Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів
Встановлено деякi властивостi двовимiрних гiперсингулярних iнтегралiв. Запропоновано нову кубатурну формулу для обчислення скiнченної частини гiперсингулярного iнтеграла у крузi. Кубатурна формула використовує гауссовi ваговi коефiцiєнти та значення G-функцiї Мейєра. Показана її ефективнiсть....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7987 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів / З.Т. Назарчук, Я.П. Кулинич // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 36-43. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7987 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-79872010-04-27T12:01:16Z Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. Математика Встановлено деякi властивостi двовимiрних гiперсингулярних iнтегралiв. Запропоновано нову кубатурну формулу для обчислення скiнченної частини гiперсингулярного iнтеграла у крузi. Кубатурна формула використовує гауссовi ваговi коефiцiєнти та значення G-функцiї Мейєра. Показана її ефективнiсть. Some properties of two-dimensional hypersingular integrals are investigated. The new cubature formula for the calculation of the finite part of a hypersingular integral in a circle is proposed. The cubature formula includes Gaussian weights and Meijer’s G-function. The effectiveness of such an approach is shown. 2009 Article Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів / З.Т. Назарчук, Я.П. Кулинич // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 36-43. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7987 519.6 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів |
| description |
Встановлено деякi властивостi двовимiрних гiперсингулярних iнтегралiв. Запропоновано нову кубатурну формулу для обчислення скiнченної частини гiперсингулярного iнтеграла у крузi. Кубатурна формула використовує гауссовi ваговi коефiцiєнти та значення G-функцiї Мейєра. Показана її ефективнiсть. |
| format |
Article |
| author |
Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. |
| author_facet |
Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. |
| author_sort |
Назарчук, З.Т. |
| title |
Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів |
| title_short |
Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів |
| title_full |
Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів |
| title_fullStr |
Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів |
| title_full_unstemmed |
Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів |
| title_sort |
кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7987 |
| citation_txt |
Кубатурна формула інтерполяційного типу для обчислення деякого класу гіперсингулярних інтегралів / З.Т. Назарчук, Я.П. Кулинич // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 36-43. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nazarčukzt kubaturnaformulaínterpolâcíjnogotipudlâobčislennâdeâkogoklasugípersingulârnihíntegralív AT kuliničâp kubaturnaformulaínterpolâcíjnogotipudlâobčislennâdeâkogoklasugípersingulârnihíntegralív |
| first_indexed |
2025-07-02T10:45:06Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:45:06Z |
| _version_ |
1836531693127729152 |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2009
Академiк НАН України З. Т. Назарчук, Я.П. Кулинич
Кубатурна формула iнтерполяцiйного типу
для обчислення деякого класу гiперсингулярних
iнтегралiв
Встановлено деякi властивостi двовимiрних гiперсингулярних iнтегралiв. Запропонова-
но нову кубатурну формулу для обчислення скiнченної частини гiперсингулярного iнте-
грала у крузi. Кубатурна формула використовує гауссовi ваговi коефiцiєнти та значення
G-функцiї Мейєра. Показана її ефективнiсть.
Гiперсингулярнi iнтегральнi рiвняння стали ефективним засобом чисельного розв’язання
задач математичної фiзики. До них належать задачi механiки крихкого руйнування тiл iз
трiщинами, термопружностi, аеродинамiки, дифракцiї, якi рiзними методами зводять до
розв’язання двовимiрних гiперсингулярних iнтегральних рiвнянь з ядрами, що мають сте-
пеневу особливiсть, порядок якої бiльший за розмiрнiсть областi iнтегрування [1–4]. При чи-
сельному розв’язаннi таких сингулярних рiвнянь найбiльшого поширення отримали прямi
методи, побудованi на застосуваннi кубатурних формул для обчислення гiперсингулярних
iнтегралiв виду
IS(x) =
∫∫
S
f(y)
|x − y|3 dSy, (1)
де x = {x1, x2}, y = {y1, y2}, x ∈ S.
Iнтеграл (1) не iснує нi як iнтеграл Рiмана або Лебега, нi в сенсi головного значення за
Кошi. Тому його розглядають у сенсi скiнченної частини за Адамаром, яка для довiльної
областi S визначається так:
IS(x) = f.p.
