Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ

Рассмотрены алгоритмы реализации интерполирования функций, адаптированные к информационному технологическому процессу матрично-алгебраической электронной вычислительной машины – машины нового поколения....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Вышинский, В.А., Кононенко, А.Ю., Слепец, А.В., Вышинская, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2010
Schriftenreihe:	Управляющие системы и машины
Schlagworte:	Технические средства информатики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82843
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ / В.А. Вышинский, А.Ю. Кононенко, А.В. Слепец, А.В. Вышинская // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 44-46, 57. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-82843
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-828432015-06-11T03:02:04Z Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ Вышинский, В.А. Кононенко, А.Ю. Слепец, А.В. Вышинская, А.В. Технические средства информатики Рассмотрены алгоритмы реализации интерполирования функций, адаптированные к информационному технологическому процессу матрично-алгебраической электронной вычислительной машины – машины нового поколения. The algorithms of realizing the interpolation of functions are considered which are adapted to the information technological process of a matrix-algebraic electronic calculating machine (MA ECM) – a machine of new generation. Розглянуто алгоритми реалізації інтерполювання функцій, адаптованих до інформаційного технологічного процесу матрично-алгебраїчної електронної обчислювальної машини – машини нового покоління. 2010 Article Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ / В.А. Вышинский, А.Ю. Кононенко, А.В. Слепец, А.В. Вышинская // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 44-46, 57. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82843 681.324 ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Технические средства информатики Технические средства информатики
spellingShingle	Технические средства информатики Технические средства информатики Вышинский, В.А. Кононенко, А.Ю. Слепец, А.В. Вышинская, А.В. Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ Управляющие системы и машины
description	Рассмотрены алгоритмы реализации интерполирования функций, адаптированные к информационному технологическому процессу матрично-алгебраической электронной вычислительной машины – машины нового поколения.
format	Article
author	Вышинский, В.А. Кононенко, А.Ю. Слепец, А.В. Вышинская, А.В.
author_facet	Вышинский, В.А. Кононенко, А.Ю. Слепец, А.В. Вышинская, А.В.
author_sort	Вышинский, В.А.
title	Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ
title_short	Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ
title_full	Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ
title_fullStr	Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ
title_full_unstemmed	Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ
title_sort	алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической эвм
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2010
topic_facet	Технические средства информатики
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82843
citation_txt	Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ / В.А. Вышинский, А.Ю. Кононенко, А.В. Слепец, А.В. Вышинская // Управляющие системы и машины. — 2010. — № 4. — С. 44-46, 57. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT vyšinskijva algoritmyinterpolirovaniâfunkcijvmatričnoalgebraičeskojévm AT kononenkoaû algoritmyinterpolirovaniâfunkcijvmatričnoalgebraičeskojévm AT slepecav algoritmyinterpolirovaniâfunkcijvmatričnoalgebraičeskojévm AT vyšinskaâav algoritmyinterpolirovaniâfunkcijvmatričnoalgebraičeskojévm
first_indexed	2025-07-06T09:31:13Z
last_indexed	2025-07-06T09:31:13Z
_version_	1836889434577960960
