Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть)
Запропоновано моделі визначення імовірнісних розподілів позитивної різниці з двох незалежних випадкових величин обсягів вантажів, розподілених за різними законами розподілу....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83579 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) / В.Г. Галушко // Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦІТС НАН та МОН України, 2014. — Вип. 19. — С. 89-102. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83579 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-835792015-06-21T03:02:18Z Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) Галушко, В.Г. Запропоновано моделі визначення імовірнісних розподілів позитивної різниці з двох незалежних випадкових величин обсягів вантажів, розподілених за різними законами розподілу. Предложены модели определения вероятностных распределений положительной разности из двух независимых случайных величин объемов грузов, распределенных по различным законам распределения. The models of determination of probabilistic divisions of positive difference are offered from two independent casual sizes of volumes of loads, distributed on the different laws of division. 2014 Article Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) / В.Г. Галушко // Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦІТС НАН та МОН України, 2014. — Вип. 19. — С. 89-102. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. XXXX-0009 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83579 656.13.022 ru Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано моделі визначення імовірнісних розподілів позитивної різниці з двох незалежних випадкових величин обсягів вантажів, розподілених за різними законами розподілу. |
| format |
Article |
| author |
Галушко, В.Г. |
| spellingShingle |
Галушко, В.Г. Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем |
| author_facet |
Галушко, В.Г. |
| author_sort |
Галушко, В.Г. |
| title |
Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) |
| title_short |
Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) |
| title_full |
Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) |
| title_fullStr |
Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) |
| title_full_unstemmed |
Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) |
| title_sort |
вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (іі часть) |
| publisher |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83579 |
| citation_txt |
Вероятностные модели определения положительной разности случайных объемов наличия и отправки грузов из терминала (ІІ часть) / В.Г. Галушко // Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦІТС НАН та МОН України, 2014. — Вип. 19. — С. 89-102. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем |
| work_keys_str_mv |
AT galuškovg veroâtnostnyemodeliopredeleniâpoložitelʹnojraznostislučajnyhobʺemovnaličiâiotpravkigruzovizterminalaííčastʹ |
| first_indexed |
2025-07-06T10:23:46Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:23:46Z |
| _version_ |
1836892739364454400 |
| fulltext |
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
89
аналізу наявних фактів, що отримуються шляхом
статистичних спостережень та спеціальних підрахунків,
але обов’язково з урахуванням якісної, нематематичної
складової, а саме людського досвіду,емоцій,сприйняття,
почуттів, рівня виховання, поваги до чужого рівня освіти
тощо.
Саме питання гуманізації у спів єдності із
врахуванням динаміки процесів, що відображають
специфіку трансформаційної економіки сучасної України,
мають бути враховані в управлінні сучасними
інфраструктурними проектами та програмами.
Список використаних джерел:
1. Веренич О.В. Ієрархічні системи управління економічними
об’єктами: Навчальний посібник. / О.В. Веренич, Т.П. Подчасова
– К.: Київський національний торгівельно-економічний
університет, 2012. - 190с
2. Математические модели трансформационной экономики: Учеб.
пособие / Т.С. Клебанова, Е.В. Раевнева, К.А. Стрижиченко и др. -
Х.: ИД «ИНЖЭК», 2004. – 280 с.
3. Світ. Європа. Україна. Трансформація економіки та інтеграція/Ю.В.
Гончаров, Ю.О. Петін, О.М. Сальник. – К.: Знання України, 2007
4 Инфраструктура [Електронний ресурс] – Режим доступу:
ru.wikipedia.org›
УДК 656.13.022 В.Г. Галушко
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ РАЗНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ
ОБЪЕМОВ НАЛИЧИЯ И ОТПРАВКИ ГРУЗОВ ИЗ
ТЕРМИНАЛА
(II ЧАСТЬ)
Запропоновано моделі визначення імовірнісних
розподілів позитивної різниці з двох незалежних
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
90
випадкових величин обсягів вантажів, розподілених за
різними законами розподілу.
Ключові слова: автомобільні перевезення, випадкові
обсяги вантажів, закони розподілу, імовірнісні моделі.
Предложены модели определения вероятностных
распределений положительной разности из двух
независимых случайных величин объемов грузов,
распределенных по различным законам распределения.
