Марковские гиперслучайные модели
Понятие марковского случайного процесса обобщено на случай гиперслучайного процесса. Для гиперслучайного марковского процесса получены уравнения, аналогичные известным уравнениям Колмогорова для марковского случайного процесса. В качестве примеров рассмотрены винеровский и гауссовский гиперслучайные...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83516 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Марковские гиперслучайные модели / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 92-99. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83516 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-835162015-06-21T03:02:06Z Марковские гиперслучайные модели Горбань, И.И. Моделювання і управління великими системами Понятие марковского случайного процесса обобщено на случай гиперслучайного процесса. Для гиперслучайного марковского процесса получены уравнения, аналогичные известным уравнениям Колмогорова для марковского случайного процесса. В качестве примеров рассмотрены винеровский и гауссовский гиперслучайные марковские процессы. Поняття марківського випадкового процесу узагальнено на випадок гіпервипадкового процесу. Для гіпервипадкового марківського процесу отримані рівняння, аналогічні відомим рівнянням Колмогорова для марківського випадкового процесу. Як приклади розглянуті вінеровський і гауссівський гіпервипадкові марківські процеси. The notion of Markov random process has been generalized on hyper-random process. Equations similar to known Kolmogorov equations for Markov random process have been obtained for hyper-random Markov process. As examples, Wiener and Gaussian hyper-random Markov processes have been researched. 2011 Article Марковские гиперслучайные модели / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 92-99. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83516 519.2+600.1 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами |
| spellingShingle |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Горбань, И.И. Марковские гиперслучайные модели Математичні машини і системи |
| description |
Понятие марковского случайного процесса обобщено на случай гиперслучайного процесса. Для гиперслучайного марковского процесса получены уравнения, аналогичные известным уравнениям Колмогорова для марковского случайного процесса. В качестве примеров рассмотрены винеровский и гауссовский гиперслучайные марковские процессы. |
| format |
Article |
| author |
Горбань, И.И. |
| author_facet |
Горбань, И.И. |
| author_sort |
Горбань, И.И. |
| title |
Марковские гиперслучайные модели |
| title_short |
Марковские гиперслучайные модели |
| title_full |
Марковские гиперслучайные модели |
| title_fullStr |
Марковские гиперслучайные модели |
| title_full_unstemmed |
Марковские гиперслучайные модели |
| title_sort |
марковские гиперслучайные модели |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83516 |
| citation_txt |
Марковские гиперслучайные модели / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2011. — № 2. — С. 92-99. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT gorbanʹii markovskiegiperslučajnyemodeli |
| first_indexed |
2025-07-06T10:16:54Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:16:54Z |
| _version_ |
1836892306984140800 |
| fulltext |
92 © Горбань И.И., 2011
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
УДК 519.2+600.1
И.И. ГОРБАНЬ
МАРКОВСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ
Анотація. Поняття марківського випадкового процесу узагальнено на випадок гіпервипадкового
процесу. Для гіпервипадкового марківського процесу отримані рівняння, аналогічні відомим рівнян-
ням Колмогорова для марківського випадкового процесу. Як приклади розглянуті вінеровський і
гауссівський гіпервипадкові марківські процеси.
Ключові слова: теорія гіпервипадкових явищ, марківський процес, вінеровський процес,
гауссівський процес.
Аннотация. Понятие марковского случайного процесса обобщено на случай гиперслучайного про-
цесса. Для гиперслучайного марковского процесса получены уравнения, аналогичные известным
уравнениям Колмогорова для марковского случайного процесса. В качестве примеров рассмотрены
винеровский и гауссовский гиперслучайные марковские процессы.
Ключевые слова: теория гиперслучайных явлений, марковский процесс, винеровский процесс, гаус-
совский процесс.
Abstract. The notion of Markov random process has been generalized on hyper-random process. Equa-
tions similar to known Kolmogorov equations for Markov random process have been obtained for hyper-
random Markov process. As examples, Wiener and Gaussian hyper-random Markov processes have been
researched.
Keywords: theory of hyper-random phenomena, Markov process, Wiener process, Gaussian process.