fulltext	44 УСиМ, 2010, № 4 Технические средства информатики УДК 681.324 В.А. Вышинский, А.Ю. Кононенко, А.В. Слепец, А.В. Вышинская Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ Рассмотрены алгоритмы реализации интерполирования функций, адаптированные к информационному технологическому процессу матрично-алгебраической электронной вычислительной машины – машины нового поколения. The algorithms of realizing the interpolation of functions are considered which are adapted to the information technological process of a matrix-algebraic electronic calculating machine (MA ECM) – a machine of new generation. Розглянуто алгоритми реалізації інтерполювання функцій, адаптованих до інформаційного технологічного процесу матрично- алгебраїчної електронної обчислювальної машини – машини нового покоління. Введение. В развитии вычислительных средств не получили практического воплощения но- вые архитектуры и структуры, использую- щие широкие интеграционные возможности микроэлектронной элементной базы. По-преж- нему, как и тридцать лет тому назад, в пони- мании разработчиков сверхбыстродействую- щая вычислительная машина (ВМ) может су- ществовать только в многопроцессорном ви- де. Такая тупиковая ситуация в развитии вы- числительной техники (ВТ) объясняется не- разрешимостью известной проблемы – несо- ответствия интеграционного процесса в мик- роэлектронике технологическому процессу вы- числений, которые, как правило, современ- ные разработчики реализуют в новой микро- электронной аппаратуре. В работах [1, 2] пред- лагается разрешение указанной проблемы пу- тем организации вычислительного процесса в средствах ВТ не в традиционных мелких машинных единицах информации – числах, а в сложных структурах данных современных машин, т.е. речь идет о матрично-алгебра- ических машинах. В качестве таких структур данных, в частности, используются элементы алгебры полиномов. Другими словами, опе- рандом ВМ предлагается использовать част- ный случай [1] полиномиального представ- ления функции – ее интерполяционный мно- гочлен. Напомним, что, отождествляя в ма- шине полином с операндом, тем самым мы наделяем его возможностями хранения в па- мяти по единому адресу, транспортировке и обработке по принципу обработки чисел в современных средствах ВТ, когда машинны- ми операциями становятся операции над по- линомами. Постановка задачи Идея использования алгебры полиномов для организации вычислительного процесса в машине, требует разработки эффективных алгоритмов представления информации ото- бражающей произвольные функции в поли- номиальный вид. В рассматриваемом случае речь идет о представлении функции интер- поляционным многочленом. В вычислитель- ной практике известны алгоритмы определе- ния коэффициентов интерполяционного мно- гочлена, основанные на оперировании с мат- рицей Вандермонда. Эти методы требуют зна- ния значений рассматриваемой функции в узлах интервала ее интерполирования, не всег- да известных пользователю. Часто функция может быть задана в виде формулы в операциях алгебры Коши, т.е. ал- гебры элементами которой выступают функ- ции. В этом случае нахождение интерполя- ционного многочлена требует вычисления его значений в точках интервала интерполирова- ния. Эти действия приводят к избыточному усложнению и увеличению обработки инфор- мации. Таким образом, возникает задача, ре- УСиМ, 2010, № 4 45 шение которой направлено на устранение этих сложностей в определении интерполяцион- ных многочленов для функций заданных толь- ко в формульном виде. В то же время требу- ется адаптация известных алгоритмов интер- полирования к информационному техноло- гическому процессу, которым наделена мат- рично-алгебраическая электронная ВМ (МА ЭВМ) [1, 2]. Решение задачи Алгоритмы интерполирования в операци- ях алгебры полиномов Интерполирование – известная процедура в современной вычислительной практике и от- носится к точечной аппроксимации. Отметим, что с ее помощью определяется интерполяци- онный многочлен, значения которого совпада- ют со значениями функции в точках (узлах) ин- тересующего нас интервала. Вычислительный процесс в этом случае сводится к решению сис- темы линейных алгебраических уравнений. Не- известными в ней выступают коэффициенты искомого многочлена. Пусть этот многочлен имеет вид P(t) = X1 + X2 t + X3 t2 + … + Xm t m–1. (1) Тогда соответствующая ему система алгеб- раических уравнений, отображающая процеду- ру интерполирования, будет выглядеть так: 0 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 0 1 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 0 1 2 1 1 2 3 0 1 1 1 2 3 ... ... . . . . . . ... . . . . ... . . . . . . ... . . . . ... m m m m m i i i m i i m m m m m m m X t X t X t X t p X t X t X t X t p X t X t X t X t p X t X t X t X t p                         , (2) где it – значение переменной в i-м узле ин- тервала, на котором задана функция f (x), 1... mX X – коэффициенты интерполяционного многочлена, ip – значение функции f (x) в i-м узле интервала. В матрично-векторном виде эта система бу- дет иметь вид: 0 1 2 1 1 11 1 1 1 0 1 2 1 2 22 2 2 2 0 1 2 1 . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . m m m m mm m m m X pt t t t X pt t t t X pt t t t                                                               . (3) В литературе определитель матрицы этого выражения получил название Вандермонда. Ма- трицу будем обозначать так же. Рассматриваемая в статье МА ЭВМ своими машинными операциями (машинными коман- дами) приспособлена проводить вычисления в алгебрах, в том числе и в алгебре матриц. По- этому, процедура интерполирования, т.е. реше- ние матричного уравнения (3), удобно «ложит- ся» на ее вычислительные возможности. Таким образом, определение вектора коэффициентов интерполяционного многочлена в МА ЭВМ сво- дится к простому матричному умножению век- тора значений рассматриваемой функции в уз- лах интерполирования на обратную матрицу Вандермонда. Эта матрица – константа, сохра- няется в постоянной памяти МА ЭВМ и подго- тавливается путем вычисления ее элементов в узлах заданного интервала. Если порядок интерполяционного многочле- на превышает порядок машинной матрицы, то для реализации вычислительного процесса в машинных операндах и командах МА ЭВМ весь интервал разбиваем на подинтервалы. Каж- дый из этих подинтервалов соответствует по- рядку машинной матрицы, например, равный числу n, а порядок многочлена – m · n. Таким образом, получаем многочлен вида:           –12 1 2 3 2 –1 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 –1 2 3 –1 1 –1 2 —12 –1 –1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n n n n n n n n n n n n m n m n m nn mnm n P t X X t X t X t X X t X t X t t X X t X t X t t X X t X t X t t                              (4) 46 УСиМ, 2010, № 4 В этом многочлене выражения в скобках (многочлены, соответствующие подинтервалам) обозначим буквами A1 , A2 , A3 , …, Am. (5) Тогда система линейных уравнений, описы- вающая процедуру интерполирования, для по- линома (4) в обозначениях (5) будет иметь вид: 0 2 ( 1) 1 1 2 1 3 1 1 1 0 2 ( 1) 1 2 2 2 3 2 2 2 0 2 ( 1) 1 2 3 0 2 ( 1) 1 2 3 ... ... . . . . . . ... . . . . ... . . . . . . ... . . . . ... n n m n m m m m n m n n m n i i i m i i n n m n m m m m m m A t A t A t A t P At A t A t A t P At A t A t A t P At A t A t A t P                         , (6) где Pi – значение интерполяционного много- члена и нашей функции в i-м подинтервале, состоящем из n точек, т.е. в подинтервале, оп- ределяемом матрицей Вандермонда из матрич- но-векторного уравнения (3). В этом случае система уравнений (6) в матрично-векторном представлении будет выглядеть так: 0 2 ( ) 1 1 11 1 1 1 0 2 ( ) 1 2 22 2 2 2 0 2 ( 1) . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . n n m n n n m n n n m n m mm m m m X pt t t t X pt t t t X pt t t t                                                               . (7) Таким образом, в рассматриваемом случае, как и для выражения (3), вектор коэффициен- тов искомого интерполяционного многочлена нашей функции вычисляется в МА ЭВМ путем умножения правой части уравнения (7) на об- ратную матрицу Вандермонда этого уравне- ния. Весьма удобно выполнять указанное вы- числение в том случае, если количество узлов интерполирования будет равно величине m·n, а m = n. Дело в том, что тогда порядок векторов и матриц, участвующих в машинных опера- циях, равно порядку машинной матрицы МА ЭВМ и это существенно упростит саму проце- дуру интерполирования. Как уже отмечалось, функция, интерполяци- онный многочлен которой нам необходимо опре- делить, может быть задана в аналитическом ви- де, т.