Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах

Предложен метод восстановления поверхности между полосами, основанный на использовании ермитовой сплайн-интерлинации. На полосах считается известной информация о поверхности, полученной при помощи космической или аэрофотосъемки или радиолокатора. Полосы считаются взаимно перпендикулярными и параллел...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Литвин, О.М., Матвєєва, С.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian Russian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2011
Назва видання:	Управляющие системы и машины
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82908
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах / О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 33-40. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-82908
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-829082018-04-07T23:12:52Z Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю. Новые методы в информатике Предложен метод восстановления поверхности между полосами, основанный на использовании ермитовой сплайн-интерлинации. На полосах считается известной информация о поверхности, полученной при помощи космической или аэрофотосъемки или радиолокатора. Полосы считаются взаимно перпендикулярными и параллельными осям координат. Исследована погрешность приближения функции между полосами. A method of restoration of a surface between the strips, based on the use of a Hermite spline-interlineation is suggested. On the strips the information on a surface received by means of a space either air photography, or a radar is considered the known one. The strips are considered mutually perpendicular, parallel to axes of co-ordinates. The error of approach of the function between strips is investigated. Запропоновано метод відновлення поверхні між смугами, оснований на використанні ермітової сплайн-інтерлінації. На смугах вважається відомою інформація про поверхню, отримана за допомогою космічної або аерофотозйомки, або радіолокатора. Смуги вважаються взаємно перпендикулярними та паралельними осям координат. Досліджено похибку наближення функції між смугами. 2011 Article Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах / О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 33-40. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82908 519.6 uk ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian Russian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю. Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах Управляющие системы и машины
description	Предложен метод восстановления поверхности между полосами, основанный на использовании ермитовой сплайн-интерлинации. На полосах считается известной информация о поверхности, полученной при помощи космической или аэрофотосъемки или радиолокатора. Полосы считаются взаимно перпендикулярными и параллельными осям координат. Исследована погрешность приближения функции между полосами.
format	Article
author	Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю.
author_facet	Литвин, О.М. Матвєєва, С.Ю.
author_sort	Литвин, О.М.
title	Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах
title_short	Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах
title_full	Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах
title_fullStr	Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах
title_full_unstemmed	Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах
title_sort	метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2011
topic_facet	Новые методы в информатике
