Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов

Предложен графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях ограниченной статистики отказов. Метод может использоваться в качестве своеобразного критерия согласия исследуемого эмпирического распределения отказов выбранной теоретической модели надежности....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Федухин, А.В., Сеспедес Гарсия, Н.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2012
Назва видання:	Математичні машини і системи
Теми:	Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83768
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес Гарсия // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 161-167. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-83768
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-837682015-07-03T09:11:58Z Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов Федухин, А.В. Сеспедес Гарсия, Н.В. Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення Предложен графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях ограниченной статистики отказов. Метод может использоваться в качестве своеобразного критерия согласия исследуемого эмпирического распределения отказов выбранной теоретической модели надежности. Запропоновано графо-аналітичний метод оцінки параметрів DN-розподілу в умовах обмеженої статистики відмов. Метод може використовуватися як своєрідний критерій згоди досліджуваного емпіричного розподілу відмов обраної теоретичної моделі надійності. The grapho-analytical method for estimating the DN-distribution parameters in reduced failure statistics is proposed. The method can be used as a kind of goodness-of-fit test of investigated empirical distribution of the failures of the chosen theoretical reliability model. 2012 Article Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес Гарсия // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 161-167. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83768 621.3.019.3 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
spellingShingle	Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення Федухин, А.В. Сеспедес Гарсия, Н.В. Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов Математичні машини і системи
description	Предложен графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях ограниченной статистики отказов. Метод может использоваться в качестве своеобразного критерия согласия исследуемого эмпирического распределения отказов выбранной теоретической модели надежности.
format	Article
author	Федухин, А.В. Сеспедес Гарсия, Н.В.
author_facet	Федухин, А.В. Сеспедес Гарсия, Н.В.
author_sort	Федухин, А.В.
title	Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов
title_short	Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов
title_full	Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов
title_fullStr	Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов
title_full_unstemmed	Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов
title_sort	графо-аналитический метод оценки параметров dn-распределения в условиях малой статистики отказов
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Якість, надійність і сертифікація обчислювальної техніки і програмного забезпечення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83768
citation_txt	Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес Гарсия // Мат. машини і системи. — 2012. — № 2. — С. 161-167. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT feduhinav grafoanalitičeskijmetodocenkiparametrovdnraspredeleniâvusloviâhmalojstatistikiotkazov AT sespedesgarsiânv grafoanalitičeskijmetodocenkiparametrovdnraspredeleniâvusloviâhmalojstatistikiotkazov
first_indexed	2025-07-06T10:34:44Z
last_indexed	2025-07-06T10:34:44Z
_version_	1836893429155495936
