Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю

Рассмотрена числовая теоретико-множественная интерпретация полиномов Рида–Маллера с фиксированной и смешанной полярностью, на основе которой разработан простой метод непосредственного преобразования логической функции от n переменных из дизъюнктивного формата в полиномиальный, и наоборот. Преимущест...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Рицар, Б.Є.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2013
Назва видання:	Управляющие системы и машины
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83164
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю / Б.Є. Рицар // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 3. — С. 30-44. — Бібліогр.: 15 назв. — укр., рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-83164
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-831642015-06-17T03:01:39Z Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю Рицар, Б.Є. Новые методы в информатике Рассмотрена числовая теоретико-множественная интерпретация полиномов Рида–Маллера с фиксированной и смешанной полярностью, на основе которой разработан простой метод непосредственного преобразования логической функции от n переменных из дизъюнктивного формата в полиномиальный, и наоборот. Преимущества метода подтверждены примерами. A numeric set-theoretical interpretation of Reed-Muller expressions with fixed and mixed polarity has been considered. On the basis of this a simple method of direct converting the logical function of n variables from the disjunctive in polynomial format and vice versa has been devised. The advantages of the suggested method are illustrated by the examples. Розглянуто числову теоретико-множинну інтерпретацію поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю, на основі якої розроблено простий метод безпосереднього перетворення логікової функції від n змінних з диз’юнктивного формату в поліномний, і навпаки. Переваги методу підтверджено прикладами. 2013 Article Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю / Б.Є. Рицар // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 3. — С. 30-44. — Бібліогр.: 15 назв. — укр., рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83164 519.718 uk Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Рицар, Б.Є. Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю Управляющие системы и машины
description	Рассмотрена числовая теоретико-множественная интерпретация полиномов Рида–Маллера с фиксированной и смешанной полярностью, на основе которой разработан простой метод непосредственного преобразования логической функции от n переменных из дизъюнктивного формата в полиномиальный, и наоборот. Преимущества метода подтверждены примерами.
format	Article
author	Рицар, Б.Є.
author_facet	Рицар, Б.Є.
author_sort	Рицар, Б.Є.
title	Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю
title_short	Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю
title_full	Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю
title_fullStr	Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю
title_full_unstemmed	Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю
title_sort	числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів ріда–маллера з фіксованою та змішаною полярністю
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2013
topic_facet	Новые методы в информатике
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83164
citation_txt	Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю / Б.Є. Рицар // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 3. — С. 30-44. — Бібліогр.: 15 назв. — укр., рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT ricarbê čislovateoretikomnožinnaínterpretacíâpolínomívrídamallerazfíksovanoûtazmíšanoûpolârnístû
first_indexed	2025-07-06T09:53:31Z
last_indexed	2025-07-06T09:53:31Z
_version_	1836890835564625920
fulltext	30 УСиМ, 2013, № 3 УДК 519.718 Б.Є. Рицар Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю Рассмотрена числовая теоретико-множественная интерпретация полиномов Рида–Маллера с фиксированной и смешанной полярно- стью, на основе которой разработан простой метод непосредственного преобразования логической функции от n переменных из дизъюнктивного формата в полиномиальный, и наоборот. Преимущества метода подтверждены примерами. A numeric set-theoretical interpretation of Reed-Muller expressions with fixed and mixed polarity has been considered. On the basis of this a simple method of direct converting the logical function of n variables from the disjunctive in polynomial format and vice versa has been de- vised. The advantages of the suggested method are illustrated by the examples. Розглянуто числову теоретико-множинну інтерпретацію поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю, на основі якої розроблено простий метод безпосереднього перетворення логікової функції від n змінних з диз’юнктивного фор- мату в поліномний, і навпаки. Переваги методу підтверджено прикладами. Вступ. Стаття є логічним продовженням робо- ти [1], де розглянуто числову теоретико-мно- жинну інтерпретацію поліномів Жеґалкіна, і при- свячена числовій теоретико-множинній інтер- претації RM-поліномів з фіксованою (FPRM) і змішаною (MPRM) полярністю та основаному на цьому новому методі взаємного перетво- рення диз’юнктивного і поліномного форматів зображення логікових функцій від n змінних. Теоретичні основи Довільну логікову функцію f (x1, x2, , xn) можна зобразити у поліномній нормальній фор- мі (ПНФ) (Exclusive-OR Sum-Of-Product form – ESOP), утвореній двомісними операціями – кон’юнкцією (AND) і сумою за mod 2 (EXOR) та константою одиниці; інверсія довільної змін- ної одержується операцією x 1 x . При цьо- му, залежно від того, які змінні кон’юнктермів ПНФ f (усі чи деякі з них) мають або не мають знак інверсії, що визначає так звану поляр- ність змінних, розрізняють певні класи AND- EXOR виразів ПНФ f. У загальному випадку їх називають поліномами (виразами) Ріда–Малле- ра (Reed–Muller expressions – RM-поліноми). Класифікація RM-поліномів, відношення між різними класами і складність їх реалізації опи- сано в [2–4]. Довільну логікову функцію f (x1, x2, , xn) можна розкласти до одного з видів: 101 ),...,,...,( fxfxxxxf iini  , (1) f (x1,..., xi ,..., xn )  f0  xi f2 , (2) f ( x1,..., xi ,..., xn )  f1  x i f2 , (3) де f0  f (x1,..., xi1,0, xi1,..., xn ) , f1  f (x1,..., xi1,1, xi1,..., xn ) , f2  f0  f1 . Вирази (1) – (3) – це відповідно розклад Шен- нона (Shannon expansion), позитивний розклад Давія (positive Davio expansion) і негативний роз- клад Давія (negative Davio expansion). Причому, (2) і (3) одержуються з (1), якщо в першому ви- падку замість x i записати xi 1, а в другому – замість xi записати 1ix . Наприклад, (2) одер- жимо так: 0 1 0 1 0( 1)i i i ix f x f x f x f f      0 1 0 2( )i ix f f f x f    . Застосовуючи розклади (1) – (3) до всіх або до деяких змінних заданої функції f, одержимо різні класи RM-поліномів. Порівняно з традиційним диз’юнктивним зо- браженням RM-поліноми мають чимало переваг [2–8]. У цій статті розглянуто RM-поліноми, най- частіше застосовувані в різних оптимізаційних задачах логікового синтезу цифрових пристроїв. RM-поліном, утворений довільним вибором полярності n змінних логікової функції f, нази- вають узагальненим RM-поліномом (Generalized Reed–Muller expression – GRM-поліном): 0 1 1 2 2 12 1 2 13 1 3 1,2,..., 1 2 ... ... ... ... ... n n k k f c c x c x c x c x x c x x c x x x                       2 1 1,2,..., 1 2 0 ... n n n I I I c x x x c         , (4) де },{~ iii xxx  означає, що кожна змінна в кон’- юнктермах ПНФ f (4) має нефіксовану поляр- ність; cI {0,1} – коефіцієнти кон’юнктермів I, I  {0, 1, , 2 n – 1}, причому 0 = 1. УСиМ, 2013, № 3 31 Різних GRM-поліномів (4) для функції f від n змінних можна отримати не більше 2n2n1 [3]. Вираз ПНФ f, утворений розкладом (2) до одних змінних і розкладом (3) до решти змін- них, унаслідок чого кожна змінна функції f ма- тиме певну зафіксовану (позитивну або нега- тивну) полярність, називають поліномом Ріда– Маллера з фіксованою полярністю (Fixed Po- larity Reed–Muller expression – FPRM-поліном): 0 1 1 2 2 12 1 2 13 1 3 1,2,..., 1 2 ... ... ... ... ... n n k f c c x c x c x c x x c x x c x x                    2 1 1,2,..., 1 2 0 ... n k n n I I I x c x x x c             , (5) де позначення кожної змінної (з «випуклим даш- ком») ix означає, що в кон’юнктермах ПНФ f одні змінні не мають знаку інверсії, а інші ма- ють цей знак; cI {0,1}, 0 1. Різних FPRM-поліномів (5) функція f від n змінних може мати не більше 2n [3]. Якщо задану функцію f розкладати до вигля- ду (2), то одержимо PPRM-поліном (Positive Po- larity Reed–Muller expression), тобто поліном (n-го степеня) Жеґалкіна, усі змінні якого ма- ють позитивну полярність. Відповідно, якщо за- дану функцію f розкладати до вигляду (3), то одержимо NPRM-поліном (Negative Polarity Reed–Muller expression), усі змінні якого мають негативну полярність. Зазначимо, що PPRM-по- ліном (поліном Жеґалкіна) і NPRM-поліном (на практиці зустрічається зрідка) – єдині (ка- нонічні) вирази ПНФ будь-якої функції f, для яких проблема мінімізації не існує. Якщо (2) і (3) застосовувати до кожної змін- ної заданої функції f, то одержимо так званий RM-поліном зі змішаною полярністю (Mixed Po- larity Reed–Muller expression – MPRM-поліном; у [3–5] називають поліномом Кронекера (Kronec- ker expression)), де в (5) },{ iii xxx  , тобто всі змінні мають обидві полярності. Порівняно з FPRM-поліномом (5) MPRM-поліном є більш загальним виразом. Для функції від n змінних існує не більше 3n різних MPRM-поліномів [3]. Оскільки в цьому випадку змінні не обмежені тією чи іншою полярністю, то серед MPRM-по- ліномів більш імовірно знайти такий, який буде компактніший, ніж будь-який FPRM-поліном. Клас GRM-поліномів, як бачимо, містить всі розглянуті класи RM-поліномів. Але серед AND- EXOR виразів найбільш загальним є вираз ПНФ f (ESOP), утворений кон’юнктермами довільних рангів r {0,1,,n}: 1 2 n I f x x x    , (6) де індекс I символізує множину всіх можливих кон’юнктермів, а },,1{~ iii xxx  , тобто кожна змін- на ix~ може бути вибрана як одиниця, x i або ix , незалежно від іншого вибору для ix~ ; причому, якщо },{~ iii xxx  , то це досконала ПНФ f, яка, до речі, дорівнює досконалій ДНФ f після за- міни символа  на . Як зазначено в [3], ефективних алгоритмів мінімізації ПНФ f не існує. Для порівняння проілюструємо згадані по- ліноми прикладами:  x1x3  x1x2x3 – PPRM-поліном, тобто полі- ном Жеґалкіна;  x 1x 3  x 1x 2x 3 – NPRM-поліном;  x 1x3  x 1x2x3 – FPRM-поліном;  x 1x3  x 1x2x 3 – MPRM-поліном (або полі- ном Кронекера);  x1  x2  x 1x 2 – GRM-поліном. Постановка задачі Для розв’язання різних оптимізаційних за- дач логікового синтезу потрібно мати RM-полі- номи з мінімальною кількістю кон’юнктермів заданої функції f. При цьому, якщо існує мож- ливість вибору RM-полінома (за винятком PPRM- і NPRM-поліномів), то в разі однакової кілько- сті кон’юнктермів перевага надається RM-по- ліному з мінімальною сумарною кількістю лі- тералів, а коли кількість останніх однакова мі- німальним RM-поліномом уважається той, що має мінімальну кількість негативно споляризо- ваних літералів. Отже, кошт реалізації RM-по- лінома заданої функції f можна оцінювати чис- ловим співвідношенням k / kl / kin, де k , kl , kin – кількість кон’юнктермів, літералів та інверто- рів відповідно. 32 УСиМ, 2013, № 3 На відміну від функцій, заданих в диз’юнк- тивній формі зображення, у поліномному фор- маті існує можливість розв’язувати оптиміза- ційну задачу логікового синтезу за допомогою пошуку такої полярності RM-полінома функції f, яка б забезпечувала мінімальний кошт реалі- зації k /kl /k in. Така властивість RM-поліномів, порівняно з ДНФ f, є ще одною з переваг полі- номного формату [8–13]. Пошук оптимальної полярності RM-поліно- мів належить до складних комбінаторних задач. Тому важливо, щоб цей процес був забезпече- ний простими, швидкими засобами перетворен- ня функції з заданого диз’юнктивного формату зображення у поліномний, і навпаки. Разом з тим заміна логікових базисів призводить до не- обхідності розв’язання нових оптимізаційних за- дач. Відомі методи взаємного перетворення ло- гікових базисів переважно ґрунтуються на аналі- тичному [3, 5, 6, 11], табличному [9, 10, 14] або матрично-векторному [5, 7, 8, 13] підходах, які з відомих причин мають певні обмеження в комп’ютерній реалізації. Основна частина Як показано в [15], будь-який аналітичний кон’юнктерм рангу r  {0, 1, , n} логікової функції f (x1, x2, , xn) можна зобразити в теоре- тико-множинному вигляді як трійкове (або двій- кове) число або як множину десяткових чисел. Наприклад, кон’юнктерм третього рангу 1 3 5x x x   (0 – 1 –0)  (4,6,12,14). Над числовими кон’юнк- термами порівняно простіше виконувати різні операції і процедури [15]. Диз’юнктивному фор- мату (ДНФ) задання логікової функції f відпо- відає теоретико-множинний формат (ТМФ). У загальному випадку ТМФ Y 1 – це множина чи- слових кон’юнктермів різних рангів r  {1, 2,  , n}, якій у поліномному форматі відпові- дає ПТМФ Y  [1] за умови, якщо всі її члени взаємно ортогональні. Натомість досконалій ТМФ Y 1, що є множиною числових мінтермів (кон’юнктермів n-рангу), у поліномному фор- маті відповідає досконала ПТМФ Y . Виходячи з [1], не важко передбачити, що числова теоретико-множинна інтерпретація RM- поліномів з певною поляризацією відрізняти- меться від аналогічної інтерпретації поліномів Жеґалкіна тим, що числові кон’юнктерми, що складають ПТМФ Y  згаданих RM-поліномів, матимуть замість одиниці значення нуль саме у тих позиціях, які відповідають негативній по- ляризації змінних функції f. Оскільки MPRM-поліноми містять різні кла- си FPRM-поліномів функції f (x1, x2, , xn), то полярність змінних RM-поліномів задаватимемо так званим кодом полярності C = (12n), де 1,2,,n  {0,1,2}. Причому, якщо значення i = 0, то i-та змінна нехай має негативну ( x i) полярність, якщо i = 1 – позитивну (xi) поляр- ність, а якщо  = 2 – змішану ( xi і x i) поляр- ність. У разі FPRM-поліномів код полярності C = (12n), де 1,2,,n  {0,1}. Отже, якщо шуканим є PPRM-поліном (поліном Жеґалкіна), то потрібно задавати код полярності С = (111), якщо NPRM-поліном, то – С = (000), а якщо MPRM-поліном, то – С = (222). При цьому, як- що в перших двох випадках теоретико-множин- ними відповідниками є ПТМФ Y  , то в остан- ньому – досконала ПТМФ Y  . У довільному випадку, якщо, наприклад, для деякої функції f (x1, x2, x3) необхідно знайти RM-поліном з по- лярністю С = (012), то в утвореному аналітич- ному поліномі змінна x1 в усіх виразах кон’- юнктермів матиме негативну ( x 1) полярність, x2 – позитивну (x2) полярність, а x3 – змішану ( x3 і x 3). Відповідно, у теоретико-множинному зо- браженні числові (трійкові і/чи двійкові) кон’- юнктерми ПТМФ Y  матимуть значення нуль в позиції з вагою 22, значення одиниця в позиції з вагою 21 і значення нуль та одиниця в позиції з вагою 22 у комплементарних кон’юнктермах. Отже, код полярності C визначає різновид RM-поліномів – усталює, яка саме змінна фун- кції f матиме позитивну, негативну або обидві полярності. При цьому загальна кількість RM- поліномів з певною C-полярністю дорівнює 2n. Для f (x1, x2, x3) різних FPRM-поліномів з C-по- лярністю буде вісім. Наприклад, для функції f (x1, x2, x3 )  x 1x 2x 3  x1x2x3 властиві такі чоти- ри види FPRM-поліномів: з (111)-полярністю (поліном Жеґалкіна) УСиМ, 2013, № 3 33 1 x1  x2  x3  x1x2  x1x3  x2x3, з (011)-полярністю x 1  x 1x2  x 1x3  x2x3 , з (001)-полярністю x3  x 1x 2  x 1x3  x 2x3 , з (000)-полярністю 1 x 1  x 2  x 3  x 1x 2  x 1x 3  x 2x 3. MPRM-поліном з (222)-полярністю цієї фу- нкції – це її досконала ПНФ f  x 1x 2x 3  x1x2x3. На рисунку показано класифікацію розгля- нутих RM-поліномів. ESOP (доконана ПНФ) C = (12   n) ,  i  2 GRM (ПНФ) i  {0,1,2} MPRM  i  {0,1,2} FPRM  i  {0,1} PPRM  i  1 NPRM  i  0 Процедуру задання С-полярності позначати- мемо оператором  C . Наприклад, для функції f (x1, x2, x3 ) оператор  011 означає, що шуканим є FPRM-поліном з (011)-полярністю, аналітич- ні вирази кон’юнктермів якого задає кортеж x 1, x2 , x3 , а числових кон’юнктермів – значен- ня нуль і одиниця числового кортежа 0,1,1. За наявності оператора  012 шуканим є MPRM- поліном з (012)-полярністю, аналітичні кон’юнк- терми якого визначають два кортежі x 1, x2 , x 3 і x 1, x2 , x3 , а числові кон’юнктерми – значення нуль і одиниця числових кортежів 0,1,0 і 0,1,1. Якщо маємо оператор  122 , то шуканим є MPRM-поліном з (122)-полярністю, аналітичні кон’юнктерми якого визначають чотири кор- тежі x1, x 2 , x 3 , x1, x 2 , x3 , x1, x2 , x 3 і x1, x2 , x3 , а числові кон’юнктерми відповідно – числові кортежі 1,0,0, 1,0,1, 1,1,0 і 1,1,1, і т.ін. У роботі [1] перетворення «досконала ТМФ Y 1  поліном Жеґалкіна» виконується так: усі нулі у двійкових мінтермах досконалої ТМФ Y 1 заданої функції f замінюються на символ по- глинання (), а утворені трійкові кон'юнктерми замінюються на їх твірні числові мінтерми; з множини останніх усуваються однакові пари чисел, унаслідок чого одержується ТМФ Y  по- лінома Жеґалкіна (ТМФЖ Y ). Зауважимо, як- що такий підхід застосовувати до перетворен- ня «(досконала) ТМФ Y 1  C RM-поліном», то RM-поліном з потрібною C-полярністю утворю- вався б тільки через код поляризації C = (111), тобто через ТМФЖ Y . У даній статті запропоновано метод безпо- середнього перетворення диз’юнктивного фор- мату в поліномний, який відрізняється від [1] тим, що кожний двійковий і/чи трійковий кон’- юнктерм рангу r  {1, 2, , n} (досконалої) ТМФ Y 1 заданої функції f (x1, x2, , xn) пере- творюється безпосередньо (без заміни трійко- вих кон'юнктермів на їх твірні та ТМФЖ Y ) у деяку множину двійкових і/чи трійкових кон’- юнктермів рангів r  {1, 2, , n} поліномного формату зі заданою C-полярністю змінних. ПТМФ Y  шуканого RM-полінома з C-поляр- ністю утворюється після усунення пар однако- вих елементів із згаданої множини. Аби одер- жати аналітичний вираз RM-полінома заданої функції f, досить застосувати правило [1]: (1)i xi , (0)i ix , ( )i  відсутня xi , кома (,)  . Формування числових кон’юнктермів ПТМФ Y  RM-поліномів зі заданою C-полярністю про- понованим методом ґрунтується на аналітич- них перетвореннях кожної i-ї змінної заданої функції f, а саме: заміна (1)i (0)i відповідає виразу xi  x i 1, заміна (0)i (1)i – виразу x i  xi 1, заміна ()i  (0)i ,(1)i  – виразу 1  x i  xi . Відповідно до заданого коду поляр- ності C числова теоретико-множинна процеду- ра формування C-полярності у RM-поліномів виконується над кожною i-ю позицією число- вих кон’юнктермів ПТМФ Y  функції f за та- кими правилами:  у разі позитивної полярності (0)i  1        i , (1)i (1)i , ()i ()i ; (7)  у разі негативної полярності 34 УСиМ, 2013, № 3 (0 )i (0)i , (1 )i  0        i , ()i ()i ; (8)  у разі змішаної полярності ii )0()0~(  , ii )1()1~(  , ()i  (0)i ,(1)i . (9) Для одержання FPRM-поліномів застосову- ються правила (7) і (8), причому, в утворюва- них трійкових кон’юнктермах ПТМФ Y  сим- вол (–) комбінаторно займає по одному, по два і так далі – тільки значимі позиції твірного кон’юнктерма (досконалої) ТМФ Y 1, починаю- чи з наймолодшої. Отже, якщо в перетворенні ТМФ Y 1  C FPRM-поліном твірним є мінтерм, то (–) в утворюваних кон’юнктермах розстав- ляються комбінаторно по всіх позиціях, а як- що твірним є кон’юнктерм рангу r  {1, 2,  , n – 1}, то його значимі позиції в утворюваних кон’юнктермах замінюють символи (–), а його власні символи (–) переписуються. Наприклад, нехай задано перетворення x1x2x 3 010 f (x 1,x2,x 3) і x1x 3 010 f (x 1, x2, x 3 ). Аналітичним методом має- мо такі вирази: x1x2x 3 010 (x 1 1)x2x 3  x 1x2x 3  x2x 3 і x1x 3 010 (x 1 1)x 3  x 1x 3  x 3 . Числовим теоретико-множинним методом одержимо відповідно: (110) 010 (1 10 )  010 10       і (1 0) 010 (1  0 )  0  0   0      . Приклад 1. Методом безпосереднього пе- ретворення знайти поліном Жеґалкіна для ДНФ функції f ( x1, x2, x3 )  x1x 2x 3  x2x 3  x3 . Розв’язання. Оскільки кон’юнктерми зада- ної функції f взаємно ортогональні, то пере- творивши ДНФ у ТМФ Y 1, за описаним тут ме- тодом одержимо ТМФЖ Y  : 111 1 1{(100), ( 10), ( 1)}Y        111 111 11 11 , , 1 1 1 1 1                           {(111),(11),(11),(11),(1),(1),(1)}. Звідси поліном Жеґалкіна заданої функції f  x1x2x3  x1x2  x1x3  x2x3  x1  x2  x3. Приклад 2. Для функції f (x1, x2, x3, x4), заданої досконалою ТМФ Y1 = {2,7,9,12,15}1, методом безпосереднього перетворення знайти FPRM-по- ліноми: з (1111)-полярністю (поліном Жеґал- кіна), з (1110)-полярністю і (1010)-полярністю (у [12, с. 476] цей приклад розв’язано методом карт Карно). Розв’язання Y 1 {(0010),(0111),(1001),(1100),(1111)}1 1111 1111 1111 111 1 11 111 1111 , , 1 1 111 11 11 1                                 1111 111 111 1 1           ,   1111 111 , 1111 11 1 11                 {(1 1 ), ( 11 ), ( 11), ( 1 ), (1 1), (11 ), (1111)} .               Отже, FPRM-поліном з (1111)-полярністю функції f  x1x3  x2x3  x3x4  x3  x1x4  x1x2  x1x2x3x4 . FPRM-поліном з (1110)-полярністю прості- ше одержати з ПТМФ Y  FPRM-полінома з (1111)-полярністю, ніж з досконалої ТМФ Y 1 за- даної функції. Для цього досить застосувати правило (8) тільки до кон’юнктермів, що мають одиницю у наймолодшій позиції (з вагою 20): ( 11) 1110 ( 11 )   10  1      , (1 1) 1110 (1 1 )  1 0 1        , (1111) 1110 (1111 )  1110 111      . УСиМ, 2013, № 3 35 Замінивши цими множинами несполяризо- вані кон’юнктерми ПТМФ Y  FPRM-полінома з (1111)-полярністю, після процедур спрощення одержимо ПТМФ Y  шуканого FPRM-полінома: {(1 1 ), ( 11 ), ( 11), ( 1 ), (1 1), (11 ), (1111)} (1 1 ), ( 11 ), ( 1 ), Y                         10 1 0 1110 (11 ), , , 1 1 111                              {(1 1 ), ( 11 ), (11 ), ( 10), (1 0), (1 ), (1110), (111 )} .               Отже, FPRM-поліном з (1110)-полярністю 1 2 3 4 1 3 2 3 1 2 3 4 1 4 1 1 2 3 4 1 2 3 ( , , , ) . f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          FPRM-поліном з (1010)-полярністю визна- чимо на основі ПТМФ Y  FPRM-полінома з (1110)-полярністю, виконавши процедуру (8) тільки над кон’юнктермами, що мають одини- цю у позиції з вагою 22: (11) 1010 (1 1)  01  1      , (11 ) 1010 (11  )  10   1        , (1110) 1010 (11 10)  1010 110      , (111) 1010 (11 1)  101 11      . Після відповідних замін у ПТМФ Y  FPRM- полінома з (1110)-полярністю та спрощення одержаної множини, одержимо ПТМФ Y  FPRM-полінома з (1010)-полярністю: {( 10), ( 11 ), (11 ), (1 1 ), (1 0), (1 ), (1110), (111 )} Y                  {( 10), (1 1 ), (1 0), (1 ),      01 10 1010 101 , , , 1 1 1 10 1 1                                     {( 10), (1 0), ( 01 ), ( 1 ),       (10 ), (1010), (1 10), (101 )} .    