Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів

В статті запропоновано новий метод нормалізації статистичних показників, що характеризують складні соціально-економічні процеси, для задач інтегрального оцінювання стану економічної безпеки....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Волощук, Р.В., Степашко, В.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2014
Назва видання:	Індуктивне моделювання складних систем
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83993
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів / Р.В. Волощук, В.С. Степашко // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2014. — Вип. 6. — С. 47-54. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-83993
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-839932015-07-03T03:01:52Z Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів Волощук, Р.В. Степашко, В.С. В статті запропоновано новий метод нормалізації статистичних показників, що характеризують складні соціально-економічні процеси, для задач інтегрального оцінювання стану економічної безпеки. В статье предложен новий метод нормализации статистических показателей, характеризующих сложные социально-экономические процессы, для задач интегрального оценивания состояния экономической безопасности. A new method for normalization of statistical indicators characterizing complex social and economic processes is proposed in the paper for tasks of integral evaluation of the economic safety status. 2014 Article Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів / Р.В. Волощук, В.С. Степашко // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2014. — Вип. 6. — С. 47-54. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. XXXX-0044 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83993 681. 513 uk Індуктивне моделювання складних систем Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	В статті запропоновано новий метод нормалізації статистичних показників, що характеризують складні соціально-економічні процеси, для задач інтегрального оцінювання стану економічної безпеки.
format	Article
author	Волощук, Р.В. Степашко, В.С.
spellingShingle	Волощук, Р.В. Степашко, В.С. Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів Індуктивне моделювання складних систем
author_facet	Волощук, Р.В. Степашко, В.С.
author_sort	Волощук, Р.В.
title	Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів
title_short	Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів
title_full	Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів
title_fullStr	Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів
title_full_unstemmed	Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів
title_sort	нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/83993
citation_txt	Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів / Р.В. Волощук, В.С. Степашко // Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2014. — Вип. 6. — С. 47-54. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Індуктивне моделювання складних систем
work_keys_str_mv	AT voloŝukrv nelíníjnanormalízacíâstatističnihpokaznikívdlâzadačípobudoviíntegralʹnihíndeksív AT stepaškovs nelíníjnanormalízacíâstatističnihpokaznikívdlâzadačípobudoviíntegralʹnihíndeksív
first_indexed	2025-07-06T10:53:12Z
last_indexed	2025-07-06T10:53:12Z
_version_	1836894781749329920
fulltext	Р.В. Волощук, В.С. Степашко Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 47 УДК 681. 513 НЕЛІНІЙНА НОРМАЛІЗАЦІЯ СТАТИСТИЧНИХ ПОКАЗНИКІВ ДЛЯ ЗАДАЧІ ПОБУДОВИ ІНТЕГРАЛЬНИХ ІНДЕКСІВ Р.В. Волощук, В.