Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом

Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом

Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводі з півнескінченною тріщиниою й вільними від напружень стінками. Проведено повний аналіз дифракції пружних хвиль на півнескінченному розрізі. Для розв'язання задачі використовувався метод часткових областей, який призводить до нескінче...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
1. Verfasser: Семків, М.Я.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Schriftenreihe:Акустичний вісник
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79853
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом / М.Я. Семків // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 2. — С. 57-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-79853
record_format dspace
spelling irk-123456789-798532015-04-06T03:02:15Z Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом Семків, М.Я. Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводі з півнескінченною тріщиниою й вільними від напружень стінками. Проведено повний аналіз дифракції пружних хвиль на півнескінченному розрізі. Для розв'язання задачі використовувався метод часткових областей, який призводить до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих амплітуд. Цю систему було розв'язано методом лишків аналітичної функції. Отримано точний розв'язок задачі. Обчислені енергетичні коефіцієнти відбиття й проникнення нормальних SH-хвиль на розрізі хвилеводу. Всі результати отримані для різних довжин падаючої хвилі. Побудовано графіки залежності коефіцієнтів відбиття й проникнення від частоти. Оцінено нев'язку при заміні нескінченних добутків у виразах для амплітуд скінченними. Рассмотрено распространение нормальных SH-волн в упругом волноводе с полубесконечным разрезом и свободными от напряжений стенками. Проведен полный анализ дифракции упругих волн на полубесконечном разрезе. Для решения задачи использовался метод частичных областей, приводящий к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд. Эта система была решена методом вычетов аналитической функции. Получено точное решение задачи. Вычислены энергетические коэффициенты отражения и прохождения нормальной SH-волны на разрезе волновода. Все результаты получены для разных длин падающей волны. Построены графики зависимости коэффициентов отражения и прохождения от частоты. Проведена оценка невязки при замене бесконечных произведений в выражениях для амплитуд конечными. The paper deals with propagation of SH-waves in an elastic waveguide with a semi-infinite crack and free boundaries. A complete analysis of elastic wave diffraction on the semi-infinite crack is performed. The problem is solved by the method of partial domains that yields the infinite system of algebraic equations for unknown amplitudes. This system is solved by the method of residues of analytical function. The exact solution of the problem is obtained. The reflection and transmission coefficients are calculated for the normal SH-wave traveling through the crack of waveguide. All results are obtained for different lengths of the incident wave. The dependencies of the reflection and transmission coefficients versus the dimensionless frequency are plotted. The discrepancy occurring due to substitution of the infinite products in the amplitudes by finite ones is estimated. 2011 Article Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом / М.Я. Семків // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 2. — С. 57-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79853 539.3 uk Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводі з півнескінченною тріщиниою й вільними від напружень стінками. Проведено повний аналіз дифракції пружних хвиль на півнескінченному розрізі. Для розв'язання задачі використовувався метод часткових областей, який призводить до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих амплітуд. Цю систему було розв'язано методом лишків аналітичної функції. Отримано точний розв'язок задачі. Обчислені енергетичні коефіцієнти відбиття й проникнення нормальних SH-хвиль на розрізі хвилеводу. Всі результати отримані для різних довжин падаючої хвилі. Побудовано графіки залежності коефіцієнтів відбиття й проникнення від частоти. Оцінено нев'язку при заміні нескінченних добутків у виразах для амплітуд скінченними.
format Article
author Семків, М.Я.
spellingShingle Семків, М.Я.
Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом
Акустичний вісник
author_facet Семків, М.Я.
author_sort Семків, М.Я.
title Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом
title_short Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом
title_full Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом
title_fullStr Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом
title_full_unstemmed Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом
title_sort дифракція нормальних sh-хвиль у хвилеводі з розрізом
publisher Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79853
citation_txt Дифракція нормальних SH-хвиль у хвилеводі з розрізом / М.Я. Семків // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 2. — С. 57-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series Акустичний вісник
work_keys_str_mv AT semkívmâ difrakcíânormalʹnihshhvilʹuhvilevodízrozrízom
first_indexed 2025-07-06T03:48:48Z
last_indexed 2025-07-06T03:48:48Z
_version_ 1836867890043682816
fulltext ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 УДК 539.3 ДИФРАКЦIЯ НОРМАЛЬНИХ SH-ХВИЛЬ У ХВИЛЕВОДI З РОЗРIЗОМ М. Я. СЕМ КI В Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка Одержано 20.06.2011 Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводi з пiвнескiнченною трiщиниою й вiльними вiд напружень стiнками. Проведено повний аналiз дифракцiї пружних хвиль на пiвнескiнченному розрiзi. Для розв’я- зання задачi використовувався метод часткових областей, який призводить до нескiнченної системи лiнiйних алге- браїчних рiвнянь для невiдомих амплiтуд. Цю систему було розв’язано методом лишкiв аналiтичної функцiї. Отри- мано точний розв’язок задачi. Обчисленi енергетичнi коефiцiєнти вiдбиття й проникнення нормальних SH-хвиль на розрiзi хвилеводу. Всi результати отриманi для рiзних довжин падаючої хвилi. Побудовано графiки залежностi коефiцiєнтiв вiдбиття й проникнення вiд частоти. Оцiнено нев’язку при замiнi нескiнченних добуткiв у виразах для амплiтуд скiнченними. Рассмотрено распространение нормальных SH-волн в упругом волноводе с полубесконечным разрезом и свободны- ми от напряжений стенками. Проведен полный анализ дифракции упругих волн на полубесконечном разрезе. Для решения задачи использовался метод частичных областей, приводящий к бесконечной системе линейных алгебраи- ческих уравнений относительно неизвестных амплитуд. Эта система была решена методом вычетов аналитической функции. Получено точное решение задачи. Вычислены энергетические коэффициенты отражения и прохождения нормальной SH-волны на разрезе волновода. Все результаты получены для разных длин падающей волны. Постро- ены графики зависимости коэффициентов отражения и прохождения от частоты. Проведена оценка невязки при замене бесконечных произведений в выражениях для амплитуд конечными. The paper deals with propagation of SH-waves in an elastic waveguide with a semi-infinite crack and free boundaries. A complete analysis of elastic wave diffraction on the semi-infinite crack is performed. The problem is solved by the method of partial domains that yields the infinite system of algebraic equations for unknown amplitudes. This system is solved by the method of residues of analytical function. The exact solution of the problem is obtained. The reflection and transmission coefficients are calculated for the normal SH-wave traveling through the crack of waveguide. All results are obtained for different lengths of the incident wave. The dependencies of the reflection and transmission coefficients versus the dimensionless frequency are plotted. The discrepancy occurring due to substitution of the infinite products in the amplitudes by finite ones is estimated. ВСТУП Строгi аналiтичнi методи розв’язку крайових задач посiдають особливе мiсце у математичнiй фiзицi. Хоча вони й придатнi для вiдносно вузь- кого класу задач, отриманi з їхньою допомогою розв’язки являють собою велику цiннiсть, оскiль- ки можуть служити надiйною платформою для розвитку чисельних чи наближених методiв роз- рахунку. Серед аналiтичнх методiв розв’язку крайових задач теорiї хвилеводiв широко поширений ме- тод часткових областей. Вiн дозволяє отримати розв’язок задачi для областi, що складається з простих (канонiчних) пiдобластей, для кожної з яких можна отримати розв’язок методом роздiле- ння змiнних. Це дає змогу представити поля у ко- жнiй з пiдобластей у виглядi розкладу по її вла- сних функцiях, якi є взаємно ортогональними. У процесi побудови розв’язку крайової зада- чi, використовуючи вирази для звукових полiв у часткових областях, записуються умови їх спря- ження на межах пiдобластей. Це призводить до запису вiдповiдної функцiональної системи рiв- нянь. Властивiсть ортогональностi використову- ваних власних функцiй дозволяє провести алге- браїзацiю функцiональної системи й отримати при цьому нескiнченну систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь для невiдомих амплiтуд {An} нормальних хвиль хвилеводу: ∞ ∑ n=1 amnAn = bm, m = 1, 2, 3, . . . (1) У зв’язку зi зрозумiлими труднощами, зазвичай обмежуються отриманням наближеного розв’язку нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiв- нянь (1). Проте iснує цiлий клас крайових задач, для яких можна отримати точний розв’язок не- скiнченних алгебраїчних систем. Саме такi задачi будуть розглянутi у данiй роботi. Завдяки численним дослiдженням, проведеним у минулому сторiччi, питання вивчення власти- востей хвильових полiв у iзотропному шарi ви- черпане практично повнiстю. Розгляд таких задач можна знайти, наприклад, у монографiях [1 – 3]. У [2] за допомогою методу часткових областей наведенi задачi поширення звуку в нерегулярних хвилеводах (з вигином, з розгалуженням). У пра- c© М.