fulltext	© Федухин А.В., Сеспедес Гарсия Н.В., 2012 161 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 ЯКІСТЬ, НАДІЙНІСТЬ І СЕРТИФІКАЦІЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ І ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ УДК 621.3.019.3 А.В. ФЕДУХИН, Н.В. СЕСПЕДЕС ГАРСИЯ ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ DN -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ МАЛОЙ СТАТИСТИКИ ОТКАЗОВ «Факты в тысячу раз важнее слов» И. Павлов Анотація. Запропоновано графо-аналітичний метод оцінки параметрів DN -розподілу в умовах обмеженої статистики відмов. Метод може використовуватися як своєрідний критерій згоди досліджуваного емпіричного розподілу відмов обраної теоретичної моделі надійності. Ключеві слова: графо-аналітичний метод, метод квантилів, параметри DN -розподілу. Аннотация. Предложен графо-аналитический метод оценки параметров DN -распределения в условиях ограниченной статистики отказов. Метод может использоваться в качестве своеоб- разного критерия согласия исследуемого эмпирического распределения отказов выбранной теоре- тической модели надежности. Ключевые слова: графо-аналитический метод, метод квантилей, параметры DN -распределения. Abstract. The grapho-analytical method for estimating the DN -distribution parameters in reduced failure statistics is proposed. The method can be used as a kind of goodness-of-fit test of investigated empirical distribution of the failures of the chosen theoretical reliability model. Keywords: grapho-analytical method, method of quantiles, the DN -distribution parameters. 1. Введение В условиях ограниченной статистики отказов оценка параметров теоретического распре- деления является сложной задачей, успешное решение которой обеспечивает в дальней- шем наиболее точное прогнозирование количественных показателей надежности объекта исследований. В условиях малой статистики отказов, когда имеются сильно цензуриро- ванные выборки, традиционные статистические методы оценки параметров теоретическо- го распределения не работают. В этих случаях прибегают к использованию методов оцен- ки параметров с привлечением дополнительной априорной информации о значениях пара- метров распределения [1–3] и метода квантилей [4]. В работе проанализирована эффективность метода квантилей по оценке параметра формы DN -распределения в условиях ограниченной статистики отказов и на его основе предложен новый, более эффективный, графо-аналитический метод. 2. Метод квантилей Если известно априорное значение параметра формы ν , состоятельной оценкой которого является коэффициент вариации процесса деградации V , то параметр масштаба DN - распределения – среднюю скорость деградации a можно определить в результате решения уравнения [4]: 162 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 ,ˆ 1 )2exp( 1 2 γ ν ν ν γ γ γ γ =         + −+         − − at at Ф at at Ф (1) где Nr /ˆ =γ – квантиль, вычисляемая через отношение количества отказов r к объему выборки N , поставленной на испытания; γt – время появления r -го отказа. Решение ряда задач по надежности с учетом различных распределений отказов зна- чительно упрощается, если функции этих распределений табулированы. Впервые эффек- тивное решение задач по надежности с использованием таблиц функции DN - распределения предложено в [5], где функция DN -распределения была параметризована и табулирована в параметрах x и ν . Использование в качестве параметра распределения от- носительной наработки xat = позволило уйти при табулировании от реального масштаба времени, упростить табулирование функции и ее использование при решении ряда задач по надежности методом квантилей. ,ˆ 1 )2exp( 1 2 γ ν ν ν γ γ γ γ =         + −Φ+        − Φ − x x x x (2) где γγ atx = . С использованием таблиц DN -распределения [4] по исходным данным о γ̂ и ν оп- ределяется значение γx , и далее по формуле γ γ t x a = вычисляется значение средней скоро- сти деградации a . Если в процессе оценки параметра масштаба DN -распределения a методом кван- тилей выбрано (исходя из самых общих рассуждений в области физики отказов [6]) апри- орное значение параметра формы ν , заведомо превышающее действительное значение V , то это приводит к заниженным результатам прогноза средней скорости деградации. Если априорное значение параметра формы ν заведомо меньше действительного значения V , то, наоборот, это приводит к завышенным результатам прогноза. И только если выбранная