Расходящиеся последовательности и функции
Систематизированы известные понятия и теоремы, касающиеся пределов. Для описания расходящихся последовательностей и функций введен ряд новых понятий и определений, в частности, понятия спектра предельных точек, сходимости к спектру предельных точек, функции и плотности распределения предельных точек...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Математичні машини і системи |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83973 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Расходящиеся последовательности и функции / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2012. — № 1. — С. 106-118. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-83973 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-839732015-07-02T03:01:48Z Расходящиеся последовательности и функции Горбань, И.И. Моделювання і управління Систематизированы известные понятия и теоремы, касающиеся пределов. Для описания расходящихся последовательностей и функций введен ряд новых понятий и определений, в частности, понятия спектра предельных точек, сходимости к спектру предельных точек, функции и плотности распределения предельных точек, границ функции распределения и др. Основу предложенного подхода составляют методы теории гиперслучайных явлений. Систематизовано відомі поняття і теореми, що стосуються границь. Для опису послідовностей і функцій, які розбігаються, введено низку нових понять і визначень, зокрема, поняття спектра граничних точок, збіжності до спектра граничних точок, функції і щільності розподілу граничних точок, границь функції розподілу та ін. Основу запропонованого підходу складають методи теорії гіпервипадкових явищ. Well-known concepts and theorems connected with the limits are systemized. For description of diverging sequences and functions, a number of new concepts and definitions, in particular concepts of limit points spectrum, convergence to spectrum of limit points, functions and density of distribution of the limit points, boundaries of distribution function etc. on are proposed for description of nonconvergent sequences and functions are introduced. The methods of hyper-random phenomena theory are the basis of proposed approach. 2012 Article Расходящиеся последовательности и функции / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2012. — № 1. — С. 106-118. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83973 519.2: 530.1: 600.1 ru Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Моделювання і управління Моделювання і управління |
| spellingShingle |
Моделювання і управління Моделювання і управління Горбань, И.И. Расходящиеся последовательности и функции Математичні машини і системи |
| description |
Систематизированы известные понятия и теоремы, касающиеся пределов. Для описания расходящихся последовательностей и функций введен ряд новых понятий и определений, в частности, понятия спектра предельных точек, сходимости к спектру предельных точек, функции и плотности распределения предельных точек, границ функции распределения и др. Основу предложенного подхода составляют методы теории гиперслучайных явлений. |
| format |
Article |
| author |
Горбань, И.И. |
| author_facet |
Горбань, И.И. |
| author_sort |
Горбань, И.И. |
| title |
Расходящиеся последовательности и функции |
| title_short |
Расходящиеся последовательности и функции |
| title_full |
Расходящиеся последовательности и функции |
| title_fullStr |
Расходящиеся последовательности и функции |
| title_full_unstemmed |
Расходящиеся последовательности и функции |
| title_sort |
расходящиеся последовательности и функции |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83973 |
| citation_txt |
Расходящиеся последовательности и функции / И.И. Горбань // Мат. машини і системи. — 2012. — № 1. — С. 106-118. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT gorbanʹii rashodâŝiesâposledovatelʹnostiifunkcii |
| first_indexed |
2025-07-06T10:51:55Z |
| last_indexed |
2025-07-06T10:51:55Z |
| _version_ |
1836894510184923136 |
| fulltext |
106 © Горбань И.И., 2012
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1
МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ
УДК 519.2: 530.1: 600.1
И.И. ГОРБАНЬ
РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ
Анотація. Систематизовано відомі поняття і теореми, що стосуються границь. Для опису пос-
лідовностей і функцій, які розбігаються, введено низку нових понять і визначень, зокрема, понят-
тя спектра граничних точок, збіжності до спектра граничних точок, функції і щільності розподі-
лу граничних точок, границь функції розподілу та ін. Основу запропонованого підходу складають
методи теорії гіпервипадкових явищ.
Ключові слова: послідовність, що розбігається, функція, що розбігається, часткова границя, гра-
нична точка, теорія гіпервипадкових явищ.
Аннотация. Систематизированы известные понятия и теоремы, касающиеся пределов. Для опи-
сания расходящихся последовательностей и функций введен ряд новых понятий и определений, в
частности, понятия спектра предельных точек, сходимости к спектру предельных точек, функ-
ции и плотности распределения предельных точек, границ функции распределения и др. Основу
предложенного подхода составляют методы теории гиперслучайных явлений.
Ключевые слова: расходящаяся последовательность, расходящаяся функция, частичный предел,
предельная точка, теория гиперслучайных явлений.
