О некоторых аспектах классической задачи Штейнера

О некоторых аспектах классической задачи Штейнера

Рассмотрена классическая задача Штейнера на плоскости. Для определения оптимальной точки, минимизирующей сумму расстояний к заданным точкам многоугольника, необходимо решить специальную систему тригонометрических уравнений. Приведены решения системы для треугольника и четырехугольника....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2013
Автори: Агаи Аг Гамиш Якуб, Донец, Г.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2013
Назва видання:Управляющие системы и машины
Теми:
Новые методы в информатике
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83197
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О некоторых аспектах классической задачи Штейнера / Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 5. — С. 9-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-83197
record_format dspace
spelling irk-123456789-831972015-06-17T03:01:48Z О некоторых аспектах классической задачи Штейнера Агаи Аг Гамиш Якуб Донец, Г.А. Новые методы в информатике Рассмотрена классическая задача Штейнера на плоскости. Для определения оптимальной точки, минимизирующей сумму расстояний к заданным точкам многоугольника, необходимо решить специальную систему тригонометрических уравнений. Приведены решения системы для треугольника и четырехугольника. The classic Steiner problem on the plane is discussed here. To find a point, the sum of the distances from which to given points of a polygon is minimal, it is necessary to solve specific system of trigonometric equations. The system solutions in the case of triangle and quadrangle are given. Розглянуто класичну задачу Штейнера на площині. Для визначення оптимальної точки, що мінімізує суму відстаней до заданих точок багатокутника, необхідно розв'язати спеціальну систему тригонометричних рівнянь. Наведено розв'язання системи для трикутників та чотирикутників. 2013 Article О некоторых аспектах классической задачи Штейнера / Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 5. — С. 9-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83197 519.1 ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Новые методы в информатике
Новые методы в информатике
spellingShingle Новые методы в информатике
Новые методы в информатике
Агаи Аг Гамиш Якуб
Донец, Г.А.
О некоторых аспектах классической задачи Штейнера
Управляющие системы и машины
description Рассмотрена классическая задача Штейнера на плоскости. Для определения оптимальной точки, минимизирующей сумму расстояний к заданным точкам многоугольника, необходимо решить специальную систему тригонометрических уравнений. Приведены решения системы для треугольника и четырехугольника.
format Article
author Агаи Аг Гамиш Якуб
Донец, Г.А.
author_facet Агаи Аг Гамиш Якуб
Донец, Г.А.
author_sort Агаи Аг Гамиш Якуб
title О некоторых аспектах классической задачи Штейнера
title_short О некоторых аспектах классической задачи Штейнера
title_full О некоторых аспектах классической задачи Штейнера
title_fullStr О некоторых аспектах классической задачи Штейнера
title_full_unstemmed О некоторых аспектах классической задачи Штейнера
title_sort о некоторых аспектах классической задачи штейнера
publisher Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate 2013
topic_facet Новые методы в информатике
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83197
citation_txt О некоторых аспектах классической задачи Штейнера / Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 5. — С. 9-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv AT agaiaggamišâkub onekotoryhaspektahklassičeskojzadačištejnera
AT donecga onekotoryhaspektahklassičeskojzadačištejnera
first_indexed 2025-07-06T09:55:27Z
last_indexed 2025-07-06T09:55:27Z
_version_ 1836890957807616000
fulltext УСиМ, 2013, № 5 9 Новые методы в информатике УДК 519.1 Агаи Аг Гамиш Якуб, Донец Г.