Отже, FPRM-поліном з (1010)-полярністю 1 2 3 4 3 4 1 4 2 3 3 1 2 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 ( , , , ) . f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          Покажемо, що останній результат буде та- кий самий, якщо пропонований метод застосу- вати до досконалої ТМФ Y 1 заданої функції 1010 1 1 1010 {(0010), (0111), (1001), (1100), (1111)} {(0010), (0111), (1001), (1100), (1111)} Y      1010 101 1 10 1010 010 , , 010 1 1 01 10 1                                         1010 1010 1010 101 10 0 101 , , 10 0 1 10 1 10 10 1 0 1 1                                                 {( 01 ), ( 10), ( 1 ), (10 ), (1 0), (1010), (101 ), (1 10)} .               Покажемо зворотне перетворення ПТМФ Y   досконала ТМФ Y 1: {( 01 ), ( 10), ( 1 ), (10 ), (1 0), (1010), (101 ), (1 10)} Y                  {(2,3,10,11), (2,6,10,14), (2,3,6,7,10,11,14,15), (8,9,10,11),(8,10,12,14), (10), (10,11), (10,14)}   {2,7,9,12,15} {2,7,9,12,15}1. Отже, розглянуті чотири різновиди FPRM-по- ліномів функції 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x  1 2 3x x x , яка має досконалу ТМФ Y 1 = {0, 7}1, можна інтер- претувати в числовому теоретико-множинному форматі такими ПТМФ Y  : з (111)-полярністю (поліном Жеґалкіна) {(11 ), (1 1), ( 11), (1 ), ( 1 ), ( 1), ( )} , Y                з (011)-полярністю Y  {(01),(0 1),(0  ),(11)} , з (001)-полярністю Y  {(00),(0 1),(01),( 1)} , з (000)-полярністю {(00 ), (0 0), ( 00),Y      (0 ), ( 0 ), ( 0), ( )} .         36 УСиМ, 2013, № 3 Досконала ПТМФ Y  MPRM-полінома цієї функції з (222)-полярністю Y  {(000),(111)} . У перетворенні ТМФ Y 1  C MPRM-поліном, причому для N  (222), правила (7) і (8) за- стосовуються так само, як у випадку FPRM-по- ліномів, але тільки до тих позицій твірних, які не підлягають змішаній поляризації. Натомість правило (9) застосовується тільки до позицій, що мають символ (–), значимі позиції твірних у цьому випадку переносяться без змін. Наприк- лад, у перетворенні 1 3x x 1222 1 2 3 4( , , , )f x x x x    ана- літичним шляхом одержимо x 1x 3  1222 (x1 1)(x 2  x2 )x 3( x 4  x4 )  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 , x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          а числовим теоретико-множинним методом – 1222 (0 0 ) (0 0 ) 1000 1001 1100 1101 , , , 000 001 100 101                                      {(1000), (1001), (1100), (1101), ( 000), ( 001), ( 100), ( 101)} .      Приклад 3. Методом безпосереднього пере- творення знайти всі RM-поліноми з фіксованою та змішаною полярністю для функції f (x1, x2, x3), заданої досконалою ТМФ Y 1 = {0, 1, 2, 5, 7}1, та визначити їх кошт реалізації [11]. Розв’язання. Далі наведено таблицю резуль- татів визначення ПТМФ Y  і коштів реалізації усіх RM-поліномів з фіксованою та змішаною С- полярністю, одержаних методом безпосередньо- го перетворення для функції, заданої доскона- лою ТМФ Y 1 = {(000), (001), (010), (101), (111)}1. Жирним шрифтом виділено коди полярності С, які належать ПТМФ Y  RM-поліномів, що ма- ють мінімальний кошт реалізації; позначкою * виділено уточнені автором дані [11]. Наприк- лад, ПТМФ Y  RM-полінома з (210)-полярні- стю одержано так: 210 1 1{(000), (001), (010), (101), (111)}Y   210 {(000), (001), (010), (101), (111)}        010 110 010 01 11 110 , , 010 , , 0 0 0 0 1 0 11 0 1 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} .                                                        На прикладі розглянутої функції проілюстру- ємо взаємні перетворення RM-поліномів різних С-полярностей описаним методом. Зокрема, для ПТМФ Y = {(0 – –),(0 1 –),(0 1 0),(1 – –),(1 – 0)}, що відображає MPRM-поліном з (210)-полярні- стю, визначимо (порівняти з даними таблиці):  перехід (210)  (211) 211 211 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} 011 1 1 (0 ), (01 ), , (1 ), 01 1 Y                               {(0  ),(011),(11)} ;  перехід (210)  (110) 110 110 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} 1 11 110 , , , (1 ), (1 0) 1 10 Y                                           {(  ),(1),(10),(1 0),(11),(110)};  перехід (210)  (010) 010 010 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} 0 0 0 (0 ), (01 ), (010), , 0 Y                                  {(  ),(  0),(0  0),(01),(010)};  перехід (210)  (111) 111 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)}Y          111 111 1 11 11 1 1 , , , (1 ), 1 11 1 1                                                {(  ),(11),(1 ),(11),(111)} . Перехід із ПТМФ Y  FPRM-полінома з (111)- полярністю до ПТМФ Y  RM-полінома з неоди- УСиМ, 2013, № 3 37 Код по- лярності С ПТМФ Y  Кошт / /l ink k k 111 {( ),( 11),(1 ),(1 1),(111)}       5/7/0 110 {( ),( 1 ),( 10),(1 0),(11 ),(110)}        6/10/3 112 {( 0),( 1),( 11),(1 0),(111)}      5/9/2 101 {( ),( 1),( 01),(1 ),(101)}        5/7/2 100 {( 0),( 0 ),( 00),(1 ),(10 ),(100)}        6/10/7 102 {( 0),( 01),(1 0),(1 1),(101)}     5/10/4 121 {( 0 ),( 1 ),( 11),(10 ),(101),(11 )}       6/11/3 120 {( 0 ),( 10),(100),(11 )}    4/8/4 122 {( 00),( 01),( 10),(100),(110),(111)}   6/15/7* 011 {( 1),(0 ),(0 1),(011)}     4/7/3 010 {( ),( 0),(0 0),(01 ),(010)}       5/8/6 012 {( 1),(0 0),(011)}   3/6/3 001 {( 1),(0 ),(001)}    3/5/3 000 {( ),( 0),(0 ),(00 ),(000)}        5/7/7 002 {( 1),(0 0),(0 1),(001)}    4/8/5 021 {( 01),( 11),(000),(01 )}   4/9/5 020 {( 0 ),( 00),( 1 ),( 10),(000),(01 )}       6/11/8 022 {( 01),( 11),(000),(010),(011)}  5/13/7 211 {(0 ),(011),(1 1)}   3/6/2 210 {(0 ),(01 ),(010),(1 ),(1 0)}      5/9/5* 212 {(0 0),(0 1),(011),(1 1)}   4/9/4 201 {(0 ),(0 1),(001),(1 1)}    4/8/4 200 {(0 0),(00 ),(000),(1 ),(1 0)}     5/10/8* 202 {(0 0),(000),(00 ),(1 1)}   4/9/7* 221 {(00 ),(01 ),(011),(101),(111)}  5/12/5 220 {(00 ),(010),(10 ),(100),(11 ),(110)}   6/15/8* 222 {(000),(001),(010),(101),(111)} 5/15/8 ничою полярністю виконується так: якщо шука- ним є FPRM-поліном – аналогічно, а якщо шу- кається MPRM-поліном зі змішаною поляр- ністю в i-й позиції, тобто (2i),   {0,1}, то перед виконанням відповідних процедур усі трійкові кон'юнктерми, які мають символ (–) в i-й позиції, замінюються на комплементарні. Наприклад, якщо над кон'юнктермом (1–1) по- трібно виконати поляризацію кодом (021), то його спочатку необхідно споляризувати кодом (121), розклавши на комплементарні кон'юнк- терми, тобто (11)  121 (101),(111) , а тоді їх спо- ляризувати заданим кодом: (101)  021 001 01       і (111)  021 011 11      . Якщо шуканим є MPRM-полі- ном з (2i2j)-полярністю, то кожний трійковий кон'юнктерм, що має (–) в i-й і j-й позиціях, необхідно замінити на відповідні чо- тири твірні кон'юнктерми, і т.д. Такі перетво- рення проілюструємо на прикладі нашої функ- ції (порівняти з даними табл.):  перехід (111)  (102)     112 112 102 {( ), ( 11), (1 ), (1 1), (111)} { ( 0), ( 1) , ( 11), (1 0),(1 1) , (1 1), (111)} Y                      102 01 101 ( 0), ( 1), , (1 0), 1 1 1 {( 0), ( 01), (1 0), (1 1), (101)} ;                              перехід (111)  (122) Y  {(  ),(11),(1 ),(11),(111)} 122 122 00 100 01 101 101 , ( 11), , , (111) 10 110 111 11 111                                       {(00),(01),(10),(100),(110),(111)}. Висновки. На основі запропонованої чис- лової теоретико-множинної інтерпретації FPRM- та MPRM-поліномів з довільною С-полярні- стю логікових функцій від n змінних розроб- лено метод безпосереднього перетворення кон'юнктермів (досконалої) ТМФ або ДНФ у відповідні одночлени зазначених RM-поліно- мів (у тому числі зворотного і взаємного пе- ретворення), який, як бачимо з прикладів, до- сить просто можна зреалізувати на комп'ю- тері без будь-яких проміжних перетворень. Метод не втрачатиме своїх переваг і у випад- ку відповідних перетворень системи логіко- вих функцій. 38 УСиМ, 2013, № 3 1. Рицар Б.