Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж
В роботі розглянуто серію теорем Колмогорова-Арнольда-Лоренца, з допомогою яких було розв‘язано 13 проблему Гільберта про представлення функцій багатьох змінних. Проаналізовано доцільність використання цих теорем на основі робіт А.Г.Вітушкіна і спільної статті Ф.Джиросі та Т.Поджіо. Окремо розглянут...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2013
|
| Назва видання: | Індуктивне моделювання складних систем |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83676 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж / Т.В. Павлов // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2013. — Вип. 5. — С. 232-236. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83676 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-836762015-06-22T03:02:21Z Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж Павлов, Т.В. Наукові статті В роботі розглянуто серію теорем Колмогорова-Арнольда-Лоренца, з допомогою яких було розв‘язано 13 проблему Гільберта про представлення функцій багатьох змінних. Проаналізовано доцільність використання цих теорем на основі робіт А.Г.Вітушкіна і спільної статті Ф.Джиросі та Т.Поджіо. Окремо розглянуто випадок класу многочленів, за основу взято роботи А.Н. Горбаня. The paper consider a series of theorems of Kolmogorov-Arnold-Lorents related to 13-th Gilbert's problem about representation of function of many variables. Analyzed the feasibility of using these theorems based on collaborative article of F.Girosi and T.Poggio, and on works of A.G.Vitushkin. Separately considered the case of class of polynomials, based on article of A.N.Gorban. В работе рассмотрено ряд теорем Колмогорова-Арнольда-Лоренца, с помощью которых была решена 13 проблема Гильберта о представлении фукнций от многих переменных. С помощью работ А.Г.Витушкина и статьи Ф.Джироси и Т.Поджио проанализировано целесообразность использования этих теорем. Отдельно рассмотрен случай с классом полиномов, который решен в работах А.Н.Горбаня. 2013 Article Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж / Т.В. Павлов // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2013. — Вип. 5. — С. 232-236. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. XXXX-0044 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83676 004.852 uk Індуктивне моделювання складних систем Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Наукові статті Наукові статті |
| spellingShingle |
Наукові статті Наукові статті Павлов, Т.В. Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж Індуктивне моделювання складних систем |
| description |
В роботі розглянуто серію теорем Колмогорова-Арнольда-Лоренца, з допомогою яких було розв‘язано 13 проблему Гільберта про представлення функцій багатьох змінних. Проаналізовано доцільність використання цих теорем на основі робіт А.Г.Вітушкіна і спільної статті Ф.Джиросі та Т.Поджіо. Окремо розглянуто випадок класу многочленів, за основу взято роботи А.Н. Горбаня. |
| format |
Article |
| author |
Павлов, Т.В. |
| author_facet |
Павлов, Т.В. |
| author_sort |
Павлов, Т.В. |
| title |
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж |
| title_short |
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж |
| title_full |
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж |
| title_fullStr |
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж |
| title_full_unstemmed |
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж |
| title_sort |
теореми колмогорова-арнольда-лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж |
| publisher |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Наукові статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83676 |
| citation_txt |
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца в задачі обгрунтування працездатності штучних мереж / Т.В. Павлов // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2013. — Вип. 5. — С. 232-236. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| series |
Індуктивне моделювання складних систем |
| work_keys_str_mv |
AT pavlovtv teoremikolmogorovaarnolʹdalorencavzadačíobgruntuvannâpracezdatnostíštučnihmerež |
| first_indexed |
2025-07-06T10:29:35Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:29:35Z |
| _version_ |
1836893104806821888 |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.852
ÒÅÎÐÅÌÈ ÊÎËÌÎÃÎÐÎÂÀ-ÀÐÍÎËÜÄÀ-ËÎÐÅÍÖÀ Â
ÇÀÄÀ×I ÎÁ�ÐÓÍÒÓÂÀÍÍß ÏÐÀÖÅÇÄÀÒÍÎÑÒI
ØÒÓ×ÍÈÕ ÍÅÉÐÎÌÅÐÅÆ
Ò.Â.Ïàâëîâ
Ìiæíàðîäíèé íàóêîâî-íàâ÷àëüíèé öåíòð iíôîðìàöiéíèõ òåõíîëîãié i ñèñòåì ÍÀÍ òà ÌÎÍ
pawlovtaras@gmail.com
 ðîáîòi ðîçãëÿíóòî ñåðiþ òåîðåì Êîëìîãîðîâà-Àðíîëüäà-Ëîðåíöà, ç äîïîìîãîþ
ÿêèõ áóëî ðîçâ`ÿçàíî 13 ïðîáëåìó Ãiëüáåðòà ïðî ïðåäñòàâëåííÿ ôóíêöié áàãàòüîõ
çìiííèõ. Ïðîàíàëiçîâàíî äîöiëüíiñòü âèêîðèñòàííÿ öèõ òåîðåì íà îñíîâi ðîáiò
À.Ã.Âiòóøêiíà i ñïiëüíî¨ ñòàòòi Ô.Äæèðîñi òà Ò.Ïîäæiî. Îêðåìî ðîçãëÿíóòî âèïàäîê
êëàñó ìíîãî÷ëåíiâ, çà îñíîâó âçÿòî ðîáîòè À.Í. Ãîðáàíÿ.