Abstract. Well-known concepts and theorems connected with the limits are systemized. For description of
diverging sequences and functions, a number of new concepts and definitions, in particular concepts of
limit points spectrum, convergence to spectrum of limit points, functions and density of distribution of the
limit points, boundaries of distribution function etc. on are proposed for description of nonconvergent se-
quences and functions are introduced. The methods of hyper-random phenomena theory are the basis of
proposed approach.
Keywords: diverging sequence, divergent function, partial limit, limit point, the theory of hyper-random
phenomena.
1. Введение
Основополагающими понятиями современной математики являются понятия предела и
сходимости. Подавляющее большинство математических результатов получено на основе
этих понятий. С их помощью вводятся, например, понятия равномерной сходимости, не-
прерывной функции, производной, интеграла и др.
Существенным требованием в классических определениях предела функции, задан-
ной на множестве действительных чисел, и сходимости числовой последовательности к
пределу является обязательное существование единственного предела. Если единственно-
го предела нет, то говорят, что функция или последовательность предела не имеет или что
она расходится.
Далеко не все последовательности и функции имеют пределы. Более того, в реаль-
ном физическом мире, как выясняется, многие процессы оказываются расходящимися. К
таковым относятся, например, неравновесные фликкер-шумы, статистически неустойчи-
вые процессы [1], хаотические процессы со странными аттракторами и многие другие.
Отсутствие сходимости – серьезная проблема, касающаяся многих математических
объектов. Однако до сих пор она мало изучена. В основном, обсуждается она в рамках
теории пределов и в связи с нарушением сходимости расходящихся рядов и интегралов [2–
5].
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1 107
Особый интерес представляют расходящиеся числовые последовательности { }nx ,
члены которых nx при увеличении номера n то возрастают, то убывают, а также расходя-
щиеся функции ( )x t , значения которых при приближении аргумента t к некоторому зна-
чению 0t колеблются в определенных пределах.
Отсутствие сходимости не означает, что о поведении последовательности { }nx при
n → ∞ или функции ( )x t при 0t t→ сказать ничего нельзя. Это не так. Заметим, что пре-
дел – лишь один из множества параметров, характеризующих последовательность или
функцию при предельном переходе.
Исследования различных физических процессов на больших интервалах наблюде-
ния [1, 6–9] показали, что в подавляющем большинстве случаев их выборочные средние
расходятся. Поиск эффективных методов описания таких процессов, названных статисти-
чески неустойчивыми, привел к новой теории гиперслучайных явлений. Развитие и обоб-
щение методов этой теории, как выясняется, может быть полезным для решения многих
задач, в том числе лежащих вдали от задач статистики.
Целью настоящей статьи является систематизация известных и изложение новых
результатов, касающихся нарушения сходимости, полученных на основе теории гиперслу-
чайных явлений.
2. Принцип сходимости
2.1. Частичные последовательности и частичные пределы
Понятие предела обычно вводится через понятие предела однозначной функции и опреде-
ляется следующим образом.
Определение 1 (Коши). Число a называется пределом функции ( )x t при 0t t→
(
0
lim ( )
t t
x t a
→
= ), если для любого положительного числа ε существует такое положительное
число δ , что при 00 δt t< − < (δ -окрестности точки 0t ) функция ( )x t определена и
( ) εx t a− < .
Аналогично определяются понятия предела для функции ( )x t при t , стремящемся к
плюс или минус бесконечности ( t → +∞ , t → −∞ ), а также понятия левостороннего и пра-
востороннего пределов.
Подобным же образом вводится понятие сходимости последовательности к преде-
лу.
Определение 2. Число a называется пределом числовой последовательности
{ } 1 2, , , , , ,n n nX x x x x x ′= = K K K (1)
( lim n
n
x a
→∞
= ), если для каждого положительного числа ε существует такой номер N , что
для всех n N> выполняется неравенство εnx a− < .
Доказано, что если предел последовательности или функции существует, то он
единственен.
Наличие у бесконечной последовательности { }nx предела a означает, что в ε -
окрестности точки a сосредоточено бесконечное количество ее членов (причем не обяза-
тельно одинаковых), а вне этой окрестности находится лишь конечное число членов.
Необходимое и достаточное условия сходимости последовательности определяются
следующей теоремой.
108 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1
Теорема 1 (Больцано-Коши). Последовательность (1) имеет конечный предел то-
гда и только тогда, когда для каждого числа ε 0> существует такой номер N , что нера-
венство εn nx x ′− < выполняется, как только n N> и n N′ > .
Тем самым эта теорема утверждает, что для существования предела необходимо и
достаточно, чтобы члены последовательности безгранично сближались по мере увеличе-
ния их номеров.
Справедлива аналогичная теорема и для функции.
