Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез

В настоящее время многие, физические по сути дисциплины, в частности, теория вероятностей и рациональная механика, рассматриваются как абстрактные математические теории. Поэтому шестая проблема Д. Гильберта, касающаяся аксиоматизации разделов физики, остается не решенной до конца. Применительно к ра...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Горбань, И.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2013
Назва видання:	Математичні машини і системи
Теми:	Обчислювальні системи
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83794
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 14-20. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-83794
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-837942015-06-25T03:02:03Z Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез Горбань, И.И. Обчислювальні системи В настоящее время многие, физические по сути дисциплины, в частности, теория вероятностей и рациональная механика, рассматриваются как абстрактные математические теории. Поэтому шестая проблема Д. Гильберта, касающаяся аксиоматизации разделов физики, остается не решенной до конца. Применительно к разделам физики, для которых построены аксиоматические математические теории, решение проблемы может быть обеспечено введением дополнительных физических гипотез (аксиом адекватности), фиксирующих наличие и особенности основополагающих физических феноменов. Сформулированы требования к физическим гипотезам. У теперішній час велика кількість фізичних по суті дисциплін, зокрема, теорія ймовірностей і раціональна механіка, розглядаються як абстрактні математичні теорії. Тому шоста проблема Д. Гільберта, що стосується аксіоматизації розділів фізики, залишається не вирішеною до кінця. Стосовно розділів фізики, для яких побудовані аксіоматичні математичні теорії, вирішення проблеми може бути забезпечено введенням додаткових фізичних гіпотез (аксіом адекватності), що фіксують наявність і особливості основоположних фізичних феноменів. Сформульовані вимоги до фізичних гіпотез. In present, a lot of disciplines, per se physical ones (the probability theory and the rational mechanics, in particular) are presented as the abstract mathematical theories. Therefore the sixth D. Gilbert's problem connected with axiomatization of physical disciplines has not solved so far. For physical disciplines, for which axiomatic mathematic theories are created the solution of the problem can be provided by the additional physical hypotheses (the adequacy axioms) that fix the presence and the particularities of the base of physical phenomena. Demands for the physical hypotheses are formulated. 2013 Article Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 14-20. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83794 519.2: 530.1: 600.1 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Обчислювальні системи Обчислювальні системи
spellingShingle	Обчислювальні системи Обчислювальні системи Горбань, И.И. Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез Математичні машини і системи
description	В настоящее время многие, физические по сути дисциплины, в частности, теория вероятностей и рациональная механика, рассматриваются как абстрактные математические теории. Поэтому шестая проблема Д. Гильберта, касающаяся аксиоматизации разделов физики, остается не решенной до конца. Применительно к разделам физики, для которых построены аксиоматические математические теории, решение проблемы может быть обеспечено введением дополнительных физических гипотез (аксиом адекватности), фиксирующих наличие и особенности основополагающих физических феноменов. Сформулированы требования к физическим гипотезам.
format	Article
author	Горбань, И.И.
author_facet	Горбань, И.И.
author_sort	Горбань, И.И.
title	Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез
title_short	Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез
title_full	Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез
title_fullStr	Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез
title_full_unstemmed	Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез
title_sort	шестая проблема д. гильберта: роль и значение физических гипотез
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Обчислювальні системи
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83794
citation_txt	Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 14-20. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT gorbanʹii šestaâproblemadgilʹbertarolʹiznačeniefizičeskihgipotez
first_indexed	2025-07-06T10:40:31Z
last_indexed	2025-07-06T10:40:31Z
_version_	1836893794022195200