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/82908
citation_txt	Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах / О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 1. — С. 33-40. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT litvinom metodvídnovlennâpoverhnímížsmugamizadopomogoûínformacíípropoverhnûnavzaêmnoperpendikulârnihsmugah AT matvêêvasû metodvídnovlennâpoverhnímížsmugamizadopomogoûínformacíípropoverhnûnavzaêmnoperpendikulârnihsmugah
first_indexed	2025-07-06T09:34:40Z
last_indexed	2025-07-06T09:34:40Z
_version_	1836889650128486400
fulltext	УСиМ, 2011, № 1 33 УДК 519.6 О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах Предложен метод восстановления поверхности между полосами, основанный на использовании ермитовой сплайн-интерлина- ции. На полосах считается известной информация о поверхности, полученной при помощи космической или аэрофотосъемки или радиолокатора. Полосы считаются взаимно перпендикулярными и параллельными осям координат. Исследована погреш- ность приближения функции между полосами. A method of restoration of a surface between the strips, based on the use of a Hermite spline-interlineation is suggested. On the strips the information on a surface received by means of a space either air photography, or a radar is considered the known one. The strips are considered mutually perpendicular, parallel to axes of co-ordinates. The error of approach of the function between strips is investigated. Запропоновано метод відновлення поверхні між смугами, оснований на використанні ермітової сплайн-інтерлінації. На смугах вважається відомою інформація про поверхню, отримана за допомогою космічної або аерофотозйомки, або радіолокатора. Смуги вважаються взаємно перпендикулярними та паралельними осям координат. Досліджено похибку наближення функції між смугами. Вступ. У дослідженнях поверхні планети ви- користовується аерофотозйомка, а також фото- графії поверхні, отримані зі штучних супутни- ків Землі, які пролітають над Землею на різних орбітах, тобто дозволяють отримувати інформа- цію про поверхню лише на смугах, що знахо- дяться під курсом літака або під орбітою штуч- ного супутника. Не зважаючи на значні досяг- нення в опису поверхні за даними аерофото- зйомки та за допомогою радіолокаційних да- них зі штучних супутників планет, не визначе- ною залишається побудова та дослідження ма- тематичних моделей поверхонь планет у ви- гляді, що безпосередньо вносить експеримен- тальні дані у відповідні формули. Формулювання задачі Метод відновлення поверхні між паралельни- ми та перетинними смугами для випадку непе- рервних поверхонь, за умови, що інформацію про поверхню (інтенсивність освітлення, віддаль від радіолокатора до точок смуги) задано на кожній із вказаних смуг, досліджено в роботах [1–4]. В даній статті в припущенні, що досліджу- вана поверхня має неперервні частинні похідні до порядку )0(,2 NN включно, запропонова- но і досліджено загальний метод відновлення поверхні між взаємно перпендикулярними сму- гами. При цьому відновлена поверхня зберігає клас диференційованості до порядку N включ- Ключові слова: інтерлінація функцій, знімки повер- хні на смугах, похибка наближення, картографія. но у всій області дослідження сформульовані і доведені теореми про апроксимативні власти- вості введених операторів наближення. Дослі- джена оцінка похибки, що виникає за умови заміни реальної поверхні поверхнею z = u (x, y) де u (x, y) – запропоноване наближення функції f (x, y), що входить до опису реальної поверхні z = f (x, y). Основні твердження роботи Виберемо на поверхні