Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции
На основi методу лiнiйних збурень виведено рiвняння для визначення критерiїв стiйкостi при змiшанiй конвекцiї у вертикальних каналах. Рiвняння одержанi у двовимiрному та тривимiрному наближеннях. Дослiдження рiвнянь на власнi значення дало змогу визначити критерiї стiйкостi....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8001 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции / А.А. Авраменко, Б.И. Басок, А.И. Скицько, А.В. Коваленко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 105-109. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8001 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-80012010-04-27T12:01:04Z Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Скицько, А.И. Коваленко, А.В. Теплофізика На основi методу лiнiйних збурень виведено рiвняння для визначення критерiїв стiйкостi при змiшанiй конвекцiї у вертикальних каналах. Рiвняння одержанi у двовимiрному та тривимiрному наближеннях. Дослiдження рiвнянь на власнi значення дало змогу визначити критерiї стiйкостi. The equations for the determination of stability criteria under a combined convection in vertical channels are deduced on the basis of a method of linear perturbations in 2D and 3D approximations. The solution of the eigenvalue problem allows determining the criteria of stability. 2009 Article Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции / А.А. Авраменко, Б.И. Басок, А.И. Скицько, А.В. Коваленко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 105-109. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8001 536.242 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Теплофізика Теплофізика |
| spellingShingle |
Теплофізика Теплофізика Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Скицько, А.И. Коваленко, А.В. Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции |
| description |
На основi методу лiнiйних збурень виведено рiвняння для визначення критерiїв стiйкостi при змiшанiй конвекцiї у вертикальних каналах. Рiвняння одержанi у двовимiрному та тривимiрному наближеннях. Дослiдження рiвнянь на власнi значення дало змогу визначити критерiї стiйкостi. |
| format |
Article |
| author |
Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Скицько, А.И. Коваленко, А.В. |
| author_facet |
Авраменко, А.А. Басок, Б.И. Скицько, А.И. Коваленко, А.В. |
| author_sort |
Авраменко, А.А. |
| title |
Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции |
| title_short |
Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции |
| title_full |
Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции |
| title_fullStr |
Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции |
| title_full_unstemmed |
Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции |
| title_sort |
неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Теплофізика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8001 |
| citation_txt |
Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции / А.А. Авраменко, Б.И. Басок, А.И. Скицько, А.В. Коваленко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 105-109. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT avramenkoaa neustojčivostʹpotokovvvertikalʹnomkanaleprismešannojkonvekcii AT basokbi neustojčivostʹpotokovvvertikalʹnomkanaleprismešannojkonvekcii AT skicʹkoai neustojčivostʹpotokovvvertikalʹnomkanaleprismešannojkonvekcii AT kovalenkoav neustojčivostʹpotokovvvertikalʹnomkanaleprismešannojkonvekcii |
| first_indexed |
2025-07-02T10:45:41Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:45:41Z |
| _version_ |
1836531729352884224 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2009
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 536.242
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Авраменко,
член-корреспондент НАН Украины Б.И. Басок, А. И. Скицько,
А.В. Коваленко
Неустойчивость потоков в вертикальном канале при
смешанной конвекции
На основi методу лiнiйних збурень виведено рiвняння для визначення критерiїв стiйко-
стi при змiшанiй конвекцiї у вертикальних каналах. Рiвняння одержанi у двовимiрному
та тривимiрному наближеннях. Дослiдження рiвнянь на власнi значення дало змогу
визначити критерiї стiйкостi.
При аварийных и переходных режимах работы ядерных реакторов возникают ситуации, ко-
гда доминирует естественная или смешанная (вынужденная и естественная) конвекция [1].
В данном случае очень важным аспектом является проблема интенсивности теплоотвода,
которая определяется гидродинамическим режимом течения. Поэтому необходимо знать
критерии гидродинамической неустойчивости при различных сочетаниях взаимодействия
вынужденной и естественной конвекции. В настоящей работе рассматривается метод полу-
чения таких критериев и их анализ.
