О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде
Досліджується поняття стану розподіленого в інформаційному середовищі дискретного обчислювального динамічного об’єкта, що складається з елементарних автоматів. Запропоновано геометричний підхід до визначення такого стану й виміру його зміни. Вивчаються динамічні властивості таких об’єктів....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84106 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде / А.Н. Курганский // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 35-44. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84106 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-841062015-07-04T03:01:21Z О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде Курганский, А.Н. Кибернетика Досліджується поняття стану розподіленого в інформаційному середовищі дискретного обчислювального динамічного об’єкта, що складається з елементарних автоматів. Запропоновано геометричний підхід до визначення такого стану й виміру його зміни. Вивчаються динамічні властивості таких об’єктів. A collective of interacting stateless automata in a discrete geometric environment is considered as an integral automata-like computational dynamic object. We propose a geometric approach to determine the state and the measure of transition and analyze the dynamic properties of such objects. 2012 Article О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде / А.Н. Курганский // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 35-44. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84106 519.7 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Курганский, А.Н. О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде Кибернетика и системный анализ |
| description |
Досліджується поняття стану розподіленого в інформаційному середовищі дискретного обчислювального динамічного об’єкта, що складається з елементарних автоматів. Запропоновано геометричний підхід до визначення такого стану й виміру його зміни. Вивчаються динамічні властивості таких об’єктів. |
| format |
Article |
| author |
Курганский, А.Н. |
| author_facet |
Курганский, А.Н. |
| author_sort |
Курганский, А.Н. |
| title |
О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде |
| title_short |
О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде |
| title_full |
О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде |
| title_fullStr |
О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде |
| title_full_unstemmed |
О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде |
| title_sort |
о мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84106 |
| citation_txt |
О мере изменения состояния коллектива взаимодействующих элементарных автоматов в дискретной среде / А.Н. Курганский // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 35-44. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kurganskijan omereizmeneniâsostoâniâkollektivavzaimodejstvuûŝihélementarnyhavtomatovvdiskretnojsrede |
| first_indexed |
2025-07-06T11:03:34Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:03:34Z |
| _version_ |
1836895242934026240 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.7
À.Í. ÊÓÐÃÀÍÑÊÈÉ
Î ÌÅÐÅ ÈÇÌÅÍÅÍÈß ÑÎÑÒÎßÍÈß ÊÎËËÅÊÒÈÂÀ
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÓÞÙÈÕ ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÕ ÀÂÒÎÌÀÒÎÂ
 ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÑÐÅÄÅ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîëëåêòèâû àâòîìàòîâ, òåîðèÿ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ, êëå-
òî÷íûå àâòîìàòû, ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ êîëëåêòèâ àâòîìàòîâ ñ îäíèì ñîñòîÿíèåì, âçàèìîäåéñòâóþ-
ùèõ ñî ñðåäîé, çàäàííîé â âèäå êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ãðàôà. Ïðè ýòîì
êîëëåêòèâ ïðåäñòàâëÿåò åäèíûé àâòîìàòîïîäîáíûé âû÷èñëèòåëüíûé äèíàìè-
÷åñêèé îáúåêò. Äëÿ òàêîãî «ðàçìûòîãî» ïî ñðåäå îáúåêòà ñëîæíî îïðåäåëèòü,
÷òî ÿâëÿåòñÿ åãî ñîñòîÿíèåì.  îòëè÷èå îò êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ, ãäå ìåðà èç-
ìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíà îäíîìó ñîñòîÿíèþ â åäèíèöó âðåìåíè, äëÿ ðàñïðåäå-
ëåííîãî ïî ñðåäå âû÷èñëèòåëüíîãî äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà âîçìîæíû ðàçíûå
ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ ìåðû èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåä-
ëàãàåòñÿ ïîäõîä, ïðè êîòîðîì ñîñòîÿíèå êîëëåêòèâà àâòîìàòîâ îïðåäåëÿåòñÿ
èõ âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì áåç ó÷åòà âíóòðåííåé ñëîæíîñòè ñàìèõ àâòîìà-
òîâ. Èäåÿ ïîäõîäà âçÿòà èç ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Â åå îñíîâå
ëåæèò ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîñòè â ïîíèìàíèè, èçëîæåííîì â ðàáîòå [6, ñ. 338],
ãäå Ïóàíêàðå íà÷èíàåò ñ ïðîñòîãî ïðèìåðà èçìåíåíèÿ âñåõ ðàçìåðîâ âî Âñå-
ëåííîé â îäèíàêîâîå ÷èñëî ðàç è ïðîäîëæàåò ðàññìîòðåíèåì ïðîèçâîëüíûõ
äåôîðìàöèé, êîòîðûå äîëæíû îñòàòüñÿ íåçàìå÷åííûìè äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ïî-
ñêîëüêó ýòàëîíû íàáëþäàòåëÿ ïîäâåðãàþòñÿ òåì æå äåôîðìàöèÿì. Èäåÿ ýòîãî
ðàññóæäåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèÿ êîë-
ëåêòèâà àâòîìàòîâ íà îñíîâå ïðèíöèïà, ñîãëàñíî êîòîðîìó áåç êàêèõ-ëèáî èç-
ìåíåíèé â îáúåêòå íåâîçìîæåí ïðîöåññ âû÷èñëåíèé ýòèì îáúåêòîì. Èçìåíåíèå
æå â îáúåêòå îïðåäåëÿåòñÿ èçìåíåíèåì âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òîãî, èç ÷åãî
ñîñòîèò îáúåêò â ñðåäå — åãî ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòåé, à ñêîðîñòü ýòîãî èçìåíåíèÿ
çàâèñèò îò ñêîðîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòåé îòíîñèòåëüíî ñðåäû. Òàêèì îáðàçîì,
â îñíîâó âû÷èñëåíèé â ðàáîòå ïîëîæåíî äâèæåíèå.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì ïðèìåð øàõìàòíîé äîñêè ñ íåñêîëüêèìè ïåøêàìè. Ïóñòü ïåøêè
ìîãóò äåëàòü äâèæåíèå íà îäíó êëåòêó â ëþáîì íàïðàâëåíèè â îäèí òàêò äèñ-
êðåòíîãî âðåìåíè, ò.å. ñêîðîñòü ïåøêè âñåãäà ðàâíà îäíîé êëåòêå â åäèíèöó
âðåìåíè â îäíîì èç íàïðàâëåíèé: ââåðõ, âíèç, âïðàâî, âëåâî. Ââåäåì íà äîñêå
åñòåñòâåííûì îáðàçîì äâóõìåðíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ñîñòàâèì èç ïåøåê íà
äîñêå êàêóþ-íèáóäü ôèãóðó, íàïðèìåð áóêâó Î, è áóäåì ñ÷èòàòü ýòè ïåøêè
îäíèì öåëüíûì îáúåêòîì. Äëÿ íåãî îïðåäåëÿåì ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïî
øàõìàòíîé äîñêå êàê ñðåäíþþ ñêîðîñòü ñîñòàâëÿþùèõ åãî ïåøåê. Ïóñòü òå-
ïåðü îáúåêò äâèæåòñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ îäíà êëåòêà â åäèíèöó âðå-
ìåíè â íàïðàâëåíèè, íàïðèìåð, ââåðõ. Ìîæåò ëè îáúåêò ïðè ïåðåìåùåíèè
ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ ïåðåñòðîèòüñÿ èç áóêâû Î, íàïðèìåð, â áóêâó Ò?