Теорема 2 (Больцано-Коши). Функция ( )x t при 0t t→ имеет конечный предел то-
гда и только тогда, когда для каждого числа ε 0> существует такое число δ 0> , что нера-
венство ( ) ( ) εx t x t′− < выполняется, как только 0 δt t− < , 0 δt t′ − < .
Заметим, что эти теоремы распространяются и на случай бесконечных пределов.
Важную роль в теории пределов играют подпоследовательности.
Определение 3. Подпоследовательностью или частичной последовательностью на-
зывается любая бесконечная последовательность
1 2
, , , ,
kn n nx x xK K, (2)
сформированная из исходной последовательности (1) путем отбрасывания части ее членов
с сохранением порядка следования оставшихся членов.
Из определения следует, что последовательность индексов 1 2, , , ,kn n nK K подпос-
ледовательности (2) представляет собой последовательность возрастающих натуральных
чисел ( 1 2 kn n n< < < <K K ).
Определение 4. Частичным m -м пределом последовательности и частичным m -м
пределом функции называются пределы ma частичных m -х последовательностей, сфор-
мированных соответственно из исходной последовательности и исходной функции.
Частичные последовательности, так же как и исходные последовательности, могут
не иметь предела.
Известен целый ряд теорем для подпоследовательностей и функций, в частности,
следующие [2, 4].
Теорема 3. Если последовательность (1) (или функция ( )x t ) имеет определенный
предел a (конечный или бесконечный), то тот же предел a имеет и порожденная этой по-
следовательностью (функцией) частичная последовательность.
Заметим, что в общем случае обратное утверждение неверно.
Определение 5. Сходящейся последовательностью будем называть последователь-
ность (1), имеющую предел при n → ∞ , а сходящейся функцией в точке 0t t= – функцию,
имеющую предел в этой точке. Последовательности и функции, не удовлетворяющие это-
му требованию, будем называть расходящимися.
Расходящаяся функция может быть сходящейся в некотором множестве точек и
расходящейся в другом множестве точек.
В расходящейся последовательности или функции можно выделить множество час-
тичных последовательностей с разными частичными пределами.
Среди множества частичных пределов существуют наименьший и наибольший пре-
делы.
Определение 6. Наименьшим и наибольшим пределами последовательности (1)
(или функции ( )x t ) называются соответственно наименьший и наибольший частичные
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1 109
пределы подпоследовательностей ( lim inf limn n
n n
x x
→∞ →∞
= и limsup limn n
n n
x x
→∞ →∞
= для последова-
тельности (1) или
0 0
liminf ( ) lim ( )
t t t t
x t x t
→ →
= и
0 0
limsup ( ) lim ( )
t t t t
x t x t
→ →
= для функции).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Любая бесконечная последовательность (функция) имеет наибольший и
наименьший пределы. Равенство этих пределов является необходимым и достаточным ус-
ловиями для существования предела этой последовательности (функции).
Заметим, что в метрическом пространстве частичные пределы трактуются как пре-
дельные точки, а наименьший и наибольший пределы – как соответственно нижняя и
верхняя предельные точки. В случае, когда частичный предел последовательности равен
бесконечности (со знаком плюс или минус), предельная точка располагается на бесконеч-
ности (плюс или минус).
Известно [4], что любая бесконечная последовательность имеет хотя бы один час-
тичный предел. Этот предел может быть конечным или бесконечным. Для ограниченной
последовательности справедлива следующая лемма Больцано-Вейерштрасса.
Теорема 5 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательно-
сти всегда можно выделить такую частичную последовательность, которая сходилась бы к
конечному пределу.
2.2. Примеры расходящихся последовательностей и функций
Примером расходящейся последовательности может служить чередующаяся последова-
тельность чисел, одинаковых по модулю, но разного знака, например, последовательность
1, 1, 1, 1,+ − + − K . (3)
Эта последовательность имеет два частичных предела, равных 1+ и 1− .
