Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач

Предложен численно-аналитический метод решения задач акустики. Выполнен его сравненительный анализ с родственными методами и рассмотрена детализированная схема использования на примерах решения плоских задач для уравнений Гельмгольца, Кармана-Гудерлея. Обсуждены особенности применения данного метода...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Лукьянов, П.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Schriftenreihe:	Акустичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79858
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач / П.В. Лукьянов // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 3. — С. 46-52. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79858
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-798582015-04-06T03:02:22Z Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач Лукьянов, П.В. Предложен численно-аналитический метод решения задач акустики. Выполнен его сравненительный анализ с родственными методами и рассмотрена детализированная схема использования на примерах решения плоских задач для уравнений Гельмгольца, Кармана-Гудерлея. Обсуждены особенности применения данного метода в различных ситуациях. Запропоновано чисельно-аналітичний метод для розв'язання задач акустики. Виконано його порівняльний аналіз зі спорідненими методами й розглянуто деталізовану схему використання на прикладах розв'язання плоских задач для рівняннь Гельмгольца, Кармана-Гудерлея. Обговорено особливості застосування даного методу в різних ситуаціях. A numerical-analytical method for solving of acoustical problems is offered. A comparative analysis of the method with relative ones is carried. A detailed scheme of its application for two-dimensional problems for Helmholtz and von Kármán-Gooderley equations is presented. The peculiarities of using of the given method for different situations are discussed. 2011 Article Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач / П.В. Лукьянов // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 3. — С. 46-52. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79858 534.23, 519.6 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложен численно-аналитический метод решения задач акустики. Выполнен его сравненительный анализ с родственными методами и рассмотрена детализированная схема использования на примерах решения плоских задач для уравнений Гельмгольца, Кармана-Гудерлея. Обсуждены особенности применения данного метода в различных ситуациях.
format	Article
author	Лукьянов, П.В.
spellingShingle	Лукьянов, П.В. Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач Акустичний вісник
author_facet	Лукьянов, П.В.
author_sort	Лукьянов, П.В.
title	Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач
title_short	Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач
title_full	Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач
title_fullStr	Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач
title_full_unstemmed	Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач
title_sort	численно-аналитический метод решения задач акустики. часть і. общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79858
citation_txt	Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач / П.В. Лукьянов // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 3. — С. 46-52. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT lukʹânovpv čislennoanalitičeskijmetodrešeniâzadačakustikičastʹíobŝaâshemametodaprimenenieegodlâploskihstacionarnyhzadač
first_indexed	2025-07-06T03:49:03Z
last_indexed	2025-07-06T03:49:03Z
_version_	1836867905252229120