Î÷åâèäíî, ÷òî íåò, ò.å. ïðè ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè â äàííîì ïðèìåðå â îáúåê-
òå íåâîçìîæíû èçìåíåíèÿ è, ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ, íåâîçìîæíî èçìåíåíèå
ñîñòîÿíèÿ, à çíà÷èò, íåâîçìîæíû âû÷èñëåíèÿ. Ýòà òî÷êà çðåíèÿ ôîðìàëüíî
ïðîèëëþñòðèðîâàíà â îñíîâíîé ÷àñòè ñòàòüè, ãäå áóäåò ðàññìîòðåí ïðîñòåé-
øèé âàðèàíò îäíîìåðíîé ñðåäû è âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ íåé àâòîìàòîâ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 35
© À.Í.Êóðãàíñêèé, 2012
ñ îäíèì ñîñòîÿíèåì. Ïðè ýòîì ââåäåííàÿ ìîäåëü, êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÿâ-
ëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé âû÷èñëèòåëüíîé ìîäåëüþ, à êîëëåêòèâû àâòîìàòîâ
â ñðåäå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àâòîìàòîïîäîáíûå âû÷èñëèòåëüíûå îáúåêòû,
âçàèìîäåéñòâóþùèå ìåæäó ñîáîé â ñðåäå. Ïî àíàëîãèè ñ ìàøèíàìè Òüþðèí-
ãà, êîòîðûå ìîãóò îòâå÷àòü íà îïðåäåëåííûå âîïðîñû î ñâîéñòâàõ ñëîâ íà
ëåíòàõ, äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ àâòîìàòîïîäîáíûõ îáúåêòîâ åñòåñòâåííî ñòàâèòü
âîïðîñû: êàêèå ñâîéñòâà ñðåäû è äðóãèõ îáúåêòîâ â ñðåäå îíè ìîãóò óñòàíàâ-
ëèâàòü. Îäèí èç òàêèõ âîïðîñîâ: ÷òî ìîæåò ñêàçàòü îáúåêò î ñêîðîñòè ýëåìåí-
òàðíûõ ÷àñòåé, ò.å. àâòîìàòîâ, èç êîòîðûõ ñîñòîÿò îáúåêòû? Äîëæåí ëè çàìå-
òèòü îáúåêò èçìåíåíèå ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ òîãî, èç ÷åãî îí íåïîñðåäñòâåí-
íî ñîñòîèò? Ýòîò âîïðîñ ïîäîáåí âîïðîñó â âûøåóïîìÿíóòîì ðàññêàçå
Ïóàíêàðå îá îòíîñèòåëüíîñòè: ìîæåò ëè íàáëþäàòåëü çàìåòèòü äåôîðìàöèþ
ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùóþ â ñåáÿ äåôîðìàöèþ èçìåðèòåëüíûõ ýòàëîíîâ?
Èìåÿ ïåðåä ñîáîé îòðèöàòåëüíûé îòâåò êàê öåëü, ìû ââîäèì îïðåäåëåíèå èñ-
ïîëüçóåìîé íàìè âû÷èñëèòåëüíîé ìîäåëè. Ýòà öåëü îïðåäåëÿåò ÿçûê (ñêîðîñòü
ïåðåìåùåíèÿ, ñîáñòâåííîå âðåìÿ êàê ìåðó èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ, ñêîðîñòü ñîá-
ñòâåííîãî âðåìåíè, ñèñòåìó îòñ÷åòà), íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò âçàèìîäåéñòâèå
ìåæäó êîëëåêòèâàìè àâòîìàòîâ, êàê àëãîðèòìàìè. Òàêàÿ äîãîâîðåííîñòü
î ÿçûêå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó êîëëåêòèâàìè (âñåãî ëèøü îäíîì èç âîçìîæ-
íûõ ÿçûêîâ) îòðàæàåò êîíâåíöèîíàëüíóþ òî÷êó çðåíèÿ Ïóàíêàðå íà ôèçè÷åñ-
êèå çàêîíû. Ñîïîñòàâëåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé
îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ) [8] ïîêàçûâàåò, ÷òî ñôîðìóëèðîâàííûå â ðàáîòå ïðè-
íöèïû èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ôèçè÷åñêèõ è èíôîðìàöèîííûõ ÿçûêîâûõ
ñðåäñòâ âûðàæåíèÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñåìàíòè÷åñêàÿ ñõîæåñòü èñïîëüçîâàííî-
ãî íàìè èñõîäíîãî ïðèíöèïà äâèæåíèÿ â ôîðìèðîâàíèè ÿçûêà ïðåäñòàâëåííîé
â ðàáîòå äèñêðåòíîé ìîäåëè ñ ïðèíöèïàìè ÿçûêà ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñè-
òåëüíîñòè ïðèâåëà ê ñèíòàêñè÷åñêîé áëèçîñòè ýòèõ ÿçûêîâ (ôîðìóëà ïðåîáðà-
çîâàíèÿ ñèñòåì êîîðäèíàò, ôîðìóëà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, ôîðìóëà ñîêðàùå-
íèÿ/óâåëè÷åíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ). Îäíàêî â ñèëó äèñêðåòíîñòè ìîäåëè åñòü
îòëè÷èÿ, íàïðèìåð äëèíû äâèãàþùèõñÿ îáúåêòîâ (â ñòàòüå äëÿ óäîáñòâà ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ íå äëèíû, à ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè) ìîãóò êàê óìåíü-
øàòüñÿ, òàê è óâåëè÷èâàòüñÿ îòíîñèòåëüíî ïîêîÿùåéñÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ñî-
ïîñòàâëåíèå ïî àíàëîãèè ïîëó÷åííûõ ôîðìóë ñ ôîðìóëàìè ÑÒÎ òàêæå ïîçâî-
ëÿåò îáíàðóæèòü ðàçíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë ìíîæèòåëÿ Ëîðåíöà â ôîðìóëàõ
ñîêðàùåíèÿ äëèíû è çàìåäëåíèÿ âðåìåíè.
×òîáû îòìåòèòü ôèçè÷åñêèå àíàëîãèè â ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè, â ñòàòüå èñ-
ïîëüçóåòñÿ ñëîâî «òåëî» êàê ñèíîíèì äëÿ «êîëëåêòèâà àâòîìàòîâ». Ìåðà èçìåíå-
íèÿ ñîñòîÿíèÿ êîëëåêòèâà àâòîìàòîâ, ââåäåííàÿ â ýòîé ðàáîòå, íàçâàíà ñîáñòâåí-
íûì âðåìåíåì êîëëåêòèâà.
Òàêèì îáðàçîì, íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ çàòðàãèâàåò òðè áîëüøèå îáëàñòè èññëå-
äîâàíèÿ: 1) êîëëåêòèâû àâòîìàòîâ â òåîðèè êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ è ñëîæíîñòü
âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó íèìè; 2) äèñêðåòíûå ìîäåëè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è
ïðîåöèðîâàíèå ôèçè÷åñêîãî ìèðà â èíôîðìàöèîííûé ìèð ñèìâîëîâ è ÿçûêîâ ñ
öåëüþ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìèðà; 3) èçó÷åíèå ïîíÿòèÿ
âðåìåíè. Ïî âñåì òðåì íàïðàâëåíèÿì ñóùåñòâóþò îáøèðíûå ñïèñêè ëèòåðàòó-
ðû [1, 3, 4, 7], ñâèäåòåëüñòâóþùèå îá èíòåðåñå ê ýòîìó âîïðîñó.