С. Степашко Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій та систем НАН та МОН України, 03680, Київ, просп. Академіка Глушкова, 40 volrom@bigmir.net; stepashko@irtc.org.ua В статті запропоновано новий метод нормалізації статистичних показників, що характеризують складні соціально-економічні процеси, для задач інтегрального оцінювання стану економічної безпеки. Ключові слова: складний процес, статистичний показник, нормалізація, інтегральний індекс, економічна безпека. В статье предложен новий метод нормализации статистических показателей, характеризующих сложные социально-экономические процессы, для задач интегрального оценивания состояния экономической безопасности. Ключевые слова: сложный процесс, статистический показатель, нормализация, интегральный индекс, экономическая безопасность. A new method for normalization of statistical indicators characterizing complex social and economic processes is proposed in the paper for tasks of integral evaluation of the economic safety status. Keywords: complex process, statistical indicator, normalization, integral index, economic safety. Вступ. Потреба в конструюванні узагальненого (інтегрального, агрегованого) показника, або інтегрального індексу, для групи взаємозв’язаних первинних показників, які в сукупності характеризують деяку систему (процес або явище), часто постає в задачах комплексного аналізу стану складних систем – наприклад, у соціології, а також у задачах оцінювання економічної або екологічної безпеки тощо. Значення первинних показників отримуються різними методами збирання статистичних даних. Але для аналізу та загальної оцінки складної системи як єдиного цілого важливо мати один агрегований показник – інтегральний індекс, який безпосередньо не вимірюється, але певним чином інтегрує первині показники і обчислюється на основі їхніх статистичних значень [1]. При цьому статистичні показники мають бути певним чином нормалізовані – найчастіше приведенням до шкали [0; 1]. Виконаний аналіз наявних способів нормування [2] показав, що в задачі кількісного оцінювання стану економічної безпеки [3] найбільш адекватним є метод нелінійної (точніше, кусково-лінійної) нормалізації [4]. Проте він має певні недоліки, які обговорюються в даній статті. Для подолання цих недоліків пропонується новий метод нелінійної нормалізації. Постановка задачі. Оцінюється загальний стан заданої складної системи (багатовимірного процесу). Нехай mixi ,1, = , – первинні взаємозв’язані показники функціонування цієї системи, які в сукупності Нелінійна нормалізація статистичних показників Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 48 характеризують її стан. Для однозначної інтерпретації, оцінювання та порівняння між собою кожен з показників ix має бути нормованим, зазвичай приведеним до інтервалу 1~0 ≤≤ ix , де ix~ – нормоване значення показника, причому 1~ =ix має відповідати найкращим (оптимальним) значенням цього показника, а 0~ =ix – найгіршим (неприпустимим) його значенням. Це значення ix~ будемо називати індикатором первинного показника ix . Після нормалізації значень кожного з заданої системи первинних показників інтегральний індекс цієї системи обчислюється як сума цих нормалізованих величин з певними ваговими коефіцієнтами (однаковими або ні). Якщо ix~ – значення i-го нормалізованого показника, то інтегральний показник (індекс) може мати вигляд лінійної згортки m показників: i m i i xkI ~ 1 ∑ = = , (1) де ik – ваговий коефіцієнт i-го показника. Інтегральний індекс як синтетичний показник має певні переваги: комплексність отриманої інформації, швидкість, простота використання; може служити інструментом обліку, аналізу та планування; індикатор стану і критерій порівняльного оцінювання стану складної системи; показник ефективності прийнятих рішень та повноти їх реалізації тощо [5]. Важливим етапом при розрахунку інтегрального індексу є визначення вагових коефіцієнтів. Найбільш поширеними серед підходів до визначення вагових коефіцієнтів є експертні методи встановлення ваг показників. Їх перевага – простота застосування, їх недолік – можлива недостовірність даних, певна суб’єктивність, трудомісткість збору та обробки результатів, проте експертні методи мають значну суб’єктивну складову. Серед наявних розрахункових підходів до визначення вагових коефіцієнтів можна виділити метод парної кореляції та метод, що базується на використанні показника варіації [5]. Проте найбільш формалізованим і ефективним, як показано в [6], слід вважати підхід до визначення