Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования
Рассмотрена постановка экспериментального исследования с общесистемных позиций. Впервые сформулированы требования к устойчивым (робастным) планам экспериментов, устойчивым структурам многофакторных статистических моделей и устойчивости коэффициентов моделей. Приведены примеры успешного использования...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Математичні машини і системи |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83390 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования / С.Г. Радченко // Мат. машини і системи. — 2011. — № 1. — С. 96-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83390 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-833902015-06-20T03:01:35Z Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования Радченко, С.Г. Моделювання і управління великими системами Рассмотрена постановка экспериментального исследования с общесистемных позиций. Впервые сформулированы требования к устойчивым (робастным) планам экспериментов, устойчивым структурам многофакторных статистических моделей и устойчивости коэффициентов моделей. Приведены примеры успешного использования разработанного метода корректного решения многофакторных регрессионных задач. Розглянуто постановку експериментального дослідження із загальносистемних позицій. Уперше сформульовані вимоги до стійких (робастних) планів експериментів, стійких структур багатофакторних статистичних моделей і стійкості коефіцієнтів моделей. Наведено приклади успішного використання розробленого методу коректного рішення багатофакторних регресійних задач. The paper deals with setting experimental research from general systems positions. The requirements to stable (robust) experiment plans, stable structures of multifactor statistical models and stability of models coefficients, have been formulated for the first time. Examples of successful use of the developed methods of correct solution of multifactor regression problems are presented. 2011 Article Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования / С.Г. Радченко // Мат. машини і системи. — 2011. — № 1. — С. 96-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83390 621.9:001.8 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами |
| spellingShingle |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Радченко, С.Г. Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования Математичні машини і системи |
| description |
Рассмотрена постановка экспериментального исследования с общесистемных позиций. Впервые сформулированы требования к устойчивым (робастным) планам экспериментов, устойчивым структурам многофакторных статистических моделей и устойчивости коэффициентов моделей. Приведены примеры успешного использования разработанного метода корректного решения многофакторных регрессионных задач. |
| format |
Article |
| author |
Радченко, С.Г. |
| author_facet |
Радченко, С.Г. |
| author_sort |
Радченко, С.Г. |
| title |
Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования |
| title_short |
Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования |
| title_full |
Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования |
| title_fullStr |
Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования |
| title_full_unstemmed |
Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования |
| title_sort |
формализация постановки многофакторного экспериментального исследования |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83390 |
| citation_txt |
Формализация постановки многофакторного экспериментального исследования / С.Г. Радченко // Мат. машини і системи. — 2011. — № 1. — С. 96-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT radčenkosg formalizaciâpostanovkimnogofaktornogoéksperimentalʹnogoissledovaniâ |
| first_indexed |
2025-07-06T10:09:17Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:09:17Z |
| _version_ |
1836891826950242304 |
| fulltext |
96 © Радченко С.Г., 2011
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1
УДК 621.9:001.8
С.Г. РАДЧЕНКО
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОСТАНОВКИ МНОГОФАКТОРНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Анотація. Розглянуто постановку експериментального дослідження із загальносистемних пози-
цій. Уперше сформульовані вимоги до стійких (робастних) планів експериментів, стійких струк-
тур багатофакторних статистичних моделей і стійкості коефіцієнтів моделей. Наведено прик-
лади успішного використання розробленого методу коректного рішення багатофакторних регре-
сійних задач.
Ключові слова: експериментальний метод дослідження, стійкий (робастний) план експерименту,
стійкі структура й коефіцієнти моделей, коректне рішення регресійних задач.
Аннотация. Рассмотрена постановка экспериментального исследования с общесистемных пози-
ций. Впервые сформулированы требования к устойчивым (робастным) планам экспериментов,
устойчивым структурам многофакторных статистических моделей и устойчивости коэффици-
ентов моделей. Приведены примеры успешного использования разработанного метода корректно-
го решения многофакторных регрессионных задач.