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ðàçäåëà ñ îñíîâíûìè îïðåäåëåíèÿìè,
ðàçäåëîâ, ïîñâÿùåííûõ ïîíÿòèþ âíåøíåãî è âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ, à òàêæå èñ-
ñëåäîâàíèþ äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ òåë.  ýòèõ ðàçäåëàõ ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî
èíåðöèàëüíûå òåëà è îäíîìåðíàÿ ñðåäà ñ öåëüþ èëëþñòðàöèè èçëîæåííîãî âî
ââåäåíèè.  çàêëþ÷èòåëüíîì ðàçäåëå äàþòñÿ íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ.
36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÐÅÄÛ È ÒÅËÀ
Îáîçíà÷èì N , Z è R ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ, öåëûõ è äåé-
ñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, T è X — îáëàñòè èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî âðåìåíè è
êîîðäèíàò.  äàííîì ñëó÷àå ïîëàãàåì, ÷òî T è X ñîâïàäàþò ñ Z , íî äàëåå â
ñòàòüå T è X áóäóò ÿâíî ðàñøèðåíû äî R .
Ïðèìåðîì îäíîìåðíîé ñðåäû áóäåì ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íûé îðèåíòèðîâàííûé
ãðàô ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí V x x Z� �{ / | }2 è äóã E x i x i x Z� � � �{( / , / )|2 2 ,
i � �{ , }}1 1 . Äóãè ïðîíóìåðîâàíû öåëûìè ÷èñëàìè â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå: äóãà
( / , / )x i x i� �2 2 , i � �{ , }1 1 , èìååò ïðîñòðàíñòâåííóþ àáñîëþòíóþ êîîðäèíàòó x è
íàïðàâëåíèå i. Àáñîëþòíóþ êîîðäèíàòó äóãè e îáîçíà÷àåì x e( ) , à íàïðàâëåíèå
äóãè — r e( ) . Äóãó e òàêæå îáîçíà÷àåì ÷åðåç x e r e( ) ( ) . Îêðåñòíîñòüþ äóãè x i íà-
çîâåì ïàðó äóã x i è ( )x i i� � . Äóãè x i è ( )x i i� � ðàçíîãî íàïðàâëåíèÿ, âåäóùèå
â îäíó âåðøèíó, íàçîâåì âñòðå÷íûìè, à äóãè x i è x i� ñ ðàâíûìè êîîðäèíàòàìè,
íî ðàçíûìè íàïðàâëåíèÿìè, íàçîâåì ïðîòèâîïîëîæíûìè. Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíà
ñðåäà ñ óêàçàíèåì êîîðäèíàò âåðøèí, à òàêæå êîîðäèíàò ñ íàïðàâëåíèÿìè äóã.
Âûáîð òàêîé ñðåäû îáóñëîâëåí ïðîñòîòîé è óäîáñòâîì äëÿ èëëþñòðàöèè ïîäõî-
äà, êðàòêî ñôîðìóëèðîâàííîãî âî ââåäåíèè.
Äëÿ ïðèìåðà äâóõìåðíîé ñðåäû, ðàññìîòðåííîãî â çàêëþ÷èòåëüíîé ÷àñòè
ñòàòüè, èñïîëüçóåì äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå äâóõ îäíîìåðíûõ ñðåä. Ìíîæåñòâà-
ìè âåðøèí è äóã äâóõìåðíîé ñðåäû ñîîòâåòñòâåííî áóäóò V V� è E E� . Ïîíÿòåí
ñìûñë â êîíòåêñòå äâóõìåðíûõ ñðåä òàêèõ ñëîâ, êàê ïðîñòðàíñòâåííàÿ àáñîëþò-
íàÿ êîîðäèíàòà è íàïðàâëåíèå äóãè.  îñíîâíîé ÷àñòè ñòàòüè ðàññìàòðèâàåòñÿ
òîëüêî îäíîìåðíûé ñëó÷àé.
Ýëåìåíòàðíûì òåëîì íàçîâåì âçàèìîäåéñòâóþùèé ñî ñðåäîé àâòîìàò ñ
îäíèì ñîñòîÿíèåì, êîòîðîå íàçîâåì âíóòðåííèì ñîñòîÿíèåì ýëåìåíòàðíîãî òåëà.
Ñ÷èòàåì, ÷òî èçîìîðôíûå ýëåìåíòàðíûå òåëà èìåþò îäèíàêîâûå öâåòà, íåèçî-
ìîðôíûå — ðàçíûå. Ñî ñðåäîé ìîæåò âçàèìîäåéñòâîâàòü ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî
ýëåìåíòàðíûõ òåë îäíîãî öâåòà. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èñïîëüçóþòñÿ r ðàçëè÷íûõ
öâåòîâ, ïðîíóìåðîâàííûõ öåëûìè îò 1 äî r . Â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ýëåìåí-
òàðíîå òåëî b íàõîäèòñÿ íà êàêîé-ëèáî îäíîé äóãå b t( ) ñðåäû. Âõîäíûì ñèãíàëîì
ýëåìåíòàðíîãî òåëà, íàõîäÿùåãîñÿ íà äóãå x i , ÿâëÿåòñÿ óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷è-
ñåë ( , , , , , , , )p p p q q qr r1 2 1 2� � , êîòîðûé íàçîâåì ñîñòîÿíèåì îêðåñòíîñòè äóãè
x i , ãäå pk è qk — ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ òåë öâåòà k , íàõîäÿùèõñÿ íà äóãàõ x i è
( )x i i� � ñîîòâåòñòâåííî, 1 � �k r . Âûõîäîì ýëåìåíòàðíîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìî-
ëèíåéíîå äâèæåíèå èëè ïîâîðîò. Åñëè âûõîäîì àâòîìàòà, íàõîäÿùåãîñÿ â ìî-
ìåíò t íà äóãå x i , ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå, òî â ñëåäóþùèé ìîìåíò
t �1 îí íàõîäèòñÿ íà äóãå b t x i i( ) ( )� � �1 . Òîãäà ãîâîðèì, ÷òî îí íå ñìåíèë èëè
ñîõðàíèë ñâîå âíåøíåå ñîñòîÿíèå. Åñëè âûõîäîì àâòîìàòà ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîò, òî
b t x i( )� � �1 , è òîãäà ãîâîðèì, ÷òî îí ñìåíèë ñâîå âíåøíåå ñîñòîÿíèå.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 37
Ðèñ. 1
�1/2 1/2 3/2 5/2 7/2 9/2
� �1 1
0 1� 1 1� 2 1�
3 1�
� �1 1
0 1� 1 1� 2 1�
3 1�
Îáîçíà÷èì �b t( ) ÷èñëî èçìåíåíèé âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ òåëà b , ñîñòîÿâøèõ-
ñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè t . Òîãäà 1 1 1� � � � � �� �b bt t x b t x b t( ) ( ) | ( ( )) ( ( ))| è
t t s tb b b� � �� �( ) ( ) ( )0 , ãäå s t x i x ib i
t
b b( ) )|= | ( ) ( 1
=1� � � — ïóòü, ïðîéäåííûé b
çà âðåìÿ t, t Z� . Äðóãèìè ñëîâàìè, êàæäîå ýëåìåíòàðíîå òåëî èñïîëüçóåò åäèíè-
öó àáñîëþòíîãî âðåìåíè êàê «ðåñóðñ»
ëèáî íà èçìåíåíèå íà åäèíèöó ïðî-
ñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû, ëèáî íà èç-
ìåíåíèå ñâîåãî âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ.