Примерами расходящихся функций могут служить следующие функции:
1( ) sinωx t t= , 0t ≥ , (4)
0
1 0
1
( ) sin , 0 ,
ω ( )
x t t t
t t
= ≤ < −
(5)
флуктуирующая функция, определенная на интервале 0[0, )t , у которой полупериоды
возрастания значений описываются выражением (5), а полупериоды убывания – линей-
ной функцией:
1 0
2
2
2
1
sin , [ , ),
ω ( )
( )
2( )
1 , [ , , ),
k k
k
k k
k k
t t t
t t
x t
t t
t t t
t t
−
−
−
′ ′′∈ − =
′′ − ′′ ′+ ∈
′ ′′−
(6)
где 1 0ω 0, 0t≠ > , k – четное, kt′ , kt′′ – значения аргумента t , при котором на k -м полупе-
риоде (возрастания своих значений) функция принимает соответственно минимальное и
максимальное значения:
0
1
1
π
π ω
2
kt t
k
′ = +
− +
, 0
1
1
π
π ω
2
kt t
k
′′ = +
+
, (7)
110 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1
Рис. 1. Расходящиеся функции (5)–(6) и (8)–(9):
2
1ω 2 10−= ⋅ , 5
2ω 2 10−= ⋅ , 0 3t = , 01 3t = , 02 7t =
01 02
1 01 1 02
1 1
( ) sin sin , 0, , ,
ω ( ) ω ( )
x t t t t t t
t t t t
= + ≥ ≠ ≠ − −
(8)
01 02
1 01 1 02
01 02
2 01 2 02
1 1
sin sin 0, ,
ω ( ) ω ( )
( )
1 1
sin sin ,
ω ( ) ω ( )
при t t t или t t
t t t t
x t
при t t t
t t t t
+ ≥ < > − − =
+ < < − −
(9)
где 2 01 02ω 0, 0 t t≠ < < .
Функция (4) расходится при
t → ∞ , функции (5) и (6) – при 0t t→ ,
а функции (8)–(9) – при 01t t→ и
02t t→ . Представление о функциях
(5)–(6) и (8)–(9) дает рис. 1 (соответ-
ственно а–г).
В точках нарушения сходимости
функции (4)–(6) и (8)–(9) имеют не-
счетное число частичных пределов. У
функций (4)–(6) эти пределы нахо-
дятся в интервале [ 1, 1]− , а у функ-
ций (8)–(9) – в интервале [ 2, 2]− .
Последовательность – функция
дискретного аргумента. Поэтому, ко-
гда аргумент t принимает счетное
число дискретных значений, выраже-
ния (4)–(6) и (8)–(9) описывают бес-
конечные последовательности. В за-
висимости от величины параметров количество частичных пределов у этих последова-
тельностей может быть как бесконечным, так и конечным числом. Например, у последова-
тельностей, описываемых выражениями (5) и (6) при 0 /t t t n= + ∆ , 1ω 2 / πt∆ = , 1,2,n = K,
оно конечно: равно трем ( 1, 0,1− )).
2.3. Спектр предельных точек последовательности
Рассмотрим бесконечную ограниченную числовую последовательность (1). Пусть Ia и Sa
– соответственно нижняя и верхняя предельные точки последовательности.
Информативными параметрами, характеризующими последовательность, являются
количество предельных точек, среднее значение 0 2
S Ia a
a
+= , длина интервала
S Ia a a∆ = − , в котором находятся предельные точки, и др.
Если последовательность сходится к определенному числу a , то 0S Ia a a a= = = , а
0a∆ = ; если же последовательность расходится, то границы отличаются ( S Ia a≠ ), а
0a∆ ≠ . В последнем случае аналогом предела может выступать его спектр xS .
Определение 7. Спектром xS предельных точек (частичных пределов) последова-
тельности (1) будем называть множество всех ее предельных точек.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1 111
В любом случае, говоря о сходимости последовательности в обобщенном смысле,
будем подразумевать сходимость ее подпоследовательностей к соответствующим пре-
дельным точкам, формулировать этот факт как сходимость к спектру предельных точек и
аналитически записывать как Limx n
n
S x
→∞
= .
Сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку. Расходя-
щаяся последовательность может иметь конечное или бесконечное число таких точек.
Спектр последовательности может быть дискретным (состоять из изолированных
предельных точек, не имеющих в своей окрестности других предельных точек), непрерыв-
ным (состоять из всюду плотного множества предельных точек) или смешанным (дискрет-
но-непрерывным). Дискретный спектр может быть конечным или бесконечным. Бесконеч-
ный дискретный спектр содержит счетное число предельных точек.
Заметим, что спектр последовательности не меняется при исключении или добавле-
нии любого конечного числа членов последовательности.
2.4. Теорема о последовательности средних
Теорема 6. Пусть бесконечная ограниченная числовая последовательность (1) имеет ко-
нечный предел a . Тогда тот же предел a имеет последовательность средних
{ } 1 2, ,ny y y= K , где
1
1 n
n i
i
y x
n =
= ∑ . (10)
Доказательство теоремы состоит в следующем. Учтем, что по условию теоремы для
каждого положительного числа ε существует такой номер N , что для всех n N> спра-
ведливо неравенство εnx a− < . Рассмотрим величину ny a− для n N> . Принимая во
внимание равенство (10), запишем
( )1 2
1 2 1
1n
N N n
x x x
a x a x a x a x a x a
n n +
+ + +
− ≤ − + − + + − + − + + −
K
K K .