вагових коефіцієнтів на основі методу головних компонент (МГК). Кусково-лінійна нормалізація статистичних показників. Наступним етапом при побудові інтегрального індексу є нормування показників. При цьому слід враховувати, що будь-який статистичний показник може бути як стимулятором – коли його зростання сприяє покращенню соціально- економічного стану держави, галузі або регіону, так і дестимулятором – коли його зростання призводить до погіршення стану. Більше того, виявляється, що значна частина статистичних показників можуть бути в одному діапазоні своїх значень стимуляторами, а в іншому – дестимуляторами. Серед різних підходів до нормування [2] вирізняється нормалізація на основі врахування вектора характеристичних значень показників [4]. Цей підхід є ефективним варіантом нелінійної нормалізації (на відміну від стандартного нормування) статистичних значень первинних показників з Р.В. Волощук, В.С. Степашко Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 49 урахуванням їхніх так званих характеристичних значень, які вказують діапазони оптимальних, припустимих і критичних величин показників. Для кожного первинного показника-стимулятора jx задано межі так званих оптимальних оптx (вище яких значення показника вважаються найкращими), порогових порx (вище яких значення показника вважаються припустимими) та граничних грx (нижче яких значення показника вважаються припустимими) характеристичних значень, причому грx < порx < оптx . Відповідні значення задаються також для показників- дестимуляторів, для яких оптx < порx < грx . Якщо ж певний статистичний показник може бути в одному діапазоні своїх значень стимулятором, а в іншому – дестимулятором, тоді задається 6 характеристичних значень: двосторонні нижні та верхні оптимальні в опт н опт , xx (що відповідають найкращим умовам для економічної системи), порогові в пор н пор , xx (які бажано не перетинати) та граничні н грx , в грx (перетинати які неприпустимо або фізично неможливо) значення. Відповідне розміщення характеристичних величин на осі значень показника показано на рис. 1. Рис 1. Характеристичні величини У разі первинного показника-стимулятора jx формула нормалізації в діапазоні [ грx , оптx ] має вигляд [1]: ( )[ ])()(0,max0.5min~ н гр н пор н гр xxxxx ii −−= . (2) У разі первинного показника-дестимулятора ix відповідна формула нормалізації в діапазоні [ оптx , грx ] є такою: ( )[ ])()(0,max0.5min~ в пор в гр в гр xxxxx jj −−= (3) Зрозуміло, що у разі двосторонніх порогових і граничних обмежень на первинний показник jx для нормалізації застосовуються формули (2) та (3). Відповідний нормувальний графік з урахуванням усіх характеристичних величин показано на рис. 1. При цьому для прикладу припускається, що пороговому значенню має відповідати нормалізована величина на рівні 0.5. н грx x0 н порx н оптx в оптx в порx в грx Нелінійна нормалізація статистичних показників Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 50 Рис.2 Кусково-лінійна нормувальна функція для статистичних показників Проблемна особливість кусково-лінійної нормалізації. Очевидним недоліком такого підходу є передусім те, що в характеристичних точках (оптимальних, порогових та граничних) нормувальна функція негладка, вона має розриви похідної. Це означає, що в цих точках приріст величини «штрафу» на значення показника міняється стрибком. З цього постають очевидні вимоги до потрібних властивостей функції гладкої нелінійної нормалізації: 1. При незначному відхиленні від оптимальної характеристичної точки нормалізоване значення має мало відрізнятись від 1. Це означає, що перша похідна від потрібної нормувальної функції в цій точці має дорівнювати 0. 2. В пороговій характеристичній точці функція має бути гладкою і мати перегин. Це означає, що друга похідна від потрібної функції в цій точці має дорівнювати 0. 