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 46 – 52 УДК 534.23, 519.6 ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ГЕНЕРАЦИИ ЗВУКА ТОНКИМ КРЫЛОМ. ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ П. В. Л У К Ь Я Н ОВ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 21.06.2010 � Пересмотрено 14.09.2011 Предложен численно-аналитический метод решения задач акустики. Выполнен его сравненительный анализ с род- ственными методами и рассмотрена детализированная схема использования на примерах решения плоских задач для уравнений Гельмгольца, Кармана –Гудерлея. Обсуждены особенности применения данного метода в различных ситуациях. Запропоновано чисельно-аналiтичний метод для розв’язання задач акустики. Виконано його порiвняльний аналiз зi спорiдненими методами й розглянуто деталiзовану схему використання на прикладах розв’язання плоских задач для рiвняннь Гельмгольца, Кармана –Гудерлея. Обговорено особливостi застосування даного методу в рiзних ситуацiях. A numerical-analytical method for solving of acoustical problems is offered. A comparative analysis of the method with relative ones is carried. A detailed scheme of its application for two-dimensional problems for Helmholtz and von Kármán– Gooderley equations is presented. The peculiarities of using of the given method for different situations are discussed. ВВЕДЕНИЕ При решении задач математической физики за- частую приходится иметь дело с ограниченными областями с криволинейной границей. Кроме то- го, в ряде случаев оказывается, что рассматрива- емый физический процесс описывается нелиней- ным уравнением в частных производных. В обеих ситуациях, за редкими исключениями, не удается получить искомое решение в аналитическом виде и должны использоваться различные численные методы и схемы. Ввиду огромного многообразия физических за- дач численные методы их решения также су- щественно отличаются друг от друга. Очевидно, что универсальной численной схемы не существу- ет и каждая из них пригодна лишь для отдель- ных классов задач для конкретных уравнений в частных производных. Как только возникает не- стандартная ситуация (новое уравнение или иные граничные условия), существующие методы часто приходится дорабатывать или создавать новые чи- сленные схемы. В данной работе предлагается численно- аналитический метод, разработанный для ре- шения задачи генерации звука тонким крылом. По структуре расчетной схемы наш подход – многошаговый типа “up-wind” (вверх по течению), поскольку в расчетной схеме используются значе- ния в предыдущих (пройденных течением) точках для продвижения численной процедуры по сетке. В частности, для плоской стационарной задачи рассмотрена шеститочечная схема применения предлагаемого численно-аналитического подхода. Если же при решении задачи искомое решение оказывается зависимым лишь от одной коорди- наты, то можно использовать трехточечную схе- му. Для некоторых упрощенных задач применение численно-аналитического подхода может привести к аналитическому представлению решения по ре- куррентным соотношениям. Заметим, однако, что подобного рода задачи не представляют особого интереса, решаются лишь для тестирования дан- ного подхода и здесь приведены не будут. Данное исследование целесообразно разделить на две части. Цель первой части, вошедшей в эту статью, состоит в изложении теоретической основы метода и его математической структуры на простых задачах. Что касается второй части, в ней будет представлено дальнейшее развитие численно-аналитического метода и применение его для решения задачи генерации звука тонкой лопа- стью при обтекании ее нестационарным течением в различных режимах. 46 c© П. В. Лукьянов, 2011 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 46 – 52 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОПИСАНИЕ МЕТОДА Возьмем некоторую ограниченную область D∈Rm. Пусть в ней задана функция f =f(x, y), описывающая некоторый физический процесс, который удовлетворяет оператору Nf = 2 ∑ i,j=0 aij ∂2f ∂xixj = 0, (1) (x1≡x, x2≡y) и граничным условиям первого или второго рода [2]: f \|Γ = f0 или ∂f ∂n ∣ ∣ ∣ ∣ Γ = f1. (2) В общем случае, когда уравнение (1) нелиней- но, коэффициенты aij, ai могут содержать в себе как непосредственно функцию f , так и ее произво- дные в точке (x0, y0), а коэффициент a0 может за- висить от функции f . Пример такого нелинейного