Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації

Для математического моделирования поверхности тела по данным радиолокации предложены модели, порожденные из метамодели G, состоящей из соответствующих размерностям пространства геометрических объектов (точки, линии, поверхности), математических методов (интерполяции, интерлинации и интерфлетации), а...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Литвин, О.М., Матвєєва, С.Ю., Межуєв, В.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2010
Назва видання:	Управляющие системы и машины
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82822
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації / О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва, В.І. Межуєв // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 3. — С. 33-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-82822
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-828222018-03-21T18:11:18Z Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю. Межуєв, В.І. Новые методы в информатике Для математического моделирования поверхности тела по данным радиолокации предложены модели, порожденные из метамодели G, состоящей из соответствующих размерностям пространства геометрических объектов (точки, линии, поверхности), математических методов (интерполяции, интерлинации и интерфлетации), а также совокупности правил порождения моделей. Рассмотрен новый метод восстановления поверхности тела по заданным на системе полос данным. For the mathematical modelling of a body surface according to the radiolocation data the models are suggested generated from the G metamodel which consists of the corresponding dimensions of a space of the geometrical objects (a point, a line, a surface), mathematical methods (interpolation, interlination and interflatation), as well as of a set of rules of the models generation. A new method of the reset of the body surface according to the data specified on the system of strips is considered. Для математичного моделювання поверхні тіла за даними радіолокації запропоновано моделі, породжені з метамоделі G, яка складається з відповідних вимірностям простору геометричних об’єктів (точки, лінії, поверхні), математичних методів (інтерполяції, інтерлінації та інтерфлетації), а також сукупності правил породження моделей. Розглянуто новий метод відновлення поверхні тіла за даними, що задані на системі смуг. 2010 Article Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації / О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва, В.І. Межуєв // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 3. — С. 33-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82822 519.6 ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю. Межуєв, В.І. Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації Управляющие системы и машины
description	Для математического моделирования поверхности тела по данным радиолокации предложены модели, порожденные из метамодели G, состоящей из соответствующих размерностям пространства геометрических объектов (точки, линии, поверхности), математических методов (интерполяции, интерлинации и интерфлетации), а также совокупности правил порождения моделей. Рассмотрен новый метод восстановления поверхности тела по заданным на системе полос данным.
format	Article
author	Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю. Межуєв, В.І.
author_facet	Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю. Межуєв, В.І.
author_sort	Литвин, О.М.
title	Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації
title_short	Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації
title_full	Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації
title_fullStr	Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації
title_full_unstemmed	Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації
title_sort	метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2010
topic_facet	Новые методы в информатике
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82822
citation_txt	Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації / О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва, В.І. Межуєв // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 3. — С. 33-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT litvinom metamodelʹdlâmatematičnogomodelûvannâpoverhnítílanaosnovídanihradíolokacíí AT matvêêvasû metamodelʹdlâmatematičnogomodelûvannâpoverhnítílanaosnovídanihradíolokacíí AT mežuêvví metamodelʹdlâmatematičnogomodelûvannâpoverhnítílanaosnovídanihradíolokacíí
first_indexed	2025-07-06T09:30:10Z
last_indexed	2025-07-06T09:30:10Z
_version_	1836889366941663232
fulltext	УСиМ, 2010, № 3 33 УДК 519.6 О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва, В.І. Межуєв Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації Для математического моделирования поверхности тела по данным радиолокации предложены модели, порожденные из мета- модели G, состоящей из соответствующих размерностям пространства геометрических объектов (точки, линии, поверхности), математических методов (интерполяции, интерлинации и интерфлетации), а также совокупности правил порождения моделей. Рассмотрен новый метод восстановления поверхности тела по заданным на системе полос данным. For the mathematical modelling of a body surface according to the radiolocation data the models are suggested generated from the G metamodel which consists of the corresponding dimensions of a space of the geometrical objects (a point, a line, a surface), mathemati- cal methods (interpolation, interlination and interflatation), as well as of a set of rules of the models generation. A new method of the reset of the body surface according to the data specified on the system of strips is considered. Для математичного моделювання поверхні тіла за даними радіолокації запропоновано моделі, породжені з метамоделі G, яка складається з відповідних вимірностям простору геометричних об’єктів (точки, лінії, поверхні), математичних методів (інтер- поляції, інтерлінації та інтерфлетації), а також сукупності правил породження моделей. Розглянуто новий метод відновлення поверхні тіла за даними, що задані на системі смуг. Вступ. Для математичного моделювання по- верхні тіла за результатами даних радіолокації запропоновано моделі, породжені з метамоделі G. Метамодель – це модель моделі предметних галузей, яка складається з відповідних вимір- ностям простору геометричних об’єктів (точки, лінії, поверхні), математичних методів інтерпо- ляції, інтерлінації та інтерфлетації [1, 2], а також сукупності правил породження моделей. Вико- ристання метамоделі G для породження сукуп- ності моделей M1, M2, , MN дозволяє розгляну- ти з єдиної точки зору різні підходи до моде- лювання поверхні тіла та побудувати систему комп’ютерних інструментів, що оптимізують процес моделювання, починаючи з задання по- чаткової інформації і закінчуючи інтерпретацією та візуалізацією отриманого розв’язку. Породження моделей поверхні тіла з мета- моделі G є доцільним завдяки відповідності структури модельних об’єктів G структурі екс- периментальних даних, що отримуються у про- цесі радіолокації у вигляді значень функції у точках, а також слідів функції на