Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором

Розв'язано задачу дифракції пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині, яка утворилась на межі абсолютно жорсткого з'єднання пластини з півпростором. Методом Вінера-Хопфа задачу зведено до розв'язання нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено власні значення оператора...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Назарчук, З.Т., Куриляк, Д.Б., Войтко, М.В., Кулинич, Я.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2011
Назва видання:	Акустичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79859
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором / З.Т. Назарчук, Д.Б. Куриляк, М.В. Войтко, Я.П. Кулинич // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 3. — С. 53-59. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-79859
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-798592015-04-06T03:02:01Z Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П. Розв'язано задачу дифракції пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині, яка утворилась на межі абсолютно жорсткого з'єднання пластини з півпростором. Методом Вінера-Хопфа задачу зведено до розв'язання нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено власні значення оператора динамічної задачі, які визначають комплексні резонансні частоти. Наведені залежності власних частот і коливань від параметрів структури. Решена задача дифракции упругой SH-волны на межфазной трещине, образовавшейся на границе абсолютно жесткого соединения упругой пластины с полупространством. Методом Винера-Хопфа задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследованы собственные значения оператора динамической задачи, определяющие комплексные резонансные частоты. Приведены зависимости собственных частот и колебаний от параметров структуры. The paper deals with solving of a problem on SH wave diffraction by the interface crack in a junction of an elastic plate and a half-space. By the Wiener-Hopf technique, the problem is reduced to solving of the infinite system of linear algebraic equations. The eigenvalues of an operator of the dynamic problem that determines the complex resonant frequencies are studied. The examples of dependencies of eigen frequencies and vibration modes from the parameters of structure are presented. 2011 Article Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором / З.Т. Назарчук, Д.Б. Куриляк, М.В. Войтко, Я.П. Кулинич // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 3. — С. 53-59. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79859 517.9; 537.8; 538.566 uk Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розв'язано задачу дифракції пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині, яка утворилась на межі абсолютно жорсткого з'єднання пластини з півпростором. Методом Вінера-Хопфа задачу зведено до розв'язання нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено власні значення оператора динамічної задачі, які визначають комплексні резонансні частоти. Наведені залежності власних частот і коливань від параметрів структури.
format	Article
author	Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П.