Ключевые слова: автомобильные перевозки,
случайные объемы грузов, законы распределения ,
вероятностные модели
The models of determination of probabilistic divisions of
positive difference are offered from two independent casual sizes
of volumes of loads, distributed on the different laws of division.
Keywords: motor-car transportations, casual volumes of
loads, laws of division, probabilistic models.
Актуальность. В решении проблемы оптимального
планирования перевозок грузов из грузообразующего
пункта (терминала, склада, грузовой автостанции) особое
место занимают стохастические модели, среди которых
наиболее общими являются модели, базирующиеся на
системах массового обслуживания и вероятностных
законах распределения. Математические основы теории
маcсового обслуживания описаны в работах Б.В. Гнеденко
и И.Н. Коваленко [1,2], а использование вероятностных
распределений в [3,4,5].
В основу разработки вероятностных моделей при
перевозке грузов автотранспортом из грузообразующего
пункта [4,5] положено использование разности из
случайных величин наличия объемов и отправки грузов.
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
91
Следует особо отметить, что использование
распределения разности случайных величин в чистом виде
несколько ограничено из-за возможных завышенных
оценок и больший практический интерес представляет
величина положительной разности.
Целью статьи является разработка вероятностных
моделей определения положительной разности из двух
случайных величин, при различных их законах
распределения и их практического использования на
автотранспорте.
Исследуются автомобильные перевозки с
разработкой вероятностных моделей, использующих
случайные величины завоза груза X в грузообразующий
пункт (терминал, грузовая автостанция, склад, … ) и его
отправки Y при различных вероятностных законах
распределения X и Y.
Необходимо определить распределение случайной
величины разности Z=(X-Y) при условии, что она должна
быть положительной, то есть Z+ =(X-Y)+.
Следует особо отметить, что на автомобильном
транспорте практическое значение имеют перевозки грузов
однотипным подвижным составом, а также в контейнерах,
что требует разработки вероятностных моделей с
использованием дискретных случайных величин. В
проводимых исследованиях получили дальнейшее
развитие [4] вероятностные модели определения
положительной разности лискретных случайных величин,
распределенных по законам Пуассона, равномерным,
Пуассона и равномерному, а также эмпирическому
распределению.
1.... Случай непрерывных случайных величин
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
92
Пусть X и Y - независимые случайные величины,
Z=X-Y. Если заданы распределения X и Y , то
распределение Z можно вычислить следующим образом :
F(x)=P( X≤ x), G(x)=P( Y≤ x): тогда H(x)=P(Z ≤ x)
задается формулой
).()()()()( ydGyxFYxXPxYXPxH +=+≤=≤−= ∫
∞
∞−
(1)
В частности, если Y имеет плотность, т. е.
G(x)=g(x)dx,то из (1)
∫
∞
∞−
+= dyygyxFxH )()()( (2)
Если, кроме того, и X имеет плотность f(x), то Z
имеет плотность
∫
∞
∞−
+= dyygyxfxh )()()( (3)
Если X и Y ограничены, т. е. f(x)=0 вне отрезка
[A1,B1], g(x)=0 вне отрезка [A2 ,B2], то h(x)=0
вне отрезка [A1 -B2 , B1 - A2]. Тогда в (3) будет ∫
2
2
S
A
вместо
∫
∞
∞
и x будет изменяться в пределах A1–B2 < x < B1-A2.
2.... Дискретный случай.
Пусть X и Y принимают лишь значения,
пропорциональные d>0 (в частности, при d=1 величины
целочисельны). Обозначим
pk= P(X = kd), gk=P(Y=kd).
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
93
Тогда и Z пропорциональна d; обозначим rk=
P(Z=kd). Имеем формулу
∑ ∑
∞
−∞=
∞
∞−=
+=+=
=+===−=
j j
jkj
k
gpdkjXPjdYP
kdYXPkdYXPr
))((()((
)()(
(4)
Если A1d ≤ X ≤ B1d, A2d ≤Y≤ B2d, то (A1-B2)d ≤ Z ≤ (B1 -
A2)d); тогда сумма в (4) будет ∑
=
2
2
;
B
Aj
r j= 0 вне отрезка A1 -
B2 ≤ j ≤ B1 - A2.
