О решении классической задачи Штейнера для четырех точек

Рассмотрено решение классической задачи Штейнера для четырех точек, произвольно расположенных на плоскости. Для невырожденного случая найдены две оси Симпсона и сравниваются их длины. Для вырожденного случая рассмотрено произвольное положение четвертой точки внутри треугольника....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Агаи Аг Гамиш Якуб, Донец, Г.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2013
Назва видання:	Управляющие системы и машины
Теми:	Новые методы в информатике
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83216
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О решении классической задачи Штейнера для четырех точек / Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 36-39, 43. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-83216
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-832162015-06-17T03:01:53Z О решении классической задачи Штейнера для четырех точек Агаи Аг Гамиш Якуб Донец, Г.А. Новые методы в информатике Рассмотрено решение классической задачи Штейнера для четырех точек, произвольно расположенных на плоскости. Для невырожденного случая найдены две оси Симпсона и сравниваются их длины. Для вырожденного случая рассмотрено произвольное положение четвертой точки внутри треугольника. The solving of the Shteiner’s classical problem for four points randomly lied in the plane is considered. For the degenerated case two Simpson’s axes are found, their lengths are compared. For the non-degenerate case the random position of the fourth point inside of the triangle is examined. Розглянуто розв'язання класичної задачі Штейнера для чотирьох точок, розташованих на площині довільно. Для невиродженого випадку знайдено дві осі Сімпсона і порівнюються їх довжини. Для виродженого випадку розглянуто довільне розташування четвертої точки всередині трикутника. 2013 Article О решении классической задачи Штейнера для четырех точек / Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 36-39, 43. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0130-5395 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83216 519.1 ru Управляющие системы и машины Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Агаи Аг Гамиш Якуб Донец, Г.А. О решении классической задачи Штейнера для четырех точек Управляющие системы и машины
description	Рассмотрено решение классической задачи Штейнера для четырех точек, произвольно расположенных на плоскости. Для невырожденного случая найдены две оси Симпсона и сравниваются их длины. Для вырожденного случая рассмотрено произвольное положение четвертой точки внутри треугольника.
format	Article
author	Агаи Аг Гамиш Якуб Донец, Г.А.
author_facet	Агаи Аг Гамиш Якуб Донец, Г.А.
author_sort	Агаи Аг Гамиш Якуб
title	О решении классической задачи Штейнера для четырех точек
title_short	О решении классической задачи Штейнера для четырех точек
title_full	О решении классической задачи Штейнера для четырех точек
title_fullStr	О решении классической задачи Штейнера для четырех точек
title_full_unstemmed	О решении классической задачи Штейнера для четырех точек
title_sort	о решении классической задачи штейнера для четырех точек
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2013
topic_facet	Новые методы в информатике
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83216
citation_txt	О решении классической задачи Штейнера для четырех точек / Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец // Управляющие системы и машины. — 2013. — № 6. — С. 36-39, 43. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT agaiaggamišâkub orešeniiklassičeskojzadačištejneradlâčetyrehtoček AT donecga orešeniiklassičeskojzadačištejneradlâčetyrehtoček
first_indexed	2025-07-06T09:56:37Z
last_indexed	2025-07-06T09:56:37Z
_version_	1836891030136291328