∫∫
S
f(y)
|x − y|3 dSy = lim
ε→0
[
∫∫
Sε
f(y)
|x − y|3 dSy −
2πf(x)
ε
]
, (2)
де Sε = S \ sε, ss — круг радiуса ε з центром у точцi x.
У роботi [4] показано, що границя у правiй частинi (2) iснує для довiльної точки x /∈ ∂S,
якщо функцiя f(x) має першi частиннi похiднi, що задовольняють умову Гельдера.
У данiй роботi встановлено деякi властивостi гiперсингулярного iнтеграла (1) та на їх
основi запропоновано кубатурну формулу iнтерполяцiйного типу у випадку кругової областi
iнтегрування.
Властивостi гiперсингулярного iнтеграла. Нехай у формулi (1) S — однозв’язна
область, контур якої описується кусково-гладкою кривою. При накладаннi додаткових умов
на щiльнiсть f(x) обчислення скiнченного за Адамаром значення iнтеграла (1) можна зве-
сти до знаходження головного за Кошi значення деякого iнтеграла. Нижченаведена лема
встановлює цi умови.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Лема 1. Якщо функцiя f(y) та її частиннi похiднi неперервнi у замкненiй областi S
i x /∈ ∂S, то справедлива рiвнiсть
IS(x) = −v.p.
∫∫
S
grad f(y) grady
(
1
|x − y|
)
dSy +
∫
∂S
f(y)
∂
∂n
(
1
|x − y|
)
dly, (3)
де n — одинична зовнiшня нормаль у точцi y.
Доведення. Використаємо першу формулу Грiна [5] для областi Sε та очевидну рiвнiсть
1
|x − y|3 = ∆x
(
1
|x − y|
)
,
де ∆x — двовимiрний оператор Лапласа. Тодi
∫∫
Sε
f(y)
|x − y|3 dSy −
2πf(x)
ε
= −
∫∫
Sε
grad f(y) grady
(
1
|x − y|
)
dSy +
+
∫
∂S
f(y)
∂
∂n
(
1
|x − y|
)
dly +
∫
∂sε
f(y)
∂
∂n
(
1
|x − y|
)
dly −
2πf(x)
ε
. (4)
Знайдемо граничне значення правої частини рiвностi (4) за умови ε → 0. Граничним
значенням першого доданка є iнтеграл, який розумiємо в сенсi головного значення за Кошi.
Для оцiнки третього iнтеграла введемо полярну систему координат з центром в x. Тодi
∫
∂sε
f(y)
∂
∂n
(
1
|x − y|
)
dly =
1
ε
2π
∫
0
f(x + εe)dϕ →
ε→0
2πf(x)
ε
,
де e = {cos ϕ, sin ϕ}.
Звiдси отримуємо рiвнiсть (3), яка дозволяє звести обчислення скiнченної частини гi-
персингулярного iнтеграла до обчислення сингулярного iнтеграла.
У рядi робiт для побудови квадратурних формул використовують властивiсть однови-
мiрного гiперсингулярного iнтеграла, яка полягає в тому, що його скiнченна частина за
Адамаром дорiвнює похiднiй вiд головного значення за Кошi вiдповiдного сингулярного
iнтеграла. Ця властивiсть дозволяє отримати формули чисельного iнтегрування шляхом
формального диференцiювання квадратурної формули для iнтеграла типу Кошi. Саме цей
пiдхiд використано в роботi [1]. Для двовимiрного iнтеграла (1) має мiсце така теорема.
Теорема. Якщо виконуються умови леми 1, то має мiсце формула
IS(x) = ∆x
∫∫
S
f(y)
|x − y|dSy. (5)
Доведення. Спочатку обчислимо праву частину рiвностi (5). З цiєю метою застосуємо
формулу для диференцiювання слабосингулярного iнтеграла [6]:
∂
∂xk
∫∫
S
f(y)
|x − y|dSy =
∫∫
S
f(y)
∂
∂xk
(
1
|x − y|
)
dSy − f(x)
∫
C
cos αkdly,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 37
де C — коло одиничного радiуса з центром у точцi x, αk — кут мiж додатним напрямком
координатної осi Oxk декартової системи Ox1x2 i вектором x − y, k = 1, 2.