Є. Числова теоретико-множинна інтерпре- тація поліномів Жеґалкіна // УСиМ. – 2013. – № 1. – C. 11–26. 2. Green D.H. Families of Reed–Muller canonical forms // Int. J. Electronics. – 1991. – 70, № 2. – Р. 259–280. 3. Sasao T. Switching Theory for Logic Synthesis. – Kluwer Acad. Publ., 1999. – 361 p. 4. Chrzanowska-Jeske M., Mishchenko A., Perkowski M. Generalized inclusive forms – new canonical Reed–Mul- ler forms including ESOPs // VLSI Design. – 2002. – 14, № 1. – Р. 13–21. – http://www.hindawi. com/journals/ vlsi/2002/764061/abs/ 5. Astola J.T., Stankovic R.S. Fundamentals of Switching Theory and Logic Design. – Springer, 2006. – P. 47–87. 6. Sasao T. Easily testable realizations for generalized Reed–Muller expressions // IEEE Trans. On Compu- ters. – 1997. – 46, № 6. – Р. 709–716. 7. Закревский А.Д., Поттосин Ю.В., Черемисинова Л.Д. Логические основы проектирования дискретных устройств. – М.: Физматлит, 2007. – 592 с. 8. Tan E.C., Yang H. Optimization of fixed-polarity Reed– Muller circuits using dual-polarity property // Circuits, systems, and signal processing. – 2000. – 19, № 6. – Р. 535–548. 9. Faraj Khalid Almaini A.E.A. Optimal expression for fixed polarity dual Reed–Muller forms // WSEAS Transactions on Circuits and Systems. – 2007. – 6, № 3. – Р. 364–371. 10. Almaini A.E.A., McKenzie L. Tabular techniques for generating Kronecker expentions // IEE Proc. Comp. Digit. Tech. – 1996. – 143, № 4. – Р. 205–212. 11. Mozammel H.A. Khan An ASIC Architecture for Gene- rating Optimum Mixed Polarity Reed–Muller Expres- sion // Eng. Lett., 13:3, EL_13_3_2 (Advance online pu- blication: 4 Nov. 2006). – http://www.engineeringletters. com/issues_v13/issue_3/EL_13_3_2.pdf 12. Maslov D.A. A method to find the best mixed-polarity Reed–Muller expression // Univ. New Brunswick, June, 2001. – http://webhome.cs.uvic.ca/~dmaslov/papers/ MCSthesis.pdf 13. Dueck W., Maslov D., Butler T. A method to find the best mixed-polarity Reed–Muller expression using tran- seunt triangle // The 5th Int. Workshop on Appl. of Reed–Muller Expansion in Circuit Design (RM), 2001. – Starkville. – Р. 82–93. – http:// webhome.cs.uvic.ca/~ dmaslov/papers/MCSthesis.pdf 14. Almaini A.E.A. Electronic Logic Systems. – Prentice– Hall Int., Englewood Cliffs, N.J. – 1994. 15. Рицар Б.Є. Теоретико-множинні оптимізаційні методи логікового синтезу комбінаційних мереж: Дис.  д-ра. техн. наук, Львів, 2004. – 348 с. Поступила 20.10.2012 E-mail: bohdanrytsar@gmail.com © Б.Е. Рыцар, 2013  Б.Е. Рыцар Числовая теоретико-множественная интерпретация полиномов Рида–Маллера с фиксированной и смешанной полярностью Введение. Статья представляет собой логическое продол- жение работы [1], в которой рассмотрена числовая тео- ретико-множественная интерпретация полиномов Жегал- кина и посвящена числовой теоретико-множественной ин- терпретации RM-полиномов с фиксированной (FPRM) и смешанной (MPRM) полярностью и основанному на этом новом методе взаимного преобразования дизъюнктивно- го и полиномиального форматов представления логичес- ких функций от n переменных. Теоретические основы Произвольную логическую функцию f (x1, x2, , xn) можно представить в полиномиальной нормальной фор- ме (ПНФ) (Exclusive-OR Sum-Of-Product form – ESOP), образованной двухместными операциями – конъюнкци- ей (AND) и суммой по mod 2 (EXOR) – и константой 1; инверсия произвольной переменной получается опера- цией 1x x  . При этом, в зависимости от того, какие переменные конъюнктермов ПНФ f (все либо некоторые из них) имеют или не имеют знак инверсии, что опреде- ляет так называемую полярность переменных, различа- ют определенные классы AND-EXOR выражений ПНФ f. В общем случае их называют полиномами (выражения- ми) Рида–Маллера (Reed–Muller expression – RM-поли- номы). Классификация RM-полиномов, отношение меж- ду различными классами и сложность их реализации описаны в [2–4]. Произвольную логическую функцию f (x1, x2, , xn) можно разложить к одному из видов: 1 0 1( , ..., , ..., )i n i if x x x x f x f  , (1) 1 0 2( , ..., , ..., )i n if x x x f x f  , (2) 1 1 2( , ..., , ..., )i n if x x x f x f  , (3) где 0 1 1 1( ,..., ,0, ,..., ),i i nf f x x x x  1 1 1 1( ,..., ,1, ,..., ),i i nf f x x x x  2 0 1f f f  . Выражения (1) – (3) – это соответственно разложение Шеннона (Shannon expansion), положительное разло- жение Давия (positive Davio expansion) и отрицательное разложение Давия (negative Davio expansion). Причем, (2) и (3) получаются из (1), если в первом случае вместо УСиМ, 2013, № 3 39 ix записать 1ix  , а во втором – вместо ix записать 1ix  . Например, (2) получим так: 0 1 0( 1)i i ix f x f x f    1ix f  0 0 1 0 2( )i if x f f f x f    . Применяя разложе- ния (1) – (3) ко всем либо к некоторым переменным за- данной функции f, получим разные классы RM-полиномов. В сравнении с традиционным дизъюнктивным пред- ставлением RM-полиномы имеют ряд преимуществ [2–8]. В данной статье рассмотрены RM-полиномы, наиболее часто применяемые в разных оптимизационных задачах логического синтеза цифровых устройств. RM-полином, образованный произвольным выбором полярности n переменных логической функции f, назы- вают обобщенным RM-полиномом (Generalized Reed–Mul- ler expression – GRM-полином): 0 1 1 2 2 12 1 2 13 1 3... ... ...n nf c c x c x c x c x x c x x               2 1 1,2,..., 1 2 1,2,..., 1 2 0 ... ... n k k n n I I I c x x x c x x x c                , (4) где { , }i i ix x x означает, что каждая переменная в конъ- юнктермах ПНФ f (4) имеет нефиксированную поляр- ность; cI  {0,1} – коэффициенты конъюнктермов I , I  {0,1,,2n – 1}, причем 0 = 1. Разных GRM-полиномов (4) для функции f от n пе- ременных можно получить не более 122 nn  [3]. Выражение ПНФ f, образованное разложением (2) к одним переменным и разложением (3) к остальным пе- ременным, вследствие чего каждая переменная функции f будет иметь определенную фиксированную (положи- тельную или отрицательную) полярность, называют поли- номом Рида–Маллера с фиксированной полярностью (Fixed Polarity Reed–Muller expression – FPRM-полином): 0 1 1 2 2 12 1 2 13 1 3... ... ...n nf c c x c x c x c x x c x x               2 1 1,2,..., 1 2 1,2,..., 1 2 0 ... ... n k k n n I I I c x x x c x x x c                , (5) где обозначение каждой переменной (с «выпуклой крыш- кой») ix означает, что в конъюнктермах ПНФ f одни пе- ременные не имеют знака инверсии, а другие его имеют; cI  {0,1}, 0 = 1. Разных FPRM-полиномов (5) функция f от n пере- менных может иметь не более 2n [3]. Если заданную функцию f разложить к виду (2), то получим PPRM-полином (Positive Polarity Reed–Muller expression), т.е. полином (n-й степени) Жегалкина, все пе- ременные которого имеют положительную полярность. Соответственно, если заданную функцию f разложить к виду (3), то получим NPRM-полином (Negative Polarity Reed–Muller expression), все переменные которого име- ют отрицательную полярность. Заметим, что PPRM-по- лином (полином Жегалкина) и NPRM-полином (на прак- тике встречается редко) – единственные (канонические) выражения ПНФ любой функции f, для которых про- блемы минимизации не существует. Если (2) и (3) применять к каждой переменной за- данной функции f, то получим так называемый RM- полином со смешанной полярностью (Mixed Polarity Reed– Muller expression – MPRM-полином) (в [3–5] называют полиномом Кронекера (Kronecker expression)), где в (5) { , }i i ix x x , т.