заданих ліні- ях або поверхнях. Зазначимо, що широко ви- користовувана у картографії математична мо- дель DEM (Digital Elevation Model) [3], також може бути породжена із G шляхом викорис- Ключові слова: метамодель, модель поверхні, інтер- поляція, інтерлінація, інтерфлетація, інтерстріпація. тання для опису тіла поверхонь у вигляді три- кутників. При використанні метамоделі G та- кий спосіб подання інформації може бути по- єднаний з заданням даних у точках та на ліні- ях, які є базовими об’єктами G та дозволяють використати більш точні (порівняно з класич- ною інтерполяцією) методи інтерлінації та ін- терфлетації. Породження модельних об’єктів із метамо- делі G здійснюється шляхом задання обмежень на геометричну структуру об’єктів метамоделі. Наприклад, шляхом накладання обмеження на лінію, отримуємо відрізок; з поверхні можуть бути породжені трикутники, смуги та інші мо- дельні об’єкти. Важливим аспектом є можли- вість побудови складних моделей шляхом струк- турування базових елементів метамоделі. Як приклад у статті розглядається новий ме- тод відновлення поверхні тіла за даними, зада- ними на системі смуг – interstripation (inter – між, strip - смуга). Найбільш вживаною на практиці для опису поверхні Землі та інших тіл є модель DEM, та- кож відома як DTM (Digital Terrain Model). Сут- ність підходу полягає у заміні поверхні Землі або іншого тіла багатогранною поверхнею, кож- на грань якої є трикутником. Координати вер- шин цих трикутників задаються дослідником при радіолокаційному зондуванні. В межах кож- ного такого трикутника структура досліджува- 34 УСиМ, 2010, № 3 ної частини поверхні Землі або іншого тіла вважається однорідною. Зазначимо, що прак- тика часто потребує більш точного опису по- верхні у межах такого трикутника, розмір яко- го може бути достатньо великим. Крім того, існує певна невідповідність мо- делі DEM структурі експериментальних даних, отримуваних за допомогою радіолокації. Вклю- чення у модель DEM експериментальних да- них іншої структури, взагалі кажучи, є нетриві- альною задачею. Наприклад, це стосується за- стосування в описі таких характерних складо- вих поверхні Землі, як лінії берегів річок або морів. Адже їх включення в опис поверхні по- требує роботи з кожним трикутником - гранню багатогранної поверхні в системі DEM окремо. Наведемо також приклад картографії дна оке- ану за допомогою даних гідролокації (рис. 1). Лінії х = хk (k = 11, M ) і y = yi (i = 21, M ) є курса- ми корабля з гідролокатором, z = f (x,y) є рів- нянням поверхні дна океану, що потребує на- ближеного відновлення. З цього прикладу ви- пливає цілком природне використання ліній як носіїв експериментальних даних гідролокації та, власне, доцільність включення лінії до ме- тамоделі G. Поверхня океану Дно океану Рис. 1. Картографія дна океану за допомогою даних гідролокації Іншим важливим прикладом є картографія поверхні космічного тіла за допомогою даних радіолокації (рис. 2). У цьому випадку дані ра- діолокації отримуються на системі смуг, роз- міщених на поверхні космічного тіла. Саме то- му є доцільною розробка метода відновлення поверхні тіла за даними, заданими на системі смуг – interstripation. Рис. 2. Картографія поверхні космічного тіла за допомогою даних радіолокації У загальному випадку такі смуги можуть на- кладатися одна на одну, отримуватися під різ- ними кутами і навіть у різні моменти часу (на- приклад, при картографуванні Венери «Магел- ланом» одна і та ж частина поверхні потрапила в поле зору радара на різних витках з проміж- ком часу у кілька десятків місяців; за цей час вона була дуже зруйнована землетрусом, вір- ніше «венеротрусом»). Тобто, стан певної час- тини поверхні з часом може мати досить вели- кі відхилення від стану, зафіксованого на смузі під час руху супутника на одному з попередніх витків. З наведених прикладів випливає, що вико- ристання метамоделі G, властивості якої будуть розкриті далі у статті, є цілком природним для подання та обробки інформації, отримуваної при радіолокації. Це зумовлено структурою інформації (експериментальних даних), що ви- користовується у задачах картографії. Саме тому задача узагальнення підходу до моделювання поверхонь тіл у рамках певної ме- тамоделі, яка включає DTM як окремий випа- док, є актуальною. Її розв’язання надає мож- ливість більш точного опису поверхні планет УСиМ, 2010, № 3 35 та інших тіл як шляхом використання геомет- ричних об’єктів, що більш повно відповідають наявним експериментальним даним, так і за- стосуванню найбільш сучасних методів теорії наближення функцій багатьох змінних – теорії інтерлінації та інтерфлетації функцій [1, 2]. Постановка задачі Як зазначено, для обробки результатів радіо- локації запропоновано математичну модель по- верхні, що породжується метамоделлю G, яка складається із множини модельних об’єктів {P, L, S}, де P – точка, L – лінія, S – поверхня, множини операторів {Op, Ol, Of}, застосовних до цих модельних об’єктів, де Op - оператор ін- терполяції, Ol – оператор інтерлінації, Of - опе- ратор інтерфлетації та правил породження мо- делей M1, M2, , MN із G. Особливість підходу також полягає у визна- ченні метамоделі G на двох рівнях – формаль- ному (математичному) та візуальному, а саме як множини графічних об’єктів, що застосо- вуються для візуалізації {P, L, S}. Ці рівні ви- значення об’єктів пов’язані системою методів, які реалізуються у комп’ютерній системі шля- хом певних предметних дій (маніпуляцій). На- приклад, зміна розташування візуального об’єк- та «точка» на екрані комп’ютера приводить до зміни його радіус–вектора, визначеного на фо- рмальному рівні. Зазначимо, що використання для моделюван- ня таких базових об’єктів, як точка, лінія та по- верхня обговорені у працях Рене Декарта ще у 1637 р. [4]. Можна також говорити про два рі- вня визначення цих об’єктів, а саме про геоме- тричний та аналітичний, що і є основою мето- ду координат Декарта. Зазначимо, що саме на основі метамоделі Декарта Ньютоном та Лей- бніцем створено диференціальне та інтеграль- не числення. Згадаємо також роботи нашого відомого спів- вітчизника академіка В.Л. Рвачова [5], побудо- вані на основі метамоделі Декарта. В своїх ро- ботах В.