Каждый модуль в круглых скобках этого выражения меньше ε . Поэтому
1 2
1
ε εn Ny a x a x a x a N
n
− < − + − + + − − + K .
Из этого неравенства следует, что при n → ∞ и ε 0→ величина ny a→ .
Заметим, что, если последовательность средних 1 2, ,y y K имеет предел, то не обяза-
тельно сходится исходная последовательность (1). В качестве примера можно привести
расходящуюся последовательность (3), последовательность средних которой имеет предел,
равный нулю.
Таким образом, необходимым, но недостаточным, условием сходимости последова-
тельности является сходимость последовательности ее средних.
3. Описание расходящихся последовательностей
3.1. Разряд, частота значений и спектр частот значений
Спектр последовательности может быть определен на основе разбиения множества членов
последовательности на разряды и вычисления для каждого разряда множества частичных
пределов (предельных точек) последовательности, сформированной из членов, попадаю-
щих в разряд.
112 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1
Определение 8. Под разрядом (классовым интервалом) конечной или бесконечной
последовательности понимается фиксированный интервал значений, принимаемых члена-
ми рассматриваемой последовательности.
Особый интерес представляют разряды с перекрытием, описываемые интервалами
1 2 1( , ), ( , ), , ( , ), ( , )Rx x x −−∞ −∞ −∞ −∞ +∞K , (11)
где rx – правый конец r -го разряда ( 1, 1r R= − ).
В системе координат ( , )n x (где 1,2,n = K – число членов исходной последователь-
ности nX ) r -му разряду соответствует подпоследовательность r
nX , образованная из чле-
нов последовательности nX , попавших в соответствующий разряд (на рис. 2а в темную не
ограниченную снизу полосу).
1rx −
rx∆
rx
0 n
x
nx
1
r
ap
I
r
ap
S
r
ap
n
r
np
r
np
0
а б
Рис. 2. Исходная последовательность nX (а) и соответствующая последовательность частот
значений { }r
np (б)
Определение 9. Частотой значений r
np r -го разряда последовательности nX (рис.
2б), будем называть отношение количества rn ее членов, попадающих в r -й разряд, к об-
щему числу членов n последовательности nX :
r
r
n
n
p
n
= .
Понятие частоты значений аналогично понятию частоты выборочного распределе-
ния теории вероятностей и теории гиперслучайных явлений.
Значения частоты r
np лежат в интервале [0,1] . Путем предельного перехода
( n → ∞ ) частота может быть определена для бесконечных последовательностей { }r
np .
Следует иметь в виду, что последовательность { }r
np не обязательно сходится, т.е. может
иметь множество предельных точек.
Определение 10. Спектром r
pS частот значений r -го разряда бесконечной последо-
вательности X будем называть множество частичных пределов (предельных точек) по-
следовательности частот { }r
np при n → ∞ : Limr r
p n
n
S p
→∞
= .
Из того, что любая бесконечная последовательность имеет хотя бы один частичный
предел, следует, что при n → ∞ спектр последовательности { }r
np имеет, как минимум, од-
ну предельную точку.
Обратим внимание, что при n → ∞ в формировании любой предельной точки r
ap
последовательности { }r
np существенную роль играет лишь бесконечное число членов, на-
ходящихся в ее окрестности.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1 113
В разряд может попадать как бесконечное, так и конечное число элементов беско-
нечной последовательности X . Если это число конечное, то спектр r
pS содержит один ну-
левой предел.
3.2. Теорема о спектре частот значений разряда последовательности
С ростом числа членов последовательности n количество rn членов, попадающих в r -й
разряд, не убывает. Вследствие этого оказывается справедливой следующая теорема.
Теорема 7. Если спектр r
pS частот значений r -го разряда бесконечной последова-
тельности X содержит две предельные точки
1
r
ap ,
2
r
ap (
1 2
r r
a ap p< ), то предельной точкой
является также точка r
ap , лежащая в интервале
1 2
r r r
a a ap p p< < .
Для доказательства рассмотрим произвольное число r
ap , удовлетворяющее указан-
ному неравенству. Заметим, что при неограниченном увеличении числа элементов n вели-
чина r
np бесконечное число раз оказывается то меньше, то больше числа r
ap , а значения r
np
меняются таким образом, что модуль приращения 1
r r r
n n np p p+∆ = − не превосходит величи-
ны 1/ n .
