Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень

Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано устройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Опанасенко, В.М., Хіміч, О.М., Лісовий, О.М., Чистякова, Т.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian Russian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2011
Назва видання:	Управляющие системы и машины
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82905
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень / В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр., рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-82905
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-829052018-04-07T23:12:22Z Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В. Новые методы в информатике Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано устройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений. Hardware and software means for solving the tasks with the increased precision are considered. A computing device with support of 128-bit arithmetic’s with a floating point is developed which makes it possible to solve ill-conditioned systems of linear algebraic equations. Розглянуто апаратні та програмні засоби для розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень. Розроблено пристрій з підтримкою 128-бітної арифметики з плаваючою точкою, який дає можливість розв’язувати погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 2011 Article Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень / В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр., рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82905 004.31 uk ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian Russian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В. Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень Управляющие системы и машины
description	Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано устройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений.
format	Article
author	Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В.
author_facet	Опанасенко, В.М. Хіміч, О.М. Лісовий, О.М. Чистякова, Т.В.
author_sort	Опанасенко, В.М.
title	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_short	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_full	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_fullStr	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_full_unstemmed	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
title_sort	розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2011
topic_facet	Новые методы в информатике
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82905
citation_txt	Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень / В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр., рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT opanasenkovm rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ AT hímíčom rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ AT lísovijom rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ AT čistâkovatv rozvâzannâzadačzpídviŝenoûtočnístûobčislenʹ
first_indexed	2025-07-06T09:34:30Z
last_indexed	2025-07-06T09:34:30Z
_version_	1836889638841614336
fulltext	УСиМ, 2011, № 1 9 Новые методы в информатике УДК 004.31 В.М. Опанасенко, О.М. Хіміч, О.М. Лісовий, Т.В. Чистякова Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень Рассмотрены аппаратные и программные средства для решения задач с повышенной точностью вычислений. Разработано уст- ройство с поддержкой 128-битной арифметики с плавающей точкой, позволяющее решать плохо обусловленные системы ли- нейных алгебраических уравнений. Hardware and software means for solving the tasks with the increased precision are considered. A computing device with support of 128-bit arithmetic’s with a floating point is developed which makes it possible to solve ill-conditioned systems of linear algebraic equations. Розглянуто апаратні та програмні засоби для розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень. Розроблено пристрій з під- тримкою 128-бітної арифметики з плаваючою точкою, який дає можливість розв’язувати погано обумовлені системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Актуальність використання засобів з під- вищеною точністю обчислень Однією із задач, яка набула актуальності з середини минулого століття є забезпечення достатньої точності обчислень на комп’ютері. Розв’язанням цієї задачі було збільшення роз- рядності даних. В процесорах серії Ельбрус було закладено підтримку 128-бітної арифметики. У компанії IBM дослідження підтримки арифметики з під- вищеною точністю здійснювались із 1969 року і були впроваджені у системах серії IBM S/390 VM. В 90-ті роки процесори стали масовим продуктом, і найбільшого розвитку набули ком- п’ютери загального призначення (персональ- ні), в яких акцент робився не на обчислення високої точності, що й спричинило зупинку роз- витку 128-бітної арифметики. Оптимальною було обрано розрядність 80 біт, що сьогодні маємо в переважній більшості процесорів, у яких розрядність співпроцесора з плаваючою точкою дорівнює 80 біт. Це можна пояснити тим, що ринок насамперед орієнтований на бі- знес-процеси, мультимедійні застосування, де такої розрядності обчислень достатньо. Нині у світі апаратну підтримку 128-бітних обчислень мають лише декілька компаній, та- кі, як IBM на базі операційної системи AIX, Hewlett-Packard на базі операційної системи HP- UX, AMD-64 сімейства 10h (процесори Phenom з мікропрограмною підтримкою) [1], Sun Micro- systems процесорна архітектура SPARC-V9 [2]. Деякі операційні системи, серед яких Solaris, IBM мають програмно