Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування

Запропоновано оригінальний метод візуального моделювання властивостей багатовимірних предметних областей, в основу якого покладено поєднання геометричної інформації про просторову структуру об’єктів предметної області та специфічна для неї інформація, задана на вказаних геометричних множинах. Такі г...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Межуєв, В.І., Литвин, О.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian Russian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2010
Назва видання:	Управляющие системы и машины
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82842
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування / В.І. Межуєв, О.М. Литвин // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 31-43. — Бібліогр.: 17 назв. — укр., рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-82842
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-828422018-04-07T23:08:44Z Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування Межуєв, В.І. Литвин, О.М. Новые методы в информатике Запропоновано оригінальний метод візуального моделювання властивостей багатовимірних предметних областей, в основу якого покладено поєднання геометричної інформації про просторову структуру об’єктів предметної області та специфічна для неї інформація, задана на вказаних геометричних множинах. Такі геометричні множини формуються на основі базових об’єктів, що утворюють метамодель G для породження моделей предметних областей. An original approach to the visual modeling of the properties of multidimensional subject domains is suggested. The integration of the geometrical information about the spatial structure of objects and the specific to a subject domain information, set on the geometrical sets, is the basis of the original method. Such geometrical sets are formed on the basis of objects which form the metamodel G for producing the model of subject domains. Предложен оригинальный метод визуального моделирования свойств многомерных предметных областей, в основу которого положено объединение геометрической информации о пространственной структуре объектов предметной области и специфическая для нее информация, заданная на геометрических множествах. Такие геометрические множества формируются на основе базовых объектов, образующих метамодель G для порождения моделей предметных областей. 2010 Article Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування / В.І. Межуєв, О.М. Литвин // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 31-43. — Бібліогр.: 17 назв. — укр., рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82842 519.6 uk ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian Russian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Межуєв, В.І. Литвин, О.М. Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування Управляющие системы и машины
description	Запропоновано оригінальний метод візуального моделювання властивостей багатовимірних предметних областей, в основу якого покладено поєднання геометричної інформації про просторову структуру об’єктів предметної області та специфічна для неї інформація, задана на вказаних геометричних множинах. Такі геометричні множини формуються на основі базових об’єктів, що утворюють метамодель G для породження моделей предметних областей.
format	Article
author	Межуєв, В.І. Литвин, О.М.
author_facet	Межуєв, В.І. Литвин, О.М.
author_sort	Межуєв, В.І.
title	Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування
title_short	Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування
title_full	Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування
title_fullStr	Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування
title_full_unstemmed	Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування
title_sort	метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2010
topic_facet	Новые методы в информатике
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82842
citation_txt	Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування / В.І. Межуєв, О.М. Литвин // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 31-43. — Бібліогр.: 17 назв. — укр., рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT mežuêvví metamodelʹdlâvízualʹnogomodelûvannâbagatovimírnihpredmetnihoblastejtaíípraktičnízastosuvannâ AT litvinom metamodelʹdlâvízualʹnogomodelûvannâbagatovimírnihpredmetnihoblastejtaíípraktičnízastosuvannâ
first_indexed	2025-07-06T09:31:09Z
last_indexed	2025-07-06T09:31:09Z
_version_	1836889429616099328
fulltext	УСиМ, 2010, № 4 31 УДК 519.6 В.І. Межуєв, О.М. Литвин Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування Предложен оригинальный метод визуального моделирования свойств многомерных предметных областей, в основу которого положено объединение геометрической информации о пространственной структуре объектов предметной области и специфи- ческая для нее информация, заданная на геометрических множествах. Такие геометрические множества формируются на ос- нове базовых объектов, образующих метамодель G для порождения моделей предметных областей. An original approach to the visual modeling of the properties of multidimensional subject domains is suggested. The integration of the geometrical information about the spatial structure of objects and the specific to a subject domain information, set on the geometrical sets, is the basis of the original method. Such geometrical sets are formed on the basis of objects which form the metamodel G for pro- ducing the model of subject domains. Запропоновано оригінальний метод візуального моделювання властивостей багатовимірних предметних областей, в основу якого покладено поєднання геометричної інформації про просторову структуру об’єктів предметної області та специфічна для неї інформація, задана на вказаних геометричних множинах. Такі геометричні множини формуються на основі базових об’єктів, що утворюють метамодель G для породження моделей предметних областей. Вступ. Мовою науки є математика, і саме це зумовлює використання її конструкцій для по- будови моделей різноманітних предметних об- ластей (ПрО), зокрема фізичних процесів та явищ. Зазначимо, що складність сучасних мате- матичних методів приводить до необхідності по- шуку новітніх методологій та технологій мо- делювання, що можуть бути використані фахі- вцями, які не мають відповідної математичної підготовки. Зараз у системній інженерії широке застосу- вння отримала методологія предметно-орієнто- ваного моделювання (Domaіn Specіfіc Modelіng – DSM) [1]. Сутність її полягає у створенні мов моделювання, орієнтованих на розв’язання за- дач певної ПрО. Такі мови називають предмет- но-орієнтованими (Domaіn Specіfіc Language – DSL) [2], на відміну від мов програмування або моделювання загального призначення (мова С або ж UML). Необхідними етапами розробки DSL є визначення її синтаксису та семантики, що здійснюється в поняттях певної метамоде- лі [3]. Проте зазначимо, що метамоделі, які отри- мали розвиток у DSM [4] спрямовані на пере- важну побудову концептуальних моделей ПрО, тобто власне моделей знання про