Очевидно, що останнiй iнтеграл дорiвнює 0. Враховуючи рiвнiсть
f(y)
∂
∂xk
(
1
|x − y|
)
=
∂f
∂yk
1
|x − y| −
∂
∂yk
(
f(y)
1
|x − y|
)
,
маємо
∂
∂xk
∫∫
S
f(y)
|x − y|dSy =
∫∫
S
∂f
∂yk
1
|x − y|dSy −
∫∫
S
∂
∂yk
(
f(y)
1
|x − y|
)
dSy. (6)
Другий iнтеграл справа у формулi (6) перетворимо, використовуючи формулу Остро-
градського для площини [5]:
∫∫
S
∂
∂yk
(
f(y)
1
|x − y|
)
dSy =
∫
∂S
f(y)
|x − y| cos σkdly,
де σk — кут мiж додатним напрямом координатної осi Oxk i одиничною зовнiшньою нор-
маллю у точцi y.
Тодi
∂
∂xk
∫∫
S
f(y)
|x − y|dSy =
∫∫
S
∂f
∂yk
1
|x − y|dSy −
∫
∂S
f(y)
|x − y| cos σkdly.
Диференцiюючи останню рiвнiсть за xk та використовуючи повторно формулу для ди-
ференцiювання слабосингулярного iнтеграла, знаходимо
∂2
∂x2
k
∫∫
S
f(y)
|x − y|dSy = −v.p.
∫∫
S
∂f
∂yk
∂
∂yk
(
1
|x − y|
)
dSy +
+
∫
∂S
f(y)
∂
∂yk
(
1
|x − y|
)
cos σkdly.
Звiдси
∆x
∫∫
S
f(y)
|x − y|dSy = −v.p.
∫∫
S
grad f(y) grady
(
1
|x − y|
)
dSy +
∫
∂S
f(y)
∂
∂n
(
1
|x − y|
)
dly. (7)
Об’єднуючи рiвностi (3) i (7), отримуємо спiввiдношення (5), яке дозволяє звести обчис-
лення скiнченної частини гiперсингулярного iнтеграла за Адамаром до обчислення вiдпо-
вiдного слабосингулярного iнтеграла.
Зауваження 1. Нехай вiдомi деякi додатковi умови вiдносно поведiнки щiльностi f(x)
в околi контура областi S. Вид таких умов зазвичай диктується фiзичною постановкою
задачi. У бiльшостi прикладних дослiджень покладають
f(y) = [r(y)]βu(y),
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
де r — вiдстань вiд точки y до границi областi S, функцiя u(y) та її частиннi похiднi —
неперервнi у замкненiй областi S.
Вiдомо, що iнтеграл
∫∫
S
r(y)βu(y)dSy за умови β > 0 — регулярний, при −1 < β <
< 0 — слабосингулярний, а у всiх iнших випадках — розбiгається. Вираз для похiдної
∂[r(y)βu(y)]/∂yk мiстить доданки, пропорцiйнi [r(y)]β−1. Тому наведенi вище доведення ле-
ми 1 i теореми залишаються справедливими лише за умови β > 0.
Кубатурна формула для гiперсингулярного iнтеграла в крузi. Застосуємо отри-
манi результати до побудови кубатурної формули для гiперсингулярного iнтеграла
IK(x) =
∫∫
K
(1 − |y|)βu(y)
|x − y|3 dSy, (8)
де K — круг одиничного радiуса. Для цього спочатку доведемо таку лему.
Лема 2. Нехай β > 0 i
Iij(r, φ, θ) = f.p.
1
∫
0
2π
∫
0
ρ(1 − ρ)βR
(1,β)
i (ρ) cos[j(ϕ − θ)]dρdϕ
(
√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ − φ))3
,
де R
(1,β)
i (ρ) = P
(1,β)
i (1 − 2ρ), P
(1,β)
i (x) — многочлени Якобi. Тодi має мiсце рiвнiсть
Iij(r, φ, θ) = Jij(φ, θ)
(
−j2G33
66
(
r2
∣
∣
∣
∣
a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
+ 4G34
77
(
r2
∣
∣
∣
∣
c1, . . . c7
d1, . . . d7
))
, (9)
де G33
66
(
r2
∣
∣
∣
∣
a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
i G34
77
(
r2
∣
∣
∣
∣
c1, . . . c7
d1, . . . d7
)
— G-функцiї Мейєра, a1 = (1−j)/2, a2 = −i/2,
a3 = (1 − i)/2, a4 = (j + 1)/2, a5 = (2 + i + β)/2, a6 = a5 + 1/2; b1 = 1/2, b2 = 1, b3 = j/2,
b4 = 0, b5 = b1, b6 = −b3; c1 = −1, ci+1 = ai − 1, i = 1, 6; d1 = d4 = −b1, d2 = d5 = d6 = 0,
d3 = b3 − 1, d7 = b6 − 1, Jij(φ, θ) = 2−βπΓ(β + i + 1) cos j(φ − θ)/i!.