реалізовану підтримку 128-бітної арифметики з плаваючою точкою. Сьогодні розрядності бракує як на робочих станціях науковців, так і на більшості супер- комп’ютерів із кластерною архітектурою, які використовують стандартні масові процесори. Для задач, які потребують обчислення з під- вищеною точністю (128 біт та більше), відомі задачі аеродинаміки, розрахунки міцності, про- ектування конструкцій в авіабудуванні, оброб- ка результатів тощо. Розв’язання задач з оцінкою вірогідності має декілька шляхів, які можна розділити на апа- ратні та програмні. До апаратних належать: комп’ютерні засоби на базі процесорів з під- тримкою FPU 128 біт; комп’ютерні засоби на базі процесорів IBM POWER6 з підтримкою де- сяткового FPU 128 біт (DFP); комп’ютерні за- соби, які використовують арифметичні пристрої з розрядністю обчислень 128 біт або більше і під’єднуються до комп’ютера в одну з станда- ртних шин (PCI, PCI-e та ін.), такі пристрої можуть бути розроблені на реконфігуровних платах на базі програмовних логічних інтеграль- них схем (ПЛІС). До програмних належать: ви- користання сучасних пакетів математичних об- числень, які підтримують символьну арифме- тику (Maple, Matlab та ін.); використання в програмуванні бібліотек, які дозволяють про- грамно забезпечити обчислення з довільно за- даними форматами (бібліотеки MPFR, GMP [3]). 10 УСиМ, 2011, № 1 Кожний з шляхів має свої переваги й недо- ліки. Зазначимо деякі вагомі нюанси: висока вартість серверів IBM POWER6; суттєві накла- дні витрати для програмних підходів. Вагомою перевагою використання пристроїв на рекон- фігуровних платах на базі ПЛІС є можливість реалізації як двійкової, так і десяткової ариф- метики й інших нестандартних підходів, у то- му числі з використанням нестандартних фор- матів, при цьому розрядність даних може бути 128 біт і більше. Розв’язання систем лінійних рівнянь з підвищеною точністю Як випливає з [4], можливість отримання достовірного розв’язку (псевдорозв’язку) зада- чі залежить від узгодження математичних мо- жливостей комп’ютерів (розрядність, архітек- тура) з математичними властивостями комп’ю- терної задачі (обумовленість, коректність). Отже, уточнити комп’ютерне розв’язання за- дачі, знаючи обумовленість матриці системи, очевидно можна, розв’язуючи систему з під- вищеною розрядністю. В цьому випадку є прин- ципова можливість досягти будь-якої заданої точності комп’ютерного розв’язку. Для прогнозу довжини мантиси машинного слова, що забезпечує задану точність для сумі- сних систем можна користуватися наступним емпіричним правилом, яке випливає з оцінок [5]: кількість правильних десяткових значущих цифр в комп’ютерному розв’язанні приблизно дорівнює µ – α, де µ – кількість цифр в десят- ковому представленні мантиси числа з плава- ючою точкою, α – десятковий порядок числа обумовленості матриці. Прикладом є задача розв’язання погано обу- мовлених СЛАР (сис- тема лінійних алгеб- раїчних рівнянь), ос- кільки, аналізуючи її число обумовленості, можна орієнтуватися, який формат з плава- ючою точкою (ФПТ) необхідно використовувати для її розв’язан- ня [4]. Розв’язання СЛАР на комп’ютерній техніці виконується за допомогою прямих та ітерацій- них методів [4]. Прямі методи (Гауса, LU-роз- винення, Холецького та ін.) дають можливість при обчисленні на ідеальному комп’ютері (об- числення та представлення даних без похибок) отримати розв’язок задачі за скінчене число арифметичних операцій. Ітераційні методи (ме- тод простої ітерації, Якобі, Зейделя та ін.) або методи послідовних наближень дають можли- вість отримати наближений розв’язок, що збі- гається з розв’язанням задачі за необмеженої кількості ітерацій. Одним з важливих факторів вибору методу розв’язання конкретної задачі є обчислювальна ефективність методу. Оскільки операція дода- вання виконується набагато швидше операції множення та ділення, обчислювальна ефектив- ність методу залежатиме від кількості операцій множення та ділення. Метод Гауса – один з ефективних методів розв’язання СЛАР з не виродженими матри- цями загального виду. Для успішного викорис- тання алгоритму необхідно, щоб вхідні коефі- цієнти були відмінні від нуля, крім того, бли- зькість їх до нуля може приводити до великої похибки розв’язків. Кількість арифметичних дій прямого ходу складає ≈ 2/3n3, зворотного ≈ n2. Постановка задачі Як приклад розглянемо СЛАР (1) з числом обумовленості 3,55868727582796E16. Велике число обумовленості вказує на те, що система є машинно вироджена на ФПТ (Single, Double, Extended), тому для отримання достовірного роз- в’язку не може використовуватися класична комп’ютерна арифметика з плаваючою точкою. Програмні підходи розв’язання СЛАР Сьогодні як засоби символьного розв’язу- вання прикладних задач використовуються па- 0,1348531574394464 0,1878970588235294 0,1909117647058824 0,1779264705882353 0,1878970588235294 0,262 0,265 0,247 0,1909117647058824 0,265 0,281 0,266 0,1779264705882353 0,247 0,266 0,255 A             (1) 0,3516 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559 0,4887 -4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690 , 0,5105 -1,665 0,4818 E E b x                . 5405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572 E E              УСиМ, 2011, № 1 11 кети Maple, MatLab, MathCad та ін. Дані про- грамні продукти мають широкі можливості для форматування математичних текстів, прове- дення різних розрахунків, експериментів, сим- вольних обчислень і т.