неї [5]. У да- ній статті обґрунтовано підхід до побудови ме- Ключові слова: метамодель, модель, предметна об- ласть. тамоделі ПрО на підставі математичних абст- ракцій, що відбивають їх сутність. Поняття ме- тамодель використовується як множина мате- матичних абстракцій та методів, що дозволя- ють побудувати моделі ПрО шляхом викорис- тання певним чином спроектованих комп’ютер- них інструментів. Зазначимо, що побудові мов моделювання ПрО присвячено значну кількість наукових пуб- лікацій [6]. Особливість методу авторів поля- гає у поєднанні підходу системної інженерії до побудови моделей ПрО - Model Driven Engine- ering [7] та математичних методів моделюван- ня ПрО [8–11]. У даній статті вводиться та досліджується геометрична метамодель G для побудови мате- матичних моделей багатовимірних ПрО. Але за- пропонований підхід можна використовувати в інших ПрО, зокрема для моделювання програм- них систем [12, 13]. Принципи побудови метамоделі ПрО Необхідність моделювання широкого кола ПрО потребує визначення системи загальних понять як основи метамоделі ПрО. У той же час ця вимога веде до підвищення рівня абстракт- ності понять метамоделі. Саме тому разом із ма- тематичними абстракціями та методами, що ви- користовують символьно-операторну математи- чну мову, в основу пропонованої метамоделі G покладено систему геометричних об’єктів. 32 УСиМ, 2010, № 4 Побудована на основі G візуальна система моделювання поєднує предметно-образний та абстрактно-логічний впливи на користувача. Знаково-символьний та образно-наочний плани діяльності сприяють інтеграції понятійно-зна- кової та чуттєво-наочної форм психічного ві- дображення дійсності. Крім того, фіксація у предметах діяльності (у даному випадку – у ге- ометричних об’єктах) суттєвих властивостей ПрО дозволяє поєднати матеріальні та розумо- ві дії, що відбуваються у процесі наукового до- слідження. У цьому випадку якісної зміни зазнає діяль- ність із побудови моделі ПрО, що здійснюєть- ся як система візуальних дій (маніпуляцій) з від- твореними на екрані ЕОМ комп’ютерними об’- єктами. Саме тому побудований на таких прин- ципах комп’ютерний інструмент можна відне- сти до систем візуального моделювання ПрО. Розробка метамоделі потребує вивчення та узагальнення структури та інших властивостей моделей ПрО. У даній статі розглядатимемо фі- зичні моделі, структурування яких пропонуємо здійснити, взявши за основу спосіб просторо- вого розподілу властивостей (у самому загаль- ному випадку дискретний або неперервний). Конкретизуємо цю думку на прикладі. Як і будь яка інша система, метамодель мо- делей ПрО складається з елементів. Базовий елемент метамоделі у нашому підході є елеме- нтарним носієм фізичної властивості об’єкта ПрО. Такий базовий елемент одержав назву точ- ка. Елемент точка є узагальненою моделлю (або ж метамоделлю), яка у залежності від на- даних властивостей (наприклад, фізичних ве- личин) дозволяє відтворювати різні за сутніс- тю фізичні абстракції та моделі. Наведемо прик- лади фізичних моделей, що дозволяє відтвори- ти цей елемент метамоделі: матеріальна точка (кінематичні параметри руху , ,r v a    та маса m), точковий заряд (заряд q та кінематичні пара- метри), джерело коливань (гармонічний осци- лятор) або математичний та фізичний маятник (амплітуда a, період T, частота  , просторові координати) та ін. У наведених прикладах розглядається точка як носій фізичних властивостей у реальному просторі, але ця абстракція може характеризу- вати й інші фізичні ПрО (наприклад, у просто- рі P, V, T точка вже буде визначати стан ідеа- льного газу). Звичайно, може бути доведена за- стосовність такої абстракції до моделювання ін- ших ПрО. Головною метою виділення елементарного носія властивості ПрО як елемента метамоделі є необхідність побудови більш складних моде- лей ПрО шляхом встановлення зв’язків між еле- ментарними складовимими метамоделі (тобто методу композиції, що також є складовим еле- ментом G). Якщо за критерій взяти спосіб просторового розподілу та взаємозв’язку фізичних властиво- стей, то використання такої абстракції як точ- ка дозволяє побудувати та візуалізувати наступ- ні фізичні абстракції та моделі: система матері- альних точок; диполь (квадруполь, октуполь); мо- дель полярної та неполярної молекули; модель речовини (ідеальний газ, ідеальна рідина, модель абсолютно твердого та пружного тіла) і т.ін. Із наведених прикладів випливає, що оперу- вання абстрактними поняттями метамоделі на- дає можливість створення моделей, які мають різну фізичну сутність (інтерпретацію). Побу- дова моделей реальних фізичних об’єктів у цьому випадку полягає у конкретизації абстра- ктних геометричних понять шляхом наділення їх змістовими властивостями, міра яких фіксу- ється фізичними величинами (наприклад, модель дроту із струмом можна розглядати як розподіл величини I вздовж такого модельного об’єкта як лінія; пластину конденсатора можна уявити як розподіл величини q на площині і т.ін.). Отже, різні за сутністю фізичні моделі бу- дуються за допомогою елементів метамоделі, що відбивають цілий клас об’єктів схожої ма- тематичної природи. Як ще один елемент про- понованої метамоделі визначимо поверхню, під яким розуміють носій деякого розподілу ска- лярної або векторної величини. Скалярним по- лем, наприклад, можна зобразити інтенсивність світлової хвилі в явищах дифракції та інтерфе- ренції, потенціал електростатичного поля точ- кових зарядів, залежність густини речовини від просторових координат та ін. УСиМ, 2010, № 4 33 Отже, для побудови моделей ПрО пропону- ємо використовувати метамодель, що складаєть- ся з базових геометричних об’єктів. Під базови- ми розуміємо об’єкти, що відповідають вимір- ностям простору, а саме: точку, лінію, поверхню та область тощо. Така метамодель ПрО зумов- лена тим, що ці об’єкти дуже часто є результа- тами абстрагування від структури реальних про- цесів та явищ (наприклад, модель матеріальної точки, тонкої струни, модель мембрани та ін.). Покладені в основу метамоделі G геометрич- ні поняття на програмному рівні є типами ба- зових структур даних (окрема фізична величи- на, лінійний, поверхневий та просторовий роз- поділ фізичних величин є масивами різної ви- мірності). Тож для програмування з метою від- творення моделей з різних ПрО використову- ються змінні, відповідні цим базовим типам. Але найбільш важливою складовою метамоде- лі є множина математичних методів, застосов- на до цих базових типів (наприклад, інтегруван- ня вздовж контуру). Це можливо завдяки уні- версальності інформаційних процесів, що до- зволяють здійснити єдиний підхід до вивчення широкого кола ПрО. Зазначимо, що при традиційному підході до розгляду проблеми застосування ЕОМ у про- цесі наукового пізнання, саме на останньому ета- пі – етапі дослідження виражених у знаково- символьній формі математичних рівнянь, стає необхідним використання обчислювальної тех- ніки (етап обчислювального експерименту). Сут- ність нашого підходу полягає у розгляді ЕОМ не лише як інструмента чисельного чи символь- ного розв’язування математичних рівнянь, але і як засобу побудови та інтерпретації моделі, що дозволяє замкнути та прискорити цикл на- укового пізнання (вхідні факти  комп’ютер- на модель  обчислювальний експеримент  нові факти) [14]. Запропонований підхід дозво- ляє здійснити інтерпретацію результату розв’яз- ку у поняттях вхідної задачі, тому що умова та результат розв’язування задачі формулюються у поняттях єдиної метамоделі G : {{ },{ },{ }}G T R C , де {T } - множина типів для породження геоме- тричних об’єктів  моделі ПрО, {R } - сукупність правил побудови моделей, {C } - множина математичних методів, за- стосовних до модельних об’єктів. 