ρ2 ∂pII ∂r , r=r1, ψ=[0, ψ0], 1 ρ3 ∂pIII ∂r , r=r1, ψ=[ψ0, π−ψ0], 1 ρ4 ∂pIV ∂r , r=r1, ψ=[π−ψ0, π]; (14) pI = pII, r = r1, ψ = [0, ψ0]; (15) pI = pIII, r = r1, ψ = [ψ0, π − ψ0]; (16) pI = pIV, r = r1, ψ = [π − ψ0, π]; (17) 1 ρ6 ∂pVI ∂r =                    1 ρ2 ∂pII ∂r , r=r2, ψ=[0, ψ0], 1 ρ3 ∂pIII ∂r , r=r2, ψ=[ψ0, π−ψ0], 1 ρ4 ∂pIV ∂r , r=r2, ψ=[π−ψ0, π]; (18) pVI = pII, r = r2, ψ = [0, ψ0]; (19) pVI = pIII, r = r2, ψ = [π − ψ0, π]; (20) pVI = pIV, r = r2, ψ = [π − ψ0, π]; (21) 1 ρ7 ∂pVII ∂r = 1 ρ6 ∂pVI ∂r , r=r6, ψ=[0, π]; (22) pVII = pVI, r = r6, ψ = [0, π]; (23) 1 ρ8 ∂pVIII ∂r = 1 ρ7 ∂pVII ∂r , r=r7, ψ=[0, π]; (24) pVIII = pVII, r = r7, ψ = [0, π]. (25) И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык 21 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 После подстановки выражений (4) – (12) в сис- тему (13) – (25), проведем стандартную процеду- ру алгебраизации полученных функциональных уравнений. Это приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода относительно неизвестных коэффициентов A (j) n , j=1, . . . , 8; B (i) n , i=1, . . . , 7; n=0, 1, 2, . . .∞. Согласно геометрии задачи (см. рис. 2), в по- строенной модели присутствуют угловые точки на окружностях радиуса r=r1 и r=r2 с угловыми ко- ординатами ψ=ψ0, π−ψ0, π+ψ0, 2π−ψ0. Как хо- рошо известно, при приближении к этим точкам колебательная скорость будет неограниченно воз- растать [19,20]. Однако этот эффект носит исклю- чительно локальный характер и не может пов- лиять на результаты расчета полей, если основ- ной интерес представляют их характеристики вда- ли от угловых точек. В таком случае, как по- казывают многочисленные исследования (см., на- пример, [19]), приемлемую точность численных ре- зультатов можно обеспечить с помощью метода простой редукции, удерживая в системе достато- чное конечное количество неизвестных. 3. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ВЫПОЛНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И УСЛОВИЙ СО- ПРЯЖЕНИЯ Как известно, при решении задач такого класса методом частичных областей количество удержи- ваемых неизвестных в полученных системах алге- браических уравнений определяется опытным пу- тем при анализе точности выполнения закона со- хранения энергии, а также качества выполнения граничных условий и условий сопряжения на гра- ницах раздела частичных областей [19, 20]. При этом большое значение имеют также частоты , для которых получают расчетные данные. В нашем случае наибольший интерес представляет диапа- зон частот примерно от 100 до 1500 Гц, так как именно в нем проявляются основные диагностиче- ские признаки звуков дыхания, характеризующие состояние респираторной системы человека в нор- ме и патологии [4, 5, 7]. Что касается граничных условий (1) – (3), то они выполняются точно за счет возможности получе- ния непосредственной связи между коэффициен- тами A (1) n и B (1) n в соотношении (4) и соответству- ющего выбора величин αn и βn в соотношениях (6) и (7). Что касается качества выполнения условий сопряжения (14) – (25), то, как показали числен- ные эксперименты, приемлемых результатов мож- но добиться, если на низких частотах в соответ- ствующей алгебраической системе удерживать не менее 130, а на высоких – не менее 520 неизвест- ных. В качестве примера на рис. 3 и 4 представ- лены результаты расчета полей на границах между смежными частичными областями I – VII, которые позволяют наглядно оценить качество выполнения условий сопряжения (14) – (25). Расчеты проводились на частоте 1000 Гц при ψ0=50◦ и p0=100 Па. Количество удерживае- мых неизвестных комплексных коэффициентов, при решении соответствующей алгебраической системы уравнений, составляло 520. Физические размеры и параметры биотканей в каждой из областей брались такими же, как и в работе [14]. Так, линейные размеры составляли