Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса
В работе приведены результаты применения метода совместной аппроксимации для построения симметричных разностных схем повышенного порядка точности на компактном шаблоне. Построены разностные схемы от второго до восьмого порядка аппроксимации по времени и пространству для одномерного линейного уравнен...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2011
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83638 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса / В.Л. Бучарский, Е.М. Калинчук // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 161-165. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83638 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-836382015-06-22T03:02:00Z Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса Бучарский, В.Л. Калинчук, Е.М. Моделювання і управління великими системами В работе приведены результаты применения метода совместной аппроксимации для построения симметричных разностных схем повышенного порядка точности на компактном шаблоне. Построены разностные схемы от второго до восьмого порядка аппроксимации по времени и пространству для одномерного линейного уравнения переноса. Представлены результаты тестовых расчетов, подтверждающие теоретические выкладки. У роботі наведені результати застосування методу сумісної апроксимації для побудови симетричних різницевих схем підвищеного порядку точності на компактному шаблоні. Побудовані різницеві схеми від другого до восьмого порядку апроксимації за часом і простором для одновимірного лінійного рівняння переносу. Показані результати тестових розрахунків, які підтверджують теоретичні викладки. The results of using the joint approximation method for designing the high order symmetrical finite difference schemes on a compact stencil are presented. Finite difference schemes from second to eighth order of approximation on time and space for the one-dimensional linear equation of transfer have been built. The results of the test calculations that prove the theoretical outfits are shown. 2011 Article Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса / В.Л. Бучарский, Е.М. Калинчук // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 161-165. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83638 519.6 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами |
| spellingShingle |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Бучарский, В.Л. Калинчук, Е.М. Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса Математичні машини і системи |
| description |
В работе приведены результаты применения метода совместной аппроксимации для построения симметричных разностных схем повышенного порядка точности на компактном шаблоне. Построены разностные схемы от второго до восьмого порядка аппроксимации по времени и пространству для одномерного линейного уравнения переноса. Представлены результаты тестовых расчетов, подтверждающие теоретические выкладки. |
| format |
Article |
| author |
Бучарский, В.Л. Калинчук, Е.М. |
| author_facet |
Бучарский, В.Л. Калинчук, Е.М. |
| author_sort |
Бучарский, В.Л. |
| title |
Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса |
| title_short |
Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса |
| title_full |
Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса |
| title_fullStr |
Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса |
| title_full_unstemmed |
Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса |
| title_sort |
симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83638 |
| citation_txt |
Симметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса / В.Л. Бучарский, Е.М. Калинчук // Мат. машини і системи. — 2011. — № 4. — С. 161-165. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT bučarskijvl simmetričnyeraznostnyeshemymetodasovmestnojapproksimaciidlârešeniâlinejnogouravneniâperenosa AT kalinčukem simmetričnyeraznostnyeshemymetodasovmestnojapproksimaciidlârešeniâlinejnogouravneniâperenosa |
| first_indexed |
2025-07-06T10:27:20Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:27:20Z |
| _version_ |
1836892962738405376 |
| fulltext |
© Бучарский В.Л., Калинчук Е.М., 2011 161
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
УДК 519.6
В.Л. БУЧАРСКИЙ, Е.М. КАЛИНЧУК
СИММЕТРИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ МЕТОДА СОВМЕСТНОЙ
АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Анотація. У роботі наведені результати застосування методу сумісної апроксимації для побудо-
ви симетричних різницевих схем підвищеного порядку точності на компактному шаблоні. Побудо-
вані різницеві схеми від другого до восьмого порядку апроксимації за часом і простором для одно-
вимірного лінійного рівняння переносу. Показані результати тестових розрахунків, які підтвер-
джують теоретичні викладки.
Ключові слова: метод сумісної апроксимації, симетрична схема.
Аннотация. В работе приведены результаты применения метода совместной аппроксимации для
построения симметричных разностных схем повышенного порядка точности на компактном
шаблоне. Построены разностные схемы от второго до восьмого порядка аппроксимации по вре-
мени и пространству для одномерного линейного уравнения переноса. Представлены результаты
тестовых расчетов, подтверждающие теоретические выкладки.