Ключевые слова: экспериментальный метод исследования, устойчивый (робастный) план экспе-
римента, устойчивые структура и коэффициенты моделей, корректное решение регрессионных
задач.
Abstract. The paper deals with making the experimental general investigation from the general-system
positions. The requirements to stable (robust) experiment designs, stable structures of multifactor statis-
tical models and stability of models coefficients, have been formulated for the first time. Examples of suc-
cessful use of the developed methods of correct solution of multifactor regression problems are presented.
Key words: experimental method of investigation, stable (robust) experiment design, stable structure and
model coefficients, correct solution of regression problems.
1. Введение. Постановка проблемы
Основными подходами к получению научно обоснованной информации являются теорети-
ко-аналитический и экспериментально-статистический. Эксперимент используется в тех
случаях, когда необходимо подтвердить полученные теоретические выводы или сформу-
лированные гипотезы. Новизна исследуемых систем, процессов, объектов и их сложность
могут быть такими, что использование теоретико-аналитического подхода затруднительно,
неэффективно или невозможно [1, с. 87]. Тогда единственным средством познать реаль-
ную действительность будет проведение экспериментального исследования. Оно всегда
связано с использованием исследовательской установки (стенда), объекта исследования
(образцов), инструментов, измерительной и регистрирующей аппаратуры и других подсис-
тем. Экспериментальный комплекс следует рассматривать как сложную систему, а в экс-
периментальном методе исследования определяющими свойствами являются системные
статистические свойства [1, с. 83–84].
Результаты эксперимента являются следствием суммарного влияния групп управ-
ляемых, неуправляемых и неконтролируемых факторов [2, с. 20–21]. Число управляемых
факторов может достигать 12…20 и более. Число неуправляемых и неконтролируемых
факторов сравнительно велико и исследователю, как правило, не известно. По полученным
экспериментальным результатам необходимо количественно восстановить степень воздей-
ствия каждого из управляемых факторов и оценить влияние групп неуправляемых и не-
контролируемых факторов на исследуемые критерии качества.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 97
Экспериментальные результаты должны быть обработаны с использованием мето-
дов теории вероятностей, математической и прикладной статистики, теории планирования
эксперимента, системного подхода.
Экспериментальный комплекс не является формальным понятием, а результаты
экспериментов, в общем случае, характеризуются свойствами, не известными априори ис-
следователю. Помимо экспериментальных средств получения информации, необходимо
использовать системный подход к конструированию проводимого эксперимента, который
должен обеспечить точность, правильность и устойчивость полученных выводов.
2. Анализ публикаций по теме исследования
Рассматривая эксперимент с общесистемных позиций, известные ученые характеризуют
его как заданный вопрос. М. Планк считал, что «эксперимент есть не что иное, как задан-
ный природе вопрос» [3].
А. Розенблют и Н. Винер, анализируя роль моделей в науке, рассматривали поста-
новку эксперимента как задание определенного вопроса. «Любой эксперимент – всегда не-
кий вопрос. Если вопрос неточен, получить точный ответ на него трудно» [4, с. 171].
Рассматривая общую проблематику постановки вопроса и получения на него отве-
та, И. Кант заключал: «Умение ставить разумные вопросы есть уже важный и необходи-
мый признак ума или проницательности» [5, с. 159].
Приведенные высказывания характеризуют проблему постановки эксперимента
лишь качественно и не дают никаких точных рекомендаций о ее решении.
Будем считать, что постановка эксперимента осуществляется для получения много-
факторных статистических моделей, линейных по параметрам и, в общем случае, не ли-
нейных по факторам системы (процесса, объекта). Проводятся многофакторные экспери-
менты, и получаемые результаты являются следствием влияния всех трех групп факторов:
управляемых, неуправляемых и неконтролируемых. Структура многофакторного уравне-
ния регрессии в общем случае исследователю не известна.