Êëþ÷îâi ñëîâà: ïðåäñòàâëåííÿ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ, íåéðîìåðåæi, ñóïåðïîçèöiÿ,
òåîðåìà Êîëìîãîðîâà-Àðíîëüäà
The paper consider a series of theorems of Kolmogorov-Arnold-Lorents related to
13-th Gilbert's problem about representation of function of many variables.
Analyzed the feasibility of using these theorems based on collaborative article
of F.Girosi and T.Poggio, and on works of A.G.Vitushkin. Separately considered
the case of class of polynomials, based on article of A.N.Gorban.
Key words: representation of function of many variables, neural networks,
superposition, theorem of Kolmogorov-Lorentz
 ðàáîòå ðàññìîòðåíî ðÿä òåîðåì Êîëìîãîðîâà-Àðíîëüäà-Ëîðåíöà, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ
áûëà ðåøåíà 13 ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà î ïðåäñòàâëåíèè ôóêíöèé îò ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
Ñ ïîìîùüþ ðàáîò À.Ã.Âèòóøêèíà è ñòàòüè Ô.Äæèðîñè è Ò.Ïîäæèî ïðîàíàëèçèðîâàíî
öåëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ òåîðåì. Îòäåëüíî ðàññìîòðåí ñëó÷àé ñ êëàññîì
ïîëèíîìîâ, êîòîðûé ðåøåí â ðàáîòàõ À.Í.Ãîðáàíÿ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, íåéðîñåòè, ñóïåðïîçèöèÿ,
òåîðåìà Êîëìîãîðîâà-Àðíîëüäà
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца
Індуктивне моделювання складних систем, випуск 5, 2013
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца
232 Індуктивне моделювання складних систем, випуск 5, 2013
1. Âñòóï
Âàæëèâèì ìîìåíòîì â òåîði¨ àïðîêñèìàöié ¹ âèáið ïðåäñòàâëåííÿ ôóíêöi¨. Îñêiëüêè áóäü-
ÿêå ïðåäñòàâëåííÿ ìîæå áóòè çîáðàæåíî ç äîïîìîãîþ íåéðîìåðåæi, âèáið ïðåäñòàâëåííÿ åêâi-
âàëåíòíèé âèáîðó ìåðåæ ç êîíêðåòíîþ àðõiòåêòóðîþ. Ðîæåâîþ ìði¹þ ìàòåìàòèêiâ ¹ îòðè-
ìàííÿ ïåâíî¨ óíiâåðñàëüíî¨ àðõiòåêòóðè íåéðîìåðåæ, ÿêîìîãà ïðîñòiøî¨, ÿêi ïðåäñòàâëÿëè á
äîâiëüíó ôóíêöiþ ïåâíîãî êëàñó, çíîâó æ òàêè, ÿêîìîãà øèðøîãî.