3.... Распределение положительной разности Z+
Запишем функцию распределения Z= (X-Y)+ = Z+
Величина
≤
>
==+ 0,0
0,
),0(max
Zесли
ZеслиZ
ZZ
Отметим функцию распределения знаком + , т.е. P(Z+
≤ x) = H+ (x). Имеем
≥
<
=+ 0),(
0,0
)(
xxH
x
xH (5)
В случае (3) плотность h(x) существует и
определяется формулой (3), только при x > 0 (но не
x=0), а при x =0
)0()()0(
0
HdzzhZP === ∫
∞−
+ (6)
В дискретном случае вначале подсчитываем rk по
формуле (4) и затем, обозначив rk+ =P(Z+ =kd), получим
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
94
>
<
= ∑
−∞=
+
0,
0,0
0
kr
r
k
r
k
s
sk
(7)
Заметим, что вычисление распределения Z=X-Y не имеет
никакого самостоятельного значения – напротив, Z+ имеет
смысл: X – поступающие объемы грузов в терминал; Y-
отправляемые объемы грузов; Z+= (X-Y)+ - остаток не
вывезенного груза.
4. Примеры расчета.
Пример 1
Пусть случайные величины X и Y распределены по
нормальным законам с параметрами a1,σ1 и a2,σ2.
Выполним расчеты Z+= (X-Y)+ для раличных значений
параметров с использованием функции Лапласса и
программы в Mathcad.
Вариант № 1....
Очевидно, что случайная величина Z будет
распределена по нормальному закону с параметрами a=a1-
a2;
2
2
2
1 σσσ += .
Пусть a1=1, σ1=0,33; a2=1, σ2=0,33; тогда a=0, σ=0,467;
.5,005,0)
467,0
00
()
467,0
0
()0( =−=−−−∞=>+ ФФZP
Вариант №2
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
95
При a1 = a2
.5,0)(
2
1
2
1
0)(
2
0
2
2
2
2
2
2
1
12
=∞==
==>−
−∞
−∞
+
−
+
∫
∫
Фdze
dzeYXP
z
z
aa
π
π
σσ
При a1=2, σ1=0,467; a2=1, σ2=0,33;
.9599,0)75,1(5,0
2
1
2
1
}0){(
0
22
0
75,1
2
57,0
1
22
2
=−−=+=
==>−
∫∫
∫
∞ −−
−
−∞
−
+
Фdzedze
dzeYXP
xz
z
π
π
Вариант №3
Выполним расчет c использованием Mathcad.
Так как для заданных исходных данных σ = 0,57,
а нижний предел интегрирования равен
75,1/)( 2
2
2
112 −=+− σσaa , то вместо верхнего предела
∞ по правилу 3σ можно взять значение равное
0,57·6=3,4. Выполненные расчеты для двух значений (5 и
3) совпадают с 1 и 2 вариантами, т. е.
1.75−
5
x
1
2π
e
x
2−
2
⌠
⌡
d 0.96=
1.75−
3
x
1
2π
e
x
2−
2
⌠
⌡
d 0.959=
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
96
Пример №4
Пусть X и Y распределены по законам Пуассона с
параметрами a1 и a2, а вероятность того, что Z примет
значения k ≥ 0 равна сумме вероятности того, что X и Y
приймут два значения различающиеся по k.
∑
∞
=
+−
+
+ +
=≥
0
)(12 21
)!(!
}{
m
aa
kmm
e
km
a
m
a
kZP (8)
При k =0,
;31,0135,029,2
...]
!3
1
!3
1
!2
1
!2
1
!1
1
!1
1
!0
1
!0
1
[)0( 2
33221100
=⋅=
=+⋅+⋅+⋅+⋅=≥ −eZP
k=1, P(Z ≥1) =
= ;21,0...]
!4
1
!3
1
!3
1
!2
1
!2
1
!1
1
!1
1
!0
1
[ 2
33322110
=+⋅+⋅+⋅+⋅ −e
k=2, P(Z ≥2) = 0,11; k=3, P(Z ≥3) = 0,02; ...
