Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия

На основі організаційної дворівневої ієрархічної системи розглянуто моделі керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства з використанням задачі керування для звичайних диференціальних рівнянь, що характеризують динаміку фондів, системи багатовимірних квазіліні...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Акименко, В.В., Ефименко, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84146
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 94-111. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84146
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-841462015-07-04T03:02:09Z Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия Акименко, В.В. Ефименко, А.А. Системный анализ На основі організаційної дворівневої ієрархічної системи розглянуто моделі керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства з використанням задачі керування для звичайних диференціальних рівнянь, що характеризують динаміку фондів, системи багатовимірних квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра, що описують динаміку продаж товарів та послуг конкуруючих між собою підприємств, з використанням методів оптимального керування систем з розподіленими параметрами. Для запропонованих моделей визначено достатні умови існування оптимальних керувань на побудованих класах функцій та розроблено стійкий чисельний метод пошуку оптимальних керувань. A two-level hierarchical organization system is used to consider a model for the optimal control of funds and competitive ability of an information–communication company. The model is based on a control problem for ordinary differential equations (that characterize the dynamics of funds) and on an initial–boundary-value problem for multidimensional quasilinear parabolic Lotka–Volterra equations (that describe the sales dynamics of competitive companies) and uses methods of optimal control for distributed-parameter systems. The sufficient existence conditions are established for the optimal control and a stable numerical algorithm is developed to search for optimal control functions. 2012 Article Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 94-111. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84146 519.7 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Акименко, В.В. Ефименко, А.А. Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия Кибернетика и системный анализ
description	На основі організаційної дворівневої ієрархічної системи розглянуто моделі керування фондами та конкурентоспроможністю інформаційно-комунікаційного підприємства з використанням задачі керування для звичайних диференціальних рівнянь, що характеризують динаміку фондів, системи багатовимірних квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра, що описують динаміку продаж товарів та послуг конкуруючих між собою підприємств, з використанням методів оптимального керування систем з розподіленими параметрами. Для запропонованих моделей визначено достатні умови існування оптимальних керувань на побудованих класах функцій та розроблено стійкий чисельний метод пошуку оптимальних керувань.
format	Article
author	Акименко, В.В. Ефименко, А.А.
author_facet	Акименко, В.В. Ефименко, А.А.
author_sort	Акименко, В.В.
title	Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_short	Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_full	Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_fullStr	Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_full_unstemmed	Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
title_sort	модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84146
citation_txt	Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 94-111. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT akimenkovv modelʹoptimalʹnogoupravleniâfondamiikonkurentosposobnostʹûinformacionnokommunikacionnogopredpriâtiâ AT efimenkoaa modelʹoptimalʹnogoupravleniâfondamiikonkurentosposobnostʹûinformacionnokommunikacionnogopredpriâtiâ
first_indexed	2025-07-06T11:06:01Z
last_indexed	2025-07-06T11:06:01Z
_version_	1836895396796825600
fulltext	ÓÄÊ 519.7 Â.Â. ÀÊÈÌÅÍÊÎ, À.À. ÅÔÈÌÅÍÊÎ ÌÎÄÅËÜ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÔÎÍÄÀÌÈ È ÊÎÍÊÓÐÅÍÒÎÑÏÎÑÎÁÍÎÑÒÜÞ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÌÌÓÍÈÊÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÅÄÏÐÈßÒÈß Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííàÿ ñèñòåìà, ôîíäû ïðåä- ïðèÿòèÿ, ìîäåëü êîíêóðåíöèè, ñèñòåìà êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñ- êîãî òèïà, Ëîòêå–Âîëüòåððà äèôôóçèîííàÿ ìîäåëü, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðåäïðèÿòèåì èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöè- îííîé îòðàñëè çà ñ÷åò âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé â ñîáñòâåííûå ôîíäû è êîíêó- ðåíòîñïîñîáíîñòü íà ðûíêå ïðèâîäèò ê ìîäåëÿì îðãàíèçàöèîííîé äâóõóðîâ- íåâîé èåðàðõè÷åñêîé ñèñòåìû [1–4], ê ìîäåëÿì óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì îáûêíî- âåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ôîíäîâ [1, 5, 6], ê íà÷àëüíî-êðàåâûì çàäà÷àì äëÿ ñèñòåìû ìíîãîìåðíûõ êâàçèëèíåéíûõ ïàðà- áîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé òèïà Ëîòêå–Âîëüòåððà [7–9], îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ïðîäàæ òîâàðîâ è óñëóã êîíêóðèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïðåäïðèÿòèé, ñ èñïîëü- çîâàíèåì ìåòîäîâ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïà- ðàìåòðàìè [10–14]. Äëÿ ïðåäëîæåííûõ ìîäåëåé êîíêóðåíöèè äîêàçàíû òåîðå- 94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 � Â.Â. Àêèìåíêî, À.À. Åôèìåíêî, 2012 ìû ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, îïðåäåëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé íà ïîñòðîåííûõ êëàññàõ ôóíêöèé è ðàçðàáîòàíû óñòîé÷èâûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ïîèñêà îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé èíâåñòèöèé â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ, ïàðàìåòðû åãî êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè íà ðûíêå óñëóã è â ðîñò ðûíêà èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðèâåäåíû èë- ëþñòðàòèâíûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëå- íèÿ ôîíäàìè è êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòüþ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííîãî ïðåäïðèÿòèÿ. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÌÌÓÍÈÊÀÖÈÎÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÎÉ Îáîçíà÷èì ìíîãîìåðíóþ îáëàñòü-öèëèíäð ÷åðåç Q TT � �� ( , )0 , ãäå � � �{x \|0 � � �x s ms 1 1, , }, �T — ñóììà åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ST è íèæíåãî îñíîâà- íèÿ �0 . Çàäàäèì íà � ñîâîêóïíîñòü n êîíêóðèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïðåäïðèÿ- òèé, ïðåäîñòàâëÿþùèõ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûå óñëóãè ïîëüçîâàòå- ëÿì â îáúåìå { }R k( ) (k n�1, , k — íîìåð ïðåäïðèÿòèÿ). Ïðåäñòàâèì ìîäåëü àê- òèâíîé îðãàíèçàöèîííîé ñèñòåìû k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ, ðåàëèçóþùåãî èíôîðìàöèîííûå óñëóãè â ðàñïðåäåëåííîé êîìïüþòåðèçèðîâàííîé ñåòè ôèëè- àëîâ (ïîäðàçäåëåíèé) ñ ïîìîùüþ äâóõóðîâíåâîé èåðàðõè÷åñêîé ìîäåëè (îðãà- íèçàöèîííîé ñòðóêòóðû) [1, 2]. Íà óðîâíå àíàëèçà îñíîâíûõ âèäîâ äåÿòåëü- íîñòè ïðåäïðèÿòèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçëè÷íûå âèäû óïðàâëåíèÿ, ÷òî ïðèâî- äèò ê öåëåâîé äåêîìïîçèöèè îáùåé ìîäåëè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1. Öåíòð ñèñòåìû C0 îòâå÷àåò çà ïðèíÿòèå ðåøåíèé ïî ðàñïðåäåëåíèþ ôèíàíñîâîãî ðåñóðñà: èíâåñòèöèé â ýêñòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåä- ïðèÿòèÿ, åãî ðàñøèðåíèå u U1 1� ; èíâåñòèöèé â èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåäïðèÿ- òèÿ (â òîì ÷èñëå çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ ïàòåíòîâ è íîâûõ òåõíîëîãèé), ïîâû- øåíèå åãî êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè íà ðûíêå u U2 2� ; èíâåñòèöèé â ðîñò ðûíêà èííîâàöèîííîãî ïðîäóêòà u U3 3� . Òåì ñàìûì C0 êîîðäèíèðóåò ðàáîòó ïîäñèñ- òåì Ci (i �1 3, ). Ïîñëåäíèå îêàçûâàþò óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå íà ïðîöåññ ïî- òðåáëåíèÿ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã. Äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ïðèí- öèïà êîîðäèíàöèè äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû îïðåäåëèì çàäà÷è êàæäîé ïîäñèñòå- ìû è ìíîæåñòâà ïàðàìåòðîâ, ÷òî õàðàêòåðèçóþò ñèñòåìó â öåëîì. Íà óðîâíå óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì ïîäñèñòåìîé C1 «Óïðàâëåíèå ðåñóðñà- ìè, èíâåñòèöèè â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ» ðåøàåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëå- íèÿ ôîíäàìè ïðåäïðèÿòèÿ çà ñ÷åò âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé, âûäåëåííûõ êîîðäè- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 95 Ðèñ. 1 Ñ0 Êîîðäèíàòîðû ñèñòåìû — ïðèíÿòèå ðåøåíèé Ñ1 Óïðàâëåíèå ðåñóðñàìè, èíâåñòèöèè â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ Ñ2 Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â êîíêó- ðåíòîñïîñîáíîñòü ïðåäïðèÿòèÿ Ñ3 Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â ðîñò ðûíêà èííîâàöèé Ïîòðåáëåíèå èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã m1 m2 m3z1 z2 z3 w2u2 w3u3u u1 2 w1 x y íàòîðîì C0 , â ýêñòåíñèâíîå è èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå èíôîðìàöèîííî-êîììóíè- êàöèîííîé ñèñòåìû. Ôîðìàëèçóåì ðàñïðåäåëåííóþ ñèñòåìó k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ ñ ïîìîùüþ ñåòå- âîé ìîäåëè G S L� �, , ãäå S s s e o q d h z q R d Di i i i i i i i i i� � � � ��{ \| , , , ; , , , ( , ( ))i v t�1 } — ìíîæåñòâî òåõíè÷åñêèõ óçëîâ ñåòè, îáñëóæèâàþùåé ïîòðåáèòåëåé èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã, si — èäåíòèôèêàòîð i-ãî óçëà (çàïèñü â ñïèñêå, àäðåñ), êîòîðûé ñîäåðæèò ññûëêó íà ñòðóêòóðó ñ ïîëÿìè: ei — ïðî- ïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü óçëà, oi — îáúåì ïàìÿòè íîñèòåëåé, qi — ñòîèìîñòü óçëà (âêëþ÷àÿ ñòîèìîñòü îáîðóäîâàíèÿ, ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ óçëà è ñðåäñòâ çà- ùèòû èíôîðìàöèè), di — êàòàëîã èíôîðìàöèè, çàïèñàííûé íà åãî íîñèòåëÿõ, R � — ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, D — ìíîæåñòâî êàòà- ëîãîâ èíôîðìàöèè, v t( ) — êîëè÷åñòâî óçëîâ (0 0� �v t v( ) ), �v — ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòè, t T�[ , ]0 — âðåìÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà óïðàâëåíèÿ ñåòüþ. Ìíîæåñòâî êàíàëîâ ñâÿçè ìåæäó si è s j óçëàìè ñåòè èìååò âèä L l l a b a b R i j v tij ij ij ij ij ij� � � � ��{ }\| , ; , , ( , , ( ))1 , lij — èäåíòèôèêàòîð êàíàëà ñâÿçè, êîòîðûé ñîäåðæèò ññûëêó íà ñòðóêòóðó ñ ïîëÿìè: aij — ïðîïóñêíàÿ ñïî- ñîáíîñòü êàíàëà, bij — åãî ñòîèìîñòü. Èçíà÷àëüíî â ñèñòåìå ôîðìèðóåòñÿ ãëîáàëüíàÿ ñåòü � �, �G S L� �, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ óçëîâ ñåòè è ñâÿçåé ìåæäó íèìè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëèçàöèåé âñåõ ðåàëüíî ñóùåñòâóþùèõ îáúåêòîâ èíôîðìàöèîííî-êîììó- íèêàöèîííîé ñèñòåìû, ïîïàäàþùèõ ïîä èíòåðåñû êîîðäèíèðóþùåãî öåíòðà C0 . Â äîëãîñðî÷íîé ïåðñïåêòèâå � �, �G S L� � ìîæåò ðàçâèâàòüñÿ è äîïîëíÿòüñÿ íîâû- ìè ýëåìåíòàìè, îäíàêî çà ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà óïðàâëåíèÿ t T�[ , ]0 ñåòü � �, �G S L� � çàäàíà è îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè èäåíòèôèêàòîðû s Si � �, l Lij � � ñîäåðæàò èñõîäíûå àäðåñà óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçè G( )0 . Â ãðàíèöàõ ìíîæåñòâà �G ðàññìàòðèâàåòñÿ ñîçäàíèå è ðàçâè- òèå òåêóùåé ñåòè G t( ), êîòîðàÿ ìîæåò ðàçâèâàòüñÿ è ïåðåõîäèòü èç íåêîòîðîãî ñîñòîÿíèÿ G t( )1 â ñîñòîÿíèå G t( )2 , èçìåíÿÿ ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî óçëîâ, êàíàëîâ ñâÿçåé ìåæäó íèìè, èõ òåõíè÷åñêèå è ñòîèìîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè. Èäåíòèôèêàòîðû ñåòåé si , lij , ñîäåðæàùèå àäðåñà óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçåé, âñåãäà âûáèðàþòñÿ èç ìíîæåñòâ �, �S L. Îáîçíà÷èì ñòîèìîñòü çàäåéñòâîâàííûõ (àêòèâíûõ) ôîíäîâ k-ãî ïðåäïðèÿ- òèÿ ÷åðåç ( ) ( )k t , âêëþ÷àÿ ñòîèìîñòü ðàáîòàþùèõ óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçè èíôîð- ìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííîé ñåòè. Òîãäà äèíàìèêà ñòîèìîñòè ôîíäîâ îïèñû- âàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé [1, 5]: � ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ) k k k kt f u t u t t t� �1 2 � ( ) ( )( )k k0 0 � , (1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ), ( ))exp ( )k k k kt f u u d� � � � � � �0 1 2 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� d d t k t � � � � 0 0 exp ( ) ,( ) (2) ãäå � ( ) ( )k t � 0 — êîýôôèöèåíò àìîðòèçàöèè ôîíäîâ, u t1 ( ) — èíâåñòèöèè â ôîíäû ïðåäïðèÿòèÿ, f u t u tk( ) ( ( ), ( ))1 2 — ôóíêöèÿ èñòî÷íèêà ôîíäîâ çà ñ÷åò èíâåñòèöèé â ýêñòåíñèâíûé è èíòåíñèâíûé ïóòè ðàçâèòèÿ ïðåäïðèÿòèÿ. Ïðî- èçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ P Fk k k( ) ( ) ( )( )� ïîêàçûâàåò çàâèñèìîñòü ìàêñèìàëü- íîãî çíà÷åíèÿ ñòîèìîñòè óñëóã â ñåòè, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ïðåäïðèÿòèåì, â çà- âèñèìîñòè îò ñòîèìîñòè åãî ôîíäîâ [1, 6]. Ñòîèìîñòü ïðåäîñòàâëåííûõ ïðåä- ïðèÿòèåì óñëóã â ñåòè R P Fk k k k( ) ( ) ( ) ( )( )� � . Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñðåäñòâà, ïîëó÷åííûå ïðåäïðèÿòèåì îò ðåàëèçàöèè èíôîðìàöèîííî-êîì- 96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 97 ìóíèêàöèîííûõ óñëóã K k( ) , ñîñòàâëÿþò ñâîáîäíûå ñðåäñòâà ïðåäïðèÿòèÿ I k( ) , èíâåñòèöèè u U1 2� , u U2 2� , u U3 3� è ðàñõîäû Z k k 0 ( ) ( )( ) , êîòîðûå çàâèñÿò îò ñòîèìîñòè ôîíäîâ è âêëþ÷àþò â ñåáÿ ñòîèìîñòü ðàáî÷åé ñèëû, íàëîãè, ïðîèçâîäñòâåííûå çàòðàòû, íàêëàäíûå ðàñõîäû è äð.: K I u Z R Pk k i i k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � � � � 1 3 0 . Ââåäåì îáùóþ ôóíêöèþ óïðàâëåíèÿ äëÿ k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ u t u t( ) ( ( ),� 1 u t u t2 3( ), ( )) íà ìíîæåñòâå u U U U U� � � �1 2 3 . Ïîñêîëüêó â ìîäåëè ïðåäóñìîò- ðåíî óïðàâëåíèå òîëüêî îäíèì âûáðàííûì ïðåäïðèÿòèåì, â äàëüíåéøåì áóäåì îïóñêàòü èíäåêñ k â ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ. Íà óðîâíå óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì ïîäñèñòåìàìè C2 «Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü ïðåäïðèÿòèÿ», C3 «Àíàëèç ðûíêà ÈÊÓ è èíâåñòèöèè â ðîñò ðûíêà èííîâàöèé» ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ñòîèìîñòè óñëóã, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ïðåäïðèÿòèåì â óñëîâèÿõ ðûíî÷- íîé êîíêóðåíöèè, óïðàâëåíèÿ êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòüþ ïðåäïðèÿòèÿ íà ðûíêå óñëóã è óïðàâëåíèå óâåëè÷åíèåì èííîâàöèîííîãî ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììó- íèêàöèîííûõ óñëóã çà ñ÷åò âûäåëåííûõ âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé. Ðàññìîòðèì äàííóþ çàäà÷ó íà îñíîâå ìîäåëè äèôôóçèè èííîâàöèé èç [8, 9], îñíîâàííîé íà íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè êîíêóðåíòíîé áîðüáû Ëîòêå–Âîëüòåððà. Äëÿ ñòîè- ìîñòè ïðåäîñòàâëåííûõ âñåìè ïðåäïðèÿòèÿìè èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã â äàííîì ðåãèîíå R x t R x tk k n ( , ) ( , )( )� � � 1 ðàññìîòðèì ëîãèñòè÷åñêóþ ìîäåëü: R t R R a Rt x x s m s s � � � � �� ( ( ) )0 1 , (3) R s m Rx x x t s s s � � � � � � 0 1 0 0 1, ( , ), �, (4) ãäå � 0 0( )t � — îáúåì ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã â äàí- íîì ðåãèîíå, âûðàæåííûé â äåíåæíîì ýêâèâàëåíòå, a � �const 0 — êîýôôèöè- åíò äèôôóçèè, � ��1 0/ ( � ~ )T — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, îïðåäåëÿþùèé ñêîðîñòü íàñûùåíèÿ ðûíêà óñëóã, � max ( ) [ , ] � � � � �t T t 0 0 — ìàêñèìàëüíûé îáúåì ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã â äàííîì ðåãèîíå, ~ T � �const 0 — âðåìåííîé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ïåðèîä íàñûùåíèÿ ðûíêà, �( , , )x xm1 � — íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîòðåáëåííîé ñòîèìîñòè óñëóã ðåãè- îíà ïî àðåàëó �, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 01 0� �� ( , , ) ( )x xm� , �( , , )x xm1 0� �� . Åñëè ââåñòè ïàðàìåòð � � ~ a a T� � 0 , íîâóþ ïåðåìåííóþ � / ( � ~ )t t T� � 0 , � [ , � ]t T� 0 , � / ( � ~ )T T T� � 0 , Q TT� ( , � )� �� 0 , òî âìåñòî (3), (4) â ìíî- ãîìåðíîé îáëàñòè QT� ñ ãðàíèöåé � �T ïîëó÷àåì çàäà÷ó R t R R a Rt x x s m s s � ( (� ) ) �� 0 1 , (5) R s m R xx x x t s s s � � � � � � 0 1 0 0 1, ( , ), ( ) � � . (6) Ðàñùåïèì çàäà÷ó (5), (6) íà n çàäà÷ äëÿ { }R k( ) , ïîëó÷èì ñèñòåìó òèïà Ëîò- êå–Âîëüòåððà. Â äèôôóçèîííîé ìîäåëè [8] öåíòðû êîíêóðèðóþùèõ ôèðì ðàñïî- ëàãàþòñÿ â � íà ðàâíîóäàëåííûõ ðàññòîÿíèÿõ îäèí îò äðóãîãî, ïîýòîìó ðàçìåð- íîñòü îáëàñòè � ïðèíèìàåò çíà÷åíèå m n� �( )1 : R t R R R t R a R t k k k ks s s s k n x� ( ) ( ) ( ) ( )( (� ) ) (� ) �� 0 1 s sx k s m ( ) � � 1 , (7) R s m R x k x x k t k s s s ( ) ( ) � ( ), ( , ), � � � � � � 0 1 0 0 1 � . (8) Çäåñü ks t(� ) — áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò êîíêóðåíöèè ìåæäó ïðåäïðèÿ- òèÿìè ( ks skt t(� ) (� )� � , ks t(� ) [ ; ]� �1 1 ), R x t R x tk k n ( , � ) ( , � )( )� � � 1 , � �� ( )k k n 1 , 0 01 0� �� ( ) ( , , ) ( )k mx x� , � ( ) ( , , )k mx x1 0� �� . Ñóììà óðàâíåíèé (7) ïðèâî- äèò ê óðàâíåíèþ (5). Ïðåäïðèÿòèå ñ íîìåðîì ( )k äîìèíèðóåò (ÿâëÿåòñÿ áîëåå êîíêóðåíòîñïîñîáíûì) íàä ïðåäïðèÿòèåì ñ íîìåðîì ( )s : ( ) ( )k s� , åñëè 0 1� � ks t(� ) . Ýòî óñëîâèå ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó lim lim � ( ) � ( )max( ( , � )) max( ( , � ) t x k t x sR x t R x t �� ), ò.å. ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ( )k ïðåäïðèÿòèå âûòåñíÿåò ñ ðûíêà ( )s ïðåäïðèÿòèå. Çàôèêñèðóåì íîìåð ( )k ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè ïðåäïðèÿòèÿ â îáùåé ãðóïïå êîíêóðåíòîâ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü óïðàâëåíèå ðàáîòîé k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ â êîíêóðåíòíîé ñðåäå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ êîíêóðåíöèè ñ ôèêñèðîâàííûì íî- ìåðîì ( )k ks sku t u t t u t u t t( (� ), (� ), � ) ( (� ), (� ), � )1 2 1 2� � , (s n s k� �1, , ), çàâèñÿùèõ îò óïðàâëÿþùèõ èíâåñòèöèé â ôîíäû ( )k -ãî ïðåäïðèÿòèÿ u t1 (� ) è ïðÿìûõ óïðàâëÿþùèõ èíâåñòèöèé â êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü — ïðîäâèæåíèå ïðîäóê- öèè ïðåäïðèÿòèÿ íà ðûíêå óñëóã u t2 (� ) è óïðàâëåíèå ðîñòîì ðûíêà óñëóã çà ñ÷åò ôîðìèðîâàíèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëåé íà ïðåäîñòàâëÿåìûé âèä óñëóã èííî- âàöèîííîãî õàðàêòåðà ÷åðåç êîýôôèöèåíò � 0 3( (� ), � )u t t . Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (1), (2) äëÿ ïåðåìåííîé � [ , � ]t t� 0 . Íà óðîâíå êîîðäèíàöèè C0 ðàññìîòðèì òðè ðàçëè÷íûå ñöåíàðèÿ óïðàâëåíèÿ k-ì ïðåäïðèÿòèåì â çàâèñèìîñòè îò ñòðàòåãè÷åñêèõ öåëåé è ïëàíîâ ýêñòåíñèâíîãî èëè èíòåíñèâíîãî ïóòè ðàçâèòèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûõ â âèäå ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. 1. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ I-ýêñòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåä- ïðèÿòèÿ (çàõâàò ðûíêà) — óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà óçëîâ è êàíàëîâ ñâÿçè èíôîðìà- öèîííî-êîììóíèêàöèîííîé ñåòè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà îáúåìû ôèíàíñèðîâàíèÿ. Íà ïðîñòðàíñòâå �J N U 1 1� �{ } (N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë) ââåäåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J v uk 1 1 ( ) ( , ) — è ðàññìîòðèì çàäà÷ó: u t J v u u t U k k u t 1 1 1 1 1 * (� ) ( ) ( ) (� ) (� ) max ( , ) max� � � � arg arg U kv u T v( ( , ) / � )( ) 1 , (9) I R u t u t Zk k k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) (� ) ( )� � � �1 0 0 , R P Fk k k k( ) ( ) ( ) ( )( )� � , G t Gk( ) (� ) �� , u t1 0(� ) � , u t2 0(� ) � , u t3 0(� ) � , (10) 98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 v u Tk( ) ( , )1 — êîëè÷åñòâî òåõíè÷åñêèõ óçëîâ ñåòè k-ãî ïðåäïðèÿòèÿ, îáñëóæè- âàþùåé ïîòðåáèòåëåé èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã. Îãðàíè÷åíèå (10) äëÿ çàäà÷è (9) âûñòóïàåò â ðîëè êðèòåðèÿ îñòàíîâêè ïðîöåññà ìîäåëèðî- âàíèÿ, â ñëó÷àå åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè óïðàâëåíèå íå ïîçâîëÿåò óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó óñëîâèþ. Òîãäà ïðåäïðèÿòèå ìîæåò ñòàòü óáûòî÷íûì. 2. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ II-èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåäïðèÿ- òèÿ — óâåëè÷åíèå åãî ñâîáîäíûõ ñðåäñòâ c ïîìîùüþ èíâåñòèöèé â èííîâàöèîí- íûå òåõíîëîãèè è îáíîâëåíèÿ ôîíäîâ, à òàêæå ïîâûøåíèå åãî êîíêóðåíòîñïî- ñîáíîñòè çà ñ÷åò èíôîðìàöèîííîé ðåêëàìíî-ìàðêåòèíãîâîé äåÿòåëüíîñòè. Íà ïðîñòðàíñòâå �J tC Q C t U 2 2 1 1 20� � �{ }( ) ([ , � ])� ââåäåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëå- íèÿ — ôóíêöèîíàë J R uk k 2 2 ( ) ( )( , , ) è ðàññìîòðèì çàäà÷ó: u t J R u u t U k k k 2 2 2 2 * (� ) ( ) ( ) ( )(� ) max ( , , ) ( ) � � � arg � � � � arg max (( ( (� )) (� ) ( ( (� (� ) ( ) ( ) ( ) u t U k k kR u t u t Z u 2 2 0 t t), � ))) / � )� 0 , (11) I R u t u t Z u t tk k k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) (� ) ( ( (� ), � ))� � � �2 0 0 , R P Fk k k k( ) ( ) ( ) ( )( ),� � (12) u t1 0(� ) � , u t2 0(� ) � , u t3 0(� ) � . Åñëè îãðàíè÷åíèå (12) äëÿ çàäà÷è (11) íå âûïîëíÿåòñÿ, ìîäåëèðîâàíèå ïðî- öåññà îñòàíàâëèâàåòñÿ, ïðåäïðèÿòèå ïåðåõîäèò â ðàçðÿä óáûòî÷íûõ. 3. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ III-èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå ïðåäïðèÿ- òèÿ âìåñòå ñ ðàçâèòèåì ðûíêà èííîâàöèè — ðîñò îòäåëüíûõ èííîâàöèîííûõ ñåã- ìåíòîâ ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã âìåñòå ñ îáúåìàìè ïðîäàæ ïðåäïðèÿòèÿ çà ñ÷åò âëîæåíèÿ ôèíàíñîâûõ ðåñóðñîâ â èíôîðìàöèîí- íî-ðåêëàìíóþ äåÿòåëüíîñòü îòíîñèòåëüíî èííîâàöèé. Íà ïðîñòðàíñòâå �J TC Q C T U 3 2 1 1 30� � �{ }( ) ([ , � ])� ( ) ( ) ââåäåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J R uk k 3 3( , , )( ) ( ) — è ðàññìîòðèì çàäà÷ó: u t J R u u t U k k k( )* (� ) ( ) ( ) ( ) ( )(� ) max ( , , ) ( ) 3 3 3 3 � � � arg � � arg max ( ( (� ), � ) / � ) ( ) (� ) ( ) u t U u t t 3 0 3 0� � , (13) I R u t u t Zk k k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) (� ) ( )� � � �3 0 0 , R P Fk k k( ) ( ) ( )( )� � , (14) u t1 0(� ) ,� u t2 0(� ) � , u t3 0(� ) � . Åñëè îãðàíè÷åíèå (14) äëÿ çàäà÷è (13) íå âûïîëíÿåòñÿ, ìîäåëèðîâàíèå ïðî- öåññà îñòàíàâëèâàåòñÿ, ïðåäïðèÿòèå ïåðåõîäèò â ðàçðÿä óáûòî÷íûõ. 4. Êîìïëåêñíàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ÎÓ óïðàâëåíèÿ IV. Íà îñíîâå ñöåíàðè- åâ (9)–(14) íà ïðîñòðàíñòâå �J TN C Q C T U U U� � � � � �{ } 2 1 1 1 2 30( ) ([ , � ])� ( ) ââå- äåì êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ — ôóíêöèîíàë J uk( ) ( ) — è ðàññìîòðèì çàäà- ÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â îáùåì âèäå: u t J v R u u t U k k k u t * (� ) ( ) ( ) ( ) (� (� ) max ( , , , ) max� � � arg arg ) ( ) (( � )) � � � � � � � � � � �U i i k i i J u t 1 3 , (15) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 99 I R u t u t Zk k i i i k k( ) ( ) ( ) ( )( (� )) ( ) (� ) ( )� � � � � � � 1 3 0 0 , R P Fk k k( ) ( ) ( )( )� � , G t Gk( ) (� ) �� , (16) ( ( )) (� )1 0� �� i iu t , u ti (� ) � 0 (i �13, ), �( ) , , , , x x x � � � � � 1 0 0 0 ãäå i � 0 — âåñîâûå ìíîæèòåëè, îïðåäåëÿåìûå íà óðîâíå êîîðäèíàöèè C0 . Ïîñêîëüêó êëþ÷åâûì ïàðàìåòðîì ìîäåëè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îáúåì ïðîäàæ ïðåäïðèÿòèÿ, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîððåêòíîãî àëãîðèòìà ðåøå- íèÿ çàäà÷è (15), (16) â ïåðâóþ î÷åðåäü íåîáõîäèìî ïðîàíàëèçèðîâàòü òåîðåòè- ÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5)–(8). ÏÐÈÍÖÈÏ ÌÀÊÑÈÌÓÌÀ È ÎÖÅÍÊÈ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÄËß ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÍÊÓÐÈÐÓÞÙÈÕ ÏÐÅÄÏÐÈßÒÈÉ Ïðåæäå ÷åì èññëåäîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5)–(8), ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ëîãèñòè÷åñêîãî òèïà: Y t Y Yt� ( (� ) )� �� 0 , Y Yt�� 0 0 , � [ , � ]t t� 0 . Ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è èç [9] èìååò âèä Y t Y d Y d t (� ) exp ( ) exp ( ) � � � � � � � � � � � � � �� 0 0 0 0 0 0 1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� d t � 0 1 � . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè � 0 0(� )t � è Y0 0� âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå îñîáîé òî÷êè � t — òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè Y t(� ), â êîòîðîé 1 00 0 00 � � � � � � � � � ��Y d d t exp ( ) � � � � � � . Äëÿ ðàññìîòðåííîé çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ ðûíêà èíôîðìàöèîííî-êîììóíè- êàöèîííûõ óñëóã (ñèñòåìû (5)–(8)) íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ïî ñóòè âñåãäà ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè, ÷òî äîëæíî ãàðàíòèðîâàòü îòñóòñòâèå îñîáûõ òî- ÷åê äàííîãî òèïà. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïðè óáûâàþùåì ïîëîæèòåëüíîì êîýôôèöèåíòå � 0 0(� )t � , d dt� 0 0/ � � . Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì çà- âèñèìîñòü �(� ) � t Y t � � ! 0 1 , � [ , ]t � �0 1! , ãäå ! � �const 1 — ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Ðåøåíèå Y t( ) â êîíå÷íîé òî÷êå �t B� �1 èìååò âèä Y Y Y Y Y Y ( ) ( ) ( ( ) ) ! ! ! ! !! � � � � � �� 1 1 1 1 0 0 0 0 0 . Ïîñêîëüêó ïðè ! � 2, !Y0 10� ñïðàâåäëèâî ( ( ) )1 1 10 0� � �! ! ! Y Y , òî ðåøåíèå çàäà÷è Y Y( ) ( )! !� � � �1 10 0� . Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî äëÿ äàííîãî ÷àñòíîãî ïðèìåðà ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíîìó ñâîéñòâó ëîãèñòè÷åñêîé ìîäåëè, êîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè Y t( ) àñèìïòîòè÷åñêè äîñòèãàåò ïðåäåëà íàñûùåíèÿ � 0 ( )t . Óñëîâèå óáûâàíèÿ êîýôôèöèåíòà d dt� 0 0/ � ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ïðèìåíè- ìîñòè äàííîé çàäà÷è ê ìîäåëèðîâàíèþ ïðîöåññîâ íàñûùåíèÿ ðûíêà óñëóã. Ðàñ- ñìîòðåííûå ñâîéñòâà òî÷íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïîçâîëÿò ñôîðìóëèðîâàòü è 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 äîêàçàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèé çàäà÷ (5)–(8). Ðàññìîòðèì òåïåðü çà- äà÷ó (5), (6) äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ñòîèìîñòè ïðåäîñòàâëåííûõ èíôîðìà- öèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã íà ðûêå â öåëîì R x t( , � ). Òåîðåìà 1. Ïóñòü R x t( , � ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) â îáëàñòè QT� , äëÿ âñåõ ( , � ) �x t QT� êîýôôèöèåíòû �a � const > 0, � 0 0(� )t � , 0 00� � �( ) ( )x , � �� 0 — íåïðåðûâíûå, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå QT� ôóíêöèè. Òîãäà äëÿ R x t( , � ) ïðè ëþáîì � [ , � ]t T� 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 0� � � � min( ( )) ( , � ) � x x R x t � � � , (17) ãäå � max (� ) � [ , � ] � �0 0 0� �t T t . Åñëè � 0 (� )t äîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ d t dt� 0 0(� ) / � � , òî äëÿ R x t( , � ) ïðè ëþáîì � [ , � ]t T� 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà 0 0� � � � min( ( )) ( , � ) (� ) x x R x t t � � � . (18) Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó � ( , � )t T� 0 è ðàññìîòðèì ïî- ëîæèòåëüíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè R x t( , � ) â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� . Â ýòîé òî÷êå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà (ìàêñèìóìà): � ( , � )aR x tx xs s 0 0 0� , R x tt� ( , � )0 0 0� , R x txj ( , � )0 0 0� . Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (5) ñëåäóåò, ÷òî R x t( , � )0 0 äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ( (� ) ( , � )) ( , � )� 0 0 0 0 0 0 0t R x t R x t� � . Îòñþäà ñëåäóåò R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � . Â òî÷êå ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà R x t( , � )0 0 íå ïðåâûøàåò çíà÷åíèÿ � �0 0 0(� ) �t � . Åñëè ïîëîæèòåëüíûé ìàêñèìóì R x t( , � ) íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîé íà÷àëüíîé òî÷êå ( , )x0 0 , x0 ��, òî â ñèëó îãðàíè÷åíèé äëÿ �( )x ñïðàâåäëèâî (17). Ðàññìîòðèì ïîëîæèòåëüíûé ìàêñèìóì R x t( , � )0 0 â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � )x t0 0 áîêîâîé ãðàíèöû öèëèíäðà Qt�1 : x j � 0 èëè x j �1 äëÿ 1� �j m, � ( , )t T0 0� . Ðàñ- ñìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîâåðõíîñòü x j � 0, íà êîòîðîé îïðåäåëèì áåñêî- íå÷íî ìàëóþ �-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 â âèäå ïàðàëëåëåïèïåäà, � � � � �� { }x x x x s m s j xs s s j\| , , , ,0 0 1 0 . Ïóñòü �s � è �s � — áîêîâûå ïîâåðõíîñòè � � äëÿ x xs s� �0 � è ñîîòâåòñòâåííî x xs s� �0 �. Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (5) ïî îáëàñòè� � . Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Îñòðîãðàäñêîãî è ó÷èòûâàÿ (6), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ( ( (� ) ) ) ��R t R R dx a R d R dt x s x ss s s s � � � � � � � � � � � � � � 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � �s s j m x ja R d j j 1 0� . � (19) Èç ñâîéñòâ ìàêñèìóìà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ñëåäóåò ñó- ùåñòâîâàíèå �� 0 òàêîãî, ÷òî ïðè � �t t� 0 â êàæäîé òî÷êå îêðåñòíîñòè x �� ìàê- ñèìóìà ( , � )x ts0 0 ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå R x t( , � ) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì R x tt� ( , � )0 0� , R x txs ( , � )0 0� äëÿ x s� �� , R x txs ( , � )0 0� äëÿ x s� �� . Ïîñêîëüêó óðàâ- íåíèå (19) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî 0 ~� �, îïðåäåëÿþùåãî îáëàñòü � ~� , òî èç ñâîéñòâ ãëàäêîñòè ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé â (19) ñëåäóåò ( (� )� 0 0t � � �R x t R x t( , � )) ( , � )0 0 0 0 0, îòêóäà âûòåêàåò R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � . Àíàëîãè÷íî ðàñ- ñìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äëÿ ïîâåðõíîñòè x j �1 ïðè ïðîèçâîëüíîì j m�1, . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 101 Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè �T ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå íà ìíîæåñòâå Qt�1 , ñïðà- âåäëèâû è äëÿ QT� , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî R x t( , � ) íå ìîæåò ïðåâûøàòü ìàêñèìàëüíî- ãî çíà÷åíèÿ � max (� ) � [ , � ] � �0 0 0� �t T t íà âñåì ìíîæåñòâå , îòêóäà îêîí÷àòåëüíî âûòåêàåò ïðàâàÿ ÷àñòü îöåíêè (17). Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè R x t( , � ) óäîâëåòâîðÿåò 0 0 00� R x( , ) ( )� . Â òî÷êå ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � ïðè � �t T0 " ��T 0. Îòñþ- äà â ñèëó ãëàäêîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ R x t( , � ) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ïðà- âîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (18) ïðè 0 0� �� t t . Åñëè � 0 (� )t äëÿ âñåõ � [ , � ]t T� 0 äîïîë- íèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò d t dt� 0 0(� ) / � � , òî èç ñâîéñòâà ìàêñèìóìà R x t t( , � ) (� )0 0 0 0� � ñëåäóåò, ÷òî ýòî óñëîâèå ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå ïðàâîé ÷àñ- òè óñëîâèÿ (18) äëÿ âñåõ � [ , � ]t t� 0 . Ðàññìîòðèì ìèíèìóì ôóíêöèè R x t( , � ) â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� è ïðåäïîëîæèì, ÷òî R x t x x ( , � ) min( ( )) 0 0 �� . Â ýòîé òî÷êå âû- ïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà (ìèíèìóìà): � ( , � )aR x tx xs s 0 0 0� , R x tt� ( , � )0 0 0� . Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (5) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ òî÷êè ìèíèìóìà äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ( (� ) ( , � )) ( , � )� 0 0 0 0 0 0 0t R x t R x t� � . Ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè R x t( , � )0 0 0 . Åñëè R x t( , � )0 0 0� , òî â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ( , � )x t0 0 îáëàñòè �� ( , � ]0 1t âñåãäà íàéäåòñÿ òî÷êà ( , � )* x t , â êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà � ( , � ) aR x tx xs s � 0, R x tt� ( , � ) 0, R x t( , � ) * � 0 , ( (� ) ( , � )) ( , � )* * * * � 0 0t R x t R x t� � , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óðàâíåíèþ (5). Ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) R x t( , � ) íå ìîæåò ïðèíèìàòü íåîòðèöàòåëüíîãî ìèíèìóìà âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ îáëàñòè QT� . Àíàëîãè÷íî ñ ïîìîùüþ (6) è (19) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé íà áîêîâîé ãðàíèöå öèëèíäðà QT� . Ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì R x t( , � )0 0 . Ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (5) ê íîâîé ôóíêöèè V x t R x t t( , � ) ( , � )exp( � )� � , ãäå — ôèêñèðîâàííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Ôóíêöèè V x t( , � ) è R x t( , � ) îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëüíûå, îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ëèáî îäíîâðåìåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü. Äëÿ V x t( , � ) ïîëó÷àåì çàäà÷ó: V V t V a Vt x x s m s s � ( exp ( � )) �� 0 1 , (20) Vx x x s s s � � � 0 1 0, ( , )s n� �1 1 , V x t� ( ) � � 0 � . (21) Ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè V x t( , � ) â íåêîòîðîé âíóòðåí- íåé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� : � ( , � )aV x tx xs s 0 0 0� , V x tt� ( , � )0 0 0� , V x t( , � )0 0 0 . (22) 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Èç (20), (22) ñëåäóåò, ÷òî ( (� ) ( , � )exp( � )) ( , � )� 0 0 0 0 0 0 0 0t V x t t V x t� � � . (23) Ïîñëåäíåå âîçìîæíî òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ 0 0 0 0 0 0 0 0 0� � � � � �( (� ) ( , � )exp( � )) ( (� ) ( , �� t V x t t t R x t0 )). Â ñèëó ãëàäêîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè R x t( , � )0 0 ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî �T � 0 âñåãäà ñóùåñòâóþò äîñòàòî÷íî áîëüøèå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðà- ìåòðà , íà÷èíàÿ ñ �� 0 0 0 0� ( , � )R x t , ïðè êîòîðûõ äàííîå íåðàâåíñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó çíàê ôóíêöèè R x t( , � ) íå çàâèñèò îò , òî èç ïîëó÷åííîãî ïðîòèâîðå÷èÿ ñëåäóåò, ÷òî V x t( , � ) è R x t( , � ) íå ìîãóò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíîãî çíà÷åíèÿ â îáëàñòè �� ( , � ]0 1t ïðè ïðîèçâîëüíîì � ( , � )t T1 0� . Àíàëîãè÷íî ñ ïî- ìîùüþ (6), (19), (21) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé íà áîêîâîé ãðàíèöå öèëèíäðà QT� . Ñëåäîâàòåëüíî, R x t( , � ) íå ìîæåò ïðèíèìàòü â çàìêíóòîé îáëàñòè QT� ìèíèìàëü- íîãî çíà÷åíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî R x t x x ( , � ) min( ( ))0 0 �� , îòêóäà ñëåäóþò ëåâûå ÷àñòè îöåíîê (17) è (18). Òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Åñëè óñëîâèå ê îöåíêå (18) íå âûïîëíÿåòñÿ è d t dt� 0 0(� ) / � , òî â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � )* x t îêðåñòíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñèìóìà R x t( , � ) * ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé ñâîèõ àðãóìåíòîâ R x tt� * ( , � ) � 0 è (êàê ýòî ñëåäóåò èç (5)) R x t( , � ) * ìîæåò â ýòîé òî÷êå óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó ( (� ) ( , � )) ( , � )* * * * � 0 0t R x t R x t� � . Äàííàÿ ñèòóàöèÿ âîçìîæíà òîëüêî â ñëó÷àå d t dt R x tt� 0 0(� ) / � ( , � ) � * * � , êîãäà � 0 (� )t â îêðåñòíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñè- ìóìà óáûâàåò áûñòðåå, ÷åì R x t( , � ), è � 0 (� ) ( , � )* * t R x t , ÷òî ïðèâîäèò ê íàðó- øåíèþ (18). Îöåíêà (18) îòðàæàåò â áîëüøåé ñòåïåíè ïðèêëàäíûå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ çà- äà÷è: äëÿ òîãî ÷òîáû ñòîèìîñòü îêàçàííûõ èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã R x t( , � ) â äàííîì ðåãèîíå íå ïðåâûøàëà îáúåìà ðûíêà � 0 (� )t , äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü âîçðàñòàíèÿ èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, íåóáûâàíèÿ ðûíêà ïîòðåáëåíèÿ óñëóã: d t dt� 0 0(� ) / � � . Óñëîâèå d t dt� 0 0(� ) / � � ïîêàçûâàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè (5), (6) äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ ðåàëèçàöèè òîâàðîâ è óñëóã íà ðûíêå ïîòðåáëåíèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (7), (8) äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ñòîèìîñòè èíôîð- ìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã, ïðåäîñòàâëÿåìûõ êîíêóðèðóþùèìè ïðåä- ïðèÿòèÿìè R x tk( ) ( , � ) . Òåîðåìà 2. Ïóñòü R x t( , � ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (5), (6) â îáëàñòè QT� , íàáîð ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) (k n�1, ) — êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (7), (8) â îáëàñòè QT� , êîýôôèöèåíòû �a � �const 0 , � 0 0(� )t � , 0 0 1 0� � � �� ( ) ( )( )x k k n , � ( ) ( )k x � 0 , � ( ) ( )k x �� 0, ks t(� ) [ ; ]� �1 1 ( ks skt t(� ) (� )� � ; k s n, ,�1 ) — íåïðåðûâ- íûå, îãðàíè÷åííûå íà ìíîæåñòâå ñâîèõ àðãóìåíòîâ ôóíêöèè. Òîãäà äëÿ ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) ñïðàâåäëèâû îöåíêè ïðè ëþáîì � [ , � ]t T� 0 : 0 0� �R x tk( ) ( , � ) �� . (24) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 103 Åñëè � 0 (� )t äîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ d t dt� 0 0(� ) / � � , òî äëÿ R x tk( ) ( , � ) ñïðàâåäëèâû îöåíêè 0 0� �R x t tk( ) ( , � ) (� )� . (25) Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó � ( , � )t T1 0� è äëÿ ôèêñèðîâàí- íîãî íîìåðà ( )k ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè R x tk( ) ( , � ) â íåêî- òîðîé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� . Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè R xk t k( ) � ( ) ( )� � �0 0� . Ïåðåéäåì â óðàâíåíèÿõ ñèñòåìû (7) ê íîâûì ôóíêöèÿì V x t R x t tk k( ) ( )( , � ) ( , � )exp( � )� � , ãäå �� 0 — ôèêñèðîâàííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîí- ñòàíòà. Ôóíêöèè V x tk( ) ( , � ) è R x tk( ) ( , � ) îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëü- íûå, îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ èëè îäíîâðåìåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü. Äëÿ V x tk( ) ( , � ) ïîëó÷àåì çàäà÷ó: V R V t V t k ks s s s k n k � ( ) ( ) (exp ( � )� � � � � � � � � � � � � �� 0 1 ) ( )�� a V x x k s m s s 1 , (26) V x k x xs s s ( ) � � �0 1 0, ( , )s m�1 , V xk t k( ) � ( ) ( )� �0 � . (27) Ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèè V x tk( ) ( , � ) â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� : � ( , � )( )aV x t x x k s s 0 0 0� , V x t t k � ( ) ( , � )0 0 0� , V x tk( ) ( , � )0 0 0 . (28) Èç (26), (28) ñëåäóåò, ÷òî � 0 0 0 1 (� ) exp ( � )( ) ( )t R V t Vks s s s k n k� � � � � � � � � � � � �� ( , � )x t0 0 0� . (29) Ïðè îòðèöàòåëüíîì ìèíèìóìå V x tk( ) ( , � )0 0 0 âûðàæåíèå â ñêîáêàõ â (29) äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì: 0 0 0 0 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � �� (� ) exp ( � )( )t R V tks s s s k n 0 0 1 (� ) \| \| \| \|( )t R Rks s s s k n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( ) max \| ( , � )\| , ( )� 0 1 0 01n R x t R s n s k s . (30) Â ñèëó ãëàäêîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (7), (8) ïðè ëþáîì �T � 0 âñåãäà ñóùåñòâóþò äîñòàòî÷íî áîëüøèå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà �� 0 0 1 0 01� ( ) max \| ( , � )\| , ( )n R x t s n s k s , ïðè êîòîðûõ ïîñëåäíåå âûðà- æåíèå â ñêîáêàõ â (30) âñåãäà ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, à ñëåäîâàòåëü- 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 íî, (29) íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó çíàê ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) íå çàâèñèò îò , èç ïîëó÷åííîãî ïðîòèâîðå÷èÿ âûòåêàåò, ÷òî V x tr( ) ( , � ) è R x tk( ) ( , � ) íå ìîãóò ïðèíè- ìàòü îòðèöàòåëüíîãî ìèíèìóìà â òî÷êàõ ( , � ) ( , � ]x t t0 0 10� �� ïðè ëþáîì ïðîèç- âîëüíîì � ( , � )t T1 0� . Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî íîìåðà k ðàññìîòðèì îòðèöàòåëüíûé ìèíèìóì ôóíê- öèè V x tk( ) ( , � )0 0 0 â íåêîòîðîé òî÷êå ( , � )x t0 0 íà áîêîâîé ãðàíèöå öèëèíäðà QT� : x j � 0 èëè x j �1 äëÿ 1 1� � �j n . Ðàññìîòðèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîâåðõíîñòü x j � 0, íà êîòîðîé îïðåäåëèì áåñêîíå÷íî ìàëóþ �-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 â âèäå ïàðàëëåëåïèïåäà,� � � � �� { }x x x x s m s j xs s s j\| , , ; ,0 0 1 0 . Îáîçíà- ÷èì �s � è �s � áîêîâûå ïîâåðõíîñòè � � äëÿ x xs s� �0 � è ñîîòâåòñòâåííî x xs s� �0 �. Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (26) ïî îáëàñòè � � . Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Îñòðîãðàäñêîãî è ó÷èòûâàÿ (27), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå V t R V t t k ks s s s k n � ( ) ( )(� ) exp ( � )� � � � � � � � � � � � � � �� 0 0 1 � � � � � � �� V dxk( ) �� ( ) ( )a V d V d x k s x k s s s j m s s s s� � 1 a V d x k j j j ( ) �� 0. Èç ñâîéñòâ ìèíèìóìà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ñëåäóåò ñóùåñò- âîâàíèå �� 0 òàêîãî, ÷òî ïðè � �t t� 0 â êàæäîé òî÷êå îêðåñòíîñòè x �� ìèíèìóìà ( , � )x ts0 0 ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûåV x tk( ) ( , � ) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì:V x t t k � ( ) ( , � )0 0� , V x t x k s ( ) ( , � )0 0� äëÿ x s� �� , V x t x k s ( ) ( , � )0 0� äëÿ x s� �� . Ïîñêîëüêó äàííîå óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî 0 ~� �, îïðåäåëÿþùåãî îáëàñòü � ~� , èç ñâîéñòâ ãëàäêîñòè ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò � 0 0 1 (� ) exp ( � ))( ) ( )t R V t Vks s s s k n k� � � � � � � � � � � � �� 0, îòêóäà âûòåêàåò íåðàâåíñòâî (30) è ñîîòâåòñòâåííî ïðîòèâîðå÷èå äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà . Àíàëîãè÷íî ðàñ- ñìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé äëÿ ïîâåðõíîñòè x j �1 ïðè ïðîèçâîëüíîì j m�1, . Ïîñêîëüêó äëÿ âñåõ íîìåðîâ k n�1, ñïðàâåäëèâî R x tk( ) ( , � ) � 0, R x tk( ) ( , � ) � � R x t( , � ) , èç òåîðåìû 1 âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü îöåíîê ñâåðõó äëÿ ìàêñèìàëü- íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé R x tk( ) ( , � ) — ïðàâûå ÷àñòè íåðàâåíñòâ (24), (25). Òåîðåìà äîêàçàíà. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû êâàçèëèíåé- íûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ñòîèìîñòè èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêà- öèîííûõ óñëóã êîíêóðèðóþùèõ ïðåäïðèÿòèé, ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íåîòðèöà- òåëüíîé ôóíêöèåé, óñòîé÷èâîé íà ëþáîì ïðîèçâîëüíîì èíòåðâàëå âðåìåíè, íå- çàâèñèìî îò âèäà íà÷àëüíîãî íåîòðèöàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî àðåàëó ìîäåëèðîâàíèÿ äàííîãî ïðîöåññà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 105 ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄËß ÇÀÄÀ×È (15), (16) Ïîëó÷åííûå àïðèîðíûå îöåíêè äëÿ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé çàäà÷ (5)–(8) ïîçâî- ëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé äëÿ çàäà÷è (15), (16). Ðàññìîòðèì òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ îïòè- ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îò óïðàâëåíèÿ u t U(� )� çàâèñÿò ks u t t( (� ), � ) — êîýôôèöèåíò êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè ( )k — ïðåäïðèÿòèÿ ñèñòå- ìû (31), (32) ñ îñòàëüíûìè ( )s — ïðåäïðèÿòèÿìè, ó÷àñòíèêàìè ðûíêà, ôèíàí- ñîâàÿ åìêîñòü ðûíêà � 0 ( (� ), � )u t t èç óðàâíåíèÿ (3), ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èíâåñ- òèöèé â îñíîâíûå ôîíäû f u tk( ) ( (� )) — èç óðàâíåíèÿ (1). Òåîðåìà 3. Ïóñòü êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèé (5), (7) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâè- ÿì òåîðåì 1, 2, ìíîæåñòâà � ( ) { ( , � )k ks u t� , s n�1, , s k� : u t U(� ) }� , A � { ( , � )� 0 u t : u t U(� ) }� ïðè çàäàííîì k êîìïàêòíû â C T([ , � ])0 , !