spellingShingle	Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П. Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором Акустичний вісник
author_facet	Назарчук, З.Т. Куриляк, Д.Б. Войтко, М.В. Кулинич, Я.П.
author_sort	Назарчук, З.Т.
title	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором
title_short	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором
title_full	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором
title_fullStr	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором
title_full_unstemmed	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором
title_sort	дифракція пружної sh-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/79859
citation_txt	Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором / З.Т. Назарчук, Д.Б. Куриляк, М.В. Войтко, Я.П. Кулинич // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 3. — С. 53-59. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT nazarčukzt difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníjtríŝinívabsolûtnožorstkomuzêdnanníplastinizpívprostorom AT kurilâkdb difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníjtríŝinívabsolûtnožorstkomuzêdnanníplastinizpívprostorom AT vojtkomv difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníjtríŝinívabsolûtnožorstkomuzêdnanníplastinizpívprostorom AT kuliničâp difrakcíâpružnoíshhvilínamížfazníjtríŝinívabsolûtnožorstkomuzêdnanníplastinizpívprostorom
first_indexed	2025-07-06T03:49:06Z
last_indexed	2025-07-06T03:49:06Z
_version_	1836867908116938752
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 53 – 59 УДК 517.9; 537.8; 538.566 ДИФРАКЦIЯ ПРУЖНОЇ SH-ХВИЛI НА МIЖФАЗНIЙ ТРIЩИНI В АБСОЛЮТНО ЖОРСТКОМУ З’ЄДНАННI ПЛАСТИНИ З ПIВПРОСТОРОМ З. Т. Н А ЗА Р Ч УК, Д. Б. К У РИ Л Я К, М. В. В ОЙ ТК О, Я. П. К УЛ И Н И Ч Фiзико-механiчний iнститут iм. Г.В. Карпенка НАН України, Львiв Одержано 30.05.2011 Розв’язано задачу дифракцiї пружної SH-хвилi на мiжфазнiй трiщинi, яка утворилась на межi абсолютно жорсткого з’єднання пластини з пiвпростором. Методом Вiнера –Хопфа задачу зведено до розв’язання нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Дослiджено власнi значення оператора динамiчної задачi, якi визначають комплекснi резонанснi частоти. Наведенi залежностi власних частот i коливань вiд параметрiв структури. Решена задача дифракции упругой SH-волны на межфазной трещине, образовавшейся на границе абсолютно жес- ткого соединения упругой пластины с полупространством. Методом Винера – Хопфа задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Исследованы собственные значения оператора динамической зада- чи, определяющие комплексные резонансные частоты. Приведены зависимости собственных частот и колебаний от параметров структуры. The paper deals with solving of a problem on SH wave diffraction by the interface crack in a junction of an elastic plate and a half-space. By the Wiener –Hopf technique, the problem is reduced to solving of the infinite system of linear algebraic equations. The eigenvalues of an operator of the dynamic problem that determines the complex resonant frequencies are studied. The examples of dependencies of eigen frequencies and vibration modes from the parameters of structure are presented. ВСТУП У зв’язку з розвитком сучасних технологiй вiзу- алiзацiї