Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу
У статті представлені результати функціонального аналізу залежностей «бойовий ефект - витрати засобів» для об'єктів вогневого ураження різних класів і рекомендації щодо їх використання для формалізації типової задачі оптимального цілерозподілу та її вирішення в АСУ військами (силами)....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2012
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83788 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу / Л.О. Комарова, А.І. Невольніченко / Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 156-167. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83788 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-837882015-06-24T03:02:02Z Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу Комарова, Л.О. Невольніченко, А.І. Моделювання і управління У статті представлені результати функціонального аналізу залежностей «бойовий ефект - витрати засобів» для об'єктів вогневого ураження різних класів і рекомендації щодо їх використання для формалізації типової задачі оптимального цілерозподілу та її вирішення в АСУ військами (силами). В статье представлены результаты функционального анализа зависимостей «боевой эффект - затраты средств» для объектов огневого поражения различных классов и рекомендации по их использованию для формализации типовой задачи оптимального целераспределения и её решения в АСУ войсками (силами). The results of the functional dependency analysis "combat effects - the cost of funds" for fire damage objects of different classes and use recommendations for the typical mission formalization of optimal target assignment and its solution by automated troop and command system are given in the article. 2012 Article Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу / Л.О. Комарова, А.І. Невольніченко / Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 156-167. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83788 355.45 uk Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Моделювання і управління Моделювання і управління |
| spellingShingle |
Моделювання і управління Моделювання і управління Комарова, Л.О. Невольніченко, А.І. Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу Математичні машини і системи |
| description |
У статті представлені результати функціонального аналізу залежностей «бойовий ефект - витрати засобів» для об'єктів вогневого ураження різних класів і рекомендації щодо їх використання для формалізації типової задачі оптимального цілерозподілу та її вирішення в АСУ військами (силами). |
| format |
Article |
| author |
Комарова, Л.О. Невольніченко, А.І. |
| author_facet |
Комарова, Л.О. Невольніченко, А.І. |
| author_sort |
Комарова, Л.О. |
| title |
Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу |
| title_short |
Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу |
| title_full |
Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу |
| title_fullStr |
Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу |
| title_full_unstemmed |
Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу |
| title_sort |
дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83788 |
| citation_txt |
Дослідження функцій ураження об'єктів різних класів для задач цілерозподілу / Л.О. Комарова, А.І. Невольніченко / Мат. машини і системи. — 2012. — № 4. — С. 156-167. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT komarovalo doslídžennâfunkcíjuražennâobêktívríznihklasívdlâzadačcílerozpodílu AT nevolʹníčenkoaí doslídžennâfunkcíjuražennâobêktívríznihklasívdlâzadačcílerozpodílu |
| first_indexed |
2025-07-06T10:40:02Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:40:02Z |
| _version_ |
1836893765185306624 |
| fulltext |
156 © Комарова Л.О., Невольніченко А.І., 2012
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
УДК 355.45
Л.О. КОМАРОВА, А.І. НЕВОЛЬНІЧЕНКО
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ УРАЖЕННЯ ОБ’ЄКТІВ РІЗНИХ КЛАСІВ ДЛЯ ЗАДАЧ
ЦІЛЕРОЗПОДІЛУ
Анотація. У статті представлені результати функціонального аналізу залежностей «бойовий
ефект – витрати засобів» для об’єктів вогневого ураження різних класів і рекомендації щодо їх
використання для формалізації типової задачі оптимального цілерозподілу та її вирішення в АСУ
військами (силами).
Ключові слова: бойовий ефект, засоби ураження, функція ураження, задача цілерозподілу, бойова
ефективність.
Аннотация. В статье представлены результаты функционального анализа зависимостей
«боевой эффект – затраты средств» для объектов огневого поражения различных классов и
рекомендации по их использованию для формализации типовой задачи оптимального
целераспределения и её решения в АСУ войсками (силами).
Ключевые слова: боевой эффект, средства поражения, функция поражения, задача
целераспределения, боевая эффективность.
Abstract. The results of the functional dependency analysis “combat effects – the cost of funds” for fire
damage objects of different classes and use recommendations for the typical mission formalization of
optimal target assignment and its solution by automated troop and command system are given in the
article.