оператора рассмотрим ниже при решении плоской стационарной задачи обтекания тонкой лопасти. Изложим идею предлагаемого метода. Прои- звольную гладкую функцию от двух перемен- ных f ∈ C∞(A) можно представить в точке P = (x, y)∈A в виде многомерного ряда Тейлора: f(x, y) = f(x0, y0)+ +fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)+ + 1 2! fxx(x − x0) 2 + 1 2! fyy(y − y0) 2+ +fxy(x0, y0)(x − x0)(y − y0) + R0(P ), (3) где R0(P )=o[(x−x0)(y−y0)] – остаточный член ряда. Это представление, согласно существующей классификации, при малом шаге сетки прибли- жает функцию f(x, y) в точке (x, y) с точностью до величин второго порядка малости. В выраже- нии (3) присутствуют шесть неизвестных (функ- ций) f , fx, fy , fxx, fxy, fyy в точке (x0, y0), для определения которых необходимо задать шесть не- зависимых условий (уравнений). Идея метода со- стоит в том, что пять из шести необходимых урав- нений – это представление функции f(x, y) на гра- нице или вблизи нее в виде ряда (3) в пяти то- чках (xi, yi), i=1, 5. Шестое условие заключается в том, что искомая функция принудительно удовле- творяется оператору (1) в текущей расчетной то- чке (x0, y0). Мы фактически заставляем ее подчи- няться уравнению (1), описывающему изучаемый физический процесс. Таким образом получаем замкнутую систему алгебраических уравнений. В ней в расчетной то- чке искомая функция и ее производные неявно выражены через значения функции в соседних точках. Кроме того, требование удовлетворения уравнения (1) позволяет выполнить условие согла- сования. В других же схемах проверка его выпол- нения происходит лишь после выражения, явного или неявного, производных через значения функ- ции в соседних узлах. Линейность или нелинейность системы получа- емых алгебраических уравнений зависит от со- ответствующих свойств оператора (1). Основное ограничение данного метода заключается в разре- шимости этой системы уравнений. Однако не всегда одним лишь уравнением, включенным в расчетную систему, можно обой- тись. В сложных нестационарных задачах гранич- ное условие также необходимо включать в расче- тную систему вместе с решаемым уравнением, по- скольку оно будет корректировочным для прибли- женно заданных в начальный момент счета дан- ным. В плоской стационарной задаче, рассмотрен- ной в данной работе, в этом нет необходимости, так как граничное условие выполняется автома- тически. Используя известную схему метода Гаусса с выбором главного элемента, можно свести реше- ние нелинейной системы уравнений к решению одного нелинейного уравнения, в котором входя- щие неизвестные системы выражены через осталь- ные компоненты искомого решения. Применение данного подхода выполнено для случая плоской стационарной задачи для уравне- ния Кармана – Гудерлея. Несмотря на то, что ре- шенная в данной части задача в стационарной по- становке, выявленное зарождение слабой ударной волны говорит о наличии источника звукообразо- вания. 2. СРАВНЕНИЕ С БЛИЗКИМИ ПО СТРУК- ТУРЕ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ Рассмотренная только что численная схема ре- шения задач для дифференциальных уравнений в частных производных по своей природе очень близка к конечно-разностной неявной схеме. На- помним, что применение конечно-разностного ме- тода также предполагает, что искомая функция может быть разложена в многомерный степен- ной ряд по степеням шага дискретной сетки. Для большей конкретности приведем хорошо извест- ный пример реализации конечно-разностного под- хода на примере первой краевой задачи для урав- П. В. Лукьянов 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 46 – 52 нения теплопроводности [3]. Пусть имеем первую краевую задачу для урав- нения теплопроводности: Lu = ∂u ∂t − ∂2u ∂x2 = f(x, t), 0 < x < 1, 0 < t ≤ t0; u(0, t) = µ1, u(1, t) = µ2(t), u(x, 0) = u0(x), (4) где u(x, t) – температура. Для равномерной сетки по (x, t) получается раз- ностная схема на основе четырехточечного шабло- на: uj+1 i − uj i τ = uj i−1 − 2uj i + uj i+1 h2 + ϕj i , 1 ≤ i ≤ Ni − 