Математическое ожидание равно
M(Z+) = 0⋅0,31+1⋅0,21+2⋅0,11+ 3⋅0,02+⋅⋅⋅ =0,5ю
Пример №5
Вариант №1
Пусть задано распределение случайной величины
ежесуточных объемов грузов поступающих на терминал
(например, в контейнерах) с дискретным равномерным
законом Pn =0,2 (n=4;5;6;7;8), а количество отправок по
графику равно 6. Тогда возможные значения
распределения положительной разности будут принимать
значения (k=n-6) из равномерного распределения Pn с
вероятностью равной 0,2 ( k = -2; -1; 0; 1; 2;).
Очевидно, что для k=-2 ; -1; P(Z<0)= 0,2+0,2=0,4,
а P(Z≥0)=P(Z+)= 0,6.
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
97
Пример № 6
Пусть случайная величина X распределена по закону
Пуассона
a
i
i e
i
a
piXP −===
!
)(
Y распределена по дискретному равномерному
закону.
Составим таблицу:
__________________________________________к
-А - - - - - - p0 p1 p2 p3 p4
-А-1 | - - - p0 p1 p2 p3 p4 p5.
-A-2 | - - p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6
...... | - - p0 .......
-A-B+1 | p0 p1 .........
-Y
r-A-B+1=1/Bp0, r-A-B+2=1/B (p0+p1), ... r-A-B+B=
=1/B (p0+p1+ ...+pB-1)
r-A+k =1/B (pk+pk+1+ ...+pk+B-1), k ≥ 1.
Пусть, например, А=0, В=3. Тогда
r-2 = 1/3 p0, r-1= 1/3 (p0+p1), r-0=1/3 (p0+p1+p2)
r1=1/3 (p1+p2+p3), r2=1/3 (p2+p3+p4), ...
rk+ = r k, k ≥1; r0+ = r -A-B+1 + r-A-B+2 + ... +r 0.
Так, в случае А=0, В=3 r0+ = p0 +2/3 p1 +1/3 p2
Пример № 7
Пусть для терминального пункта заданы 2 ряда
ежесуточных поступлений и отправок автомобильных
грузов, распределенных по независимым дискретным
случайным величинам pi (i=A1, A1+1, …,A2 ) и gj ( j = B1,
B1+1,…,B2). Заданные ряды распределений могут
подчиняться любым законам (Пуассона, равномерному,
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
98
эмпирическому, усеченному,… ) с указанием их
начальных и конечных значений. Необходимо определить
Z+=(P-G)+..
Вариант № 1
Пусть ряды распределения независимых случайных
дискретных величин наличия груза в терминале P заданы
в табл.1, а наличия однотипного подвижного состава в
табл. 2.
Таблица 1
pi p2=
0,18
p3=
0,22
p4=
0,22
p5=
0,18
p6=
0,12
p7=
0,08
i A1=2 3 4 5 6 A2=7
Таблица 2
gj g1=0,2 g2=0,6 g3=0,2
j B1 =3 4 B2=5
Выполним расчет распределения rk используя (4) для
k изменяющегося от A1-B2=−3 до A2 - B1 = 4 по
следующему уравнению
∑
−=
+=
4
3j
jkjk gpr (9)
Результаты расчета занесем в табл. 3 с учетом того,
что p0=p1=g6 =g7 =0
Таблица 3
Результаты расчетов ряда распределений rk
j→
k↓
3 4 5 rk
- 3 p0g3=0 p1 g3=0 p2g3=0,036 0,036
-2 p1 g3=0 p1g4=0,108 p3g5=0,044 0,152
-1 0,036 0,132 0,044 0,212
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
99
0 0,044 0,132 0,036 0,212
1 0,044 0,108 0,024 0,176
2 0,036 0,072 0,016 0,124
3 0,024 0,048 0 0,072
4 0,016 0 0 0,016
Математическое ожидание наличия положительной
разности не вывезенных грузов (остатка) равно
M[Z+] = 1·0,176+2·0,124+3·0,072+4·0,016 = 0,704. (10)
Вариант № 2
Пусть заданы (вариант № 1) ряды распределений P и
G (табл. 1, табл. 2) с математическими ожиданиями,
равными M[P]= 4, 08 и M[G] =4.