Ключевые слова: метод совместной аппроксимации, симметричная схема.
Abstract. The results of using the joint approximation method for designing the high order symmetrical
finite difference schemes on a compact stencil are presented. Finite difference schemes from second to
eighth order of approximation on time and space for the one-dimensional linear equation of transfer have
been built. The results of the test calculations that prove the theoretical outfits are shown.
Keywords: joint approximation method, symmetric scheme.
1. Введение
На сегодняшний день численные методы широко используются в различных областях нау-
ки и техники для исследования физических процессов. При этом создается вычислитель-
ная модель приближенного решения. Основой таких моделей есть уравнения математиче-
ской физики, точное решение которых является сложной задачей вследствие многообразия
возможных граничных условий. Степень соответствия приближенного решения точному
определяется погрешностью аппроксимации, поэтому естественна предпочтительность ме-
тодов с меньшей погрешностью, то есть, методов более высокого порядка точности.
Ранее автором был предложен новый метод построения компактных разностных
схем повышенного порядка точности – метод совместной аппроксимации [1–3]. Приведем
кратко идею построения разностных схем методом совместной аппроксимации следуя [3].
В основе этого метода лежит принцип аппроксимации разностной схемы исходного урав-
нения на пространстве функций, являющихся решением последнего. Следующий из этого
принцип эквивалентности частных производных позволяет увеличить число свободных
параметров при создании схемы без изменения шаблона. При этом учитывается то, что
разностная схема аппроксимирует точно дифференциальное уравнение бесконечного по-
рядка, так называемую гиперболическую форму дифференциального представления разно-
стной схемы (далее – Г-форму дифференциального представления разностной схемы [4]).
Все это позволяет повысить порядок локальной аппроксимации разностной схемы.
Разностные аппроксимации производных, входящих в исходное уравнение, строят-
ся методом неопределенных коэффициентов. Однако для определения этих коэффициен-
тов, помимо условий аппроксимации, используется не Г-форма, а параболическая форма
дифференциального представления разностной схемы (далее – П-форма). Она получается
из Г-формы заменой производных по времени и смешанных производных производными
по координате с использованием дифференциальных следствий Г-формы. Как следствие,
162 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
невязка разностной схемы содержит меньше условий, подлежащих удовлетворению для
повышения порядка аппроксимации. Это позволяет либо повысить порядок аппроксима-
ции на заданном шаблоне по сравнению с традиционными подходами, либо при заданном
порядке точности сократить число точек в шаблоне разностной схемы.
Использование предложенного выше подхода к построению разностных схем при-
водит к аппроксимации не отдельных составляющих исходного уравнения, а уравнения в
целом (входящие в него производные аппроксимируются совместно).
Ранее в работах [1, 3] для построения разностных схем использовались несиммет-
ричные противопоточные шаблоны. Это не давало возможности проводить расчеты при
отрицательных значениях скорости переноса.
2. Применение симметричных разностных схем для решения уравнения переноса ме-
тодом совместной аппроксимации
Цель данной работы состоит в построении симметричных разностных схем для решения
дифференциальных уравнений в частных производных методом совместной аппроксима-
ции и применении предлагаемого подхода к решению простейшего гиперболического
уравнения – уравнения переноса при произвольных значениях скорости переноса.
Построим методом совместной аппроксимации разностную схему для простейшего
гиперболического уравнения – линейного уравнения переноса:
,0=
∂
∂+
∂
∂
x
f
a
t
f
0>= consta (1)
на десятиточечном шаблоне, включающем девять точек по пространству и два слоя по
времени.