деяку систему декар- тових координат Oxyz. Вважатимемо, що зада- но систему горизонтальних смуг  2, 1 1, [ , ] , 1,l l l nD y x l n         , а також систему вертикальних смуг   1, 1 1, , , 1,k k k nD x y k m         . Поверхня  : z = f (x, y), яку потрібно відно- вити, вважається відомою лише на вказаних смугах, тобто 1, 1 1α β ( , ) ( , ),α β , γ δ k k k k k nx f x y f x y x y        , 2, 1 1γ δ ( , ) ( , ), γ δ ,α β l l l l l my f x y f x y y x        . Тут z – віддаль від деякої площини z = 0 до  в точці (x, y). При цьому вважаємо, що 1 1α β α β , 1,k k k k k m     , 1 1γ δ γ δ , 1,l l l l l n     і 1, ( , ) 0, α або βk k kf x y x x   , 2, ( , ) 0, γ або δl l lf x y y y   . 34 УСиМ, 2011, № 1 Введемо до розгляду оператори 1 1, 1 1 1, , 1 1 ( , ) ( , ),α β ;γ δ ( , ),β α ;1 1 k k k n k k k k L f x y f x y x y E f x y x k m                і 2 2, 1 1 2, , 1 1 1 1 ( , ) ( , ), γ δ ; α β ( , ),δ γ ; α β ; 1, 1, l l l m l l l l m L f x y f x y y x E f x y y x l n                   де ( ,0) 1, , 1 1, , 0 ( ,0) 1 2, 1, ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) , N s k k k k s s s k k s E f x y f y x f y x              ( ) ( ) 1, , , 2, 1, 1 ,( ) δ ; ( )p p k s k p s k s k p s       ( ) ( ) 1, , 1 2, 1,( ) 0; (β ) 0,0 ,p p k s k k s k s q N       (0, ) 2, , 1 1, , 0 (0, ) 1 2, 1, ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) , N p l l l l p p p l l p E f x y f x y f x y              ( ) ( ) 1, , , 1, , 1( ) δ ; ( ) 0r r l p l r p l p l     ( ) ( ) 2, 1, 2, 1, 1 ,( ) 0; ( ) δ ,0 ,r r l p l l p l r p r p n         . На їх основі побудуємо оператор      1, 1, 1 1 2, 2, 1 1 1,2, , 1, 2, ( , ) ( , ), , , , 1, ( , ), , [ , ] , 1, ( , ), ( , ) , 1, , 1, k k k k n l l l l n k l k l Of x y f x y D x y k m f x y D y x l n E f x y x y D D k m l n                                1,2, , 1, , 1 2, , 1 1, , 1 2, , 1 ( , ) ( , ). k l k k l l k k l l E f x y E E E E f x y          Теорема 1. Якщо    2 ,2 1 1 1 1( , ) ( ), , β ,N N m nf x y C D D        , то )(),( , DCyxOf NN . Доведення. Відзначимо властивості опера- торів ),(1,,1 yxfE kk  :  1, ( ,0) 1 1 1 ( , ) (α , ), k p kp x p k n E f x y x f y y             1, ( ,0) 1 1 ( , ) ( , ), k p kp x p k n E f x y x f y y            та ),(1,,2 yxfE ll  :  2, (0, ) 1 1 1 ( , ) ( , ), l r lr y r l m E f x y y f x x              2, (0, ) 1 1 ( , ) ( , ), . l r lr y r l m E f x y y f x x            Оператор ),(,2,1 yxfEE lk у кожному елементі [ ,β ] [ , ]k k l l    є оператором двовимірної чо- тириточкової ермітової інтерполяції з власти- востями: 1, 2, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r k lp r p r k l E E f x y x y f r p N             1, 2, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r k lp r p r k l E E f x y x y f r p N             1, 2, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r k lp r p r k l E E f x y x y f r p N             1, 2, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r k lp r p r k l E E f x y x y f r p N             Тому оператор ),(,,2,1 yxfE lk має наступні властивості: 1,2, , ( ,0) 1 1 ( , ) ( , ), ,0 k p k lp x p k n E f x y x f y y p N              УСиМ, 2011, № 1 35 1,2, , ( ,0) 1 1 ( , ) ( , ), ,0 k p k lp x p k n E f x y x f y y p N              1,2, , (0, ) 1 1 ( , ) ( , ), ,0 l r k lr y r l m E f x y y f x x r N              1,2, , (0, ) 1 1 ( , ) ( , ), ,0 . l r k lr y r l m E f x y y f x x r N              Отже, оператор Оf (x, y) має наступні влас- тивості:  він визначений в усіх точках області D = 1 1 1 1[ , ] [ , ]m n       ;  зберігає неперервність частинних похідних по х і по у