Доведення. Згiдно з доведеною вище теоремою справедлива рiвнiсть
Iij(r, φ, θ) = ∆r,φ
1
∫
0
2π
∫
0
ρ(1 − ρ)βR
(1,β)
i (ρ) cos[j(ϕ − θ)]dρdϕ
√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ − φ)
.
У роботi [7] показано, що
1
∫
0
2π
∫
0
ρ(1 − ρ)βR
(1,β)
i (ρ) cos[j(ϕ − θ)]dρdϕ
√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ − φ)
= Jij(φ, θ)G33
66
(
r2
∣
∣
∣
∣
a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
.
Застосовуючи вiдомi формули диференцiювання G-функцiй Мейєра та враховуючи ре-
курентнi спiввiдношення для цих функцiй [8], пiсля простих перетворень отриманих спiв-
вiдношень приходимо до формули (9).
Зауваження 2. Властивостi функцiї Мейєра Gm,n
p,q
(
z
∣
∣
∣
∣
(ap)
(bq)
)
залежно вiд значень па-
раметрiв (ap), (bq) наведенi у працi [8]. Беручи їх до уваги, маємо, що G33
66
(
z
∣
∣
∣
∣
a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 39
та G34
77
(
z
∣
∣
∣
∣
c1, . . . c7
d1, . . . d7
)
— кусково-аналiтичнi функцiї з розривом на колi |z| = 1. Характер
поведiнки цих функцiй в околi точки z = 1 визначається значенням параметра β. За умови
β > −1 функцiя G33
66
(
z
∣
∣
∣
∣
a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
у цiй точцi неперервна. Якщо β > 1, то функцiя
G34
77
(
z
∣
∣
∣
∣
c1, . . . c7
d1, . . . d7
)
також неперервна в цiй точцi, при β = 1 вона може мати логарифмiчну
особливiсть, а при β < 1 допускає степеневу особливiсть порядку β − 1.
Для побудови кубатурної формули перейдемо в (8) до полярної системи координат:
y = {ρ cos ϕ, ρ sin ϕ}, x = {r cos φ, r sin φ}. Тодi
IK(x) = f.p.
1
∫
0
2π
∫
0
ρ(1 − ρ)βu∗(ρ, ϕ)dρdϕ
(
√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ − φ))3
, (10)
де u∗(ρ, ϕ) = u(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ), u∗(ρ, ϕ) = u∗(ρ, ϕ + 2π).
Побудуємо наближений вираз для функцiї u∗(ρ, ϕ) шляхом її iнтерполювання за змiн-
ними ϕ i ρ. Оскiльки функцiя u∗(ρ, ϕ) є перiодичною за змiнною ϕ, то будемо її iнтерполю-
вати в m вузлах τl = 2πl/m, j = 0,m − 1 тригонометричним полiномом порядку p = [m/2]
([ ] тут означає цiлу частину числа) [1]:
L(u∗;ϕ) =
m−1
∑
l=0
p
∑
j=0
Bm
j u∗(ρ, τl) cos[j(ϕ − τl)], (11)
де Bm
0 = 1/m, Bm
p = (3 − (−1)m)/(2m), Bm
j = 2/m для j = 1, p − 1.
Враховуючи наявнiсть у пiдiнтегральному виразi множника ρ(1− ρ)β, функцiю u∗(ρ, ϕ)
iнтерполюємо за змiнною ρ полiномом, побудованим на системi вузлiв {ρk}n
k=1, якi є коре-
нями многочлена R(1,β)
n (ρ) [1]:
L(u∗; ρ) =
2n + β + 3
(n + β + 1)(n + β + 2)
n
∑
k=1
Cn
k u∗(ρk, ϕ)
n−1
∑
i=0
hiR
(1,β)
i (ρk)R
(1,β)
i (ρ), (12)
де Ck
n = 1/(R
(1,β)
n+1 (ρk)R
(1,β)′
n (ρk)), hi = (i + β + 1)(2i + β + 2)/(i + 1).