Рассматривая возможность решения проблем планирования эксперимента, д.т.н.
В.В. Налимов считал, что «…хорошая математическая модель – это кардинальный вопрос,
стоящий теперь перед нами во всей своей остроте... Достаточно формализованного ответа
на вопрос – что есть хорошая модель, по-видимому, вообще нельзя будет найти» [6, с. 3].
Построение статистических моделей относится к решению так называемых обрат-
ных задач: по полученным конечным результатам необходимо восстановить структуру
влияющих факторов и их взаимодействий.
Получаемые результаты экспериментов включают случайные погрешности исход-
ных данных, а также погрешности их измерений и вычислений. В общем случае необхо-
димо решать некорректно поставленную задачу.
3. Цель статьи
Изложить и обосновать концепцию постановки, проведения и обработки результатов мно-
гофакторного экспериментального исследования, целью которого является получение ста-
тистических моделей. Решение должно соответствовать корректно поставленной задаче.
4. Формализация постановки эксперимента
Решаемая задача считается корректно поставленной, если: 1) решение существует, 2) ре-
шение единственное, 3) малым изменениям исходных данных соответствуют малые изме-
нения конечных результатов.
98 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1
Анализ условий решения регрессионных задач показывает необходимость исполь-
зования устойчивого (робастного) плана эксперимента, устойчивых структур статистиче-
ских моделей и устойчивого оценивания коэффициентов моделей.
Под устойчивым (робастным) планом эксперимента понимается план полного или
дробного факторного эксперимента, позволяющий выбрать неизвестные исследователю
структуры «истинных» статистических моделей wŷ полиномиального вида, линейных по
параметрам, и получить адекватные модели ( w – текущий номер определяемой модели,
mw ≤≤1 , m – общее число определяемых моделей по устойчивому плану эксперимента).
План эксперимента не изменяется для получаемых различных структур моделей.
Многофакторные математические модели будут характеризоваться необходимыми
статистическими свойствами, если план эксперимента будет соответствовать критериям D-,
A-, E-, G-, Q-оптимальности (теория планирования эксперимента).
План эксперимента должен соответствовать критерию ортогональности, тогда
коэффициенты модели ib , jb статистически независимы и любой из коэффициентов может
быть вычислен независимо от того, известны ли значения других коэффициентов. По
теореме В.З. Бродского, в любом полном факторном эксперименте все эффекты
ортогональны друг к другу [2, с. 126]. Расширенная матрица X главных эффектов и
взаимодействий содержит столбец фиктивного фактора 10 =x , столбцы всех главных
эффектов и всех возможных взаимодействий главных эффектов. Если эффекты факторов и
взаимодействий факторов выразить в виде системы ортогональных нормированных
контрастов, т.е.
∑
=
=
N
u
p
iux
1
)( 0, 0
1
)()( =×∑
=
N
u
q
ju
p
iu xx ,
Nx
N
u
p
iu =∑
=
2
1
)( ][ , [ ( ) ] Nxx q
ju
N
u
p
iu =×∑
=
2
1
)( ,
то матрица дисперсий-ковариаций примет вид
( ) ( ) ( ) ( )εσεσ 221
/1 ENXX =−Τ ,
где )( p
iux – значение p -го ортогонального контраста i -го фактора для u -й строки матрицы
планирования, Nu ≤≤1 , 11 −≤≤ isp ;
)(q
jux – значение q -го ортогонального контраста j -го фактора для u -й строки матрицы
планирования, 11 −≤≤ jsq , kji ≤<≤1 ;
X – матрица эффектов полного факторного эксперимента;
( )εσ 2 – теоретическое значение дисперсии воспроизводимости результатов опытов;
N – число опытов в плане эксперимента;
E – единичная матрица.