Сформируем из последовательности { }r
np бесконечную подпоследовательность
{ }
k
r
np , элементы которой
k
r
np удовлетворяют условиям
1
2
1 1
2 2
1 1
,
2
1 1
,
2
r r
a n
r r
a n
p p
n n
p p
n n
≤ − <
≤ − <
KKKKKKKK
где kn – натуральные числа ( 1,2,k = K ), 1 1n > , 2 12n n> , 3 22 ,n n> K .
Принимая во внимание ограничения, наложенные на kn , получим систему нера-
венств
1 2
r r r r
a n a np p p p− > − >K , из которой следует, что при возрастании n отклонение
элементов
k
r
np от r
ap уменьшается. Поскольку
1
k
r r
a n
k
p p
n
− < , то при k → ∞ (а, следова-
тельно, kn → ∞ ) приращение 0
k
r r
a np p− → .
Следствие. Из теоремы следует, что в случае, когда спектр частот r
pS значений r -
го разряда последовательности X при n → ∞ имеет более одной предельной точки, то
этот спектр непрерывный и содержит несчетное число предельных точек, находящихся
между нижней
I
r
ap и верхней
S
r
ap предельными точками (затемненная область на рис. 2б).
3.3. Интервальные функции распределения значений последовательности
Определение 11. R -разрядной интервальной функцией распределения значений конечной
последовательности nX будем называть функцию
114 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1
1
, ( 1, 1),
( )
1, ,
r r
nR
n R
p если x x r R
F x
если x x −
< = −=
≥
сформированную из частот значений r
np последовательности nX для перекрывающихся
разрядов 1 2 1( , ), ( , ), , ( , ), ( , )Rx x x −−∞ −∞ −∞ −∞ +∞K .
Эта функция (рис. 3а) аналогична интервальной статистической функции распреде-
ления теории вероятностей. Как и последняя, она неубывающая и ее значения лежат в ин-
тервале [0,1] .
0
1
x
( )R
nF x
1x 2x 3x 1rx − rx 1Rx − K K
а
x
0
1
( )RF x
1x 2x 3x 1rx − rx 1Rx − K K
( )R
SF x
( )R
IF x
б
( )SF x
0
1
x
( )F x
( )IF x
в
Рис. 3. R -разрядная интервальная функция рас-
пределения значений конечной последовательно-
сти ( )R
nF x (а), спектр ( )RF x R -разрядной интер-
вальной функции распределения значений беско-
нечной последовательности (б) и спектр ( )F x
функции распределения предельных точек беско-
нечной последовательности (в)
При n → ∞ функция ( )R
nF x не обязательно сходится. Нарушение сходимости при-
водит к многозначности.
Определение 12. Спектром ( )RF x R -разрядной интервальной функции распреде-
ления значений бесконечной последовательности X будем называть множество частич-
ных пределов соответствующей последовательности { }( )R
nF x R -разрядных интервальных
функций распределения: ( ) Lim ( )R R
n
n
F x F x
→∞
= (рис. 3б).
Определение 13. Спектром ( )F x функции распределения предельных точек (или
просто функцией распределения) бесконечной последовательности X будем называть
множество частичных пределов последовательности { }( )RF x при устремлении макси-
мального расстояния 1r r rx x x −∆ = − между верхними границами соседних разрядов (рис.
2а) к нулю:
max 0
( ) Lim ( )
r
r
R
x
F x F x
∆ →
= (рис. 3в).
Функции ( )RF x и ( )F x характеризуют плотность распределения предельных точек
на оси x для соответственно R -разрядной и бесконечно-разрядной интервальных функций
распределения.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1 115
x
t
1
0 0( )x t∆
0( ; )IF x t
( ; )F x t
0t
δ
0( )Ix t
0( )Sx t
0( ; )SF x t
0( ; )F x t
Рис. 4. Спектр предельных точек функции
( )xS t при 0t t→
В общем случае эти функции – многозначные. Спектр ( )RF x ограничен нижней
( )R
IF x и верхней ( )R
SF x границами (рис. 3 б), а спектр ( )F x – нижней ( )IF x и верхней
( )SF x границами (рис. 3 в).
Спектр ( )F x и границы функции распределения ( )IF x , ( )SF x аналогичны соответ-
ственно функции распределения и границам функции распределения гиперслучайной ве-
личины, используемым в теории гиперслучайных явлений [6, 7]. Это позволяет применять
математический аппарат указанной теории для описания расходящихся последовательно-
стей, в частности, методы описания, основанные на
– границах функции распределения ( )IF x , ( )SF x и плотности распределения гра-
ниц
d ( )
( )
d
I
I
F x
f x
x
= ,
d ( )
( )
d
S
S
F x
f x
x
= ;
– моментах границ: математических ожиданиях границ Im , Sm , дисперсиях границ
ID , SD и пр.;
– границах моментов: границах математического ожидания im , sm , границах дис-
персии iD , sD и пр.