r0=0.01, r1=0.07, r2=0.14, r6=0.15, r7=0.16 (все зна- чения – в м); плотности ρ1=1000, ρ2=ρ4=300, ρ3=ρ5=ρ7=1000, ρ6=2000 и ρ8=1.22 (все значе- ния – в кг/м3); скорости звука c1=1500(1−0.2i), c2=c4=30(1−0.25i), c3=c5=c7=1500(1−0.2i), c6=2500(1−0.3i) и c8=340 (все значения – в м/с). Комплексный характер величины скорости звука моделирует поглощение звука в биотканях человека. Кроме того, на этапе тестирования предполагалось, что точечные источники в областях II и IV отсутствуют. Для начала обратимся к рис. 3, на котором пред- ставлены модули и фазы давлений на тех окру- жностях, где стыкуются частичные области I – VIII. Как видно из этих данных, качество выпол- нения условий сопряжения по давлению достаточ- но хорошее – модули и фазы соответствующих давлений совпадают с графической точностью. Теперь посмотрим, как на этих же границах выполняются условия сопряжения по колебатель- ной скорости. Как и ожидалось, здесь на окружно- стях r=r1 и r=r2 (см. рис. 4, а, б) качество сопря- жения несколько хуже. Причины этого очевидны. Во-первых, представленные колебательные скоро- сти – по сути, производные от давлений по коор- динате r, имеющие меньшую гладкость по срав- нению с самой функцией. Во-вторых, поверхно- сти r1≤r≤r2, ψ=ψ0 и ψ=π−ψ0 были наделены специфическими свойствами: с одной стороны – они акустически мягкие, а с другой – акустиче- ски жесткие. Такая смена свойств автоматически приводит к тому, что на концах этих зон (в то- чках r=r1, r=r2 при ψ=ψ0 и ψ=π−ψ0) возни- кают особенности (сингулярности) – колебатель- ные скорости неограниченно возрастают [19, 20]. При решении урезанной системы алгебраических уравнений это проявляется в наличии резких пи- ковых “выбросов” колебательной скорости коне- 22 И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 а б в г Рис. 3. Уровни давлений на окружных срезах: а – r=r1 , б – r=r2 , в – r=r6 , г – r=r7 ; 1, 2 – модули давлений, 3, 4 – фазы давлений; 1, 3 – значения с внутренних сторон окружностей, 2, 4 – значения с внешних сторон окружностей чного уровня при подходе к ψ=ψ0 и ψ=π−ψ0, см. рис. 4, а, б. Повторим, что этот эффект име- ет исключительно локальный (точечный) харак- тер, а в остальных точках (т. е. вдали от ψ=ψ0 и ψ=π−ψ0) качество выполнения условий сопряже- ния по скорости вполне удовлетворительно. Заме- чательно, что очень хорошо выполняются условия сопряжения при всех без исключения ψ на окру- И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык 23 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 а б в г Рис. 4. Уровни скоростей на окружных срезах: а – r=r1 , б – r=r2 , в – r=r6 , г – r=r7 ; 1, 2 – модули скоростей, 3, 4 – фазы скоростей; 1, 3 – значения с внутренних сторон окружностей, 2, 4 – значения с внешних сторон окружностей жностях r=r6 и r=r7 (см. рис. 4, в, г). Здесь ни- каких эффектов, связанных с сингулярностью, не наблюдается. Заметим, что окружность r=r7 как раз и моделирует поверхность грудной клетки, т. е. именно здесь и регистрируются шумы легких. Подтверждением того, что наличие особых то- чек и поверхностей не оказывают существенного влияния на общее распределение полей давлений 24 И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 16 – 25 и скоростей в разработанной модели, может слу- жить также качество выполнения закона сохране- ния энергии. Численная проверка показала, что мощность заданного источника звука на окружно- сти r=r0 отличается от мощности звуковой вол- ны, достигшей окружности r=r7, всего лишь на 3 · 10−4 %. В заключение укажем, что развернутый анализ акустических свойств, предложенной модели гру- дной клетки человека будет представлен в после- дующих публикациях. ВЫВОДЫ 1. Предложены физическая и математическая модели грудной клетки человека, учитываю- щие наличие средостения, двух легких, а так- же воздушной среды, окружающей грудную клетку. 