Л. Рвачов розширив метамодель Дека- рта, включивши в неї властивості функцій бу- левої та k-значної логіки і властивості тради- ційних функцій багатьох змінних. Це дало мо- жливість створити загальний метод побудови рівнянь границь областей складної форми. У нашому випадку метамодель G викорис- товується для породження конкретної моделі M предметної галузі (поверхні тіла). Породження здійснюється шляхом накладання обмежень на елементи метамоделі (наприклад, із лінії мож- на породити відрізок, із поверхні – трикутник або смугу тощо), а також конструювання більш складних моделей із елементарних частин ме- тамоделі. G  M, де модель M є множиною {{P1, P2,   , PA}, {L1, L2, , LB}, {S1, S2, , SC}}, в якій {P1, P2, , PA} – множина точок, {L1, L2, , LB} – множина ліній, {S1, S2, , SC} – множина поверхонь, A + B + C = N – загальна кількість об’єктів мо- делі. Кожен об’єкт множини {{P1, P2,  , PA}, {L1, L2, , LB}, {S1, S2, , SC}} є носієм властивостей, а саме розподілу величин радіолокаційного зон- дування. До цих конкретних об’єктів моделі за- стосовуються відповідні оператори {Op, Ol, Of}, які є складовою частиною метамоделі. Використання метамоделі у картографії Побудова карт поверхонь тіл за даними радіо- локації актуальна як на практиці, так і для теорії. У запропонованій метамоделі вхідна інфор- мація про поверхню  , карту якої маємо ство- рити, задається значеннями невідомої функції двох z = f (x, y) або трьох змінних  (x, y, z) = 0 у заданій системі точок {P1, P2, , PA}, її слі- дами на заданій системі ліній {L1, L2, , LB} та її слідами на деяких площинах або поверхнях {S1, S2, , SC} (криволінійних, заданих на час- тинах відомих поверхонь). Для більш точного відновлення поверхні по- трібно враховувати також всю додаткову інфор- мацію про досліджувану поверхню (клас глад- кості, до якого належить ця поверхня, її близь- кість до відомих поверхонь – площини, сфери, циліндра тощо). Використання комп’ютерних ін- струментів, побудованих на основі метамоделі, дозволяє оптимізувати застосування математич- них методів, наприклад автоматично здійснити перехід від подання інформації у декартовій у 36 УСиМ, 2010, № 3 сферичну чи циліндричну систему координат. Поверхня може також бути нічим іншим, як ци- фровим знімком поверхні тіла. У цьому разі пе- ревагою використання комп’ютерних інструмен- тів є розгляд зображення на знімках як функції від двох змінних. Характеристика операторів метамоделі Оператори метамоделі є формулами сплайн- інтерполяції, сплайн-інтерлінації та сплайн-ін- терфлетації [1, 2]. Інтерлінацією (інтерфлетаці- єю) функцій багатьох змінних називається від- новлення (можливо, наближене) цієї функції за допомогою її слідів та слідів її похідних до за- даного порядку на системі ліній (або поверхонь відповідно). Інтерлінація та інтерфлетація функ- цій є природним узагальненням інтерполяції, яка є відновленням (можливо, наближеним) функ- ції за допомогою її значень та значень її похід- них до деякого порядку у заданій системі точок. Інтерфлетацією функції f (x1, , xn), залежної від n змінних за допомогою її слідів (або слідів її похідних до заданого порядку  N ) на M по- верхнях розмірності m є відновлення (можливо наближене) функції f у довільних точках зада- ної області. Якщо m = 0, то таке наближення є загальновідомою інтерполяцією функції за до- помогою її значень в M точках (для n  1). Як- що m = 1 (для n  2), то таке наближення нази- вається інтерлінацією (інколи blending function interpolation — мішаною інтерполяцією функ- цій) на M лініях. Наведемо основні твердження про наближен- ня функцій багатьох змінних за допомогою опе- раторів інтерлінаціі та інтерфлетації функцій. Ін- терфлетація функцій може бути використана:  у теорії апроксимації функцій;  у методах ЛІДР або НІДР розв’язання кра- йових задач для диференціальних рівнянь з ча- стинними похідними, які зводять крайову зада- чу для областей складної форми до систем зви- чайних лінійних або нелінійних інтегро-дифе- ренціальних рівнянь;  у картографії;  у комп’ютерній томографії;  у цифровій обробці багатовимірних сигналів;  при описі поверхонь автомобілів, суден, лі- таків, космічних тіл тощо. Введемо вказані та деякі нові означення з використанням загальноприйнятих математич- них символів. Хай 0 , , ,n M m N  – задані числа, , 1,k k M  задані m-вимірні поверхні в R n (0  m < n); вважаємо для зручності, що точ- ка теж є поверхнею розмірності m = 0, а лінія є поверхнею розмірності m = 1. Крім того, буде- мо вважати заданими функції , ( )k p x , 1, ,k M 0,p N , які є слідами операторів )(, xfL pk від функції f (x) (взагалі невідомої), тобто  ,φ k k p x   =  , , k k pL f x  1, ,k M 0, .p N Оператори  ,k pL f x можуть бути частинними похідними або нормальними похідними  , k k pL f x  =   / , k p p kf x      0,p N для випадку m = n – 1 тощо (vk - вектор нормалі до k). Означення 1. Оператори O ({k, p}, x) : = : = O ({Lk, p}, {k}, {k, p}, x ) називатимемо опе- раторами інтерфлетації, якщо  , ,{φ },q k pL O x      ,φ , 1, , 0,q x M q N       . Якщо m = 0, то k  R n є точками в R n і сліди можуть бути значеннями функції f (x) та її частинних похідних в цих точках. Тоді O ({k, p}, x) є операторами інтерполяції на M точках. Якщо m = 1, n  2, то k є лініями в R n і оператори O ({k, p}, x) є операторами інтерлі- нації на вказаних лініях. Означення 2. Хай 1( ,... )nx x x      , , , , 1 0 {φ }, {φ }, M N k p q k p q q O x x h x        , де  ,qh x  , ,{ },{ },q k p kh L x  – деяка система допоміжних функцій, незалежних від апрокси- муючої функції f (x) і   , , , ,{φ }, { },q k p q k px L    ,{ },{φ },k k p x є лінійними операторами від функцій ,φ , 1, , 0,k p k M p N  . Тоді оператори O ({k, p}, x) будемо називати лінійними опера- торами інтерфлетації (інтерполяції, інтерліна- ції). Інакше ці оператори називатимемо нелі- УСиМ, 2010, № 3 37 нійними операторами інтерфлетації (інтерполя- ції, інтерлінації). Означення 3. Хай допоміжні функції    , , ,{ },{ },q q k p kh x h L x   є раціональними, поліноміальними, тригонометричними функці- ями або сплайн-функціями, або функціями, по- будованими з використання R-функцій тощо. Тоді оператори O ({k, p}, x) будемо називати операторами раціональної, поліноміальної, три- гонометричної, сплайн-інтерфлетації (інтерпо- ляції, інтерлінації) тощо. Означення 4. Якщо f (x)  C r (R n), r  N  1 та O ({k, p}, x)  C r (R n), то оператори O ({k, p}, x) будемо називати операторами, що зберігають клас диференційованості C r (R n), до якого на- лежить наближена функція f (x). Інакше опе- ратори O ({k, p}, x) будемо називати опера- торами, які не зберігають клас диференційо- ваності C r (R n), до якого належить наближу- вана функція f (x). Означення 5. Якщо  , ,, : {φ },q k pq L O x       ,φ q x   , то оператори O ({k, p}, x) є операторами ра- ціональної, поліноміальної, тригонометричної, сплайн-апроксимації тощо. Порівняння інтерполяції, інтерлінації та інтерфлетації Об’єкт мета- моделі Тип інформації, що дозволяє задати об’єкт метамоделі Метод наближення Точка Значення функції 1( ,..., )nf x x та її похідних (до фіксовано- го порядку) у заданих точках Інтерполяція функцій однієї або кількох змін- них  1n n  Лінія Сліди функції 1( ,..., )nf x x та її похідних (до фіксова- ного порядку) на заданих лініях Інтерлінація функцій двох або більше змінних  2n n  Поверх- ня Сліди функції 1( ,..., )nf x x та її похідних (до фіксованого порядку) на заданих поверх- нях розмірності (0 1)m m n   Інтерфлетація функцій трьох і більше змінних  3n n  Наведемо у явному вигляді деякі вибрані формули, які використовуються для побудови операторів інтерлінації та інтерфлетації функ- цій [1, 2]. Оператори інтерлінації без збереження класу диференційовності C r (R n), r  1  Оператори раціональної інтерлінації на М лініях. Хай 2n  та   1 2:ω :k k k kx a x b x    2 2γ 0, 1, , 1k k kk M a b     .       , 1 1 φ / / ( , γ / ), k s s k s k s s k k k k x f x f x a x b            якщо 0kb  ;    ω ,k k k kx a b   або       , 2 2 φ / / ( γ / , ), k s s k s k s s k k k k x f x f b x a x            якщо 0ka  ,          , , 0 ω φ ω ω ! sN k k N k s k k s x O f x x x x s    ,      * * 11 1 0 0 ω / ω , * 1, 2 1, ; * 2, 2 , . M MM N N k i i i i i k i H x x x N N if N q q N N if N q q                     Теорема 1. Якщо в одній точці перетинають- ся не більше двох прямих k і i, то оператор      , , , , 1 {φ },{ }, M M N k s k k N k N k O x O f x H x    має властивості       , , , {φ },{ }, / φ , 1, , 0, . k k s s M N k s k k k s O x x x k M s N           Зауваження 1. Якщо  :ω 0, 1,k k x k M   є довільною множиною ліній або поверхонь в , 2nR n  та   0,ω / δ , 0, k p p k k px p N      , то твердження теореми 1 залишається в силі, за умови, що в одній точці не перетинається бі- льше ніж n ліній чи поверхонь(при 2n  ).  Поліноміальна, тригонометрична та сплайн- інтерлінація на множини взаємно перпендику- лярних прямих ліній. Хай 2 ,0 ,, [0,1], 0 1, kk k MG I I x x      k = 1, 2;     , , , 3/ φk k k k k k ik s s k k i s kx x f x x x     , 38 УСиМ, 2010, № 3           , 3 , , 0 0 , , , , , φ , δ δ , , 0, ; , 1, k k k k k k k k k k k k M N k i s k M N s k i s q M i s k j q i i j k k k B f x x h x h x q s N i j M          , ,k kM N s kh x є базисною системою функцій од- нієї змінної для поліноміальної, тригонометрич- ної або сплайн-інтерполяцієї. Теорема 2. Оператори    1 2 1 2Of x B B BB     f (x) мають наступні властивості     , / / , , 0, , 0, , 1, 2 . k p p p p k k k k i k k Of x x Of x x x x p N i M k          Крім того, якщо R12 f (x) : = (I – O) f (x) – за- лишковий член наближення функції f (x) опе- раторами Of (x), то R12 f (x) : = (I – O) f (x) = (I – B1) (I – B2) f (x). Звідси випливає, що R12 f (x) = O (2), якщо (I – Bk) f (x) = O (),   0, k = 1, 2.  Економні схеми операторів поліноміальної, тригонометричної та сплайн-інтерполяції побу- довані за допомогою відповідних операторів інтерлінації. В загальному випадку ці оператори мають таку форму      1 2 1 2Of x B B B B f x   . Опера- тори  kB f x отримуються з операторів  kB f x шляхом наступної заміни  , 3φ k ki s kx    , 3k ki s kx  в  kB f x , де  , 3k ki s kx  є поліноміальними, три- гонометричними або сплайн-інтерполянтами з властивостями      2 , 3 , 3φ ε k k k ki s k i s kx x O   , C    . Теорема 3. Оператори інтерполяції  O f x використовують менше число значень функції f (x), ніж класичні оператори B1B2f (x) (за умо- ви, що вони наближують f (x) з похибкою O (2) ). Оператори інтерлінації та інтерфлета- ції функції із збереженням класу C r (R n), r  1. Якщо при наближенні поверхні використову- ються не тільки значення наближуваної функ- ції, але також і значення її похідних до поряд- ку 1N  , то для наближення рекомендуємо використовувати оператори інтерлінації функ- ції, що зберігають клас диференційованості C r (R n), r  1, якому належить наближувана функція. Теорію побудови таких операторів можна знайти в [1, 2]. Відзначимо, що оператори сплайн-інтерпо- ляції функцій трьох змінних, побудовані з ви- користанням операторів сплайн-інтерфлетації функції трьох змінних на системі взаємно пер- пендикулярних площин паралельних координа- тним мають дуже високу точність порівняно з класичними операторами сплайн-інтерполяції. Тому зупинимось детальніше на формулах їх побудови. Оператори 3D інтерполяції, побудовані за допомогою операторів 3D інтерфлетації. Хай    , , 3 , 1, 2r r rf x C I r  ,    , / , 0 , 1,3, k k k k i kx i M u x f x i M k                , , 0 , 1 2 1 / 2 . k k M k M k i k k i L f x u x h Mx i h t t t t          Теорема 4. Оператори   1, 2, 3, 1, 2, 1, 3,( M M M M M M MOf x L L L L L L L      2, 3,M ML L   1, 2, 3, )M M ML L L f x мають властивос- ті     / / , 0, , 1,3 k k k k kx j M x j M Of x f x j M k      ,    3 , , 3 , 1, 2r r r rf Of O M u C I r     . Теорема 5. Зробимо заміни     11, 1 2 3/ , ,iu x f i M x x          3 / 2 3 1 2 3 3/ 2 3 1, 1 2 3 0 0 3/ 2 3 2 2 3 3 / , / , / M M i j j u x f i M j M j M h M x j h M x j                  3 3 / 2 2 3 3 3/ 2 1 2 3 0 0 3 3/ 2 2 2 3 3 / , / , / M M j j f i M j M j M h M x j h M x j                 3/ 2 3/ 2 2 3 3/ 2 3 / 2 1 2 3 0 0 3/ 2 3 / 2 2 2 3 3 / , / , / . M M j j f i M j M j M h M x j h M x j          УСиМ, 2010, № 3 39 Аналогічні заміни зробимо також і для ін- ших функцій двох і однієї змінної в .Of Тоді отримаємо оператор  O f x , який має власти- вості:  3rf O f O M   ;  Of x використовує   3/26 1 1Q M M       3 5,51M O M   значень функції f. Зауважи- мо, що класичні оператори тривимірної сплайн- інтерполяції  3 3 31, 2, 3,M M M L L L f x кусочно-ліній- ної по кожній з трьох змінних, мають ту ж са- му похибку і використовують Qclassic = (n3 + 1)3 = = O(n9) значень функції f. Аналогічні твердження справедливі та- кож для наближення операторами мішаної апроксимації з використанням системи екс- периментальних даних на взаємно перпен- дикулярних прямих. Картографія поверхні за даними її радіо- локації. Розглянемо математичні методи від- новлення поверхні тіла на основі радіолокацій- них даних, отриманих на системах перетинних смуг. Запропонований метод істотно викорис- товує оператори сплайн-інтерлінації та сплайн- інтерфлетації функцій двох змінних [6]. Припустимо, що задано систему смуг  : α ω ,i i iS x y βi , , , ω : ,i i i ii n a x b y c    i ia b  . Вважаємо відомими також рельєфи поверхні    : ,S z f x y C R  над кожною сму- гою:       , якщо , , , якщо , i iS i i f x y S f x y x y S      , ,i n . Треба за цією інформацією відновити (можли- во наближено) функцію  ,f x y . Така задача ви- никає, зокрема, в картографії поверхні за даними радіолокації поверхні, отриманими за допомо- гою супутника, який рухається над територією S по фіксованих траєкторіях (очевидно, дані радіолокації поверхні охоплюють рельєф де- якої смуги вздовж заданої траєкторії). Далі ви- кладемо один з можливих підходів до розв’я- зання цієї задачі. Перш за все відзначимо, що у випадку, коли всі смуги паралельні одній і мають спільні тіль- ки границі (тобто не накладаються одна на одну)  : α ω , α , , , α ...,α ,i i i i nS x y i n       то задача розв’язується тривіально – потрібний оператор задається так       ; , , , , , ,i k kO f x y f x y x y S i n   . Тому приділимо більше уваги загальному ви- падку. Введемо до розгляду такі позначення: , ,k p k pS S S          , , , , , , , k p p k k p k p S S S f x y f x y f x y f x y               ω , α , ω , α , , α ω , β , ω , β ω , β i i i i i i i i i i i i x y x y x y x y x y x y                   , , , , , , , . n i j j j i nn j k j j k G x y x y x y i n               Очевидно,    , , , , , ,p M i i S i p i G x y G x y p i        . Ці властивості функцій  ,iG x y дають змогу довести справедливість наступної теореми. Теорема 6. Оператор   ; ,iO f x y            , , , , , , , k p n i i i k p k p S G x y f x y G x y G x y f x y        має такі властивості:    , , ,if x y C R i n      ; ,iO f x y C R  ;     ; , , , , q q i q S S O f x y f x y q n  . 