динамiчних полiв змiщень виникає потре- ба у вивченнi особливостей їхнього розподiлу за наявностi мiжфазних дефектiв. Теоретичну осно- ву таких дослiджень складають розв’язки задач теорiї поширення й дифракцiї хвиль у хвилево- дних структурах [1 – 4]. У працях [5, 6] розглянуто дифракцiю SH-хвиль на трiщинах у пластинi. Ви- вчення поведiнки полiв у околi резонансних частот пружних пластини з внутрiшнiми трiщинами про- водилось у працях [7, 8], а резонанснi властивостi багатошарових перiодичних структур iз трiщиною за їх опромiнення хвилею дослiдженi в [9]. Однiєю з проблем дiагностування матерiалiв є виявлення розшарувань. Її розв’язання базується на вивченнi взаємодiї пружних хвиль з мiжфа- зними трiщинами. У [10] методом Вiнера – Хопфа розв’язано задачу дифракцiї SH-хвилi на мiжфа- знiй трiщинi, яка утворилась на межi iдеально- го з’єднання пластини з пiвпростором, а у пра- цях [11, 12] – задачу дифракцiї цiєї хвилi на мiж- фазнiй трiщинi у з’єднаннi двох пiвпросторiв. Тут буде розв’язано задачу дифракцiї пружної SH-хвилi на трiщинi, утворенiй на межi абсолю- тно жорсткого з’єднання пластини з пiвпростором. Дослiдимо формування власних комплексних ча- стот i коливань такої структури з метою визначе- ння оптимальних режимiв зондування. Загальновiдомо, що вивчення поведiнки матри- чних композитiв при динамiчних навантаженнях зводиться до задач присутностi множинних вклю- чень у полi пружних хвиль. При поширеннi в та- ких структурах нестацiонарних хвиль на початко- вiй часовiй стадiї можна обiйтися розв’язками вiд- повiдних задач для поодинокого включення [1 – 5], однак пiсля приходу дифрагованих хвиль вiд сусi- днiх включень необхiдно враховувати ефекти вза- ємодiї розсiювачiв. У двовимiрних постановках не- стацiонарнi процеси деформування пружних тiл з системами включень i трiщин дослiджено у пра- цях [6 – 8]. Розглянутий ранiше тривимiрний ви- падок стосується ситуацiї падiння нестацiонарної пружної хвилi на множиннi сферичнi включен- ня [9]. Розв’язки тривимiрних задач щодо iнших форм наповнювачiв, зокрема, важливих з точки зору концентрацiї нестацiонарних напружень тон- ких включень, досi у лiтературi не наводились. У цiй працi для дослiдження нестацiонарних ко- ливань дискових жорстких включень у тривимiр- нiй пружнiй матрицi використовувався метод гра- ничних iнтегральних рiвнянь (ГIР), виведених у часовiй областi. Запропоновано покроковий за ча- сом алгоритм розв’язування ГIР, що забезпечує прямий (без переходу до трансформант часових iнтегральних перетворень) аналiз iнерцiйних явищ взаємодiї включень. Як результат отримано часо- c© З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк, М. В. Войтко, Я. П. Кулинич, 2011 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 53 – 59 Рис. 1. З’єднання пружної пластини з пiвпростором вi залежностi поступальних перемiщень i поворо- тiв включень, параметрiв концентрацiї напружень у матрицi при її нестацiонарному хвильовому збу- реннi. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Розглянемо трiщину на плоскiй межi абсолютно жорсткого з’єднання пластини P x ∈ (−∞,∞), y ∈ (−d, 0), z ∈ (−∞,∞) з поверхнею S x ∈ (−∞,∞), y = 0, z ∈ (−∞,∞) пiвпростору y>0, де Oxyz – декартова система ко- ординат. Нехай трiщина займає область Γ x ∈ (−L, 0), y = 0, z ∈ (−∞,∞) (рис. 1). Така структура опромiнюється однiєю з незгасальних хвилеводних мод, якi поширюються у пластинi при її абсолютно жорсткому з’єднаннi з пiвпростором, за вiдсутностi дефекту. Розглядаємо монохроматичне опромiнення, яке описується гармонiчною часовою залежнiстю e−iωt (цей множник надалi опускаємо). Дифра- кцiйнi процеси в розглянутiй системi визначає одна скалярна функцiя u=u(x, y), пов’язана з по- лем змiщень (~u≡~ezu(x, y)). Тодi вiдповiдну крайо- ву дифракцiйну задачу сформулюємо так: ∆u + k2u = 0, (1) τzy = µ ∂(u + ui) ∂y = 0, y = −d, x ∈ (−∞,∞), (2) τzy = µ ∂(u + ui) ∂y = 0, y = 0, x ∈ (−L, 0), (3) ut = u + ui = 0, y = 0, x ∈ (−∞,−L) ∪ (0,∞). (4) Тут ui(x, y)=eγjx sin(βjy) – збуджувальна хви- ля, яка поширюється у вiд’ємному напрямi осi x; βj =π(2j − 1)/2d, j=1, 2, 3 . . .; γj = √ β2 j − k2, Re γj >0; k=k′+ik′′ – хвильове число (k′, k′′>0, k′�k′′). Розв’язок крайової задачi (1) – (4) необхiдно зна- йти у класi функцiй, якi забезпечують граничне поглинання, коли \|x\|→∞, а також виконання на вершинах трiщини таких умов: u ∼ ρ1/2, ∂u ∂y ∼ ρ−1/2 при ρ = [x2 + y2]1/2 → 0, iρ = [(x + L)2 + y2 ]1/2 → 0. (5) Розглянемо трансформанту Фур’є дифрагова- ного поля u(x, y): U(α, y) = 1√ 2π ∞ ∫ −∞ u(x, y)eiαxdx, (6) де α=Reα+iIm α≡σ+iτ . Застосовуючи перетворення Фур’є до рiвнян- ня (1), подамо трансформанту (6) у виглядi U(α, y) = B(α)eγy + C(α)e−γy. (7) Тут B(α), C(α) – невiдомi функцiї; γ= √ α2−k2, Re γ>0; функцiя U(α, y) – регулярна у сму- зi α∈Π: {−τ0 <τ <τ0}, де τ0≤min(Im k, Re γ1), Re γ1 <Re γj , коли j >1. Уведемо iнтеграли Фур’є U ′−(α, 0) = 1√ 2π −L ∫ −∞ u′ y(x, 0)eiα(x+L)dx, U ′+(α, 0) = 1√ 2π ∞ ∫ 0 u′ y(x, 0)eiαxdx, (8) Φ′(α, 0) = 1√ 2π 0 ∫ −L u′ y(x, 0)eiαxdx, (9) де U ′−(α, 0), U ′+(α, 0) – регулярнi функцiї пара- метра α вiдповiдно у пiвплощинах τ <τ0 i τ >−τ0 зi спiльною смугою регулярностi Π; Φ′(α, 0) – цiла функцiя. 54 З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк, М. В. Войтко, Я. П. Кулинич ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 53 – 59 Продиференцiювавши вираз (7) за змiнною i застосувавши iнтегральне перетворення Фур’є до граничної умови (2), знаходимо: C(α) = B(α)e−2γd. (10) При y→0, врахувавши позначення (6) – (10), отримаємо спiввiдношення: e−iαLU ′−(α, 0) + Φ′(α, 0) + U ′+(α, 0) = = γB(α)[1 − e−2γd]. (11) З граничної умови (3) знаходимо, що Φ′(α, 0) = iβj√ 2π(α − iγj) [ 1 − e−γjLe−iαL ] . (12) Враховуючи вирази (10), (11), рiвняння (7) пе- ретворимо у вигляд U(α, y) = [e−iαLU ′−(α, 0) + Φ′(α, 0)+ +U ′+(α, 0)] chγ(y + d) γsh (γd) . (13) Використовуючи подання (13) i застосовуючи Фур’є перетворення граничної умови (4), прихо- димо до рiвняння Вiнера – Хопфа, яке запишемо у формi [Ψ(+)(α, 0) + e−iαLΨ(−)\|(α, 0)]M(α)+ +J1(α) = 0, α ∈ Π. (14) Тут Ψ(−)(α, 0), Ψ(+)(α, 0), J1(α) – шуканi функцiї: Ψ(−)(α, 0) – регулярна у комплекснiй пiвплощинi τ <τ0; Ψ(+)(α, 0) – регулярна в областi τ >−τ0, за винятком точки α= iγj (Re γj >τ0), де вона має простий полюс; J1(α) – цiла функцiя; M(α) – вi- дома функцiя, регулярна у смузi α∈Π, а за її ме- жами допускає простi нулi й полюси: Ψ(−)(α, 0) = U ′−(α, 0)− iβje −γjL √ 2π(α − iγj) , (15) Ψ(+)(α, 0) = U ′+(α, 0) + iβj√ 2π(α − iγj ) , (16) J1(α) = − 1√ 2π 0 ∫ −L U(x, 0)eiαxdx, (17) M(α) = ch (γd) γsh (γd) . (18) Функцiя (18) допускає факторизацiю методом нескiнченних добуткiв i може бути подана у ви- глядi .M(α) = M+(α)M−(α). (19) Тут M−(α) = M+(−α), M+(α) = √ cos(kd) i √ k sin(kd) ( 1 + α iγ0s )× × ∞ ∏ n=1 [ 1 + α iγnc ] eiαd/(nπ) ∞ ∏ n=1 [ 1 + α iγns ] eiαd/(nπ) , (20) γnc = √ ( π(2n − 1) 2d ) − k2; γns = √ (πn d )2 − k2; γ0s = −ik. У формулах (19), (20) функцiї M±(α) – регу- лярнi й не мають нулiв у пiвплощинах τ >−τ0 i τ <τ0 вiдповiдно. При \|α\|→∞ в областях регулярностi справедлива асимптотична оцiнка M±(α)=O(α−1/2). За межами цих областей функ- цiї M±(α) мають простi нулi й полюси у точках α=∓iγnc i α=∓iγns (n=1, 2, 3, . . .) вiдповiдно, а також простий полюс при α=∓k. Асимптотична поведiнка функцiй (15), (16) в областях регулярностi, коли \|α\|→∞, та- ка: Ψ(+)(α)=O(α−1/2), Ψ(−)(α)=O(α−1/2). Цi- ла функцiя (17) в областi τ <τ0 при \|α\|→∞ спадає до нуля: J1(α)=O(α−3/2), а в областi τ >−τ0 при \|α\|→∞ спадає до нуля добуток eiαLJ1(α)=O(α−3/2). Далi функцiональне рiвняння (14) переписуємо у виглядi: M+(α)Ψ(+)(α, 0) + e−iαLM+(α)Ψ(−)(α, 0)+ + J1(α) M−(α) = 0, α ∈ Π, (21) M−(α)eiαLΨ(+)(α, 0) + M−(α)Ψ(−)(α, 0)+ + eiαLJ1(α) M+(α) = 0, α ∈ Π. (22) З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк, М. В. Войтко, Я. П. Кулинич 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 53 – 59 Факторизуючи спiввiдношення (21) i (22), при- ходимо до системи iнтегральних рiвнянь другого роду, якi пiсля замiни iнтегралiв рядами лишкiв зводимо до таких виразiв: M+(α)Ψ(+)(α)− − ∞ ∑ n=0 εnd−1e−γnsLΨ(−)(−iγns) iγnsM+(iγns)(iγns + α) = = iβj√ 2π M+(iγj ) α − iγj , (23) M−(α)Ψ(−)(α)+ + ∞ ∑ n=0 εn e−γnsLΨ(+)(iγns) iγnsdM+(iγns)(α − iγns) = 0. (24) Тут εn =1/2, коли n=0 i εn =1, коли n>0. Поклавши у першому рiвняннi α= iγls, а у другому α=−iγls, l=0, 1, 2, . . ., з функцiональних спiввiдношень (23) i (24) отримуємо нескiнченнi системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (НСЛАР), якi у кiнцевому результатi запишемо так: [I + A]X = F. (25) Тут X ={xn}∞n=0, xn=M+(iγns)Ψ (+)(iγns), xn=O(n−1), коли n→∞; I – одинична матриця, A={aln}∞n,l=0 , F ={fl}∞l=0 ; aln = − εnd−2e−γnsL γns[M+(iγns)]2 × × ∞ ∑ m=0 εme−γmsL [M+(iγms)]2γms(γls+γms)(γms +γns) , (26) fl = βj√ 2π M+(iγj ) γls − γj . (27) Для матричних елементiв (26) при n, p→∞ вико- нується оцiнка \|aln\| ≤ C e−πnL/d ln , (28) де C – вiдома стала. Отже, ‖A‖l2 = ∑ l,n \|aln\|2 < ∞ i НСЛАР (25) має єдиний розв’язок, за виключе- нням дискретних значень хвильового параметра, для яких однорiдне рiвняння (25) допускає нену- льовi розв’язки. Якщо тепер формулу (13) переписати, вико- ристовуючи спiввiдношення (15), (16), а пiзнiше отримати обернене перетворення Фур’є вiд вира- зу (6), то поле змiщень матиме вигляд: u(x, y) = 1√ 2π ∞ ∫ −∞ [Ψ(−)(α, 0)e−iαL+ +Ψ(+)(α, 0)] chγ(y + d) γsh (γd) e−iαxdα. (29) Тут функцiї Ψ(−)(α, 0), Ψ(+)(α, 0) визначаються формулами (23) i (24), де значення Ψ(−)(−iγns) i Ψ(+)(iγns) вiдомi з розв’язку рiвняння (25). Iнтеграл (29) можна замiнити рядами лишкiв пi- дiнтегральної функцiї. Наприклад, для визначен- ня поля в областi −L<x<0, −d<y<0 при обчи- сленнi iнтеграла вiд першого доданка контур iн- тегрування замикаємо у нижню пiвплощину, а вiд другого – у верхню. Остаточний вираз для поля змiщень