fulltext	14 © Горбань И.И., 2013 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 УДК 519.2: 530.1: 600.1 И.И. ГОРБАНЬ ШЕСТАЯ ПРОБЛЕМА Д. ГИЛЬБЕРТА: РОЛЬ И ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Анотація. У теперішній час велика кількість фізичних по суті дисциплін, зокрема, теорія ймовір- ностей і раціональна механіка, розглядаються як абстрактні математичні теорії. Тому шоста проблема Д. Гільберта, що стосується аксіоматизації розділів фізики, залишається не вирішеною до кінця. Стосовно розділів фізики, для яких побудовані аксіоматичні математичні теорії, вирі- шення проблеми може бути забезпечено введенням додаткових фізичних гіпотез (аксіом адекват- ності), що фіксують наявність і особливості основоположних фізичних феноменів. Сформульова- ні вимоги до фізичних гіпотез. Ключові слова: шоста проблема Д. Гільберта, аксіома, фізична гіпотеза, теорія гіпервипадкових явищ. Аннотация. В настоящее время многие, физические по сути, дисциплины, в частности, теория вероятностей и рациональная механика, рассматриваются как абстрактные математические теории. Поэтому шестая проблема Д. Гильберта, касающаяся аксиоматизации разделов физики, остается не решенной до конца. Применительно к разделам физики, для которых построены ак- сиоматические математические теории, решение проблемы может быть обеспечено введением дополнительных физических гипотез (аксиом адекватности), фиксирующих наличие и особенно- сти основополагающих физических феноменов. Сформулированы требования к физическим гипо- тезам. Ключевые слова: шестая проблема Д. Гильберта, аксиома, физическая гипотеза, теория гиперс- лучайных явлений. Abstract. In present, a lot of disciplines, per se physical ones (the probability theory and the rational me- chanics, in particular) are presented as the abstract mathematical theories. Therefore the sixth D. Gil- bert’s problem connected with axiomatization of physical disciplines has not solved so far. For physical disciplines, for which axiomatic mathematic theories are created the solution of the problem can be pro- vided by the additional physical hypotheses (the adequacy axioms) that fix the presence and the particu- larities of the base of physical phenomena. Demands for the physical hypotheses are formulated. Keywords: the sixth D. Gilbert’s problem, axiom, physical hypothesis, theory of hyper-random phenome- na. 1. Введение В 1900 г. в Париже состоялся II Международный конгресс математиков, на котором с про- граммным докладом «Математические проблемы» [7] выступил Давид Гильберт. Он сформулировал 23 наиболее интересные, по его мнению, проблемы, «исследование кото- рых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки». Шестой проблемой им было названо «Математическое изложение аксиом физики». Часть доклада, касающуюся шестой проблемы, Д. Гильберт начал со слов: «С ис- следованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом по- строении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь матема- тика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика». Вопросу аксиоматизации науки Д. Гильберт уделял большое внимание на протяже- нии всей жизни. В докладе, прочитанном в 1917 г. на заседании Швейцарского математи- ческого общества, он говорил [10]: «По мере дальнейшего развития любой науки стано- вится все более необходимым целенаправленное выделение ее основополагающих предпо- ложений в чистом виде, осознание их в качестве аксиом и «помещение» их в «фундамент» данной области знания». И далее: «Механизм аксиоматического метода приводит к более ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 15 глубоким основаниям знания, ибо это действительно необходимо для более совершенного его построения»1. На призыв Д. Гильберта откликнулись многие ученые. Различные подходы к реше- нию проблемы аксиоматизации теории вероятностей предлагали Г. Больцман (1908), С.Н. Бернштейн (1917), Р. Мизес (1918), А. Ломницкий (1923) (на основе идей Э. Бореля), А.Н. Колмогоров (1929) и др. [7], а аксиоматизации механики – Г. Больцман, Г. Гамель (1908), В. Нолл (1957), К. Трузделл и др. [8]. Некоторые ученые, в частности, Р. Мизес, рассматривали проблему с позиций есте- ствознания, другие же, как, например, А.Н. Колмогоров, В. Нолл и К. Трузделл, – с мате- матических позиций. В настоящее время общепризнанным в области теории вероятностей считается ак- сиоматический подход А.Н. Колмогорова [6], основанный на концепциях теории множеств и теории меры. Этот подход, ставший классическим, возведен даже в ранг международно- го стандарта ISO [11]. Б.В. Гнеденко в комментарии к шестой проблеме писал [7]: «… для Гильберта тео- рия вероятностей является главой физики, в которой математические методы играют вы- дающуюся роль. Сейчас эта точка зрения уже не имеет такого распространения, которым она пользовалась на рубеже двух столетий, поскольку с тех пор достаточно определенно выявилось собственно математическое содержание теории вероятностей. Теперь уже не вызывает сомнения то, что созданные в ней понятия и методы исследования, а также полу- ченные результаты имеют общенаучное значение, далеко выходящее за пределы физики и даже всего естествознания». В области механики классическими считаются фундаментальные работы В. Нолла и К. Трузделла, сформировавших аксиоматическую рациональную механику, представляю- щую собой «часть математики, которая поставляет и исследует логические модели для описания изменений положения и формы, претерпеваемых повседневно наблюдаемыми нами вещами» [8]. Таким образом, и теория вероятностей, и рациональная механика интерпретируются в настоящее время как математические дисциплины. Не следует, однако, забывать, что обе эти дисциплины, а также другие формализо- ванные теории, трактуемые в настоящее время как чисто математические, но в то же время широко используемые при описании физических явлений, неразрывно связаны с физиче- скими особенностями окружающего мира. Поэтому представляется необходимым учиты- вать эти связи при аксиоматизации и рассматривать дисциплины не как математические, а как физико-математические, в которых физические начала играют не менее значимую роль, чем математические. Целью настоящей статьи является изложение концепции аксиоматизации таких дисциплин на основе физико-математического подхода. 