Ортогональный многофакторный план эксперимента является максимально
устойчивым (робастным) при получении не известной ранее исследователю структуры
модели и оценке ее коэффициентов. Главные эффекты и некоторые их взаимодействия
дробного факторного эксперимента будут ортогональными, если план эксперимента
отвечает условию пропорциональности частот уровней, т.е. относится к многофакторным
регулярным планам экспериментов [2, с. 146–150].
Полный факторный эксперимент соответствует всем критериям робастного плана
эксперимента. Статистические модели, полученные по планам полных факторных
экспериментов, будут «наилучшими» из возможных моделей и, следовательно,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 99
«истинными». Для дробных факторных экспериментов обеспечить соответствие всем
критериям робастных планов не представляется возможным. Анализ известных дробных
факторных экспериментов показал, что наилучшими свойствами характеризуются
многофакторные регулярные планы и планы на основе ЛПτ равномерно распределенных
последовательностей [2, с. 159–169].
Разработан новый подход формализованного выбора устойчивых структур
многофакторных статистических моделей, линейных относительно параметров и, в общем
случае, нелинейных по факторам.
Устойчивая структура многофакторной статистической модели – структура,
которая характеризуется неизменностью множества главных эффектов и взаимодействий
многофакторной статистической модели полиномиального вида при изменении значений
результатов экспериментов (откликов), порождаемых случайными ошибками
(погрешностями) результатов наблюдений, измерений, вычислений и неопределенностью
искомой структуры модели. Структурные элементы моделей выбираются из множества
структурных элементов модели полного факторного эксперимента с ортогональными или
слабо коррелированными (коэффициент парной корреляции 3,0<ijr ) эффектами с
использованием устойчивого (робастного) плана эксперимента.
Впервые предложено структуру многофакторной статистической модели, не
известной ранее исследователю, выражать в виде множества эффектов:
Π
=
− →∏ Nxxx
k
i
s
iii
i
1
)1()2()1( )+...+ + +(1 ,
где 1 – значение фиктивного фактора 10 ≡x ; ...,, , )1()2()1( −is
iii xxx – ортогональные контрасты
факторов iX ; k – общее число факторов, ki ≤≤1 ; (1), (2), …, ( )1−is – порядок контрастов
фактора iX ; is – число различных уровней для факторов iX ; ΠN – число структурных
элементов полного факторного эксперимента, равное числу опытов эксперимента.
Структура включает множество главных эффектов и множество взаимодействий
главных эффектов, необходимых и достаточных для получения адекватных
статистических моделей. Необходимость обосновывается теоремами Вейерштрасса,
Стоуна, Джексона, а достаточность подтверждается многочисленным использованием
структуры для адекватной аппроксимации различных полных и дробных факторных
экспериментов.
Для получения «наилучших» структур статистических моделей необходимо
выполнение следующих условий: 1) статистическая независимость коэффициентов моделей,
2) статистическая значимость коэффициентов, 3) соответствие плана эксперимента
устойчивому (робастному) плану, 4) эффекты, введенные в модель, должны быть
нормированы.
Необходимо также обеспечить устойчивость коэффициентов модели. Под
устойчивостью коэффициентов статистической модели будем понимать минимально
возможную изменчивость коэффициентов многофакторной статистической модели
полиномиального вида к случайным ошибкам (погрешностям) результатов наблюдений,
измерений и вычислений.
Для оценки устойчивости коэффициентов используется критерий Неймана-
Голдстейна:
( ) minmax / λλ=Τ XXP ,
где maxλ , minλ – максимальное и минимальное собственные числа для информационной
матрицы Фишера XX Τ , и мера обусловленности
100 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1
( ) ( ) 1−ΤΤΤ ×= XXXXXXcond ,
где ║⋅⋅⋅⋅║ – обозначение нормы матрицы.
Предполагается, что матрица XX Τ не вырождена.
Если все эффекты в расширенной матрице X ортогональны друг к другу и
нормированы, то обе меры равны 1, и коэффициенты будут максимально устойчивы.