Keywords: combat effect, means of destruction, damage function, target assignment problem, combat
effectiveness.
1. Вступ
Коректне визначення функціональної залежності рівня бойового ефекту від витрат засобів
для його досягнення для об’єктів застосування різних класів є умовою формальної поста-
новки й точного вирішення задач оптимального розподілу засобів по об’єктах застосуван-
ня при плануванні операцій військ (сил) [1]. Даній проблемі присвячений зміст статті.
Для бойової системи (БС) війська (сили) залежність очікуваного бойового ефекту
(БЕ) при виконанні вогневого завдання від кількості ресурсу (сил і засобів) у загальному
випадку визначається такими міркуваннями.
Бойовим ефектом вогневого ураження (ВУ) вважається рівень нанесеного (об’єкту
ураження противника) чи відверненого (об’єкту захисту від противника) збитку ресурсом
сил і засобів, що призначені на даний об’єкт застосування. Бойовий ефект, як зміну опера-
тивно-тактичної важливості (ОТВ) об’єкта, безпосередньо утворюють засоби, які застосо-
вують сили. Тому розрахунковою одиницею (РО) ресурсу засобів будемо вважати боєком-
плект, який застосовує відповідна до нього РО ресурсу сил – залп РО сил ствольної, реак-
тивної чи корабельної артилерії; бойова зарядка одного літака бомбардувальної (БА), пари
літаків штурмової (ША), винищувальної (ВА) і пари ударних вертольотів армійської авіа-
ції (АА); бойова частина балістичної чи крилатої оперативно-тактичної ракети, боєкомп-
лект РО сил сухопутних військ (СВ), РО сил ППО тощо. Будемо розрахунковою одиницею
сил, яка застосовує відповідну одиницю засобів, вважати екіпаж літака БА, екіпажні пари
ША, ВА і АА, бойовий розрахунок РВіА, бойову групу СВ, батарею ППО, команду ВМС
тощо. Очевидно, що потрібна кількість РО сил YS для застосування XS РО засобів, в зале-
жності від нормативного часу застосування 1 РО засобів ( )1τ (з перезарядкою) та встанов-
леного часу TS виконання вогневого завдання, практично визначається із співвідношення
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 157
)...}3/1(),2/1(,1{}TS/)1(τ{)XS/YS( == .
Сумарний бойовий ефект ws, що утворюється засобами xs, які застосовують сили
БС за час (0 )≤ ≤t TS у процесі дій по n призначених «різнорідних» об’єктах за планом
розподілу однорідних засобів (що мають спеціалізацію по даних об’єктах),
)}x(w...)x(w{ws),x...x(xs,n,1j,x nn11n1j ++=++== , (1)
є зростаючою функцією часу )}TS(ws)t(ws0{ ≤≤ , тому що бойовий ефект ( )ws t в зале-
жності від кількості засобів ( )xs t , які застосували сили у часі, є функціоналом ( ){ }ws xs t .
Темп зростання поточного бойового ефекту за часом (так звана бойова могутність БС) при
послідовному у часі (згідно з планом дій) застосуванні силами витратних засобів ( )xs t
формально задається складною похідною від функціоналу:
)t(a)xs(b
dt
)xs(d
)xs(
)ws(
)}t(xs{ws
dt
d ×=×
∂
∂= , (2)
де b – продуктивність засобів по створенню бойового ефекту (могутність засобів);
a – продуктивність сил по застосуванню засобів (темп витрачання силами засобів).