Система уравнений, описывающих процессы гидродинамики и конвективного теплооб-
мена в вертикальном канале при воздействии свободной конвекции, имеет следующий вид:
DV
Dt̃
= −∇p̃+ ν∇2V + kgς(T̃ − T̃w), ∇ · V = 0,
DT̃
Dt̃
= a∇2T̃ , (1)
где p̃ — давление; t̃ — время; x̃ — продольная координата вдоль канала, направленная
вертикально вверх; ỹ — нормальная (в направлении между стенками плоского канала) ко-
ордината; z̃ — трансверсальная координата; V — вектор скорости c компонентами ũ, ṽ, w̃ по
координатам x̃, ỹ, z̃ соответственно; ν — кинематическая вязкость; ρ — плотность; T̃ — тем-
пература потока; T̃w — температура стенки канала; g — ускорение свободного падения; ς —
коэффициент объемного расширения; a — температуропроводность; D/Dt̃ — субстанциаль-
ная производная; ∇ = i∂/∂x̃+ j∂/∂ỹ + k∂/∂z̃ — лапласиан. Данная система является базо-
вой для вывода линеаризированных уравнений возмущающих амплитуд, на основе которых
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 105
рассчитываются критерии устойчивости течения. Уравнение для возмущающих амплитуд
может быть получено как для трехмерного, так и для двухмерного приближения.
В трехмерном приближении уравнения возмущающих амплитуд выводятся на основе
метода малых (линейных) возмущений, в соответствии с которым квадратичными слагае-
мыми относительно возмущающих величин пренебрегают. Следуя этому методу, предста-
вим поля скоростей, давления и температуры в виде суммы основных (невозмущенных)
и малых возмущающих составляющих
{ũ(t̃, x̃, ỹ, z̃), ṽ(t̃, x̃, ỹ, z̃), w̃(t̃, x̃, ỹ, z̃), p̃(t̃, x̃, ỹ, z̃), T̃ (t̃, x̃, ỹ, z̃) − Tw} =
= {Ũ(ỹ) + u′(t̃, x̃, ỹ, z̃), v′(t̃, x̃, ỹ, z̃), w′(t̃, x̃, ỹ, z̃), P̃ (x̃) + p′(t̃, x̃, ỹ, z̃),
θ̃(ỹ) + θ′(t̃, x̃, ỹ, z̃)}, (2)
где
{u′(t̃, x̃, ỹ, z̃), v′(t̃, x̃, ỹ, z̃), w′(t̃, x̃, ỹ, z̃)p′(t̃, x̃, ỹ, z̃)} =
=
{
UmuA(y), UmvA(y), UmwA(y), ρU2
mpA(y),
C1Umh
2
a
θA(y)
}
×
× exp[i(α̃x̃+ γ̃z̃ − β̃t̃)]. (3)
Здесь Ũ(ỹ), P̃ (x̃), θ̃(ỹ) — скорость, давление и относительная температура невозмущен-
ного потока; u′(t̃, x̃, ỹ, z̃), v′(t̃, x̃, ỹ, z̃), w′(t̃, x̃, ỹ, z̃) — возмущающие скорости; p′(t̃, x̃, ỹ, z̃) —
возмущающее давление; θ′(t̃, x̃, ỹ, z̃) — возмущающая относительная температура; uA(y),
vA(y), wA(y) — безразмерные возмущающие амплитуды скорости; pA(y) — безразмерная
возмущающая амплитуда давления; θ(y) — безразмерная возмущающая амплитуда темпе-
ратуры; y = ỹ/h — безразмерная нормальная координата; h — полуширина канала; α̃ и γ̃ —
волновые числа; Um — среднерасходная скорость; β̃ = β̃r + iβ̃i, β̃r — частота осцилляций;
β̃i — показатель нарастания возмущений; C1 — параметр, имеющий размерность градиента
температуры.
Рассмотрим два случая, когда температура стенки канала изменяется по линейному
закону T̃w = C1x̃. Данный закон соответствует условию постоянства теплового потока на
стенке. При этом для невозмущенного потока относительная температура T̃ (x̃, ỹ) − Tw(x̃)
не зависит от x̃ [2]. Подставим (3) в (2), а затем (2) в (1). После линеаризации получим
следующую систему уравнений для возмущающих амплитуд:
D∗uA − iReαUuA + RaθA = iReαpA + ReU ′vA,
D∗vA − iReαUvA = Rep′A, D∗wA − iReαUwA = iReγpA,
iαuA + v′A + iγwA = 0, D∗
T θA − iRePrαUθA = uA + RePrθ′vA,
(4)
где штрих означает дифференцирование по y; α = α̃h, γ = γ̃h; U = Ũ/Um;
θ =
aθ̃
C1Umh2
; D∗ =
d2
dy2
+ iβ − κ2; D∗
T =
d2
dy2
+ iβPr − κ2;
κ2 = α2 + γ2; β =
h2β̃
ν
; Re =
Umh
ν
; Ra =
gςh4C1
νa
; Pr =
ν
a
.
