Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем

В роботі досліджується стійкість стаціонарного стану імпульсної гібридної системи. Дослідження проводиться за допомогоюметоду функцій Ляпунова. Побудовано достатні умови стійкості та нестійкості. Умови легко обчислюються і носятьконструктивний характер. Бібліогр.: 11 назв....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Бичков, О.С., Меркур’єв, М.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2007
Schlagworte:	Обчислювальні системи
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/807
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем / Бичков О.С., Меркур’єв М.Г. // Математичні машини і системи. – 2007.– № 1. – С. 27 – 33.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-807
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-8072008-07-02T12:00:59Z Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем Бичков, О.С. Меркур’єв, М.Г. Обчислювальні системи В роботі досліджується стійкість стаціонарного стану імпульсної гібридної системи. Дослідження проводиться за допомогоюметоду функцій Ляпунова. Побудовано достатні умови стійкості та нестійкості. Умови легко обчислюються і носятьконструктивний характер. Бібліогр.: 11 назв. В работе исследуется устойчивость стационарного состояния импульсной гибридной системы. Исследование проводится спомощью метода функций Ляпунова. Получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости. Условия легковычисляются и носят конструктивный характер. Библиогр.: 11 назв. Stability of the stationary state of impulsive hybrid automata is researched. Research is conducted by the method of Lyapunovfunctions. The sufficient conditions of stability and instability are received. These conditions are easily calculated and have theconstructive nature. Refs.: 11 titles. 2007 Article Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем / Бичков О.С., Меркур’єв М.Г. // Математичні машини і системи. – 2007.– № 1. – С. 27 – 33. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/807 517.925 uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Обчислювальні системи Обчислювальні системи
spellingShingle	Обчислювальні системи Обчислювальні системи Бичков, О.С. Меркур’єв, М.Г. Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем
description	В роботі досліджується стійкість стаціонарного стану імпульсної гібридної системи. Дослідження проводиться за допомогоюметоду функцій Ляпунова. Побудовано достатні умови стійкості та нестійкості. Умови легко обчислюються і носятьконструктивний характер. Бібліогр.: 11 назв.
format	Article
author	Бичков, О.С. Меркур’єв, М.Г.
author_facet	Бичков, О.С. Меркур’єв, М.Г.
author_sort	Бичков, О.С.
title	Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем
title_short	Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем
title_full	Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем
title_fullStr	Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем
title_full_unstemmed	Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем
title_sort	дослідження стійкості імпульсних гібридних систем
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Обчислювальні системи
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/807
citation_txt	Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем / Бичков О.С., Меркур’єв М.Г. // Математичні машини і системи. – 2007.– № 1. – С. 27 – 33.