е. все переменные имеют обе полярности. В сравнении с FPRM-полиномом (5) MPRM-полином есть более общим выражением. Для функции от n перемен- ных существует не более 3n разных MPRM-полиномов [3]. Поскольку в этом случае переменные не ограничены той либо иной полярностью, то среди MPRM-полиномов более вероятно найти такой, который будет более ком- пактным, чем любой FPRM-полином. Класс GRM-полиномов, как видим, содержит все рас- смотренные классы RM-полиномов. Но среди AND-EXOR- выражений наиболее общим будет выражение ПНФ f (ESOP), образованное конъюнктермами произвольных рангов r  {0,1,,n}: 1 2 n I f x x x     , (6) где индекс I символизирует множество всех возможных конъюнктермов, а {1, , }i i ix x x , т.е. каждая переменная ix может быть выбрана как 1, ix либо ix , независимо от иного выбора для ix ; причем, если { , }i i ix x x , то это совершенная ПНФ f, кстати, равная совершенной ДНФ f после замены символа  на . Как замечено в [3], эффективных алгоритмов мини- мизации ПНФ f не существует. Для сравнения проиллюстрируем упомянутые RM-по- линомы примерами:  1 3 1 2 3x x x x x – PPRM-полином, т.е. полином Жегал- кина;  1 3 1 2 3x x x x x – NPRM-полином;  1 3 1 2 3x x x x x – FPRM-полином;  1 3 1 2 3x x x x x – MPRM-полином (или полином Кро- некера);  1 2 1 2x x x x  – GRM-полином. Постановка задачи Для решения различных оптимизационных задач ло- гического синтеза необходимо иметь RM-полиномы с минимальным числом конъюнктермов заданной функ- ции f. При этом, если существует возможность выбора RM-полинома (за исключением PPRM- и NPRM-полино- мов), то в случае одинакового числа конъюнктермов преимущество имеет RM-полином с минимальным сум- марным числом литералов, а при одинаковом числе по- следних минимальным RM-полиномом считается тот, который имеет минимальное число отрицательно поля- ризованных литералов. Следовательно, цену реализации RM-полинома заданной функции f можно определить числовым соотношением / /l ink k k , где k , lk , ink – число конъюнктермов, литералов и инверторов соответ- ственно. 40 УСиМ, 2013, № 3 В отличие от функций, заданных в дизъюнктивной форме представления, в полиномиальном формате сущест- вует возможность решать оптимизационную задачу логи- ческого синтеза с помощью поиска такой полярности RM-полинома функции f, которая обеспечивала бы ми- нимальную цену реализации / /l ink k k . Такое свойство RM-полиномов, в сравнении с ДНФ f, – еще одно из пре- имуществ полиномиального формата [8–13]. Поиск оптимальной полярности RM-полиномов от- носится к сложным комбинаторным задачам. Поэтому важно, чтобы этот процесс был обеспечен простыми и быстродействующими средствами преобразования функ- ции из заданного дизъюнктивного формата представле- ния в полиномиальный, и наоборот. Вместе с тем замена логических базисов приводит к необходимости решения новых оптимизационных задач. Известные методы вза- имного преобразования логических базисов преимуще- ственно основываются на аналитическом [3, 5, 6, 11], табличном [9, 10, 14] или матрично-векторном [5, 7, 8, 13] подходах, имеющих по известным причинам опре- деленные ограничения в их компьютерной реализации. Основная часть Как показано в [15], любой аналитический конъюнк- терм ранга r  {0,1,,n} логической функции f (x1, x2, , xn) можно представить в теоретико-множественном виде как троичное (или двоичное) число либо как множество десятичных чисел. Например, конъюнктерм третьего ранга 1 3 5 (0 1 0) (4,6,12,14)x x x     . Над числовыми конъюнк- термами сравнительно проще выполнять разные операции и процедуры [15]. Дизъюнктивному формату (ДНФ) зада- ния логической функции f соответствует теоретико-мно- жественный формат (ТМФ). В общем случае ТМФ Y 1 – это множество числовых конъюнктермов разных рангов r  {1,2,,n}, которому в полиномиальном формате со- ответствует ПТМФ Y  [1] при условии, что все ее члены взаимно ортогональны. К тому же совершенной ТМФ Y 1, которая есть множеством числовых минтермов (конъюнк- термов n-ранга), в полиномиальном формате соответ- ствует совершенная ПТМФ Y  . Исходя из [1], можно предвидеть, что числовая тео- ретико-множественная интерпретация RM-полиномов с определенной поляризацией будет отличаться от анало- гичной интерпретации полиномов Жегалкина тем, что числовые конъюнктермы, составляющие ПТМФ Y  упо- мянутых RM-полиномов, будут иметь вместо единицы значение нуль именно в разрядах, соответствующих от- рицательной поляризации переменных функции f. Поскольку MPRM-полиномы содержат разные клас- сы FPRM-полиномов функции f (x1, x2, , xn), поляр- ность переменных RM-полиномов будем задавать так называемым кодом полярности 1 2( )nC     , где 1 2, ,..., {0,1,2}n    . Причем, если значение 0i  , то i-я переменная функции f пусть имеет отрицательную ( ix ) полярность, если 1i  – положительную ( ix ) по- лярность, а если 2  – смешанную ( ix и ix ) поляр- ность. В случае FPRM-полиномов код полярности 1 2( )nC     , где 1 2, ,..., {0,1}n    . Следовательно, если искомым есть PPRM-полином (полином Жегалкина), то следует задавать код полярности (11 1)C   , если NPRM-полином, то (00 0)C    , а если MPRM-поли- ном, то – (22 2)C    . При этом, если в первых двух случаях теоретико-множественные представители – это ПТМФ Y  , то в последнем – совершенная ПТМФ Y  . В произвольном случае, если, например, для некоторой функции 1 2 3( , , )f x x x необходимо найти RM-полином с полярностью (012)C  , то в образовавшемся аналити- ческом полиноме переменная 1x во всех выражениях конъюнктермов будет иметь отрицательную ( 1x ) поляр- ность, 2x – положительную ( 2x ) полярность, а 3x – сме- шанную ( 3x и 3x ). Соответственно, в теоретико-мно- жественном представлении числовые (троичные и/или двоичные) конъюнктермы ПТМФ Y  будут иметь зна- чение ноль в разряде с весом 22, значение единица в раз- ряде с весом 21 и значения ноль и единица в разряде с весом 20 в комплементарных конъюнктермах. Итак, код полярности С определяет разновидность RM-полиномов – устанавливает, какая именно перемен- ная функции f будет иметь положительную, отрицатель- ную либо обе полярности. При этом общее число RM-по- линомов с определенной С-полярностью равно 2n. Для 1 2 3( , , )f x x x разных FPRM-полиномов с С-полярностью будет восемь. Например, для функции 1 2 3( , , )f x x x  1 2 3 1 2 3x x x x x x  свойственны следующие четыре вида FPRM-полиномов: с (111)-полярностью (полином Жегалкина) 1 2 3 1 2 1 3 2 31 x x x x x x x x x      , с (011)-полярностью 1 1 2 1 3 2 3x x x x x x x   , с (001)-полярностью 3 1 2 1 3 2 3x x x x x x x   , с (000)-полярностью 1 2 3 1 2 1 3 2 31 x x x x x x x x x      , MPRM-полином с (222)-полярностью этой функции – это ее совершенная ПНФ 1 2 3 1 2 3f x x x x x x  . На рисунке показана классификация рассмотренных RM-полиномов. ESOP (совершенная ПНФ) C = (12   n) ,  i  2 GRM (ПНФ) i  {0,1,2} MPRM  i  {0,1,2} FPRM  i  {0,1} PPRM  i  1 NPRM  i  0 УСиМ, 2013, № 3 41 Процедуру задания C-полярности будем обозначать оператором C  . Например, для 1 2 3( , , )f x x x оператор 011  означает, что искомым есть FPRM-полином с (011)-по- лярностью, аналитические выражения конъюнктермов которого задает кортеж 1 2 3, ,x x x  , а числовых конъюнк- термов – значения ноль и единица числового кортежа 0,1,1  . Если имеем оператор 012  , то искомым будет MPRM-полином с (012)-полярностью, аналитические конъ- юнктермы которого определяют два кортежа 1 2 3, ,x x x  и 1 2 3, ,x x x  , а числовые конъюнктермы – значения ноль и единица числовых кортежей 0,1,0  и 0,1,1  . При на- личии оператора 122  искомым есть MPRM-полином с (122)-полярностью, аналитические конъюнктермы кото- рого определяют четыре кортежа 1 2 3, , ,x x x  1 2 3, , ,x x x  1 2 3, ,x x x  и 1 2 3, ,x x x  , а числовые конъюнктермы, со- ответственно, 1,0,0  , 1,0,1  , 1,1,0  и 1,1,1  и др. В работе [1] преобразование «совершенная ТМФ 1Y   полином Жегалкина» выполняется так: все нули в двоичных минтермах совершенной ТМФ 1Y заданной функции f заменяются на символ поглощения (–), а об- разованные троичные конъюнктермы заменяются на об- разующие их числовые минтермы; из множества послед- них удаляются одинаковые пары чисел, вследствие чего получается ТМФ Y  полинома Жегалкина (ТМФЖ Y  ). Однако, если такой подход применять к преобразованию «(совершенная) ТМФ 1Y C  RM-полином», то RM-полином с нужной С-полярностью образовывался бы только че- рез код полярности C  (11   1), т.