fulltext	36 УСиМ, 2013, № 6 УДК 519.1 Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец О решении классической задачи Штейнера для четырех точек Рассмотрено решение классической задачи Штейнера для четырех точек, произвольно расположенных на плоскости. Для не- вырожденного случая найдены две оси Симпсона и сравниваются их длины. Для вырожденного случая рассмотрено произ- вольное положение четвертой точки внутри треугольника. The solving of the Shteiner’s classical problem for four points randomly lied in the plane is considered. For the degenerated case two Simp- son’s axes are found, their lengths are compared. For the non-degenerate case the random position of the fourth point inside of the tri- angle is examined. Розглянуто розв'язання класичної задачі Штейнера для чотирьох точок, розташованих на площині довільно. Для невиродже- ного випадку знайдено дві осі Сімпсона і порівнюються їх довжини. Для виродженого випадку розглянуто довільне розташу- вання четвертої точки всередині трикутника. Введение. Данная статья служит продолжени- ем [1], поэтому все определения взяты из нее. Рассмотрим решение задачи для четырех то- чек. В зависимости от их положения возможны два случая: а) все точки составляют выпуклый четырех- угольник; б) одна точка находится внутри треугольника. Эта, кажущаяся элементарной, задача для четырех точек рассмотрена в [2] и впервые была описана лишь в работе [3], затем в [4]. В них второй случай не рассматривался. Постановка задачи Рассмотрим задачу для обоих случаев в представленном порядке. Пусть P1P2P3P4 – произвольный выпуклый четырехугольник (рис. 1) P3 A P1 P2 C R Q P4 B D Рис. 1 Эту задачу можно свести к задаче для трех точек, если воспользоваться результатами [1] и построить дополнительную вершину, которая будет эквивалентна двум произвольным смеж- ным вершинам четырехугольника. Построим вер- шину A как вершину равностороннего треуголь- ника P1P2A. Теперь задача свелась к построе- нию задачи Штейнера для точек A, P3 и P4. По аналогии строим вершину B (эквивалентную вершинам P3 и P4) и проводим отрезок AB. Этот отрезок есть не что иное, как ось Симпсона для четырех точек. Если провести окружности во- круг ΔP1P2A и ΔP3P4B, то они пересекут ось Симпсона в точках R и Q. Эти точки и дают оптимальное решение для задачи Штейнера, ес- ли объединить вершины P1 с P2 и P3 с P4. Де- рево Штейнера будет состоять из пяти отрез- ков P1R, P2R, RQ, P3Q и P4Q. Можно построить дерево Штейнера, объединив вершины P2 с P3 и P1 с P4. В результате получим вторую ось Симпсона. Оптимальное дерево будет соответ- ствовать более короткой из двух осей Симпсона. Для любого конечного числа точек решение задачи Штейнера сводится к построению всех осей Симпсона и сравнению их длин. Однако не для любых положений точек можно постро- ить оси Симпсона. Поэтому для полного реше- ния задачи необходимо находить следующие дополнительные условия: 1) существование данной конструкции (вы- пуклость); 2) невырожденность (возможность постро- ения оси Симпсона); 3) оптимальность указанного варианта. Запишем для данного четырехугольника ко- ординаты вершин A и B, используя (11) из [1]. При этом вместо индексов вершин Pi будем писать индекс i. УСиМ, 2013, № 6 37         1 2 1 2 1 2 2 1 3 4 3 4 3 4 4 3 3 3 ; ; 2 2 2 2 3 3 ; . 2 2 2 2 A A B B x x y yx y y y x x x x y yx y y y x x                 (1) Пусть 1 1 2 3 4 2 3 4 1 S       – циклическая под- становка четвертого порядка. Очевидно, что формула координат точки B получается из формулы координат точки A, если на индексы в формулах для точки A дважды подействовать подстановкой S1 или 2 2 1 1( ) , ( )B A B Ax S x y S y  . Рассмотрим теперь, как выразятся для этого случая три упомянутых условия. 1) Условием выпуклости заданного четы- рехугольника есть положительное значение площадей четырех треугольников, полученных комбинациями трех вершин при движении против часовой стрелки. Обозначим ║i, j, k║ – площадь ΔPiPjPk, где i, j, k {1, 2, 3, 4} движени- ем против часовой стрелки. Тогда условие вы- пуклости ║i,j,k║ = 1 1 1 0.i j k i j k x x x y y y  (2) Пусть ,i j = i j i j x x y y . Тогда (2) можно рас- писать подробнее: ,i j + ,j k – ,i k  0. Из возможных троек вершин можно образо- вать четыре треугольника P1P3P2, P2P4P3, P3P1P4 и P4P2P1. Запишем последнее условие для каждого из них, 3,1 – 2,1 – 3,2  0, 4,2 – 3,2 – 4,3  0, (3) 4,1 – 4,3 – 3,1  0, 4,1 – 2,1 – 4,2  0. Здесь также можно получить все остальные условия из первого, если на цифры 1, 2 и 3 по- действовать подстановкой S1 и при этом учи- тывать, что ,i j = – ,j i . 