work_keys_str_mv	AT bičkovos doslídžennâstíjkostíímpulʹsnihgíbridnihsistem AT merkurêvmg doslídžennâstíjkostíímpulʹsnihgíbridnihsistem
first_indexed	2025-07-02T04:26:39Z
last_indexed	2025-07-02T04:26:39Z
_version_	1836507882653220864
fulltext	ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 27 УДК 517.925 О.С. БИЧКОВ, М.Г. МЕРКУР’ЄВ ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ІМПУЛЬСНИХ ГІБРИДНИХ СИСТЕМ Abstract: Stability of the stationary state of impulsive hybrid automata is researched. Research is conducted by the method of Lyapunov functions. The sufficient conditions of stability and instability are received. These conditions are easily calculated and have the constructive nature. Key words: hybrid automata, second Lyapunov method, stability of stationary condition. Анотація: В роботі досліджується стійкість стаціонарного стану імпульсної гібридної системи. Дослідження проводиться за допомогою методу функцій Ляпунова. Побудовано достатні умови стійкості та нестійкості. Умови легко обчислюються і носять конструктивний характер. Ключові слова: гібридний автомат, другий метод Ляпунова, стійкість стаціонарного стану. Аннотация: В работе исследуется устойчивость стационарного состояния импульсной гибридной системы. Исследование проводится с помощью метода функций Ляпунова. Получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости. Условия легко вычисляются и носят конструктивный характер. Ключевые слова: гибридный автомат, второй метод Ляпунова, устойчивость стационарного состояния. 1. Вступ В останні роки почалося дослідження гібридних (неперервно-дискретних) систем. Неперервно- дискретні системи є розвитком диференціальних рівнянь з розривною правою частиною, що моделюють системи, які можуть бути в кількох принципово різних станах. Наприклад, поведінку автомобільного колеса можна розділити на три стани: кочення (є контакт та зчеплення з поверхнею), ковзання (є контакт з поверхнею, але немає зчеплення; колесо буксує або заблоковане) і політ (немає контакту з поверхнею). При заданих умовах система переходить з одного стану в інший (наприклад, при наїзді на горб колесо переходить в стан польоту). Подібні задачі також виникають в задачах автоматичного керування, коли керуючий вплив є дискретним (наприклад, двигун ввімкнено – двигун вимкнено). Дослідженням гібридних систем займалися багато авторів. Слід відмітити роботи Н.П. Бусленка, В.М. Глушкова, С.В. Ємельянова та інш. [1–5, 7, 8]. Для математичного опису таких систем можна використовувати гібридні системи, введені у 80-ті роки А. Пнуелі. Гібридні системи є математичним формалізмом, що узагальнює такі моделі, як диференціальні рівняння із розривною правою частиною, імпульсні диференціальні рівняння, системи переходів А. Пнуелі, логіко-динамічні системи В. Глушкова та інші. В роботах, що присвячені дослідженню стійкості розв’язків гібридних систем [9, 10], застосовують підхід, який запропонував Р. Де Карло в [11]. Цей підхід, крім обчислення похідної, вимагає обчислення послідовності значень функцій Ляпунова )(xV i на траєкторіях гібридної системи в точках переключень та перевірки умови ))(())(( 1,, −≤ kiikii txVtxV , де kit , – означає k -й момент часу переходу у векторне поле if , (.)iV – функція Ляпунова для i -го локального стану. Тобто умова стійкості залежить від розв’язків гібридної системи. Якщо виконується ця умова, то система стійка за Ляпуновим. Але не завжди це зручно робити. В [2] пропонується використовувати схожий підхід. Цей підхід дозволяє досліджувати стійкість гібридних систем, розв’язуючи лише алгебраїчні рівняння, в які входять s -функції. ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 28 Дана стаття є розвитком [2]. Пропонується використовувати введені в [2] s - та u -функції для аналізу стійкості і нестійкості імпульсних гібридних систем. 2. Достатні умови стійкості нульового стаціонарного стану гібридного автомату Нехай динаміка процесу описується різними математичними моделями в N різних станах. Занумеруємо ці стани від 1 до N і позначимо множину станів як },...,1{ NQ = . Неперервні змінні позначимо через },...,{ 1 nxxX = , 0>n , Rxi ∈ . Вважаємо, що в кожному з локальних станів математична модель являє собою стаціонарне диференціальне рівняння )(xf dt dx i= . Множину функцій if позначимо через F : },1,:{ NiRRQfF nn i =→×= . Вважаємо, що кожна з if задовольняє умову Ліпшица. Нехай система перебуває в i -му стані. Переключення з i -го стану в інший не відбувається, поки виконується умова Invxi ∈),( , nRQInv ×⊆ . Для переключення із стану в стан треба задати, при яких умовах відбувається переключення та в який стан і в яку точку фазового простору перейде система після переключення. Для цього призначена множиннозначна функція )(: nn RQRQJump ×β→× , де через )(⋅β позначено множину усіх підмножин. Якщо ∅≠),( xiJump , то, опинившись у стані ),( xi , система недетермінованим чином переходить в один із станів з множини ),( xiJump . Нарешті, множина nRQInit ×⊆ задає усі можливі початкові умови. Якщо Initxi ∈),( , це значить, що еволюція гібридної системи може починатися з точки x локального стану i . Вважатимемо, що )}(,1)mod{(),( xqNixiJump i+∨∅= , тобто переключення циклічне ( 1...21 →→→→ N ) і детерміноване. Значення xxqi −)( назвемо перехідним імпульсом. Означення 1. [3]. Гібридною системою назвемо кортеж ),,,,,,( τ= JumpInvInitFXQH , де τ – гібридний час. У звичайних динамічних системах роль часу виконувала незалежна змінна );[ 0 ∞∈ tt . Теорія гібридних систем розглядає розв’язки рівнянь на послідовно розташованих відрізках часу ],[ 10 ∗∗ tt , ],[ 21 ∗∗ tt ,… Ця послідовність може бути як скінченною, так і нескінченною. Цілком можливо, що ∞<∗ ∞→ i i tlim . Визначимо гібридний час τ: – або як скінченну послідовність N iH 1}{ττ = , де 1( , [ , ],i i i iPre_jump t tτ ∗ ∗ −= 0_ ), 1.. ; 0,iPost jump i N t= = ],[ 1 ∗∗ − ii tt – замкнуті інтервали і тільки останній інтервал ),[ ∞= NN tτ – напіввідкритий; – або як послідовність ∞= 1}{ iH ττ , що включає тільки замкнуті кінцеві інтервали ],[ 1 ∗∗ − ii tt . ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 29 Елементи гібридного часу ijumpPre _ , ijumpPost _ назвемо часовими щілинами чергового такту )_],,[,_( 1 iiiii jumpPostttjumpPre ∗∗ −=τ гібридного часу ,...},{ 21 τττ = . На відрізках часу ],[ 1 ∗∗ − ii tt гібридна система поводиться як звичайна динамічна система. В точці ∗ it стає істинним предикат, що визначає зміну поведінки. Точка ∗ it є одночасно кінцем поточного інтервалу і початком нового. Позначимо через T множину усіх можливих τ . Означення 2. Фазовою орбітою гібридної системи H назвемо множину )},,{( xiτχ = , де T∈τ , i – номер локального стану і nRx →τ: таке, що 1) ( ) ( )( )0 0, ;i x Initτ τ ∈ 2) для всіх i таких, що ′< ii ττ пара Invtxti ∈))(),(( визначає неперервну