від функції ),( yxf до порядку N при переході від горизонтальних або вертикальних смуг до кожного прямокутника D1,k  D2,l. Тобто, )(),( , DCyxOf NN . Теорему 1 дове- дено. Теорема 2. У припущеннях теореми 1 для похибки наближення функції f (x, y)оператором ),( yxOf справедливе наступне представлення: 1, 2, 1,2, , 1, 2, [ ] ( , ) 0, ( , ) , [ ( , ) ( , )], ( , ) k l k l k l I O f x y x y D D f x y E f x y x y D D          де І – тотожний оператор. Доведення. Доведення цієї теореми відбу- вається у два етапи. На першому етапі слід врахувати, що на смугах D1,k або D2,l оператор Оf (x, y) збігається з функцією f (x, y). Тобто Оf (x, y) збігається також з функцією f (x, y) і на перетині цих смуг. Тому в точках вказаних смуг, а також в точках їх перетину, виконува- тиметься рівність lk DDyxyxfyxOf ,2,1),(),,(),(  . Звідси маємо, що lk DDyxyxOfyxf ,2,1),(,0),(),(  . Тобто першу частину цієї теореми доведено. Для доведення другої частини достатньо зга- дати, що в точках (x, y)  D1,k  D2,l виконуєть- ся рівність nlmkyxfEyxOf lk ,1,,1),,(),( ,,2,1  , де ),(,,2,1 yxfE lk задається у вигляді мішаної ер- мітової інтерполяції в кожному з прямокутників 1 1[ ] [δ ], 1, 1, 1, 1k k l lx y k m l n             . Тому дійсно 1,2, , 1 1 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) [ ] [ ], k l k k l l f x y Of x y E f x y x y x y               що і доводить друге твердження теореми 2. Теорему 2 доведено. Теорема 3. Для оцінки похибки наближення диференційованих функцій f (x, y) справедливе наступне співвідношення ( ) 2( 1) 2( 1) (2( 1),2( 1))1 2 4( 1)( ) 1 , (2( 1))!(2( 1))! 2 C D N N N N NC D f Of f N N             де 1 1, 1, 1 1 1 max , αk k k kk m          , 2 2, 2, 1 1 1 max , δl l l ll n           . При цьому 0 )( 21   ji DDC Off . Доведення. Як витікає з теореми 1, опера- тор Оf (x, y) в точках області D1,k  D2,l є опера- тором ермітової інтерлінації функції f (x, y) та її немішаних частинних похідних до порядку N на чотирьох лініях x = k, x = k+1 та y = l, y = l+1. Як відомо [6, с. 158, формула (3.2.6)] для наближення диференційованих функцій за до- помогою оператора Оf (x, y) існує наступне ін- тегральне представлення для залишку набли- ження 1 1 1, , 2, , 0 0 (2( 1),2( 1)) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )( ) . ( )! ( )! i j k l N N i s j p i k j l s p yx N N x y N sN p ji Rf x y x y f yx d d N p N s                           При цьому для залишку можна написати на- ступну рівність: (2( 1),2( 1)) 1( , ) ( , ) ( ) (2( 1))!(2( 1))! N N N k fRf x y x N N          36 УСиМ, 2011, № 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ,N N N k l lx y y           lk DDyx ,2,1,  , 1 1β , , 1, 1, 1, 1k k l l k m l n              . Це дозволяє отримати наступну оцінку 1, 2, 1, 2,1, 2, 1, 2, ( ) (2( 1),2( 1)) ( , )( , ) 1 1 1 1 1 1 (2( 1),2( 1)) ( ) 1 1 (2( 1))!(2( 1))! max ( , ) max ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (2( 1))!(2( 1))! ( ) ( k l k lk l k l C D D N N x y D DD D N N N N k k l l N N C D D N k k Rf N N f x x y y f N N x x                                         1 1 1, 2, 1 1 1 1 1 2 2 (2( 1),2( 1)) 2( 1) 1,( ) 2( 1) 2, 4( 1) (2( 1),2( 1)) 2( 1) 2( 1) 1 2 4( 1)( ) ) ( ) ( ) 1 (2( 1))!(2( 1))! 1 1 2 (2( 1))!(2( 1))! 1 . 