Я. Семкiв, 2011 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 - 6 � � � � � � � � ��� A B C 0 b a ui 2 ua 2 ub 2 uc 2 - � - - x1 x2x3 Рис. 1. Геометрiя задачi цях [4, 7 –9] дослiджено ряд аналiтичних методiв, якi виявились дуже ефективними для розв’язува- ння широкого класу крайових задач для вiдкритих i замкнутих хвилеводних областей. У данiй роботi побудовано точнi розв’язки для задачi поширення нормальних SH-хвиль у пру- жному хвилеводi з пiвнескiнченним розрiзом. При цьому використовувався метод часткових обла- стей, який призвiв до появи нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Отриману систему розв’язано методом лишкiв, суть якого буде викла- дена нижче. 1. ДИФРАКЦIЯ НОРМАЛЬНИХ SH-ХВИЛЬ НА ПIВНЕСКIНЧЕННОМУ РОЗРIЗI У ХВИ- ЛЕВОДI З ВIЛЬНИМИ ВIД НАПРУЖЕНЬ СТIНКАМИ У цьому роздiлi розглянуто дифракцiю гармонi- чної з частотою ω нормальної SH-хвилi на пiвне- скiнченному розрiзi у хвилеводi з вiльними вiд на- пружень стiнками. Побудовано точний розв’язок задачi. Отримано формули для енергетичних кое- фiцiєнтiв вiдбиття i проникнення падаючої хвилi. 1.1. Постановка задачi. Виведення нескiнченної системи рiвнянь Розглядається однорiдний пружний хвилевiд x1∈ R, x3∈ [0, a] з пiвнескiнченним розрiзом x1≥0, x3=b. Його стiнки, а також береги розрiзу, вважаємо вiльними вiд напружень. Середови- ще хвилеводу характеризується густиною ρ i швидкiстю поперечної хвилi ct. Нехай в областi A поширюється нормальна SH- хвиля (рис. 1), яка викликає змiщення уздовж осi Ox2 й задається у виглядi ui 2 = cos qπx3 a e−γqax1 , q = 0, 1, 2, . . . , (2) де q – номер нормальної хвилi. Стала поширення задається виразом γqa =    + √ (qπ/a)2 − k2t , (qπ/a)2 > k2t , −i √ k2t − (qπ/a)2, (qπ/a)2 < k2t , де kt=ω/ct. Тут i надалi часовий множник exp{−iωt} не пишемо. Перемiщення в областях A, B, C дифрагованого поля позначимо через ua 2 , u b 2 й uc 2 вiдповiдно. Перемiщення ui 2, ua 2 (в областi A) й ub 2, uc 2 (в областях B i C) задовольняють рiвняння Гельм- гольца: [ ∂2 ∂x2 1 + ∂2 ∂x2 3 + k2t ] us 2 = 0, s = i, a, b, c (3) та граничну умову на вiльних межах хвилеводу i розрiзу, а саме σ32=µ∂u2/∂x3=0 (u2 вiдповiдає змiщенню в кожнiй з пiдобластей; µ – коефiцiєнт Пуассона): a) ∂(ui 2 + ua 2) ∂x3 = 0, x3 = {0, a}, x1 < 0; b) ∂ub 2 ∂x3 = 0, x1 ≥ 0, x3 = {0, b}; c) ∂uc 2 ∂x3 = 0, x1 ≥ 0, x3 = {b, a}. Умови спряження на межi подiлу пiдобластей x1 = 0, x3 = [0, a], якi встановлюють рiвнiсть змi- щень i напружень σ12 = µ∂u2/∂x1 на зазначенiй межi у сумiжних областях мають вигляд d) ui 2 + ua 2 = ub 2, x1 = 0, : x3 = [0, b]; e) ∂(ui 2 + ua 2) ∂x1 = ∂ub 2 ∂x1 , x1 = 0, x3 = [0, b]; f) ui 2 + ua 2 = uc 2, x1 = 0, x3 = [b, a]; g) ∂(ui 2 + ua 2) ∂x1 = ∂uc 2 ∂x1 , x1 = 0, x3 = [b, a]. Додатково перемiщення й напруження у падаю- чiй i дифрагованих хвилях задовольняють умо- ву на гострому ребрi, тобто u∼r1/2; ∂u/∂x1 i ∂u/∂x3∼r−1/2 при x1=0, x3=b. Запишемо поля вiдбитої хвилi ua 2 й прониклих у пiдобластiB, C хвиль ub 2, u c 2 у виглядi суперпозицiї 58 М.Я. Семкiв ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 нормальних SH-хвиль вiдповiдних пiдобластей: ua 2 = ∞ ∑ n=0 An cos nπx3 a eγnax1 , ub 2 = ∞ ∑ n=0 Bn cos nπx3 b e−γnbx1 , uc 2 = ∞ ∑ n=0 Cn cos nπ(x3 − b) c e−γncx1 , (4) де γns =    + √ (nπ/s)2 − k2t , (nπ/s)2 > k2t , −i √ k2t − (nπ/s)2, (nπ/s)2 < k2t , n = 0, 1, 2, . . . ; s = a, b, c. Таке представлення полiв задовольняє граничнi умови a–c. Умови зшивання d–g призводять до системи функцiональних рiвнянь cos qπx3 a + ∞ ∑ n=0 An cos nπx3 a = ∞ ∑ n=0 Bn cos nπx3 b , γqa cos qπx3 a − ∞ ∑ n=0 Anγna cos nπx3 a = = ∞ ∑ n=0 Bnγnb cos nπx3 b (5) при x3∈ [0, b] i cos qπx3 a + ∞ ∑ n=0 An cos nπx3 a = = ∞ ∑ n=0 Cn cos nπ(x3 − b) c , γqa cos qπx3 a − ∞ ∑ n=0 Anγna cos nπx3 a = = ∞ ∑ n=0 Cnγnc cos nπ(x3 − b) c (6) при x3∈ [b, a]. Використавши властивiсть ортогональностi функцiй, що входять в (5) i (6), пiсля певних математичних пертворень отримуємо наступну систему рiвнянь: −2ab π iktA0δ 0 m + ∞ ∑ n=1 A′ n γna − γmb = A′ γqa + γmb , 2ac π iktA0δ 0 m + ∞ ∑ n=1 A′ n γna − γmc = A′ γqa + γmc , (7) де A′ = q sin qπb a , A′ n = Ann sin nπb a , q = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1, 2, . . . (8) Вiдзначимо, що перше рiвняння системи (7) отри- мане з функцiональної системи (5), а друге – з системи (6). Таким чином, система (7) є парною нескiнченною системою лiнiйних алгебраїчних рiв- нянь, якi потрiбно розв’язувати спiльно. Коефiцiєнти {Bn} i {Cn} виражаються через ко- ефiцiєнти {An} наступним чином: Bm = (−1)mπ 2aδmbγmb ( A′ γqa − γmb − −(γma − γmb) ab π A0δ 0 m − ∞ ∑ n=1 A′ n γna + γmb ) , Cm = −π 2aδmcγmc ( A′ γqa − γmc + +(γma − γmc) ac π A0δ 0 m − ∞ ∑ n=1 A′ n γna + γmc ) , (9) δnm = { 1, m = n, 0, m 6= n; δms = { s, m = 0, s/2, m > 0, s = b, c, q = 1, 2, 3, . . . , m, n = 0, 1, 2, . . . Перш нiж перейти до опису розв’язання отрима- ної нескiнченної системи рiвнянь (7), зробимо де- якi зауваження. Звернемо увагу на те, що до цього часу ми використовували граничнi умови a–g i не застосовували умову на нескiнченностi. Остання потрiбна для забезпечення єдиностi розв’язку не- скiнченної системи рiвнянь, оскiльки системи (7) i (9) допускають нескiнченно багато розв’язкiв, ко- жен з яких математично коректний. Проте тiльки один iз них задовольняє умову на нескiнченностi, а отже, є iстинним розв’язком даної фiзичної за- дачi [4]. 1.2. Метод лишкiв для розв’язання нескiнчен- ної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь Ключовий момент методу лишкiв полягає у зве- деннi iнтеграла по контуру в комплекснiй пло- щинi вiд мероморфної функцiї f(w) до суми ли- шкiв [5]. Властивостi функцiї f(w) визначаються положенням її нулiв та полюсiв, вибраних так, що- би ряд лишкiв спiвпадав з системою рiвнянь, яку ми розв’язуємо. Можна ототожнити невiдомi в си- стемi (7) з лишками функцiї f(w) i тим самим ви- дiлити шуканий розв’язок. М.Я. Семкiв 59 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 Для розв’язання системи рiвнянь (7) розглянемо iнтеграли 1 2πi ∮ CR f(w) w − γmb dw, 1 2πi ∮ CR f(w) w − γmc dw, m = 0, 1, 2, . . . , (10) де CR – коло радiуса R у комплекснiй площинi змiнної w, яке проходиться в напрямку проти го- динникової стрiлки. Функцiя f(w) задовольняє та- кi умови: 1) f(w) – аналiтична функцiя змiнної w у всiх то- чках областi CR, за винятком полюсiв першо- го порядку w=γna i w=−γqa, (n, q=1, 2, . . .); 2) f(w) має простi нулi в точках w=γmb i w=γmc (m=1, 2, . . .); 3) лишок функцiї f(w) у точцi w=−γqa буде res w→−γqa f(w)=A′=q sin(qπb/a); 4) поведiнка функцiї f(w) на нескiнченностi має алгебраїчний характер: f(w)=O(w−1/2) при |w|→∞; 5) f(−ikt)=0. Спрямуємо радiусR контураCR до нескiнченно- стi, так щоб вiн охоплював собою всi нулi i полюси зазначенi у властивостях функцiї f(w). Виражаю- чи iнтеграли (10) у виглядi сум лишкiв у полюсах функцiї f(w) i прирiвнюючи результати до нуля, отримуємо: f(−ikt)δ 0 m + ∞ ∑ n=1 1 γna − γmb res w→γna f(w)− − A′ γqa + γmb = 0, f(−ikt)δ 0 m + ∞ ∑ n=1 1 γna − γmc res w→γna f(w)− − A′ γqa + γmc = 0. (11) Тут враховано, що згiдно з умовою 3 resw→−γqa f(w)=A′ i γ0b=γ0c = −ikt. Порiвнявши спiввiдношення (7) i (11), отримає- мо: Ann sin nπb a = res w→γna f(w), −2ab π iktA0 = f(−ikt) = 2ac π iktA0, n = 1, 2, 3, . . . (12) З другого рiвняння (12) випливає, що A0=0, тобто амплiтуда нульової моди у вiдбитiй хвилi ua 2 дорiв- нює нулю. Сформульованi вище умови 1–5 визначають функцiю f(w) єдиним чином, а саме: f(w) = q sin(qπb/a) γqa +w 1 +w/ikt 1− γqa/ikt × × exp { w + γqa π [ b ln a b + c ln a c ] } × × ∞ ∏ n=1 1−w/γnb 1 + γqa/γnb e(w+γqa)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 1−w/γnc 1 + γqa/γnc e(w+γqa)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1 + γqa/γna 1−w/γna e−(w+γqa)a/nπ, (13) Виведення функцiї f(w) дано у додатку A до стат- тi. Зi спiввiдношень (12) знайдемо невiдомi амплi- туди {An}: Am = − q sin(qπb/a) m sin(mπb/a) 1 + γma/ikt 1− γqa/ikt × × exp { γma + γqa π [ b ln a b + c ln a c − a m ] } × × ∞ ∏ n=1 1− γma/γnb 1 + γqa/γnb e(γma+γqa)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− γma/γnc 1 + γqa/γnc e(γma+γqa)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 (m) 1 + γqa/γna 1− γma/γna e−(γma+γqa)a/nπ, (14) q,m = 1, 2, 3, . . . , де верхнiй iндекс (m) в останньому добутку вказує на те, що в ньому опущений множник при n=m. Визначивши амплiтуди власних мод для розсi- яного поля в областi A, отримаємо розв’язки для 60 М.Я. Семкiв ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 коефiцiєнтiв {Bn} i {Cn}. Для цього розглянемо iнтеграли 1 2πi ∮ CR f(w) w + γmb dw, 1 2πi ∮ CR f(w) w + γmc dw, m = 0, 1, 2, . . . , (15) де функцiя f(w) визначена формулою (13). Вира- зивши контурнi iнтеграли (15) у виглядi сум ли- шкiв, отримаємо ∞ ∑ n=1 res w→γna f(w) γna + γmb − res w→−γqa f(w) γqa − γmb + +f(−γmb) = 0, ∞ ∑ n=1 res w→γna f(w) γna + γmc − res w→−γqa f(w) γqa − γmc + +f(−γmc) = 0. (16) Приймаючи до уваги, що res w→γna f(w) = An n sin nπb a , res w→−γqa f(w) = A′, й порiвнюючи (9) з (16), отримуємо шуканий ре- зультат: Bm = (−1)mπ 2aδmbγmb f(−γmb), Cm = −π 2aδmcγmc f(−γmc), m = 0, 1, 2, . . . (17) Явнi вирази для коефiцiєнтiв Bm i Cm будуть такими: B0 = π ab q sin qπb/a γ2qa + k2t × × exp { γqa + ikt π [ b ln a b + c ln a c ] } × × ∞ ∏ n=1 1− ikt/γnb 1 + γqa/γnb e(γqa+ikt)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− ikt/γnc 1 + γqa/γnc e(γqa+ikt)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1 + γqa/γna 1− ikt/γna e−(γqa+ikt)a/nπ, (18) C0 = − π ac q sin qπb/a γ2qa + k2t × × exp { γqa + ikt π [ b ln a b + c ln a