106 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Исключив uA(y), vA(y) и pA(y) из первых четырех уравнений (4), получаем DD∗vA +
+ iαRe(U ′′ − UD)vA = iRaθ′A, где D = d2/dy2 − κ2. Последнее уравнение (4) содержит
компоненту uA(y). Следовательно, необходимо сформировать дополнительное уравнение.
Его также можно вывести из первых четырех уравнений (4), сохранив только две компо-
ненты. Сделав это, получим
vIV
A − (κ2 − iβ + 2γ2 + iαReU)v′′A − i
α2 − γ2
α
ReU ′v′A +
+
(
2γ2κ2 − 2iβγ2 + 2iαγ2ReU + i
γ2
α
ReU ′′
)
vA + i
α2 − γ2
α
u′′′A −
−
(
i
α4 − γ4
α
+ β
α2 − γ2
α
− (α2 − γ2)ReU
)
u′A + (α2 − γ2)ReU ′uA = i
γ2
α
Raθ′A.
Граничные условия имеют вид
y = −1, vA = v′A = θA = uA = 0,
y = 1, vA = v′A = θA = uA = 0,
y = 0, u′A = 0.
Как показывает анализ для приведенных систем, невозможно доказать теорему Сквай-
ра [3] о том, что двухмерные возмущения более опасны с точки зрения потери устойчивости,
чем трехмерные. Поэтому указанное утверждение Сквайра необходимо проверять числен-
ными расчетами.
В случае двухмерного приближения (w′ = 0, γ̃ = 0) для вывода уравнений возмущаю-
щих амплитуд удобно ввести функцию тока ψ таким образом:
u′ =
∂ψ
∂ỹ
, v′ = −
∂ψ
∂x̃
, ψ = ϕ̃(ỹ) exp[i(α̃x̃− β̃t̃)].
Повторяя те же операции, что и в трехмерном приближении, получим
(U − c)(ϕ′′ − α2ϕ) − U ′′ϕ = −
i
αR5
(ϕ′′′′ − 2α2ϕ′′ + α4ϕ+ Raθ′A),
θ′′A − (α2 + iRePrα(U − c))θA = ϕ′ + iαRePrθ′ϕ,
где ϕ = ϕ̃/(Umh), c = cr + ici = c̃/Um = β̃/(α̃Um) = (c̃r + ic̃i)/Um.
Задача на собственные значения решается при следующих граничных условиях:
y = −1, ϕ′ = ϕ′′ = θA = 0,
y = 1, ϕ′ = ϕ′′ = θA = 0.
Задача на собственные значения для систем уравнений в трех- и двухмерном прибли-
жениях решалась методом коллокаций. В качестве пробных функций в трехмерном при-
ближении использовались выражения
uA =
N∑
j=1
kj(1 − y2)2y2j−3(j(1 − y2) − (1 + y2)),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 107
vA =
N∑
j=1
lj(1 − y2)2y2(j−1), θA =
N∑
j=1
mj(1 − y2)j .
В двухмерном приближении имеем
ϕ =
N∑
j=1
lj(1 − y2)2y2(j−1), θA =
N∑
j=1
mj(1 − y2)j .
Для верификации модели были проведены тестовые расчеты критерия устойчивости для
течения в плоском канале в отсутствие свободной конвекции. Тогда профиль невозмущен-
ной скорости имеет вид U = 1,5(1 − y2). Расчеты показали, что в этом случае критическое
число Рейнольдса Reкр = 3848. Это значение практически совпадает с данными работы [4].
Профили скорости и температуры невозмущенного течения для случая постоянства теп-
лового потока [2] можно представить в таком виде:
U = 2K
sh[K(1 + y)] sin[K(1 − y)] + sh[K(1 − y)] sin[K(1 + y)]
sh[2K] − sin[2K]
,
θ =−
1
2K
ch[2K]+cos[2K]
sh[2K]−sin[2K]
(
1−
ch[K(1+y)] cos[K(1−y)]+ch[K(1−y)] cos[K(1+y)]
ch[2K]+cos[2K]
)
,
(5)
где K = 4
√
Ra/4. В предельном случае K → 0, т. е. когда нет влияния свободной конвекции,
профиль невозмущенной скорости принимает форму (5) с максимумом в центре канала.