ін. Проте не можна не відзначити, що ці середовища є замкнутими, тобто немає можливостей використання доку- ментів із цих середовищ у традиційних систе- мах програмування таких, як Delphi, С++, Basic. Використання пакету Maple. Особли- вістю використання символьної арифметики є відсутність похибки введення вхідних кое- фіцієнтів в систему, окрім тих випадків, коли користувач обмежує їх самовільно. Однак по- хибка обчислень наявна, і для її зменшення потрібно збільшувати кількість десяткових цифр оброблювальних даних: для Maple це параметр Digits. Для розв’язання СЛАР (1) розглянемо зале- жність точності обчислень від параметра Digits (табл. 1). Т а б л и ц я 1. Похибки обчислення СЛАР (1) за допомогою пакету Maple Digits Середньоквадратична похибка, порівняння з еталоном 16 101 20 10–4 30 10–13 50 10–33 70 10–53 Аналіз середньоквадратичної похибки роз- в’язань для Digits 16 та Digits 20 взагалі не га- рантує результату, що є наслідком поганої обу- мовленості матриці СЛАР, яка розв’язується. Для Digits 30 гарантовано отримуємо 13 десят- кових цифр, використання Digits 70 гарантує 53 десяткових цифри. Переваги використання символьної арифме- тики виявляються в можливості виконання над- звичайно точних обчислень. Одним, проте ва- гомим, недоліком символьної арифметики є час, затрачений на розв’язування задачі відносно кла- сичної комп’ютерної арифметики значно збіль- шується. Використання бібліотеки MPFR. Ця біблі- отека заслуговує на особливу увагу, оскільки про- граміст, який користується нею, створює влас- ний формат з плаваючою точкою, вказуючи роз- рядність порядку числа та його мантису. Отже можна створити формати, не описані в сучас- них стандартах, проте які виконують класичні арифметичні операції з плаваючою точкою. Розглянемо залежність точності обчислень від ширини мантиси (табл. 2). Коректні десят- кові знаки в розв’язках виділені напівжирним шрифтом. Відзначимо, що збільшуючи ширину манти- си вдвічі, кількість коректних десяткових зна- ків розв’язків збільшується вдвічі майже ліній- но. Ширина мантиси 512 біт – далеко не межа, є можливість використовувати 1024, 2048 і бі- льше. Наприклад, використовуючи ширину ман- тиси 40980 біт, кількість коректних десяткових знаків розв’язків дорівнюватиме 12320. Звичай- но, час, затрачений для таких обчислень відно- сно класичної комп’ютерної арифметики, зна- чно збільшується. Т а б л и ц я 2. Результати та похибки розв’язання СЛАР (1) за допомогою MPFR Результат Похибка Параметр precision (ширина мантиси) 128 біт Х1 = 6,6621621621616067387981784272624219630009705819599066713848634080363808× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069522349954529161335077159939636629536717504773690734× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940471239922038446691827554383941547341135835935688× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725751082504656422558394110540814752187237235414585256× 1012 10–22 Параметр precision (ширина мантиси) 256 біт Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021001531195230× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486970219828036× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588613721717134× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299273973727147× 1012 10–62 Параметр precision (ширина мантиси) 512 біт Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572× 1012 10–137 12 УСиМ, 2011, № 1 Окрім розглянутих програмних підходів, є можливість використовувати емулятори DFPU, які дозволяють з урахуванням формату даних, відмінного від двійкового, та більш складних обчислень отримувати точніші результати від- носно FPU такої ж розрядності. Емулятор Deci- mal Floating-Point Math Library фірми Intel [6] підтримує формати decimal32, decimal64, та decimal128 (32, 64, 128 бітні варіанти). Перевагою десяткового ФПТ відносно двій- кового є більший діапазон представлення чи- сел, тобто деяка множина задач, яка під час об- числень на двійкових ФПТ приводила до Nan- результату, на десяткових ФПТ може бути роз- в’язана. Іншою перевагою є можливість вико- ристовувати арифметику в десятковому фор- маті на будь-якому персональному комп’ютері платформ х86, х64. Апаратна реалізація для розв’язання СЛАР на базі ПЛІС Для розв’язання СЛАР методом Гауса роз- роблено пристрої (рис. 1) для наступних фор- матів даних: Single, Double, Extended, Quadruple [6], де БК – блок керування, ПЗП – програмо- ваний запам’ятовуючий пристрій, ОЗП – опе- ративно-запам’ятовуючий пристрій, БОД – блок обробки даних [7], PCI-e – шина PCI-е, CE – chip enable (сигнал початку роботи). P C I- e P C I- e A B A B СЕ Рис. 1. Загальна блок-схема пристрою Для кожного з форматів даних всі складові частини схеми окрім ПЗП, повинні мати відпо- відну розрядність: для Quadruple – 128 розряд- ні, для Double – 64 розрядні і т.д. ПЗП – це па- м'ять, в якій зберігається запрограмований ме- тод Гауса, однакова для всіх форматів і про- грамується на етапі формування ПЗП за допо- могою Core Generator. Для розв’язання СЛАР четвертого порядку достатній об’єм 256 слів по 20 біт. Формат команд, які зберігаються в ПЗП, наведено на рис. 2. Для розв’язання сис- тем більших порядків, окрім збільшення об’є- му ПЗП, буде збільшуватися ширина команди, оскільки збільшиться об’єм ОЗП, а отже і поля для їх адресації. Блок ОЗП – пам'ять, яка є бу- фером при пересиланні даних з комп’ютера в пристрій та навпаки. БК відповідає за переми- кання ОЗП з роботи в зовнішньому режимі на роботу у внутрішньому режимі та навпаки, а також за керування роботою всіх блоків при- строю. Рис. 2. Формат команди Як приклад, використовується моделююча плата XC4VFX100 фірми PLDA з ПЛІС Virtex 4 FX100-ff11, яка під’єднується до комп’ютера через шину PCI-е. Об’єм ОЗП дорівнює 256 слів, а його шири- на відповідає ширині формату даних. Блоки ОЗП А та В використовуються для зберігання початкових коефіцієнтів, результатів, та про- міжних даних під час обчислень. БОД має три необхідні для методу Гауса арифметичні вузли (додавання–віднімання, множення, ділення) відповідної розрядності. Функціонування БК складається з трьох етапів:  запис вхідних коефіцієнтів з ОЗП в ОЗП А та ОЗП В;  виконання програми, що описує метод Га- уса;  запис результату з ОЗП В, в ОЗП; форму- ється сигнал, що символізує закінчення вико- нання мікропрограми, ОЗП перевмикається на роботу з контролером PCI-e. Функціонування пристрою також склада- ється з трьох етапів: УСиМ, 2011, № 1 13  запис коефіцієнтів СЛАР в ОЗП по шині PCI-e;  в комірку ОЗП за адресою 160 записується значення «F», що слугує сигналом початку ро- боти ПК, ОЗП перевмикається на роботу з ОЗП А та ОЗП В;  зчитування результатів з ОЗП по шині PCI-e. Тестування пристроїв відбувається на етапах розробки окремих блоків, а також пристрою в цілому. Для тестування використовується сис- тема моделювання ModelSim XE 6,0d [8], яка дозволяє виконати верифікацію на всіх етапах проектування. Отримані апаратно-часові харак- теристики пристроїв наведено у табл. 3. Т а б л и ц я 3. Апаратно-часові характеристики пристроїв на Virtex 4 FX100-ff11 Формати даних Використані ресурси Double Quadruple Кількість Slices 2335 (4%) 5007 (11%) Кількість DSP48 13 (8%) 49 (30%) Кількість RAMB16 11 (4%) 13 (4%) Період Clk, нс 8 64 Розв’язана СЛАР (1). Після проведення об- числень з відповідними коефіцієнтами A та b пристроєм, отримуємо наступні результати (табл. 4). Зауважимо, що обробка даних з викорис- танням форматів Single та Double не дає корек- тних розв’язків, а Extended гарантує лише дві перші цифри розв’язків. Розв’язання на Quad- ruple гарантує 17 десяткових цифр (ширина ман- тиси в форматі Quadruple 113 біт). Отже для розв’язання СЛАР (1) є наступні шляхи обчислень: використання символьної арифметики з заданою великою точністю об- числень (більше 60 десяткових знаків), вико- ристання комп’ютерних систем з апаратною підтримкою (FPU, DFPU 128 біт), використан- ня пристроїв на реконфігуровних платах та про- грамних емуляторів широкоформатних обчис- лень з плаваючою точкою (128 біт та більше). Вплив типу округлення в арифметичних компонентах на кінцевий результат Тип округлення в арифметичних компонен- тах впливає на точність результатів. В арифметичних компонентах використову- ється два типи округлення:  якщо старший біт частини вектору, що пе- ревищує розрядну сітку, має значення «1», то виконується запис «1» в молодший біт мантиси;  якщо старший біт частини вектору, що пе- ревищує розрядну сітку, має значення «1», то виконується додавання «1» до мантиси. В табл. 5 наведено значення розв’язків з рі- зними типами округлення. Висновки. При розв’язанні СЛАР класич- ним комп’ютерним способом отримані розв’яз- ки не завжди зберігають машинну суть, тому коректне розв’язання СЛАР може бути вико- нане за допомогою програмно-алгоритмічних та апаратних засобів. Для розв’язання задач з підвищеною точніс- тю розроблено пристрої на базі ПЛІС. Апро- бація цього підходу показала, що збільшення Т а б л и ц я 4. Результати розв’язку СЛАР апаратним шляхом Формат Пристрій, що використовує розроблені арифметичні блоки Пристрій, що використовує IP-Core фірми Xilinx Si ng le x1=–64153,664062500000000000 x2= 38681,507812500000000000 x3= 16039,548828125000000000 x4=–9434,2568359375000000000 x1=–27856,2812500000000 x2= 16796,2792968750000 x3= 6965,29150390625000 x4=–4096,46044921875000 D ou bl e x1= 2264503194623,36000000000000000 x2=–1365362220253,90000000000000000 x3=–566125798647,227000000000000000 x4= 333015175637,347000000000000000 x1= 3343472363451,5000000 x2=–2015917160209,6700000 x3=–835868090854,30700000 x4= 491687112298,69300000 E xt en de d x1= 6655584185991,900460000000000000 x2=–4012925759200,165400000000000000 x3=–1663896046497,543230000000000000 x4= 978762380293,5580170000000000000 x1= 6657982426662,6836300 x2=–4014371757251,6669800 x3=–1664495606665,2391300 x4= 979115062745,14385500 Q ua dr up le x1=6662162162161,6067166007879779302717040186 x2=–4016891891890,723493568514283355878205310 x3=–1665540540539,970046344699511658272177594 x4=979729729730,27970399318870014412337350964 Відсутні арифметичні блоки 14 УСиМ, 2011, № 1 двійкової розрядності може забезпечити досто- вірність розв’язку. В арифметичних компо- нентах доцільно використовувати округлення другого типу. Універсальність розробленої схеми пристро- їв дозволить використовувати її для розв’язан- ня задач більшої розмірності та більш широких форматів даних, які можуть бути стандартизо- вані або довільні. Отож для розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень доцільно використовувати один з розглянутих засобів. Вибір засобу зале- жатиме від поставленої задачі та вимог до точ- ності результату. 1. Family 10h AMD Phenom Processor Product Data Sheet. – http://www.amd.com. 2. http://www.sun.com 3. http://www.mpfr.org 4. Химич А.Н., Молчанов И.Н., Попов А.В. Параллель- ные алгоритмы решения задач вычислительной ма- тематики – К.: Наук. думка, 2008. – 248 с. 5. Николаевская Е.А., Чистякова Т.В. Программно-ал- горитмические методы повышения точности ком- пьютерных решений // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 6. – С. 172–176. 6. IEEE 754R Decimal Floating-Point Arithmetic. – http:// www.intel.com/technology/itj/2007/ v11i1/s2-decimal/1- sidebar.htm 7. Опанасенко В.М., Лісовий О.М. Реалізація пробле- мно-орієнтованих цифрових пристроїв на криста- лах FPGA // Радіоелектронні і комп’ютерні систе- ми. – 2009. – № 5. – С. 176–183. 8. ModelSim Xilinx. User’s Manual. Version 6.0. – http:// www.xilinx.com Поступила 26.12.2010 Тел. для справок: (044) 530-7091, 424-8257, 402-9341, 503-7677 (Киев) E-mail: vlopanas@ukr.net, opanasenko@incyb.kiev.ua, dept150@insyg.kiev.ua, Lan-Sasha@yandex.ru © В.