Для выполнения свойства консервативности исходную схему запишем в потоковой
форме:
0)(
1
2
)(
483726154132231
11
1
=++++++++
−
+
τ
−
++++−−−
−−+
+
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
ix
n
i
n
i
n
i
n
i fafafafafafafafa
hh
ffaff ∆ . (2)
Здесь n
i
n
i
n
ix ggg 1−
− −=∆ – оператор конечной разности назад по пространст-
ву, 8,1, =ja j – свободные параметры, подлежащие определению.
Раскладывая n
ji
n
ji ff +
+
+ ,1 в ряд Тейлора в окрестности точки ),( in xt и подставляя эти
разложения в разностную схему (2), получим ее дифференциальное представление, глав-
ный член которого
),(0))(( 87654321 h
x
f
aaaaaaaaa
t
f τ=
∂
∂+++++++++
∂
∂
.
Как видно, для аппроксимации исходного уравнения (1) необходимо, чтобы
087654321 =+++++++ aaaaaaaa .
Полагая, что
,87653214 aaaaaaaa −−−−−−−= (3)
получим Г-форму разностной схемы (2). Ввиду ее громоздкости, ограничимся членами
первого порядка по h,τ :
),(0)
2
1
()43223( 22
2
2
2
2
8765321 h
t
f
x
f
aaaaaaah
x
f
a
t
f τ=
∂
∂τ+
∂
∂++++−−−+
∂
∂+
∂
∂
.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 163
Далее, заменим производные по времени и смешанные производные через произ-
водные по координате, используя дифференциальные следствия Г-формы. Поскольку по-
сле подстановки (3) в схеме (2) осталось семь свободных параметров, ограничимся заме-
ной производных до девятого порядка включительно. Результатом будет П-форма девято-
го дифференциального приближения разностной схемы (2):
0
8
2
1 =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∑
=
−
j
j
j
j
j
x
f
Ch
x
f
a
t
f
.
Выражения для jC достаточно громоздки (например,
),)6336)(4322(4
267726(
4
1
)4322(6181(
6
1
5
)43223(
)3213431231(
4
1
120
8763218765321
873218765321
23
45
2
8765321
87653214
σ+++++−−−−++
−+++++σ++++−−+σ−σ
+σ+σ++++−−−
+σ++++−−−+=
aaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaa
a
aaaaaaaa
aaaaaaa
a
C
поэтому в дальнейшем приводить их не будем.
Для повышения порядка малости невязки до восьмого необходимо последовательно
приравнять нулю коэффициенты jС при 8,2, =
∂
∂
k
x
f
k
k
. Используя полученную систему ал-
гебраических уравнений и приравнивая некоторые из 8,2, =kak нулю, несложно постро-
ить разностные схемы от второго до восьмого порядка точности. Структура этих систем
уравнений приведена в табл. 1.
Таблица 1. Структура систем уравнений
Порядок
точно-
сти
Система уравнений для
определения параметров
2
0
;0
876321
2
======
=
aaaaaa
С
3
0
;0
8721
32
====
==
aaaa
СС
4
0
;0
8721
432
====
===
aaaa
ССС
5
0
;0
81
5432
==
====
aa
СССС
6
0
;0
81
65432
==
=====
aa
ССССС
7 0765432 ====== СССССС
8 08765432 ======= ССССССС
тически, были подтверждены серией тестовых расчетов. Для проверки порядка аппрокси-
мации полученных разностных схем было решено уравнение переноса
(1) при 1=a и 1−=a
Свободные параметры в схемах
нечетного порядка точности использо-
вались для симметризации разностных
схем.
Устойчивость полученных схем
была исследована методом Неймана и
методом дифференциального прибли-
жения. Все схемы оказались устойчи-
выми при
1≤
τ
h
a
.
Как видно, полученные разно-
стные схемы позволяют проводить ус-
тойчивые расчеты при любых знаках
скорости переноса a .