Накопичений на момент часу застосування t бойовий ефект складе:
dt)}t(as)xs(bs{)t(ws
t
0
××= ∫ . (3)
Питома продуктивність засобів ( )1b є нормативною для кожного класу об’єктів за-
стосування, але групова продуктивність засобів БС ( )bs xs є вже оперативною для фактич-
ного плану їх розподілу між різнорідними об’єктами застосування і дорівнює не очікува-
ному добутку ( ){ }1b xs× , а, згідно з (2), співвідношенню { }/ws xs на момент t TS= . У
свою чергу, продуктивність сил a є функцією часу, яка відповідає як плану (сценарію) дій
сил, так і дії зовнішніх факторів (бойові втрати сил, зброї і військової техніки; виснаження
особового складу сил; порушення темпу постачання засобів у процесі дій сил тощо). При
наявній продуктивності сил по застосуванню засобів xs їх кількість на момент t складе:
∫ ×=
t
0
dt)t(as)t(xs , (4)
і бойовий ефект можна розглядати як функцію лише кількості ресурсу засобів ( )ws xs , які
застосовують сили згідно з планом дій. Тепер достатньо з’ясувати залежність поточної
продуктивності засобів, що є функцією як їх кількості, так і нормативних характеристик
об’єкта застосування, для формалізації задачі оптимального цілерозподілу як задачі мак-
симізації групової продуктивності засобів.
Бойова система є фізичною системою [2], яка в операції застосування витрачає по-
точний ресурс засобів x по даному об’єкту з ОТВ с для її «зміни» на величину бойового
ефекту ( )w x . Для визначення системної функції ( )w x вважаємо коректною евристику, що
продуктивність ресурсу засобів x по створенню системного (бойового) ефекту w пропор-
ційна статку (поточній) ОТВ об’єкта ( ){ } ( )c w x v x− = , тобто
158 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
)}x(vγ
dx
)x(dw
)x(b ×== . (5)
Дане неоднорідне диференційне рівняння, таким чином, належить до класу рівнянь
математичної фізики і є фундаментальним для БС. Інтегрування даного диференційного
рівняння для характеристик об’єктів різних класів визначає системну функцію ( )w x БС.
2. Групові цілі
Клас групових цілей складають об’єкти, ураження яких досягається застосуванням у взає-
модії усіх призначених на даний об’єкт РО засобів БС (особливості – синергетичний бойо-
вий ефект та групова продуктивність засобів). Бойовий ефект для ресурсу засобів x вимі-
рюється частиною ( )w x усуненої оперативно-тактичної важливості (ОТВ) c об’єкта; час-
тина ( )v x збереженої ОТВ є її статком. Дані частини разом складають ОТВ даного
об’єкта:
c)x(v)x(w =+ , (6)
причому, очевидно, що
)x(wc)x(v);x(vc)x(w −=−= . (7)
Вважається, згідно з (5), що групова продуктивність засобів ураження по ефекту
( )/dw dx пропорційна статку (збереженій) оперативно-тактичній важливості об’єкта:
)x(vγ
dx
)x(dw
г ×= . (8)
Тут гγ – коефіцієнт впливу ресурсу dx на статок ОТВ ( )v x для даної групової цілі, що
має розмірність [1/РО засобів]. Дане неоднорідне диференційне рівняння приводиться до
однорідного очевидною, згідно з (7), заміною в лівій частині:
).x(vγ
dx
)x(dv
)}x(vc{
dx
d
)x(w
dx
d
г ×=−=−= (9)
Після розділення значень функції та її аргументу по різних частинах (9) одержимо
диференційне рівняння:
.dxγ
)x(v
)x(dv
г ×=− (10)
Інтегруємо дане диференційне рівняння по частинах. Для кількості засобів ( )x ни-
жній край інтервалу інтегрування дорівнює 0, а верхній край – поточному значенню x ; для
статку (збереженої) ОТВ нижній край інтервалу інтегрування відповідно (при кількості
засобів 0) дорівнює початковому рівню c , а верхній край (при кількості засобів x ) – пото-
чному рівню ( )v x . Тому маємо
.dxγ
v
dv x
0
г
)x(v
c
∫∫ ×−= (11)
З урахуванням (7), одержимо алгебраїчне (саме логарифмічне) рівняння:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 159
( ) xγ
c
)x(wc
ln)cln()x(vln г−=
−=− . (12)
Потенціювання обох частин даного рівняння дає
).xγexp(
c
)x(w
1 г−=
− (13)
Звідси остаточно функція (закон) залежності бойового ефекту від витрат засобів для
групової цілі:
( ) ( ){ }1 exp= × − −γгw x c х . (14)
Константа гγ знаходиться з рівняння (14) за умови, що відомий питомий ефект,
який для даної групової цілі c утворює розрахункова одиниця засобів ( )1w x = ,
( )c/)1(w1lnγг −=− . (15)
3. Поодинокі цілі
Клас поодиноких цілей складають об’єкти, ураження яких досягається влученням хоча б
однієї РО засобів БС з усіх призначених на даний об’єкт.