А. О некоторых аспектах классической задачи Штейнера Рассмотрена классическая задача Штейнера на плоскости. Для определения оптимальной точки, минимизирующей сумму рас- стояний к заданным точкам многоугольника, необходимо решить специальную систему тригонометрических уравнений. При- ведены решения системы для треугольника и четырехугольника. The classic Steiner problem on the plane is discussed here. To find a point, the sum of the distances from which to given points of a polygon is minimal, it is necessary to solve specific system of trigonometric equations. The system solutions in the case of triangle and quadrangle are given. Розглянуто класичну задачу Штейнера на площині. Для визначення оптимальної точки, що мінімізує суму відстаней до зада- них точок багатокутника, необхідно розв'язати спеціальну систему тригонометричних рівнянь. Наведено розв'язання системи для трикутників та чотирикутників. Введение. Современная постановка задачи Штейнера, как известно, отличается от поста- новки, решаемой немецким геометром Я. Штей- нером. Его постановка, как общая проблема Ферма, формулируется следующим образом. На плоскости заданы n точек P1, P2,  , Pn. Необходимо найти такую точку O, чтобы сум- ма расстояний P1,O +P2,O +P3,O ++ nPO была минимальной. Эту задачу для трех точек сформулировал П. Ферма в начале XVII в., и до Штейнера она была уже решена. В постановке Штейнера для n > 4 она не решена в аналитическом виде до сих пор. В общем случае, когда точки распо- ложены произвольно, задача настолько слож- на, что до сих пор кроме тривиальных случаев, о ней почти не было публикаций. Постановка классической задачи Штей- нера В работе [1] найдена общая система тригоно- метрических уравнений, которой должна удов- летворять искомая точка, если заданные точки образуют выпуклый многоугольник (рис. 1). Пусть O(x, y) – искомая точка. Покажем, что она не может находиться вне многоугольника P1, P2,  , Pn. Соединим ее с вершинами мно- гоугольника и проведем отрезки P1K и P2L па- раллельно оси абсцисс. Обозначим углы на- клона отрезков PiO (i = 1, 2, ,  , n) к оси абс- цисс i, а углы PiOPi+1 – i (для индексов n + 1  1). По построению 2 = 1 + 1, и в об- щем случае i = 1 + 1 1 i k k    (i > 2). По условию задачи точка O дает минимум функции двух переменных 1/22 2 1 ( ) ( ) n i i i Z x x y y        . (1) O(x,y) Pn P1 P2 P3 L K 2 1 1  2 n Рис. 1. Найдем необходимые условия экстремума функции 1 1 0 , 0 . n i i i n i i i x xz x PO y yz y PO             (2) Учитывая обозначения, можно записать ра- венства 1 1 cos 0, sin 0 n i i n i i         (3) 10 УСиМ, 2013, № 5 или 1 1 1 1 1 2cos cos( ) cos( ) ...         1 1 1 ... cos( ) 0, n i i        1 1 1 1 1 2sin sin( ) sin( ) ...         (4) 1 1 1 ... sin( ) 0. n i i        Раскрыв каждое сложное выражение, получим 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos (cos cos sin sin ) ... cos cos sin sin 0, n n i i i i                                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin (sin cos cos sin ) ... sin cos cos sin 0. n n i i i i                                   Обозначим 1 k i k i s    . Группируя опреде- ленные слагаемые, придем к виду 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos 1 cos sin sin 0, sin 1 cos cos sin 0. n n i i i i n n i i i i s s s s                                            Поскольку определитель этой системы от- носительно переменных, представленных в скоб- ках, равен 2 2 1 1cos sin 1    , а правые части уравнений равны нулю, это может быть только при одновременном выполнении условий: 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 cos cos( ) ... cos( ... ) 0, sin sin( ) . . . sin( ... ) 0. n n                            (5) Назовем эту систему основной тригономет- рической системой. Из нее можно вывести не- сколько вспомогательных равенств. Если пе- ренести единицу первого уравнения в правую часть и выделить в разложении формул аргу- мент 1, то получим соотношения: cos1[1+ cos2 +…+ cos(2+3 +…+ n–1)] – –sin1[sin2 +…+ sin(2 +…+ n–1)] = –1, sin1[1+ cos2 +…+ cos(2 + 3+…+ n–1)]+ + cos1[sin2 +…+ sin(2 +…+ n–1)] = 0. Решая эту систему относительно выраже- ний в квадратных скобках (а определитель системы так же, как и раньше, равен едини- це), получим 1 + cos1 + cos2 + cos(2 + 3) + … + cos(2 + 3 +…+ n–1) = 0, –sin1 + sin2 + sin(2 + 3) + … + sin(2 + 3 +…+ n–1) = 0. Если перенести в правую часть первого урав- нения 1 cos   , а sin   – в правую часть вто- рого уравнения, то можно применить тот же прием и для аргумента 2. В результате полу- чим две системы относительно cos  и sin  как следствие основной тригонометрической системы (5). Назовем их первой вспомогатель- ной системой (относительно косинусов) и вто- рой вспомогательной системой (относительно синусов). 