Н. Опанасенко, А.Н. Химич, А.Н. Лисовый, Т.В. Чистякова, 2011  В.Н. Опанасенко, А.Н. Химич, А.Н. Лисовый, Т.В. Чистякова Решение задач с повышенной точностью вычислений Актуальность использования средств с повышен- ной точностью вычислений Одна из задач, ставшая актуальной с середины про- шлого столетия – обеспечение достаточной точности вы- числений на компьютере. Результат решения этой зада- чи – увеличение разрядности обрабатываемых данных. В процессорах серии Эльбрус была заложена под- держка 128-битной арифметики. В компании IBM ис- следования поддержки арифметики с повышенной точ- ностью велись с 1969 года и были внедрены в системах серии IBM S/390 VM. В 90-х годах процессоры стали массовым продуктом и самое широкое развитие начали приобретать компьютеры общего назначения (персо- нальные), в которых не акцентируется на вычислениях с высокой точностью, что и послужило причиной оста- новки развития 128-битной арифметики. Оптимальной была определена разрядность сопроцессора с плаваю- щей точкой 80 бит, что и наблюдается в подавляющем большинстве процессоров в настоящее время. Это мож- но объяснить тем, что рынок прежде всего ориентиро- ван на бизнес-процессы и мультимедийные приложения, где такой разрядности вычислений вполне достаточно. Сегодня аппаратную поддержку 128-битных вычисле- ний имеют лишь несколько компаний, таких, как IBM – на базе операционной системы AIX, Hewlett-Packard – на базе операционной системы HP-UX, AMD-64 семейства 10h (процессоры Phenom с микропрограммной под- держкой) [1], Sun Microsystems – процессорная архитек- тура SPARC-V9 [2]. Некоторые операционные системы, среди которых Solaris, IBM, имеют программно-реализо- Т а б л и ц я 5. Вплив типу округлення в арифметичних компонентах Формат Округлення першого типу Округлення другого типу Q ua dr up le x1= 402983C9F3C87C66D471DD94C71D8BDC (6662162162161,60671660078797793027170401) x2= C028D3A0B508595C9B6FEFD14DA782CC (–4016891891890,7234935685142833558782053) x3= C02783C9F3C87BF854F50E16B806BFB4 (–1665540540539,9700463446995116582721775) x4= 4026C838E291848F355C9E9CB5B70D1A (979729729730,279703993188700144123373509) x1= 402983C9F3C87C66D4894D6545FEACA7 (6662162162161,60672218855060570521637962) x2= C028D3A0B508595C9B8C32E3501156C2 (–4016891891890,7234969376064559848065667) x3= C02783C9F3C87BF8550C7DE736E7E52D (–1665540540539,9700477416401686022620328) x4= 4026C838E291848F35783137A55685D6 (979729729730,27970481491849834650706856) УСиМ, 2011, № 1 15 ванную поддержку 128-битной арифметики с плаваю- щей точкой. В настоящее время недостаток точности ощущается как на рабочих станциях научных работников, так и на большинстве суперкомпьютеров с кластерной архитек- турой, которые используют стандартные процессоры об- щего назначения. Среди задач, требующих вычислений с повышенной точностью (128 бит и больше), известны задачи аэродинамики, расчеты прочности, проектирова- ние конструкций в авиастроении, обработка результатов и др. Проблема решения задач с оценкой достоверности имеет несколько путей решения, которые можно разде- лить на аппаратные и программные. К аппаратным от- носятся: компьютерные средства на базе процессоров с поддержкой FPU 128 бит; компьютерные средства на базе процессоров IBM POWER6 с поддержкой десятичного FPU 128 бит (DFP); компьютерные средства, использу- ющие арифметические устройства с разрядностью вы- числений 128 бит или больше и подключаются к ком- пьютеру через одну из стандартных шин (PCI, PCI-e или др.), такие устройства могут быть разработаны на осно- ве реконфигурируемых плат на базе программируемых логических интегральных схем (ПЛИС). К программ- ным принадлежат: пакеты математических вычислений, поддерживающие символьную арифметику (Maple, Matlab и др.); библиотеки, позволяющие программно обеспе- чить вычисления с произвольно заданными форматами (библиотеки MPFR, GMP [3] и др.). Каждый подход имеет свои преимущества и недос- татки. Отметим некоторые весомые нюансы: высокая сто- имость серверов IBM POWER6; существенные наклад- ные затраты для программных подходов; преимущество использования устройств на реконфигурируемых платах на базе ПЛИС состоит в возможности реализации как двоичной, так и десятичной арифметики и других не- стандартных подходов, в том числе с использованием нестандартных форматов, при этом разрядность данных может быть 128 бит и больше. Решение систем линейных алгебраических урав- нений с повышенной точностью Как следует из [4], возможность получения досто- верного решения задачи зависит от согласования мате- матических возможностей компьютеров (разрядность, архитектура) с математическими свойствами компью- терной задачи (обусловленность, корректность). Таким образом, уточнить компьютерное решение за- дачи, зная обусловленность матрицы системы, очевид- но, можно путем решения системы с повышенной раз- рядностью. В этом случае появляется принципиальная возможность достичь любой заданной точности компь- ютерного решения. Для прогноза длины мантиссы машинного слова, обес- печивающего заданную точность для совместных сис- тем, можно использовать следующее эмпирическое пра- вило, которое следует из оценок [4]: количество коррект- ных десятичных значащих цифр в компьютерном реше- нии приблизительно равняется  – , где  – количест- во цифр в десятичном представлении мантиссы числа с плавающей точкой,  – десятичный порядок числа обу- словленности матрицы. Рассмотрим задачу решения плохо обусловленной СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений), анализируя ее число обусловленности; при этом