Бойовий ефект для ресурсу x також вимірюється частиною ( )w x усуненої опера-
тивно-тактичної важливості (ОТВ) c об’єкта; частина ( )v x збереженої ОТВ є її статком.
Дані частини разом і складають ОТВ даного об’єкта:
c)x(v)x(w =+ . (16)
Причому, очевидно, що
)x(wc)x(v);x(vc)x(w −=−= . (17)
Оскільки ураження та неураження об’єкта як результат застосування засобів x си-
лами складають саме повну групу випадкових подій, то сума ймовірності настання відпо-
відних подій дорівнюватиме:
1)x(q)x(p =+ , (18)
де ( )p x – ймовірність ураження об’єкта ресурсом засобів x (РО);
( )q x – ймовірність неураження об’єкта ресурсом засобів x (РО).
Із (18) прямує:
)x(p1)x(q),x(q1)x(p −=−= . (19)
Позначимо вказані рівні бойового ефекту ураження та неураження як математичні
сподівання рівнів усуненої та збереженої оперативно-тактичної важливості об’єкта відпо-
відно:
( ) ( ) 0 ( ) ( )w x c p x q x c p x= × + × = × ; (20)
( ) 0 ( ) ( ) ( )v x p x c q x c q x= × + × = × . (21)
Математичне сподівання рівня бойового ефекту w (одиниць БЕ) при оперативно-
тактичній важливості c (одиниць ОТВ) об’єкта, що утворений силами у складі x бойових
160 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
груп (РО), є добутком ОТВ c та ймовірності ( )p x її досягнення чи оберненої ймовірності
( )q x недосягнення згідно з (19):
)}x(q1{c)x(pc)x(w −×=×= . (22)
Вважаємо, що поточна групова продуктивність засобів ураження по ефекту
( )/dw dx пропорційна статку (збереженій) оперативно-тактичній важливості об’єкта:
)x(vγ
dx
)x(dw
o ×= . (23)
Тут гγ – коефіцієнт впливу ресурсу dx на статок ОТВ ( )v x для даної поодинокої цілі, що
має розмірність [1/РО засобів]. З урахуванням (20), (21), дане рівняння буде мати вигляд:
)}x(qc{γ
dx
)}x(pc{d
o ⋅=⋅
, (24)
тобто, після скорочення на c
( )
( )= γ ×о
dp x
q x
dx
. (25)
Рівняння (25) можна привести до однорідного заміною, згідно з (19), у лівій частині:
)x(qγ
dx
)x(dq
)}x(q1{
dx
d
)x(p
dx
d
o ×=−=−= . (26)
Після розділення в (26) ( )q x та x по різних частинах рівняння одержимо остаточ-
не диференційне рівняння:
( )
( ) o
dq x
dx
q x
− = γ × , (27)
яке інтегруємо по частинах. Згідно з фізичним змістом, нижньому краю інтервалу інтегру-
вання для ресурсу 0x = (відсутність ресурсу) буде відповідати нижній край інтервалу ін-
тегрування для ймовірності 1q = (вірогідне недосягнення c ), а верхньому краю інтервалу
інтегрування для ресурсу x буде відповідати верхній край інтервалу інтегрування для
ймовірності ( )q x . Тоді маємо
∫∫ ×−=
x
0
)x(q
1
dxγ
q
dq
o . (28)
Для обраних значень інтервалів інтегрування одержимо
.xγ)1ln()}x(qln{ o−=− (29)
Потенціювання обох частин рівняння (29) дає аналітичний вираз для ймовірності
недосягнення рівня ОТВ:
)x(p1)xγexp()x(q o −=−= . (30)
Таким чином, відповідна до (21) функція (закон) залежності бойовий ефект – витра-
ти з урахуванням (29) має такий аналітичний вигляд:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 161
( ) ( ){ }1 exp= × − −γоw x c х . (31)
Коефіцієнт впливу oγ визначається таким чином. Якщо при важливості c об’єкта
відомій рівень бойового ефекту ( )1w x = для одиниці ресурсу, то із рівняння (31) маємо
ln{q(1)})c/)1(w1ln(γo =−=− . (32)
З теорії ймовірності та алгебри подій відомо, що для поодиноких цілей складна по-
дія, пов’язана з неураженням цілі, є добутком простих подій неураження цілі, а ні однією
РО однорідних засобів з усіх x . Тому ймовірність даної події дорівнює
x)}1(q{)x(q = , (33)
де ( )1q – нормативна ймовірність неураження цілі розрахунковою одиницею засобів, і то-
му функція бойового ефекту для поодинокої цілі є добре відомою:
}))1(q(1{c)}x(q1{c)x(pc)x(w x−×=−×=×= . (34)
Функція ймовірності неураження ( )q x належить до класу експоненціальних (expo лат. –
показ), коли аргумент ( )x є показником ступеня основи ( )q . Формально функція (34) мо-
же бути тотожньо надана експоненціальною функцією іншої основи – константи Ейлера
2,728e= з показником ступеня, пропорційним даному аргументу x , тобто
xγx oe)}1(q{ −= , (35)
де oγ – коефіцієнт пропорційності, який знаходиться логарифмуванням (по основі e) обох
частин даного рівняння (34):
)}1(qln{γo =− . (36)
За фізичним змістом )1q0( << коефіцієнт oγ завжди від’ємний. Таким чином, да-
на функція ураження поодинокої цілі (34) тотожна до (31):
x)}γexp({1c}(q(1)){1cw(x) o
x −−×=−×= , (37)
що є взаємним доказом їх коректності.
4. Площинні цілі
Клас площинних цілей складають об’єкти, ураження яких досягається застосуванням у
взаємодії усіх призначених на даний об’єкт РО площинних засобів ураження (синергетич-
ний бойовий ефект групи засобів).
Бойовий ефект для об’єкта площею s, як мірою його оперативно-тактичної важли-
вості та ресурсу x , вимірюється частиною ( )w x ураженої площі об’єкта при частини ( )v x
неураженої (статку) площі об’єкта. Ці частини разом складають ОТВ площинного об’єкта:
s)x(v)x(w =+ , (38)
причому, очевидно, що
).x(ws)x(v),x(vs)x(w −=−= (39)
162 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
Вважаємо, що поточна групова продуктивність засобів по створенню ефекту пропо-
рційна статку оперативно-тактичній важливості об’єкта; тому виникає диференційне рів-
няння:
)x(vγ
dx
)x(dw
п ×= , (40)
де nγ – коефіцієнт впливу ресурсу dx на статок ОТВ ( )v x для даної площинної цілі, яка
має розмірність [1/РО засобів]. Дане неоднорідне диференційне рівняння (40) приводиться
до однорідного заміною, згідно з (39), у лівій частині:
)x(vγ
dx
)x(dv
)}x(vs{
dx
d
)x(w
dx
d
п ×=−=−= . (41)
Після розділення значень функції v та її аргументу x по різних частинах одержимо
диференційне рівняння:
.dxγ
)x(v
)x(dv
п ×−= (42)
Інтегруємо дане диференційне рівняння по частинах. Для кількості засобів нижній
край інтервалу інтегрування дорівнює 0, а верхній край – поточному значенню x ; для збе-
реженої ОТВ нижній край інтервалу інтегрування відповідно (при кількості засобів 0) до-
рівнює початковому рівню s, а верхній край (при кількості засобів x ) – поточному рівню
( )v x . Тому
∫∫ ×−=
x
0
п
)x(v
s
dxγ
v
dv
. (43)
З урахуванням (39), маємо алгебраїчне (саме логарифмічне) рівняння:
( ) xγ
s
)x(ws
ln)sln()x(vln п−=
−=− . (44)
Потенціювання обох частин даного рівняння дає
).xγexp(
s
)x(w
1 п−=
− (45)
Остаточно функція (закон) залежності бойового ефекту від витрат засобів для пло-
щинної цілі:
( ) ( ){ }1 exp= × − −γnw x s х . (46)
Коефіцієнт впливу nγ визначається таким чином. Якщо при відомій площі s
об’єкта оцінений рівень бойового ефекту для одиниці ресурсу ( )1w , то із рівняння (46) ма-
ємо
)s/)1(w1ln(γп −=− . (47)
Оскільки оперативно-тактична важливість площинних цілей може мати іншу мода-
льність, а ніж просто її «площа» s, то бойовий ефект слід обчислювати для добутку пито-
мої модальності a (одиниця ОТВ/одиниця площі) та площі цілі s; тоді остаточно:
( ) ( ) ( ){ }1 exp= × × − −γnw x a s х . (48)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 163
5. Цілі високої живучості
Клас цілей високої живучості (ВЖ) складають об’єкти, для ураження яких потрібне влу-
чення не менш нормативної кількості ( )1z > засобів (захищені командні пункти угрупо-
вань військ, важкі кораблі, авіаносці, шахтні пускові установки балістичних ракет, інжене-
рно укріплені об’єкти – військові, повітряні та морські бази, арсенали тощо).