( ) ( ){ ( (� ))k kf u t� : u t U(� ) }� êîì- ïàêòíî â L T2 0([ , � ]), ôóíêöèîíàë J v R uk k k( , , , )( ) ( ) ( ) èç (15) ïîëóíåïðåðûâíûé ñíèçó íà ïðîñòðàíñòâå �J , òîãäà ñóùåñòâóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u t U(� )� çàäà÷è (15), (16). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåì 1, 2, íà÷àëüíûå çíà÷å- íèÿ ôóíêöèé v Rk k k( ) ( ) ( ), , óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèÿì (16). Òîãäà ôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ u t u t u t u t(� ) ( (� ), (� ), (� ))� 1 2 3 áóäåò óäîâëåòâîðÿòü îãðàíè÷åíèÿì (16) è äëÿ ôóíêöèîíàëà (15) ìîæíî ïîñòðîèòü ìèíèìèçèðóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }ul . Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå åé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè v tl (� ) — êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòè, l l lt t u(� ) (�, )� , R x t R x t u l k k l ( ) ( )( , � ) ( , �, )� — ðåøåíèÿ çàäà÷ (1), (7), (8). Èç êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ � ( )k , A â C T([ , � ])0 , !( )k â L T2 0([ , � ]), âûðàæåíèé (2), (24), (25) ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü v tl (� ), l t(� ), R x t l k( ) ( , � ) â íîðìå C t([ , � ])0 . Òîãäà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé { }vl , { } l , { }R l k( ) ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùèåñÿ ïîäïîñëåäî- âàòåëüíîñòè ê íåêîòîðûì ýëåìåíòàì �vl , � l , { }� ( )R k . Èç óñëîâèé òåîðåì 1, 2 äëÿ ìíîæåñòâ � ( )k , A, F ñëåäóåò, ÷òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ sk lu t( , � ), � 0 ( , � )u tl ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùèåñÿ â C T([ , � ])0 è äëÿ f u tk l ( ) ( (� )) ñõîäÿùèåñÿ â L T2 0([ , � ]) ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê íåêîòîðûì ýëåìåíòàì � (� ) ( �, � ) ( ) sk sk kt u t� �� , � (� ) ( �, � )� �0 0t u t� �A , � (� ) ( � (� ))( ) ( ) ( )f t f u tk k k� �! . Òà- êèì îáðàçîì, ýëåìåíòû ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé v tlp (� ), lp t(� ), { }R x t l k p ( ) ( , � ) ÿâëÿ- þòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷è (1), (7), (8), ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàì ïîñëåäîâà- òåëüíîñòè { }ulp . Èç ñôîðìóëèðîâàííûõ ñâîéñòâ ñõîäÿùèõñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëü- íîñòåé êîýôôèöèåíòîâ çàäà÷è (1), (7), (8) è ñâîéñòâ ñõîäÿùèõñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðåøåíèé v tlp (� ) , lp t(� ) , { }R x t l k p ( ) ( , � ) ñëåäóåò ñõîäè- ìîñòü èíòåãðàëà â (2) ïðè lp � �. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � (� )v t , � ( ) t , { }� ( , � )( )R x tk ÿâ- ëÿåòñÿ òàêæå ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (7), (8) ñ êîýôôèöèåíòàìè � (� ) ( �, � ) sk skt u t� , � (� ) ( �, � )� �0 0t u t� , � (� ) ( � (� ))( ) ( )f t f u tk k� . Ó÷èòûâàÿ ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó íà ïðîñòðàíñòâå �J ôóíêöèîíàëà J, ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (16) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà lim ( , , .., , ) ( �, � , .., �( ) ( ) ( ) ( l l l n l p p p p J v R R J v y y �� 1 1 n) , � ) � � J v u R u R u un( ( � ), ( � ), .., ( � ), ( � ))( ) ( )1 . 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî �u — îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå äëÿ çàäà÷è (1), (7), (8), (15), (16). Òåîðåìà 3 äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ òåîðåìû 3 óñëî- âèÿ êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâ � ( )k , a â C T([ , � ])0 , !( )k â L T2 0([ , � ]) ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèÿìè äëÿ U : åñëè ôóíêöèè sk u t( , � ), � 0 ( , � )u t , f u tk( ) ( (� )) íåïðåðûâíî çàâè- ñÿò îò óïðàâëåíèÿ u x t( , ) è ìíîæåñòâî u U� ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì â C T([ , � ])0 , òî òåîðåìà 3 ñïðàâåäëèâà. Ýòî ñëåäóåò èç òåîðåì î íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèÿõ êîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâ [16]. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Ðàññìîòðèì ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ òðåõ êîíêóðèðóþùèõ ïðåäïðèÿòèé: n � 3. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1), (2), (5)–(8) â öèëèíäðå Q TT� ( , � )� �� 0 , � � � � �{ }x x ss\| , ,0 1 1 2 . Öåíòðû êîíêóðèðóþùèõ ïðåäïðèÿòèé ðàñïîëîæèì â � íà ðàâíîóäàëåííûõ ðàññòîÿíèÿõ. Çàôèêñèðóåì íîìåð k � 2 äëÿ óïðàâëÿåìîãî ïðåäïðèÿòèÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó (15), (16) îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ôîíäàìè è êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòüþ âòîðîãî ïðåäïðèÿòèÿ â ïðîñòðàíñòâå �J TN V Q C T U U U� � � � � �{ } 2 1 1 1 2 30( ) ([ , � ])� ( ) ( ) ( ) ( ) . Ââåäåì â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ðàâíîìåðíóþ ðàçíîñòíóþ ñåòêó � �h h1 2 = = {( , , � )\| , � , , }x x t x i h t j i I j M i i ik j k k k j k k1 2 1 2 0 0� � � � � �� . Îáîçíà÷èì � R i i k 1 2 ( ) , R R i i k i i k 1 2 1 2 ( ) ( ), � çíà÷åíèÿ ñåòî÷íûõ ôóíêöèé R i i k j 1 2 ( ) â ìîìåíòû âðåìåíè t j�1, t j , t j�1 ñî- îòâåòñòâåííî. Ðåøåíèå (2) çàäà÷è Êîøè (1) àïïðîêñèìèðóåì ñåòî÷íîé ôóíêöèåé j . Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷è (1) èñïîëüçóåì â (2) ìåòîä Ñèìïñîíà, äëÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû (5)–(8) èñïîëüçóåì èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä èç [17, 18], ïîçâîëÿþùèé ñòðîèòü ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå- íèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñëåäóÿ ðàáîòå [18], íàëîæèì äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè: Rt t� �� 0 0, R t k t� ( ) �� 0 0. Çàìåíèì â óðàâíåíèÿõ (5), (7) ôóíêöèè R t Y� exp ( � � )� 0 , R t Yk k( ) ( )exp ( � � )� � 0 . Äëÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà èñïîëüçóåì ÿâíûå òðåõñëîé- íûå ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè èç [18]. Äëÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû íà øàã ïî âðåìåíè íàêëàäûâàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ: � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( exp ( � � )) � 0 0 2 1 1 1 2 2T a hs s m . (31) Ðàññìîòðèì ìîäåëü îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ çàäà÷è (15), (16) ñî ñëå- äóþùèìè ïàðàìåòðàìè: n � 3, m � 2, � ,a � 0 1 , ~ T � 50, �T �1, �a0 1� , x 1 1 0 25( ) ,� , x 2 1 0 25( ) ,� , x 1 2 0 75( ) ,� , x 2 2 