1. Введение
Для описания различных физических эффектов широко используются вероятностные под-
ходы. Теория вероятности создавалась, а затем развивалась в первую очередь для описания
физических событий, величин, процессов и полей, обладающих свойством статистической
устойчивости.
Как ни странно, до недавнего времени понятие статистической устойчивости не бы-
ло формализовано. В работах [1, 2] введены понятия статистической устойчивости после-
довательности случайных величин и случайных процессов и предложены параметры, ха-
рактеризующие нарушение статистической устойчивости на конечном интервале наблю-
дения.
Экспериментальные исследования реальных процессов различной физической при-
роды показали [1–3], что на больших интервалах наблюдения происходят нарушения ста-
тистической устойчивости.
Для описания и изучения статистически неустойчивых явлений была предложена
новая физико-математическая теория гиперслучайных явлений [2, 4], рассматривающая
проблему нарушения статистической устойчивости как с физических, так и математиче-
ских позиций.
В рамках новой теории физические явления (события, величины, процессы, поля)
представляются гиперслучайными явлениями (гиперслучайными моделями), под которы-
ми понимается множество случайных событий, величин или функций, каждый элемент ко-
торого ассоциируется с определенными статистическими условиями g G∈ .
В настоящее время сформированы основы теории, однако остаются еще не изучен-
ными многие вопросы, представляющие прикладной интерес, в частности, вопросы ее
применения для решения статистических задач физики.
Целью настоящей статьи является разработка основ построения гиперслучайных
марковских моделей для решения практических задач.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 93
2. Определение марковского гиперслучайного процесса
Пусть 0 0( ),..., ( )N NX X t X X t= = – значения непрерывного гиперслучайного процесса
( )X t в произвольные моменты времени 0 1 ... N t t t< < < . Гиперслучайный процесс ( )X t
назовем марковским, если для любого момента времени N t и любого условия
Nt
g G∈ одно-
мерная условная плотность вероятностей
0 1 11 0 1 0 1 1 1 1( ; ; / ,..., ; ,..., ; ,..., ) ( ; ; / ; ; ).
N N N NN N t N N t t N N t N N tf x t g x x t t g g f x t g x t g
− −− − − −= (1)
Отсюда следует, что многомерная плотность вероятностей марковского гиперслу-
чайного процесса ( )X t может быть представлена следующим образом:
0 0 10 0 1 0 0 1 1
1
( ,..., ; ,..., ; ,..., ) ( ; ; ) Π( ; ; / ; ; ),
N n n
N
N N N t t t n n t n n t
n
f x x t t g g f x t g x t g x t g
−− −
=
= ∏ (2)
где
11 1Π( ; ; / ; ; )
n nn n t n n tx t g x t g
−− − =
11 1 1( ; ; / ; ; )
n nn n t n n tf x t g x t g
−− − – плотность вероятностей пере-
хода случайной величины ( ) / tX t g , находящейся в состоянии 1nx − в момент времени 1nt − в
условиях
1nt
g
−
в состояние nx в момент времени nt в условиях
nt
g .
Из выражения (1) следует, что если значения гиперслучайного процесса в любые
несовпадающие моменты времени независимы при всех условиях tg , то процесс – марков-
ский. Обратное утверждение неверно.
Плотность вероятностей перехода Π( ; ; / ; ; )t tx t g x t g ′′ ′ является неотрицательной ве-
личиной, нормированной к единице:
Π( ; ; / ; ; )d 1t tx t g x t g x
∞
′
−∞
′ ′ =∫ .