По мере роста числа Релея (K) максимум скорости в центре канала уменьшается и затем
превращается в минимум. При этом в области около стенок образуются два максимума,
которые смещаются к стенке с ростом K. Такая тенденция поведения профиля невозму-
щенной скорости оказывает существенное влияние на критерий устойчивости.
Расчеты показали, что в случае трехмерных возмущений минимальное критическое зна-
чение числа Рейнольдса достигается при условии γ = 0, т. е. когда трехмерные возмущения
трансформируются в двухмерные. Тем самым показана справедливость теоремы Сквай-
ра. Расчеты, выполненные на основе двухмерной модели, дали такие же результаты, как
и расчеты на основе трехмерного приближения при условии γ = 0.
Результаты расчетов критических значений чисел Рейнольдса как функции чисел Ре-
лея и Прандтля представлены в табл. 1. Как видно, зависимость Reкр = Reкр(Ra) при
условии Pr = idem носит экстремальный характер — с ростом параметра K значение Reкр
сначала возрастает, а после достижения максимума начинает убывать. Такое поведение
зависимости для Reкр обусловлено соотношением взаимовлияния факторов вынужденной
и свободной конвекции. С ростом числа Релея максимум профиля скорости уменьшается,
и профиль скорости становится более заполненный. Это, в соответствии со второй теоремой
Таблица 1
K 0 1 1,5 2 3 5
Pr αкр Reкр αкр Reкр αкр Reкр αкр Reкр αкр Reкр αкр Reкр
0,1 1,02 3848 0,96 9170,6 1,06 34762,0 1,59 50176,6 2,67 42550,0 4,49 26466,6
1 1,02 3848 0,96 9174,0 1,06 34773,3 1,59 50188,0 2,67 42554,0 4,49 26470,0
10 1,02 3848 0,96 9174,6 1,06 34778,0 1,59 50190,6 2,67 42555,3 4,49 26472,6
100 1,02 3848 0,96 9174,6 1,06 34778,0 1,59 50191,3 2,67 42555,3 4,49 26472,6
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Релея об устойчивости движения потока [3], ведет к стабилизации течения и, как следст-
вие, к возрастанию значения критического числа Рейнольдса. При дальнейшем увеличении
числа Релея значение скорости в центре канала становится меньше, чем в области стен-
ки, — появляются два максимума скорости. В этом случае профиль скорости имеет точки
перегиба, что, в соответствии с той же теоремой Релея, дестабилизирует поток. Критиче-
ское значение числа Рейнольдса уменьшается. Однако в диапазоне исследованных значений
чисел Релея (до K = 5) значение критического числа Рейнольдса не достигает первона-
чального значения (при Ra = 0). Очевидно, это происходит вследствие того, что при чисто
естественной конвекции поток является более устойчивым, чем при вынужденной. Как ви-
дно из табл. 1, влияние числа Прандтля на Rec незначительное — наблюдается слабый
рост Reкр при возрастании числа Прандтля. Это можно объяснить тем, что с увеличением
вязкости при a = idem стабилизирует поток. Кроме того, из табл. 1 видно, что с ростом
числа Релея (за исключением значения при K = 1) длина критических волн возмущений
уменьшатся, т. е. для режима свободной конвекции наиболее опасными являются коротко-
волновые возмущения.
1. Murata H., Sawada K., Kobayashi M. Experimental investigation of natural convection in a core of a marine
reactor in rolling motion // J. Nuclear science and technology. – 2000. – 37, No 6. – P. 509–517.
2. Tao L.N. On combined free and forced convection in channels // J. Heat transfer. – 1960. – 82. – P. 233–238.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – Москва: Наука, 1974. – 712 с.
4. Orszag S. A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation // J. Fluid Mech. – 1971. – 50. –
P. 689–703.
Поступило в редакцию 11.08.2008Институт технической теплофизики
НАН Украины, Киев
Corresponding Member of the NAS of Ukraine А.А. Avramenko, Corresponding
Member of the NAS of Ukraine B. I. Basok, А. I. Skitstko, А. V. Kovalenko
Instability of streams in a vertical channel under combined convection
The equations for the determination of stability criteria under a combined convection in vertical
channels are deduced on the basis of a method of linear perturbations in 2D and 3D approximations.
The solution of the eigenvalue problem allows determining the criteria of stability.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 109
|