априорная оценка параметра формы близка к действительному значению коэффициента вариации генеральной совокупности V̂ , то оценки ia , полученные методом квантилей, располагаются вокруг средней оценки â с минимальной дисперсией и представляют собой график зависимости )(tfai = , максимально приближающийся к горизонтальной прямой вокруг истинного среднего значения. Оценки ia , полученные методом квантилей, рекомендуется усреднять, отбросив первые отказы и взяв для усреднения конечный, наиболее линеаризованный, участок зави- симости )(tfai = , или воспользоваться формулой для взвешенного среднего, предложен- ной в [4]. Необходимо иметь в виду, что использование статистической информации о первых отказах приводит к достаточно большим погрешностям в оценке параметра мас- штаба DN -распределения. Устойчивой закономерности в этом не обнаружено, так что оценки ia , полученные по первым отказам, могут быть как завышенными, так и занижен- ными по отношению к â , полученной для генеральной совокупности. Используя закономерности, описанные выше, можно сформулировать следующий графо-аналитический метод оценки параметров DN -распределения. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 163 3. Графо-аналитический метод Процесс деградации изделий электронной техники, наряду с монотонными реализациями (механические разрушения при термоэлектроциклировании) вследствие электрических яв- лений, имеет и немонотонные реализации, поэтому в общем случае принято рассматривать деградацию этих изделий как процесс с немонотонными реализациями (рис. 1). При этом тангенс угла наклона среднего значения определяющих параметров процессов деградации (наклонная сплошная линия на графике), протекающих в изделии, представляет собой по- стоянную величину, равную средней скорости обобщенного процесса деградации. constatg == ˆα . (3) При формализации DN -распределения процесс деградации для совокупности од- нотипных изделий предполагается однородным, то есть с постоянной средней скоростью, постоянным средним квадратическим отклонением скорости и, как следствие, постоянным коэффициентом вариации скорости (рис. 2). Рис. 1. График формирования плотности DN -распределения для изделия Рис. 2. График теоретической зависимости )(tfai = для совокупности изделий Графо-аналитический метод оценки параметров DN -распределения опирается на анализ поведения графиков зависимости )(tfai = , полученной методом квантилей. Наи- лучшим выбором априорного значения ν считается такой выбор, при котором график за- висимости )(tfai = наиболее точно описывается прямой горизонтальной линией, что со- гласуется с гипотезой о постоянстве скорости деградации, принятой при формализации DN -распределения [4, 5] (рис. 2). В тех случаях, когда по графику зависимости )(tfai = трудно сделать вывод о наи- лучшем варианте выбора априорного значения ν (особенно сложно сделать выбор по ста- тистике первых отказов), можно воспользоваться следующим формальным критерием. Критерий подбора априорного значения параметра формы. Наиболее приемле- мое априорное значение параметра формы ν лежит в области значений, при которых про- исходит смена знака тренда средней скорости деградации )(h на графике )(tfai = . ,1 i n a aa h −= (4) где naa ,1 – оценки скорости деградации изделия, полученные по квантилям, соответст- венно, минимального и максимального уровней; ia – среднее значение оценок скоростей деградации, полученных методом квантилей. 164 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 n a a n i i i ∑ == 1 . (5) Проиллюстрируем эффективность работы данного критерия на примере натурных испытаний на долговечность образцов изделий, статистика отказов которых хорошо опи- сывается DN -распределением. Пример. Рассмотрим в качестве примера испытания образцов изделий из алюми- ниевого сплава В-95 на усталостную долговечность [6]. Необходимо оценить параметры DN -распределения графо-аналитическим методом. Первые элементы выборки объемом N =463 с соответствующими квантилями в диапазоне от 0,0021 до 0,3131 приведены в табл. 1. В таблице введены следующие обозна- чения: r – накопленное количество отказов