2. Постановка вопроса Во многих современных теориях физические объекты и предметы исследования подменя- ются абстрактными математическими объектами и зависимостями – математическими мо- делями. Такой прием значительно облегчает решение физических задач и обеспечивает нахождение решений в общем виде, но при этом нарушается связь с реальностью, в ре- 1 Далеко не все ученые разделяли (да и сейчас разделяют) точку зрения Д. Гильберта по вопросу аксиоматизации. Известна, например, непримиримая позиция видного математика В.И. Арнольда [2], считавшего математику частью физики и остро критиковавшего попытки создания замкнутого изложения дисциплин в строго аксиоматической форме. 16 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 зультате чего ограничивается возможность проникновения в физическую сущность иссле- дуемых явлений. В качестве объекта и предмета изучения выступают уже не реальные физические явления и физические закономерности, а их абстрактные математические модели. Напри- мер, в классической теории вероятностей объектом исследования оказывается абстрактное вероятностное пространство, а предметом исследования – математические зависимости между его элементами. Сам же физический феномен статистической устойчивости часто- ты событий, лежащий в основе этой дисциплины, вроде бы вообще не играет никакой ро- ли, хотя в действительности, конечно, это не так. Более конструктивным представляется подход, при котором объектом изучения яв- ляется реальный физический мир, а предметом изучения, – физические феномены. Для то- го чтобы, оставаясь в рамках такой постановки задачи, использовать преимущества аксио- матического математического подхода, достаточно систему математических аксиом до- полнить физическими предположениями (гипотезами), устанавливающими связь между абстрактной теорией и реальным миром. Основные требования, предъявляемые к таким физическим гипотезам (аксиомам адекватности [5]), наряду с непротиворечивостью и независимостью, – это учет экспери- ментально подтверждаемых физических эффектов окружающего мира, определяющих предмет исследования, а также адекватность описания этих эффектов математическими моделями рассматриваемой теории. Принятие необходимых физических гипотез превра- щает абстрактную математическую теорию в физико-математическую теорию, в рамках которой возможно логически корректное описание действительности. Аксиомами адекватности, к примеру, теории вероятностей могут быть следующие физические гипотезы [5]. Гипотеза 1. Реальные массовые явления обладают свойством идеальной статистиче- ской устойчивости частоты (иначе: при увеличении объема выборки частота любого собы- тия сходится к постоянной величине). Гипотеза 2. Массовые явления адекватно описываются стохастическими моделями, которые исчерпывающе характеризуются функциями распределения. При решении практических задач вероятностного характера эти гипотезы обычно принимаются неосознанно, как сами собой разумеющиеся. Однако следует обратить внимание, что игнорирование или неполный учет особен- ностей физических феноменов может приводить к неверным выводам и искаженным оцен- кам. Рассмотрим этот вопрос на примере теории вероятностей. 3. Теория вероятностей – физико-математическая теория 3.1. Экспериментальные исследования статистической устойчивости Систематическое изучение физического феномена статистической устойчивости частоты событий ведется, по крайней мере, уже три с половиной столетия. Сохранились, например, сведения об экспериментах с подбрасыванием монеты, проводимые Лапласом, Бюффоном, К. Пирсоном и другими известными учеными [4, 5]. Результаты их опытов свидетельству- ют о наличии феномена статистической устойчивости и указывают на тенденцию стабили- зации частоты выпадения определенной стороны монеты при увеличении количества экс- периментов. Более точные исследования статистической устойчивости реальных процессов раз- личной физической природы на больших интервалах наблюдения, однако, показывают [5, 9], что феномен статистической устойчивости носит неидеальный характер. Выяснилось, что дисперсия выборочного среднего процессов вначале уменьшается с увеличением объ- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 17 ема данных, а затем, достигнув определенного значения, остается практически на одном и том же уровне или возрастает. На конечном интервале наблюдения последовательности значений процесса ( )X n ( 1, )n N= нарушения статистической устойчивости можно охарактеризовать с помощью различных параметров, одним из которых является параметр µ γ (1 γ )N N N ∗ ∗= + [5], где γ N N Y N X D D = – отношение выборочной дисперсии NYD выборочного среднего 1 1 ( ) ( ) n i Y n X i n = = ∑ ( 1, )n N= к средней величине 1 1 ( ) N N X X n D D n N = = ∑ выборочных дисперсий * ( )XD n , сформированных по фрагментам реализации последовательности ( )X n . Если при увеличении N параметр µN проявляет тенденцию стремления к нулю, то процесс считается статистически устойчивым, в противном же случае – неустойчивым. Для иллюстрации типичных зависимостей этого параметра от объема выборки для реальных физических процессов на рис. 1 приведены результаты обработки статистиче- ских данных о параметрах волнения моря, полученных Институтом океанологии им. П.