c ] } × × ∞ ∏ n=1 1− ikt/γnb 1 + γqa/γnb e(γqa+ikt)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− ikt/γnc 1 + γqa/γnc e(γqa+ikt)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1 + γqa/γna 1− ikt/γna e−(γqa+ikt)a/nπ, (19) Bm = (−1)mπ abγmb q sin qπb/a γqa − γmb 1− γmb/ikt 1− γqa/ikt × × exp { γqa − γmb π [ b ln a b + c ln a c ] } × × ∞ ∏ n=1 1 + γmb/γnb 1 + γqa/γnb e(γqa−γmb)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 1 + γmb/γnc 1 + γqa/γnc e(γqa−γmb)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1 + γqa/γna 1 + γmb/γna e−(γqa−γmb)a/nπ, (20) Cm = −π acγmc q sin qπb/a γqa − γmc 1− γmc/ikt 1− γqa/ikt × × exp { γqa − γmc π [ b ln a b + c ln a c ] } × × ∞ ∏ n=1 1 + γmc/γnb 1 + γqa/γnb e(γqa−γmc)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 1 + γmc/γnc 1 + γqa/γnc e(γqa−γmc)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1 + γqa/γna 1 + γmc/γna e−(γqa−γmc)a/nπ, (21) m = 1, 2, 3, . . . Таким чином, ми отримали вирази для амплi- туд дифрагованого поля в усiх областях хвилево- ду. Вiдзначимо також, що амплiтуди дифрагова- ного поля мають порядок O(n−1/2), n→∞. М.Я. Семкiв 61 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 - 6 � � � � � � � ��A B C 0 b a ui 2 ua 2 ub 2 uc 2 - � � - x1 x2 x3 Рис. 2. Геометрiя модифiкованої задачi 2. ВИПАДОК ПАДIННЯ SH-ХВИЛI З БОКУ ПIВНЕСКIНЧЕННОГО РОЗРIЗУ Розглянемо модифiковану задачу, змiнивши гео- метрiю хвилеводу. Отже, маємо однорiдний пружний хвилевiд ((x1∈R, x3∈ [0, a])), послаблений пiвнескiнченним розрiзом (x1<0, x3=b), так як показано на рис. 2. В областi C поширюється нормальна SH-хвиля: ui 2 = cos qπ(x3 − b) c e−γqcx1 , q = 0, 1, 2, . . . , (22) γqc =    + √ (qπ/c)2 − k2t , (qπ/c)2 > k2t , −i √ k2t − (qπ/c)2, (qπ/c)2 < k2t . Перемiщення в областях A, B, C дифрагованого поля позначимо через ua 2 , u b 2, u c 2 вiдповiдно. Перемiщення ui 2, uc 2 (в областi C) i ua 2 , ub 2 (в областях A, B вiдповiдно) задовольняють рiвня- ння Гельмгольца (3) й граничнi умови: • стiнки хвилеводу й береги трiщини вiльнi вiд напружень; • перемiщення у кожнiй з областей задовольня- ють умови спряження полiв пiдобластей; • перемiщення падаючого i дифрагованого по- лiв задовольняють умову на ребрi. Ця задача не приводить викладок, принципо- во вiдмiнних проведених у першому роздiлi. То- му обмежимося лише основними моментами при розв’язаннi. Умови спряження приводять до системи фун- кцiональних рiвнянь ∞ ∑ n=0 Bn cos nπx3 b = ∞ ∑ n=0 An cos nπx3 a , − ∞ ∑ n=0 Bnγnb cos nπx3 b = ∞ ∑ n=0 Anγna cos nπx3 a (23) при x3∈ [0, b] i cos qπ(x3−b) c + ∞ ∑ n=0 Cn cos nπ(x3−b) c = = ∞ ∑ n=0 An cos nπx3 a , γqc cos qπ(x3−b) c − ∞ ∑ n=0 Cnγnc cos nπ(x3−b) c = = ∞ ∑ n=0 Anγna cos nπx3 a (24) при x3∈ [b, a]. Ортогональнiсть власних функцiй, що входять у (23), (24), дає змогу отримати нескiнченну сис- тему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь вiдносно шу- каних амплiтудних коефiцiєнтiв: (γma + γmb) ab π δ0mA0 + ∞ ∑ n=1 A′ n γna − γmb = 0, (γqc + γmc) aδmc π δqm − (γma + γmc) ac π δ0mA0+ + ∞ ∑ n=1 A′ n γna − γmc = 0, (25) −(γma − γmb) ab π δ0mA0 − ∞ ∑ n=1 A′ n γna + γmb = = (−1)m2aδmb π γmbBm, (γma − γmc) ac π δ0mA0 − ∞ ∑ n=1 A′ n γna + γmc = = −2aδmc π γmcCm, (26) де δnm = { 1, m = n, 0, m 6= n, δms = { s, m = 0, s/2, m > 0, q, m = 0, 1, 2, . . . 62 М.Я. Семкiв ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 Звiдси −2ab π iktδ 0 mA0 + ∞ ∑ n=1 A′ n γna − γmb = 0, (γqc + γmc) aδmc π δqm + 2ac π iktδ 0 mA0+ + ∞ ∑ n=1 A′ n γna − γmc = 0, (27) γmbB ′ m = − ∞ ∑ n=1 A′ n γna + γmb , γmcC ′ m = − ∞ ∑ n=1 A′ n γna + γmc , (28) де B′ m = (−1)m2aδmb π Bm; C ′ m = −2aδmc π Cm. (29) Розв’язання, як i ранiше, проведемо методом ли- шкiв, для цього розглянемо iнтеграли (10). Функ- цiя f(w) задовольняє наступнi умови: 1) f(w) – аналiтична функцiя змiнної w у всiх точках областi CR, за винятком полюсiв пер- шого порядку w=γna i w=γqc, (q, n=1, 2, . . .); 2) f(w) має простi нулi в точках w=γmb (m=1, 2, . . .); 3) f(w) має простi нулi в точках w=γmc (m=1, 2, q−1, q+1, . . .); 4) лишок функцiї f(w) в точцi w=−γqc буде res w→−γqc f(w)=−(γqc+γmc)(aδmc/π)δ q m; 5) поведiнка функцiї f(w) на нескiнченностi має алгебраїчний характер: f(w)=O(w−1/2) при |w|→∞. 6) f(−ikt)=0. Пiсля процедури, аналогiчної до описаної у пер- шому роздiлi, отримуємо явний вигляд функ- цiї f(w): f(w) = 2aδmc π w + ikt γqc + ikt × × exp { w − γqc π [ b ln a b + c ln a c + c ] } × × ∞ ∏ n=1 1−w/γnb 1− γqc/γnb e(w−γqc)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 (q) 1− w/γnc 1− γqc/γnc e(w−γqc)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− γqc/γna 1−w/γna e−(w−γqc)a/nπ. (30) За допомогою цього виразу неважко знайти амплi- туди дифрагованого поля: A0 = 0, Am = −a c γma π γma + ikt γqc + ikt × × exp { γma − γqc π × × [ b ln a b + c ln a c + c− a m ] } × × ∞ ∏ n=1 1− γma/γnb 1− γqc/γnb e(γma−γqc)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 (q) 1− γma/γnc 1− γqc/γnc e(γma−γqc)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 (m) 1− γqc/γna 1− γma/γna e−(γma−γqc)a/nπ, q, m = 1, 2, 3, . . . (31) Амплiтуди власних мод для розсiяного поля в областях B i C можна визначити за такими фор- мулами: Bm = (−1)mπ 2aγmbδmb f(−γmb), Cm = π 2aγmcδmc f(−γmc), m = 0, 1, 2, . . . (32) М.