 êiíöi 80-èõ, çàâäÿêè âiäêðèòòþ Êîëìîãîðîâà(1957) [2], áóëî çðîáëåíî ñïðîáó îá ðóí-
òóâàòè ç éîãî äîïîìîãîþ âèêîðèñòàííÿ íåéðîìåðåæ ç ïðÿìèìè ïîâíèìè çâÿçêàìè i äâîìà
"ïðèõîâàíèìè"øàðàìè äëÿ ïðåäñòàâëåííÿ äîâiëüíî¨ íåïåðåðâíî¨ ôóíêöi¨. Õåõò-Íiëüñåí [8]
äîâiâ, ùî òàêà ìîæëèâiñòü i ñïðàâäi iñíó¹. Îäíàê âëàñíå âèêîðèñòàííÿ öüîãî ìåòîäó ïðåä-
ñòàâëåííÿ ïiääàëè æîðñòêié êðèòèöi Äæèðîñi i Ïîäæiî[3], ç äîïîìîãîþ òåîðåìè Âiòóøêiíà
[12] íèìè áóëî ïîêàçàíî, ùî ïðåäñòàâëåííÿ, õî÷ i iñíó¹, äîñèòü ñêëàäíå i â áiëüøîñòi âèïàäêiâ
íå âiäïîâiä๠âèìîãàì ÿêi ñòàâëÿòü ïåðåä íèì çàäà÷i òåîði¨ àïðîêñèìàöié.
2. Ïðåäñòàâëåííÿ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié
1900 ðiê: Íà ñâî¨é iñòîðè÷íié ëåêöi¨ â Ïàðèæi Ãiëüáåðò ñôîðìóëþâàâ 23 îñíîâíi çàâäàííÿ,
ÿêi, íà éîãî äóìêó, ñòîÿòü ïåðåä ìàòåìàòèêàìè â íîâîìó ñòîëiòòi. 13 ïèòàííÿ ñòîñóâàëîñü
àëãåáðà¨÷íèõ ðiâíÿíü âèãëÿäó:
anx
n + . . .+ a1x+ a0 = 0
Âiäîìî, ùî ïîäiáíi ðiâíÿííÿ äî 4 ñòåïåíÿ âêëþ÷íî ðîçâÿçóþòüñÿ ç äîïîìîãîþ ëèøå àëãåáðà-
¨÷íèõ îïåðàöié. Ç òåîði¨ Ãàëóà âiäîìî ùî äëÿ ðiâíÿíü ñòåïåíÿ n ≥ 5 öå íå çàâæäè ìîæëèâî.
Îñêiëüêè àëãåáðà¨÷íi îïåðàöi¨ - öå îïåðàöi¨ âiä ìàêñèìóì äâîõ àðãóìåíòiâ, òî Ãiëüáåðò i ïðè-
éøîâ äî ïðèïóùåííÿ, ùî:
Òâåðäæåííÿ 1 (13 ïðîáëåìà Ãiëüáåðòà). Iñíó¹ íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ 3 çìiííèõ, ÿêó íå ìîæíà
ïðåäñòàâèòè ÿê ñóïåðïîçèöiþ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié äâîõ çìiííèõ.
1957 ðiê: Àíäðié Ìèêîëàéîâè÷ Êîëìîãîðîâ (â ñïiâïðàöi ç ñâî¨ì ó÷íåì Âîëîäèìèðîì Iãîðå-
âè÷åì Àðíîëüäîì) ñïðîñòóâàâ ïðèïóùåííÿ Ãiëüáåðòà. Äîâåäåíî òåîðåìó:
Òåîðåìà 1 (Êîëìîãîðîâà ïðî ñóïåðïîçèöiþ ôóíêöié). [2] Äîâiëüíó íåïåðåðâíó ôóíêöiþ äå-
êiëüêîõ çìiííèõ ìîæíà ïðåäñòàâèòè ç äîïîìîãîþ ñóïåðïîçèöi¨ ôóíêöié îäíi¹¨ çìiííî¨ i
îïåðàöi¨ äîäàâàííÿ.
Òåîðåìà äîâîäèëàñü ïîñòóïîâî, ïðîòÿãîì äåêiëüêîõ ðîêiâ äîâåäåíî áóëî ñåðiþ òåîðåì:
Òåîðåìà 2 (Êîëìîãîðîâ). Äîâiëüíà íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ áiëüø íiæ òðüîõ çìiííèõ ¹ ñóïåð-
ïîçèöi¹þ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié òðüîõ çìiííèõ.
Âîëîäèìèð Àðíîëüä, â ñâîþ ÷åðãó â [6] äîâiâ, ùî áóäü-ÿêó ôóíêöiþ òðüîõ çìiííèõ ìîæíà
ïðåäñòàâèòè ÿê ñóïåðïîçèöiþ âiä ôóíêöié äâîõ çìiííèõ, òèì ñàìèì ñïðîñòóâàâøè ïðèïóùå-
ííÿ Ãiëüáåðòà. Ïiçíiøå Êîëìîãîðîâ ïiäñèëèâ òåîðåìó, äîâiâøè, ùî:
Òåîðåìà 3 (Ñóïåðïîçèöiéíà òåîðåìà Êîëìîãîðîâà). [2] Äëÿ áóäü-ÿêîãî n ≥ 1 iñíó¹ íàáið
(2n+1)n òàêèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié uij : I → I(i = 1, . . . , 2n+1, j = 1, . . . , n) îäíi¹¨ çìiííî¨,
Павлов Т.В.