1 2 1 2 1 2 1 2 {{ , ... },{ , ... }, { , ... },{ , ... }}, M N O P P P P L L L S S S D D D   де {P1, P2, , PM} - множина точок, {L1, L2, , LN} - множина ліній, {S1, S2, , SO} - множина поверхонь, {D1, D2, , DP} - множина областей, M + N + O + P = K - загальна кількість гео- метричних об’єктів моделі Про. Породження моделі ПрО з метамоделі G здій- снюється шляхом застосування правил {R }, а саме - створення множини екземплярів об’єк- тів {} з типів {T }, композиції {}, накладан- ня обмежень на елементи {} (наприклад із лі- нії отримується відрізок, просторові області об- межуються площинами та ін.), задання функцій розподілу {F } на {}, врахування заданих на {} вимірностей фізичних та інших величин, а також застосування математичних методів {C }, загальних для великого класу ПрО (зокрема, інтегрування та диференціювання). Зазначимо, що функції розподілу {F } та за- кони буття ПрО (зокрема, взаємодії між об’єк- тами ПрО) не є частиною метамоделі G та вхо- дять до складу конкретної моделі ПрО. Можна зазначити, що з точки зору систем- ної інженерії як метамодель G, так і породжена з неї модель ПрО, знаходяться у межах загаль- новідомого Entity-Relationship підходу [15] до моделювання. Моделювання законів фізичних ПрО Будь-яка властивість об’єкта моделі визна- чає спосіб прояву тих чи інших його сторін стосовно інших об’єктів, з якими він вступає у взаємодію. Так, наділення об’єкта точка фізич- ною величиною заряду q детермінує можли- вість електромагнітної взаємодії, маси m – гра- вітаційної взаємодії з іншими об’єктами, що мають аналогічну характеристику. Модель ПрО породжується із G шляхом на- дання елементам метамоделі властивостей, іс- тотних для ПрО. У той же час саме встановлення 34 УСиМ, 2010, № 4 закономірних (функціональних та генетичних) зв’язків між елементами моделі є сутністю по- будови математичної моделі ПрО. Наприклад, заряд породжує електричне поле (зв’язок між моделями точкового заряду та поля має форму 0 1 φ 4πε ε q r   або 2 0 1 4πε ε q r E r r      ); у свою чергу це поле діє силою на наявні у ньому еле- ктричні заряди ( EqF   ); відтворення законів зіткнення ідеальних гладких кульок дає мож- ливість створення моделі ідеального газу і т.ін. Відзначимо, що саме вид зв’язків між еле- ментами моделі зумовлює сутність модельова- ного об’єкта. Наприклад, така фізична абстра- кція як траєкторія є просторовим розподілом векторної величини  r . У той же час розгляд розподілу величини  r як послідовності дискре- тних компонентів (власне, об’єктів точка) до- зволяє шляхом встановлення зв’язків між окре- мими елементами системи побудувати модель матеріального тіла. Наприклад, визначивши си- лу, що діє між сусідніми елементами  rn та  rn1 у формі   1 0 1 1 \| \| \| \| n n n n n n n r r F k r r r r r                 , тобто пропорційною модулю відносного зміщення елементів ( r0 – початкова відстань між елеме- нтами), одержимо модель пружної нитки (лан- цюжка). Надання значення початкової швидко- сті одному з елементів ланцюжка дозволяє до- слідити закономірності виникнення та поши- рення поздовжніх і поперечних коливань. Як зазначено раніше, закони буття предмет- ної області є частиною моделі ПрО. Метамо- дель надає множину математичних методів та алгоритмів, застосовних до цілого класу ПрО. Так, дослідження математичної моделі у чи- словій формі потребує переведення рівнянь у вигляд, який можна реалізувати за допомогою ЕОМ, так званий моделюючий алгоритм, тобто послідовність елементарних операцій, що від- бивають структуру та динаміку зміни стану сис- теми. Наприклад, машинне розв’язання дифе- ренціальних рівнянь, необхідних для створен- ня динамічної моделі (та імітації) механічного руху, потребує застосування моделюючого ал- горитму у вигляді певної різницевої схеми, яка зводить розв’язування до послідовного обчис- лення параметрів руху через деякі малі промі- жки часу ∆t. Існування комп’ютерної моделі матеріаль- на точка у часі знаходить своє відображення у зміні її характеристик (кінематичних величин, маси та ін.) відповідно до зміни значення фізи- чної величини t (часу). Комп’ютер, власне, пе- рераховує характеристики матеріальної точки через певні малі проміжки t, що й дає можли- вість співвідносити стан моделі у моменти t1 та t2 і, таким чином, здійснювати операції дифе- ренціювання та інтегрування за параметром часу. Якщо ці операції здійснюються у реаль- ному масштабі часу, завдяки зв’язку комп’ю- терних моделей із таймером ЕОМ, це дозволяє реалізувати імітацію руху. Отже, множина математичних методів {C } є застосовною до типів (модельних об’єктів) {T }. Побудова математичної моделі ПрО здій- снюється шляхом застосування {C } для конк- ретних примірників {T }, тобто множини {}. До множини {R }, що також є важливим еле- ментом метамоделі G, входять методи, що шля- хом виконання певних предметних дій (мані- пуляцій) дозволяють зафіксувати основні влас- тивості форм буття матерії (просторові масш- таби, вимірність, часовий інтервал), визначити форму, розміри та структуру {}. Етап визна- чення просторово-часових властивостей моде- лі у загальній структурі діяльності з моделю- вання дозволяє виділити інформацію, необхід- ну для застосування відповідного математич- ного апарату {C }, здійснюючи зв’язок між фо- рмальними математичними операціями та їх фі- зичним змістом. Наприклад, у разі застосуван- ня диференціального числення, використання точки (комп’ютерного об’єкта як носія елемен- тарної фізичної властивості) дозволяє здійсню- вати аналіз нескінченно малих змін величин, що характеризують суттєві властивості моделі. Функції розподілу властивостей {Fk} Вхідною інформацією для застосування ма- тематичних методів {C } є набір геометричних об’єктів: 3,2,1,0,,...1,Г  nKkn k , у точках ко- УСиМ, 2010, № 4 35 жного з яких задано інформацію про деяку ха- рактеристику F (x, y, z, t) досліджуваного об’єкта, яка описується функціями Fk (x, y, z, t) у вигляді звужень функції F на відповідних геометрич- них об’єктах n kГ : , 1, ,n n k k kF F k K     де n - параметр, що визначає розмірність геомет- ричного об’єкта n kГ , якщо n = 0, то }{Гn k – це нуль-вимірний об’єкт, або точка; якщо n = 1, то }{Гn k – це одновимірний об’єкт, або лінія; якщо n = 2, то }{Гn k – це двовимірний об’єкт, або поверхня; якщо n = 3, то }{Гn k - є деякою областю D у тривимірному просторі R 3. У випадку n = 1 та n = 2 такі звуження Fk у ма- тематиці називають слідами функції F(x, y, z, t) на відповідних лініях 1Гk або поверхнях 2Гk . Взагалі кажучи, задана у точках геометрич- ного об’єкта n kГ характеристика F може зале- жати від m параметрів s0, s1, , sm: Fk (s0, s1, , sm). Зокрема якими можуть бути геометричні ко- ординати даної точки простору, параметр часу, деякі оператори чи функціонали від F (наприк- лад, швидкість, прискорення та ін.), або деякі інтегральні характеристики (площа, об’єм, су- купний заряд). Якщо до просторових змінних додається час, то переходимо до розгляду динамічної матема- тичної моделі. Якщо процес стаціонарний, то змінна часу відсутня. У даній статті розглядається задача віднов- лення за допомогою Fk (s0, s1, , sm) додаткової інформації про характеристику F на деякій ін- шій геометричній множині P, яка є підмножи- ною деякої області D, або на декількох множи- нах Pq  D, q = 1, , Q. Наприклад, інформація про внутрішню стру- ктуру тіла людини може бути отримана на кіль- кох томограмах, розміщених на відповідних пло- щинах. За цією інформацією може виникнути необхідність отримання відповідних зрізів тіла в інших площинах, що не збігаються з отрима- ними з томографа (докладніше у [16, 17]). Класи задач, що можна розв’язати у межах запропонованого підходу:  автоматична побудова структури наближе- ного розв’язку неоднорідної 3D крайової задачі;  відновлення поверхні 3D тіла за допомо- гою даних радіолокації;  відновлення внутрішньої структури 3D ті- ла за допомогою томограм;  відновлення внутрішньої структури кори Землі за допомогою сейсмічної томографії;  моделювання метаматеріалів та ін. Візуальні середовища, побудовані на основі застосування запропонованої мета моделі Визначена метамодель була використана для побудови візуальних середовищ для моделю- вання різних предметних областей. Рис. 1 та 2 ілюструють застосування підхо- ду для розв’язування задач томографії, а саме відновлення структури тривимірного тіла та по- шуку недозволених предметів при митному кон- тролі. В обох випадках базовим поняттям ме- тамоделі, що використовується для побудови моделі предметної області, є поняття поверхні. Рис. 1. Використання метамоделі з метою розв’язування задач томографії (відновлення структури тривимірного тіла) Ця поверхня є носієм фізичних властивос- тей (а саме отриманої з томографа картини розподілу щільності об’єкта), що слугує вхід- ною множиною для застосування математич- них методів [16, 17]. Рис. 3 відображає розроблену автрами ком- п’ютерну систему, призначену для моделюван- ня матеріалів із заданими властивостями (так званих метаматеріалів). Як приклад побудова- на геометрична структура, що є візуальною мо- деллю кубічної магнітної металічної решітки. 36 УСиМ, 2010, № 4 Рис. 2. Використання метамоделі з метою розв’язування задач томографії (пошук недозволених предметів при мит- ному контролі) Рис. 3. Використання метамоделі з метою побудови матеріалів із заданими властивостями Задавши функції розподілу діелектричної проникності та електричної провідності вздовж координат, тобто ε( ), μ( )r r   , шляхом застосуван- ня відповідного алгоритму, досліджуємо специ- фічні оптичні властивості даного метаматеріа- лу. Зазначимо, що для побудови візуального середовища для моделювання метаматеріалів, розширено метамодель G і додано до неї такі 3D об’єкти, як циліндр, піраміда, сфера, конус. Отже, доцільність введення метамоделі G по- лягає перш за все у побудові системи комп’ю- терних інструментів (візуальних середовищ мо- делювання), що прискорюють процес науково- го чи інженерного дослідження завдяки вико- ристанню {C } над {}. У той же час дуже важливими є методи оп- тимізації побудови математичної моделі. Як приклад розглянемо функцію Fk (x, y, z, t), яка за- лежить лише від просторових координат та ча- су t і відновлюється набором звужень Fk (s0, s1, , sm), (s0, s1, , sm)  n k . При цьому виникає задача оптимального ви- бору (щодо якості відновлення властивості) множини Pq  D, q = 1, , Q. В даній статті пропонуємо один із можливих підходів ви- бору множин Pq з метою підвищення точнос- ті відновлення характеристики F для випад- ку, коли функція Fk (x, y, z, t) входить у рів- няння Fk (x, y, z, t) = 0, що описує форму зміни поверхні з часом. Приклад. Задано наступний закон зміни пло- щі кола радіуса R з центром у початку коорди- нат (0,0). Вважаємо, що лінія кола деформується так, що її площа залишається незмінною з часом, а форма змінюється так, що в результаті отри- муємо еліпс: 1 )()( 2 2 2 2  tb y ta x із заданою пло- щею 2πS R , де ( ) sin( )a t A t  R, , )( )( 2 ta R tb  що випливає з незмінності площі кола. Або у параметричній формі: ( ) ( ) cos(φ) ( ) ( )sin(φ) x t a t y t b t    0 φ 2π  . Початок відліку часу вважаємо 0t . Оскільки при t = 0, a (0) = R, b (0) = R, то площа отриманої у результаті деформації об- ласті буде незмінною і дорівнюватиме S =  R 2, бо згідно з формулою площа еліпсу дорівнює S =  a (t) b (t). Розглядатимемо інформацію про форму де- формованої лінії у моменти часу t = Tp, p = 1,   , P у вигляді двох наборів точок, які отри- УСиМ, 2010, № 4 37 муються у результаті перетину відповідної об- ласті прямими (рис. 4): , 1 , 1 i i x x i I y y y J       1 : ( , ( )), 1... , 1...i iM x Y p i I p P  . 2 : ( ( ), ), 1... , 1...j jM X p y j J p P  . a b c Рис. 4. Перетини еліпсу наборами прямих: a – M1; b – M2; c – M1  M2 Задача полягає у відновленні форми лінії ана- літичного вигляду на основі кожного з наборів M1 та M2 точок, а також у дослідженні умов, за яких одночасне використання обох наборів то- чок може підвищити точність відновлення фо- рми лінії. Для того, щоб обґрунтувати актуальність та- кої задачі, достатньо відзначити, що якщо оби- два набори точок збігаються (рис. 5), то ніяким алгоритмом, що використовує інформацію ко- жного з них, неможливо покращити набли- ження. Рис. 5. Збіг точок перетинів еліпсу, які належать наборам пря- мих M1 та M2 У цій статті пропонується наступний алго- ритм побудови множини M2, який істотно спи- рається на заданий набір точок M1 і дозволяє покращити точність відновлення лінії в кож- ний момент часу t. Опишемо пропонований алгоритм покроково. К р о к 1. За даними точками множини M1 бу- дуємо сплайн S (x) степеня r = 1,2,3,, що на- ближено описує форму лінії у момент часу t = Tp. К р о к 2. Між двома сусідніми точками (xi, Yi (p)) та (xi+1, Yi+1 (p)) знаходимо точку M(xi+1/2 (p), Yi+1/2 (p), яка знаходиться на одна- ковій відстані (у певному розумінні) від вказа- них точок і належить кривій, що визначається даним сплайном. Цей вибір точки M у даній cтатті пропонує- мо виконувати так: знаходимо координати то- чки M з умови:    )(, 2 )(, 2 11 11 pYx M M pYx ii ii dxSdxS . Зокрема, якщо лінію, яка з’єднує сусідні то- чки наближуємо сплайном першого порядку, то середня точка M(x, y) визначатиметься так: 1 1( , ) ( , ) 2 2 i i i ix x y y M x y M     . Отже, запропонований алгоритм дозволяє ставити і розв’язувати задачу про оптимальний вибір сімейства точок на лінії або навіть мно- жині геометричних об’єктів з метою найкра- щого наближення до функції Fk (x, y, z, t). У результаті для довільного 1, p pt T t T   мож- на знайти координати точки лінії за допомогою відповідного сплайну степеня ( 1, 2,3...)r r  . Наприклад, при 1r  отримуємо 1 , 1 1 1 1 1 ( ) ,p p i i i i p p p p p p t T t T x t x x T t T T T T T               . Висновки. В основу запропонованого методу покладено поєднання геометричної інформації про просторову структуру об’єктів {k} ПрО та специфічну для неї інформацію {Fk}, задану на вказаних геометричних множинах. Доцільність застосування метамоделі G по- лягає перш за все у побудові системи комп’ю- терних інструментів (візуальних середовищ моделювання), що прискорюють процес нау- кового або інженерного дослідження завдяки використанню множини математичних мето- дів {C } над {}. Розглянута метамодель застосовується для моделювання фізичних процесів та явищ, розв’я- зання задач томографії та з метою побудови матеріалів із заданими властивостями (метама- теріалів). Один із можливих підходів вибору множин  запропоновано з метою підвищення точності відновлення характеристики F для випадку, 38 УСиМ, 2010, № 4 коли функція Fk (x, y, z, t) входить у рівняння Fk (x, y, z, t) = 0. 