у цiй областi подамо так: u(t)(x, y) = √ 2π d ∞ ∑ q=0 εq γqs cos πqy d × ×[Ψ(+)(iγqs, 0)eγqsx− −Ψ(−)(−iγqs, 0)e−γqs(x+L)]. (30) Характеристичне рiвняння для визначення спе- ктра вихiдної дифракцiйної задачi запишемо у ви- глядi det[I + A(Ω)] = 0. (31) Тут Ω=kd=ωd/c, де c – швидкiсть поширення SH- хвилi у пластинi, ω – комплексна частота. Рiвняння (31) розглядаємо на рiмановiй по- верхнi як функцiю спектрального параметра Ω з точками галуження Ω=±πn i Ω=±π(2n−1)/2, n=1, 2 . . . на дiйснiй осi. Необхiднi розрiзи ком- плексної площини Ω вибираємо з умови, яка за- безпечує формування на першому листi рiмано- вої поверхнi згасаючих iз часом власних коли- вань [13, 14]. Комплекснi коренi рiвняння (31) знаходимо в областi 0<Reω<minωk, де minωk =πc/(2d) – мiнiмальна критична частота напiвнескiнченних хвилеводiв −∞ < x < −L, −d < y < 0, 0 < x < ∞, −d < y < 0. (32) Кiлькiсть комплексних коренiв рiвняння (31) в областi 0<Reω<minωk залежить вiд величи- ни параметра p=L/d. При малих значеннях p (p<2.8) iснує тiльки один корiнь. 56 З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк, М. В. Войтко, Я. П. Кулинич ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 53 – 59 а б Рис. 2. Залежнiсть комплексного кореня рiвняння (31) вiд вiдношення довжини трiщини до товщини пластини (p=L/d): а – дiйсна частина; б – уявна частина 2. АНАЛIЗ РЕЗУЛЬТАТIВ На рис. 2 наведенi залежностi дiйсної (Re Ω1 > 0) i уявної (Im Ω1 <0) частин комплексного кореня рiвняння (31) вiд p. Усi коренi розмiщенi на першо- му листi рiманової поверхнi. На вiдповiдних ком- плексних частотах спостерiгаємо резонанс основ- ної моди (u(x, y)∼e±γ0sx) у хвилеводнiй областi {x, y : −L < x < 0; −d < y < 0} (критична часто- та для цiєї моди – нульова). У зв’язку з малим значення модуля уявної частини комплексного спектрального параметра \|ImΩ1\|/\|ReΩ1\|∼10−5 (див. рис. 2, б) добротнiсть таких коливань буде високою, про що свiдчить утворення резонансного пiку в точцi, яка вiдповiд- ає дiйснiй частинi резонансної частоти на графiку залежностi \|Ψ(+)(iγ0s)\| вiд безрозмiрної довжини трiщини (рис. 3). Аналогiчну картину спостерiга- ємо для \|Ψ(−)(−iγ0s)\|. Наведенi на рис. 2, а данi можна використати для вибору частоти зондування при дiагностуван- нi трiщин у з’єднаннях пластин з пiвпростором. Оскiльки 0<Reω<minωk i хвиля такої частоти не може поширюватися без згасання у хвилево- дних областях (32), то зондування дефекту можна провести, скануючи вiльну вiд напружень зовнi- шню поверхню пластини локальним випромiнюва- чем. Поведiнка кривих на рис. 3 показує, що добро- тний резонансний ефект в областi {x, y : −L<x< 0; −d <y < 0} можна спостерiгати при p≥0.1. Ця умова накладає обмеження на спiввiдношення мiж довжиною трiщини i товщиною пластини, за яких можна отримати резонансний вiдгук при дiагно- стуваннi. Рис. 3. Залежнiсть модуля комплексної амплiтуди основної моди вiд безрозмiрної довжини трiщини при p=1 Рис. 4. Залежнiсть модуля визначника (31) вiд дiйсного параметра kd: 1 – p=0.1; 2 – p=1; 3 – p=5 З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк, М. В. Войтко, Я. П. Кулинич 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 53 – 59 а б Рис. 5. Залежнiсть дiйсної першого Ω1 (крива 1) i другого Ω2 (крива 2) комплексних