Індуктивне моделювання складних систем, випуск 5, 2013 233
ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ íåïåðåðâíî¨ ôóíêöi¨ f : In → I n çìiííèõ iñíóþòü íåïåðåðâíi ôóíêöi¨
f1, . . . , f
I
2n+1 → I îäíi¹¨ çìiííî¨, äëÿ ÿêèõ:
f(x1, . . . , xn) =
2n+1∑
i=1
fi(
n∑
j=1
uij(xj))
Îðèãiíàëüíå äîâåäåííÿ Êîëìîãîðîâà íå áóëî êîíñòðóêòèâíèì.
1961 - 1965 ðð. - Òiõîìiðîâ i Îñòðàíä ðîçøèðèëè òåîðåìó Êîëìîãîðîâà äî äîâiëüíîãî
n�âèìiðíîãî êîìïàêòíîãî ìåòðè÷íîãî ïðîñòîðó.
1966 ðiê: Ëîðåíö çíàéøîâ àëãîðèòì ðîçêëàäó ôóíêöi¨ â ñóïåðïîçèöiþ:
Òåîðåìà 4 (Êîëìîãîðîâà-Ëîðåíöà). [4] Äëÿ âñiõ n ≥ 2 iñíóþòü íåïåðåðâíi ôóíêöi¨ φq :
[0, 1] → R, q = 0, . . . , 2n i êîíñòàíòè λp ∈ R, p = 1, . . . , n òàêi, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ íåïåðåðâíî¨
ôóíêöi¨ f : [0, 1]n → R iñíó¹ íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ g : [0, 1]→ R òàêà, ùî:
f(x1, . . . , xn) =
2n∑
q=0
g(
n∑
p=1
λpφq(xp)).
Ñàìå öåé âàðiàíò òåîðåìè(âðàõîâóþ÷è óòî÷íåííÿ Øïðåõåðà) âèêîðèñòîâó¹òüñÿ â ñó÷àñíié
ìàòåìàòèöi.
1967 ðiê - Ôðiäìàí ïîêàçàâ, ùî âíóòðiøíi ôóíêöi¨ ìîæíà âèáðàòè òàê, ùîá âîíè áóëè
íåïåðåðâíèìè çà Ëiïøèöîì. [11]
1971 ðiê - Õåäáåðã çðîáèâ äîâåäåííÿ òåîðåìè Êîëìîãîðîâà-Ëîðåíöà, ùî áàçó¹òüñÿ íà òåî-
ðåìi êàòåãîðié Áåðà.
1972 ðiê - Øïðåõåð ïîìiòèâ, ùî ôóíêöi¨ φ i êîíñòàíòè λ íå çàëåæàòü âiä âèáîðó ôóíêöi¨,
à ëèøå âiä ¨¨ ñòåïåíÿ.
Õî÷à äëÿ áàãàòüîõ êëàñiâ ôóíêöié òåîðåìà Êîëìîãîðîâà-Ëîðåíöà íå âèêîíó¹òüñÿ, àëå ïðà-
âèëüíå íàñòóïíå òâåðäæåííÿ:
Òåîðåìà 5 (Êîëìîãîðîâà ïðî ñóïåðïîçèöiþ îá÷èñëþâàíèõ ôóíêöié). [4] Äëÿ âñiõ n ≥ 2
iñíóþòü îá÷èñëþâàíi ôóíêöi¨ φq : [0, 1] → R, q = 0, . . . , 2n i îá÷èñëþâàíi êîíñòàíòè λp ∈
R, p = 1, . . . , n òàêi, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ íåïåðåðâíî¨ ôóíêöi¨ f : [0, 1]n → R iñíó¹ íåïåðåðâíà
ôóíêöiÿ g : [0, 1]→ R òàêà, ùî:
f(x1, . . . , xn) =
2n∑
q=0
g(
n∑
p=1
λpφq(xp)).
ßêùî ôóíêöiÿ f îá÷èñëþâàíà òî i g áóäå îá÷èñëþâàíîþ.