е. в виде формулы на заданном интервале. Традиционный подход определения интерпо- ляционного многочлена в рассматриваемом слу- чае требует вычисления значений этой функции в узлах интервала с последующим применением к полученному вектору значений алгоритма ин- терполирования, описанного выше. Понятно, что эти значения функции требуются только для получения интерполяционного многочлена. Воз- никает вопрос, а нельзя ли обойтись без них. Современные микроэлектронные аппаратурные возможности позволяют это сделать. Дело в том, что обычно формульное задание функции, как правило, представляется суперпозицией извест- ных математических функций, соединенных между собой операциями известной алгебры Коши, т.е. с помощью операций сложения, вы- читания, умножения и деления функций. Ко- личество всевозможных математических функ- ций, как правило, составляет не более сотни. В практических расчетах оно обычно ограничива- ется элементарными математическими функци- ями, которых – не более двух десятков. Это об- стоятельство позволяет в постоянной памяти ма- шины хранить интерполяционные многочлены, рассматриваемых стандартных математических функций, в узлах интервалов, интересующих пользователя. Тогда для нахождения интерполя- ционного многочлена рассматриваемой функции необходимо в ее формулу подставить вместо ма- тематических функций соответствующие им ин- терполяционные многочлены и выполнить опе- рации алгебры полиномов над ними, заданные в этой формуле. Таким образом, полученный многочлен будет соответствовать интерполяци- онному многочлену рассматриваемой функции. Программа, реализующая этот информаци- онный процесс в МА ЭВМ, аналогична обыч- ной программе, предназначенной для решения задачи на существующих ЭВМ. Только в ней, вместо данных чисел, являются полиномы, а вместо обычных операций, соответствующих арифметическим действиям, выступают опера- ции над полиномами. Окончание на стр. 57 УСиМ, 2010, № 4 57 Окончание статьи В.А. Вышинского и др. Если требуется знание функции в узлах ин- тервала ее задания, то вектор коэффициентов интерполяционного многочлена следует ум- ножить на матрицу Вандермонда, соответству- ющую данному интервалу. Заключение. Предложенные алгоритмы реа- лизации процедуры интерполирования хорошо адаптированы к МА ЭВМ, т.е. они максималь- но используют информационные «емкости» опе- рандов и мощности машинных команд. Таким образом, в распоряжение машинной алгебры полиномов представлены алгоритмы, «опи- рающиеся» не на операции алгебры действи- тельных чисел, а на операции алгебры поли- номов, что приводит к существенному упро- щению их реализации в микроэлектронном ис- полнении. 1. Вишинський В.А. Електронні обчислювальні маши- ни на основі алгебр з регулярним матричним пред- ставленням: Автореф. дис. д-ра техн. наук. – Київ, 2003. – 31 с. 2. Вышинский В.А. Об одном решении фундаменталь- ной проблемы современного развития вычислитель- ной техники // УСиМ. – 2003. – № 4. – С. 81–91 Поступила 22.02.2010 Тел. для справок: (044) 526-3598 (Киев) © В.А. Вышинский, А.Ю. Кононенко, А.В. Слепец, А.В. Вышинская, 2010  Внимание ! Оформление подписки для желающих опубликовать статьи в нашем журнале обязательно. В розничную продажу журнал не поступает. Подписной индекс 71008 7.pdf 57.pdf << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b00740065007200e90020007300650020006e0065006a006c00e90070006500200068006f006400ed002000700072006f0020006b00760061006c00690074006e00ed0020007400690073006b00200061002000700072006500700072006500730073002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b006900200073006f0020006e0061006a007000720069006d00650072006e0065006a016100690020007a00610020006b0061006b006f0076006f00730074006e006f0020007400690073006b0061006e006a00650020007300200070007200690070007200610076006f0020006e00610020007400690073006b002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e> /SVE <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> /TUR <FEFF005900fc006b00730065006b0020006b0061006c006900740065006c0069002000f6006e002000790061007a006401310072006d00610020006200610073006b013100730131006e006100200065006e0020006900790069002000750079006100620069006c006500630065006b002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Алгоритмы интерполирования функций в матрично-алгебраической ЭВМ

Institution

Ähnliche Einträge