2 k k l l k l N N N xl l y N N N kC D D N l N N N N N NC D y y N N f N N f                                              Отже, теорему 3 доведено. Приклад Відновимо запропонованим методом повер- хню, задану лише на чотирьох смугах (двох вертикальних і двох горизонтальних). V11 V12 F11 a b c F12 d Рис. 1. Графічне зображення поверхні, заданої матрицями: а – V11; b – V12; c – F11; d – F12 Розмірність матриць V11100600, V12100600, F11200400, F12200400, не дозволяє в даній публі- кації навести ці матриці. FN Рис. 2. Зображення поверхні заданою матрицею–оригіналом FN C Рис. 3. Зображення поверхні на чотирьох заданих смугах од- ночасно Висновки. Отже, в даній статті запропоно- вано загальний метод відновлення поверхні три- УСиМ, 2011, № 1 37 вимірного тіла на основі даних про поверхню заданих лише на системі горизонтальних та вер- тикальних смуг. Досліджено похибку, яка ви- никає при наближенні поверхні формулами ін- терлінації в кожній прямокутній області, розмі- щеній між двома горизонтальними та двома вер- тикальними сусідніми смугами. Оцінки похиб- F Рис. 4. Зображення відтвореної поверхні за даними зображен- нями на чотирьох смугах ки отримано в припущенні, що для опису до- сліджуваної поверхні ),( yxfz  використову- ється функція ),( yxf з неперервними частин- ними похідними порядків )1(2 N по x та )1(2 N по y . Випадок, коли функція ),( yxf є недиференційованою, має досліджуватись за допомогою модулів неперервності, а не час- тинних похідних. Приклад демонструє достат- ню для практики точність без використання похідних в ермітовій інтерлінації. Аналіз ре- зультатів обчислюваного експерименту під- тверджує, що точність відновлення поверхні між смугами буде покращуватись, якщо від- даль між ними буде зменшуватись. 1. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю. Інтерлінація та ін- терфлетація функцій багатьох змінних та її засто- сування у картографії // Національне картографу- вання: стан, проблеми та перспективи розвитку: Зб. наук. пр. – К.: ДНВП «Картографія», 2005. – 2. – С. 22–24. 2. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю., Межуєв В.І. Метамо- дель для математичного моделювання поверхні ті- ла на основі даних радіолокації // УСиМ. – 2010. – № 3. – С. 33–47. 3. Матвєєва С.Ю. Метод побудови цифрових карт за допомогою інтерлінації та інтерфлетації функцій // Питання оптимізації обчислень, 2005. – 145 с. 4. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розді- ли: Навч. посібник. – К.: Наук. думка, 2005. – 344 с. 5. Литвин О.М. Інтерлінація та інтерфлетація функ- цій і структурний метод В.Л. Рвачова // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 2007. – № 4. - С. 61–82. 6. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її за- стосування. – Харків: Основа, 2002 – 544 с. Поступила 18.08.2010 Тел. для справок: (057) 771-0545; (066) 135-9633 (Харьков) (050) 182-6071 (Бердянськ) E-mail: academ_mail@ukr.net, svetlana1980g@mail.ru © О.Н. Литвин, С.Ю. Матвеева, 2011  О.Н. Литвин, С.Ю. Матвеева Метод возобновления поверхности между полосами с помощью информации о поверхности на взаимно перпендикулярных полосах Введение. При исследовании поверхности планеты ис- пользуется аэрофотосъемка, а также фотографии поверх- ности, полученные с помощью искусственных спутников Земли, пролетающих над Землей на разных орбитах, т.е. позволяют получать информацию о поверхности лишь на полосах, которые находятся под курсом самолета или под орбитой искусственного спутника. Несмотря на зна- чительные достижения в описании поверхности по дан- ным аэрофотосъемки и с помощью радиолокационных данных с искусственных спутников планет, не решен- ным остается построение и исследование математичес- ких моделей поверхностей планет в виде, который непо- средственно вносит экспериментальные данные в соот- ветствующие формулы. Формулировка задачи Метод возобновления поверхности между параллель- ными и пересекающимися полосами для случая