Ñõåìàòè÷íî ñêàçàííîå èìååò âèä ôîð-
ìóëû t s� � � , ïðîèëëþñòðèðîâàííîé
íà ðèñ. 2, à. Íà ðèñ. 2, á ïðîèëëþñòðè-
ðîâàíà àíàëîãè÷íàÿ ïî ñìûñëó ôîðìó-
ëà t s2 2 2� � � , êîòîðóþ ñëåäîâàëî áû
îæèäàòü â ïðîñòðàíñòâå ñ åâêëèäîâîé ìåòðèêîé è êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ â ÑÒÎ
äëÿ âûðàæåíèÿ òàê íàçûâàåìîãî èíòåðâàëà �2 2 2� �s t , ÿâëÿþùåãîñÿ èíâàðèàí-
òîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà.
 å ë è ÷ è í ó �b t( ) í à ç î â å ì ñ î á ñ ò â å í í û ì â ð å ì å í å ì ò å ë à b, à w tb ( ) �
� � �� �b bt t( ) ( )1 — ñêîðîñòüþ ñîáñòâåííîãî âðåìåíè òåëà b . Îáîçíà÷èì
x t x b tb ( ) ( ( ))� . Âåëè÷èíó v t x t x tb b b( ) ( ) ( )� � �1 íàçîâåì àáñîëþòíîé ñêîðîñòüþ
ïåðåìåùåíèÿ b â ìîìåíò âðåìåíè t . Ñêîðîñòü ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîìåðíîé, åñëè
v tb ( ) — êîíñòàíòà.
Ýëåìåíòàðíîå òåëî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âõîäíûõ ñèìâî-
ëîâ, ìåíÿþùèõ åãî âíåøíåå ñîñòîÿíèå. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ýëåìåíòàð-
íîå òåëî íå ìîæåò èçìåíèòü ñâîåãî âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ, åñëè âñòðå÷íàÿ äóãà
ïóñòà, ò.å. âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàðíûìè òåëàìè ïðîèñõîäèò òîëüêî ïðè
âñòðå÷å â âåðøèíàõ ñðåäû.
Ïàðó ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò x è âðåìåíè t íàçûâàåì êîîðäèíàòàìè â
àáñîëþòíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà O X T� � è îáîçíà÷àåì âåêòîð-ñòîëáöàìè. Áóäåì
íàçûâàòü O òàêæå ïðîñòðàíñòâîì ñîáûòèé.
Îïðåäåëåíèå 1. Òåëîì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ êîíå÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü
ýëåìåíòàðíûõ òåë.
Ðàçëè÷íûå òåëà ìîãóò èìåòü îáùèå ÷àñòè. Îäíî òåëî ìîæåò âêëþ÷àòü äðó-
ãîå òåëî êàê ïîäìíîæåñòâî. Åñëè ýëåìåíòàðíîå òåëî ïðèíàäëåæèò òåëó, òî áóäåì
ãîâîðèòü î íåì, êàê îá ýëåìåíòàðíîé ÷àñòè ýòîãî òåëà. Ýëåìåíòàðíîå òåëî ìîæåò
áûòü ýëåìåíòàðíîé ÷àñòüþ ðàçëè÷íûõ òåë îäíîâðåìåííî.
Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà òåë äëÿ èëëþñòðàöèè ïîñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèé.
 êàæäîì ïðèìåðå ýëåìåíòàðíûå òåëà ìåíÿþò âíåøíåå ñîñòîÿíèå òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà âñòðå÷íàÿ äóãà íå ïóñòà. Òàêèì îáðàçîì, âñå ýëåìåíòàðíûå òåëà èçî-
ìîðôíû. Ñ÷èòàåì, ÷òî â êàæäîì ïðèìåðå ýëåìåíòàðíûå òåëà ïðîíóìåðîâàíû
öåëûìè ÷èñëàìè.
Ïðèìåð 1. Â ìîìåíò àáñîëþòíîãî âðåìåíè t � 0 ýëåìåíòàðíîå òåëî ñ íîìå-
ðîì x Z� íàõîäèòñÿ íà äóãå x �1 , åñëè x ÷åòíîå, è íà äóãå x �1 â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå. Îïðåäåëèì òåëî A1 êàê ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ òåë {0, 1, 2} , ò.å.
A1 0 1 2� { , , } (ñì. ðèñ. 3).
Ïðèìåð 2. Ýëåìåíòàðíîå òåëî ñ íîìåðîì x Z� â ìîìåíò âðåìåíè t � 0 èìååò
êîîðäèíàòó
4 3 3� �x x/ ( )mod . Ïðè ýòîì åñëè ( )x mod 3 1� , òî ýëåìåíòàðíîå
òåëî íàõîäèòñÿ íà äóãå íàïðàâëåíèÿ �1 , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — íà äóãå íàïðàâëå-
íèÿ �1 . Îáîçíà÷èì A2 0 1 2� { , , } .
38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ðèñ. 2
à á
Ïóñòü êîíå÷íîå òåëî B ñîñòîèò èç n ýëåìåíòàðíûõ òåë, ïðîíóìåðîâàííûõ
÷èñëàìè {1 2, , ,� n} . Òîãäà àáñîëþòíîé (ñðåäíåé) êîîðäèíàòîé òåëà B â ìîìåíò
àáñîëþòíîãî âðåìåíè t íàçîâåì âåëè÷èíó x t x t x t nB n( ) ( ( ) ( )) /� � �1 � . Âåëè÷èíà
v t x t x tB B B( ) ( ) ( )� � �1 íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ òåëà B
â ìîìåíò âðåìåíè t . Òåëà A1 è A2 èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíîìåðíûå àáñîëþò-
íûå ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ v1 0� è v2 1 3� / . Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî ìàêñè-
ìàëüíî âîçìîæíûå ïîëîæèòåëüíàÿ è îòðèöàòåëüíàÿ ñêîðîñòè òåëà ñîîòâåòñòâåí-
íî ðàâíû 1 è �1 .
Êîîðäèíàòû òåëà â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè. Ïîýòîìó
ðàñøèðèì àáñîëþòíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà O , êîîðäèíàòû êîòîðîé áðàëèñü èç ìíî-
æåñòâà Z Z� , äî ìíîæåñòâà êîîðäèíàò R R� . Ïóñòü t Z� è � � �1 2 1 2/ /
. Òîãäà
ñ÷èòàåì, ÷òî ýëåìåíòàðíîå òåëî b â ìîìåíò âðåìåíè t �
èìååò ïðîñòðàíñòâåí-
íóþ êîîðäèíàòó x t x t r b tb b( ) ( ) ( ( ))� � � �
, ñêîðîñòü v t v tb b( ) ( )� �
è íàõî-
äèòñÿ íà äóãå b t b t( ) ( )� �
. Åñëè
�1 2/ , òî òàêæå ñ÷èòàåì, ÷òî òåëî íàõîäèòñÿ
â ìîìåíò âðåìåíè t �
â âåðøèíå x tb ( )�
ñðåäû. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ñîñòîÿíèÿ îêðåñòíîñòè äóãè b t( )� â ìîìåíòû âðåìåíè � � �t t
ñîâïàäàþò äëÿ
âñåõ
, � � �1 2 2/ /
1 , ïðè t Z� .  ÷àñòíîñòè, ñîñòîÿíèÿ äóãè b t( )� â ìîìåíòû
âðåìåíè � �t t è � � �t t 1 2/ ñîâïàäàþò, t Z� , è, òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèå ýëåìåí-
òàðíûõ òåë ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ â âåðøèíàõ ãðàôà ñðåäû, â êîòîðûõ ïðîèñ-
õîäèò âñòðå÷à ýëåìåíòàðíûõ òåë. Åñëè ýëåìåíòàðíûå òåëà íàçâàòü òî÷êàìè, òî
ìîæíî óïîìÿíóòü ñëåäóþùåå çàìå÷àíèå Ýéíøòåéíà, êàê åùå îäèí ìîòèâ íàøèõ
îïðåäåëåíèé: «Òîëüêî òå èç óòâåðæäåíèé îòíîñèòåëüíî ýòèõ òî÷åê ìîãóò
ïðåòåíäîâàòü íà ôèçè÷åñêóþ ðåàëüíîñòü, êîòîðûå êàñàþòñÿ âñòðå÷ ýòèõ
òî÷åê» [8, ñ. 188].