Об’єднуючи (11) i (12), знаходимо шуканий наближений вираз для функцiї u∗(ρ, ϕ):
L(u∗;ϕ, ρ) =
2n + β + 3
(n + β + 1)(n + β + 2)
×
×
m−1
∑
l=0
n
∑
k=1
n−1
∑
i=0
p
∑
j=0
Dmn
kij u∗(ρk, τl)R
(1,β)
i (ρ) cos[j(ϕ − τl)], (13)
де Dmn
kij = Cn
k Bm
j hiR
(1,β)
i (ρk). Пiдставляючи у формулi (10) замiсть функцiї u∗(ρ, ϕ) ї ї на-
ближення, отримуємо
IK(r, φ) ≈ f.p.
1
∫
0
2π
∫
0
ρ(1 − ρ)βL(u∗;ϕ, ρ)dρdϕ
(
√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ − φ))3
.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Беручи до уваги формулу (13) та лему 2, останню наближену рiвнiсть подамо у виглядi
IK(r, φ) ≈ 2−β(2n + β + 3)π
(n + β + 1)(n + β + 2)
m−1
∑
l=0
n
∑
k=1
Emn
lk (r, φ)f∗(ρk, τl), (14)
де
Emn
lk (r, φ) =
n−1
∑
i=0
p
∑
j=0
Γ(β + i + 1)
i!
Dmn
kij ×
×
[
−j2G33
66
(
r2
∣
∣
∣
∣
a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
+ 4G34
77
(
r2
∣
∣
∣
∣
c1, . . . c7
d1, . . . d7
)]
cos j(φ − τl).
Спiввiдношення (14) є шуканою кубатурною формулою для гiперсингулярного iнтегра-
ла (8) у сенсi Адамара.
Числова апробацiя кубатурної формули. Застосуємо викладений алгоритм набли-
женого знаходження скiнченної частини гiперсингулярного iнтеграла (8) до обчислення
виразу
G(x) = f.p.
∫∫
K
(1 − |y|2)β exp(γy1)
|x − y|3 dSy, (15)
де γ — деяка стала, та оцiнимо похибку таких обчислень.
Спочатку зведемо (15) до обчислення одновимiрного регулярного iнтеграла. Використо-
вуючи доведену вище теорему, маємо
G(x) = ∆x
∫∫
K
(1 − |y|2)β exp(γy1)
|x − y| dSy.
Скориставшись результатами роботи [7], отримаємо
∫∫
K
(1 − |y|2)β exp(γy1)
|x − y| dSy =
= cβ
π
∫
0
exp[−γr sin ϕ sin(φ − ϕ)]a(2β+1)/4(ϕ) cos−β−1/2(ϕ)Iβ+1/2[b(ϕ)]dϕ, (16)
де {r, φ} — полярнi координати точки x, Iβ+1/2(x) — модифiкована функцiя Бесселя, a(ϕ) =
=
√
1 − r2 sin2(φ − ϕ), b(ϕ) = γ cos(ϕ)a(ϕ), cβ =
√
π(2/γ)β+1/2Γ(β + 1).
Пiдставляючи рiвнiсть (16) у формулу для G(x), пiсля диференцiювання i необхiдних
перетворень отримуємо
G(r, φ) =
cβ
2
π
∫
0
exp[−γr sinϕ sin(ϕ − φ)] cos−β−1/2(ϕ)aβ−7/2(ϕ) ×
×
{
c(ϕ)Iβ+1/2[b(ϕ)] + d(ϕ)Iβ+3/2[b(ϕ)]
}
dϕ, (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 41
де
c(ϕ) = −2 − 4β − r2{−4β(1 + 2β) + γ2 − γ2[1 + 2a2(ϕ)] cos 2ϕ} sin2(φ − ϕ) +
+ 4rγ(1 + 2β)a2(ϕ) sin ϕ sin(φ − ϕ) + 2γ2 sin2 ϕ,
d(ϕ) = 2[−1 + r2β − r2β cos 2(φ − ϕ) + 2rγa2(ϕ) sin ϕ sin(φ − ϕ)]b(ϕ).
При використаннi вiдомих квадратурних формул для регулярних iнтегралiв спiввiдно-
шення (17) дозволяє знайти функцiю G(x) з довiльною заданою точнiстю. Такi значення
будемо розглядати як тестовi при оцiнцi ефективностi запропонованого алгоритму. У табл. 1
їх наведено для певних значень аргументiв φ i r та параметрiв γ = 1, β = 1/2.