непре- рывных поверхностей при условии, что информация о поверхности (интенсивность освещения, расстояние от 38 УСиМ, 2011, № 1 радиолокатора к точкам полосы) задается на каждой из указанных полос, исследован в работах [1–4]. В данной статье, в предположении, что исследуемая поверхность имеет непрерывные производные частей порядка 2 , ( 0)N N  включительно, предложен и иссле- дован общий метод возобновления поверхности между взаимно перпендикулярными полосами. При этом во- зобновленная поверхность хранит класс дифференциро- ванности порядка N включительно во всей области ис- следования сформулированные и доказанные теоремы об аппроксимативных свойствах введенных операторов приближения. Исследована оценка погрешности, возни- кающая при замене реальной поверхности поверхно- стью ( , )z u x y , где ( , )u x y – предложенное приближе- ние функции ( , )f x y , входящей в описание реальной по- верхности ( , )z f x y . Основные утверждения работы Выберем на поверхности некоторую систему декарто- вых координат Oxyz . Примем, что задана система гори- зонтальных полос  2, 1 1, [ , ] , 1,l l l nD y x l n         , а также система вертикальных полос   1, 1 1, , , 1,k k k nD x y k m         . Поверхность : ( , )z f x y  , которую предстоит во- зобновить, считается известной лишь на указанных по- лосах, т.е. 1, 1 1( , ) ( , ), , k k k k k nxf x y f x y x y             , 2, 1 1( , ) ( , ), , l l l l l myf x y f x y y x             . Здесь z – расстояние от некоторой плоскости 0z  к  в точке ( , )x y . При этом считаем, что 1 1, 1,k k k k k m         , 1 1, 1,l l l l l n         , и 1, ( , ) 0, або ,k k kf x y x x    2, ( , ) 0, або .l l lf x y y y     Введем к рассмотрению операторы 1, 1 1 1 1, , 1 1 ( , ), ; ( , ) ( , ), ;1 1 k k k n k k k k f x y x y L f x y E f x y x k m                     и 2 2, 1 1 2, , 1 1 1 1 ( , ) ( , ), ; , ( , ), ; ; 1, 1 l l l m l l l l m L f x y f x y y x E f x y y x l n                         где 1, , 1 ( ,0) ( ,0) 1, , 1 2, 1, 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) k k N s s k k s k k s s E f x y f y x f y x              ( ) ( ) 1, , , 2, 1, 1 ,( ) ; ( )p p k s k p s k s k p s        ( ) ( ) 1, , 1 2, 1,( ) 0; ( ) 0,0 ,p p k s k k s k s q N        2, , 1 (0, ) (0, ) 1, , 1 2, 1, 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) l l N p p l l p l l p p E f x y f x y f x y              ( ) ( ) 1, , , 1, , 1( ) ; ( ) 0r r l p l r p l p l      ( ) ( ) 2, 1, 2, 1, 1 ,( ) 0; ( ) ,0 ,r r l p l l p l r p r p n          . На их основе построим оператор      1, 1, 1 1 2, 2, 1 1 1,2, , 1, 2, ( , ) ( , ), , , , 1, ( , ), , [ , ] , 1, ( , ), ( , ) , 1, , 1, k k k k n l l l l n k l k l Of x y f x y D x y k m f x y D y x l n E f x y x y D D k m l n                             1,2, , 1, , 1 2, , 1 1, , 1 2, , 1( , ) ( , )k l k k l l k k l lE f x y E E E E f x y        Теорема 1. Если  2 ,2 1 1( , ) ( ), ,N N mf x y C D D       1 1, n   , то ,( , ) ( )N NOf x y C D . Доказательство. Отметим свойства операторов 1, , 1 ( , )k kE f x y :  ( ,0) 1, 1 1 1( , ) ( , ), k p p k k np x E f x y f y y x             ( ,0) 1, 1 1( , ) ( , ), k p p k k np x E f x y f y y x           и 2, , 1 ( , )l lE f x y :  (0, ) 2, 1 1 1( , ) ( , ), l r r l l mr y E f x y f x x y             (0, ) 2, 1 1( , ) ( , ), l r r l l mr y E f x y f x x y           . Оператор 1, 2, ( , )k lE E f x y в каждом элементе [ , ]k k   [ , ]l l   является оператором двумерной четырехточеч- ной эрмитовой интерполяции со свойствами: ( , ) 1, 2, ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r p r k l k lp r E E f x y f r