Устойчивость коэффициентов модели наилучшая, если 1=cond , хорошая
101 ≤< cond , удовлетворительная 10010 ≤< cond , неудовлетворительная 100>cond .
Каждый коэффициент будет определяться независимо от других коэффициентов
модели. Полученная статистическая модель будет соответствовать наилучшим
статистическим свойствам: адекватность, информативность, устойчивость, статистическая
эффективность, семантичность (информационная) и др. Следовательно, эксперимент как
вопрос будет поставлен наилучшим образом, так как будет решаться корректно
поставленная задача.
Разработанные методы устойчивого оценивания многофакторных статистических
моделей позволяют надежно решать поставленные задачи прогнозирования, оптимизации,
автоматизированного управления, изучения механизмов происходящих явлений.
Была решена задача информационной коррекции переменных систематических по-
грешностей средств измерений и измерительных информационных систем [7]. Исследова-
лась зависимость измеряемой величины ( )Dŷ (показание датчика) от факторов 1X (гисте-
резис), 2X (температура окружающей среды), 3X (напряжение питания), 4X (измеряемый
вес). Структура статистической модели была не известна.
С использованием системы ортогональных контрастов структура полного фактор-
ного эксперимента для перечисленных выше факторов будет иметь следующий вид:
( )( )( )( ) 1084444433221 1111 Nwvgzxzxzxx →++++++++++ ,
где 4444241 ,,,,...,,,..., wvgzzxx – соответственно линейные, квадратичные, кубический,
четвертой и пятой степени ортогональные контрасты факторов 41,...,XX ;
108N – число структурных элементов для схемы полного факторного эксперимента.
Использовался полный факторный эксперимент 21×32×61//108. Модель была
получена, и все проверки были проведены с использованием программного средства
«Планирование, регрессия и анализ моделей» (ПС ПРИАМ) [2, с. 45–47].
Полученная модель имеет вид
( )
,65431,143465,127434,90094,96574,19
0708,191658,235229,372083,4513,37159,28968ˆ
322142323
42234
xzxxxzzxz
zxzxxDy
++−−−
−−+−+−=
где ( )5,02 11 −= Xx ;
( )3333,270306122,0 22 −= Xx ; ( )575594,0237337,096006,1 2
2
22 −−= xxz ;
( )1233333,3 33 −= Xx ; ( )6666667,05,1 2
33 −= xz ;
( )5002,0 44 −= Xx ; ( )466667,0875,1 2
44 −= xz ;
( )4
3
44 808,072024,3 xxg −= ; ( )1296,108571,159549,7 2
4
4
44 +−= xxv .
Все коэффициенты модели статистически значимы. Модель адекватна,
высокоинформативна и максимально устойчива, семантична в информационном смысле.
Модель позволяет провести содержательный информационный анализ влияния факторов и
их взаимодействий на моделируемый критерий качества: раскрыть нелинейность средства
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1 101
измерения и системное влияние факторов (эмергентность) внешней среды и внутренних
условий. С использованием модели точность измерений может быть повышена на порядок.
Успешно также была решена задача математического моделирования и
компромиссной оптимизации технологического процесса электроэрозионной прошивки
отверстий [8]. Структуры моделей заранее были не известны.
В этом исследовании критериями качества являются:
1y – производительность обработки Π , мм3/мин; max→Π ;
2y – износ электроэрозионного инструмента J , %; min→J .
Использовался регулярный дробный факторный план эксперимента 35//27, который
содержит 27 опытов и является равномерным планом; каждый опыт повторялся дважды.
Каждый из 5 факторов варьировался на 3 уровнях: 1X (давление прокачиваемой
жидкости), 2X (рабочий ток в межэлектродном зазоре), 3X (частота импульсов), 4X
(напряжение на вибраторе), 5X (напряжение на двигателе подачи электроинструмента).