можно ориентироваться на выбор формата с плавающей точкой (ФПТ), который необходимо использовать для ее реше- ния [5]. Решение СЛАУ на компьютерной технике выполня- ется с помощью прямых и итерационных методов [4]. Прямые методы (Гаусса, Lu-разложения, Халецкого и др.) дают возможность, при вычислении на идеальном ком- пьютере (вычисление и представление данных без по- грешностей), получить решение задачи за конечное чис- ло арифметических операций. Итерационные методы (ме- тод простой итерации, Якобе, Зейделя и др.) или методы последовательных приближений дают возможность по- лучить приближенное решение, совпадающее с решени- ем задачи при неограниченном количестве итераций. Одним из важных факторов выбора того или другого метода при решении конкретной задачи есть вычислитель- ная эффективность метода. Поскольку операция сложения выполняется гораздо быстрее операций умножения и деления, вычислительная эффективность метода будет зависеть от количества операций умножения и деления. Метод Гаусса – один из эффективных методов реше- ния СЛАУ с невырожденными матрицами общего вида. Для успешного использования алгоритма необходимо, чтобы входные коэффициенты были отличны от нуля, кроме того, близость их к нулю может приводить к боль- шой погрешности решений. Количество арифметичес- ких действий прямого хода составляет (2/3)n3, обрат- ного  n2. Постановка задачи В качестве примера, рассмотрим СЛАУ (1) с числом обусловленности 3,55868727582796E16. Большое число обусловленности указывает на то, что система есть ма- шинно-выродженной на ФПТ (Single, Double, Extended), поэтому для получения достоверного решения не может быть использована классическая компьютерная арифмети- ка с плавающей точкой. 0,1348531574394464 0,1878970588235294 0,1909117647058824 0,1779264705882353 0,1878970588235294 0,262 0,265 0,247 0,1909117647058824 0,265 0,281 0,266 0,1779264705882353 0,247 0,266 0,255 A             (1) 0,3516 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559 0,4887 -4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690 , 0,5105 -1,665 0,4818 Е Е b x                . 5405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572 Е Е              Как эталон решения системы (1) будем использовать числовое решение системы, полученное с использова- нием мантиссы шириной 512 бит. 16 УСиМ, 2011, № 1 Программные подходы решения СЛАУ В настоящее время в качестве средства символьного решения прикладных задач используются пакеты Maple, Matlab, Mathcad и др. Эти программные продукты име- ют большие возможности для форматирования матема- тических текстов, различных расчетов, экспериментов, символьных вычислений и др. Однако нельзя не отме- тить, что эти средства – замкнутые, т.е. нет возможности использования их совместно с традиционными система- ми программирования, такими, как Delphi, С++, Basic. Использование пакета Maple. Особенность исполь- зования символьной арифметики – отсутствие погреш- ности введения входных коэффициентов в систему, кро- ме тех случаев, когда пользователь ограничивает их при- нудительно. Однако погрешность вычислений наблюда- ется, и для ее снижения необходимо увеличивать коли- чество десятичных цифр в обрабатываемых данных: для Maple это параметр Digits. Для решения СЛАУ (1) рассмотрим зависимость точности вычислений от параметра Digits (табл. 1). Т а б л и ц а 1. Погрешности вычисления СЛАУ (1) с помо- щью пакету Maple Digits Среднеквадратичная погрешность, сравнение с эталоном 16 101 20 10–4 30 10–13 50 10–33 70 10–53 При анализе среднеквадратичной погрешности ре- шений при Digits 16 и Digits 20 результат некорректен – это следствие плохой обусловленности матрицы решае- мой СЛАУ. Для Digits 30 гарантированно получаем 13 десятичных цифр, использование Digits 70 гарантирует уже 53 десятичных цифры. Преимущество использования символьной арифметики проявляется в возможности выполнения чрезвычайно точных вычислений. Существенный недостаток символь- ной арифметики состоит в большом времени решения задачи, которое по отношению к классической компью- терной арифметике значительно увеличено. Использование библиотеки MPFR. Данная библиоте- ка заслуживает особого внимания, так как программист, использующий ее, создает собственный формат с плава- ющей точкой, указывая разрядность порядка числа и его мантиссы. Таким образом, можно создавать форматы, не описанные в современных стандартах, однако выпол- нять классические арифметические операции с плаваю- щей точкой. Рассмотрим зависимость точности вычислений от ши- рины мантиссы (табл. 2). Корректные десятичные знаки в решениях выделены полужирным шрифтом. Отметим, что, увеличивая ширину мантиссы вдвое, ко- личество корректных десятичных знаков решений уве- личивается вдвое почти линейно. Ширина мантиссы 512 бит – далеко не предел, есть возможность использовать 1024, 2048 и больше. Например, используя ширину ман- тиссы 40980 бит, количество корректных десятичных знаков решений будет равно 12320. Временные затраты для таких вычислений, по отношению к классической ком- пьютерной арифметике, значительно увеличиваются. Кроме рассмотренных программных подходов, суще- ствуют эмуляторы DFPU, позволяющие с учетом фор- мата данных, отличного от двоичного, выполнять и бо- лее сложные вычисления, получая более точные резуль- таты по отношению к FPU такой же разрядности. Эму- лятор Decimal Floating-Point Math Library фирмы Intel [6] поддерживает форматы decimal32, decimal64 и decimal128 (32, 64, 128 битные варианты соответственно) Преимуществом десятичного ФПТ по отношению к двоичному состоит в большем диапазоне представления чисел, т.