1, 0 ≤ j ≤ N2 − 1; uj 0 = µ1(tj), uj N1 = µ2(tj), u0 j = u0(xj), (5) где τ, h – шаги по времени и координате соответ- ственно. Функцию ϕj i можно задавать различным обра- зом, т. е. в разных узлах сетки [3]. Данная разно- стная схема – явная, поскольку значения на после- дующем шаге по времени определяются по значе- ниям на предыдущем шаге по явным формулам: uj+1 = uj + τ (uxx + ϕj), (6) где черта над x в записи функции uxx обозначает левую производную. Неявная схема решения задачи (4) имеет следу- ющий вид: ut = ûxx + ϕ, 0 < x < 1, 0 < t ≤ t0; u(0, t) = µ1, u(1, t) = µ2(t), u(x, 0) = u0(x). (7) Для определения значений û = uj+1 на (j+1)-ом слое получается система алгебраических уравне- ний uj+1 τ − uj+1 xx = F j, F j = uj τ + ϕj (8) с трехдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки. Таким образом, в явной схеме все производные, входящие в решаемое дифференциальное уравне- ние, заранее выражаются через значения искомой функции в узлах конечно-разностного шаблона. В неявной схеме производную û=uj+1 нужно еще определить на основе системы уравнений (8). В то же время, в предлагаемом численно- аналитическом методе представление произво- дных через значение в соседних узлах сетки прои- сходит полностью неявно в процессе решения со- вокупной системы уравнений на основе процеду- ры, описанной выше. Точность можно регулиро- вать количеством уравнений системы, урезая в ну- жном месте многомерный ряд Тейлора. В конечно- разностных схемах, по сути дела, также меняют расчетные шаблоны по сетке до тех пор, пока не получат наиболее подходящий. На основании известных трудов Роуча [4] и кол- лектива Андерсон, Танненхилл и Плетчер [5] мож- но прийти к выводу о том, что предлагаемый под- ход очень близок к методике выражения прои- зводных в виде конечных разностей с помощью рядов Тейлора. Однако в стандартном конечно- разностном методе из разложения в ряд Тейлора в соседних точках сразу же получают явный вид производных, а потом лишь проверяют, насколь- ко точно будет удовлетворять полученные пред- ставления решаемому дифференциальному урав- нению. Таким образом, при классическом подходе во время представления в виде конечных разно- стей производные еще не подчиняются условию со- гласования с решаемым уравнением, а сходимость полученной схемы исследуется лишь после их под- становки в уравнение. Вот почему порой хорошо работающая схема для одного уравнения может оказаться неустойчивой для другого, что доста- точно часто и случается (вспомним, например, схе- му Ричардсона [5]). Сегодня известно, что неявные схемы, приме- няемые в численных методах, более устойчивы, чем явные. Это объясняется тем, что неявная схема как бы дополнительно выполняет проце- дуру общей настройки на конкретную задачу с конкретным дифференциальным оператором при решении образующейся системы алгебраических уравнений. В явных схемах этого не происходит, поскольку производные представляются стандар- 48 П. В. Лукьянов ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 46 – 52 тным образом еще до подстановки их в решае- мое дифференциальное уравнение. Таким обра- зом, они не могут заранее учесть специфику того или иного дифференциального оператора. В этом явные схемы проигрывают неявным. Однако если удалось найти конечно-разностное представление, которое с достаточной точностью аппроксимирует искомое решение задачи, явная схема выигрывает по быстродействию – количество необходимых ра- счетных операций здесь существенно меньше, чем в неявной схеме. Конечно-разностный подход довольно часто используется в вычислительной механике жидко- сти, газа, аэроакустике. Следует отметить, что он является мощным средством для решения указан- ных задач, если искомая функция ведет себя “хо- рошо”: решение уравнения при различных комби- нациях параметров монотонно и не содержит ло- кальных неустойчивостей. Однако существуют за- дачи, в которых при определенных параметрах течения данное условие не всегда выполняется, так что стандартные конечно-разностные схемы