2) Условия невырожденности, или условия существования двух осей Симпсона получают- ся, если воспользоваться теми же неравенст- вами, но с включением точек A и B. Если ось Симпсона (отрезок AB) пересекает отрезок P1P2, то обязательно , ,1 0A B  и , , 2 0B A  . Действуя на эти неравенства подстановкой S1 дважды, получим аналогичные условия , ,3 0B A  и , , 4 0A B  , которые гаранти- руют пересечение отрезком AB отрезка P3P4. Подставляя выражение для координат вер- шин (1), получим четыре условия, в которых d(i, j) обозначает расстояние между точками Pi и Pj. При этом действии подстановкой d(i, j) = d(j, i) получим:         .0)3,2(d)4,3(d)4,2(d 2 3 4,34,23,124,123,2 ,0)4,1(d)4,3(d)3,1(d 2 3 4,34,13,224,223,1 ,0)4,1(d)4,2(d)2,1(d 2 3 2,14,13,223,124,2 ,0)3,2(d)3,1(d)2,1(d 2 3 2,13,14,224,123,2 222 222 222 222     (4) Эти условия, однако, не гарантируют выпук- лость четырехугольника, как показано на рис. 2. Здесь ось Симпсона AB пересекает отрезок P1P2 и P3P4, однако в вершине P4 нарушается выпуклость четырехугольника. Путем симмет- ричных построений можно добиться наруше- ния выпуклости и в остальных точках. A P2 D P 3 B P1 P4 C Рис. 2 Найдем теперь условия того, что ось Симп- сона CD пересекает отрезки P2P3 и P1P4. Для этого на каждое неравенство (4) следует дейст- вовать подстановкой S1. В результате получим 38 УСиМ, 2013, № 6         .0)4,3(d)4,1(d)3,1(d 2 3 4,222,124,34,13,1:P ,0)2,1(d)4,1(d)4,2(d 2 3 4,323,124,24,12,1:P ,0)2,1(d)3,1(d)3,2(d 2 3 4,323,23,12,14,22:P ,0)4,3(d)4,2(d)3,2(d 2 3 2,123,24,24,33,12:P 222 1 222 4 222 3 222 2     (5) Таким образом, для того, чтобы четырех- угольник P1P2P3P4 был выпуклым и обе оси Симпсона пересекали соответствующие сторо- ны четырехугольника, необходимо выполне- ние 12 условий (3) – (5). Вопрос о достаточно- сти и полноте этих условий выходит за рамки этой статьи, хотя сам по себе вызывает опре- деленный интерес. В зависимости от нумера- ции вершин могут возникать различные ситуа- ции. На примере рис. 2 можно судить, что если хотя бы одно из условий (4) или (5) не выпол- няется, то четырехугольник может быть невы- пуклым. Но даже выполнение всех восьми ус- ловий (4) – (5) не гарантирует выполнение ус- ловий (3). Если выпуклый четырехугольник пронумеровать против часовой стрелки, то все равносторонние треугольники на его сторонах будут построены внутрь и условия (4) – (5) все могут выполняться, но ни одно из условий (3) не будет выполнено. В этом случае, правда, нумерация в обратном порядке приведет все в норму. Есть предположение, что условий (4), (5) и одного (произвольного) условия (3) дос- таточно, чтобы выполнялись все остальные условия (3). Рассмотрим теперь вопрос о существовании невырожденной оси Симпсона, т.е., когда от- резки AR и BQ не пересекаются. Теорема 1. В выпуклом четырехугольнике ось Симпсона будет невырожденной, если со- ответствующий угол между диагоналями че- тырехугольника меньше или равен 120. Для доказательства воспользуемся парамет- рическим представлением отрезка AB. ( ); ( ); A B A A B A x x x x y y y y       (0    1). (6) Точка A соответствует значению =0, а точ- ка B – значению  = 1. Найдем координаты точки R – пересечения отрезка AB с окружно- стью, описанной вокруг P1AP2. Из [1] извест- но, что для этой точки   2 12 /R O A AB AB     , (7) где O1 – центр описанной окружности, коорди- наты которого записаны в (12) из [1]. Если их подставить в (7) и выполнить упрощения, то 2 1 1 2 2 ( )( ) ( )( )2 3 3 B A B A R x x y y y y x x AB          . (8) Если воспользоваться тем же уравнением (6) и найти пересечение отрезка AB с окружно- стью, описанной вокруг P3BP4, то получим 3 4 4 3 2 ( )( ) ( )( )2 3 1 3 B A B A Q y y x x x x y y AB          . (9) Условием невырожденности оси Симпсона AB является Q R   , (10) которое примет окончательный вид 3 2 1 4 1 4 2 3 2 ( )( ) ( )( )2 3 1. 