p N x y            ( , ) 1, 2, ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r p r k l k lp r E E f x y f r p N x y            ( , ) 1, 2, ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r p r k l k lp r E E f x y f r p N x y            ( , ) 1, 2, ( , ) ( , ) ( , ),0 , k l p r p r k l k lp r E E f x y f r p N x y            Поэтому оператор 1,2, , ( , )k lE f x y имеет следующие свойства: УСиМ, 2011, № 1 39 ( ,0) 1,2, , 1 1( , ) ( , ), ,0 k p p k l k np x E f x y f y y p N x             ( ,0) 1,2, , 1 1( , ) ( , ), ,0 k p p k l k np x E f x y f y y p N x             (0, ) 1,2, , 1 1( , ) ( , ), ,0 l r r k l l mr y E f x y f x x r N y             (0, ) 1,2, , 1 1( , ) ( , ), ,0 l r r k l l mr y E f x y f x x r N y             Таким образом, оператор O f (x, y) имеет следующие свойства:  он определен во всех точках области 1 1[ , ]mD     1 1[ , ]n   ;  сохраняет непрерывность частных производных по х и по у от функции f (x, y) порядка N при переходе от горизонтальных или вертикальных полос к каждому прямоугольнику 1, 2,k lD D , т.е. ,( , ) ( )N NOf x y C D . Теорема 1 доказана. Теорема 2. В предположениях теоремы 1 для по- грешности приближения функции f (x, y) оператором O f (x, y) справедливо следующее представление 1, 2, 1,2, , 1, 2, 0, ( , ) [ ] ( , ) [ ( , ) ( , )], ( , ) k l k l k l x y D D I O f x y f x y E f x y x y D D         , где I – тождественной оператор. Доказательство. Доказательство этой теоремы про- водится в два этапа. На первом этапе следует учесть, что на полосах 1,kD или 2,lD оператор O f (x, y) совпадает с функцией f (x, y), т.е. O f (x, y) совпадает также с функци- ей f (x, y) и на пересечении этих полос. Поэтому в точках указанных полос, а также в точках их пересечения, бу- дет выполняться равенство 1, 2,( , ) ( , ), ( , ) k lOf x y f x y x y D D   . Отсюда следует, что 1, 2,( , ) ( , ) 0, ( , ) k lf x y Of x y x y D D    . Значит, первая часть этой теоремы доказана. Для доказательства второй части достаточно вспом- нить, что в точках 1, 2,( , ) k lx y D D  выполняется равен- ство 1,2, ,( , ) ( , ), 1, , 1,k lOf x y E f x y k m l n   , где 1,2, , ( , )k lE f x y задается в виде мешаной эрмитовой ин- терполяции в каждом из прямоугольников 1[ ]k kx      1[ ], 1, 1, 1, 1l ly k m l n         . Поэтому действительно 1,2, , 1 1 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) [ ] [ ], k l k k l l f x y Of x y E f x y x y x y               что и доказывает второе утверждение теоремы 2. Теорема 2 доказана. Теорема 3. Для оценки погрешности приближения дифференцированных функций f (x, y) справедливо сле- дующее соотношение: ( ) 2( 1) 2( 1) (2( 1),2( 1))1 2 4( 1)( ) 1 , (2( 1))!(2( 1))! 2 C D N N N N NC D f Of f N N             где 1 1, 1, 1 1 1 max ,k k k kk m           , 2 2, 2, 1 1 1 max ,l l l ll n            . При этом 1 2( ) 0 i jC D D f Of    . Доказательство. Как следует из теоремы 1, оператор O f (x, y) в точках области D1,k  D2,l является оператором эрмитовой интерлинации функции f (x, y) и ее немеша- ных частных производных порядка N на четырех линиях x = k, x = k+1 и y = l, y = l+1. Как известно [6, с. 158, формула (3.2.6)] для прибли- жения дифференцированных функций с помощью опе- ратора O f (x, y) существует следующее интегральное пред- ставление для остатка приближения 1 1 1, , 2, , 0 0 (2( 1),2( 1)) ( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ) . ( )! ( )! i j k l N N i s j p i k j l s p N syx N p jN N i x y Rf x y x y yx f d d N p N s                          При этом для остатка можно написать следующее ра- венство: (2( 1),2( 1)) 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) (2( 1))!