Кроме того, эта плотность вероятностей обладает свойством сингулярности:
lim Π( ; ; / ; ; ) ( )
t t
t t
t t
g g
x t g x t g x x
′
′′→
→
′ ′ ′= δ −
и удовлетворяет обобщенному уравнению Маркова (уравнению Смолуховского):
0 00 0 0 0Π( ; ; / ; ; ) Π( ; ; / ; ; )Π( ; ; / ; ; )d .t t t t t tx t g x t g x t g x t g x t g x t g x
∞
′ ′
−∞
′ ′ ′ ′ ′= ∫
3. Уравнения Колмогорова для марковского гиперслучайного процесса
Для марковского гиперслучайного процесса ( )X t плотность вероятностей перехода
00 0Π( ; ; / ; ; )t tx t g x t g из состояния 0x в момент времени 0 t в условиях
0t
g в состояние x в
момент времени t в условиях tg определяется уравнением
0 0
0
0 0 0 0
0 0
10 0
( ; ; ) Π( ; ; / ; ; )
Π( ; ; / ; ; ) ,
!
t t t
t t
A x t g x t g x t g
x t g x t g
t x
ν
ν∞
ν
ν=
∂∂
− =
∂ ν ∂∑ (3)
где
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 00
1
( ; ; ) lim M ( ( ; / ; ; ) ( ; / ; ; )) .
t t t
t t t t t t
t
g g
A x t g X t t g x t g X t g x t g
tν
+∆
ν
+∆∆ →
→
= + ∆ − ∆
Это выражение прямо следует из известной теоремы для случайного марковского
процесса [5, 6].
94 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
Случайная величина
0 00 0 0( ; / ; ; )t t tX t t g x t g+∆+ ∆ −
0 00 0 0( ; / ; ; )t tX t g x t g представляет
собой приращение состояния, происходящее за время t∆ . Поэтому коэффициенты
00 0( ; ; )tA x t gν можно трактовать как локальные скорости изменения начальных моментов
ν -го порядка приращения состояния.
По аналогии с уравнениями, описывающими диффузионные случайные процессы,
гиперслучайные процессы, описываемые уравнением (3) с коэффициентами, равными ну-
лю для всех 3ν ≥ , будем называть диффузионным или первым (обратным) уравнением
Колмогорова:
0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
2
0 0 0 02
0
Π( ; ; / ; ; ) ( ; ; ) Π( ; ; / ; ; )
1
( ; ; ) Π( ; ; / ; ; ),
2
t t t t t
t t t
x t g x t g a x t g x t g x t g
t x
b x t g x t g x t g
x
∂ ∂
− = +
∂ ∂
∂
+
∂
(4)
а уравнение
0 0
0
0 0 0 0
2
0 02
Π( ; ; / ; ; ) ( ; ; )Π( ; ; / ; ; )
1
( ; ; )Π( ; ; / ; ; )
2
t t t t t
t t t
x t g x t g a x t g x t g x t g
t x
b x t g x t g x t g
x
∂ ∂
= − + ∂ ∂
∂
+ ∂
(5)
– уравнением Фоккера – Планка – Колмогорова или прямым уравнением Колмогорова, где
0 00 0 1 0 0( ; ; ) ( ; ; )t ta x t g A x t g= – коэффициент сноса, а
0 00 0 2 0 0( ; ; ) ( ; ; )t tb x t g A x t g= – коэффи-
циент диффузии.
Гиперслучайные марковские процессы, описываемые уравнениями (4), (5), будем
называть диффузионными.
Уравнения (4) и (5) – зависимые.
Из уравнения (5) следует уравнение для одномерной плотности вероятностей:
[ ] [ ]
2
1 1 12
1
( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) .
2t t t t tf x t g a x t g f x t g b x t g f x t g
t x x
∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂ ∂
(6)
Гиперслучайный диффузионный марковский процесс будем называть однородным
во времени, если плотность вероятностей перехода
00 0Π( ; ; / ; ; )t tx t g x t g не зависит прямо
от моментов времени t , 0t и условий tg ,
0tg , а определяется лишь их разностями
0t tτ = − ,
0τ t tg g g= − :
00 0 0Π( ; ; / ; ; ) Π( / ; τ; )t tx t g x t g x x g τ= . Одномерная плотность вероят-
ностей такого процесса 1( )f x , а также коэффициенты сноса ( )a x и диффузии ( )b x не за-
висят от времени и условий.
Если непрерывный гиперслучайный марковский процесс стационарен в узком
смысле при всех условиях [2], то он однороден. Это следует из известной теоремы для
случайных марковских процессов [5]. Обратное утверждение неверно.