Нехай відомі ОТВ a цілі – об’єкта ВЖ, нормативна кількість засобів ураження z та
нормативна ймовірність влучення p одиниці засобу у ціль. Якщо встановлений ступінь
ураження цілі (потрібний рівень бойового ефекту), то виникає задача визначення такої кі-
лькості x засобів, застосування яких задовольняє критерій достатності – умову
потрw)x(pa)x(w ≥×= . (49)
Бойовим ефектом ( )w x вважається математичне сподівання рівня усуненої ОТВ
об’єкта застосуванням )zx( ≥ РО засобів, причому
0)x(w = , якщо zx < ; (50)
)x(pa)x(w ×= , якщо zx ≥ . (51)
Відомо, що ймовірність влучення рівно k засобів з x визначається біноміальним
законом розподілу ймовірностей:
kxkk
x )p1(pC)x/k(p −−= . (52)
Тоді ймовірність влучення не менш z засобів з x буде, очевидно, дорівнювати
∑
=
−−=≥
x
zk
kxkk
x )p1(pC)zx(p , (53)
і функція ураження цілі ВЖ як залежність бойового ефекту від витрат засобів буде решіт-
частою через дискретність (цілочисельність) аргументу, а її огинаюча буде суто не опук-
лою:
0)x(w = , якщо zx < ; (54)
∑
=
−−×=
x
zk
kxkk
x )p1(pCa)x(w , якщо zx < . (55)
Інтерполяція значущої частини даної залежності (55) експонентою дає найбільш ві-
рогідну (з відносною до a середньоквадратичною похибкою менш 3%) аналітичну форму
функції регресії як закону для даної залежності. Таким чином, аналітична залежність бо-
йовий ефект – витрати засобів для цілей ВЖ може бути надана експоненціальною функці-
єю для значущої частини залежності:
( ) 0w x = , якщо x z< ;
( ) ( )( )( ){ }1 exp 1жw x a x z= × − −γ × − − , якщо x z≥ . (56)
Тут корекція аргументу x враховує те, що нульове значення експоненти ( )0 0w =
повинне починатися саме з аргументу ( )1x z= − , який передує аргументу першого нену-
льового значення ефекту ( )w x z= . Якщо для цілі ВЖ з ОТВ a відомий «нормативний»
(при zx = ) рівень бойового ефекту )z(wwн = , то константа ( жγ− ) знаходиться із рівнян-
ня (56)
164 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
)}a/)z(w(ln{1γж −=− . (57)
6. Постановка типової задачі оптимального цілерозподілу засобів
Таким чином, стало можливим знайти універсальну аналітичну залежність (закон) для фу-
нкцій бойовий ефект – витрати засобів різних класів цілей:
( ) ( ){ }1 expw x c x= × − −γ , (58)
що дозволяє використовувати єдину процедуру оптимального цілерозподілу засобів ВУ по
об’єктах застосування для комп’ютерних засобів АСУ(в).