1987 ðiê: Õåõò-Íiëüñåí ïîìiòèâ öiêàâå çàñòîñóâàííÿ öi¹¨ òåîðåìè â òåîði¨ íåéðîìåðåæ. Áóëî
äîâåäåíî òåîðåìó:
Òåîðåìà 6 (Õåõò-Íiëüñåíà). [8] Ôóíêöiþ áàãàòüîõ çìiííèõ f : Rn → Rm ìîæíà ïðåäñòàâè-
òè ç äîïîìîãîþ äâîøàðîâî¨ íåéðîìåðåæi ç ïðÿìèìè ïîâíèìè çâÿçêàìè ç n êîìïîíåíòàìè
âõiäíîãî ñèãíàëó, 2n + 1 êîìïîíåíòàìè ïðèõîâàíîãî øàðó ç íàïåðåä âiäîìèìè âèçíà÷åíè-
ìè ôóíêöiÿìè àêòèâàöi¨ (íàïðèêëàä, ñèãìî¨äàëüíèìè) i m êîìïîíåíòàìè äðóãîãî øàðó ç
íåâiäîìèìè ôóíêöiÿìè àêòèâàöi¨.
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоркнца
234 Індуктивне моделювання складних систем, випуск 5, 2013
Òåîðåìà, òàêèì ÷èíîì, â íåêîíñòðóêòèâíié ôîðìi äîâîäèòü ðîçâÿçíiñòü çàäà÷i ïðåäñòàâ-
ëåííÿ ôóíêöi¨ i âêàçó¹ äëÿ êîæíî¨ çàäà÷i ìiíiìàëüíi çíà÷åííÿ êiëüêîñòi íåéðîíiâ ìåðåæi,
íåîáõiäíèõ äëÿ ðîçâ'ÿçêó.
Îäíàê ç âèêîðèñòàííÿì òåîðåìè Êîëìîãîðîâà â íåéðîìåðåæàõ íà ïðàêòèöi âèíèêàþòü
çíà÷íi òðóäíîùi.  ðîáîòi [3] Ôåäåðiêî Äæiðîñi i Òîìàçî Ïîäæiî ïiääàëè íèùiâíié êðèòèöi
âèêîðèñòàííÿ ìåðåæ, ñòâîðåíèõ íà îñíîâi òåîðåìè Êîëìîãîðîâà. �õ äâà îñíîâíi àðãóìåíòè:
Ïî-ïåðøå â ïðåäñòàâëåííi íåéðîìåðåæ, ùî áóäóòü âèêîðèñòîâóâàòèñü äëÿ íàâ÷àííÿ äåÿêèì
ôóíêöiÿì íåîáõiäíèé ïåâíèé ïîðÿäîê ãëàäêîñòi âiäïîâiäíî äî âèìîã íåéðîìåðåæi. Âíóòði-
øíi ôóíêöi¨ φq ç òåîðåìè Êîëìîãîðîâà äóæå íåãëàäêi. Öå òâåðäæåííÿ áàçó¹òüñÿ íà òåîðåìi
Âiòóøêiíà:
Íàñëiäîê 1 (ç òåîðåìè Âiòóøêiíà). [15] Iñíóþòü r(r = 1, 2, . . .) ðàç íåïåðåðâíî-äèôåðåíöiéîâíi
ôóíêöi¨ n ≥ 2 çìiííèõ, ÿêi íå ìîæíà ïðåäñòàâèòè ÿê ñóïåðïîçèöiþ r ðàç íåïåðåðâíî äèôå-
ðåíöiéîâíèõ ç ìåíø íiæ n çìiííèõ. Iñíóþòü r ðàç íåïåðåðâíî-äèôåðåíöiéîâíi ôóíêöi¨ äâîõ
çìiííèõ, ÿêi íå ìîæíà ïðåäñòàâèòè ç äîïîìîãîþ äîäàâàííÿ i íåïåðåðâíî-äèôåðåíöiéîâíi
ôóíêöi¨ îäíi¹¨ çìiííî¨.