Из соотношения (6) следует, что для стационарного в узком смысле при всех усло-
виях диффузионного однородного гиперслучайного марковского процесса
[ ]1 1
d
( ) ( ) 2 ( ) ( )
d
b x f x a x f x C
x
= + ,
где C – константа, определяемая из условия нормировки.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 95
Стохастическим дифференциальным уравнением, описывающим гиперслучайный
процесс, будем называть уравнение вида
d
( , , ) ( , , ) ( ; )
d t t t
x
h x t g g x t g N t g
t
= + ,
где ( , , )th x t g и ( , , )tg x t g – детерминированные функции, удовлетворяющие условиям
Липшица,
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )t t t th x t g h y t g g x t g g y t g L x y− + − ≤ − ( const 0)L = > ,
{ }( ) ( ; ),t tN t N t g g G= ∈ – гиперслучайный гауссовский шум, представляющий собой мно-
жество гауссовских некоррелированных случайных процессов ( ; )tN t g с нулевым матема-
тическим ожиданием и спектральной плотностью мощности 0( ) / 2tN g , зависящей от ус-
ловий tg в момент времени t .
4. Винеровский гиперслучайный процесс
Разберем следующую задачу статистической механики. Пусть в газе или жидкости нахо-
дится микрочастица единичной массы. Температура среды T непредсказуемо меняется в
пределах 1 2[ , ]T T . При фиксированной температуре T скорость теплового движения моле-
кулы в фиксированном направлении представляет собой случайную величину, описывае-
мую в приближении Максвелла гауссовским законом распределения с нулевым математи-
ческим ожиданием и дисперсией /kT m [7], где k – постоянная Больцмана, m – масса мо-
лекулы.
Из-за непредсказуемого изменения температуры среды скорость теплового движе-
ния молекулы статистически неустойчива и может быть описана гиперслучайной величи-
ной, границы дисперсии которой равны 1 /kT m , 2 /kT m .
Молекулы, сталкиваясь с частицей, вызывают ее перемещение. В каждый фиксиро-
ванный момент времени происходит большое число таких столкновений. Силу удара ( )N t ,
вызывающего движение частицы вдоль заданного направления и скорость движения час-
тицы ( )V t , можно рассматривать как гиперслучайные функции гауссовского типа.
Если при фиксированных статистических условиях tg (температуре среды) сила
удара описывается гауссовской случайной функцией ( ; )tN t g в виде гауссовского белого
шума с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью мощности
0( ) / 2tN g , то на основании второго закона Ньютона скорость движения частицы ( ; )tV t g
описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением:
d ( ; )
( ; )
d
t
t
v t g
n t g
t
= . (7)
Решением уравнения при нулевом начальном условии ( 0(0; ) 0v g = ) является чисто
диффузионный (винеровский) гиперслучайный процесс:
11 1
0
( ; ) ( ; )d
t
t tv t g n t g t= ∫ . (8)
Из выражения (8) видно, что значение процесса в текущий момент времени t в ус-
ловиях tg определяется множеством статистических условий в момент времени t и пред-
96 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
шествующие ему моменты времени 1t t< . Это значение зависит от частоты встречаемости
в реализации тех или иных условий.
Гиперслучайный винеровский процесс обладает свойствами, похожими (но не
идентичными) на свойства случайного винеровского процесса:
– гиперслучайный винеровский процесс является центрированным
( ( ) M[ ( , )]=0v tm t V t g= );
– дисперсия этого процесса описывается интегралом
1 2 1
2
1 2 1 2 0 1
0 0 0
1
σ ( ) M[ ( ; ) ( ; )]d d ( )d
2
t t t
v t t tt n t g n t g t t N g t= =∫ ∫ ∫ ;
– процесс – гауссовский. Его плотность вероятностей описывается выражением
2
1 2
1
( ; ; ) exp
2σ ( )2 σ ( )
t
vv
v
f v t g
tt
= − π
; (9)
– процесс – марковский, поскольку описывается выражением
3
2
2
3 2( ) ( ; ) ( , )d
t
t t
t
v t v t g n t g t= + ∫ ;
– процесс имеет нулевой коэффициент сноса ( ( ; ; ) 0ta v t g = ) и коэффициент диффу-
зии 0( ; ; ) ( ) / 2t tb v t g N g= , зависящий в общем случае от времени.