3. Результаты тестовых расчетов
Результаты, полученные выше анали-
164 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-2.9 -2.7 -2.5 -2.3 -2.1 -1.9 -1.7 -1.5 -1.3 lg(err)
lg(h )
k=1 ,984
k=3,005
k=3,981
k=4,975
k=5,977
k=7,004
k=7,962
Рис. 1. Зависимость погрешности численного решения от шага дискретизации
для задачи (4, 5)
)[ 1,1),(),0(
,0
0 −∈=
=
∂
∂+
∂
∂
xxfxf
x
f
a
t
f
(4)
с периодическими граничными условиями. Решение было получено для двух начальных
условий.
В первой задаче
)sin()(0 xxf π= , (5)
во второй
)(sin)( 4
0 xxf π= . (6)
Расчет проводился до 2=t – до завершения одного цикла. Эти задачи считаются
традиционными для исследования сходимости разностных схем.
Во всех задачах полагалось 5,0=σ . Известное точное решение задачи (4)
)(),( 0 atxfxtf −=
позволило определить погрешности решения n
iff −=ε в каждой точке по окончании рас-
чета и экспериментально оценить скорость сходимости и, соответственно, порядок ап-
проксимации. Оценка погрешности решения ε проводилась в конечномерных аналогах
норм в CLL ,21, :
∑
=
=
N
i
iLi uhu h
1
,
1
,
1
2
2
∑
=
=
N
i
iLi uhu h i
NiCi uu
,1
max
=
= .
Здесь iu – некоторая сеточная функция, N – число узлов сетки по пространству.
Порядок аппроксимации определялся по экстраполяции Ричардсона [4].
Результаты расчетов при различных значениях скоростей переноса давали значение
погрешности, отличающееся на величину ошибок машинного округления
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 4 165
-11
-9
-7
-5
-3
-1
-2.9 -2.7 -2.5 -2.3 -2.1 -1.9 -1.7 -1.5 -1.3 lg(err)
k=1,809
k=2,955
k=3,896
k=4,713
k=5,901
k=6,772
k=7,817
Рис. 2. Зависимость погрешности численного решения от шага
дискретизации для задачи (4, 6)
Для иллюстрации на рис. 1 и 2 приведены зависимости нормы погрешности чис-
ленного решения
Ciu от шага дискретизации в логарифмических координатах для задач
(4, 5) и (4, 6).
Здесь k – угловой коэффициент прямых, аппроксимирующих зависимости нормы
погрешности от шага дискретизации. По сути, k есть величина порядка аппроксимации
конечноразностной схемы.
Как видно из приведенных результатов, с уменьшением шага дискретизации по-
грешность приближенного решения экспоненциально уменьшается, а порядок аппрокси-
мации асимптотически приближается к заявленному для обеих задач.
4. Заключение
В данной работе построены симметричные схемы второго, третьего, четвертого, пятого,
шестого, седьмого и восьмого порядков точности методом совместной аппроксимации для
уравнения переноса. Схемы работают как при положительных, так и при отрицательных
значениях параметра a . Результаты, полученные в статье, подтверждаются расчетными
данными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бучарский В.Л. Метод совместной аппроксимации построения разностных схем для решения
уравнений в частных производных / В.Л. Бучарский // Техническая механика. – 2007. – № 1. – С. 50
– 57.
2. Бучарский В.Л. Монотонная разностная схема для уравнений Эйлера / В.Л. Бучарский,
В.Ф. Присняков // Проблемы высокотемпературной техники. – Д.: Вид-во ДНУ, 1994. – С. 65 – 71.
3. Бучарский В.Л. Разностная схема метода совместной аппроксимации для решения квазилиней-
ных гиперболических уравнений / В.Л. Бучарский // Проблеми обчислювальної механіки і міцності
конструкцій. – Дніпропетровськ: ДНУ, 2008 . – C. 7 – 15.
4. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Приложение к газовой динамике /
Ю.И. Шокин, Н.Н. Яненко. – Новосибирск: Наука, 1985. – 364 c.
5. Encyclopedia of Computational Mechanics. Volume 1 Fundamentals / Ed. E. Stein, R. de Borst,
T.J. R. Hughes. – WILLEY, 2004. – 798 p.
Стаття надійшла до редакції 27.09.2010
|