коренiв рiвняння (31) вiд p: а – дiйснi частини; б – уявнi частини Рис. 6. Залежнiсть модуля комплексної амплiтуди основної моди вiд безрозмiрної довжини трiщини при p=4 На рис. 4 показано залежнiсть модуля визна- чника (31) як функцiї дiйсного параметра kd при рiзних p. У зв’язку з малiстю вiдношен- ня \|ImΩ1\|/\|ReΩ1\|, значення локального мiнiмуму функцiї f(kd, p)= \| det[I+A(kd)]\| близькi до дiй- сних частин комплексних коренiв рiвняння (31) при p=0.1 i 1 (кривi 1, 2). Зi зростанням параметра p функцiя f(kd, p) допускає бiльше, нiж один мiнi- мум (крива 3), що дозволяє спрогнозувати iснува- ння декiлькох коренiв рiвняння (31) при фiксова- ному значеннi p. Приклад цього показано на рис. 5, де наведенi дiйснi й уявнi частин таких коренiв. Кривi 1 тут продовжують залежностi ReΩ1(p) i ImΩ1(p), поданi на рис. 2, а кривi 2 вiдповiдають другому кореню Ω2(p). На рис. 6 проiлюстровано залежнiсть \|Ψ(+)(iγ0s)\| вiд безрозмiрної довжини трiщи- ни при значеннi параметра p=4. Спостерiгаємо два пiки у точках, якi вiдповiдають дiйсним значенням комплексних резонансних частот Ω1, Ω2. Зауважимо, що iснують також коренi Ω рiвняння (31), для яких ReΩ>0, Im Ω>0; ReΩ<0, Im Ω>0; Re Ω<0, Im Ω<0 (тут їх не розглядаємо). Отриманi значення резонансних частот можна використати для зондування при селективному дi- агностуваннi мiжфазних дефектiв (налаштуваннi на виявлення трiщин заданої довжини) або при ви- значеннi величини пiдростання трiщини за зсувом резонансної частоти. Важливо, що для коротких трiщин резонансна частота для дiагностування ви- значається однозначно, а зi зростанням їхньої дов- жини (p>2.8) кiлькiсть резонансних частот може бути бiльшою. На них, як видно з рис. 5, 6, також спостерiгаємо високодобротне збудження основної моди. У табл. 1 i 2 подано значення довжини трiщин i вiдповiднi їм дiйснi частини комплексної резо- нансної частоти, на якiй спостерiгається резонанс основної моди у з’єднаннi залiзної (c=3230 м/с) i мiдної (c=2250 м/с) пластин з пiвпростором. По- рiвнюючи наведенi тут данi, бачимо, що чутли- вiсть резонансної частоти до змiни довжини трi- щини є вищою для пластин з бiльшою швидкiстю поширення SH-хвиль. Таким чином, саме в таких пластинах можна точнiше виявляти змiни довжи- ни мiжфазної трiщини за зсувом резонансної ча- стоти. 58 З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк, М. В. Войтко, Я. П. Кулинич ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 3. С. 53 – 59 Табл. 1. Дiйснi частини резонансних частот дослiджуваної структури (залiзо, d=10 мм) L, мм 1 1.5 2 2.5 3 4 Reω, рад/с 507361 507330 507239 507045 506693 505270 L, мм 5 10 15 20 30 50 Reω, рад/с 502480 461480 397404 339710 258099 172048 Табл. 2. Дiйснi частини резонансних частот дослiджуваної структури (мiдь, d=10 мм) L, мм 1 1.5 2 2.5 3 4 Reω, рад/с 353425 353403 353340 353204 352959 351968 L, мм 5 10 15 20 30 50 Reω, рад/с 350025 321465 276830 236640 179790 119848 ВИСНОВКИ Показано можливiсть збудження високодобро- тних резонансних поперечних коливань на основ- нiй модi в абсолютно жорсткому з’єднаннi пла- стини з пiвпростором за наявностi мiжфазної трi- щини. Цей ефект можна використати для вибору оптимальної частоти зондування, орiєнтованої на виявлення дефектiв фiксованих розмiрiв, а також