3 B A B Ay y y y x x x x x x y y AB            Подставим сюда значение координат точек A и B (1). Обозначим 1 3 1x x x  , 1 3 1y y y  , 2 4 2x x x  , 2 4 2y y y  , а угол между диаго- налями γ = (P1P3,P2P4). В результате упроще- ний и преобразований получим  1 2 1 2 2 1 1 23 0.x x y y x y x y    Это выражение можно преобразовать к виду             3 1 4 2 3 1 4 2 1 3 2 4 4 2 3 1 3 1 4 2 1 3 2 4 3 2 1 0, 2 x x x x y x y y PP P P x x y y x x y y PP P P                  что окончательно равно cos ( – 30)  0. (11) Отсюда   120, что и требовалось дока- зать. Из двух осей Симпсона AB и CD одна оп- тимальна. Теорема 2. Если в четырехугольнике обе оси Симпсона невырождены, то минимальная ось проходит через стороны, соответствующие углу между диагоналями   90. УСиМ, 2013, № 6 39 Для доказательства воспользуемся теми же обозначениями.     22 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4 3 3 , AB x x y y y y x x                     22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 4 3 3 . CD x x y y y y x x                Раскрыв скобки и упрощая выражение, при- ходим к выводу, что AB CD , если 1 2 1 2 0y y x x  . В первоначальных переменных это равно- сильно (y3 – y1)(y4 – y2) + (x3 – x1)(x4 – x2) ≥ 0. Если это выражение разделить на 1 3 2 4PP P P , то оно сворачивается как косинус угла между диагоналями четырехугольника  1 3 2 4,PP P P    или cos 0  , откуда   90. (12) Эта теорема доказана геометрическим пу- тем. Здесь теорема 1 аналитически доказана впервые. Пусть теперь внутри треугольника P1P2P3 находится четвертая точка P4 (рис. 3). P3 P1 P2 2 4P O 1 4P Рис. 3 Предположим вначале, что все углы треу- гольника P1P2P3 не больше 120. Тогда на каж- дой его стороне можно построить равносторон- ние треугольники и описать окружности. В ре- зультате каждая вершина треугольника будет соединена с точкой Штейнера лункой, образо- ванной двумя дугами соседних окружностей (см. рис. 3). Если четвертая точка находится вну- три какой-либо лунки ( 1 4P ), тогда углы 1 1 4 2PP P и 1 2 4 2P P P больше 120. Поэтому оптимальное дере- во Штейнера будет единственным и состоять из отрезка 1 2 4P P и дерева для 1 1 2 4PP P , которое стро- ится для трех точек уже известным способом. Если же четвертая точка находится вне лунок ( 2 4P ), то здесь только один угол 2 2 4 3 120P P P   , а два угла 2 1 4 2PP P и 2 1 4 3PP P меньше 120. Поэтому в качестве решения возможны два дерева Штей- нера. Первое – состоит из отрезка 2 3 4P P и по- строения Штейнера для 2 1 2 4PP P , второе – из от- резка 2 2 4P P и построения Штейнера для 2 1 4 3PP P . В общем случае можно записать эти условия в виде неравенств. Если заданы координаты всех четырех точек Pi (i = 1,2,3,4), то координаты точки P4 можно выразить как линейную ком- бинацию координат вершин 1 2 3PP P . 4 1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 , , x x x x y y y y       (13) где          3 3 2 2 1 1 ,, и 1 2 3 1 4 3 2 1 2 3 4 3 2 2 1 3 4 3 1 4 2 1 3 4 1 4 2 1 1 1 1 1 1 ; ; 1 1 1 1 1 1 ; . x x x x x x y y y y y y x x x x x x y y y y y y        (14) Если хотя бы один определитель Δi (i = 1,2,3) отрицателен, то точка P4 лежит вне треуголь- ника. Если все Δi  0, то она лежит внутри тре- угольника (при равенстве нулю она лежит на одной из его сторон). Если это установлено, то возможны два случая, когда выполняются две группы равенств. Для них i  3,2,1 , и сложение индексов ведется по 3mod . 