Я. Семкiв 63 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 Наведемо явнi вирази для коефiцiєнтiв Bm i Cm: B0 = 2c b(γqc + ikt) × × exp { ikt − γqc π [ b ln a b +c ln a c +c ] } × × ∞ ∏ n=1 1 + ikt/γnb 1− γqc/γnb e(ikt−γqc)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 (q) 1 + ikt/γnc 1 + γqc/γnc e(ikt−γqc)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− γqc/γna 1 + ikt/γna e−(ikt−γqc)a/nπ, (33) C0 = exp { ikt − γqc π [ b ln a b +c ln a c +c ] } × × 2 γqc + ikt ∞ ∏ n=1 1 + ikt/γnb 1− γqc/γnb e(ikt−γqc)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 (q) 1 + ikt/γnc 1 + γqc/γnc e(ikt−γqc)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− γqc/γna 1 + ikt/γna e−(ikt−γqc)a/nπ, (34) Bm = (−1)mc bγmb ikt − γmb ikt + γqc × × exp {−γmb − γqc π [ b ln a b +c ln a c +c ] } × × ∞ ∏ n=1 1 + γmb/γnb 1− γqc/γnb e−(γmb+γqc)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 (q) 1 + γmb/γnc 1− γqc/γnc e−(γmb+γqc)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− γqc/γna 1 + γmb/γna e(γmb+γqc)a/nπ, (35) Cm = 1 γmc ikt − γmc ikt + γqc × × exp {−γqc − γmc π [ b ln a b +c ln a c +c ] } × × ∞ ∏ n=1 1 + γmc/γnb 1− γqc/γnb e−(γmc+γqc)b/nπ× × ∞ ∏ n=1 (q) 1+γmc/γnc 1−γqc/γnc e−(γmc+γqc)c/nπ× × ∞ ∏ n=1 1− γqc/γna 1 + γmc/γna e(γmc+γqc)a/nπ. (36) Таким чином, отримано остаточнi вирази для амплiтуд у всiх областях хвилеводу. 3. АНАЛIЗ РОЗ’ЯЗКIВ Насамперед, вiдзначимо, що, хоча розв’язання задач проводилося в припущеннi iррацiонально- стi b/a, але кiнцевий результат справедливий для будь-якого випадку [4]. Важливою складовою дослiдження отриманих розв’язкiв є кiлькiсний аналiз величин коефiцiєн- тiв у виразах (14), (19) – (21), i (31), (34) – (36). При виконаннi практичних обчислень нескiнченнi добутки замiнюють скiнченними, а тому виникає очевидна необхiднiсть оцiнити зумовлену редукцi- єю похибку. З цiєю метою розглянемо типовий для нашої задачi скiнченний добуток PN = N ∏ n=1 ( 1− α γnb ) ebα/nπ. (37) Визначимо вiдносну похибку, зумовлену редукцi- єю, за допомогою спiввiдношення εN = ∣ ∣ ∣ ∣ P∞ − PN PN ∣ ∣ ∣ ∣ = = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ [ ∞ ∏ n=N+1 ( 1− α γnb ) ebα/nπ ] − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . (38) При великих N цей вираз спрощується, якщо зне- хтувати членами, що мають порядок, менший за O(αb/Nπ) i O(kb/Nπ): εN ≈ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ { ∞ ∏ n=N+1 [ 1− ( αb nπ )2 ]} − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≈ ≈ ∣ ∣ ∣ ∣ αb π ∣ ∣ ∣ ∣ 2 ∞ ∑ n=N+1 1 n2 . (39) Cуму (39) можна оцiнити мажорантою: ∞ ∑ n=N+1 1 n2 < ∞ ∫ N 1 n2 dx = 1 N . (40) У результатi отримуємо, що вiдносна похибка εN редукцiї скiнченного добутку (37) не перевищує величини |αb/π|2/N , якщо тiльки |αb/π|2/N�1. Таким чином, для невеликих значень |αb| нескiн- ченнi добутки у виразi для {Am} можна швидко обчислити за допомогою комп’ютера. 64 М.Я. Семкiв ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 Отриманий розв’язок дозволяє провести аналiз звукового поля у хвилеводi. Важливе значення ма- ють енергетичнi характеристики вiдбиття й про- никнення пружної хвилi в окремi пiдобластi. При- родно визначити коефiцiєнт вiдбиття Va як вiдно- шення середнього потоку потужностi вiдбитої хви- лi ua 2 в областi A до середнього потоку потужностi q-ої моди, що набiгає в областi A на межу подiлу пiдобластей x1=0, x3=[0, a], див. рис. 1: V (q) a = a ∫ 0 Re [ σ12 ( ∂ua 2 ∂t )∗] dx3 a ∫ 0 Re [ σ12 ( ∂ui 2 ∂t )∗ ] dx3 = = a ∫ 0 Re [ iσ12 (u a 2) ∗ ] dx3 a ∫ 0 Re [ iσ12 ( ui 2 )∗ ] dx3 . (41) Провiвши очевиднi перетворення, отримуємо таку формулу для коефiцiєнтiв вiдбиття: Va = Na ∑ n=0 Vn, Vn = |γna| |γqa| |An|2. (42) Згiдно з виразом (42), V (q) a подано у виглядi суми енергетичних коефiцiєнтiв збурення V (q) n нормаль- них SH-хвиль для областi A. Аналогiчно, коефiцiєнти проникнення хвилi в пiдобластi B i C визначаються як вiдношення се- реднього потоку потужностi прониклої хвилi в пi- добластях B або C до середнього потоку потужно- стi q-ої нормальної хвилi, що набiгає на розрiз у пiдобластi A: Ws = Ns ∑ n=0 W s n (s = b, c), W b n = b a |γnb| |γqa| |Bn|2, W c n = c a |γnc| |γqa| |Cn|2. (43) Тут Na, Nb, Nc – кiлькiсть бiжучих мод в областях A, B i C вiдповiдно. Чисельнi розрахунки проведемо для хвилеводу, зображеного на рис. 1. Геометрiя розрiзу задається величинами b=3a/4, c = a/4. Результат падiння нульової нормальної хвилi на розрiз очевидний: згiдно з властивостями повер- хонь хвилеводу й розрiзу потiк енергiї падаючої нульової моди проходить в областi B i C, роздi- лившись на двi частини, пропорцiйно до розмiрiв b i c. Вiдбита хвиля вiдсутня. Нехай