динаміку в i -му локальному стані; пара ))(),(())(),(( 11 ′′ ++ ∈ iiii xiJumpxi ττττ визначає дискретну динаміку. Таким чином, поведінка гібридної системи є послідовністю «склеєних» між собою розв’язків диференціального рівняння на окремих проміжках. Припустимо, що орбіта гібридної системи починається з першого стану. Нехай позначення 1\|i i i ix x− + → +→ означає, що гібридна система переходить із стану i в стан 1+i і значення −ix береться на множині, що задає умову переходу, а +ix – значення фазової координати після стрибка, тобто )( −+ = ii xqx . Означення 3. Неперервний стан 0=x назвемо тривіальним стаціонарним станом гібридної системи H , якщо існує непорожня множина QQ ⊂ така, що для всіх Qi ∈ виконується: 1) з )0,(),( iJumpzi ∈′′ випливає, що 0=′z та Qi ∈′ ; 2) 0)0,( =if для всіх .Qi ∈ Означення 4. Тривіальний стаціонарний стан 0=x гібридної системи H називається стійким за Ляпуновим, якщо для довільного 0>ε існує 0>δ таке, що для всіх ),,( xiτχ = , що задовольняють умову δ<0x , виконується ε<)(tx для всіх τ∈t . Через ⋅ позначено евклідову норму. Побудуємо таку послідовність }{ ic , Ni ,0= : ,),(sup),(sup),,0( 23 )( 212 )( 10 1 22 32 22 0 11 21 11 K + ≤ → + ≤ → − → +− − → +− ==∈ xVcxVcCc cxV xx cxV xx )(sup 1 )( 1 1 + ≤ → − − → +− = N cxV xx N xVc N NN N NN . (1) ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 30 Аналогічну послідовність можна побудувати, починаючи з другого стану, з третього, і т.д. Позначимо через iΩ множину, що описує i -й локальний стан. Нехай існують функції Ляпунова )(xV i , що задані на множинах iΩ . Означення 5. Назвемо { } NixVxiV i ,1,)(),( == гібридною s -функцією, якщо )(xV i додатно визначені та для будь-якої послідовності { } Nic i ,0, = , визначеної в (1), що починається з будь-якого стану, виконується 0ccN ≤ . Будемо використовувати гібридну s -функцію для дослідження стійкості тривіального стаціонарного стану гібридної системи. Означення 6. Похідною гібридної s -функції ),( xiV в силу гібридної системи назвемо вираз .,1)),(( )( ),(       == Nitxf dx xdV xiV i i & В роботі розглядаються імпульсні гібридні системи, тобто початкове значення фазової змінної )(tx в i -му локальному стані обчислюється за правилом ))(()( −+ = ii txqtx . Введемо такі позначення: }:{ rxRxB n r ≤∈= , }:{ rxRxS n r =∈= . Теорема 1. Нехай гібридна система H має тривіальну фазову орбіту 0=x і для нього ∞<Q , ))},(,1{(),( xqixiJump i+= для ,1,1 −= Ni ))(,1(),( xqxNJump N= . Також нехай задано окіл початку координат XD ⊂ . Якщо для H існує додатно визначена гібридна s -функція RDQxiV →×:),( така, що 0))(( )( ≤txf dx xdV i i для всіх iDx Ω∩∈ та Ni ,1= , існує неперервна монотонно зростаюча функція ++ →⋅ψ RR:)( така, що 0)0( =ψ та )()( zzqi ψ< Qi ∈∀ , (2) тоді 0=x – стійка тривіальна фазова орбіта гібридної системи H . Доведення. Припустимо, що }2,1{=Q . Позначимо })(:{)( rxVRxi in r ≤∈=Ω . Виберемо довільне 0>ε . Покажемо, що можна, в умовах теореми, знайти 0>δ таке, що всі орбіти ),,( xiτ , для яких виконується δ∈τ Bx )( 0 , задовольняють умову ε∈ Btx )( для всіх τ∈t . Виберемо ),0(2 ε∈r таке, що DBr ⊆ 2 . Покладемо )(min)( 2 2 xVia i Sx r∈ = та ))(,0()( 22 iaib ∈ . Тоді 22 )()( rib Bi ⊆Ω . Далі, нехай 0)(2 >ip таке, що )()()( 22 iB ibip Ω⊆ . Покладемо )(min 22 ips Qi∈ = , та )}(,min{ 2 1 21 ssr −ψ= . Аналогічно будуємо )(min)( 1 1 xVia i Sx r∈ = , ))(,0()( 11 iaib ∈ . Тоді rib Bi ⊆Ω )()(1 . Беремо ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 31 0)(1 >ip таке, що )()()( 11 iB ibip Ω⊆ . Покладемо )(min 11 ips Qi∈ ==δ . Нехай для визначеності орбіта починається у стані 1. Якщо орбіта не переходить із стану 1 у стан 2, теорема вироджується у теорему Ляпунова. Нехай вона переходить із стану 1 в стан 2 у момент 10 τ=τ′ . Для всіх ],[ 00 τ′τ∈t виконується )1())(( 1 1 atxV < , тому 10 )0( rx <−τ′ . Після переключення справджується нерівність 21 )0( sx <+τ . Якщо траєкторія не переходить із стану 2 в стан 1, теорему доведено. Якщо ж є стрибок у точці 21 τ=τ′ , то для всіх ],[ 11 τ′τ∈t виконується )2())(( 2 2 atxV < , тому 21 )0( rx <−τ′ . За умовою теореми, для гібридної системи існує додатно визначена гібридна s -функція. Взявши в означенні s -функції ))(( 0 10 τ= xVc , маємо, що )1())(())0(( 10 102 2 1 axVccxV <τ=≤≤+τ , тобто )1())0(( 12 1 axV <+τ . Повторюючи ці ж викладки за індукцією, отримуємо, що для будь-якого 0τ≥t в першому стані виконується )1())(( 1 1 atxV < , в другому – )2())(( 2 1 atxV < . В обох випадках ε<< 2)( rtx . Теорему доведено. Відмітимо про необхідність перевірки умови 0ccN ≤ при перевірці умов теореми. Означення 7. Умову (2) назвемо умовою стійкості перехідних імпульсів. Тепер розглянемо питання нестійкості тривіальних фазових орбіт. Будемо вважати локальний стан нестійким, якщо не виконується означення стійкості. По аналогії з дослідженням стійкості введемо деякі означення. Побудуємо послідовність }{ ic , Ni ,0= таку, що: ,),(inf),(inf),,0( 23 )( 212 )( 10 122 32 22 011 21 11 K + ≥ → + ≥ → − → +− − → +− ==∈ xVcxVcCc cxV xx cxV xx )(inf 1 )( 1 1 + ≥ → −− → +− = N cxV xx N xVc NNN N NN . (3) Аналогічну послідовність можна ввести, починаючи з другого стану, з третього, і т. д. Означення 8. Назвемо { } NixVxiV i ,1,)(),( == гібридною u -функцією, якщо )(xV i додатно визначені й для будь-якої послідовності { } Nic i ,0, = , визначеної в (3), що починається з будь-якого стану, виконується 0ccN ≥ . Означення 9. Фазова орбіта зветься зенонівською, якщо в неї за скінченний час відбувається нескінченне число переключень. Теорема 2. Нехай гібридна система H має тривіальну фазову орбіту 0=x , не має зенонівських орбіт, і виконується ))},(,1{(),(, xqixiJumpQ i+=∞< для 1,1 −= Ni ; ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 32 ))(,1(),( xqxNJump N= . Нехай задано окіл початку координат XD ⊂ . Якщо для H існує гібридна u -функція RDQxiV →×:),( така, що 0))(( )( >txf dx xdV i i для всіх iDx Ω∩∈ та Ni ,1= , тоді тривіальна фазова орбіта нестійка за Ляпуновим. Доведення. Під час функціонування системи можливі два випадки: 1. Для будь-якого 0>ε існує ε∈ Bx0 таке, що орбіта, яка починається в точці 0x , зробить скінченне число переключень. 2. Існує деяке 0>ε таке, що всі орбіти, які починаються в εB , роблять нескінченне число переключень. У першому випадку теорема зводиться до теореми Четаєва про нестійкість. Припустимо, що виконується другий випадок. Для простоти будемо вважати, що }2,1{=Q і орбіта починається з першого стану. Припустимо супротивне: система не є нестійкою, тобто для будь-якого скільки завгодно малого 0>δ орбіти, що починається в δB , не залишають кулі εB . Тоді існує деяке 0>C , для якого CtxV i <))(( , Qi ∈ . З додатної означеності і неперервності виразу ))(( )( ),( txf dx xdV xiV i i =& випливає, що існує деяке 0>v таке, що vtxiV >))(,(& для Qi ∈ . Оцінимо різницю ))(())(( 0 11 