2 2 2 1 4 1 4 4 1 4 2 2 2 1 2 1 4 2 4 1 4 2 4 2 2 2 2 3 2 4 3 4 2 4 3 4 , , . i i i i i i i i i i i i i i i i i i PP PP P P PP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P                            (15) Окончание на стр. 43. УСиМ, 2013, № 6 43 Основное число транзисторов в конвейери- зованных схемах приходится на добавленные D-триггеры. Так как число каскадов в схемах может дос- тигать двух и более десятков, то основной вы- вод по эксперименту заключается в том, что повышение быстродействия схемы в несколько десятков раз приводит при использовании кон- вейеризации к увеличению сложности схемы и потребляемого тока также в десятки раз. К при- меру, рассмотрим результаты конвейеризации схемы z9sym, полученной с помощью синтеза- тора СиВер и имеющей 17 каскадов. Все эле- менты схемы z9sym содержат до конвейериза- ции 580 транзисторов, потребляемый ток со- ставляет 1,23 миллиампера. После конвейери- зации во всех элементах схемы (включая до- бавленные триггеры) z9sym имеется 18232 тран- зисторов (увеличение примерно в 30 раз), а ве- личина потребляемого тока составляет 20,49 миллиампера (увеличение почти в 17 раз). Повышение быстродействия во многих слу- чаях – определяющий фактор, ради которого приходится жертвовать ухудшением других параметров схемы. Разработанная программа конвейеризации позволит проектировщику на этапе логического проектирования оценить ап- паратурные затраты для достижения лучшего быстродействия схем. Актуален и вопрос о том, какие методы предварительной оптимизации и какие методы синтеза наиболее предпочтитель- ны для получения экономичных результирую- щих конвейеризованных структур, характери- зующихся меньшим энергопотреблением. 1. Бибило П.Н. Cистемы проектирования интегральных схем на основе языка VHDL. StateCAD, ModelSim, LeonardoSpectrum. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 384 с. 2. Рабаи Ж.М., Чандракасан А., Николич Б. Цифровые интегральные схемы. – М.: Вильямс, 2007. – 912 с. 3. Berkeley PLA test set. – http://www1. cs.columbia.edu/~ cs4861/sis/espresso-examples/ex/ 4. Бибило П.Н., Кириенко Н.А. Оценка энергопотреб- ления логических КМОП-схем по их переключа- тельной активности // Микроэлектроника. – 2012. – № 1 – C. 65–77. 5. Бибило П.Н., Кардаш С.Н., Романов В.И. СиВер – система синтеза и верификации комбинационных логических схем. // Информатика. – 2006. – № 4. – С. 79 – 87. 6. Бибило П.Н., Леончик П.В. Алгоритм построения диаграммы двоичного выбора для системы полно- стью определенных булевых функций. // УСиМ. – 2009. – № 6. – С. 42–49. Поступила 04.06.2013 Тел. для справок: +37 517 284-2084, 284-2076 (Минск) E-mail: bibilo@newman.bas-net.by, kir@newman.bas-net.by © П.Н. Бибило, Н.А. Кириенко, 2013  Окончание статьи А.Гамиш. Якуба и др. В этом случае точка P4 принадлежит лунке, соеди- няющей точку O и вершину треугольника Pi+2. Как пока- зано ранее, в этом случае дерево Штейнера единствен- ное. Во втором случае 2 2 2 1 4 1 4 4 1 4 2 2 2 1 2 1 4 2 4 1 4 2 4 2 2 2 2 3 2 4 3 4 2 4 3 4 , , . i i i i i i i i i i i i i i i i i i PP PP P P PP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P                            (16) Здесь точка P4 находится внутри фигуры, ограниченной двумя лунками и стороной треугольника Pi+2Pi+3. Ранее показано, что здесь возможны два альтернативных дерева Штейнера: первое состоит из отрезка Pi+3P4 и построе- ния Штейнера внутри 1 2 4i iP P P  , а второе – из отрезка P4Pi+2 и построения Штейнера внутри 1 4i iPP P . Заключение. Умея вычислять дерево Штейнера для четырех произвольных точек, можно переходить к вычи- слению такого же дерева для пяти произвольных точек, что и будет представлено в дальнейших работах. 1. Агаи Аг Гамиш Якуб, Донец Г.А. О некоторых ас- пектах классической задачи Штейнера // УСиМ. – 2013. – № 5. – С. 27–31. 2. Brandstädt A., Kratsch D. On the restriction of some NP-complete graph problems to permutation graphs // Proc. of the FCT’85 Conf. – Berlin, 1985. – P. 53–62. 3. Garey M.R., Johnson D.S., Stockmeyer L. Some sim- plified NP-complete graph problems // Theor. Comp. Sci. – 1976. – 1. – P. 237–267. 4. Котов В.М. О задаче Штейнера // Вестн. Бел. гос. ун-та. – Минск, 1982. – 10 с. Деп в ВИНИТИ 29.07.82 г., № 4070–82. Поступила 25.01.2013 Тел. для справок: +38 044 526-2188 (Киев) E-mail: j_donets@mail.ru © Агаи Аг Гамиш Якуб, Г.А. Донец, 2013  << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

О решении классической задачи Штейнера для четырех точек

Репозитарії

Схожі ресурси