на розрiз набiгає перша нормальна хви- ля (q=1). Хвильовий розмiр областi A змiнюється в межах π<kta<2π, тобто в цiй областi однорi- дними є тiльки перша й нульова нормальнi хвилi. Згiдно зi структурою побудованого розв’язку, весь дiапазон змiни хвильового розмiру областi A при- родно роздiлити на два iнтервали. • На першому iнтервалi в областях B i C однорi- днi лише нульовi нормальнi хвилi. Тому хви- льовi розмiри цих областей не можуть пере- вищувати ktb<π й ktc<π вiдповiдно. Оскiль- ки b=3a/4, c = a/4, то для хвильового розмi- ру областi A одержуємо умови kta<4π/3 або kta<4π (у наших припущеннях величина kta не перевищує 2π). Отже перший iнтервал ви- значається так: π<kta<4π/3. • На другому iнтервалi в областiB однорiдними будуть нульова й перша моди (в областiC, як i ранiше, однорiдна тiльки нульова нормальна мода). Тому дiапазон змiни ka визначається нерiвнiстю 4π/3<kta<2π. Розписуючи загальнi формули (41) – (43) й вико- ристовуючи вирази для амплiтудних коефiцiєнтiв для даних iнтервалiв (див. додаток Б), отримуємо розрахунковi формули, наведенi нижче. • Перший iнтервал (π<kta<4π/3): Va = |A1|2 = ( 1− |ikt|/|γ1a| 1 + |ikt|/|γ1a| )2 , Wb = b a |γ0b| |γ1a| |B0|2 = = c a |γ0b| |γ1a| 4 (1 + |γ0b|/|γ1a|)2 , Wc = c a |γ0c| |γ1a| |C0|2 = = b a |γ0c| |γ1a| 4 (1 + |γ0c|/|γ1a|)2 . Цiкаво вiдзначити, що для нульової моди A0=0. • Другий iнтервал (4π/3<kta<2π): Va = |A1|2 = ( 1− |ikt|/|γ1a| 1 + |ikt|/|γ1a| )2 × × ( 1− |γ1b|/|γ1a| 1 + |γ1b|/|γ1a| )2 , М.Я. Семкiв 65 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 Рис. 3. Енергетичнi коефiцiєнти вiдбиття й проникнення Wb = b a |γ0b| |γ1a| |B0|2+ b a |γ1b| |γ1a| |B1|2 = = c a |γ0b| |γ1a| 4 (1−|γ1b|/|γ1a|)2 (1+|γ0b|/|γ1a|)2 (1+|γ1b|/|γ1a|)2 + + |γ1b| |γ1a| 4 (1+|γ1b|/|γ1a|)2 , Wc = c a |γ0c| |γ1a| |C0|2 = = b a |γ0c| |γ1a| 4 (1−|γ1b|/|γ1a|)2 (1+|γ0c|/|γ1a|)2 (1+|γ1b|/|γ1a|)2 . На рис. 3 зображенi залежностi коефiцiєнтiв Va, Wb, Wc вiд хвильового розмiру kta=ωa/ct. При значеннi kta=π, яке вiдповiдає зародженню одно- рiдної першої моди в областi A, коефiцiєнт Va на- ближається до одиницi, а коефiцiєнти Wb i Wc пря- мують до нуля. Таким чином, на цiй частотi вiдбу- вається повне вiдбиття першої моди й потiк енергiї в областях B i C вiдсутнiй. На iнтервалi π<kta<4π/3 коефiцiєнт вiдбиття Va зменшується, а коефiцiєнти проникнення Wb i Wc зростають. При цьому вiд початку зазначе- ного iнтервалу до його кiнця абсолютна величи- на тангенса кута нахилу дотичної до кривих на рис. 3 суттєво зменшується (вони стають бiльш пологими). Цiкаво вiдзначити, що тут коефiцiєнт Wc>Wb, незважаючи на те, що область B шир- ша за область C. Очевидно, що це обумовлено просторовою структурою першої моди областi A уздовж координати x3. На межi областi B перша мода утворює знакозмiнний розподiл змiщення, а на межi областi C знак змiщення залишається по- стiйним. Такий результат стає зрозумiлим, якщо взяти до уваги, що на iнтервалi π<kta<4π/3 в областях B i C однорiдними будуть тiльки нульо- вi моди. На iнтервалi 4π/3<kta<2π коефiцiєнт вiдбит- тя продовжує зменшуватись. Спадає також i Wc, натомiсть величина Wb зростає. При kta≈4.5 ко- ефiцiєнти Wb i Wc зрiвнюються i надалi маємо Wb>Wc. Така залежнiсть коефiцiєнтiв проходжен- ня вiд ширини хвилеводу kta пояснюється тим, що при kta>4π/3 в областi B однорiдними стають ну- льова й перша моди. Знакозмiннiсть змiщення на межi областi B сприяє ефективному збудженню першої моди в нiй. Наприклад, при kta=5 маємо |B1|/|B0|≈3.2. При подальшому збiльшеннi kta вiдбиття й про- ходження коефiцiєнти мають невеликi осциляцiї й асимптотично наближаються до значень Va→0, Wb→0.59, Wc→0.41. Як i слiд було очiкувати, на обох розглянутих iнтервалах частот закон збере- ження енергiї виконується. ВИСНОВКИ Розглянуто задачу поширення нормальних SH- хвиль у хвилеводi з пiвнескiнченним розрiзом. Ме- тодом лишкiв аналiтичної функцiї отримано то- чний аналiтичний розв’язок. Вирази для амплiтуд дифрагованих полiв представлено у виглядi збi- 66 М.Я. Семкiв ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 жних нескiнченних рядiв. Оцiнено похибку реду- кцiї при замiнi нескiнченних добуткiв, що входять у вирази для амплiтуд, на скiнченнi. Така проце- дура важлива для контролю якостi отриманих чи- сельних результатiв. Знайдений розв’язок дозво- лив визначити енергетичний коефiцiєнт вiдбиття вiд пiвнескiнченного розрiзу й енергетичнi коефi- цiєнти проникнення в областi, роздiленi розрiзом, i провести аналiз їхньої залежностi вiд хвильових розмiрiв хвилеводу. 1. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 2. Грiнченко В. Т., Вовк I. В., Маципура В. Т. Основи акустики.– К.: Наук. думка, 2007.– 640 с. 3. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Релея и Лэмба в технике.– М.: Наука, 1966.– 168 с. 4. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов.– М.: МИР, 1974.– 328 с. 5. Титчмарш Е. Теория функций.– М.: Наука, 1980.