1. http://en.wikipedia.org/wiki/Domain_Specific_Modelling 2. http://en.wikipedia.org/wiki/Domain-specific_language 3. http://en.wikipedia.org/wiki/Metamodeling 4. http://www.metacase.com/dsm.html 5. http://en.wikipedia.org/wiki/Ontology_(informa- tion_science) 6. Киндлер Е. Языки моделирования. – М.: Энерго- атомиздат, 1985. – 288 с. 7. Jean-Marie Favre. Towards a Basic Theory to Model Driven Engineering // 3rd Workshop in Software Model Engin., WiSME, 2004. 8. Рвачёв В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. – К.: Техніка, 1967. – 212 с. 9. Литвин О.М. Інтерлінація та інтерфлетація функ- цій і структурний метод В.Л. Рвачова // Мат. мето- ди та фіз.-мех. поля. - 2007. – 50, № 4. – С. 61–82. 10. Цвицинский И.В. Математическое моделирование поверхностей сложной формы. – Кишинев: Шти- инца, 1984. – 109 с. 11. Jack Chessa. Programing the Finite Element Method with Matlab. – http://www.math.mcmaster.ca/~bpro- tas/ MATH745b/matlab_fem.pdf 12. Mezhuyev V., Verhulst E., Gjalt de Jong. An Industrial Case: Pitfalls and Benefits of Applying Formal Meth- ods to the Development of a Network-Centric RTOS. – FM 2008: Formal Methods. – Heidelberg: Springer Berlin, 2008. 13. Mezhuyev V., Verhulst E. OpenComRTOS Visual Model- ling Environment: the Tool for Distributed Parallel Ap- plications Development // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. – Вип. 423: Фізика. Електроніка.: Темат. вип. «Комп’ютерні системи та компоненти». Ч. І. – Чернівці: ЧНУ, 2008. – С. 88–94. 14. Бургин М.С., Кузнецов В.И. Введение в современ- ную точную методологию науки: Структуры сис- тем знания. – М.: Аспект Пресс, 1994. – 304 с. 15. http://en.wikipedia.org/wiki/Entity-relationship_model 16. Lytvyn O.M., Mezhuyev V.I. Operators of the interline- ations of functions of 2 and 3 variables in the 2D and 3D computer tomography // Proc. of the 5th World Congr. on Industrial Process Tomography, Bergen, Norway, 2007. – P. 242–249. 17. Пат. на винахід №78568. Спосіб відновлення внут- рішньої структури тривимірного об’єкта / І.В. Сергі- єнко, О.М. Литвин, В.І. Межуєв. – 2007. – 8 с. Поступила 02.03.2010 Тел. для справок: (093) 854-4594, (099) 780-8039 (Бердянск, Харькoв) E-mail: mejuev@ukr.net, academ_mail@ukr.net © В.І. Межуєв, О.М. Литвин, 2010  В.И. Межуев, О.Н. Литвин Метамодель для визуального моделирования многомерных предметных областей и ее практические применения Введение. Язык науки – математика, и именно это обу- славливает применение ее конструкций для построения моделей различных предметных областей (ПрО), в част- ности физических явлений и процессов. Заметим, что сложность современных математических методов при- водит к необходимости поиска новых методологий и технологий моделирования, которые могут быть приме- нены специалистами, не имеющими соответствующей математической подготовки. В настоящее время в системной инженерии широкое распространение получила методология предметно-ориен- тированного моделирования ( Domaіn Specіfіc Modelіng – DSM) [1]. Сущность ее состоит в создании языков моде- лирования, специально ориентированных на решение за- дач определенной ПрО. Такие языки называют предмет- но-ориентированными (Domaіn Specіfіc Language – DSL) [2], в отличие от языков программирования или модели- рования общего назначения (язык С или UML). Необхо- димый этап разработки DSL – определение его синтак- сиса и семантики, что осуществляется в понятиях опре- деленной метамодели [3]. Однако заметим, что метамодели, получившее ши- рокое распространение в DSM [4], основаны на построе- нии концептуальных моделей ПрО, т.е. собственно мо- делей знания о ПрО (характерный пример которых – он- тологии [5]). В данной статье обоснован подход к по- строению метамоделей ПрО на основании математиче- ских абстракций, отражающих их закономерности. По- нятие метамодель используем как множество математи- ческих абстракций и методов, позволяющих строить мо- дели ПрО путем применения определенным образом спроектированных компьютерных инструментов. Заметим, что вопросу построения языков моделирова- ния ПрО посвящено значительное количество научных пуб- ликаций [6]. Отличительная особенность подхода авто- ров состоит в объединении методов системной инженерии к построению моделей ПрО, т.е. Model Driven Engineering [7] и математических методов моделирования ПрО [8–11]. В статье предложена геометрическая метамодель G для построения математических моделей многомерных ПрО. Однако предложенный подход может использоваться УСиМ, 2010, № 4 39 и в других ПрО, в частности, для моделирования про- граммных систем [12, 13]. Принципы построения метамодели G Необходимость моделирования широкого круга ПрО требует определения системы общих понятий, как осно- вы метамодели ПрО. В то же время это требование при- водит к росту уровня абстрактности понятий метамоде- ли. Именно поэтому вместе с использующими символь- но-операторный язык математическими абстракциями и методами в основу предлагаемой метамодели G положе- на система геометрических объектов. Построенная на основе G визуальная система моде- лирования объединяет предметно-образное и абстракт- но-логическое воздействие на пользователя. Знаково-сим- вольный и образный планы деятельности пользователя способствуют интеграции понятийной и чувственной форм психического отражения действительности. Кроме того, фиксация в предметах деятельности (в данном слу- чае – геометрических объектах) существенных свойств ПрО позволяет объединить материальные и умственные действия, которые осуществляются в процессе научного исследования. В этом случае качественно меняется деятельность по построению модели ПрО, которая осуществляется как сис- тема визуальных действий (манипуляций) с воссоздан- ными на экране ЭВМ компьютерными объектами. Именно поэтому спроектированный на таких принципах компь- ютерный инструмент можно отнести к системам визу- ального моделирования ПрО. Разработка метамодели требует изучения и обобще- ния структуры и других свойств моделей ПрО. В данной статье рассмотрим физические модели, структурирова- ние которых предлагается осуществить, взяв за основу способ пространственного распределения свойств (в са- мом общем случае дискретный или непрерывный). Кон- кретизируем наш подход на