е. некоторое множество задач, приводившее в процессе вычислений на двоичных ФПТ к Nan-Резуль- тату, на десятичных ФПТ может быть разрешено. Дру- гое преимущество эмуляторов DFPU – возможность использовать их на любом компьютере платформ х86, х64. Т а б л и ц а 2. Результаты и погрешности решения СЛАУ (1) с помощью MPFR Результат Погрешность параметр precision (ширина мантиссы) 128 бит Х1 = 6,6621621621616067387981784272624219630009705819599066713848634080363808× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069522349954529161335077159939636629536717504773690734× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940471239922038446691827554383941547341135835935688× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725751082504656422558394110540814752187237235414585256× 1012 10–22 параметр precision (ширина мантиссы) 256 бит Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021001531195230× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486970219828036× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588613721717134× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299273973727147× 1012 10–62 параметр precision (ширина мантиссы) 512 бит Х1 = 6,6621621621616067387980644904305721680306582395535693148021009406498559× 1012 Х2 = –4,0168918918907235069521662982454772875597817375029634690486974968172690× 1012 Х3 = –1,6655405405399700518940186397842413923540740755057489287588615690542966× 1012 Х4 = 9,7972972973027970725749406963011572355973793127221791796299285555055572× 1012 10–137 УСиМ, 2011, № 1 17 Аппаратная реализация для решения СЛАУ на базе ПЛИС Для решения СЛАУ методом Гаусса разработаны устройства (обобщенная блок-схема приведена на рис. 1) для следующих форматов данных: Single, Double, Ex- tended, Quadruple [6], где УУ – устройство управления, ПЗУ – программирующее запоминающее устройство, ОЗУ – оперативно-запоминающее устройство, БОД – блок обработки данных [7], PCI-e – шина PCI Express, CE – chip enable (сигнал начала работы). Рис. 1. Обобщенная блок-схема устройства Для каждого из форматов данных все составные ко- мпоненты схемы, кроме ПЗУ, должны иметь соответ- ствующую разрядность: для Quadruple – 128 разрядов, для Double – 64 разряда и т.д. В ПЗУ хранится запро- граммированный алгоритм решения СЛАУ методом Гаус- са. Микропрограмма, одинаковая для всех форматов, программируется на этапе формирования ПЗУ с помо- щью Core Generator. Для решения СЛАУ четвертого порядка необходим объем памяти 256 слов по 20 бит. Формат команды, которая хранится в ПЗУ, приведен на рис. 2. Для решения систем больших порядков, кроме увеличения объема ПЗУ, будет увеличиваться ширина команды, так как увеличится объем ОЗУ, а потому и поля для их адресации. Блок памяти ОЗУ есть буфером при пересылке данных из компьютера в устройство и наоборот. УУ отвечает за переключение режима работы ОЗУ (из работы во внешнем режиме на работу во внут- реннем режиме и наоборот), а также управляет работой всех блоков устройства. Рис. 2. Формат команды В качестве примера использована моделирующая плата XC4VFX100 фирмы PLDA с кристаллом ПЛИС типа Virtex 4 FX100-ff11, которая подключается к ком- пьютеру через шину PCI-е. Объем ОЗУ равен 256 словам, а его ширина соответ- ствует ширине формата данных. Блоки ОЗУ А, В ис- пользуются для хранения начальных коэффициентов, результатов и промежуточных данных при вычислении. Блок БОД имеет три необходимых для метода Гаусса арифметические ядра (сложение–вычитание, умножение, деление) соответствующей разрядности. Функциониро- вание УУ включает в себя три этапа:  запись входных коэффициентов из ОЗУ в ОЗУ А и ОЗУ В;  выполнение микропрограммы, описывающей ме- тод Гаусса;  запись результата из ОЗУ В в ОЗУ; формируется сигнал, символизирующий окончание выполнения мик- ропрограммы, ОЗУ переключается на работу с контрол- лером PCI-e. Функционирование устройства состоит также из трех этапов:  запись коэффициентов СЛАУ в ОЗУ по шине PCI-e;  в ячейку ОЗУ по адресу 160 записываются значе- ния F, что служит сигналом начала работы УУ, при этом ОЗУ переключается на работу из ОЗУ А и ОЗУ В;  считывание результатов из ОЗУ по шине PCI-e. Тестирование устройства происходит на этапах разра- ботки отдельных блоков, а также устройства в целом. Для тестирования используется система моделирования Modelsim XE 6,0d [8], которая позволяет выполнить ве- рификацию на всех этапах проектирования. Полученные аппаратно-временные характеристики устройства при- ведены в табл. 3. Т а б л и ц а 3. Аппаратно-временные характеристики уст- ройств на Virtex 4 FX100-ff11 Форматы данных Использованные ресурсы Double Quadruple Количество Slices 2335 (4%) 5007 (11%) Количество DSP48 13 (8%) 49 (30%) Количество RAMB16 11 (4%) 13 (4%) Период Clk, нс 8 64 Решение СЛАУ (1). После вычислений с соответ- ствующими коэффициентами A и b, получим следую- щие результаты (табл. 4). Отметим, что обработка данных, использующая фор- маты Single и Double не дает корректных решений, а Extended гарантирует только две первые цифры реше- ний. Решение на Quadruple гарантирует 17 десятичных цифр (ширина мантиссы в формате Quadruple 113 бит). Итак, для решения СЛАУ (1) имеются следующие пути: использование символьной арифметики с заданной большой точностью вычислений (больше 60 десятичных знаков); использование компьютерных систем с аппа- ратной поддержкой (FPU, DFPU 128 бит); использова- ние устройств на основе реконфигурированных плат и 18 УСиМ, 2011, № 1 программных эмуляторов широкоформатных вычисле- ний с плавающей точкой (128 бит и больше). Влияние типа округления в арифметических ком- понентах на конечный результат Тип округления в арифметических компонентах вли- яет на точность результатов. В арифметических компонентах