П. Ширшова РАН за 15 месяцев наблюдения в районе Новороссийска (с сентября 2001 г. по декабрь 2003 г.) [3]. Данные получены с помощью волновой станции, показания кото- рой регистрировались с интервалом от одного до нескольких часов. Волнение моря за вре- мя наблюдения менялось в широких пределах. а) б) Рис. 1. Зависимость параметра µ от времени: для максимальной высоты волн (а) и максимально- го периода следования волн (б) На рис. 1а сплошной линией изображена зависимость от времени t параметра µ , представляющего собой усредненные по 15 месяцам изменения параметра µN для макси- мальной высоты волн, а на рис. 1б – для максимального периода следования волн. Точеч- ными линиями изображены отклонения от параметра µ , равные десятой части среднеквад- ратического отклонения. Из рисунков видно, что параметр µ с первых отсчетов принимает большие значе- ния. Это означает, что на всем интервале наблюдения зависимости высоты и периода волн от времени носят явно статистически неустойчивый характер и поэтому статистический прогноз практически невозможен. Результаты этих и множества других подобных экспериментов [5] указывают на то, что нарушение статистической устойчивости – особенность, присущая, по всей видимости, 18 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 всем физическим величинам, процессам и полям. Исключения, возможно, составляют лишь некоторые мировые константы, такие, как скорость света, постоянная Планка и др. При обработке небольших массивов данных неполное соответствие реалий Гипоте- зе 1 обычно не приводит к существенным потерям, но при решении высокоточных задач, сопряженных с обработкой больших объемов данных, могут возникать значительные по- грешности, которые необходимо принимать во внимание. 3.2. Учет нарушений статистической устойчивости Для корректного применения классической теории вероятностей, в принципе, достаточно заменить Гипотезу 1 на следующую. Гипотеза 1'. Реальные массовые явления обладают свойством ограниченной стати- стической устойчивости частоты (иначе: при увеличении объема выборки частота событий не сходится к постоянной величине). Замена Гипотезы 1 на 1' приводит к значительным математическим трудностям, связанным с нарушением сходимости. Возможно несколько вариантов их преодоления. Разработка одного из них привела к созданию новой физико-математической теории ги- перслучайных явлений [5]. Базовыми математическими моделями классической теории вероятностей служат случайные события, величины и функции, исчерпывающе характеризуемые функциями распределения. В роли же аналогичных моделей теории гиперслучайных явлений высту- пают гиперслучайные события, величины и функции, представляющие собой множество не связанных между собой соответственно случайных событий, величин и функций. Математическая часть теории гиперслучайных явлений базируется на классических аксиомах теории вероятностей, а физическая часть – на Гипотезе 1' и следующей. Гипотеза 2'. Массовые явления адекватно описываются гиперслучайными моделя- ми, которые исчерпывающе характеризуются совокупностями функций распределения. Поскольку теория гиперслучайных явлений использует систему математических ак- сиом теории вероятностей, с математической точки зрения она представляет собой ветвь классической теории вероятностей. С физической же точки зрения теория гиперслучайных явлений – новая физическая теория, базирующаяся на новых физических гипотезах. В це- лом же теорию гиперслучайных явлений можно рассматривать как новую физико- математическую теорию, обеспечивающую полное решение шестой проблемы Д. Гильбер- та в части теории вероятностей. Нарушением статистической устойчивости можно объяснить многие остававшиеся непонятными до недавнего времени эффекты, например, почему точность реальных изме- рений всегда ограничена, почему накопление данных не всегда приводит к повышению точности и др. Корректный учет особенностей феномена статистической устойчивости по- вышает точность описания физических явлений и открывает новые возможности для ре- шения практических задач [5]. 3.3. Является ли вероятность «нормальной» физической величиной? В 1992 г. в журнале «Успехи физических наук» вышла статья [1] с интригующим названи- ем, вынесенным в подзаголовок. Авторы этой статьи обратили внимание на то, что «суще- ственным элементом, незримо присутствующим при физической интерпретации вероятно- сти, является система трудно формализуемых гипотез, соглашений, домысливаний, как бы естественно, традиционно привязанных к формальному аппарату теории вероятностей, а в действительности являющихся самостоятельными гипотезами, требующими верифика- ции». Это обстоятельство делает невозможным без каких-либо дополнительных оговорок дать однозначный ответ на поставленный вопрос. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 19 Следуя описанной в настоящей статье логике рассуждений, ответить на него можно следующим образом. Вероятность, рассматриваемая в рамках математической аксиоматической теории вероятностей, вообще не является физической величиной. Это математическая абстракция, не имеющая никакого отношения к реальным физическим явлениям. С принятием дополнительно Гипотез 1 и 2 понятия предела частоты события и ве- роятность события оказываются тождественными. Проводя измерение частоты события, можно с некоторой погрешностью оценить его вероятность. При устремлении объема вы- борки к бесконечности погрешность стремится к нулю, а частота события – к вероятности. Если под понятием «нормальная» физическая величина понимать физическую ве- личину, которую теоретически можно измерить с нулевой погрешностью при бесконечном объеме выборки, то при принятии Гипотез 1 и 2 вероятность оказывается «нормальной» физической величиной. С принятием Гипотезы 1' фиксируется отсутствие предела частоты события. При этом абстрактное математическое понятие вероятности события нельзя отождествить с ка- кой-либо измеряемой физической величиной. Конечно, по данным измерения частоты события можно грубо оценить величину вероятности, однако, поскольку при безграничном увеличении объема выборки погреш- ность измерения не стремится к нулю, вероятность нельзя интерпретировать как «нор- мальную» физическую величину. 4. Заключение Таким образом, множество современных дисциплин, физических по сути, но позициони- руемых как абстрактные математические теории, не имеют связи с реалиями окружающего мира. Поэтому инженерам и физикам трудно согласиться с распространенным мнением, что шестая проблема Д. Гильберта, состоящая в аксиоматизации разделов физики («в пер- вую очередь теория вероятностей и механики»), решена полностью. Применительно к разделам физики, для которых сформированы аксиоматические математические теории, решение проблемы может быть обеспечено введением дополни- тельных физических гипотез (аксиом адекватности), устанавливающих связь с реальным миром. Такое дополнение превращает математическую теорию в физико-математическую и решает задачу аксиоматизации соответствующего раздела физики в постановке Д. Гиль- берта. Часть принимаемых физических гипотез должна определять предмет исследования, фиксируя наличие и особенности основополагающих физических феноменов, лежащих в основе теории, а остальные гипотезы – утверждать возможность описания реальных физи- ческих явлений соответствующими математическими моделями. Обязательным требованием, предъявляемым к физическим гипотезам, наряду с не- противоречивостью и независимостью, является их согласованность с экспериментальны- ми данными. В результате принятия дополнительных физических гипотез объектом и предметом изучения физико-математических теорий становятся реальные физические явления и фи- зические закономерности, а не их абстрактные математические модели, как в соответст- вующих математических теориях. Вопросам тщательного изучения физических феноменов и проверки адекватности математических моделей физическим реалиям необходимо уделять пристальное внимание. Учет существенных особенностей физических феноменов и адекватное их описание мате- матическими средствами обеспечивает корректное решение практических задач. 20 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Алимов Ю. И. Является ли вероятность «нормальной» физической величиной? / Ю.И. Алимов, Ю.А. Кравцов // Успехи физических наук. – 1992. – № 7. – С. 149 – 182. 2. Арнольд В.И. Математика и физика: родитель и дитя или сестры? / В.И. Арнольд // Успехи фи- зических наук. – 1999. – № 12. – С. 1311 – 1323. 3. Единая государственная система информации об обстановке в мировом океане ЕСИМ. Данные Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ias.ocean.ru/esimo. 4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Гнеденко Б.В. – М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1988. – 447 с. 5. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 317 с. 6. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей / Колмогоров А.Н. – М.: ОНТИ, 1974. – 120 с. 7. Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П.С. Александрова. – М.: Наука, 1969. – 238 с. 8. Трузделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / Трузделл К. – М.: Мир, 1975. – 592 с. 9. Эльясберг П.С. Измерительная информация. Сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? / Эльяс- берг П.С. – М.: Наука, 1983. – 207 с. 10. Hilbert D. Axiomatic Thinking / D. Hilbert. – Chicago: Philosophia Mathematica. – 1970. – N 7. – Р. 15 – 22. 11. International standard ISO 3534-1:2006(E/F). Statistics. Vocabulary and symbols. Part I: General statistical terms and terms used in probability. – 2006. – 105 р. Стаття надійшла до редакції 15.10.2012

Шестая проблема Д. Гильберта: роль и значение физических гипотез

Репозитарії

Схожі ресурси