примере. Как и любая другая система, метамодель моделей ПрО состоит из элементов. Базовый элемент метамоде- ли в данном подходе является элементарным носителем физического свойства объекта ПрО. Такой базовый эле- мент получил название точка. Элемент точка – обоб- щенная модель (или метамодель), которая в зависимости от отражаемых свойств позволяет воссоздавать разные по сущности физические абстракции и модели. В дан- ном контексте свойства ПрО фиксируются при помощи физических величин. Приведем примеры физических мо- делей, позволяющих отразить этот элемент метамодели: материальная точка (кинематические параметры движе- ния , ,r v a    и масса m); точечный заряд (заряд q и кине- матические параметры); источник колебаний (гармони- ческий осциллятор), математический и физический ма- ятник (амплитуда a, период T, частота  , пространствен- ные координаты) и др. В приведенных примерах точка рассматривалась как носитель физических свойств в реальном пространстве, однако эта абстракция может отражать и другие физиче- ские ПрО (например, в пространстве P, V, T точка уже будет определять состояние идеального газа). Можно до- казать применимость этой абстракции к моделированию других (нефизических) видов ПрО. Главная цель выделения элементарного носителя свой- ства ПрО как элемента метамодели – необходимость по- строения более сложных моделей ПрО путем установ- ления связей между элементарными составными мета- модели (используя метод композиции, который также является составным элементом G). Если за критерий взять способ пространственного рас- пределения и взаимосвязи физических свойств, то ис- пользование такой абстракции как точка позволяет по- строить и визуализировать следующие физические мо- дели: система материальных точек; диполь (квадруполь, октуполь); модель полярной и неполярной молекулы; модель вещества (идеальный газ, идеальная жидкость, модель абсолютно твердого и упругого тела) и т.д. Из приведенных примеров следует, что оперирование абстрактными понятиями метамодели дает возможность создания моделей с разной физической сущностью (ин- терпретацию). Процесс построения моделей физических ПрО в этом случае состоит в конкретизации абстракт- ных геометрических понятий путем наделения их со- держательными свойствами, мера которых фиксируется физическими величинами. Например, модель контура с током можно рассмотреть как распределение величины I вдоль такого модельного объекта как линия; пластину кон- денсатора можно представить как распределение вели- чины q на плоскости и т.д. Таким образом, разные по сущности физические мо- дели строятся при помощи элементов метамодели, от- ражающих целый класс объектов схожей математичес- кой природы. Как еще один элемент предлагаемой ме- тамодели определим поверхность, под которым понима- ем носитель некоторого распределения скалярной или век- торной величины. Скалярным полем, например, можно представить интенсивность световой волны в явлениях ди- фракции и интерференции, потенциал электростатичес- кого поля системы точечных зарядов, зависимость плот- ности вещества от пространственных координат и др. Итак, для построения моделей ПрО предлагается ис- пользовать метамодель, состоящую из базовых геометри- ческих объектов. Под базовыми понимаем объекты, соот- ветствующие размерности пространства, а именно, точку, линию, поверхность и область. Такая метамодель ПрО обусловлена тем, что эти объекты часто представляют собой результат абстрагирования от структуры реаль- ных процессов и явлений (например, модель материаль- ной точки, тонкой струны, модель мембраны и др.). Положенные в основу метамодели G геометрические понятия на программном уровне есть типами базовых структур данных (отдельная физическая величина, ли- нейное, поверхностное и пространственное распределе- ние физических величин – массивы разной измеримости). С точки зрения программирования, с целью построения 40 УСиМ, 2010, № 4 модели ПрО объявляются переменные, соответствующие этим базовым типам. Но наиболее важная составляющая метамодели – множество математических методов, при- менимых к базовым типам (например, интегрирование вдоль линии контура). Заметим, что предлагаемая техно- логия моделирования – возможна только благодаря уни- версальности информационных процессов, позволяю- щей осуществить единый подход к изучению широкого круга ПрО. Отметим, что при традиционном подходе к рассмот- рению проблемы применения ЭВМ в процессе научного познания, именно на последнем этапе – этапе исследова- ния выраженных в знаково-символьной форме математи- ческих уравнений, и становится необходимым использо- вание вычислительной техники (этап вычислительного эксперимента). Сущность нашего подхода состоит в рас- смотрении ЭВМ не только как инструмента численного или символьного решения математических уравнений, но и как средства построения и интерпретации модели, что позволяет замкнуть и ускорить цикл научного познания (начальные факты  компьютерная модель  вычисли- тельный эксперимент  новые факты) [14]. Предложен- ный подход позволяет осуществить интерпретацию ре- зультата решения в понятиях входной задачи, так как условие и результат решения задачи формулируется в понятиях единой метамодели G: {{ },{ },{ }}G T R C , где { }T - множество типов для порождения геометриче- ских объектов  модели ПрО, { }R - совокупность правил построения моделей, { }C - множество математических методов, приме- нимых к модельным объектам ПрО. 1 2 1 2 1 2 1 2{{ , ... },{ , ... },{ , ... },{ , ... }}M N O PP P P L L L S S S D D D  , где 1 2{ , ... }MP P P - множество точек, 1 2{ , ... }NL L L - множество линий, 1 2{ , ... }OS S S - множество поверхностей, 1 2{ , ... }PD D D - множество областей, M N O P K    - общее количество геометриче- ских объектов модели ПрО. Порождение модели ПрО из метамодели G осуще- ствляется путем применения правил {R}, а именно - создание множества экземпляров объектов {} из типов {T}; композиция {}; наложение ограничений на эле- менты {} (например, из линии получается отрезок, про- странственные области ограничиваются плоскостями и др.); задание функций распределения {F} на {}; учет за- данных на {} размерностей физических величин, а так- же применения математических методов {C}, общих для объектов метамодели G (в частности, интегрирование и дифференцирование). Заметим, что конкретные функции распределения {F} и законы существования ПрО (в частности, взаимодейст- вия между объектами ПрО) не являются частью метамо- дели G и входят в состав конкретной модели ПрО. Моделирование законов существования физических ПрО Любое свойство объекта модели определяет способ проявления тех или иных его сторон относительно других объектов, с которыми он вступает во взаимодействие. Так, наделение объекта точка физическим свойством электри- ческого заряда определяет возможность электромагнит- ного взаимодействия, массы – гравитационного взаимо- действия с другими объектами, имеющими аналогичное свойство. Таким образом, конкретная модель ПрО порождается из G путем придания элементам метамодели существен- ных для ПрО свойств, меры которых фиксируются фи- зическими величинами. Для построения математической модели ПрО необходимо установить закономерные (функ- циональные и генетические) связи между элементами мо- дели. Например, заряд порождает электрическое поле (связь между свойствами моделей точечного заряда и поля имеет форму 0 1 φ 4πε ε q r   или 2 0 1 4πε ε q r E rr      ); в свою очередь, это поле действует силой на помещенные в него электрические заряды ( F q E    ) и т.