Ìèðîâîé ëèíèåé ýëåìåíòàðíîãî òåëà â èíòåðâàëå âðåìåíè îò � �t R äî �� �t R
íàçîâåì ìíîæåñòâî b t t x t t t t t t Rb( : ) {[ ( ), ]| , }� �� � � � � �� � . Åñëè äâèæåíèþ ýëå-
ìåíòàðíîãî òåëà â ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò �t äî ��t ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìàÿ ìèðîâàÿ
ëèíèÿ, ò.å. çà ýòî âðåìÿ ýëåìåíòàðíîå òåëî íå èçìåíÿëî âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ, òî
òàêîå äâèæåíèå íàçîâåì ýëåìåíòàðíûì.
ÂÍÅØÍÅÅ ÑÎÑÒÎßÍÈÅ ÒÅËÀ
Òåëî, âçàèìîäåéñòâóÿ ñ äðóãèìè òåëàìè, èñïûòûâàåò âëèÿíèå ñ èõ ñòîðîíû è
ñàìî âëèÿåò íà íèõ. ×òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ýòî âëèÿíèå, åñòåñòâåííî ââåñòè
ïîíÿòèå ñîñòîÿíèÿ òåëà. Íàøå îïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèÿ òåëà îñíîâàíî íà âçàèì-
íîì ðàñïîëîæåíèè â ñðåäå åãî ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòåé. Åñëè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè
âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ÷àñòåé òåëà íå èçìåíÿåòñÿ, òî íå èçìåíÿåòñÿ è ñîñòîÿ-
íèå òåëà. Õàðàêòåð èçìåíåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ÷àñòåé ìîæåò áûòü
ðàçëè÷íûì, ïîñêîëüêó èçìåíåíèÿ ìîãóò çàòðîíóòü âñå òåëî öåëèêîì èëè òîëü-
êî åãî ÷àñòü. Îòñþäà âîçíèêàåò âîïðîñ è î ìåðå èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ òåëà.
Ïåðåä òåì êàê äàòü îïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèÿ òåëà, êîòîðîå íàçîâåì âíåøíèì,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 39
Ðèñ. 3
0
1
42
3 5
t � 0
0
1 3 5
t � 1
42
îáîçíà÷èì � �� B t( ) ìåðó èçìåíåíèÿ âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ òåëà B ñ òå÷åíèåì
àáñîëþòíîãî âðåìåíè t . Â îáðàçíîé èíòåðïðåòàöèè �B t( ) ïðèäàåòñÿ ñìûñë
«âîçðàñòà» òåëà B â ìîìåíò t . Íàçîâåì ìåðó �B t( ) ñîáñòâåííûì âðåìåíåì
òåëà B â ìîìåíò t .
Âåëè÷èíó w t t tB B B( ) ( ) ( )� � �� �1 íàçîâåì ñêîðîñòüþ ñîáñòâåííîãî âðåìåíè
òåëà B â ìîìåíò àáñîëþòíîãî âðåìåíè t Z� .
Îïðåäåëåíèå 2. Äëÿ ëþáîãî òåëà B w t w tB b B b( ) ( )� � � ��1 1 .
Îïðåäåëåíèå 3. Äëÿ ëþáîãî òåëà B w t w tB b B b( ) ( )� � � ��0 0 .
Îïðåäåëåíèå 4. Åñëè w tB ( ) � 0 , òî ñ÷èòàåì, ÷òî òåëî B â ìîìåíò âðåìåíè t
íå ìåíÿåò ñâîåãî âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ.
Èç îïðåäåëåíèÿ 4 ñëåäóåò, ÷òî òåëî íå èçìåíÿåò ñâîåãî âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî ýëåìåíòàðíûå ÷àñòè íå èçìåíÿþò ñâîåãî
âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, äâà òåëà íàõîäÿòñÿ â ñðåäå â îäíîì è òîì
æå âíåøíåì ñîñòîÿíèè, åñëè îäíî èç íèõ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç äðóãîãî ïðÿ-
ìîëèíåéíûì ñäâèãîì íà ðàâíîå ÷èñëî øàãîâ êàæäîé åãî ýëåìåíòàðíîé ÷àñòè
â ñîîòâåòñòâóþùåì âíåøíåìó ñîñòîÿíèþ íàïðàâëåíèè.
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîãî òåëà B, åñëè | ( )|v tB �1 , âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
w tB ( ) � 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè ïåðåìåùå-
íèÿ íåâîçìîæíû èçìåíåíèÿ âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòåé òåëà.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè òåëî ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòåé è ïðè ýòîì
îäíà èç íèõ äâèæåòñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ â îäíîì íàïðàâëåíèè, à äðó-
ãàÿ — â äðóãîì, òî, êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 4, âíåøíåå ñîñòîÿíèå òåëà íå èç-
ìåíÿåòñÿ, õîòÿ ïðè ýòîì ñêîðîñòü òåëà ðàâíà íóëþ.
Ïîñêîëüêó îòíîøåíèå áûòü â îäíîì è òîì æå âíåøíåì ñîñòîÿíèè ÿâëÿåòñÿ
îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, òî âíåøíèìè ñîñòîÿíèÿìè åñòåñòâåííî íàçûâàòü
êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòåé ýòîãî îòíîøåíèÿ. Ýòî êàñàåòñÿ è ïîíÿòèÿ âíóòðåííåãî
ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå áóäåò ââåäåíî íèæå.