– 463 с. 6. Сторожев В. И., Павлюшина Е. Ю. Нормаль- ные упругие волны в волноводе из состыкованных под углом анизотропных полуслоев // Актуальнi аспекти фiзико-механiчних дослiджень. Акустика i хвилi.– К.: Наук. думка, 2007.– С. 331–338. 7. Marcuritz N. Waveguide handbook.– New York: Dover, 1964.– 423 p. 8. Marcuritz N., Felsen L. Radiation and scattering of waves.– New York: IEEE Press, 1972.– 888 p. 9. Hurd R. A., Gruenberg H. H-plane bifurcation of rectangular waveguides // Can. J. Phys.– 1954.– 32.– P. 694–701. 10. Buyukaksoy A., Polat B. A bifurcated waveguide problem // Springer-Verlag.– 1999.– 51.– P. 196–202. ДОДАТОК A Сформульованi в першому роздiлi умови для функцiї f(w) визначають її єдиним чином. Так, умови 1 i 2 визначають положення нулiв та по- люсiв i будуть виконуватись, якщо функцiю f(w) записати у виглядi f(w) = f0(w) ( 1 + w ik ) × × ∞ ∏ n=1 ( 1− wb γnb ) ewb/nπ ∞ ∏ n=1 ( 1− wc γnc ) ewc/nπ ( 1 + w γqa ) ∞ ∏ n=1 ( 1− wa γna ) ewa/nπ , де f0(w) – цiла функцiя змiнної w. З умов 3 й 4 визначимо функцiю f0(w). Для цьо- го подамо f(w) у виглядi f(w) = ζ(w)f0(w) ( 1 + w ik ) × × ∞ ∏ n=1 ( 1− wb nπ ) ewb/nπ ∞ ∏ n=1 ( 1− wc nπ ) ewc/nπ ( 1 + w γqa ) ∞ ∏ n=1 ( 1− wa nπ ) ewa/nπ . Функцiя ζ(w) обмежена при |w| → ∞. Виходячи з мiркувань, викладених в [4, c. 24], справедливим буде таке твердження: якщо F (α) = ∞ ∏ n=1 ( 1 + α an+ b ) e−α/an, де a i b – деякi сталi, а Reα>0, то функцiю F (α) при |α|→∞можна представити в асимптотичному виглядi F (α) ∼                                                          Γ[b/a+ 1]√ 2π (α a ) −[1/2+b/a] × × exp {α a ( 1− C − ln α a )} , −π < Arg α < π, √ 2 Γ[b/a+ 1]√ π sin ( απ a − bπ a ) × × (α a ) −[1/2+b/a] × × exp {α a ( 1− C − ln α a )} , α = −|α|. Отже, при |w| → ∞ f(w) ∼                                ζ(w)f0(w) √ −a 2bc 1 w1/2 × × exp { −bw π ln a b − cw π ln a c } , w 6= |w|, ζ(w)f0(w) √ 2a bc 1 w1/2 sin (bw) sin (cw) sin (aw) × × exp { −bw π ln a b − cw π ln a c } , w= |w|. Згiдно з умовою 4, потрiбно покласти f0(w) = h exp { bw π ln a b + cw π ln a c } . М.Я. Семкiв 67 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 Стала h визначається з умови 3: h = q sin qπb a exp {γqa π ( b ln a b +c ln a c )} × × ∞ ∏ n=1 ( 1+ γqa γnb ) e−γqab/nπ ∞ ∏ n=1 ( 1+ γqa γnc ) e−γqac/nπ γqa ( 1− γqa ik ) ∞ ∏ n=1 ( 1+ γqa γna ) e−γqaa/nπ . Пiдставивши останнi два вирази у вихiдну фор- му для f(w), отримаємо остаточний вираз для не- вiдомої функцiї. ДОДАТОК Б У розглянутих у третьому роздiлi двох дiапазо- нах частот π≤kta≤4π/3 й 4π/3≤kta≤2π при за- даних геометричних параметрах b = 3a/4, c = a/4, a=b+c пiдобластей A, B, C хвилеводу амплiтуднi коефiцiєнти An, Bn, Cn для них набудуть такого вигляду: • перший дiапазон: A1 = 1− |ikt|/|γ1a| 1 + |ikt|/|γ1a| × × exp [ 2i ( |γ1a| π [ b ln a b + c ln a c ] + + ∞ ∑ n=1 { γ2nb arctan |γ1a|/γnb γ2nb + |γ1a|2 − b nπ |γ1a| } + + ∞ ∑ n=1 { γ2nc arctan |γ1a|/γnc γ2nc + |γ1a|2 − c nπ |γ1a| } − − ∞ ∑ n=2 { γ2na arctan |γ1a|/γna γ2na + |γ1a|2 − a nπ |γ1a| })] , B0 = √ c b 2 1 + |γ0b|/|γ1a| × × exp ( i |γ1a| − |γ0b| π [( b ln 1 b + c ln 1 c ) + + ∞ ∑ n=1 { arctan |γ0b| γnb − arctan |γ1a| γnb } + + ∞ ∑ n=1 { arctan |γ0b| γnc − arctan |γ1a| γnc } + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ1a| γna − arctan |γ0b| γna }]) , C0 = √ b c 2 1 + |γ0c|/|γ1a| × × exp ( i |γ1a| − |γ0c| π [( b ln 1 b + c ln 1 c ) + + ∞ ∑ n=1 { arctan |γ0c| γnb − arctan |γ1a| γnb } + + ∞ ∑ n=1 { arctan |γ0c| γnc − arctan |γ1a| γnc } + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ1a| γna − arctan |γ0c| γna }]) ; • другий дiапазон: A1 = 1− |ikt|/|γ1a| 1 + |ikt|/|γ1a| 1− |γ1b|/|γ1a| 1 + |γ1b|/|γ1a| × × exp [ 2i ( |γ1a| π [ b ln a b + c ln a c ] + + ∞ ∑ n=2 { γ2nb arctan |γ1a|/γnb γ2nb + |γ1a|2 − b nπ |γ1a| } + + ∞ ∑ n=1 { γ2nc arctan |γ1a|/γnc γ2nc + |γ1a|2 − c nπ |γ1a| } − − ∞ ∑ n=2 { γ2na arctan |γ1a|/γna γ2na + |γ1a|2 − a nπ |γ1a| })] , B0 = √ c b 2 (1− |γ1b|/|γ1a|) (1 + |γ0b|/|γ1a|) (1 + |γ1b|/|γ1a|) × × exp ( i |γ1a| − |γ0b| π [( b ln 1 b + c ln 1 c ) + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ0b| γnb − arctan |γ1a| γnb } + + ∞ ∑ n=1 { arctan |γ0b| γnc − arctan |γ1a| γnc } + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ1a| γna − arctan |γ0b| γna }]) , 68 М.Я. Семкiв ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 2. С. 57 – 69 C0 = √ b c 2 (1− |γ1b|/|γ1a|) (1 + |γ0c|/|γ1a|) (1− |γ1b|/|γ1a|) × × exp ( i |γ1a| − |γ0c| π [( b ln 1 b + c ln 1 c ) + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ0c| γnb − arctan |γ1a| γnb } + + ∞ ∑ n=1 { arctan |γ0c| γnc − arctan |γ1a| γnc } + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ1a| γna − arctan |γ0c| γna }]) , B1 = √ a b 2 1 + |γ1b|/|γ1a| × × exp ( i |γ1a| − |γ1b| π [( b ln 1 b + c ln 1 c ) + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ1b| γnb − arctan |γ1a| γnb } + + ∞ ∑ n=1 { arctan |γ1b| γnc − arctan |γ1a| γnc } + + ∞ ∑ n=2 { arctan |γ1a| γna − arctan |γ1b| γna }]) . М.Я. Семкiв 69

Ähnliche Einträge