txVtxV − (вважаємо, що орбіта в момент часу t зробила M переключень і повернулась у стан 1; M – парне число): [ ] ∫∑ ∫ +− τ= + τ τ ≥+         −τ−+τ+=− t Mi ii M i i dssVxVxVdssVtxVtxV 11 )())0(())0(()())(())(( 1 ,...,4,2 1 1 11 0 11 && [ ]       τ−+τ−τ+−τ−+τ≥ ∑∑ = +− = + Mi Mii Mi ii tvxVxV ,...,4,2 11 ,...,4,2 1 1 1 )()())0(())0(( . Вважатимемо, що ряд ∑ = −τ−τ Mi ii ,...,4,2 1)( розбіжний. Тоді вираз       τ−+τ−τ + = −∑ )()( 1 ,...,4,2 1 M Mi ii tv необмежено зростає з ростом t . Залишається переконатися, що різниця ))0(())0(( 1 1 1 −−++ ii xVxV ττ невід’ємна. У побудові u -функції покладемо ))0((10 −= ixVc τ . Тоді 11 ))0(( cxV i ≥+τ , і 02 1 1 ))0(( ccxV i ≥≥++τ . Тобто виконується нерівність 0))0(())0(( 1 1 1 ≥−−++ ii xVxV ττ . Таким чином, із ростом t різниця ))(())(( 0 11 txVtxV − може бути як завгодно великою, що суперечить CtxV i <))(( . Оскільки гібридний час не є зенонівським, то якщо ряд ∑ = −τ−τ Mi ii ,...,4,2 1)( збігається, розбіжним ISSN 1028-9763.Математичні машини і системи, 2007, № 1 33 буде інший ряд: ∑ −= −τ−τ 1,...,5,3 1)( Mi ii , і можна буде проробити ці ж викладки з другим станом. Теорему доведено. Достатні умови, що отримані, суттєво відрізняються від інших умов, які використовуються при дослідженні стійкості гібридних систем. 3. Висновки Таким чином, в роботі отримано умови стійкості та нестійкості тривіальних стаціонарних станів імпульсних гібридних систем. Доведення базується на існуванні гібридних s - і u -функцій та умовах стійкості й нестійкості перехідних імпульсів. Отримані умови можна легко обчислювати та вони не залежать від розв’язків гібридних систем. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука, 1978. – 399 c. 2. Бичков О. Застосування другого методу Ляпунова для дослідження стійкості гібридних систем // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2005. – № 4. – С.125–133. 3. Парийская Е. Гибридный подход к моделированию и качественному анализу динамических систем. Алгоритмы линейной аппроксимации нелинейного гибридного автомата // Труды 2-ой междунар. научно- технической конф. «Дифференциальные уравнения и приложения». – СПб. – 1998. – С. 174–177. 4. Глушков В.М., Гусев В.В., Марьянович Т.П., Сахнюк М.А. Программные средства моделирования непрерывно-дискретных систем. – Киев: Наукова думка. – 152 с. 5. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В. Емельянова. – М.: Наука, 1972. – 592 с. 6. Branicky M. Stability of switched and hybrid systems // Proc. 33-rd Conf. Decision and Control. – Lake Buena Vista, FL. – 1994. – Dec. – Р. 3498–3503. 7. Filippov F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. – Kluwer Academic Publishers, 1988. 8. Kesten Y., Pnueli A. Timed and Hybrid statecharts and their textual representation // Lec. Notes in Comp. Sci. – Springer-Verlag, 1992. – Р. 591–620. 9. Pettersson S., Lennartson B. Stability and robustness for hybrid systems // Proc. of 35th CDC. – 1996. – Р.1202– 1207. 10. Ye H., Miche A.l., Hou L. Stability theory for hybrid dynamical systems // IEEE Transactions on Automatic Control. – 1998. – Vol. 43 (4), April. – P. 461–474. 11. Peleties P., DeCarlo R.A. Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov-like functions // Proc. of the 1991 American Control Conference. – Boston, MA. – 1991. – Vol. 2, June. – P. 1679–1684.

Дослідження стійкості імпульсних гібридних систем

Institution

Ähnliche Einträge