не работают. Тогда приходится использовать раз- личные ухищрения. Например, в схеме Лакса – Вендрофа [6] в рамках модели идеальной среды применяют искусственную вязкость, которая де- лает расчетную схему устойчивой: введение искус- ственной вязкости позволяет “сгладить” течение в проблемных точках, не усложняя тем самым фи- зическую модель в целом. При этом наблюдаемые крупномасштабные физические явления в течении продолжают присутствовать, а введенная искус- ственная вязкость математически позволяет ре- шить задачу более корректно. Другим примером может служить схема Году- нова [7], основанная на свойствах характеристик дифференциального уравнения. Однако она до- статочно сложна даже в одномерном случае, не говоря уже о двух и более переменных. Поэтому в начале 1970-ых гг. Годунов отказался от даль- нейшего развития этой схемы, отдав предпочтение более простым подходам. Ни схема Лакса – Вендрофа, ни схема Годунова не прижилась в аэроакустике. Причина этого за- ключается в том, что в каждой конкретной задаче обычно приходится либо придумывать новую ра- счетную схему, либо усовершенствовать уже име- ющиеся. При этом зачастую первое требует мень- ших усилий, чем второе. Поэтому рядом иссле- дователей (например, [8, 9]) предпринимались по- пытки найти свою конечно-разностную схему под каждую отдельно взятую нестандартную задачу, т. е. задачу, где функция может вести себя не мо- нотонно. Рис. 1. Симметричный крыловой профиль 3. ОБТЕКАНИЕ ЛОПАСТИ ВЕРТОЛЕТА ПЛОСКИМ ТРАНСЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ 3.1. Постановка задачи Некоторые особенности данного метода ил- люстрирует известная задача, представляющая интерес как тестовая для проверки работы пре- длагаемого метода в сравнении с решениями дру- гих авторов. Рассмотрим плоское сечение тонко- го симметричного крыла (рис. 1). Считаем, что набегающий на крыло поток газа – однородный (U =U∞) и стационарный, а поле течения – пло- ское потенциальное. Тонкая вихревая пелена, схо- дящая с крыла, в рассмотрение не принимается. Уравнение, описывающее распространение малых возмущений в плоском стационарном трансзвуковом потоке, есть уравнение Кармана – Гудерлея [10]: [ 1 − 1 M2 1 + (1 + γ)εfξ ] fξξ + λ2 M2 1 fηη = 0, (9) где f(ξ, η)=ε−1φ′(x, y) – безразмерный потенциал малых возмущений плоского течения; φ′(x, y) – ра- змерный потенциал малых возмущений; M1 – чис- ло Маха. Как видно из уравнения (9), f – функция двух безразмерных координат ξ=x/c и η=λy. Для рас- сматриваемого течения γ=1.4, а ε, λ – малые пара- метры, характеризующие соответственно порядок возмущения потенциала течения и размер крыла по вертикали (см. рис. 1). Как правило, последние две величины уточняются в процессе решения за- дачи, поскольку связаны с безразмерной величи- ной δ, которая постоянна для каждого крыла и представляет собой отношение толщины крыла к его хорде. Набегающий поток до взаимодействия с крылом не возмущен, т. е. f =0 при ξ<0. Для симме- тричного крылового профиля достаточно рассмо- треть верхнюю полуплоскость η≥0. На верхней кромке крыла, задаваемой функцией g(ξ)=h(x)/δ, П. В. Лукьянов 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 46 – 52 ставится граничное условие (непротекания): fη = δgξ, 0 < ξ < 1. (10) Заметим, что в классической постановке задачи граничное условие (10) сносится с верхней кромки на прямую η = 0. Это необходимо для решения за- дачи методом годографа. Однако для применения метода, рассматриваемого в данной работе, в этом ограничении нет необходимости. 