е. через ТМФЖ Y  . В данной статье предложен метод непосредственно- го преобразования дизъюнктивного формата в полино- миальный, отличающийся от [1] тем, что каждый двоич- ный и/или троичный конъюнктерм ранга r  {1,2,,n} (совершенной) ТМФ 1Y заданной функции f (x1, x2, , xn) преобразуется непосредственно (без замены троичных конъюнктермов на их образующие и ТМФЖ Y  ) в не- которое множество двоичных и/или троичных конъюнк- термов рангов r  {0,1,2,,n} полиномиального формата с заданной C-полярностью переменных. ПТМФ Y  ис- комого RM-полинома с C-полярностью образуется после удаления пар одинаковых элементов из упомянутого множества. Чтобы получить аналитическое выражение RM-полинома заданной функции f достаточно приме- нить правило [1]: (1)i ix , (0)i ix , ( )i  отсутствующая ix , запятая (,)  . Формирование числовых конъюнктермов ПТМФ Y  RM-полиномов с заданной C-полярностью предлагае- мым методом основано на аналитических преобразова- ниях каждой i-й переменной заданной функции f, а именно: замена (1) (0)i i соответствует выражению 1i ix x  , замена (0) (1)i i – выражению 1i ix x  , замена  ( ) (0) , (1)i i i  – выражению 1 i ix x  . Соот- ветственно заданному коду полярности C числовая тео- ретико-множественная процедура формирования C-поляр- ности в RM-полиномах выполняется над каждым i-м раз- рядом числовых конъюнктермов ПТМФ Y  функции f по следующим правилам:  в случае положительной поляризации 1 (0)i i       , (1) (1)i i , ( ) ( )i i   ; (7)  в случае отрицательной поляризации (0) (0)i i , 0 (1)i i       , ( ) ( )i i   ; (8)  в случае смешанной поляризации (0) (0)i i (1) (1)i i ,  ( ) (0) , (1)i i i  . (9) Для получения FPRM-полиномов применяются пра- вила (7) и (8), причем, в образуемых троичных конъюнк- термах ПТМФ Y  символ (–) комбинаторно занимает по одному, по два и так далее – только значимые разря- ды троичного конъюнктерма (совершенной) ТМФ 1Y , начиная с младшего. Следовательно, если в преобразо- вании ТМФ 1Y C  FPRM-полином образующим высту- пает минтерм, то (–) в образуемых конъюнктермах рас- ставляются комбинаторно по всем разрядам, а если об- разующий – конъюнктерм ранга {1,2,..., 1}r n  , то его значимые разряды в образуемых конъюнктермах заме- няют символы (–), а его собственные символы (–) пере- писываются. Например, пусть задано преобразование 010 1 2 3 1 2 3( , , )x x x f x x x и 010 1 3 1 2 3( , , )x x f x x x . Аналитическим методом получим следующие выражения: 010 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3( 1)x x x x x x x x x x x    и 010 1 3 1 3 1 3 3( 1)x x x x x x x    . Числовым теоретико-множественным методом полу- чим соответственно: 010 010 (110) (110) 10        и 010 0 0 (1 0) (1 0) 0           . Пример 1. Методом непосредственного преобразо- вания найти полином Жегалкина для ДНФ функции 1 2 3 1 2 3 2 3 3( , , )f x x x x x x x x x   . Решение. Поскольку конъюнктермы заданной функ- ции f взаимно ортогональны, то преобразовав ДНФ в ТМФ 1Y , по описанному ранее методу получим ТМФЖ Y  : 111 1 1{(100), ( 10), ( 1)}Y       42 УСиМ, 2013, № 3   111 111 11 11 , , 1 1 1 1 1                            {(111),(11 ),(1 1),( 11),(1 ),( 1 ),( 1)}        . Отсюда полином Жегалкина заданной функции 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3f x x x x x x x x x x x x       . Пример 2. Для функции 1 2 3 4( , , , )f x x x x , заданной со- вершенной ТМФ 1 1{2,7,9,12,15}Y  , методом непосред- ственного преобразования найти следующие FPRM-поли- номы: с (1111)-, с (1110)- и (1010)-полярностью (в [12, с. 476] этот пример решен методом карт Карно). Решение. 1111 1 1{(0010), (0111), (1001), (1100), (1111)}Y   1111 1111 111 1 11 111 1111 , , 1 1 111 11 11 1                                    1111 11 1 , 1 11 1 1               1111 111 , 1111 11 1 11                 {(1 1 ),( 11 ), ( 11),( 1 ),(1 1), (11 ),(1111)}          . Итак, FPRM-полином с (1111)-полярностью функции 1 3 2 3 3 4 3 1 4 1 2 1 2 3 4f x x x x x x x x x x x x x x x       . FPRM-полином с (1110)-полярностью проще получить из ПТМФ Y  FPRM-полинома с (1111)-полярностью, чем из совершенной ТМФ Y 1 заданной функции, поскольку для этого достаточно применить правило (8) только к конъюнктермам, имеющим единицы в младшем разряде (с весом 02 ): 1110 10 ( 11) ( 11) 1              , 1110 1 0 (1 1) (1 1) 1              , 1110 1110 (1111) (1111) 111        . Заменив этими множествами неполяризованные конъ- юнктермы ПТМФ Y  FPRM-полинома с (1111)-поляр- ностью и выполнив процедуру упрощения, получим ПТМФ Y  искомого FPRM-полинома: {(1 1 ), ( 11 ), ( 11), ( 1 ), (1 1), (11 ),Y                10 (1111)} {(1 1 ), ( 11 ), ( 1 ), (11 ), , 1                    1 0 1110 , {(1 1 ), ( 11 ), (11 ), 1 111                        ( 10), (1 0), (1 ), (1110), (111 )} .       Следовательно, FPRM-полином с (1110)-полярностью 1 2 3 4 1 3 2 3 1 2 3 4 1 4 1 1 2 3 4 1 2 3 ( , , , ) . f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          FPRM-полином с (1010)-полярностью определим на основании ПТМФ Y  FPRM-полинома с (1110)-поляр- ностью, выполнив процедуру (8) только над конъюнк- термами, имеющими единицы в разряде с весом 22 : 1010 01 ( 11 ) ( 11 ) 1             , 1010 10 (11 ) (11 ) 1         , 1010 1010 (1110) (1 110) 1 10        , 1010 101 (111 ) (111 ) 1 1           . После соответствующих замен в ПТМФ Y  FPRM- полинома с (1110)-полярностью и упрощения получен- ного множества, получим ПТМФ Y  FPRM-полинома с (1010)-полярностью: {( 10), ( 11 ), (11 ), (1 1 ), (1 0), (1 ), (1110), (111 )} Y                  01 10 {( 10), (1 1 ), (1 0), (1 ), , , 1 1                             1010 101 , {( 10), (1 0), ( 01 ), ( 1 ), 1 10 1 1                        (10 ), (1010), (1 10), (101 )} .    Следовательно, FPRM-полином с (1010)-полярностью 1 2 3 4 3 4 1 4 2 3 3 1 2 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 ( , , , ) . f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          Покажем, что последний результат будет тот же, ес- ли предлагаемый метод применить к совершенной ТМФ 1Y заданной функции: 1010 1 1 1010 {(0010), (0111), (1001), (1100), (1111)} {(0010), (0111), (1001), (1100), (1111)} Y      1010 101 1 10 1010 010 , , 010 1 1 01 10 1                                            1010 1010 1010 101 10 0 101 , , 10 0 1 10 1 10 10 1 0 1 1                                                   УСиМ, 2013, № 3 43 {( 01 ), ( 10), ( 1 ), (10 ), (1 0), (1010), (101 ), (1 10)} .               