д. Отметим, что именно математическая форма связей между элементами модели и определяет сущность мо- делируемого объекта. Например, такая физическая абст- ракция как траектория является пространственным распределением векторной величины r  . В то же время рассмотрение распределения величины r  как последова- тельности дискретных элементов (собственно, объектов точка) позволяет путем установления связей между от- дельными элементами системы построить модель мате- риального тела. Например, определив силу, действую- щую между соседними элементами nr  и 1nr   в виде 1 0 1 1 ( \| \|) \| \| n n n n n n n r r F k r r r r r                 , т.е. пропорциональной модулю относительного смещения элементов ( 0r – на- чальное расстояние между элементами), получим модель упругой нити (цепочки). Присвоение значения началь- ной скорости одному из элементов цепочки позволяет ис- следовать закономерности возникновения и распростра- нения продольных и поперечных колебаний. Как отмечено ранее, законы существования предмет- ной области есть часть модели ПрО. Метамодель же пред- оставляет множество математических методов и алгорит- мов, применимых к целому классу ПрО. Так, исследова- ние математической модели в численной форме требует преобразования уравнений в вид, который можно реали- зовать с помощью ЭВМ, так называемый моделирующий алгоритм, т.е. последовательность элементарных опера- ций, отражающих структуру и динамику изменения со- УСиМ, 2010, № 4 41 стояния системы. Например, машинное решение диф- ференциальных уравнений, необходимых для создания имитационной модели механического движения, требу- ет применения моделирующего алгоритма в виде опре- деленной разностной схемы, сводящей решение к после- довательному вычислению параметров движения через некоторые малые промежутки времени ∆t. Существование компьютерной имитационной моде- ли материальная точка во времени находит свое отра- жение в изменении ее характеристик (кинематических ве- личин, массы и др.) соответственно изменению значения физической величины t (времени). Компьютер, собственно, пересчитывает значения характеристик материальной точ- ки через определенные малые промежутки времени t, что и дает возможность соотносить состояние модели в мо- менты t1 и t2 и, таким образом, осуществлять операции дифференцирования и интегрирования по параметру времени. Имитация движения осуществляется выполне- нием этих операции в реальном масштабе времени. Таким образом, множество математических методов {C} применимо к типам модельных объектов {T}. По- строение конкретной модели ПрО осуществляется пу- тем применения {C} для конкретных экземпляров {T}, т.е. множества {}. Во множество {R}, которое также является важным элементом метамодели G, входят соответствующие оп- ределенным предметным действиям (манипуляциям) ме- тоды. Они позволяют зафиксировать основные свойства форм бытия материи (пространственные масштабы, раз- мерность, временной интервал), определить форму, раз- меры и структуру {}. Этап определения пространствен- но-временных свойств модели в общей структуре про- цесса моделирования позволяет выделить информацию, необходимую для применения соответствующего мате- матического аппарата {C}, осуществляя связь между фор- мальными математическими операциями и их физиче- ским смыслом. Например, в случае применения диффе- ренциального исчисления, использование носителя эле- ментарного физического свойства (компьютерного объ- екта точка), позволяет осуществлять анализ бесконечно малых изменений величин, характеризующих сущест- венные свойства модели. Функции распределения свойств {Fk} Входной информацией для применения математи- ческих методов {C} является набор геометрических объектов: Г , 1,... , 0,1, 2,3n k k K n  , в точках каждого из которых задана информация о некоторой характе- ристике F (x, y, z, t) исследуемого объекта, описывае- мая Fk (x, y, z, t) в виде сужений функции F на соответ- ствующих геометрических объектах Гn k : , 1, ,n n k k kF F k K     где n - параметр, определяющий размерность геометри- ческого объекта Гn k . Если n = 0, то {Гn k } – это ноль-мерный объект, или точка; если 1n  , то { Гn k } – это одномерный объект, или линия; если 2n  , то { Гn k } – это двумерный объект, или по- верхность; если n = 3, то { Гn k } - некоторая область D в трехмер- ном пространстве R 3. В случае n = 1 и n = 2 такие сужения Fk в математике принято называть следами функции F (x, y, z, t) на соот- ветствующих линиях 1Гk или поверхностях 2Гk . Вообще говоря, заданная в точках геометрического объекта Гn k характеристика F может зависеть от m пара- метров s0, s1, , sm : Fk (s0, s1, , sm), которыми, в частности, могут быть геометрические координаты данной точки про- странства, параметр времени, некоторые операторы или функционалы от F (например, скорость, ускорение и др.) или некоторые интегральные характеристики (площадь, объем, совокупный заряд и др.). Если к пространственным переменным добавляется время, то переходим к рассмотрению динамической ма- тематической модели. Если процесс стационарный, то параметр времени отсутствует. В статье рассматривается задача восстановления с по- мощью Fk (s0, s1, , sm) дополнительной информации о ха- рактеристике F на некотором другом геометрическом мно- жестве P, являющемся подмножеством некоторой области D, или на нескольких множествах PqD, q = 1, , Q. Например, информация о внутренней структуре тела человека может быть получена на нескольких томограм- мах, размещенных на некоторых плоскостях. По этой ин- формации возникает необходимость получения срезов тела в других плоскостях, которые не совпадают с получен- ными с томографа [15, 16]. Приведем классы задач, которые можно решить в рам- ках предложенного подхода:  автоматическое построение структуры приближен- ного решения неоднородной 3D краевой задачи;  восстановление поверхности 3D тела с помощью дан- ных радиолокации;  восстановление внутренней структуры 3D тела с помощью томограмм;  восстановление внутренней структуры коры Земли с помощью сейсмической томографии;  моделирование метаматериалов и др. Визуальные среды, построенные на основе пред- ложенной метамодели Определенная авторами метамодель была использова- на для построения визуальных инструментов моделиро- вания различных предметных областей. Применение подхода для решения задач томографии, а именно, восстановления структуры трехмерного тела и поиска неразрешенных предметов при таможенном кон- троле показаны на рис. 1, 2. В обоих случаях базовым по- 42 УСиМ, 2010, № 4 нятием метамодели, которое используется для построения модели предметной области, являются понятия поверх- ности. Эта поверхность есть носителем физических свойств (а именно, полученной с томографа двумерной