ÂÍÓÒÐÅÍÍÅÅ ÑÎÑÒÎßÍÈÅ ÒÅËÀ
Îïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèé ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü òåëà êàê àâòîìàòîïîäîáíûå
ìîäåëè àëãîðèòìîâ. Íî ïîñêîëüêó äâà òåëà ñ ðàçëè÷íîé àáñîëþòíîé ñêîðî-
ñòüþ çàâåäîìî íàõîäÿòñÿ â ðàçëè÷íûõ âíåøíèõ ñîñòîÿíèÿõ, òî ââåäåííîå ïî-
íÿòèå âíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ íå ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î äâóõ òåëàõ, ïåðåìåùàþ-
ùèõñÿ ñ ðàçëè÷íîé ñêîðîñòüþ, êàê î ðåàëèçàöèÿõ îäíîãî è òîãî æå àëãîðèòìà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ãîâîðèòü î òåëàõ, êàê îá îäíîì àëãîðèòìå,
äàæå åñëè îíè ïåðåìåùàþòñÿ ñ ðàçëè÷íîé ñêîðîñòüþ, ââåäåì ïîíÿòèå ñèñòåìû
îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òåëîì, è ïîíÿòèå èçîìîðôèçìà òåë. Ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿ-
çàííàÿ ñ òåëîì, ïîçâîëèò ïðåäñòàâèòü âíåøíåå ñîñòîÿíèå òåëà êàê ñîâîêóï-
íîñòü äâóõ êîìïîíåíòîâ: ñêîðîñòè òåëà è åãî âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ, íå çàâè-
ñÿùåãî îò ñêîðîñòè. Ñìûñë ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òåëîì, çàêëþ÷àåòñÿ
â îïðåäåëåíèè ÿçûêà è ïðàâèë, ïîçâîëÿþùèõ ðàññìàòðèâàòü äðóãèå òåëà îòíî-
ñèòåëüíî äàííîãî. Ïðèìåðîì ñèñòåìû îòñ÷åòà ñëóæèò àáñîëþòíàÿ ñèñòåìà îò-
ñ÷åòà O , ñâÿçàííàÿ ñ ïðîèçâîëüíûì òåëîì A òàêèì, ÷òî x tA ( ) � 0 , v tA ( ) � 0 ,
w tA ( ) �1 , �A ( )0 0� , è, ñëåäîâàòåëüíî, �A t t( ) � , ãäå �A — ñîáñòâåííîå âðå-
ìÿ òåëà A . Òàêèì îáðàçîì, ââåäåííûå ïîíÿòèÿ àáñîëþòíîãî âðåìåíè, êîîðäè-
íàòû è ñêîðîñòè â íåÿâíîì âèäå ïîäðàçóìåâàþò íåêîòîðîå àáñîëþòíî
ïîêîÿùååñÿ òåëî, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ðàññìàòðèâàëèñü îáúåêòû. Ñèñòåìû
îòñ÷åòà, ñâÿçàííûå ñ ïðîèçâîëüíûì òåëîì, ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ýòè ïîíÿòèÿ îò-
íîñèòåëüíûìè.
40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òåë A è B îáîçíà÷èì ÷åðåç xAB B( )� , vAB B( )� , wAB B( )�
è � �AB B( ) ñîîòâåòñòâåííî êîîðäèíàòó, ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ, ñêîðîñòü ñîá-
ñòâåííîãî âðåìåíè è ñîáñòâåííîå âðåìÿ òåëà A â ìîìåíò âðåìåíè �B â ñèñòåìå
îòñ÷åòà OB , ñâÿçàííîé ñ òåëîì B . Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì xBB B( )� � 0 ,
vBB B( )� � 0 è wBB B( )� �1 .
Îïðåäåëåíèå 5. Òåëî B íàçîâåì èíåðöèàëüíûì â ñèñòåìå îòñ÷åòà òåëà A ,
åñëè vBA A( )� è wBA A( )� — êîíñòàíòû.
Èíåðöèàëüíîñòü ïîäðàçóìåâàåò ðàâíîìåðíîñòü èçìåíåíèÿ íå òîëüêî ïðî-
ñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, íî è âðåìåííûõ. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé
òîëüêî èíåðöèàëüíûõ òåë.
Îïðåäåëåíèå 6. Ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñ èíåðöèàëüíûì òåëîì, íàçûâà-
åòñÿ èíåðöèàëüíîé.
Åäèíñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì, íàêëàäûâàåìûì íà èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îò-
ñ÷åòà, ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå êîîðäèíàòû
îäíèõ è òåõ æå ñîáûòèé â ðàçíûõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñâÿçàíû àô-
ôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òåëî, èíåðöèàëüíîå â àáñîëþò-
íîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíûì â ëþáîé äðóãîé èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìå îòñ÷åòà.
Äëÿ èíåðöèàëüíûõ òåë A è B ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿì 5, 6 � �AB B( ) �
� � �� �AB B ABw( )0 è x x vAB B AB B AB( ) ( )� �� � �0 .
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ èíåðöèàëüíûõ òåë A è B îáîçíà÷èì ÷åðåç L O OBA B A: �
àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñâÿçûâàþùåå OB è OA òàêèì îáðàçîì, ÷òî âñÿêîå ñî-
áûòèå ( , )x B� â ñèñòåìå îòñ÷åòà OB ñîâïàäàåò ñ ñîáûòèåì L xBA B( , )� â ñèñòåìå
îòñ÷åòà OA .
Ââåäåííûõ óñëîâèé äîñòàòî÷íî, ÷òîáû óñòàíîâèòü ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñè-
ìîñòü ìåæäó êîîðäèíàòàìè îäíîãî è òîãî æå ñîáûòèÿ â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïîëàãàåì xBA ( )0 0� è �BA ( )0 0� . Òîãäà LBA ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Íàéäåì ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðàÿ èìååò
âèä L
a a
a a
BA �
�
�
�
�
�
�11 12
21 22
.
Îïðåäåëåíèå 7. Íàïðàâëåíèåì ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà a íàçîâåì ìíîæåñòâî
îäíîíàïðàâëåííûõ ñ íèì âåêòîðîâ { }� ��a | > 0 .
Ëåììà 1. Âåêòîðû [1,1] è [ , ]�1 1 ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ïðåîáðà-
çîâàíèÿ LBA .
Äîêàçàòåëüñòâî. Àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæåò èçìåíèòü íàïðàâëåíèÿ
îñåé êîîðäèíàò, êàê âèðòóàëüíûå, âîîáðàæàåìûå íàïðàâëåíèÿ, íî íàïðàâëåíèÿ
âåêòîðîâ [1,1] è [ , ]�1 1 â àáñîëþòíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñîîòâåòñòâóþò íàïðàâëåíè-
ÿì ýëåìåíòàðíûõ ïåðåìåùåíèé ýëåìåíòàðíûõ òåë â ñðåäå. Ýòè íàïðàâëåíèÿ íå
çàâèñÿò îò ñèñòåì îòñ÷åòà è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî
ïðåîáðàçîâàíèé ñèñòåì îòñ÷åòà, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå 1. Â ìàòðèöå ïðåîáðàçîâàíèÿ LBA âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
a a11 22� è a a12 21� .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé ëåììû â ðåçóëüòàòå ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé.
Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç íàïðàâëåíèé êàê âåêòîðà [1,1] , òàê
è âåêòîðà [ , ]�1 1 , òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèÿ LBA . Îíî îñòà-
íåòñÿ ñîáñòâåííûì, åñëè ïîçâîëèòü ïðåîáðàçîâàíèþ LBA ïåðåñòàâëÿòü ýòè íà-
ïðàâëåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâà a a11 22� � è a a12 21� � .
 ôèçèêå òàêèå äâå ñèòóàöèè ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êàê ñòàíäàðòíàÿ è
ñèììåòðè÷íàÿ êîíôèãóðàöèè. Çäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî ñòàíäàðòíàÿ êîíôè-
ãóðàöèÿ, ò.å. ñëó÷àé a a1 2=1 2 è a a1 2=2 1 , ïîñêîëüêó èìåííî îíà îäíà â ñèëó
ëåììû 1 óäîâëåòâîðÿåò íàøèì òðåáîâàíèÿì ê èíåðöèàëüíûì ñèñòåìàì îòñ÷åòà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 41
Òåîðåìà 2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî L
w v w
v w w
BA
BA BA BA
BA BA BA
�
�
�
�
�
�
�
1
1
/ /
/ /
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó L
x x
BA
BB BA A
BA A
BA A
A
( ( ))
( )
( )� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� è � �BA A( ) �
� �A BAw , x vBA A BA A( )� �� , xBB B( )� � 0 , òî L
v w
w
BA
BA BA
BA
0
1 1
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
/
/
. Îòñþäà
a v wBA BA12 � / , a wBA22 1� / .