У табл. 2 наведено оцiнки похибки δ обчислення значення виразу (15) за кубатурною
формулою (14) залежно вiд кiлькостi m i n вузлiв iнтерполювання за змiнними ϕ i ρ вiд-
повiдно. Для обчислення значень G-функцiї Мейєра використовували процедуру, яка мiс-
титься у пакетi символьних обчислень Mathematica.
Видно, що у випадку круга запропонована кубатурна формула (14) за вiдносно ма-
лої кiлькостi вузлiв забезпечує достатньо високу точнiсть обчислення iнтеграла (8) у сенсi
Адамара. Це дає пiдстави для її застосовування при чисельному розв’язаннi вiдповiдних
iнтегральних рiвнянь у зв’язку з малою розмiрнiстю алгебраїчної системи, що при цьому
утворюється.
Таким чином, встановлено зв’язок мiж гiперсингулярним iнтегралом (1) у сенсi Адамара
та вiдповiдними сингулярним i слабосингулярним iнтегралами. Запропоновано нову куба-
турну формулу для обчислення скiнченної частини гiперсингулярного iнтеграла в крузi.
Для її побудови використано iнтерполювання пiдiнтегральної функцiї за азимутальною та
радiальною координатами. З використанням встановлених властивостей гiперсингулярних
iнтегралiв кубатурну формулу записано у виглядi суми добуткiв G-функцiї Мейєра та три-
гонометричних функцiй. Перевага отриманої кубатурної формули перед вiдомими полягає
Таблиця 1
r φ =
π
17
φ =
8π
17
φ =
16π
17
0,1 −10,078985878028 −8,7546054154018 −7,3441721129380
0,5 −18,408336571620 −9,520456847183 −3,736633744434
0,9 −32,587962465746 −10,646959822134 −1,744745593547
Таблиця 2
r n
φ =
π
17
φ =
8π
17
φ =
16π
17
m δ m δ m δ
0,1 5 7 10
−2 8 10
−3 8 10
−2
10 11 10
−7 11 10
−7 13 10
−6
15 15 10
−11 15 10
−11 16 10
−10
0,5 5 8 10
−3 8 10
−4 10 10
−3
10 16 10
−8 16 10
−7 16 10
−7
15 20 10
−12 20 10
−12 20 10
−11
0,9 5 10 10
−2 11 10
−3 12 10
−3
10 20 10
−8 20 10
−8 20 10
−8
15 20 10
−9 20 10
−9 20 10
−9
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
в її простотi та мiнiмальностi iнформацiї вiдносно щiльностi iнтеграла, необхiдної для її
застосування. Останнє особливо iстотне для чисельного розв’язання вiдповiдних гiперсин-
гулярних iнтегральних рiвнянь.
1. Назарчук З. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. – Киев:
Наук. думка, 1986. – 216 с.
2. Хай М.В. Двухмерные интегральные уравнения типа ньютоновского потенциала и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1993. – 253 с.
3. Гузь А.Н., Зозуля В.В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках. – Киев: Наук.
думка, 1993. – 237 с.
4. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. – Москва:
ТОО «Янус», 1955. – 520 с.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – Москва: Наука,
1970. – Т. 3. – 784 с.
6. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – Москва: Физматгиз,
1962. – 256 с.
7. Назарчук З. Т., Кулинич Я.П. Кубатурнi формули для обчислення деякого класу сингулярних iнте-
гралiв // Доп. НАН України. – 2008. – № 4. – С. 31–35.
8. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции.
Дополнительные главы. – Москва: Физматлит, 2003. – 688 с.
Надiйшло до редакцiї 04.08.2008Фiзико–механiчний iнститут iм. Г.В. Карпенка
НАН України, Львiв
Academician of the NAS of Ukraine Z.T. Nazarchuk, Ya. P. Kulynych
The interpolation cubature formula for the calculation of some class of
hypersingular integrals
Some properties of two-dimensional hypersingular integrals are investigated. The new cubature
formula for the calculation of the finite part of a hypersingular integral in a circle is proposed. The
cubature formula includes Gaussian weights and Meijer’s G-function. The effectiveness of such an
approach is shown.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 43
|