40 УСиМ, 2010, № 3 Доведення. Запишемо (для ,q n )   ; , q i S O f x y     , , q n i i Si G x y f x y         , ,, , , qk p k p k p SS G x y G x y f x y            , , , , , , , , . q q q q n q i q S Si i q n k q q S Sk k q f x y f x y f x y f x y            Теорему доведено. Отже, оператори O({fi}; x, y) дають змогу відтворювати невідому поверхню у точках між смугами за інформацією про неї, заданою на вказаних смугах. Для більшого наближення до практики слід пам’ятати, що функції fi (x, y), ,i n можуть бути задані у вигляді набору знімків, отриманих вздовж смуги, причому знім- ки можуть накладатися один на один, тобто ма- ти спільні підобласті, а не тільки спільні гра- ниці. Це означає, що для побудови fi (x, y), ,i n у точках R2 інколи слід використовувати для своєї побудови згладжуючі алгоритми, а не тільки алгоритми, що точно відновлюють по- верхню заданої підобласті у смузі Si, ,i n . Крім того, треба вміти продовжувати функції fi (x, y), ,i n за межі смуг. Наведемо один з можливих алгоритмів такого продовження. Хай смузі Si відповідає місцева система координат ω : ,i i i ia x b y c   τ :i  i ib x a y  . Тоді функція (тут i = i (x, y)))                 ,, , , ω α , ω α , , ω α , ω β , ω β , ω β i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i f x y x y S f x a y b f x y f x a y b                   буде неперервною в R2 і  ,if x y   ,if x y , (x, y)  S i. Висновки. Запропонована метамодель G до- зволяє розглянути з єдиної точки зору різні під- ходи до моделювання поверхні тіла. Породжен- ня моделей поверхні тіла метамоделлю G є до- цільним завдяки відповідності структури мо- дельних об’єктів G структурі експерименталь- них даних, що отримуються у процесі радіоло- кації. Запропонована для моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації метамодель використовує оператори, які наближують фун- кцію f (x, y) за допомогою слідів функцій та їх похідних на заданій системі точок, ліній або поверхонь. Використання операторів інтерлінації, інтер- флетації та мішаної апроксимації приводить до більш точних результатів, ніж використання кла- сичних операторів поліноміальної, тригономе- тричної та сплайн–інтерполяції і апроксимації. Тобто для досягнення однакової точності на- ближення можна використати меншу, ніж в кла- сичних методах кількість експериментальних даних. Запропонований математичний метод віднов- лення поверхні тіла на основі радіолокаційних даних, отриманих на системах перетинних смуг, істотно використовує оператори сплайн-інтер- лінації та сплайн-інтерфлетації функцій двох змінних. 1. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її за- стосування. – Харків: Основа, 2002. - 544 с. 2. Литвин О.М. Інтерлінація та інтерфлетація функцій і структурний метод В.Л. Рвачова // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 2007. – № 4. – С. 61–82. 3. http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_Elevation_Model 4. Рене Декарт. Міркування про метод. – 1637. 5. Рвачёв В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. – К.: Техніка, 1967. – 212 с. 6. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю. Інтерлінація та інтер- флетація функцій багатьох змінних та її застосування у картографії // Національне картографування: стан, проблеми та перспективи розвитку: Зб. наук. пр. – К.: ДНВП «Картографія», 2005. – 2. – С. 22–24. Поступила 15.12.2009 Тел. для справок: +38 0997808039 (Харьков) +38 0501826071 (Бердянск) E-mail: academ_mail@ukr.net; svetlana1980g@mail.ru; © О.Н. Литвин, С.Ю. Матвеева, В.И. Межуев, 2010  УСиМ, 2010, № 3 41 О.Н. Литвин, В.И. Межуев, С.Ю. Матвеева Метамодель для математического моделирования поверхности тела на основе данных радиолокации Введение. Для математического моделирования поверх- ности тела по данным радиолокации предложены моде- ли, порожденные из метамодели G, (т.е. модель моделей предметных областей), состоящей из соответствующих размерностям пространства геометрических объектов (точ- ки, линии, поверхности), математических методов интер- поляции, интерлинации и интерфлетации [1, 2], а также совокупности правил порождения моделей. Использо- вание метамодели G для порождения совокупности мо- делей M1, M2, , MN позволяет рассмотреть с единой точки зрения различные подходы к моделированию поверхно- сти тела и построить систему компьютерных инстру- ментов, которые ускоряют и упрощают процесс модели- рования, начиная с задания информации и заканчивая ви- зуализацией и интерпретацией полученного решения. Порождение моделей поверхности тела из метамоде- ли G целесообразно благодаря соответствию структуры модельных объектов G структуре экспериментальных дан- ных, фиксируемых в процессе радиолокации в виде зна- чений функции в точках, а также следов функции на за- данных линиях или поверхностях. Заметим, что широко используемая в картографии математическая модель DEM (Digital Elevation Model) [3], также может быть порож- дена из G путем использования для описания тела по- верхностей в виде треугольников. При использовании ме- тамодели G такой способ представления информации мо- жет быть объединен с заданием данных в точках и на линиях, которые являются базовыми объектами G и по- зволяют использовать более точные (сравнительно с клас- сической интерполяцией) методы интерлинации и интер- флетации. Порождение модельных объектов из метамодели G осуществляется путем задания ограничений на геометри- ческую структуру объектов метамодели. Например, нала- гая ограничения на линию, получаем отрезок; из поверх- ности могут быть порождены треугольники, полосы и другие модельные объекты. Иной важный аспект данно- го подхода – возможность построения сложных моделей путем композиции базовых элементов метамодели. В качестве примера в статье рассматривается новый метод восстановления поверхности тела по данным, за- данным на системе полос - interstripation (inter – между, strip - полоса). Наиболее используемая на практике для описания поверхности Земли и других тел – модель DEM, также известная как DTM (Digital Terrain Model). Сущность подхода состоит в замене поверхности Земли или друго- Ключевые слова: метамодель, модель поверхности, интерполяция, интерлинация, интерфлетация, интерстри- пация. го небесного тела многогранной поверхностью, каждая грань которого – треугольник. Координаты вершин этих треугольников задаются исследователем при радиолока- ционном зондировании. В пределах каждого такого тре- угольника структура исследуемой части поверхности Зем- ли или другого тела считается однородной. Заметим, что практика часто требует более точного описания поверх- ности в пределах такого треугольника, размер которого может быть достаточно велик. Кроме того, существует определенное несоответст- вие модели DEM структуре экспериментальных данных, получаемых в результате радиолокации. Включение в мо- дель DEM экспериментальных данных с другой структу- рой – задача нетривиальная. Например, это касается при- менения в описании таких характерных составляющих поверхности Земли, как линии берегов рек или морей. Ведь их включение в описание поверхности требует обра- ботки каждого треугольника (грани многогранной по- верхности) в системе DEM отдельно. Приведем также пример картографии дна океана при помощи данных гидролокации (рис. 1). Линии х = хk ( 11,k M ) и y = yi ( 21,i M ) представляют курс кораб- ля с гидролокатором, z = f(x,y) – уравнение поверхности дна океана, требующего приближенного восстановления. Из этого примера следует естественное использование геометрических линий как носителей эксперименталь- ных данных гидролокации и, собственно, целесообраз- ность включения линии в метамодель G. Поверхность океана Дно океана Рис. 1. Картография дна океана при помощи данных гидроло- кации Иной значимый пример – картография поверхности космического тела по данным радиолокации (рис. 2). В этом случае данные радиолокации задаются на системе полос, размещенных на поверхности космического тела. Именно поэтому разработка метода восстановления по- верхности тела по данным, заданным на системе полос (interstripation), – актуальна. 