(2( 1))! ( ) ( ) ( ) ( ) , N N N N N N k k l l fRf x y N N x x y y                     (x, y)  D1,k  D2,l, 1 1, , 1, 1, 1, 1k k l l k m l n               . Это позволяет получить следующую оценку: 1, 2,( ) 1 (2( 1))!(2( 1))!k lC D D Rf N N     1, 2,1, 2, 1, 2, 1 (2( 1),2( 1)) ( , )( , ) 1 1 1 1 1 1 (2( 1),2( 1)) ( ) 1 1 1 1 1 1 max ( , ) max ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (2( 1))!(2( 1))! ( ) ( ) ( ) ( ) k lk l k l k k N N x y D DD D N N N N k k l l N N C D D N N N N k k l l x f x x y y f N N x x y y                                             1 1, 2, 2 2 (2( 1),2( 1)) 2( 1) 1,( ) 2( 1) (2( 1),2( 1)) 2, 4( 1) ( ) 1 (2( 1))!(2( 1))! 1 1 (2( 1))!(2( 1))!2 l l k l y N N N kC D D N N N l N C D f N N f N N                       40 УСиМ, 2011, № 1 2( 1) 2( 1) 1 2 4( 1) 1 . 2 N N N      Таким образом, теорема 3 доказана. Пример Возобновим предложенным методом поверхность, заданную лишь на четырех полосах (двух вертикальных и двух горизонтальных). V11 V12 F11 а b c F12 d Рис. 1. Графическое изображение поверхности, заданной мат- рицами: а – V11; b – V12; c – F11; d – F12 Размерность матриц V11100600, V12100600, F11200400, F12200400 не позволяет в данной публикации привести эти матрицы. FN Рис. 2. Изображение поверхности, заданной матрицей–ориги- налом FN Заключение. Итак, в данной статье предложен общий метод возобновления поверхности трехмерного тела на основе данных о поверхности, заданных лишь на систе- ме горизонтальных и вертикальных полос. Исследована погрешность, возникающая при приближении поверх- ности формулами интерполяции в каждой прямоуголь- -ной области, размещенной между двумя горизонталь- ными и двумя вертикальными соседними полосами. Оценки погрешности получены в предположении, что для описания исследуемой поверхности ( , )z f x y ис- пользуется функция ( , )f x y с непрерывными частными производными порядков 2( 1)N  по х и 2( 1)N  по у. Случай, когда функция ( , )f x y недифференцированная, должен исследоваться с помощью модулей непрерывно- сти, а не частных производных. Приведенный пример C Рис. 3. Изображение поверхности на четырех заданных поло- сах одновременно. F Рис. 4. Изображение воссозданной поверхности по данным изображениям на четырех полосах. демонстрирует достаточную для практики точность без использования производных в эрмитовой интерлинации. Анализ результатов вычисляемого эксперимента под- тверждает, что точность возобновления поверхности меж- ду полосами будет улучшаться, если расстояние между ними будет уменьшаться.  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <FEFF005500740069006c0069007a007a006100720065002000710075006500730074006500200069006d0070006f007300740061007a0069006f006e00690020007000650072002000630072006500610072006500200064006f00630075006d0065006e00740069002000410064006f00620065002000500044004600200070006900f900200061006400610074007400690020006100200075006e00610020007000720065007300740061006d0070006100200064006900200061006c007400610020007100750061006c0069007400e0002e0020004900200064006f00630075006d0065006e007400690020005000440046002000630072006500610074006900200070006f00730073006f006e006f0020006500730073006500720065002000610070006500720074006900200063006f006e0020004100630072006f00620061007400200065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065002000760065007200730069006f006e006900200073007500630063006500730073006900760065002e> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою інформації про поверхню на взаємно перпендикулярних смугах

Репозитарії

Схожі ресурси