Структурные составляющие моделей выбирались с использованием алгоритма RASTA3 [2,
с. 179–180] из множества элементов структуры полного факторного эксперимента, которая
имеет следующий вид:
( ) ( )×++×++ 2211 11 zxzx ( ) Π→++× Nzx 551 .
С применением ПС ПРИАМ получены модели:
3321232321 70,189,228,215,385,456,102780,88ˆ zxzxzzzxxy −++−+++= ;
421521321543312 29,356,275,2331,438,589,54ˆ zzzzxzzxzzxxxxy ++++++= ,
где ( )12 11 −= Xx , ( )666667,05,1 2
11 −= xz ; ( )2225,0 22 −= Xx , ( )666667,05,1 2
22 −== xz ;
333 −= Xx , ( )666667,05,1 2
33 −= xz ; ( )7005,0 44 −= Xx , ( )666667,05,1 2
44 −= xz ;
( )8005,0 55 −= Xx , ( )666667,05,1 2
55 −= xz .
Обе построенные модели 1ŷ и 2ŷ адекватны, высокоинформативны, максимально
устойчивы, статистически эффективны.
В результате проведенной с использованием полученных статистических моделей
многокритериальной (компромисс по Парето) оптимизации было найдено оптимальное
сочетание уровней факторов, влияющих на критерии качества процесса
электроэрозионной прошивки отверстий.
С областями использования разработанной методологии и полученными
результатами можно ознакомиться в [9].
5. Выводы
1. Успешно реализован системный подход в получении многофакторных статистических
моделей, который позволяет создавать надежную и устойчивую систему постановки
эксперимента и получать корректное решение задач. Эксперимент как вопрос ставится
максимально точно, и решается корректно поставленная задача.
2. Получаемые статистические модели позволяют установить причинные, структурные и
количественные связи между группой управляемых факторов и моделируемыми
критериями качества систем, процессов, объектов. Модели соответствуют критерию
семантичности в информационном смысле. Их можно использовать для прогноза,
автоматизированного управления, оптимизации, изучения механизмов происходящих
явлений.
102 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Радченко С.Г. Системные статистические свойства экспериментального метода исследования /
С.Г. Радченко // Математичні машини і системи. – 2006. – № 4. – С. 83 – 89.
2. Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей / Радченко С.Г. – К.: ПП
«Санспарель», 2005. – 504 с.
3. Грубба К. Научное приборостроение и автоматизация / К. Грубба, Н. Лангхофф, Г. Петер // Ма-
териалы III Международной школы по автоматизации научных исследований (Пущино, июнь
1988 г.). – Пущино: АН СССР, 1990. – С. 34 – 52.
4. Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика / Неуймин Я.Г.; под ред.
Н.С. Соломенко. – Л.: Наука, Ленинград. отд., 1984. – 190 с.
5. Кант И. Сочинения: в 6 т. / Кант И.; под общ. ред. В.Ф. Асмуса и др. – М.: Мысль, 1964. – Т. 3. –
799 с.
6. Налимов В.В. Планирование эксперимента. Найдут ли новые проблемы новые решения? /
В.В. Налимов // Журнал Всесоюзного химического общества им. Д.И. Менделеева. – 1980. – Т. 25,
№ 1. – С. 3 – 4.
7. Радченко С.Г. Информационная коррекция переменных систематических погрешностей средств
измерений и измерительных информационных систем / С.Г. Радченко, П.Н. Бабич // Радиоэлектро-
ника и информатика. – 1999. – № 3(8). – С. 82 – 88.
8. Радченко С.Г. Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація техноло-
гічного процесу електроерозійного прошиття отворів / С.Г. Радченко // Математичні машини і сис-
теми. – 2003. – № 3, 4. – С. 186 – 200.
9. Лаборатория экспериментально-статистических методов исследований [Электронный ресурс]. –
Режим доступа: http://www.n-t.org/sp/lesmi/.
Стаття надійшла до редакції 13.05.2010
|