4. Расходящиеся функции
4.1. Описание расходящихся функций
Пусть в δ -окрестности точки 0t t= определена однозначная функция ( )x x t= , принимаю-
щая конечные значения. Пусть 0( )xS t – множество предельных точек (частичных преде-
лов) этой функции при 0t t→ , а 0( )Ix t и 0( )Sx t – соответственно нижняя и верхняя пре-
дельные точки.
Определение 14. Множество 0( )xS t всех предельных точек функции при 0t t→ бу-
дем называть спектром предельных точек (спектром частичных пределов) функции при
0t t→ .
Говоря о сходимости расходящейся функции, будем подразумевать сходимость ее
подпоследовательностей к соответствующим предельным точкам, формулировать этот
факт как сходимость к спектру предельных точек и записывать аналитически выражением
0
0( ) Lim ( )x
t t
S t x t
→
= .
Величина 0 0
0 0
( ) ( )
( )
2
S Ix t x t
x t
+= пред-
ставляет собой середину интервала, в котором
находятся все частичные пределы функции
( )x t при 0t t→ , а величина
0 0 0( ) ( ) ( )S Ix t x t x t∆ = − – длину этого интерва-
ла (ширину спектра 0( )xS t ) (рис. 4).
Если функция имеет предел a в точке
0t t= , то 0 0( ) ( )S Ix t x t a= = , а 0( ) 0x t∆ = ; если
же функция расходится (не имеет единствен-
ного предела) в этой точке, то 0 0( ) ( )S Ix t x t≠ ,
и 0( ) 0x t∆ ≠ .
116 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1
Заметим, что требования конечности значений функции не являются существенны-
ми. При бесконечных значениях нижняя предельная точка, верхняя предельная точка или
обе эти точки могут принимать бесконечно большие по модулю значения. Тогда рассмат-
риваемые интервалы оказываются бесконечными.
Количество предельных точек функции может быть конечным, счетным или не-
счетным. Если спектр образует непрерывное множество точек, можно говорить о сходимо-
сти функции к интервалу.
Для описания спектра ( )xS t предельных точек функции ( )x t можно использовать
многозначную (в общем случае) функцию распределения предельных точек ( ; )F x t , харак-
теризуемую однозначными границами ( ; )IF x t , ( ; )SF x t (рис. 4).
Если в точке 0t t= функция ( )x t сходится и имеет предел, равный a , то
0 0( ; ) ( ; ) ( )I SF x t F x t U x a= = − , где
0 0,
( )=
1 0
при x
U x
при x
<
≥
– единичная функция, если же
функция ( )x t расходится, то одна из границ функции распределения или обе границы опи-
сываются более сложными функциями. В случае, когда функция распределения ( ; )F x t –
однозначная, границы ( ; )IF x t , ( ; )SF x t совпадают.
Для описания расходящихся функций применимы методы теории гиперслучайных
явлений, в частности, методы, основанные на
– границах функции распределения ( ; )IF x t , ( ; )SF x t и плотности распределения
границ
d ( ; )
( ; )
d
I
I
F x t
f x t
x
= ,
d ( ; )
( ; )
d
S
S
F x t
f x t
x
= ;
– моментах границ: математических ожиданиях границ ( )Im t , ( )Sm t , дисперсиях
границ ( )ID t , ( )SD t и пр.;
– границах моментов: границах математического ожидания ( )im t , ( )sm t , границах
дисперсии ( )iD t , ( )sD t и пр.
Спектры предельных точек (частичных пределов) функции и их характеристики мо-
гут быть получены не только на основе двусторонних пределов, но и односторонних. Ве-
личины, соответствующие левосторонним пределам, будем обозначать знаком «минус», а
соответствующие правосторонним пределам – знаком «плюс», например, левосторонний
( )xS t− и правосторонний ( )xS t+ спектры, функции распределения предельных точек
( ; )F x t− и ( ; )F x t+ соответственно левостороннего и правостороннего спектров, границы
( ; )IF x t− , ( ; )SF x t− и ( ; )IF x t+ , ( ; )SF x t+ функции распределения предельных точек соответст-
венно левостороннего и правостороннего спектров.
Заметим, что в общем случае величины, вычисленные на основе левосторонних,
правосторонних и двусторонних пределов, отличаются друг от друга, в частности, отли-
чаются спектры ( )xS t− , ( )xS t+ и ( )xS t .