картины распределения плотности или снимка плоского среза трех- мерного объекта) и служит входным множеством для при- менения математических методов [15, 16]. Рис. 1. Использование метамодели с целью решения задач томографии (восстановление структуры трехмерного тела по серии плоских срезов) Рис. 2. Использование метамодели с целью решения задач томографии (поиск неразрешенных предметов при та- моженном контроле) Рис. 3 отражает разработанную авторами компьютер- ную систему, предназначенную для моделирования ма- териалов с заданными свойствами (метаматериалов). В ка- честве примера приведена геометрическая структура – ви- зуальная модель кубической магнитной металлической ре- шетки. Задав функции распределения магнитной проницае- мости μ( )r  и электрической проводимости ε( )r  вдоль координат, путем применения соответствующего алгорит- ма исследуем специфические оптические свойства данного метаматериала. Заметим, что для моделирования метама- териалов используем такие конкретные виды являющей- ся элементом метамодели области D, как цилиндр, пи- рамида, сфера, конус [17]. Таким образом, целесообразность определения ме- тамодели G состоит прежде всего в практическом по- строении системы компьютерных инструментов (визу- альных сред моделирования), применение которых ус- коряет процесс научного или инженерного исследова- ния благодаря использованию {С} над {}. Рис. 3. Использование метамодели с целью построения моде- лей материалов с заданными свойствами В то же время важен аспект оптимизации математи- ческих методов моделирования ПрО. В качестве приме- ра рассмотрим зависящую только от пространственных координат и времени t функцию Fk (x, y, z, t), которая вос- станавливается с помощью набора сужений 0 1( , ,..., )k mF s s s , 0 1( , ,..., ) n m ks s s  . При этом возникает задача оптимального выбора (с учетом качества восстановления свойства) множества PqD, q = 1, , Q. В данной статье предложен один из возможных методов выбора множества Pq с целью по- вышения точности восстановления характеристики F для случая, когда функция Fk (x, y, z, t) входит в уравнение F (x, y, z, t) = 0, описывающее форму изменения поверх- ности со временем. Пример. Задан следующий закон изменения площа- ди круга радиуса R с центром в начале координат (0,0). Считаем, что линия круга изменяется так, что ее пло- щадь остается неизменной со временем, а форма пред- ставляет эллипс: 2 2 2 2 1 ( ) ( ) x y a t b t   с заданной площадью 2πS R , где ( ) sin( ) ,a t A t R  2 ( ) , ( ) R b t a t  что следует из постоянства площади круга. Или в параметрической форме: ( ) ( ) cos(φ) ( ) ( )sin(φ) 0 φ 2π . x t a t y t b t      Начало отсчета времени считаем 0t  . Поскольку при t = 0, a(0) = R, b(0) = R, , то площадь полученной в результате деформации области будет неиз- менной и равняться S = R 2, так как площадь эллипса равна S =  a(t) a(t). УСиМ, 2010, № 4 43 Будем рассматривать информацию о форме дефор- мированной линии в моменты времени t = Tp, p = 1, , P в виде двух наборов точек, получаемых в результате сече- ния соответствующей области прямыми (рис. 4): , 1 , 1 i i x x i I y y y J       1 : ( , ( )), 1... , 1...i iM x Y p i I p P  . 2 : ( ( ), ), 1... , 1...j jM X p y j J p P  . a b c Рис. 4. Сечения эллипса наборами прямых: a – M1; b – M2; c – M1  M2 Задача состоит в восстановлении формы линии ана- литического вида на основании каждого из наборов M1 и M2 точек, а также в исследовании условий, при которых одновременное использование обоих этих наборов точек может повысить точность восстановления формы линии. Для того, чтобы обосновать актуальность такой зада- чи, достаточно отметить, что, если оба набора точек сов- падают (рис. 5), то никаким алгоритмом, который ис- пользует информацию каждого из них, улучшить при- ближение невозможно. Рис. 5. Совпадение точек сечений эллипса, которые принадле- жат наборам прямых M1 и M2 В статье предложен алгоритм построения множества M2, который существенно опирается на заданный набор точек M1 и позволяет улучшить точность восстановле- ния линии в каждый момент времени t. Опишем предлагаемый алгоритм по шагам. Ш а г 1. По данным точкам множества M1 строим сплайн S(x) степени r = 1,2,3,, приближенно описы- вающий форму линии в моменты времени t = Tp. Ш а г 2. Между двумя соседними точками (xi, Yi (p)) и (xi+1, Yi+1 (p)) вычисляем точку M(xi+1/2 (p), Yi+1/2 (p), которая находится на одинаковом расстоянии от ука- занных точек и принадлежит кривой, определяемой сплайном S(x). Выбор точки M следует осуществить следующим об- разом: находим координаты точки M из условия: 1 1, ( ) 2 2 , ( ) 1 1 i i i i x Y pM x Y p M S dx S dx        В частности, если соединяющую соседние точки ли- нию приблизить сплайном первого порядка, то средняя точка M (x, y) определится так: 1 1( , ) ( , ) 2 2 i i i ix x y y M x y M     . Итак, предложенный алгоритм позволяет ставить и решать задачу об оптимальном выборе семейства точек на линии или даже множестве геометрических объек- тов с целью самого лучшего приближения к функции Fk (x, y, z, t). В результате для произвольного t, Tp  t  Tp+1 можно найти координаты точки линии с помощью соответству- ющего сплайна степени r (r = 1,2,3,). Например, при 1r  получим 1 , 1 1 1 1 1 ( ) ,p p i i i i p p p p p p t T t T x t x x T t T T T T T               . Заключение. В основу предложенного метода поло- жено объединение геометрической информации о про- странственной структуре объектов {k} ПрО и специфи- ческая для нее информация {Fk}, заданная на указанных геометрических множествах. Целесообразность применения метамодели G состо- ит прежде всего в построении систем компьютерных ин- струментов (визуальных сред моделирования), ускоряю- щих процесс научного или инженерного исследования благодаря использованию множества математических ме- тодов {C} над {}. Рассмотренная метамодель применяется для модели- рования физических процессов и явлений, решения за- дач томографии с целью построения материалов с задан- ными свойствами (метаматериалов). Один из возможных подходов к выбору множества  предложен с целью повышения точности восстанов- ления характеристики F для случая, когда функция Fk (x, y, z, t) входит в уравнение Fk (x, y, z, t) = 0.  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000640065002000410064006f0062006500200061006400650063007500610064006f00730020007000610072006100200069006d0070007200650073006900f3006e0020007000720065002d0065006400690074006f007200690061006c00200064006500200061006c00740061002000630061006c0069006400610064002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <FEFF004b0069007600e1006c00f30020006d0069006e0151007300e9006701710020006e0079006f006d00640061006900200065006c0151006b00e90073007a00ed007401510020006e0079006f006d00740061007400e100730068006f007a0020006c006500670069006e006b00e1006200620020006d0065006700660065006c0065006c0151002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c0020006b00e90073007a00ed0074006800650074002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Метамодель для візуального моделювання багатовимірних предметних областей та її практичні застосування

Репозитарії

Схожі ресурси