3.2. Особенности применения метода Описанная в предыдущем разделе задача нели- нейна по постановке, поэтому есть ряд особенно- стей реализации численно-аналитического метода. Во-первых, решение представляется как функция двух независимых координат f =f(ξ, η): f(ξ, η) = f(η0)+ +fξ(ξ0, η0)(ξ − ξ0) + fη(ξ0, η0)(η − η0)+ + 1 2! [ fξξ(ξ0, η0)(ξ − ξ0) 2+ +fηη(ξ0, η0)(η − η0) 2 ] + +fξη(ξ0, η0)(ξ − ξ0)(η − η0)+ +o[(ξ − ξ0)(η − η0)]. (11) Во-вторых, если представление выбирается второ- го порядка точности, количество удерживаемых членов многомерного ряда Тейлора должно рав- няться шести. Таким образом, разрешающая система уравне- ний будет состоять из шести уравнений. Пять из них приближают искомую функцию рядом Тейло- ра в пяти точках, в которых значения функции (точные или приближенные) нам известны. Ше- стое уравнение должно выполняться в расчетной точке, где икомая функция до начала счета неи- звестна. В данной задаче разрешающая система уравнений будет иметь следующие компоненты: A =        1 a12 a13 a14 a15 a16 1 a22 a23 a24 a25 a26 1 a32 a33 a34 a35 a36 1 a42 a43 a44 a45 a46 1 a52 a53 a54 a55 a56 0 a62 0 a64 a65 0        , ai2 = (ξi − ξ0), ai3 = (ηi − η0), ai4 = 1 2 (ξi − ξ0) 2, ai6 = 1 2 (ηi − η0) 2, ai5 = (ξi − ξ0)(ηi − η0), i = 1, 5. a62 = ε(γ + 1)fξξ , a64 = 1 − 1 M2 1 , a65 = − λ M2 1 , Компоненты векторов x и b имеют вид x =        f(ξ0, η0) fξ(ξ0, η0) fη(ξ0, η0) fξξ(ξ0, η0) fξη(ξ0, η0) fηη(ξ0, η0)        , b =        f(ξ1, η1) f(ξ2, η2) f(ξ3, η3) f(ξ4, η4) f(ξ5, η5) 0        . Следовательно, в рамках рассматриваемого ме- тода искомая функция задана в неявной форме, а ее производные выражаются через значения функ- ции в известных пяти точках. Согласно существу- ющей классификации, данная схема является пя- тишаговой. Кроме того, поскольку решаемое уравнение не- линейно, использовать метод Гаусса напрямую здесь нельзя. Поэтому следует поступить так: пря- мым ходом метода Гаусса прийти к нелинейному уравнению, решить его, а лишь затем использо- вать схему обратного хода. 3.3. Анализ расчета Важной характеристикой течения над крылом является коэффициент давления Cp = 2δ2/3(γ + 1)−1/3fξ, (12) фактически показывающий, как изменяется дав- ление в возмущенном течении по отношению к невозмущенному. Будем следить за величиной Cp при анализе полученных численных данных. Для запуска счета, согласно идее метода, необ- ходимо знать значения искомой функции в первых пяти точках. Их получают в результате прибли- женного, с точностью до малой константы, инте- грирования уравнения (10). Данные расчета коэффициента давления Cp для различных значений M1 приведены на рис. 2 и 3. При этом полагалось, что δ=0.06 и h(x)=x(1−x). 50 П. В. Лукьянов ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 46 – 52 Рис. 2. Коэффициент давления при M1≤0.9 На рис. 2 сплошными кривыми отображено реше- ние на основе численно-аналитического метода, а штриховыми – значения Cp, полученные на осно- ве линеаризированного уравнения (9). Сравнение этих результатов свидетельствует об их удовлетво- рительном соответствии. Следует обратить внима- ние на то, что в области 0.9<M <1 вдоль по оси ξ наблюдается появление малых возмущений на кривых Cp (см. рис. 3). Их наличие говорит о за- рождении звука над крылом. Данные расчета Cp достаточно близки к резуль- татам, полученным в работах [11,12]. Несмотря на то, что здесь не приведен график звукового потен- циала на границе, отметим, что граничное усло- вие, как и в предыдущей задаче для уравнения Рис. 3. Коэффициент давления в субзвуковой области Гельмголца, выполняется с погрешностью поряд- ка отброшенных малых величин. При этом най- денная на границе функция описывает потенциал с точностью до малой аддитивной константы. Как показали расчеты, метод оказался доста- точно эффективным при сравнительно неболь- шом количестве разбиений сетки, т. е. не требует большого количества вычислений. Это объясняе- тся тем, что многошаговость позволяет, не сли- шком измельчая шаг (на приведенных графиках ∆h составляет порядка 0.02), получать необходи- мую точность. В более сложных нестационарных задачах, ко- торые будут рассмотрены в следующей работе, составляющей вторую часть этого исследования, граничное условие не всегда выполняется автома- тически. Это связано с тем, что в этом случае оно по-сути тоже становится уравнением в част- ных производных, которое невозможно разрешить сразу. Есть разные пути преодоления этой трудности. П. В. Лукьянов 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 46 – 52 Один из них состоит в том, чтобы для начально- го этапа расчета задать достаточно мелкую сетку и на этой части сетки взять приближенные зна- чения потенциала. После этого запускается схема предлагаемого метода. Если полученные резуль- таты неудовлетворительны, то необходимо вклю- чить граничное условие в расчетную систему урав- нений как дополнительное уравнение, расширив тем самым расчетную систему. Однако начальное приближение (нулевое или ненулевое) также при- дется выбирать. Кстати говоря, в большинстве не- явных расчетных схемах так и поступают – в каче- стве первоначального приближения выбирают ну- левое приближение, считая, что численная схема сама подстраивается под задачу. Однако в таком подходе могут скрываться опре- деленные отрицательные моменты. Действитель- но, всем известно, что нелинейные уравнения, в отличие от линейных, не обладают свойством вос- становления истории процесса при обратном ходе. Скорее всего, этим и объясняется то, что большин- ство расчетных данных, полученных при реше- нии сложных задач по разным численным схемам, близки качественно, но не количественно. Тем не менее, многообразие численных схем позволяет в каждой конкретной задаче воспользоваться той, которая дает наиболее близкий результат к имею- щимся экспериментальным данным. Раз речь зашла о чувствительности задачи к исходным значениям, следует заметить, что в эк- сперименте этот момент также может отразиться. Несколько неточные первоначальные параметры установки могут дать сдвиг на кривых: ведь за- дача нелинейна не только в аналитике, но и в эк- сперименте. В заключение отметим, что во второй части ис- следования будет представлено дальнейшее разви- тие численно-аналитического подхода для задач, в которых искомая функция зависит от трех про- странственных координат и времени. Решение ка- ждой отдельно взятой задачи содержит в себе кон- кретные особенности реализации подхода, сами по себе представляющие определенный интерес. ВЫВОДЫ 1. Предложен численно-аналитический метод расчета потенциальных течений для задач акустики. Проведен его сравнительный ана- лиз с конечно-разностным подходом. 2. Описанный метод в общем случае является неявным многошаговым. Для задачи генера- ции звука тонким крылом использована его реализация по типу “up-wind”, т. е. аналогич- но схеме “вверх по потоку”. 1. Лукьянов П. В. Применение численно- аналитического метода для решения задач акустики // Зб. праць акустичний сiмпозиуму “Консонанс-2005”.– Київ: Iн-т гiдромех. НАНУ, 2005.– С. 225–230. 2. Владмиров В. С. Уравнения математической физики.– М.: Наука, 1981.– 512 с. 3. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.– М.: Наука, 1971.– 552 с. 4. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.– М.: Мир, 1980.– 616 с. 5. Андерсон Д., Танненхилл Дж., Плетчер Р. Вычи- слительная гидромеханика и теплообмен: том 1.– М.: Мир, 1990.– 384 с. 6. Lax P. D., Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy // Comm. Pure Appl. Math.– 1964.– 17.– P. 381–398. 7. Годунов С. К. Разностный метод расчета ударных волн // УМН.– 12, вып. 1(73).– 1957.– С. 176–177. 8. Murman E. M.,Cole J. D. Calculation of plane steady transonic flows // AIAA J.– 1971.– 9, № 1.– P. 114– 121. 9. Ballhaus W. R., Goorjian P. M. Implicit finite- difference computations of unsteady transonic flows about airfoils including the effect of irregular shock motions // AIAA J.– 1977.– 15, № 12.– P. 1728–1735. 10. Коул Дж.,Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика.– М.: Мир, 1989.– 360 с. 11. Caradonna F. X., Isom M. P. Subsonic and transonic potential flow over helicopter rotor blades // AIAA J.– 1972.– 10, № 12.– P. 1606–1612. 12. Soiezky H. Yu.,Yu N. J.,Fung K.-Y., Seebass A. R. New method for designing shock-free transonic confi- gurations // AIAA J.– 1979.– 17, № 7.– P. 722–729. 52 П. В. Лукьянов

Численно-аналитический метод решения задач акустики. Часть І. Общая схема метода, применение его для плоских стационарных задач

Institution

Ähnliche Einträge