42 УСиМ, 2010, № 3 Рис. 2. Картография поверхности космического тела при по- мощи данных радиолокации В общем случае такие полосы могут быть наложены одна на другую, находиться под разными углами и по- лучаться в разные моменты времени. Например, при кар- тографировании Венеры «Магелланом» одна и та же часть поверхности планеты попала в поле зрения радара на раз- ных витках с промежутком в несколько десятков меся- цев; за это время она была разрушена землетрясением, вер- нее «венеротрясением». Таким образом, состояние опре- деленной части поверхности может иметь довольно боль- шие отклонения от состояния, зафиксированного на по- лосе во время движения спутника по одному из преды- дущих витков. Из приведенных примеров следует, что использова- ние метамодели G, свойства которой будут раскрыты в статье далее, естественны для представления и обработ- ки информации, получаемой в процессе радиолокации. Это прежде всего обусловлено структурой эксперимен- тальных данных, используемых в задачах картографии. Именно поэтому задача обобщения подхода к моде- лированию поверхностей тел в рамках определенной ме- тамодели, включающей DTM как частный случай, акту- альна. Ее решение открывает возможность более точно- го описания поверхности планет и других тел как путем использования геометрических объектов, более точно со- ответствующих экспериментальным данным, так и при- менению современных методов теории приближения функций многих переменных - теории интерлинации и интерфлетации функций [1, 2]. Постановка задачи Как отмечено, для обработки результатов радиолока- ции предложена математическая модель поверхности, по- рождаемой из метамодели G, состоящей из множества геометрических модельных объектов {P, L, S}, где P – точка, L – линия, S – поверхность множества примени- мых к этим модельным объектам операторов {Op, Ol, Of}, где Op - оператор интерполяции, Ol - оператор интерли- нации, Of - оператор интерфлетации, а также правил порождения моделей M1, M2, , MN из G. Особенность подхода также состоит в определении метамодели G на двух уровнях – формальном (матема- тическом) и визуальном, а именно как множества графи- ческих объектов, применяемых для манипуляции и визу- ализации элементов {P, L, S}. Эти уровни определения объ- ектов связаны системой методов, осуществляемых поль- зователем компьютерной системы предметными действи- ями (манипуляциями). Например, изменение местоположе- ния визуального объекта «точка» на экране компьютера приводит к изменению его радиус–вектора, определенно- го на формальном уровне. Заметим, что использование для моделирования пред- метных областей таких базовых геометрических объектов как точка, линия и поверхность было предметом много- кратного обсуждения в научной литературе, начиная с ра- бот Рене Декарта, изданных еще в 1637 г. [4]. Кроме того, разные уровни определения этих объектов, - геометри- ческий и аналитический, положены в основу метода коор- динат Декарта. На основе подхода Рене Декарта в даль- нейшем Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем бы- ло создано дифференциальное и интегральное исчисления. Отметим также работы нашего известного соотечествен- ника, академика Владимира Логвиновича Рвачова [5], ко- торые также базируются на подходе Декарта. В.Л. Рвачов расширил метамодель Декарта, включив в нее свойства функций булевой и k-значной логики и свойства тради- ционных функций многих переменных. Это позволило создать общий метод построения уравнений границ об- ластей сложной формы. В нашем случае метамодель G используется для по- рождения конкретной модели M предметной области (в данном случае – поверхности тела). Порождение осуще- ствляется путем наложения ограничений на элементы ме- тамодели (например, из линии можно породить отрезок, из поверхности - треугольник, полосу и др.), а также ме- тодом композиции, т.е. конструирования более сложных моделей из элементарных элементов метамодели. G  M, где модель M – множество {{P1, P2,  , PA}, {L1, L2, , LB}, {S1, S2, , SC}}, в котором {P1, P2,  ,PA} - множество точек, {L1, L2, , LB} - множество линий, {S1, S2, , SC} - множество поверхностей, A + B + C = N - общее количество объектов модели предметной области. Каждый объект множества {{P1, P2,  , PA}, {L1, L2,  , LB}, 1 2{ , ... }}CS S S есть носителем свойств, а именно распределения величин радиолокационного зондирова- ния. К этим конкретным объектам модели применяются соответствующие операторы {Op, Ol, Of}, представляющие собой составную часть метамодели G. Использование метамодели G в картографии Построение карт поверхностей тел по данным радио- локации актуально как для практики, так и для теории. В предложенной метамодели G информация о по- верхности , карту которой требуется создать, задается значениями неизвестной функции двух z = f (x, y) или трех переменных  (x, y, z ) = 0 в заданной системе точек УСиМ, 2010, № 3 43 {P1, P2,  ,PA}; ее следами на заданной системе линий {L1, L2, , LB} и ее следами на некоторых плоскостях или поверхностях {S1, S2, , SC} (криволинейных). Для более точного восстановления функции необхо- димо учитывать также всю дополнительную информа- цию об исследуемой поверхности (класс гладкости, ко- торому принадлежит эта поверхность, ее близость к из- вестным поверхностям – плоскости, сфере, цилиндру и т.п.). Использование метамодели позволяет построить ком- пьютерные инструменты, автоматизирующие применение многих математических методов (например, позволяю- щие автоматически осуществить переход от представле- ния информации в декартовой в сферическую или ци- линдрическую систему координат). Поверхность может также быть ничем иным, как цифровым снимком тела. В этом случае компьютерный инструмент позволяет рас- смотреть изображение поверхности на снимке, как функ- цию двух переменных. Характеристика операторов метамодели Операторы метамодели G являются формулами сплайн- интерполяции, сплайн-интерлинации и сплайн-интерфле- тации [1, 2]. Интерлинацией (интерфлетацией) функций многих переменных называется восстановление (возмож- но, приближенное) этой функции с помощью ее следов и следов ее производных до заданного порядка на сис- теме линий (или поверхностей соответственно). Интер- линация и интерфлетация функций есть естественное обобщение интерполяции, которая есть восстановление (возможно, приближенное) функции с помощью ее зна- чений и значений ее производных до некоторого поряд- ка на заданной системе точек. Интерфлетацией функции f (x1,  , xn) n переменных с помощью ее следов (или следов ее производных до за- данного порядка  N ) на M поверхностях размерности m является восстановление (возможно, приближенное) функ- ции f в произвольных точках заданной области. Если m = 0, то такое приближение есть общеизвестная интерпо- ляция функции по ее значениям в M точках (для n  1 ). Если m = 1 (для n  2), то такое приближение называется интерлинацией (иногда blending function interpolation – смешанной интерполяцией функций) на M линиях. Приведем основные утверждения о восстановлении функций многих переменных с помощью операторов ин- терлинации и интерфлетации. Интерфлетация функций может быть использована:  в методах ЛИДР или НИДР решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производ- ными, сводящими краевую задачу для областей сложной формы к системам обычных линейных или нелинейных интегро-дифференциальных уравнений;  в теории аппроксимации функций;  в картографии;  в компьютерной томографии;  в цифровой обработке многомерных сигналов;  при описании поверхностей автомобилей, судов, са- молетов, космических тел и др. Введем указанные и некоторые новые определения с использованием общепринятых математических симво- лов. Пусть 0 , , ,n M m N  – заданные числа, k, 1,k M – заданные m-мерные поверхности в Rn (0  m < n). Для удобства примем, что точка тоже – поверхность размерности m = 0, а линия – поверхность размерности m = 1. Кроме того, будем считать заданными функции , ( )k p x , 1, ,k M 0,p N , которые есть следами опера- торов , ( )k pL f x функции ( )f x (вообще неизвестной), т.