3. При незначному відхиленні від граничної характеристичної точки нормалізоване значення має мало відрізнятись від 0. Це означає, що перша похідна від потрібної нормувальної функції в цій точці має дорівнювати 0. Розглянемо задачу побудови функції нелінійної нормалізації, яка б відповідала поданим вище вимогам. Спершу для визначеності проаналізуємо задачу нормалізації для показника-стимулятора, для якого задані такі нижні характеристичні значення: граничне н грx , порогове н порx та оптимальне н оптx , причому н опт н пор н гр0 xxx <<≤ . Пропоноване вирішення проблеми. Для подолання проблеми негладкості вказаної вище кусково-лінійної нормувальної функції пропонується проаналізувати неперервну функцію, що має такий вигляд: cxbeaxy −= , a, c > 0, b > 1 . (4) Її графік подано на рис. 4. 0 5,0 1 в порxн оптxн порxн грx в оптx в грx Р.В. Волощук, В.С. Степашко Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 51 Рис.3. Графік аналітичної функції (4) Функцію (4), яка, як видно з рис. 3, у проміжку від 0 до мx загалом відповідає сформульованим вище вимогам, можна легко пристосувати до задачі нормалізації, перенісши початок координат з точки 0 в точку н грx (зсув аргумента). При цьому отримується така нелінійна нормувальна функція: )(н гр н гр)()( xxcb exxaxy −−−= , a, c > 0, b > 1. (5) . Тепер задача полягає в тому, щоб виразити коефіцієнти a, b, c через задані «нижні» характеристичні значення. Визначення параметрів функції (5). Для спрощення аналізу зробимо в (5) заміну змінної: н грxxz −= , тоді (5) набуває вигляду (4): czbeazzy −=)( , a, c > 0, b > 1. (6) Очевидно, що тут 0)0( =y . Визначимо для функції (7) спочатку точку максимуму мz , а далі точку перегину пz . З умови для першої похідної отримуємо рівняння 01 =−− cbz , звідки координата максимуму: c bz =м . (7) Беремо другу похідну і прирівнюємо її до 0: ( )[ ] ( ) 01 111 =−−−− −−− cbzcczbbz , (8) звідки отримуємо квадратне рівняння для точки перегину: 01)(222 =−+− bbbczzc . (9) Враховуючи те, що нас цікавить інтервал від нуля до точки максимуму, з рівняння (10) маємо, що перегин функції (7) знаходиться в точці c bbz − =п . (10) Тепер установимо, як параметри а, b, c функцій (5) або (7) виражаються через характеристичні величини статистичного показника-стимулятора н грx , н порx та н оптx . Враховуючи заміну (6), введемо позначення для еквівалентних «характеристичних величин» змінної z: − оптимальне значення: н гр н оптc xxz −= , Нелінійна нормалізація статистичних показників Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 52 − порогове значення: н гр н порp xxz −= , − граничне значення: 0н гр н грg =−= xxz . Очевидно, що максимум (7) відповідає оптимальному значенню cм zz = , а точка перегину – пороговому значенню pп zz = . Тоді (7) і (10) складають систему двох рівнянь для визначення двох невідомих b, c через еквівалентні оптимальне і порогове значення: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = p c z c bb z c b (11) Поділивши друге рівняння на перше і розв’язавши отримане нелінійне рівняння, маємо значення параметра b: 2 pc 2 c )( )( zz z b − = . (12) Тоді з першого рівняння системи маємо значення параметра с: 2 pc c )( zz zc − = . (13) Щоб (6) була нормувальною функцією, потрібно, щоб у точці максимуму cz (або вона ж мz ) досліджувана крива дорівнювала 1. Тобто для визначення нормувального коефіцієнта а треба в формулу (6) підставити cz замість z і прирівняти у до 1, тоді з отриманого рівняння маємо: )()( 1 czcb c ez a − = . (14) Замість b і c можна підставити вирази (12, 13), але очевидно, що а простіше обчислюється через уже відомі b і c (оскільки c bzz cм == ): b b e c b a −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 (15) Отже, тепер визначено всі три параметри a, b, c, і функція (6) відносно змінної z має всі потрібні нам властивості. Якщо тепер у формули (12, 13) підставити вирази для gpc z,z,z , отримаємо, що параметри b, c і а виражаються через усі три «нижні» характеристичні величини: 2н пор н опт 2н гр н опт 2 пм 2 м )( )( )( )( xx xx zz zb − − = − = , (16) 2н пор н опт н гр н опт 2 пм м )( )x(x xx zz zс − − = − = , (17) Р.В. Волощук, В.