В частном случае, когда условия tg не зависят от времени t ( tg g= ), дисперсия
винеровского гиперслучайного процесса 2
0σ ( ) ( ) / 2v t N g t= .
Границы дисперсии 2σ ( )iv t , 2σ ( )sv t этого процесса описываются выражениями
2
0σ ( ) / 2iv it N t= , 2
0σ ( ) / 2sv st N t= , где 0iN и 0sN – соответственно нижняя и верхняя границы
спектральной плотности мощности 0N гиперслучайного гауссовского шума ( )N t .
Отсюда следует, что диапазон изменения дисперсии винеровского гиперслучайного
процесса расширяется пропорционально времени t .
Для гиперслучайного винеровского процесса с учетом приведенных свойств прямое
уравнение Колмогорова имеет вид
2
1 1
0 2
( ; ; ) 1 ( ; ; )
( )
4
t t
t
f v t g f v t g
N g
t v
∂ ∂
=
∂ ∂
,
а его решение описывается выражением (9).
5. Гауссовский марковский гиперслучайный процесс
Обобщением рассмотренного винеровского гиперслучайного процесса является гауссов-
ский марковский гиперслучайный процесс ( )X t , случайные составляющие которого удов-
летворяют стохастическому дифференциальному уравнению
d ( ; )
α ( ; ) γ ( ; )
d
t
t t
x t g
x t g n t g
t
+ = , (10)
где α, γ – постоянные коэффициенты.
К такому уравнению можно прийти, в частности, рассматривая предыдущую задачу
с учетом вязкости среды.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 97
Тот факт, что рассматриваемый гиперслучайный процесс ( )X t является гауссов-
ским, следует из того, что ( ; )tN t g – гауссовский белый шум, а уравнение (10) – линейное.
То, что гиперслучайный процесс ( )X t является марковским, следует из того, что случай-
ный процесс ( ; )tX t g – марковский.
Общим решением однородного уравнения, соответствующего уравнению (10), яв-
ляется ( ; ) exp( α )tx t g C t= − , где C – константа. Частным решением этого уравнения явля-
ется
11 1 1
0
( ; ) γexp( α ) ( , )exp(α )d
t
t tx t g t n t g t t= − ∫ ,
а его общим решением –
10 1 1 1
0
( ; ) (0, )exp( α ) γexp( α ) ( , )exp(α )d ,
t
t tx t g x g t t n t g t t= − + − ∫ (11)
где 0(0, )x g – начальные условия в нулевой момент времени в условиях 0g .
Из выражения (11) видно, что значение процесса в текущий момент времени t в ус-
ловиях tg так же, как и для винеровского гиперслучайного процесса, определяется множе-
ством статистических условий
1t
g в предшествующие моменты времени 1t t< и в момент
времени t . Но в отличие от винеровского процесса это значение зависит не от частоты
встречаемости в реализации тех или иных условий
1t
g , а от последовательности следова-
ния этих условий.
Гиперслучайный гауссовский марковский процесс обладает свойствами, похожими
на (но не идентичными) свойства случайного гауссовского марковского процесса:
– математическое ожидание гиперслучайного гауссовского марковского процесса
не зависит от изменения во времени условий и определяется условиями 0g в первоначаль-
ный момент времени: 0( ) (0; )exp( α )xm t x g t= − ;
– дисперсия этого процесса:
1
2
2
0 1 1
0
γ
σ ( ) ( )exp(2α( ))d
2
t
x tt N g t t t= −∫ ;
– ковариационная функция процесса:
2
1 2( , ) σ ( )exp( α|τ|),x xR t t t= −
где 2 1 1 2τ ; min( , ) 0t t t t t= − = ≥ ;
– коэффициент сноса ( ; ; ) α ( ; )t ta x t g x t g= − , а коэффициент диффузии
2
0( ; ; ) ( )γ / 2t tb x t g N g= .