Покажем обратное преобразование ПТМФ Y   со- вершенная ТМФ 1Y : {( 01 ), ( 10), ( 1 ), (10 ), (1 0), (1010), (101 ), (1 10)} Y                  {(2, 3,10,11), (2, 6,10,14), (2, 3, 6, 7,10,11,14,15), (8, 9,10,11), (8,10,12,14), (10), (10,11), (10,14)}   1{2, 7, 9,12,15} {2, 7, 9,12,15}  . Следовательно, рассмотренные четыре разновидности FPRM-полиномов функции 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x  1 2 3x x x , имеющей совершенную ТМФ 1 1{0, 7}Y  , можно интер- претировать в числовом теоретико-множетвенном фор- мате такими ПТМФ Y  : с (111)-полярностью (полином Жегалкина) Y   {(11 ), (1 1), ( 11), (1 ), ( 1 ), ( 1), ( )}             , с (011)-полярностью {(01 ), (0 1), (0 ), ( 11)}Y        , с (001)-полярностью {(00 ), (0 1), ( 01), ( 1)}Y        , с (000)-полярностью {(00 ), (0 0), ( 00), (0 ), ( 0 ), ( 0), ( )}Y               . Совершенная ПТМФ Y  MPRM-полинома этой функ- ции с (222)-полярностью {(000), (111)}Y   . В преобразовании ТМФ 1Y C  MPRM-полином, при- чем для (22 2)N   , правила (7) и (8) применяются так же, как в случае FPRM-полиномов, но только к разрядам образующих, не подлежащих смешанной поляризации. При этом правило (9) применяется только к разрядам, имеющим символ (–), значимые разряды образующих в этом случае переносятся без изменений. Например, при преобразовании 1222 1 3 1 2 3 4( , , , )x x f x x x x    аналитическим путем получим 1222 1 3 1 2 2 3 4 4( 1)( ) ( )x x x x x x x x     1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 , x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          а числовым теоретико-множественным методом – 1222 1000 1001 1100 1101 (0 0 ) (0 0 ) , , , 000 001 100 101                                       {(1000), (1001), (1100), (1101), ( 000), ( 001), ( 100), ( 101)} .      Пример 3. Методом непосредственного преобразо- вания найти все RM-полиномы с фиксированой и сме- шанной полярностью для функции 1 2 3( , , )f x x x , задан- ной совершенной ТМФ 1 1{0,1, 2, 5, 7}Y  , и определить их цену реализации [11]). Решение. Далее приведена таблица результатов оп- ределения ПТМФ Y  и цен реализации всех RM-по- лиомов с фиксированной и смешанной C-полярностью, полученных методом непосредственного преобразова- ния для функции f, заданной совершенной ТМФ 1 1{(000), (001), (010), (101), (111)}Y  . Код по- лярно- сти С ПТМФ Y  Цена / /l ink k k 111 {( ),( 11),(1 ),(1 1),(111)}       5/7/0 110 {( ),( 1 ),( 10),(1 0),(11 ),(110)}        6/10/3 112 {( 0),( 1),( 11),(1 0),(111)}      5/9/2 101 {( ),( 1),( 01),(1 ),(101)}        5/7/2 100 {( 0),( 0 ),( 00),(1 ),(10 ),(100)}        6/10/7 102 {( 0),( 01),(1 0),(1 1),(101)}     5/10/4 121 {( 0 ),( 1 ),( 11),(10 ),(101),(11 )}       6/11/3 120 {( 0 ),( 10),(100),(11 )}    4/8/4 122 {( 00),( 01),( 10),(100),(110),(111)}   6/15/7* 011 {( 1),(0 ),(0 1),(011)}     4/7/3 010 {( ),( 0),(0 0),(01 ),(010)}       5/8/6 012 {( 1),(0 0),(011)}   3/6/3 001 {( 1),(0 ),(001)}    3/5/3 000 {( ),( 0),(0 ),(00 ),(000)}        5/7/7 002 {( 1),(0 0),(0 1),(001)}    4/8/5 021 {( 01),( 11),(000),(01 )}   4/9/5 020 {( 0 ),( 00),( 1 ),( 10),(000),(01 )}       6/11/8 022 {( 01),( 11),(000),(010),(011)}  5/13/7 211 {(0 ),(011),(1 1)}   3/6/2 210 {(0 ),(01 ),(010),(1 ),(1 0)}      5/9/5* 212 {(0 0),(0 1),(011),(1 1)}   4/9/4 201 {(0 ),(0 1),(001),(1 1)}    4/8/4 200 {(0 0),(00 ),(000),(1 ),(1 0)}     5/10/8* 202 {(0 0),(000),(00 ),(1 1)}   4/9/7* 221 {(00 ),(01 ),(011),(101),(111)}  5/12/5 220 {(00 ),(010),(10 ),(100),(11 ),(110)}   6/15/8* 222 {(000),(001),(010),(101),(111)} 5/15/8 В таблице выделены жирным шрифтом коды по- лярности С, принадлежащие ПТМФ Y  RM-полино- мов, имеющие минимальную цену реализации; знач- ком * отмечены уточненные автором данные [11]. На- пример, ПТМФ Y  RM-полинома с (210)-полярностью получена так: 210 1 1 210 {(000), (001), (010), (101), (111)} {(000), (001), (010), (101), (111)} Y          44 УСиМ, 2013, № 3   010 110 010 01 11 110 , , 010 , , 0 0 0 0 1 0 11 0 1                                                 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} .       На примере рассмотренной функции покажем взаим- ные преобразования RM-полиномов разных С-полярно- стей описанным методом. В частности, для ПТМФ Y  {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)}       , представляющей MPRM-полином с (210)-полярностью, определим (срав- нить с данными табл.):  переход (210)  (211) 211 211 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} 011 1 1 (0 ), (01 ), , (1 ), 01 1 Y                                  {(0 ), (011), (1 1)}   ;  переход (210)  (110) 110 110 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} 1 11 110 , , , (1 ), (1 0) 1 10 Y                                           {( ), ( 1 ), ( 10), (1 0), (11 ), (110)}         ;  переход (210)  (010) 010 010 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} 0 0 0 (0 ), (01 ), (010), , 0 Y                                     {( ), ( 0), (0 0), (01 ), (010)}        ;  переход (210)  (111) 111 111 {(0 ), (01 ), (010), (1 ), (1 0)} 111 1 11 11 1 1 , , , (1 ), 1 11 1 1 Y                                                          {( ), ( 11), (1 ), (1 1), (111)}      . Переход из ПТМФ Y  FPRM-полинома с (111)-поляр- ностью к ПТМФ Y  RM-полинома с неединичной полярно- стью выполняется так: если искомое FPRM-полином – аналогично, а если ищется MPRM-полином со смешан- ной полярностью в i-м разряде, т.е. (2i),   {0,1}, то перед выполнением соответствующих процедур все троичные конъюнктермы, имеющие символ (–) в i-м раз- ряде, заменяются на комплементарные. Например, если над конъюнктермом (1 – 1) нужно выполнить поляриза- цию кодом (021), то его сначала необходимо поляризовать кодом (121), разложив на комплементарные конъ- юнктермы, т.е. (1 1) 121   (101),(111) , а затем поляризовать их заданным кодом (101) 021  001 01      и (111) 021  011 11      . Если искомое MPRM-полином с (2i2j)-полярно- стью, то каждый троичный конъюнктерм, имеющий (–) в i-м и j-м разрядах, необходимо заменить на соответству- ющие четыре образующих конъюнктерма, и т.д. Такие преобразования покажем на примере нашей функции (сравнить с данными табл.):  переход (111)  (102)      112 112 102 {( ), ( 11), (1 ), (1 1), (111)} ( 0), ( 1) , ( 11), (1 0), (1 1) , (1 1), (111) Y                      102 01 101 ( 0), ( 1), , (1 0), 1 1 1 {( 0), ( 01), (1 0), (1 1), (101)} ;                               переход (111)  (122) 122 {( ), ( 11), (1 ), (1 1), (111)}Y           122 00 100 01 101 101 , ( 11), , , (111)} 10 110 111 11 111                                {( 00), ( 01), ( 10), (100), (110), (111)}    . Заключение. На основании предложенной числовой теоретико-множественной интерпретации FPRM-полино- мов и MPRM-полиномов с произвольной С-полярностью логических функций от n переменных разработан метод непосредственного преобразования конъюнктермов (со- вершенной) ТМФ или ДНФ в соответствующие одночле- ны упомянутых RM-полиномов (в том числе обратного и взаимного преобразования), который, как видно из при- меров, довольно просто можно реализовать на компью- тере без каких-либо промежуточных преобразований. Ме- тод не будет терять своих преимуществ и в случае соот- ветствующих преобразований системы логических функ- ций от n переменных.  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e4007400740065006900640020006b00760061006c006900740065006500740073006500200074007200fc006b006900650065006c007300650020007000720069006e00740069006d0069007300650020006a0061006f006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e000d000a> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e0074007200750020007400690070010300720069007200650061002000700072006500700072006500730073002000640065002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f006100720103002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /RUS <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> /SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b0074006f007200e90020007300610020006e0061006a006c0065007001610069006500200068006f0064006900610020006e00610020006b00760061006c00690074006e00fa00200074006c0061010d00200061002000700072006500700072006500730073002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Числова теоретико-множинна інтерпретація поліномів Ріда–Маллера з фіксованою та змішаною полярністю

Репозитарії

Схожі ресурси