Ïî-äðóãå äëÿ çàäà÷ íàâ÷àííÿ ÷è àïðîêñèìàöi¨ çðó÷íèìè ¹ ïàðàìåòðè÷íi ïðåäñòàâëåííÿ,
ùî âiäïîâiäàþòü íåéðîìåðåæàì ç ôiêñîâàíèìè íåéðîíàìè i ïàðàìåòðàìè, ÿêi ìîæíà ìîäèôi-
êóâàòè. Ìåðåæà æ Êîëìîãîðîâà íå ¹ òàêîþ - âèãëÿä ôóíêöié gq (ùî âiäïîâiäàþòü íåéðîíàì
ç äðóãîãî ïðèõîâàíîãî øàðó) çàëåæèòü âiä îñîáëèâîñòåé ôóíêöi¨ f .
3. Ïðåäñòàâëåííÿ ìíîãî÷ëåíiâ
 âèïàäêó ôóíêöié-ìíîãî÷ëåíiâ ñèòóàöiÿ çíà÷íî ïðîñòiøà i ïèòàííÿ ïðî ïðåäñòàâëåííÿ
ïîâíiñòþ ðîçâ'ÿçàíå À.Í.Ãîðáàíåì.
Òåîðåìà 7. Íåõàé R - êiëüöå ìíîãî÷ëåíiâ íàä ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè 0. Íåõàé p - ìíîãî÷ëåí
âiä îäíî¨ çìiííî¨, Ep - ìíîæèíà ìíîãî÷ëåíiâ, ÿêi ìîæíà îòðèìàòè ç âñiõ ìíîãî÷ëåíiâ
ïåðøîãî ñòåïåíÿ ç R, ñóïåðïîçèöi¨, äîäàâàííÿ òà p. Òîäi ÿêùî ñòåïiíü p áiëüøå ïåðøîãî òî
Ep = R.
Òîáòî ç äîïîìîãîþ äîäàâàííÿ, ìíîæåííÿ òà ñóïåðïîçèöi¨ îòðèìó¹ìî äîâiëüíèé åëåìåíò
êiëüöÿ ìíîãî÷ëåíiâ. Âðàõîâóþ÷è òåîðåìó Ñòîóíà-Âåé¹ðøòðàññà òàêèì ÷èíîì ìà¹ìî ìîæëè-
âiñòü ïîáóäóâàòè íàáëèæåíå ç äîâiëüíîþ òî÷íiñòþ ïðåäñòàâëåííÿ áóäü-ÿêî¨ íåïåðåðâíî¨ ôóí-
êöi¨. Îñêiëüêè áàãàòî àëãîðèòìiâ ÌÃÓÀ áàçóþòüñÿ íà ïîëiíîìiàëüíîìó ïðåäñòàâëåííi ïëàíó-
¹òüñÿ â ìàéáóòíüîìó ðîçãëÿíóòè ¨õ ç öi¹¨ òî÷êè çîðó.
4. Âèñíîâêè
Êëàñ äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié: Çãiäíî òåîðåìi Âiòóøêiíà òî÷íå ïðåäñòàâëåííÿ ç äîïîìî-
ãîþ ñóïåðïîçèöi¨ ôóíêöié ìåíøî¨ êiëüêîñòi çìiííèõ íåìîæëèâå áåç âòðàòè êëàñó ãëàäêîñòi.
Êëàñ ìíîãî÷ëåíiâ: Ìà¹ìî òî÷íå ïðåäñòàâëåííÿ äëÿ äîâiëüíîãî ìíîãî÷ëåíà âiä äåêiëüêîõ çìií-
íèõ.
Êëàñ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié: Ç äîïîìîãîþ òåîðåì Êîëìîãîðîâà-Àðíîëüäà-Ëîðåíöà ìà¹ìî òî-
÷íå ïðåäñòàâëåííÿ äîâiëüíî¨ íåïåðåðâíî¨ ôóíêöié. Àëå âðàõîâóþ÷è ñêàçàíå âèùå ãëàäêîñòi â
ôóíêöiÿõ, ÷åðåç ÿêi âèðàæà¹òüñÿ äîáèòèñü íåìîæëèâî.  òîé æå ÷àñ, çàâäÿêè òåîðåìi Ñòîóíà-
Âåé¹ðøòðàññà íàáëèæåíå ç äîâiëüíîþ òî÷íiñòþ ïðåäñòàâëåííÿ ÷åðåç ïîëiíîìè ìîæëèâå.
Òîæ â çàäà÷àõ, äå ãëàäêiñòü ôóíêöi¨ íå âèìàãà¹òüñÿ i íåîáõiäíå áóäü-ÿêå ïðåäñòàâëåííÿ
â âèãëÿäi íåéðîìåðåæi - ìà¹ìî óíiâåðñàëüíèé ìåòîä ïîáóäîâè ïðåäñòàâëåííÿ íåïåðåðâíèõ
Павлов Т.В.