2. На основе метода частичных областей реше- на задача о распространении звука в предло- женной области существования акустическо- го поля. При этом предполагалось, что исто- чниками звука могут быть колебания трахеи и точечные источники в легких. 3. Проведен численный анализ качества выпол- нения принятых граничных условий и усло- вий сопряжения полей давлений и колебатель- ных скоростей на границах частичных обла- стей. Установлено, что в диапазоне частот от 100 до 1500 Гц для приемлемого выполне- ния условий сопряжения при численном ре- шении соответствующих алгебраических си- стем уравнений достаточно удерживать от 130 до 520 неизвестных комплексных коэффици- ентов. Показано, что в этом случае погре- шность выполнения закона сохранения энер- гии составляет не более 3 · 10−4 %. 1. Большая Медицинская Энциклопедия: том 2.– М.: Сов. Энцикл, 1975.– С. 532–534. 2. Martini P., Meuller H. Studien Über das bronchi- alastmen // Dtsh. Arch. F. Klin. Med.– 1923.– 143.– S. 159–172. 3. Pasterkamp H., Sanchez I. Tracheal sounds in upper airway obstruction // Chest.– 1992.– 102.– P. 963– 965. 4. Gavriely N. Breath sounds methodology.– London/Tokyo: CRC Press, 1995.– 203 p. 5. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Красный Л. Г., Ма- каренков А. П. Проблемы регистрации и класси- фикации шумов дыхания человека // Акуст. ж.– 1994.– 40, № 1.– С. 50–56. 6. Вовк И. В., Гринченко В. Т. Звук, рожденный потоком.– К.: Наук. думка, 2010.– 221 с. 7. Wodicka G. R., Stevens K. N., Golub H. L., Cravalho E. G., Shannon D. C. A model of acoustic transmission in the respiratory system // IEEE Trans. Biomed. Eng.– 1989.– 36, N 9.– P. 925–933. 8. Вовк И. В., Вовк О. И. Распространение звука в бронхиальном дереве человека. Часть I. Теория // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 2.– С. 19–32. 9. Басовский В. Г. Вовк И. В., Вовк О. И. Распро- странение звука в бронхиальном дереве человека. Часть II. Анализ численных результатов // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 4.– С. 11–20. 10. Олийнык В. Н. О механизмах формирования аку- стических свойств легочной паренхимы // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 3.– С. 53–66. 11. Pasterkamp H., Carson C., Daien D., Oh Y. Digi- tal respirosonography. New images of lung sounds // Chest.– 1989.– 96, № 6.– P. 1405–1412. 12. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Дахнов С. Л., Крижа- новский В. В., Олийнык В. Н. Шумы дыхания че- ловека: объективизация аускультативных призна- ков // Акуст. вiсн.– 1999.– 2, № 3.– С. 11–32. 13. Крижановский В. В., Крижановский В. В. (мл.) Оценка эффективности обнаружения неодноро- дности стенки конечного кусочно-однородного ци- линдра // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, № 1-2.– С. 69–84. 14. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Олейник В. Н. Проблемы моделирования акустических свойств грудной клетки и измерения шумов дыхания // Акуст. ж.– 1995.– 41, № 5.– С. 758–768. 15. Kompis M., Pasterkamp H., Wodicka G. Acoustic imaging of the human chest // Chest.– 2001.– 120.– P. 1309–1321. 16. Сапин М. Р., Билич Г. Л. Анатомия человека.– М.: Высшая школа, 1989.– 544 с. 17. Wei Q., Hu Ya., Gelfand G., MacGregor J. H. Segmentation of lung lobes in high-resolution isotropic CT images // IEEE Trans. Biomed. Eng.– 2009.– 56 № 5.– P. 1383–1393. 18. Губергриц А. Я. Непосредственное исследование больного.– Ижевск: Удмуртия, 1996.– 332 с. 19. Гринченко В. Т., Вовк И. В. Волновые задачи рас- сеяния звука на упругих оболочках.– К.: Наук. думка, 1986.– 240 с. 20. Грiнченко В. Т., Вовк I. В., Маципура В. Т. Основи акустики.– К.: Наук. думка, 2007.– 640 с. И. В. Вовк, Л. И. Косовец, В. Т. Мацыпура, В. Н. Олийнык 25

Моделирование процесса распространения звука в грудной клетке человека. Часть 1. Теория

Репозитарії

Схожі ресурси