на момент времени tγ ; tγ – время испытаний, соответствующее накопленному количеству отказов; γ – эмпирическая вероятность отка- за. Таблица 1. Таблица данных r γ tγ , 103 цикл 1 0,0021 44 5 0,0107 49 10 0,0215 57 15 0,0323 59 20 0,0431 63 25 0,0539 66 30 0,0647 68 35 0,0755 73 40 0,0863 75 45 0,0971 78 50 0,1079 79 55 0,1187 82 60 0,1295 84 65 0,1403 86 70 0,1511 89 Продолж. табл. 1 r γ tγ , 103 цикл 75 0,1619 91 80 0,1727 93 85 0,1835 95 90 0,1943 97 95 0,2051 99 100 0,2159 102 105 0,2267 102 110 0,2375 105 115 0,2483 106 120 0,2591 107 125 0,2699 108 130 0,2807 109 135 0,2915 111 140 0,3023 113 145 0,3131 114 Проверим работу графо-аналитического метода на квантилях сверх малого уровня. В качестве исходных данных возьмем квантили уровня от 0,0021 до 0,0215. Для различных значений параметра ν определим методом квантилей значения ia по данным о γ и r и вычислим значение критерия h по формуле (4). Данные приведены в табл. 2. Таблица 2. Таблица данных =ν 0,6 =ν 0,5 =ν 0,4 =ν 0,3 r γ tγ , 103 цикл ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h 1 0,0021 44 4,545 0,1106 5,681 0,1503 7,272 0,0358 9,318 -0,0397 5 0,0108 49 5,102 6,327 7,959 9,796 10 0,0215 57 5,088 6,614 7,544 8,947 График экспериментальной зависимости )(tfai = для квантилей от 0,0021 до 0,0215 приведен на рис. 3. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 165 Выводы по оценкам параметров. Смена знака тренда h произошла при 4,03,0 <<ν , поэтому 35,0 2 4,03,0 =+=ν ; 610473,8 −⋅=ia цикл-1, 375,0 56,0 35,056,0 =−=νδ , 436,0 109,5 109,510473,8 6 66 = ⋅ ⋅−⋅= − −− а δ . Ошибки в оценке как параметра формы, так и параметра масштаба, по первым отказам довольно значительные. Известно, что при обработке результатов испытаний на надежность считается, что первые отказы в выборке имеют наи- меньший вес, так как их появление вы- звано серьезными дефектами, не обна- руженными в процессе выходного кон- троля качества продукции. Первые отка- зы, как правило, «выпадают» из общей статистической закономерности, поэто- му для дальнейшего анализа мы их от- бросим и продолжим исследование эф- фективности графо-аналитического метода на статистических данных, соответствующих квантилям уровня от 0,0323 до 0,0539. Данные значений ia и h приведены в табл. 3. Таблица 3. Таблица данных =ν 0,6 =ν 0,5 =ν 0,4 =ν 0,3 r γ tγ , 103 цикл ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h 15 0,0323 59 5,254 0,0092 6,44 -0,0119 7,797 -0,0288 8,915 -0,0143 20 0,0431 63 5,397 6,349 7,619 8,889 25 0,0539 66 5,303 6,364 7,576 8,788 График экспериментальной зависимости )(tfai = для квантилей от 0,0323 до 0,0539 приведен на рис. 4. Выводы по оценкам парамет- ров. Последняя смена знака тренда h произошла при 6,05,0 <<ν , поэтому 55,0 2 6,05,0 =+=ν , 610851,5 −⋅=ia цикл -1, 018,0 56,0 55,056,0 =−=νδ , 008,0 109,5 10851,5109,5 6 66 = ⋅ ⋅−⋅= − −− а δ . Ана- лизируя абсолютные значения трендов 0,0092 и 0,0119, можно сделать еще и дополнительный вывод о том, что ис- тинное значение параметра формы ν находится ближе к значению 0,6. Увеличим количество статистической информации об отказах до квантилей уровня 0,0863. Данные значений ia и h приведены в табл. 4. 0 2 4 6 8 10 12 44 49 57 Значения t З н ач ен и я а i V=0,6 V=0,5 V=0,4 V=0,3 Рис. 3. График экспериментальной зависимости )(tfai = для квантилей от 0,0021 до 0,0215 0 2 4 6 8 10 59 63 66 Значения t З н а ч е н и я а i V=0,6 V=0,5 V=0,4 V=0,3 Рис. 4. График экспериментальной зависимости )(tfai = для квантилей от 0,0323 до 0,0539 166 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 Таблица 4. Таблица данных =ν 0,6 =ν 0,5 =ν 0,4 =ν 0,3 r γ tγ , 103 цикл ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h ia ,10-6 цикл -1 h 15 0,0323 59 5,254 0,0148 6,44 -0,0273 7,797 -0,0615 8,915 -0,0747 20 0,0431 63 5,397 6,349 7,619 8,889 25 0,0539 66 5,303 6,364 7,576 8,788 30 0,0647 68 5,441 6,47 7,647 8,823 35 0,0755 73 5,342 6,164 7,260 8,356 40 0,0863 75 5,333 6,267 7,333 8,267 График экспериментальной зависимости )(tfai = для квантилей от 0,0323 до 0,0863 приведен на рис. 5. Выводы по оценкам пара- метров. Смена знака тренда h не