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 cos cos( ) ... cos( ... ) 0, 1 cos cos cos( ) ... cos( ... ) 0, 1 cos( ) cos cos ... cos( ... ) 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 cos( ... ) сo n n n n                                                   2 1 3 1 1 s( ... ) cos( ... ) ... cos 0. n n n                            (6)   1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 2 sin sin( ) ... sin( ... ) 0, sin sin sin( ) ... sin( ... ) 0, sin( ) sin sin ... sin( ... ) 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin ... sin n n n n                                                      3 1 1... ... sin 0.n n                       (7) УСиМ, 2013, № 5 11 Для случая 3n  получается решение, кото- рое было получено геометрическим путем. Действительно система (6) примет вид 1 1 2 1 2 2 1 2 1 cos cos( ) 0, 1 cos cos 0, 1 cos cos( ) 0.                  (8) Отсюда cos1 = cos2 = 1 2  , что дает 1 = = 2 = 3 = 120. Очевидно, что это решение возможно только для треугольника, у которого углы меньше 120, иначе точка решения не может быть внутри треугольника, что проти- воречит начальному условию. Рассмотрим теперь случай n = 4. Система (6) примет вид 1 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 2 3 3 1 cos cos( ) cos( ) 0, 1 cos cos cos( ) 0, 1 cos( ) cos cos 0, 1 cos( ) cos( ) cos 0.                                     (9) Если из суммы первых двух уравнений вы- честь остальные, то получим cos1 = cos3. Так как 1   (иначе точка O будет нахо- диться вне четырехугольника), то это может быть при 1 = 3. Складывая первое и чет- вертое уравнения и, вычитая второе и третье уравнения, получим новый результат cos2 = = cos(1 + 3), что может быть только при условии 2 = 2 – (1 + 2 + 3) = 4. Таким образом, оптимальная точка находится на пересечении диагоналей P1P3 и P2P4. Это ре- шение можно найти и путем геометрических построений (рис. 2). P1 P4 P3 P2 O O’ Рис. 2 Если в качестве решения выбрать иную точку O’, то, по правилу треугольника, P1,O '+P3,O 'P1,P3иP1,O '+P4,O 'P2,P4. Это означает, что P1,P3+ P2,P4 образуют наименьшую сумму расстояний. Расчет параметров дерева Штейнера для трех точек Рассмотрим детальнее процесс определения оптимальной точки для заданных трех точек, или треугольника ABC, в котором все углы меньше 120 (рис. 3). Для обозначения новых вершин и отрезков воспользуемся так назы- ваемой нотацией Кокейна [2]. C D A (AB) K B O Рис. 3 Построим на любой стороне ABC (напри- мер, на AB) равносторонний треугольник с третьей вершиной (AB) так, чтобы вершины A, B и (AB) следовали против часовой стрелки. Опишем вокруг этого треугольника окружность с центром в точке O. Так как искомая точка образует с вершинами A и B угол в 120, то она должна находиться на дуге окружности AB. Пусть это будет точка K. По теореме Птолемея ( ) ( ) ( )AB AB K BK A AB AK B AB     . По- скольку AB(AB) – равносторонний, то это вы- ражение можно сократить и тогда ( )K AB AK KB  . (10) Так, где бы ни располагалась точка K на ду- ге AB, отрезок K(AB) – эквивалентен отрезкам AK и KB. Соединив точку K с точкой C, полу- чим ломаную из двух отрезков CK и K(AB), которые вместе дают искомую сумму расстоя- ний. Минимальное значение эта сумма примет, если эти две ломаные будут представлять пря- мую. Таким образом, оптимальная точка D на- ходится на пересечении окружности и отрезка C(AB). Этот отрезок называется сегментом, или осью Симпсона [3]. Если сделать аналогичное 12 УСиМ, 2013, № 5 построение на стороне AC, то получим ось Симпсона B(CA); аналогично строится и третья ось Симпсона A(BC). Очевидно, что все они имеют одинаковую длину, так как точка D – единственная. Это означает, что если на трех сторонах ABC построить равносторонние тре- угольники и описать ось вокруг их окружно- сти, то все они пересекутся в единственной точке D. Если соединить вершины треугольника без использования дополнительной точки D по сто- ронам треугольника, то общая длина отрезков будет больше. Это видно на рис. 3, где ( ) ( )C AB AC A AB AC AB    , или ( ) ( )C AB BC B AB BC AB    . Так как все три оси Симпсона одинаковы по длине, то ана- логично ( ) ( )A BC C AB AC BC   . A C E D B L K Рис. 4 Теперь рассмотрим случай, когда один из углов треугольника равен или больше 120. На рис. 4 это угол при вершине B. В этом случае точка, минимизирующая сум- му расстояний ко всем вершинам ABC, не может лежать внутри треугольника (например, точка K). Покажем, что можно построить со- единение, меньшее по длине, чем AK BK  CK . В данном случае AKC  ABC  120. Тогда один из углов AKB или BKC меньше 120 (например, AKB), и в AKB все углы меньше 120. Как было показано, внутри этого треугольника найдется точка L, для которой AL + LK + BL < AK + BK . Аналогично, минимизирующая точка не мо- жет лежать вне ABC ( например, точка E), по- скольку