Определим математическое ожидание остатка
грузов в терминале с использованием модели [5]
M[Z+]= M[P] – M [min (P,G)] (11
Таблица 4
Результаты расчета вероятностей rk , M[ min (P,G)]
k min (P,G) rk k,·· rk
2 0,036: 0,108; 0,036 0,18 0,36
3 0,044; 0,132; 0,044;
0,0440,036; 0,024; 0,016,
0,34 1,02
4 0,132; 0,044; 0,108; 0,072
; 0,048;
0,404 1,616
5 0,036; 0,024; 0,016 0,076 0,38
M[min
(P,G)]
3,376
Таким образом, остаток груза M[Z+] = 4,08–3,376 =
0,704 что совпадает со значением математического
ожидания (вариант №1).
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
100
Вариант № 3
Программа расчета математического ожидания M[ min
(P,G)] на Фортране.
Дискретная модель Z+ = (P - G)+
Program MPG.F90
INTEGER I, J, K, N, A1, A2, B1,B2
REAL P(30), G(30), R(30), PP, GG, MZ, MP,MM
character*16 :: innam,outnam
! write(*,*) 'Input file='
! read (*,'(a16)') innam
! open (1,file=innam)
write(*,*) 'Output file='
read (*,'(a16)') outnam
open (3,file=outnam)
P(2)=0.18; P(3)= 0.22; P(4)=0.22; P(5)=0.18; P(6)=0.12;
P(7)=0.08
G(3)= 0.2; G(4)=0.6; G(5)=0.2
A1=2; A2=7; B1=3; B2=5; N=A2-A1; MP=4.08
DO 1 I=A1,N,1
1 R(I) = 0
DO 4 I= A1,A2,1
DO 2 J= B1,B2,1
IF (I-J) 3,3,5
3 PP=P(I)*G(J)
R(I)=R(I)+ PP
GO TO 2
5 GG= P(I)*G(J)
R(J)= R(J)+ GG
2 CONTINUE
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
101
4 CONTINUE
MM=0
DO 6 K=A1, N, 1
6 MM=MM+K*R(K)
MZ= MP - MM
WRITE (3,8) MZ
8 FORMAT (F5.3)
STOP
END
Результат 0.704
Выводы. В дополнении к разработанным ранее
моделям планирования атомобильных перевозок [4] с
использованием положительной разности из двух
независимых случайных величин наличия и отправки
грузов из терминала (законы: показательный с
показательным, нормальный с нормальным,
показательный с равномерным, равномерный с
равномерным, Пуассона с Пуассоном ) предложены
модели для следующих законов:
− непрерывных и дискретных независимых
случайных величин, заданных на ограниченных отрезках;
− нормальный с нормальным с использованием
функции Лапласса и программы в Mathcad;
− дискретный равномерный с дискретным
равномерным с использованием метода Монте-Карло;
− Пуассона и дискретному равномерному;
− усеченным, эмпирическим распределениям.
Составлена достаточно универсальная программа на
Фортране определения положительной разности для
любых дискретных распределений, задаваемых
целочисленными значениями и их вероятностями.
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2014, випуск 19
102
Выполненные исследования предназначены для
оптимального планирования автомобильных перевозок
грузов из терминалов, а разработанные модели являются
достаточно общими и могут быть пригодными при
решении прикладных задач с использованием теории
массового обслуживания.
Список использованных источников
1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового
обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 c.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности и ее
инженерные приложения. М.: Высш. школа, 2000. 480 с.
3. Галушко В.Г. Определение вероятностных объемов грузов,
формируемых в грузообразующем пункте, при различных
законах их поступления и отправки // Управляющие системы
и машины. 2008. № 2. С.78 - 82.
4. Галушко В.Г. Вероятностные модели определения положительной
разности случайных объемов наличия и отправки грузов из
терминала. // Еконоиіко-математичне моделювання соціально-
економічних систем, Збірник наукових праць, Вип. 18. Київ.
МННЦ ІТіС НАНУ, 2013. - с. 73 - 81.
5. Галушко В. Г. Математические методы моделирования и
оперативного планирования перевозок на автотранспорте.
Монография. -К.: НТУ, 2013. – 200с.
УДК 519.21:681.142 І.А.Глущенко
ПРОБЛЕМИ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ
РОЗВИТКУ РЕГІОНАЛЬНОЇ ЕНЕРГЕТИКИ
Розглянуто проблеми побудови регіональної
енергетики, викладені шляхи їх вирішення на основі
перспективних інформаційних технологій.
Ключові слова – інформаційні технології,
управління підприємством, ризики.
|