из- менилась при увеличении статистики отказов и вновь произошла при 6,05,0 <<ν . Поэтому 2 6,05,0 +=ν =0,55, =ia 5,844·10-6 цикл -1, 018,0 56,0 55,056,0 =−=νδ , 6 66 109,5 10844,5109,5 − −− ⋅ ⋅−⋅=аδ =0,009. При имеющейся дискретности изменения априорного значения ν , равной 0,1, дальнейшее увеличение статистики отказов не приводит к уточнению оценки параметра формы. Если принять дискретность равной 0,05, то значение ν можно было бы оценить еще более точно. Важно отметить, что описанный процесс нахождения наиболее истинного значения выборочной оценки параметра формы ν с помощью формального критерия согласия достаточно алгоритмичен и может с успехом выполняться на ЭВМ. Посмотрим, какой график изменения средней скорости деградации получается при увеличении статистической информации до квантилей малого уровня 0,3131. В [4, 6] приведены данные, по- лученные в результате обработки полной выборки образцов изделий В- 95: 463=N , $ , ,V = 0 56 $S = ⋅169 103 цикл, 6109,5ˆ −⋅=a цикл-1. Оценки параметров DN - распределения, полученные графо- аналитическим методом с использо- ванием предложенного формального критерия согласия, очень близки (ν =0,55, =ia 5,844·10-6 цикл -1) к оценкам, полученным эксперимен- тальным путем по полной выборке. 0 2 4 6 8 10 59 63 66 68 73 75 Значения t З н ач ен и я а i V=0,6 V=0,5 V=0,4 V=0,3 Рис. 5. График экспериментальной зависимости )(tfai = для квантилей от 0,0323 до 0,0864 0 1 2 3 4 5 6 7 44 57 63 68 75 79 84 89 93 97 10 2 10 5 10 7 10 9 11 3 Значения t Зн ач ен и я аi v=0,57 v=0,56 Рис. 6. График экспериментальной зависимости )(tfai = для квантилей от 0,0021 до 0,3131 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 2 167 На рис. 6 изображен график зависимости оценки параметра масштаба DN - распределения, полученной по квантилям от 0,0021 до 0,3131 для 57,0=ν . Нетрудно видеть, что почти при полном совпадении априорного значения парамет- ра формы ν =0,57 с выборочной оценкой коэффициента вариации $V =0,56 график зависи- мости )(tfai = представляет собой довольно ровную прямую линию, расположенную чуть ниже оценки 6109,5ˆ −⋅=a цикл-1, полученной по полной выборке. Исключением, как и предполагалось, являются первые отказы, которые дают несколько заниженную оценку средней скорости деградации и выпадают из общей тенденции. 4. Выводы Предложенный в работе графо-аналитический метод позволяет в условиях ограниченной статистики отказов по квантилям сверх малого уровня довольно точно определять не толь- ко параметры DN -распределения, но и делать выводы о возможности и правомерности выравнивания (описания) исследуемой выборки с помощью данного диффузионного рас- пределения, т.е. может использоваться в качестве своеобразного критерия согласия иссле- дуемого эмпирического распределения отказов выбранной теоретической модели надеж- ности. Описанный процесс нахождения наиболее истинных значений параметров DN - распределения с помощью формального критерия согласия достаточно алгоритмичен и может выполняться на ЭВМ. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Савчук В.П. Байесовские методы статистического оценивания надёжности технических объектов / Савчук В.П. – М.: Наука, 1989. – 303 с. 2. Прохоренко В.Д. Учёт априорной информации при оценке надёжности / В.Д. Прохоренко, В.Ф Голиков. – М.: Наука и техника, 1978. – 255 с. 3. ГОСТ 27.201-81. Надёжность в технике. Оценка надёжности при малом числе наблюдений с ис- пользованием дополнительной информации. – Введ. 01.07.1981. – Москва: Издательство стандар- тов, 1981. – 136 с. 4. Стрельников В.П. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем / В.П. Стрельников, А.В. Федухин. – К.: Логос, 2002. – 486 с. 5. Погребинский С.Б. Проектирование и надежность многопроцессорных ЭВМ / С.Б. Погребин- ский, В.П. Стрельников. – М.: Радио и связь, 1988. – 168 с. 6. ГОСТ 27.005-97. Надежность в технике. Модели отказов. Основные положения. – Введ. 05.12.1997. – Киев: Госстандарт Украины, 1997. – 45 с. Стаття надійшла до редакції 25.04.2012

Графо-аналитический метод оценки параметров DN-распределения в условиях малой статистики отказов

Репозитарії

Схожі ресурси