для визначення величини пiдростання трiщин при навантаженнi за зсувом резонансної частоти. Для розглянутої динамiчної системи дано оцiн- ку нижньої межi вiдношення мiж довжиною трi- щини й товщиною пластини, при яких можливе дiагностування дефекту на основi збудження ре- зонансного вiдгуку. Виявлено властивiсть розгалуження коренiв ха- рактеристичного рiвняння для визначення спе- ктра дифракцiйної задачi при зростаннi вiдноше- ння довжини трiщини до товщини пластини. По- казано, що вiдповiднi комплекснi частоти знахо- дяться в областi, обмеженiй зверху мiнiмальним значенням критичної частоти ωk =πc/(2d), а вiд- повiднi резонанснi коливання мають високу добро- тнiсть. 1. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 2. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Краевой ре- зонанс при изгибных колебаниях полуполосы // Докл. АН УССР, Сер. А.– 1985.– № 4.– С. 20–23. 3. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея – Лэмба на границе раздела двух состыкованных упругих полуполос разной ширины // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 3.– С. 32–43. 4. Wang Y. S., Gross D. Transfer matrix method of wave propagation in a layered medium with multiple interface cracks: Anti-plane case // J. Appl. Mech.– 2001.– 68.– P. 499–503. 5. Zaman F. D. Diffraction of SH-waves across a mixed boundary in a plate // Mech. Res. Comm.– 2001.– 28, № 2.– P. 171–178. 6. Asghar S., Zaman F. D. Diffraction of SH-waves by a finite crack in a layer overlying a half space // Boll. Di Geofisica Teorica Ed Applicata.– 1987.– 19, № 113.– P. 43–50. 7. Glushkov E., Glushkova N., Golub M., Boström A. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half-space and waveguide with a crack // J. Acoust. Soc. Amer.– 2006.– 119, № 6.– P. 3589–3598. 8. Rokhlin S. I. Resonance phenomena of Lamb waves scattering by a finite crack in a solid layer // J. Acoust. Soc. Amer.– 1981.– 69, № 4.– P. 922–928. 9. Golub M. V., Zhang C., Wang Y. SH-wave propagati- on and resonance phenomena in a periodically layered composite structure with a crack // J. Sound Vib.– 2011.– 330.– P. 3141–3154. 10. Kuryliak D. B., Voytko M. V. Wiener-Hopf analysis of the elastic wave diffraction by the finite crack located at the plane interface between the elastic isotropic slab and half-space medium // Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED).– Lviv – Tbilisi, Oct. 11 – 14, 2004.– P. 22–25. 11. Pal S. C., Chosh M. L. High frequency scattering of antiplane shear waves by interface crack // Ind. J. Pure Appl. Math.– 1990.– 21, № 12.– P. 1107–1124. 12. Куриляк Д. Б., Назарчук З. Т., Войтко М. В. Ана- лiз поля плоскої SH-хвилi, розсiяної скiнченною трiщиною на межi подiлу матерiалiв // Фiз.-хiм. мех. матер.– 2006.– 42, № 6.– С. 5–16. 13. Шестопалов В. П. Спектральная теория и воз- буждение открытых структур.– К.: Наук. думка, 1987.– 288 с. 14. Сиренко Ю. К., Сухаревский И. В., Сухарев- ский О. И., Яшина Н. П. Фундаментальные и при- кладные задачи теории рассеяния электромагни- тных волн.– Харьков: Крок, 2000.– 344 с. З. Т. Назарчук, Д. Б. Куриляк, М. В. Войтко, Я. П. Кулинич 59

Дифракція пружної SH-хвилі на міжфазній тріщині в абсолютно жорсткому з'єднанні пластини з півпростором

Репозитарії

Схожі ресурси