AE + ED  AD + DC  AB + BC. Поэтому эта точка – единственная вершина B. Если применить построения Штейнера для стороны AC, то вершина B окажется внутри окружности (рис. 5,а). В этом случае точка Штейнера уже не решает задачу минимизации суммы расстояний к вершинам треугольника, как было показано ранее. Курант и Роббинс [4] предположили, что она минимизирует выра- жение R = AD + CD – BD. а (AC) A D CB D ’ (CA) б C D B A (CA) Рис. 5 Как показано в [3], это не так. Если постро- ить симметрическую точку (AC) и провести через вершину B отрезок (AC)D’, то увидим, что (AC)B < (CA)B (рис. 5,б). Но (CA)B = AD + + DC – BD. Так, последнее построение дает меньшее значение для R. Однако и оно не есть решением. Наименьшее значение R получает- ся, когда точка D совпадает с одной из вершин A (если BC > AC) или C (если AC > BC). Действительно, для построения на рис. 5,б справедливо AD’ + CD’ – BD’ = (AC)B  AC – – AB, так как AC = A(AC) и это следует из правила треугольника AB + B(AC)  A(AC). Определим теперь координаты точек (AB) и D (см. рис. 3). Обозначим AB – угол наклона отрезка AB к оси абсцисс, аналогично A(AB) – угол наклона отрезка A(AB). Тогда sinA(AB) = = sin(AB + 60) = sinABcos60+ cosABsin60, или ( ) 1 3 ( ) 2 2 AB A B A B Ay y y y x x A AB AB AB        . Составив аналогичное выражение для cosA(AB), получим соотношение, в котором содержится координата ( )ABx . В результате по- лучим окончательные формулы: УСиМ, 2013, № 5 13 ( ) ( ) 3 ( ) , 2 2 3 ( ). 2 2 A B AB A B A B AB B A x xx y y y yy x x         (11) Теперь найдем координаты центра окруж- ности, описанной вокруг AB(AB). Заметим, что радиус окружности 3 AB r  . Тогда sinAO= =sin(AB+30) = sinABcos30+cosABsin30. Подставив соответствующие значения, полу- чим 3 ( ), 2 6 3 ( ). 2 6 A B O A B A B O B A x xx y y y yy x x         (12) Чтобы найти координаты оптимальной точ- ки D, представим их в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , D AB C AB D AB C AB x x x x y y y y       (13) где  (AB)D/(AB)C. Этот коэффициент мож- но найти из соотношения  ( ) ( ) /O AB C AB     2 / ( )AB C . Подставив соответствующие значе- ния в знаменатель и произведя необходимые, довольно громоздкие, преобразования, полу- чим выражение 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 3 . 2 A B C A B C AB BC AC AB C x x x y y y     Отметим, что указанный детерминант равен удвоенной площади ABC с обратным знаком, или –2S. В результате всех преобразований выраже- ния (13) примут окончательный вид:       2 2 2 2 2 3 3 3 12 C B A A C B D AB x y y BC x y y x AB BC AC S                 2 2 2 2 3 4 , 3 12 B A C A B CAC x y y x x x S AB BC AC S                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 12 3 4 . 3 12 C B A A C B D B A C A B C AB y x x BC y x x y AB BC AC S AC y x x y y y S AB BC AC S                    (14) Заметим, что в знаменателе выражение рав- но 2 2 3 ( )C AB . Заключение. Теперь можно конкретизиро- вать постановку классической задачи Штейне- ра. На плоскости задано множество точек  1 2, ,..., nP P P P . Необходимо соединить их кратчайшим деревом, используя дополнитель- ные точки  1 2, ,..., (0 2)kS S S S k n    , в ко- торых сходятся три отрезка и углы между ко- торыми равны 120. 1. Maculan N. The Steiner problem in graphs // Surv. comb.Optimiz. – Amsterdam e.a., 1987. – P. 185–212. Место хранения ГПНТБ СССР. 2. Cockayne E.J. On the Steiner problem: Doct.diss: – Univ.Brit.Columbia. – 1967. 3. White K., M. Farber M., Pulleyblank W. Steiner trees, connected domination and strongly chordal graphs // Networks. – 1985. – № 15. – P. 109–124. 4. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.–Л.: ГИТТЛ, 1947. – 665 с. Поступила 25.01.2013 Тел. для справок: +38 044 526-2188 (Киев) E-mail: j_donets@mail.ru © Агаи Аг Гамиш Якуб, Донец Г.А, 2013  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200076006f006e002000640065006e0065006e002000530069006500200068006f006300680077006500720074006900670065002000500072006500700072006500730073002d0044007200750063006b0065002000650072007a0065007500670065006e0020006d00f60063006800740065006e002e002000450072007300740065006c006c007400650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f0064006500720020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e0074007200750020007400690070010300720069007200650061002000700072006500700072006500730073002000640065002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f006100720103002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Схожі ресурси