е.  ,φ k k p x    , , k k pL f x  1, ,k M 0,p N . Операторы  ,k pL f x могут быть частными производными или нор- мальными производными    , / , k k pp k p kL f x f x       0,p N для случая 1m n  и т.п. ( k - вектор норма- ли к k ). Определение 1. Операторы O ({k, p}, x) : = : O ({Lk, p}, {k}, {k, p}, x ) назовем операторами интерфлетации, если  , ,{φ },q k pL O x      ,φ , 1, , 0,q x M q N       . Если m = 0, то k  R n – точки в R n и следы могут быть значениями функции f (x) и ее частных производ- ных в этих точках. Тогда O ({k, p}, x) будут операторами интерполяции на M точках. Если m = 1, n  2, то k – линии в R n и операторы O ({k, p}, x) будут операторами интерлинации на указанных линиях. Определение 2. Пусть 1( ,... )nx x x      , , , , 1 0 {φ }, {φ }, M N k p q k p q q O x x h x        , где  ,qh x   , ,{ },{ },q k p kh L x - некоторая система вспомогательных функций, независящих от аппроксимиру- ющей функции f (x) и  , ,{φ },q k p x  , ,{ },{ },q k p kL  ,{φ },k p x – линейные операторы от функций k,p , 1, , 0,k M p N  . Тогда операторы O ({k, p}, x) будем на- зывать линейными операторами интерфлетации (интер- поляции, интерлинации). В противном случае эти опера- торы назовем нелинейными операторами интерфлетации (интерполяции, интерлинации). Определение 3. Пусть вспомогательные функции    , , ,{ },{ },q q k p kh x h L x   будут рациональными, по- линомиальными, тригонометрическими функциями или сплайн-функциями, или функциями, построенными пу- тем использования R-функций и пр. Тогда будем назы- вать операторы O ({k, p}, x) операторами рациональной, полиномиальной, тригонометрической, сплайн-интерфле- тации (интерполяции, интерлинации) и пр. 44 УСиМ, 2010, № 3 Определение 4. Если f (x)  C r (R n), r  N  1 и O ({k, p}, x)  C r (R n), то операторы O ({k, p}, x) будем называть операторами, сохраняющими класс дифферен- цированности C r (R n), которому принадлежит функция приближения f (x). Иначе операторы O ({k, p}, x) будем называть операторами, не сохраняющими класс диффе- ренцированности C r (R n), которому принадлежат функ- ция приближения f (x). Определение 5. Если  , ,, : {φ },q k pq L O x        ,φ q x   , то операторы O ({k, p}, x) будут операто- рами рациональной, полиномиальной, тригонометриче- ской, сплайн-аппроксимации и пр. Сравнение методов интерполяции, интерлинации и интерфле- тации Приведем в явном виде некоторые формулы, исполь- зуемые для построения операторов интерлинации и ин- терфлетации функций [1, 2]. Операторы интерлинации без сохранения класса дифференцированности C r (R 2), r  1  Операторы рациональной интерлинации на М ли- ниях. Пусть n = 2 и   1 2:ω : γ 0,k k k k kx a x b x     1, ,k M 2 2 1,k ka b       , 1 1φ / / ( , γ / ) k s s s s k s k k k k kx f x f x a x b          , если bk  0; vk = k(x) = (ak, bk) или  ,φ /s k s x f     2 2/ / ( γ / , ) k s s s k k k k kx f b x a x        , если 0ka  ,          , , 0 ω φ ω ω ! sN k k N k s k k s x O f x x x x s    ,      * * 11 1 0 0 ω / ω , * 1, 2 1, ; * 2, 2 , ; M MM N N k i i i i i k i H x x x N N if N q q N N if N q q                    Теорема 1. Если в одной точке пересекаются не бо- лее двух прямых k и l , то оператор      , , , , 1 {φ },{ }, M M N k s k k N k N k O x O f x H x     имеет свойство       , , , {φ },{ }, / φ , 1, , 0, . k k s s M N k s k k k s O x x x k M s N           Замечание 1. Если  :ω 0, 1,k k x k M   – произ- вольное множество линий или поверхностей в R n, n  2 и   0,ω / δ , 0, k pp k pkx p N      , то утверждение тео- ремы 1 остается в силе при условии, что в одной точке пересекается не более, чем n линий или поверхностей (при n > 2).  Полиномиальная, тригонометрическая и сплайн-ин- терлинация на множестве взаимно перпендикулярных пря- мых линий. Пусть 2 ,0 ,, [0,1], 0 1, kk k MG I I x x      k = 1, 2;     , , , 3/ φkk k k k k ik ss k i s kk x x f x x x      ,           , 3 , , 0 0 , , ,, , φ , δ δ , , 0, ; , 1, k k k k k k k k kk k k M N k i s k M N s k i s q k j q i i j k k kM i s B f x x h x h x q s N i j M           , ,k kM N s kh x – базисная система функций одной пере- менной для полиномиальной, тригонометрической или сплайн-интерполяции. Теорема 2. Операторы Of (x) = (B1 + B2 – B1B2) f (x) имеют следующие свойства:    / / ,p pp p kk kOf x x Of x x x      , , kk ix 0, , 0, , 1, 2 ,k kp N i M k   кроме того, если R12 f (x) := (I – O) f (x) – конечный член приближения функ- ции f (x) операторами Of (x), то R12 f (x) := (I – O) f (x) = (I – B1) (I – B2) f (x), Отсюда следует, что R12 f (x) = O (2), если (I – Bk) f (x) = = O ( ),   0, k = 1, 2.  Экономные схемы построения операторов полино- миальной, тригонометрической и сплайн-интерполяции, полученные с помощью соответствующих операторов интерлинации. В общем случае эти операторы имеют форму  O f x     1 2 1 2B B B B f x   . Операторы  kB f x получаются из операторов  kB f x вследствие следующей замены    , 3 , 3φ k k k ki s k i s kx x  в  kB f x , где  , 3k ki s kx  – полиномиальные, тригонометрические или сплайн-интер- полянты со свойствами Объект метамо- дели Тип информации, которую по- зволяет задать объект метамоде- ли Метод приближения Точка Значение функции 1( ,..., )nf x x и ее производных (до определенного порядка) в заданных точках Интерполяция функ- ций одной или не- скольких переменных  1n n  Линия Следы функции 1( ,..., )nf x x и ее производных (до определенного порядка) на заданных линиях Интерлинация функ- ций двух или более переменных  2n n  Поверх- ность Следы функции 1( ,..., )nf x x и ее производных (до определенного порядка) на заданных поверхностях размерности (0 1)m m n   Интерфлетация функ- ций трех и более пе- ременных  3n n  УСиМ, 2010, № 3 45      2 , 3 , 3φ ε k k k ki s k i s kx x O   , C    . Теорема 3. Операторы интерполяции  O f x исполь- зуют меньшее число значений функции f (x), чем класси- ческие операторы B1B2 f (x) (при условии, что они при- ближают f (x) с погрешностью O(2)). Операторы интерлинации и интерфлетации функ- ции с сохранением класса C r (R 2), r  1. Если при вос- становлении поверхности тела используются не толь- ко значения аппроксимирующей функции, но и значе- ния ее производных до порядка N  1, то