С. Степашко Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 53 ( ) bb b bczb c exxe c bez a c − − − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == н гр н опт 11 )( 1 . (18) Отже, у випадку стимулятора нормувальна функція має вигляд: )(н гр н гр)()(~ xxcb s exxaxx −−−= , (19) де а, b, і c визначаються з (16) – (18), причому видно, що a, c > 0, b > 1. Задача нормалізації для показника-дестимулятора. Для такого показника нормувальна функція має бути дзеркальним відображенням до функції стимулятора, причому починатись вона має з точки в оптx (рис. 2): )(в опт в опт)(1~ xxcb d exxax −−−−= . (20) Тут параметри а, b і c, отримані за такою ж послідовністю дій, виражаються через усі три відповідно «верхні» характеристичні величини: 2в пр в гр 2в опт в гр )( )( xx xx b − − = , (21) 2в пр в гр в опт в гр )xx xx с − − = ︵ , (22) ( ) bb exx a −− = в опт в гр 1 . (23) Формування загальної нормувальної функції. Тоді загальна нормувальна функція для стимулятора-дестимулятора матиме вигляд: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ ∈ = ](~ ][1 )[~ ~ в гр в опт в опт н опт н опт н гр xxxx xxx xxxx x d s ,, ,, ,, (24) Відповідний графік подано на рис. 4. x x~ 1 н грx н порx н оптx в оптx в порx в грx Рис. 4 Функція нелінійної нормалізації Висновки. В роботі розглянуто важливий аспект задачі кількісного інтегрального оцінювання стану складних систем на прикладі економічної безпеки держави, пов'язаний з нормуванням статистичних показників. Нелінійна нормалізація статистичних показників Індуктивне моделювання складних систем, випуск 6, 2014 54 Визначено основний недолік кусково-лінійної нормалізації показників, застосовуваної у методиці розрахунку інтегрального індексу економічної безпеки, пов’язаний з тим, що в характеристичних точках (оптимальних, порогових та граничних) вона негладка, тобто має розриви першої похідної. Запропоновано нову гладку функцію нелінійної нормалізації, яка має нульову першу похідну в оптимальній і граничній характеристичних точках, а також перегин у пороговій характеристичній точці. Аналітично отримано формули, що виражають коефіцієнти введеної нормувальної функції через задані характеристичні значення статистичних показників як для випадків, коли конкретний показник є стимулятором або дестимулятором, так і для комбінованого варіанту стимулятора-дестимулятора. Література 1. Степашко В.С., Мельник І.М., Волощук Р.В. Моделі синтезу інтегральної оцінки стану складної системи взаємозв’язаних первинних показників // Моделювання та керування станом еколого-економічних систем регіону. Зб. наук. праць. – Вип. 3. – К.: Міжнар. науково-навчальний центр інформаційних технологій та систем НАН та МОН України, 2006. – С. 57-62. 2. Волощук Р.В. Підходи до нормування економічних показників. Індуктивне моделювання складних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2009. — Вип. 1. — С. 17-25. 3. Степашко В.С., Мельник И.М., Кваша Т.К. Определение интегральных индексов для оценивания экономической безопасности государства // Экономическая безопасность государства и информационно- технологические аспекты ее обеспечения / Под общей ред. Г.К.Вороновского, И.В.Недина. – К.: Знания Украины, 2006. – 664 с. / – С. 472-482. 4. Степашко В.С. Про задачу нормалізації економічних показників // “Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем”. Збірник наукових праць. – Вип. 9. – Київ: Міжнар. науково-навч. центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України, 2005. – С. 32-36. 5. Райская Н.Н., Сергиенко Я.В., Френкель А.А. Использование интегральных индексов в анализе циклических изменений российской экономики // Под ред.: Е. Г. Ясин, XI международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества: В 3 кн. – М.: Издательский дом НИУ ВШЭ, 2011. – Кн. 1., С. 120-130. 6. Волощук Р.В. Порівняльний аналіз підходів до визначення вагових коефіцієнтів інтегральних індексів стану складних систем // Індуктивне моделювання складних систем. Зб. наук. праць. — Вип. 5. — К.: МННЦ ІТС НАН та МОН України, 2013.— С. 151-165.

Нелінійна нормалізація статистичних показників для задачі побудови інтегральних індексів

Репозитарії

Схожі ресурси