4.2. Примеры
Для иллюстрации предложенного способа описания расходящихся функций найдем грани-
цы ( ; )IF x t− , ( ; )SF x t− функции распределения предельных точек ( ; )F x t− левостороннего
спектра ( )xS t− функции (5) в точке 0t t= . Для этого разделим функцию (5) на убывающие и
возрастающие полупериоды.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1 117
Сформируем из возрастающих (четных) полупериодов последовательность { }( )kP x
( 2,4,k = K ) с общим членом
( ) k
k
k k
t t
P x
t t
′−=
′′ ′−
, (12)
где для k -го полупериода [ , ]k kt t′ ′′ аргумент
0
1
1
( 1) arcsin π ωk
t t
x k
= +
− +
, (13)
а kt′ и kt′′ – минимальное и максимальное значения аргумента k -го полупериода, описы-
ваемые выражениями (7).
Подставляя выражения (7) и (13) в формулу (12) и осуществляя предельный пере-
ход, можно получить
1 1
lim ( ) arcsin
2 π
k
k
P x x
→∞
= + . (14)
Аналогичные расчеты для нечетных фрагментов функции приводят к тому же пре-
делу (14).
На основании теоремы 6 рассчитанный предел последовательности { }( )kP x имеет и
соответствующая последовательность частот значений { }( )kp x .
Отсюда следует, что функция распределения предельных точек 0( ; )F x t− – одно-
значная функция, описываемая правой частью выражения (14) (рис. 5а). Соответствующая
плотность распределения предельных точек 0
0 2
d ( ; ) 1
( ; )
d π 1
F x t
f x t
x x
−
− = =
−
(рис. 5б).
Расчеты для нечетных фрагментов функции (6) приводят к выражению, отличаю-
щемуся от выражения (14):
1
lim ( )
2n
n
x
P x
→∞
+= . (15)
Рис. 5. Функция распределения (а) и плотность распределения (б) предельных точек
левостороннего спектра ( )xS t− функции (5) в точке 0t t=
При 0x ≠ значения функций (14) и (15) отличаются между собой, а при 0x = –
совпадают. Поэтому на интервалах 1 0x− ≤ < , 0 1x< ≤ функция распределения предель-
ных точек 0( ; )F x t− – неоднозначная, а при 0x = – однозначная. Множество значений, ко-
торые принимает эта функция, ограничены границами
118 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 1
Рис. 6. Нижняя 0( ; )IF x t− и верхняя
0( ; )SF x t− границы функции распре-
деления предельных точек левосто-
роннего спектра ( )xS t− функции (6) в
точке 0t t=
0
1
, 1 0,
2( ; )
1 1
arcsin , 0 1,
2 π
I
x
если x
F x t
x если x
−
+ − ≤ <=
+ ≤ ≤
0
1 1
arcsin , 1 0,
2 π( ; )
1
, 0 1
2
S
x если x
F x t
x
если x
−
+ − ≤ <= + ≤ ≤
(рис. 6).
5. Выводы
1. Систематизированы известные понятия и теоремы,
касающиеся сходимости последовательностей и
функций.
2. Разработан математический аппарат описания рас-
ходящихся последовательностей и функций. Введен ряд новых понятий и определений, в
частности, понятия спектра предельных точек, сходимости к спектру предельных точек,
функции и плотности распределения предельных точек, границ функции распределения и
др. Основу предложенного подхода составляют методы теории гиперслучайных явлений.
3. Показано, что расходящиеся последовательности и функции характеризуются спектром
предельных точек и границами функции распределения этих точек.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбань И.И. Статистически неустойчивые процессы: связь с фликкер, неравновесными, фрак-
тальными и цветными шумами / И.И. Горбань // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 2011. – в пе-
чати.
2. Ильин В.А. Математический анализ / Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. – М.: Изд-во
московского университета, 1985. – Т. 1. – 660 с.
3. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. –
М.: Наука, 1973. – 832 с.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. –
М.-Л.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1958. – Т. 1. – 607 с.; 1959. – Т. 2. – 808 с.
5. Xарди Г. Расходящиеся ряды / Xарди Г. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. – 504 с.
6. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений [Электронный ресурс] / Горбань И.И. – К.:
ИПММС НАН Украины, 2007. – 184 с. – Режим доступа: http://ifsc.ualr.edu/jdberleant/intprob.
7. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы [Элек-
тронный ресурс] / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с. – Режим доступа:
http://www.immsp.kiev.ua/perspages/ gorban_i_i/index.html.
8. Горбань И.И. Особенности закона больших чисел при нарушениях статистической устойчивости
/ И.И. Горбань // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 2011. – № 7. – С. 31 – 42.
9. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability / I.I. Gorban // Information Models of Knowledge. – So-
fia: ITHEA, 2010. – P. 398 – 410.
Стаття надійшла до редакції 17.01.2012
|