используется два типа округления:  если старший бит части вектора, который не по- мещается в разрядную сетку, имеет значение «1», то выполняется запись «1» в младший бит мантиссы;  если старший бит части вектора, который не по- мещается в разрядную сетку, имеет значение «1», то к мантиссе добавляется «1» младшего бита. В табл. 5 приведены значения решений СЛАУ с разными типа- ми округления. Заключение. При решении СЛАУ классическим компьютер- ным путем полученные решения не всегда сохраняют машинную суть, поэтому корректное реше- ние СЛАУ может быть получено с помощью программно-алгорит- мических и аппаратных средств. Для решения задач с повы- шенной точностью разработаны устройства на базе ПЛИС. Апро- бация этого подхода показала, что увеличение двоичной разряд- ности может обеспечить досто- верность решения СЛАУ. В арифметических компонентах целесообразно использо- вать округление второго типа. Универсальность разработанной схемы устройств по- зволит использовать ее в случае необходимости для ре- шения задач большей размерности и более широких форматов данных, которые могут быть стандартизиро- ваны или заданы произвольно. Таким образом, для решения задач с повышенной точностью вычислений целесообразно использовать одно из рассмотренных средств. Выбор средства будет зави- сеть от поставленной задачи и требований к точности результата.  Т а б л и ц а 4. Результаты решения СЛАУ аппаратным путем Фор- мат Устройство, использующее разработанные арифметические блоки Устройство, использующее IP-Core фирмы Xilinx Si ng le x1 =–64153,664062500000000000 x2 = 38681,507812500000000000 x3 = 16039,548828125000000000 x4 = –9434,2568359375000000000 x1=–27856,2812500000000 x2= 16796,2792968750000 x3= 6965,29150390625000 x4=–4096,46044921875000 D ou bl e x1 = 2264503194623,36000000000000000 x2 = –1365362220253,90000000000000000 x3 = –566125798647,227000000000000000 x4 = 333015175637,347000000000000000 x1= 3343472363451,5000000 x2=–2015917160209,6700000 x3=–835868090854,30700000 x4= 491687112298,69300000 E xt en de d x1 = 6655584185991,900460000000000000 x2 = –4012925759200,165400000000000000 x3 = –1663896046497,543230000000000000 x4= 978762380293,5580170000000000000 x1= 6657982426662,6836300 x2=–4014371757251,6669800 x3=–1664495606665,2391300 x4= 979115062745,14385500 Q ua dr up le x1 = 6662162162161,6067166007879779302717040186 x2 = –4016891891890,723493568514283355878205310 x3 = –1665540540539,970046344699511658272177594 x4 = 979729729730,27970399318870014412337350964 Отсутствуют арифметичес- кие блоки Т а б л и ц а 5. Влияние типа округления в арифметических компонентах Формат Округление первого типа Округление второго типа Q ua dr up le x1 = 402983C9F3C87C66D471DD94C71D8BDC (6662162162161,60671660078797793027170401) x2 = C028D3A0B508595C9B6FEFD14DA782CC (–4016891891890,7234935685142833558782053) x3 = C02783C9F3C87BF854F50E16B806BFB4 (–1665540540539,9700463446995116582721775) x4 = 4026C838E291848F355C9E9CB5B70D1A (979729729730,279703993188700144123373509) x1 = 402983C9F3C87C66D4894D6545FEACA7 (6662162162161,60672218855060570521637962) x2 = C028D3A0B508595C9B8C32E3501156C2 (-4016891891890,7234969376064559848065667) x3 = C02783C9F3C87BF8550C7DE736E7E52D (-1665540540539,9700477416401686022620328) x4 = 4026C838E291848F35783137A55685D6 (979729729730,27970481491849834650706856) << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003c003bf03c5002003b503af03bd03b103b9002003ba03b103c42019002003b503be03bf03c703ae03bd002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003c003c103bf002d03b503ba03c403c503c003c903c403b903ba03ad03c2002003b503c103b303b103c303af03b503c2002003c503c803b703bb03ae03c2002003c003bf03b903cc03c403b703c403b103c2002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <FEFF05D405E905EA05DE05E905D5002005D105D405D205D305E805D505EA002005D005DC05D4002005DB05D305D9002005DC05D905E605D505E8002005DE05E105DE05DB05D9002000410064006F006200650020005000440046002005D405DE05D505EA05D005DE05D905DD002005DC05D405D305E405E105EA002005E705D305DD002D05D305E405D505E1002005D005D905DB05D505EA05D905EA002E002005DE05E105DE05DB05D90020005000440046002005E905E005D505E605E805D5002005E005D905EA05E005D905DD002005DC05E405EA05D905D705D4002005D105D005DE05E605E205D505EA0020004100630072006F006200610074002005D5002D00410064006F00620065002000520065006100640065007200200035002E0030002005D505D205E805E105D005D505EA002005DE05EA05E705D305DE05D505EA002005D905D505EA05E8002E05D005DE05D905DD002005DC002D005000440046002F0058002D0033002C002005E205D905D905E005D5002005D105DE05D305E805D905DA002005DC05DE05E905EA05DE05E9002005E905DC0020004100630072006F006200610074002E002005DE05E105DE05DB05D90020005000440046002005E905E005D505E605E805D5002005E005D905EA05E005D905DD002005DC05E405EA05D905D705D4002005D105D005DE05E605E205D505EA0020004100630072006F006200610074002005D5002D00410064006F00620065002000520065006100640065007200200035002E0030002005D505D205E805E105D005D505EA002005DE05EA05E705D305DE05D505EA002005D905D505EA05E8002E> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020012b00700061016100690020007000690065006d01130072006f00740069002000610075006700730074006100730020006b00760061006c0069007401010074006500730020007000690072006d007300690065007300700069006501610061006e006100730020006400720075006b00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <FEFF005900fc006b00730065006b0020006b0061006c006900740065006c0069002000f6006e002000790061007a006401310072006d00610020006200610073006b013100730131006e006100200065006e0020006900790069002000750079006100620069006c006500630065006b002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Розв’язання задач з підвищеною точністю обчислень

Репозитарії

Схожі ресурси