Завдяки асимптотичному значенню c (оперативно-тактична важливість), існує таке
(крайнє) значення аргументу надураження (кількості РО засобів maxx ), при якому ефект
( )maxw x практично досягає асимптотичного значення, і подальше його нарощування не-
доцільне, бо продуктивність засобів ( )/dw dx швидко зменшується. Якщо припустима різ-
ниця між максимальним значенням функції і асимптотою дорівнює δ , то аргумент наду-
раження визначається рівнянням (58) для ,c δ та maxx :
)δc(max)}xγexp(1{cmax)x(w −=×−−×= , (59)
з якого прямує
γ/)}c/δ{ln(maxx −= . (60)
Знайдена аналітична форма функцій ураження об’єктів дозволяє зробити формальну пос-
тановку типової задачі оптимального цілерозподілу.
Зробимо деякі попередні припущення [1].
Бойовий (системний) ефект для системи n об’єктів, заданих вектором значень їх
оперативно-тактичної важливості,
n,1j,aA j == , (61)
при плані розподілу засобів по об’єктах (цілях):
n,1j,xX j == (62)
вважається адитивною формою сепарабельної функції:
∑
=
=
n
1j
jj )x(w)X(WS . (63)
Очевидно, загальна кількість засобів, призначених для ураження системи цілей, ви-
значається з плану їх цілерозподілу:
∑
=
=
n
1j
jx)X(NS . (64)
Для різнорідних (m типів) засобів, коли коефіцієнти впливу задаються матрицею
nm
o
ij
o
nm γΓ
×× −= , (65)
при плані розподілу засобів по об’єктах системи
nmijxX
×
= , (66)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 165
де ijx – кількість одиниць засобів i -го типу ( 1, )i m= , що призначена на j -й об’єкт, бойо-
вий ефект для кожного j -го об’єкта є
== )m,1i,x(w ijj
n,1j,xγexp1a)xγexp(Π1a
m
1i
ij
o
ijjij
o
ij
m
1i
j =
−−×=
−−×= ∑
==
, (67)
і системний бойовий ефект відповідно
∑
=
× ==
n
1j
ijjnm )m,1i,x(w)X(WS . (68)
Кількість різнорідних засобів по видах, призначених для ураження системи цілей,
також визначається з плану цілерозподілу (64):
1
, 1,
n
i ij
j
X x i m
=
= =∑ . (69)
Якщо система прикриття кожного j -го об’єкта-цілі має можливість активно проти-
діяти застосуванню по ньому певної кількості різнорідних засобів вогневого
ураження (ВУ)
nmijyY
×
= , (70)
то така можливість протидії потребує врахування зниження, в порівнянні з (65), спромож-
ності її подолання кожною одиницею різнорідних засобів із ijy :
nmijβΒ
×
= . (71)
Таким чином, зі складу ijx , що призначені на даний об’єкт ВУ, ijy одиниць повинні
долати протидію, а решта ( )ij ijx y− буде вражати об’єкт без протидії. Це дає таку залеж-
ність бойового ефекту від кількості різнорідних засобів ВУ:
== )m,1i,y,x(w ijijj
.n,1j,
yx),)yx(γyβexp(1(a
;yx)),xβexp(1(a
ijij
m
1i
ijijij
m
1i
ijijj
ijij
m
1i
ijijj
=
≥−−−−×
<−−×
=
∑∑
∑
==
=
якщо
якщо
(72)
Застосування силами засобів по об’єктах пов’язане з певними витратами запасу боє-
здатності – трудовитратами сил (од.сил×од.часу), які задаються:
для однорідних засобів – вектором питомих витрат
n,1j),x(r)X(RS jj == , (73)
де jr – трудовитрати сил по застосуванню 1 РО засобів по j -му об’єкту;
для різнорідних засобів – матрицею питомих витрат
166 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
nmijijnm )x(r)X(RS
×× = , (74)
де ijr – трудовитрати сил по застосуванню 1 РО засобів i -го типу по j -му об’єкту.