Індуктивне моделювання складних систем, випуск 5, 2013 235
ôóíêöié. Âîäíî÷àñ, òåîðåìà Âiòóøêiíà ¹ òåîðåìîþ iñíóâàííÿ à íå çàãàëüíîñòi, òîæ, iìîâiðíî,
¹ ïåâíi êëàñè ôóíêöié, â ÿêèõ ïðîáëåì ç íåãëàäêiñòþ âíóòðiøíiõ ôóíêöié íå áóäå, ùî çáåðiãà¹
éîãî êîðèñíiñòü ÿê íàäiéíîãî ìåòîäó â ÷àñòêîâèõ âèïàäêàõ.
Îêðiì òîãî òàì, äå öå ìîæëèâî, ðåçóëüòàò ìîæíà îòðèìàòè çíèçèâøè âèìîãè äî òî÷íîñòi
ïðåäñòàâëåííÿ ôóíêöi¨.
Ëiòåðàòóðà
[1] Êîëìîãîðîâ À.Í. Î ïðåäñòàâëåíèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñóïåðïîçèöèÿìè íå-
ïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìåíüøåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ, Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, òîì 108, ñ. 2, 1956.
[2] Êîëìîãîðîâ À.Í. Î ïðåäñòàâëåíèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ â âèäå ñóïåðïîçèöèé
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé îäíîãî ïåðåìåííîãî è ñëîæåíèÿ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, òîì 114, ñ. 953-956, 1957
[3] F. Girosi and T. Poggio Representation properties of networks: Kolmogorov's theorem is irrelevant. Neural
Comp., 1:465 � 469, 1989.
[4] Vasco Brattka, A computable Kolmogorov Superposition Theorem
[5] V. Arnold. On the representation of functions of several variables by superpositions of functions of fewer
variables. Mat. Prosveshchenie, 3:41 � 61, 1958.
[6] V. Arnold. On functions of three variables. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 114:679 � 681, 1957. English translation:
American Math. Soc. Transl (2), 28, 51 - 54, 1963.
[7] G. Lorentz. Approximation of functions. Holt, Rinehart, Winston, 1966
[8] Hecht-Nielsen R. Kolmogorov's Mapping Neural Network Existence Theorem // IEEE First Annual Int. Conf.
on Neural Networks, San Diego, 1987, Vol. 3, pp. 11-13
[9] V. Kurkova. Kolmogorov's theorem is relevant. Neural Computation, 3:617 � 622, 1991
[10] Muller B., Reinhart J. Neural Networks: an introduction, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1990
[11] B. Fridman An improvement on the smoothness of the functions in Kolmogorov's theorem on superpositions.
Dokl. Akad. Nauk SSSR, 177:1019�1022, 1967. English translation: Soviet Math. Dokl. (8), 1550-1553, 1967
[12] A.G.Vitushkin On Hilbert's thirteenth problem. Dokl. Akad. Nauk SSSR 95, 701-704, 1954
[13] A.G.Vitushkin Some properties of linear superposition of smooth functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR 156:
1003-1006, 1964
[14] A.G.Vitushkin On Representation of functions by means of Superpositions and related topics. L'Enseignement
Matematique, 1977
[15] A.G.Vitushkin, G.M.Henkin Linear superposition of functions. Russian Math.Surveys 22, 77-125, 1967
[16] A.Ñêîïåíêîâ 13-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà è áàçèñíûå âëîæåíèÿ
[17] À.Í.Ãîðáàíü "Îáîáùåííàÿ àïðîêñèìàöèîííàÿ òåîðåìà è òî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ îò íåñêîëü-
êèõ ïåðåìåííûõ ñóïåðïîçèöèÿìè ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîãî ïåðåìåííîãî Èçâåñòèÿ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäå-
íèé (ìàòåìàòèêà), 1998
[18] À.Í.Ãîðáàíü "Îáîáùåííàÿ àïðîêñèìàöèîííàÿ òåîðåìà è âû÷èñëèòåëüíûå âîçìîæíîñòè íåéðîííûõ ñåòåé"
Теореми Колмогорова-Арнольда-Лоренца
236 Індуктивне моделювання складних систем, випуск 5, 2013
|