Ñëåäóþùèå ñëåäñòâèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáûõ èíåðöèàëüíûõ òåë A , B , C .
Ñëåäñòâèå 2. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà v vAB BA� � è w w v vAB BA AB BA
� � � � �1 12 2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Óêàçàííûå ðàâåíñòâà ïîëó÷àþòñÿ èç L LAB BA� �
�
�
�
�
�
�
1 0
0 1
â
ðåçóëüòàòå ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé.
Ñëåäñòâèå 3. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
L L
w v v w v
v w v
AB BA
BA BA BA BA BA
BA BA
� �
� � �
� �
�1
2 21 1
1
/ ( ) / ( )
/ (
BA BA BA
w v2 21) / ( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ñëåäñòâèå 4. Ôîðìóëà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé èìååò âèä v
v v
v v
CA
BA CB
BA CB
�
�
�1
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôîðìóëà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé ïîëó÷àåòñÿ èç ðàâåíñòâà
L L LCA BA CB� � â ðåçóëüòàòå ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé.
Ñëåäñòâèå 5. (Ôîðìóëà ñîêðàùåíèÿ/óâåëè÷åíèÿ ðàññòîÿíèÿ.) Ïóñòü èíåðöè-
àëüíûå òåëà A , B è C òàêèå, ÷òî v vAC BC� . Ïóñòü òàêæå
x x xAA A BA A� �| ( ) ( )|� � — ðàññòîÿíèå ìåæäó A è B â ñèñòåìå îòñ÷åòà OA ;
x x xAC C BC C� � �| ( ) ( )|� � — ðàññòîÿíèå ìåæäó A è B â ñèñòåìå îòñ÷åòà OC . Òîã-
äà
x w xCA� � � (ðèñ. 4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî
x è
x� —
êîíñòàíòû. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëî-
æèì, ÷òî xAC ( )0 0� , vAC � 0 , xBA � 0 . Òîãäà
x xBA A( )� �
è x xBC ( )0 � �
. Ïóñòü �A òàêîå,
÷òî ñîáûòèÿ ( ( ), ) ( , )x xBC 0 0 0� �
è ( ( ),xBA A�
� �A Ax) ( , )�
ñîâïàäàþò. Òîãäà ôîðìóëà ñîêðà-
ùåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ
x w xCA� � � ñëåäó-
åò èç L
x x
CA
A
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
0 �
è òåîðåìû 2, ÷òî è òðå-
áîâàëîñü äîêàçàòü.
Äàäèì îïðåäåëåíèå âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ
èíåðöèàëüíîãî òåëà. Ïóñòü äëÿ òåë A è B åñòü áèåêöèÿ �: A B� òàêàÿ, ÷òî ëþáûå
ýëåìåíòàðíûå òåëà b A� è �( )b B� èçîìîðôíû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî A â ìîìåíò
ñîáñòâåííîãî âðåìåíè �A è B â ìîìåíò ñîáñòâåííîãî âðåìåíè �B àôôèííî-èçî-
ìîðôíû, åñëè {( ( ), ( ))| }� �b x b AbA A � � �{( , ( ))| }b x b BbB B� .
Îïðåäåëåíèå 8. Äâà èíåðöèàëüíûõ òåëà íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå âíóò-
ðåííåì ñîñòîÿíèè â íåêîòîðûå ìîìåíòû ñâîåãî ñîáñòâåííîãî âðåìåíè, åñëè îíè
àôôèííî-èçîìîðôíû â ýòè ìîìåíòû âðåìåíè.
Ñîáñòâåííîå âðåìÿ èíåðöèàëüíîãî òåëà íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ
â àáñîëþòíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Òàêèì îáðàçîì, âíåøíåå ñîñòîÿíèå èíåðöèàëüíî-
ãî òåëà ïðåäñòàâëåíî êîìáèíàöèåé äâóõ êîìïîíåíòîâ: ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ è
42 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
Ðèñ. 4
åãî âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ. Åñëè òåïåðü ðàññìàòðèâàòü òåëî êàê àâòîìàòîïîäîá-
íóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ êàê âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå, òî, êàê
ñëåäóåò èç ðàññìîòðåííûõ îïðåäåëåíèé, òåëî íå ìîæåò âû÷èñëèòü ñâîþ àáñîëþò-
íóþ ñêîðîñòü. Åñëè â êà÷åñòâå ñîñòîÿíèÿ âûáðàòü âíåøíåå ñîñòîÿíèå, òî àíàëî-
ãè÷íîé ïðîáëåìû íå áóäåò, ïîñêîëüêó âíåøíåå ñîñòîÿíèå óæå ñîäåðæèò
èíôîðìàöèþ îá àáñîëþòíîé ñêîðîñòè.
Ïðèâåäåì ïðèìåð èçîìîðôèçìà òåë. Ðàññìîòðèì òåëà A1 è A2 èç ïðèìå-
ðîâ 1 è 2. Ýòè òåëà àôôèííî-èçîìîðôíû â ñèëó ñëåäóþùåãî àôôèííîãî ïðåîáðà-
çîâàíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà OA2
â OA1
:
x
t
x
t
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�=
3 2 1 2
1 2 3 2
1 2
1 2
/ /
/ /
/
/
.
Ïðåäñòàâèì äèíàìèêó òåëà A1 (ðèñ. 5, à) è äèíàìèêó òåëà A2 (ðèñ. 5, á)
â âèäå èõ ìèðîâûõ ëèíèé, à òàêæå èëëþñòðàöèþ àôôèííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Èç
çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ, òåîðåìû 2 è åãî ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò, ÷òî
v v21 12
1
3
� � � , w21
2
3
� , w12
4
3
� .
Ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ äàííîé îäíîìåðíîé ìîäåëè ôîðìóëû
� �
�
t
t
v c1 2( / )
çàìåäëåíèÿ âðåìåíè è
x x v c� � � �1 2( / ) ñîêðàùåíèÿ äëèíû
ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Ïðîâîäÿ àíàëîãèþ ìåæäó íèìè è ôîðìó-
ëàìè � � � �AB B AB B ABw( ) ( )� � �0 è
x w xCA� � � ñîîòâåòñòâåííî (ñëåäñòâèå 5),
ìîæíî óâèäåòü áëàãîäàðÿ àñèììåòðèè â íàøåì äèñêðåòíîì «ìèðå», ÷òî êîýôôè-
öèåíò
1
1 2
�
� � ( / )v c , îáðàòíûé êîýôôèöèåíòó Ëîðåíöà � , èìååò ðàçíûé «ôè-
çè÷åñêèé» ñìûñë â ýòèõ ôîðìóëàõ. Êîýôôèöèåíò 1/ � â ïåðâîé ôîðìóëå èìååò
çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà wBA , à âî âòîðîé ôîðìóëå — çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà
wAB , åñëè ðàññìàòðèâàòü òåëî B îòíîñèòåëüíî òåëà A .
ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ ÍÀ ÁÎËÅÅ ÂÛÑÎÊÈÅ ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÈ
Ðàñøèðèì ïî àíàëîãèè ââåäåííûå îïðåäåëåíèÿ íà áîëåå îáùèé ñëó÷àé. Ïóñòü
� — ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ñ òîïîëîãèåé, êîòîðîå íàçîâåì ïðîñòðàíñòâîì
ñîáûòèé. Ïóñòü B — ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçîâåì ýëåìåíòàðíûìè
òåëàìè. Îáîçíà÷èì x Rb : � � ïðîèçâîëüíóþ íåïðåðûâíóþ â îáëàñòè îïðåäå-
ëåíèÿ ôóíêöèþ è íàçîâåì åå ìèðîâîé ëèíèåé ýëåìåíòàðíîãî òåëà b , b B� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3 43
Ðèñ. 5
à á
Ïóñòü F — ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, êîòîðîå íàçîâåì ìíîæåñòâîì
öâåòîâ, ïðè ýòîì çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ, ïðèïèñûâàþùóþ ýëåìåí-
òàðíûì òåëàì öâåò èç F . Êàê è ðàíåå, íàçîâåì òåëîì ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå
ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ òåë. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå òåëî A . Çàôèêñèðóåì
íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå O R RA
n: � � � èç � â R n�1, n � 1 , è íàçîâåì åãî
ñèñòåìîé îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ òåëîì A . Ñ÷èòàåì, ÷òî ñîáûòèå s�� èìååò
â ñèñòåìå îòñ÷åòà OA êîîðäèíàòó O s x xA n( ) ( , , , ),� 1 � � ãäå ïî îïðåäåëåíèþ
( , , )x xn1 � íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòîé ñîáûòèÿ s â ñèñòåìå îò-
ñ÷åòà, à � — âðåìåííîé êîîðäèíàòîé, íàçûâàåìîé òàêæå ñîáñòâåííûì âðåìå-
íåì òåëà A . Ïóñòü ñîáûòèå s òàêîå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî t R� è ýëåìåíòàðíîãî
òåëà b B� âûïîëíÿåòñÿ x t sb ( ) � . Ïóñòü òàêæå O s x xA n A( ) ( , , , )� 1 � � . Òîãäà
÷åðåç xbA A( )� îáîçíà÷èì íàáîð ( , , )x xn1 � è áóäåì íàçûâàòü xbA A( )� ïðî-
ñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòîé ýëåìåíòàðíîãî òåëà b â ñèñòåìå îòñ÷åòà OA â ìî-
ìåíò ñîáñòâåííîãî âðåìåíè �A òåëà A . Çàôèêñèðóåì ïðàâèëî P , êîòîðîå ñòà-
âèò â ñîîòâåòñòâèå ïðîèçâîëüíîìó ìíîæåñòâó êîîðäèíàò îäíó êîîðäèíàòó. Èì
ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå. Êîîðäèíàòîé òåëà B â ñèñòå-
ìå îòñ÷åòà OA â ìîìåíò âðåìåíè �A íàçîâåì êîîðäèíàòó, ïîëó÷åííóþ ïî ïðà-
âèëó P èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó âðåìåíè êîîðäèíàò ýëåìåíòàðíûõ òåë, ñî-
ñòàâëÿþùèõ B. Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà îòñ÷åòà OA äîëæíà áûòü ïî îïðåäåëå-
íèþ òàêîé, ÷òîáû êîîðäèíàòà òåëà A â íåé áûëà ðàâíà íóëþ.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå òåëà A è B, êîãäà åñòü áèåêöèÿ �: A B� òàêàÿ,
÷òî ýëåìåíòàðíûå òåëà b A� è �( )b B� èìåþò îäèí öâåò äëÿ âñåõ b A� . Êàê è
ðàíåå, A â ìîìåíò ñîáñòâåííîãî âðåìåíè �A è B â ìîìåíò ñîáñòâåííîãî âðåìåíè
�B èçîìîðôíû èëè íàõîäÿòñÿ â îäíîì âíóòðåííåì ñîñòîÿíèè, åñëè
{( ( ), ( ))| } {( , ( ))| }� � �b x b A b x b BbA A bB B� � � .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ââåäåííîå îáîáùåíèå îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü àíàëîãè÷-
íûé îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ ñîñòîÿíèÿ êîëëåêòèâà àâòî-
ìàòîâ íà ñëó÷àè íå ðàññìîòðåííûõ çäåñü êîíå÷íûõ îäíîìåðíûõ ñðåä, ìíîãî-
ìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñðåä è íåèíåðöèàëüíûõ òåë. Îäíàêî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
äëÿ ñëó÷àÿ äâóõìåðíîé äèñêðåòíîé ñðåäû, îïðåäåëåííîé â íà÷àëå ñòàòüè, ïðå-
îáðàçîâàíèÿ, ñâÿçûâàþùèå äâå èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà, íå ìîãóò áûòü
àôôèííûìè. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñèñòåìû îòñ÷åòà â ýòîì ñëó÷àå òðåõìåð-
íûå, à ìàòðèöà àôôèííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ äîëæíà èìåòü ðîâíî ÷åòûðå ñîá-
ñòâåííûõ âåêòîðà — ñòîëüêî ýëåìåíòàðíûõ íàïðàâëåíèé â äàííîé äâóõìåðíîé
äèñêðåòíîé ñðåäå (ñì. ëåììó 1). Ýòîò ôàêò òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ðàçâèòèÿ
ïðèíÿòîãî â ñòàòüå ïîäõîäà ê îïðåäåëåíèþ ñîñòîÿíèÿ êîëëåêòèâà àâòîìàòîâ,
êîòîðîå áóäåò îòðàæåíî â ñëåäóþùåé ðàáîòå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Â à ð ø à â ñ ê è é Â . È . Êîëëåêòèâíîå ïîâåäåíèå àâòîìàòîâ. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 408 ñ.
2. Ã ð ó í ñ ê è é È . Ñ . , Ê ó ð ã à í ñ ê è é À . Í . Äèíàìèêà êîëëåêòèâà àâòîìàòîâ â äèñêðåòíîé ñðåäå //
Òð. ÈÏÌÌ ÍÀÍÓ. — 2007. — Âûï. 15. — Ñ. 50–56.
3. Ê à í ä ð à ø î â à Å . Þ . , Ë è ò â è í ö å â à Ë . Â . , Ï î ñ ï å ë î â Ä . À . Ïðåäñòàâëåíèå çíàíèé î âðåìåíè è
ïðîñòðàíñòâå â èíòåëëåêòóàëüíûõ ñèñòåìàõ / Ïîä ðåä. Ä.À. Ïîñïåëîâà. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 328 ñ.
4. Ê è ë è á à ð ä à Ã . , Ê ó ä ð ÿ â ö å â Â . Á . , Ó ø ÷ ó ì ë è ÷ Ø . Ì . Êîëëåêòèâû àâòîìàòîâ â ëàáèðèíòàõ //
Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. — 2003. — 15, ¹ 3. — Ñ. 3–39.
5. Ê ó ð ã à í ñ ê è é À . Í . Ìåðà èçìåíåíèÿ âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ êîëëåêòèâà àâòîìàòîâ â äèñêðåòíîé
ñðåäå // Òð. ÈÏÌÌ ÍÀÍÓ. — 2008. — Âûï. 16. — Ñ. 117–123.
6. Ï ó à í ê à ð å À . Î íàóêå. — Ì.: Íàóêà, 1983. — 560 ñ.
7. Ó ñ ì à í î â Ç . Ìîäåëèðîâàíèå âðåìåíè. — Ì.: Çíàíèå, 1991. — 48 ñ.
8. Ý é í ø ò å é í À . Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. — Èæåâñê: ÍÈÖ «Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà»,
2000. — 224 ñ.
Ïîñòóïèëà 25.07.2010
44 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 3
|