Питомі витрати доцільно вважати вартістю d трудовитрат сил на застосування 1
РО засобів по даному об’єкту призначення (включаючи вартість засобу). Тоді загальна ва-
ртість витрат запасу боєздатності сил по застосуванню засобів згідно з планом їх розподілу
по об’єктах складе відповідно:
для однорідних засобів:
∑
=
=
n
1j
jj xd)X(DS ; (75)
для різнорідних засобів:
ij
m
1i
n
1j
ijnm xd)X(DS ∑∑
= =
× = . (76)
Основна (обернена) задача оптимального розподілу засобів по об’єктах застосуван-
ня має таку формальну постановку: на множині { }X планів розподілу, кожний з яких X
задовольняє обмеження на потрібний (заданий) рівень бойового ефекту (критерій придат-
ності планів):
потрWS)X(WS ≥ , (77)
знайти план }X{X o ⊂ , який мінімізує витрати (чи їх вартість) запасу боєздатності (тру-
довитрати) сил по застосуванню засобів для створення потрібного рівня бойового ефекту
(критерій оптимальності плану):
).X(DS)X(DS)X(RS)X(RS
}X{
o
}X{
o minчиmin == (78)
При цьому групова продуктивність бойових трудовитрат сил по застосуванню засо-
бів для створення бойового ефекту (а тому і функціональна ефективність їх застосування)
буде, очевидно, максимальною [1]:
).X(ES
)X(RS
WS
)X(RS
)X(WS
)X(ES
}X{
{X}
потр
o
o
o max
min
=== (79)
Те ж саме справедливе і для економічної ефективності застосування БС (продукти-
вність вартості бойових трудовитрат).
Універсальна функція (закон) залежності часткового бойового ефекту від витрат за-
собів, аналітичний вигляд якої був знайдений
( ) ( ){ }1 expw x c x= × − −γ (80)
на інтервалі практичних значень аргументу max)xx0( ≤≤ , як свідчить її функціональний
аналіз, задовольняє умову опуклості, адитивна сепарабельна функція-обмеження ( )WS X
тому також є опуклою, цільова функція ( )RS X є лінійною формою (крайній випадок опу-
клості). Таким чином, дана задача належить до класу задач нелінійного програмування і
ефективно вирішується спеціальними методами опуклого програмування.
На жаль, аналітичний метод невизначених множників Лагранжа дає нецілочисельне
рішення для компонент оптимального плану, і його округлення є додатковою нетривіаль-
ною задачею. По-друге, деякі компоненти формально оптимального рішення при наявних
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4 167
обмеженнях можуть статися від’ємними, що не відповідає їх фізичному змісту (розрахун-
кова одиниця матеріальних ресурсів – засобів), і приведення рішення до невід’ємного є та-
кож додатковою нетривіальною задачею. Тому доцільно застосовувати найбільш придат-
ний ітераційний метод опуклого програмування, адаптований до динамічної ефективності
поточного рішення [1] – дискретний метод кінцевих різниць – як для векторного, так і для
матричного аргументу.
Для об’єктів з протидією функція часткового бойового ефекту (63) не відповідає
умові «опуклості» і тому доцільно використовувати метод динамічного програмування для
задач «розподілення» (засобів). Обидва методи адаптовані і реалізовані науковцями ЗС при
алгоритмізації процедур для комп’ютерних засобів автоматизації організаційного управ-
ління військами і зброєю.
7. Висновки
Таким чином, проведений функціональний аналіз залежностей бойовий ефект – витрати
засобів для об’єктів вогневого ураження різних класів дозволив визначити універсальну
функцію (закон) ураження та розробити рекомендації щодо використання результатів для
формалізації типової задачі оптимального цілерозподілу та її вирішення в АСУ військами
(силами).
Результати можуть бути використані при розробці автоматизації систем управління
військами (силами) та зброєю.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Педченко Г.М. Воєнно-наукове забезпечення операцій військ (сил) / Педченко Г.М., Шарий В.І.,
Невольніченко А.І. – К.: ВІ КНУ ім. Тараса Шевченка, 2011. – 228 с.
2. Венцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология / Венцель Е.С. – М.: Нау-
ка, 1988. – 208 с.
Стаття надійшла до редакції 10.04.2012
|