рекоменду- ется использовать операторы интерлинации функций, сохраняющие класс дифференцированности C r (R 2), r  1, которому принадлежит аппроксимирующая функ- ция. Теорию построения таких операторов можно най- ти в [1, 2]. Отметим, что операторы сплайн-интерполяции функ- ций трех переменных, построенные с использованием опе- раторов сплайн-интерфлетации функции трех перемен- ных на системе взаимно перпендикулярных плоскостей, имеют очень высокую точность в сравнении с классичес- кими операторами сплайн-интерполяции. Поэтому оста- новимся на формулах их построения. Операторы 3D интерполяции, построенные при помощи операторов 3D интерфлетации Пусть    , , 3 , 1, 2r r rf x C I r  ,  , kk iu x    / , 0 , 1,3, k k kx i M f x i M k                , , 0 , 1 2 1 / 2 . k k M k M k i k k i L f x u x h Mx i h t t t t          Теорема 4. Операторы   1, 2, 3,( M M MOf x L L L     1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, )M M M M M M M M ML L L L L L L L L f x    имеют свойства     / / , 0, , 1,3 k k k k kx j M x j M Of x f x j M k      ,    3 , , 3 , 1, 2r r r rf Of O M u C I r     . Теорема 5. Сделаем замены    11, 1 2 3/ , ,iu x f i M x x          3/ 2 3 1 2 3 3/ 2 3 1, 1 2 3 0 0 3/ 2 3 2 2 3 3 / , / , / M M i j j u x f i M j M j M h M x j h M x j                  3 3/ 2 2 3 3 3 / 2 1 2 3 0 0 3 3/ 2 2 2 3 3 / , / , / M M j j f i M j M j M h M x j h M x j                 3/ 2 3/ 2 2 3 3/ 2 3/ 2 1 2 3 0 0 3/ 2 3/ 2 2 2 3 3 / , / , / . M M j j f i M j M j M h M x j h M x j          Аналогичные замены сделаем также и для других функций одной и двух переменных в Of. Тогда получим оператор  O f x , который имеет свойства:  3rf O f O M   ;  O f x использует     3/ 2 36 1 1 1Q M M M       5,5O M значений функции f. Заметим, что класси- ческие операторы трехмерной сплайн-интерполяции  3 3 31, 2, 3,M M M L L L f x кусочно-линейной по каждой из трех переменных, имеют ту же погрешность и исполь- зуют Qclassic = (n3 + 1)3= O(n9) значений функции f. Аналогичные утверждения справедливы также для приближения операторами мешаной аппроксимации с использованием экспериментальных данных на системе взаимно перпендикулярных прямых. Картография поверхности по данным ее радио- локации Рассмотрим математические методы восстановления поверхности тела на основе радиолокационных данных, полученных на системах пересекающихся полос. Пред- ложенный метод существенно использует операторы сплайн-интерлинации и сплайн-интерфлетации функций двух переменных [6]. Предположим, что задана система полос Si : ai  I (x,y)   I , , , ω : ,i i i ii n a x b y c    i ia b  . Считаем из- вестными также рельефы поверхности S : z = f (x, y)   C(R2) над каждой полосой:       ,если , , , если , i iS i i f x y S f x y x y S      , ,i n . Необходимо по этой информации восстановить (воз- можно, приближенно) функцию f (x, y). Такая задача воз- никает, в частности, в картографии поверхности по дан- ным радиолокации, полученным со спутника, движущего- ся над территорией S по фиксированным траекториям (очевидно, эти данные охватывают рельеф некоторой по- лосы вдоль заданной траектории). Далее предложен один из возможных подходов к решению этой задачи. Прежде всего отметим, что в случае, когда все полосы параллельны и имеют только общие границы (т.е. наложе- ние отсутствует)  : α ω , α , , , α ...,α , i i i i n S x y i n           данная задача имеет тривиальное решение, ее оператор задается так: 46 УСиМ, 2010, № 3       ; , , , , , ,i k kO f x y f x y x y S i n   . Поэтому рассмотрим общий случай. Введем следую- щие обозначения: , ,k p k pS S S          , , , , , , k p p k k p k p S S S f x y f x y f x y f x y   ,             ω , α , ω , α , , α ω , β , ω , β ω , β i i i i i i i i i i i i x y x y x y x y x y x y                  , , , , , , , n nn i j j kj j i j j k G x y x y x y i n           . Очевидно,     , , , , , ,p M i i S i p i G x y G x y p i        . Эти свойства функций Gi (x, y) предоставляют воз- можность доказать справедливость следующей теоремы. Теорема 6. Оператор O ({fi,}; x, y) =           , ,, , , , , k p n i i k p k p i S G x y f x y G x y G x y f x y      имеет такие свойства:    , , ,if x y C R i n      ; ,iO f x y C R  ;     ; , , , , q q i q S S O f x y f x y q n  . Доказательство. Запишем (для ,q n )   ; , q i S O f x y     , , q n i i Si G x y f x y         , ,, , , qk p k p k p SS G x y G x y f x y         , , , , , , , q q q n n q i q k q S S Si i q k k q f x y f x y f x y           , q q S f x y . Теорема доказана. Итак, операторы   ; ,iO f x y дают возможность вос- становления неизвестной поверхности в точках между полосами по информации, заданной на указанных поло- сах. Для лучшего приближения на практике следует учи- тывать, что функции  ,if x y , ,i n могут быть зада- ны в виде набора снимков, полученных вдоль полосы, причем снимки могут быть наложены один на другой, т.е. иметь общие подобласти, а не только общие грани- цы. Это означает, что для построения  ,if x y , ,i n в точках R 2 иногда необходимо использовать алгоритмы сглаживания, а не только алгоритмы, точно восстанав- ливающие поверхность заданной подобласти на полосе iS , ,i n . Кроме того, необходимо уметь продолжать функции  ,if x y , ,i n за границы полос. Приведем один из возможных алгоритмов такого продолжения. Пусть полосе iS соответствует местная система коор- динат ω : ,i i i ia x b y c   τ :i i ib x a y   . Тогда функция (здесь  ω ω ,i i x y )                 ,, , , , ω α , ω α , ω α , ω β , ω β , ω β i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i f x y x y S f x y f x a y b f x a y b                будет непрерывной на R 2 и  ,if x y   ,if x y ,  , ix y S . Заключение. Предложенная метамодель G позволя- ет рассмотреть с единой точки зрения разные подходы к моделированию поверхности тела. Порождение моделей поверхности тела из метамодели G целесообразно бла- годаря соответствию структуры модельных объектов G структуре экспериментальных данных, получаемых в про- цессе радиолокации. Предложенная метамодель G использует для моде- лирования поверхности тела операторы, восстанавливаю- щие функцию ( , )f x y , заданную следами функций и их производных на системе точек, линий или поверхностей. Использование операторов интерлинации, интерфле- тации и смешанной аппроксимации приводит к более точным результатам, чем применение классических опера- торов полиномиальной, тригонометрической, сплайн-ин- терполяции и аппроксимации. Таким образом, для до- стижения одинаковой точности приближения можно ис- пользовать меньшее, чем в классических методах, коли- чество экспериментальных данных. Предложенный новый математический метод восста- новления поверхности тела на основе радиолокационных данных, заданных на системах пересекающихся полос, эффективно использует операторы сплайн-интерлинации и сплайн-интерфлетации функций двух переменных.  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f0075007200200075006e00650020007100750061006c0069007400e90020006400270069006d007000720065007300730069006f006e00200070007200e9007000720065007300730065002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Метамодель для математичного моделювання поверхні тіла на основі даних радіолокації

Репозитарії

Схожі ресурси