Нетрудно убедиться, что при α>0 границы дисперсии 2σ ( )ix t , 2σ ( )sx t и границы ко-
вариационной функции 1 2( , )ixR t t , 1 2( , )sxR t t гауссовского марковского гиперслучайного
процесса описываются выражениями
( )
2
02σ ( ) 1 exp( 2α )
4α
i
ix
N
t t
γ
= − − , ( )
2
02σ ( ) 1 exp( 2α )
4α
s
sx
N
t t
γ
= − − ,
2
1 2( , ) σ ( )exp( α|τ|),ix ixR t t t= − 2
1 2( , ) σ ( )exp( α|τ|).sx sxR t t t= −
Отсюда следует, что с ростом t диапазон изменения дисперсии гиперслучайного
процесса постепенно возрастает, но при t → ∞ стремится к независящему от времени ин-
98 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2
тервалу 2 2
0 0/ (4α), / (4α)i sN N γ γ (рис. 1а). Дисперсия процесса в момент времени t оп-
ределяется статистическими условиями в этот момент времени и предшествующие ему
моменты времени.
0
2
0
4α
sN γ
t
2σ ( )sx t
2σ ( )ix t
2
0
4α
iN γ
2σ ( )ix t
2σ ( )sx t
(τ)sxR
(τ)ixR
τ
а б
Рис. 1. Границы дисперсии (а) и границы ковариационной функции (б) гауссовского марковского
гиперслучайного процесса
При увеличении величины τ (интервала между отсчетами) диапазон изменения ко-
вариационной функции уменьшается и при τ → ∞ стремится к нулю (рис. 1 б). При этом
коэффициент корреляции процесса
1 2
1 2 2
( , )
( , ) exp( α τ )
σ ( )
x
x
x
R t t
r t t
t
= = −
не зависит от изменения статистических условий во времени.
Прямое уравнение Колмогорова для плотности вероятностей гауссовского марков-
ского гиперслучайного процесса имеет вид
2 2
1 0 1
1 2
( ; ; ) γ ( ) ( ; ; )
α [ ( ; ; )]
2
t t t
t
f x t g N g f x t g
xf x t g
t x x
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
.
Решение этого уравнения описывается гауссовской функцией
2
1 2
1 ( ( ))
( ; ; ) exp
2σ ( )2 σ ( )
x
t
xx
x m t
f x t g
tt
−
= − π
.
6. Выводы
1. Для описания физических процессов в непредсказуемо меняющихся статистических ус-
ловиях предложены марковские гиперслучайные модели.
2. Обобщено понятие марковского процесса на случай гиперслучайного процесса. Получе-
ны прямое и обратное уравнения Колмогорова, описывающие диффузионные гиперслу-
чайные процессы.
3. Исследованы винеровский и гауссовский марковский гиперслучайные процессы. Уста-
новлено, что значения этих процессов определяются статистическими условиями в теку-
щий момент времени и моменты времени, предшествующие ему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбань И.И. Нарушение статистической устойчивости физических процессов / И.И. Горбань //
Математичні машини і системи. – 2010. – № 1. – С. 171 – 184.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2 99
2. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы / Горбань
И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 320 с.
3. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability / I.I. Gorban // Information Models of Knowledge. – Kiev
– Sofia: ITHEA, 2010. – P. 398 – 410.
4. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений [Электронный ресурс] / Горбань И.И. – К.:
ИПММС НАН Украины, 2007. – 184 с. – Режим доступа: http://ifsc.ualr.edu/jdberleant/intprob/,
http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html.
5. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк [и др.]. – М.:
Наука, 1985. – 637 с.
6. Горбань І.І. Теорія ймовірностей і математична статистика для наукових працівників та
інженерів [Електронний ресурс] / Горбань І.І. – К.: ИПММС НАН України, 2003. – 245 с. – Режим
доступу: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html.
7. Яворский Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов ВУЗов / Б.М. Яворский,
А.А. Детлаф. – М.: Наука, 1968. – 940 с.
Стаття надійшла до редакції 07.04.2011
|