0 25( ) ,� , x 1 3 0 5( ) ,� , x 2 3 0 683( ) ,� . Ïàðàìåòðû xi k( ) — ýòî êîîðäèíàòû ðàâíîóäàëåííûõ öåíòðîâ êîíêóðèðóþ- ùèõ ïðåäïðèÿòèé ïî àðåàëó � � � � �{ }x x ss\| , ,0 1 1 2 . Ïàðàìåòðû ðàçíîñòíîé ñåò- êè I I1 2 100� � , øàã ïî âðåìåíè âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (31) � � � �2 10 4 . Çàäàäèì óñëîâèÿ: ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 107 � � �( ) ( ) ( )( , ) ( )( , exp ( (( ) (s s sx x x x1 2 0 0 1 1 20 0 01 500� � � � � x x s 2 2 2� ( ) ) ))), � �( , ) ( , )( )x x x xs s 1 2 1 2 1 3 � � � , ãäå � 0 ( )s — íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ äîëè ðûíêà s-ãî ïðåäïðèÿòèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå íèæå. Òàêæå ïðèâåäåíû íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ êîíêóðåíöèè ìåæäó ïðåäïðèÿòèÿìè sk 0 (êîýôôèöèåíòû ks sk 0 0� � ). Äëÿ äàííîãî òåñòîâîãî ïðèìåðà óñòàíîâèì ýìïèðè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ çàäà÷è (5)–(8) îò ôóíêöèé óïðàâëåíèÿ, èñõîäÿ èç êà÷åñòâåííûõ ñîîáðàæåíèé î ïîâåäåíèè ïàðàìåòðîâ óïðàâëåíèÿ: P F u uk k k( ) ( ) ( )( ) ( , )� � �0 1 2 , f u u u uk( ) ( , )1 2 1 1 2 2� �� , Z k k k 0 3 ( ) ( ) ( )( ) � � , � � �2 1 2 2 0 2 0 2 4 1 01 2 3s s s u u u u( , ) ( )( / ) ( ( ) / � )� � � �arctg , (s �1 3, ), � � � � � �0 3 0 1 1 3 01 2 4( , � ) � ( ( )( / ) ( (� / � / � ))u t t T u� � � �arctg ), ui ( )0 0� . Çäåñü � i � 0 — êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé, � 01 — íà÷àëüíàÿ äîëÿ îò ìàêñèìàëüíîãî îáúåìà ðûíêà âòîðîãî ïðåäïðèÿòèÿ. 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Ðèñ. 2 Çàïèñü íà÷àëüíûõ äàííûõ è ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû Ìîäåëèðîâàíèå îáúåìîâ ïðîäàæ è ÷àñòè ðûíêà ôèðìû ïðè îòñóòñòâèè èíâåñòèöèé Ðàñ÷åò ñâîáîäíûõ ñðåäñòâ ïðåäïðèÿòèÿ Ðàñ÷åò îïòèìàëüíîé ñòðóêòóðû ÈÊ ñåòè — çàäà÷à ÎÓ I Ââîä íà÷àëüíûõ äàííûõ è ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû Ðàñ÷åò îïòèìàëüíûõ èíâåñòèöèé â èííîâàöèè — çàäà÷à ÎÓ II Ðàñ÷åò îïòèìàëüíûõ èíâåñòèöèé â ðîñò ðûíêà — çàäà÷à ÎÓ III Ðàñ÷åò îïòèìàëüíûõ èíâåñòèöèé äëÿ êîìïëåêñíîé çàäà÷è ÎÓ IV Çàïèñü ðåçóëüòàòîâ â ôàéëû Òåêóùèé è ïåðñïåêòèâíûé àíàëèç ðûíêà, êîíêóðåíöèè, èííîâàöèé, îöåíêà îáúåìîâ ôîíäîâ èíâåñòèðîâàíèÿ Ôîðìèðîâàíèå íàáîðà çàäà÷ ÎÓ äëÿ àíàëèçà âîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ ðûíêà è ïðåäïðèÿòèÿ Àíàëèç è âåðèôèêàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÎÓ IV Êîððåêöèÿ ïàðàìåòðîâ ïðåäïðèÿòèÿ, ðûíêà, êîíêóðåíöèè äëÿ ìîäåëè, âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ôóíêöèîíàëîâ Àíàëèç ñâîáîäíûõ ñðåäñòâ ïðåäïðèÿòèÿ äëÿ òðåõ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ, îïðåäåëåíèå âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ Ðåçóëüòàòû óäîâëåòâîðèòåëüíû? ÄÀ ÍÅÒ ËÏÐÑÏÏÐ Ïðèâåäåì çíà÷åíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ: � 0 1 010( ) ,� , � 0 2 015( ) ,� , � 0 3 0 20( ) ,� , 12 0 0 4� , , 13 0 0 8� , , 23 0 0 5� , , 0 2 0 5( ) ,� , � � 0 05, , �0 0 3� , , �1 0 5� , , �2 0 5� , , �3 01� , , �4 10� , �1 0 5� , . Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå 3 ðåøåíèå çàäà÷è (15), (16) ìîæíî èñêàòü íà êëàññå ôóíêöèé, êîìïàêòíûõ â C T([ , � ])0 . Èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä [18, 19] çà ñ÷åò îïåðàöèè ñãëàæèâàíèÿ íà øàáëîíàõ ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü äàííûé êëàññ ôóíêöèé è ñòðîèòü ðàçíîñòíûå ñõåìû íà êëàññå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ îãðàíè÷åí- íûõ ôóíêöèé (êîìïàêòå) âèäà u t u t t t ts sj j j j M (� ) (� ) ( � ) ~ � � �� 1 1 , (32) ãäå { }usj — íàáîð îãðàíè÷åííûõ êîýôôèöèåíòîâ (0 0� �u u tsj s (� )) íà èíòåðâà- ëàõ [� , � ]t tj j�1 , �(� )t — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, ~ /M M� 2 . Àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (15), (16) íà êëàññå ôóíêöèé (32) ñâîäèòñÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó àíàëèçó âàðèàíòîâ ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàáîðîâ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ { }usj ïî àíàëîãèè ñ [8, 13, 20]. Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðåä- ïðèÿòèåì âàæíîé ÿâëÿåòñÿ ñòðàòåãèÿ ðàçâèòèÿ, ïðèíèìàåìàÿ íà óðîâíå êîîð- äèíàòîðà C0 . Íà ðèñ. 2 ïîêàçàí àëãîðèòì on-line âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé (ÑÏÏÐ) ïî îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ èíâåñòèöèÿìè ïðåä- ïðèÿòèÿ â óñëîâèÿõ êîíêóðåíöèè ñ ëèöîì, ïðèíèìàþùèì ðåøåíèå (ËÏÐ). Â îñíîâó àëãîðèòìà ïîëîæåíî ïîýòàïíîå öèêëè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìàëü- íîãî óïðàâëåíèÿ ÎÓ I (9), (10), ÎÓ II (11), (12), ÎÓ III (13), (14), ÎÓ IV (15), (16). Ôîðìàëüíî ñòðàòåãèÿ ðàçâèòèÿ ïðåäïðèÿòèÿ îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì âåñîâûõ ìíîæèòåëåé äëÿ ôóíêöèîíàëà (15). Äëÿ òåñòîâîãî ïðèìåðà ðàññìàòðèâàëñÿ ñëó- ÷àé, êîãäà èíòåðåñû èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ ïðåäïðèÿòèÿ â ôîíäû è åãî êîíêó- ðåíòîñïîñîáíîñòü çíà÷èòåëüíî ïðåâàëèðóþò íàä èíòåðåñàìè ýêñòåíñèâíîãî ðàñ- øèðåíèÿ èíôîðìàöèîí- íî-êîìóíèêàöèîííîé ñåòè ïðåäïðèÿòèÿ è èí- âåñòèöèé â ðàçâèòèå ðûíêà. Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèíÿòü 1 0 6� , ; 2 0 3� , ; 3 01� , . ×èñ- ëåííûå àëãîðèòìû ðåøå- íèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (9)–(16) ïî- ñòðîåíû íà îñíîâå ïîäõî- äîâ è ìåòîäîâ, ñîäåðæà- ùèõñÿ â ðàáîòå [20]. Ðå- çóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðå- øåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (15), (16) äëÿ âûáðàííîãî ñöåíàðèÿ ðàçâè- òèÿ ñèñòåìû (2), (5)–(8) ïîêàçàíû íà ðèñ. 3, 4. Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåíû ãðàôèêè ôóíê- öèé: � 0 3( (� ), � )u t t — îáúåì ðûíêà óñëóã (1); R t (� ) � max( ( , , � )) , ( ) x x k k R x x t 1 2 1 2 1 3 � � — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñòîèìîñòè ïðåäîñòàâëåííûõ âñåìè ïðåäïðèÿòèÿìè óñëóã (2); ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 109 Ðèñ. 3 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 2 3 t u R t R x x t x x ( )* , ( )(� ) max( ( , , � ))2 2 1 2 1 2 � — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñòîèìîñòè ïðå- äîñòàâëåííûõ âòîðûì (óïðàâëÿåìûì) ïðåä- ïðèÿòèåì óñëóã (3). Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ãðà- ôèêè ôóíêöèé óïðàâ- ëåíèÿ: 1 — u t1 (� ); 2 — u t2 (� ) ; 3 — u t3 (� ) . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Òåñòîâûå ðàñ÷åòû ïîêà- çàëè, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ÿâíîé òðåõñëîéíîé ðàç- íîñòíîé ñõåìû ñîâìåñò- íî ñ ëèíåéíûì ñãëàæè- âàþùèì ðàçíîñòíûì îïåðàòîðîì äëÿ ñèñòåìû (5)–(8) êâàçèëèíåéíûõ óðàâíå- íèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ïîçâîëÿåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, èçáåæàòü ëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèé Ëîòêå–Âîëüòåððà, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ðåæèìå ðå- àëüíîãî âðåìåíè ìîäåëèðîâàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíûå ìíîãîìåðíûå ïðîöåññû êîíêóðåíöèè ïðåäïðèÿòèé. Îãðàíè÷åíèÿ (31) íà øàã ðàçíîñòíîé ñåòêè ïî âðå- ìåíè íå ñêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî íà áûñòðîäåéñòâèè âû÷èñëèòåëüíîãî àëãî- ðèòìà äëÿ ðàññìîòðåííîãî òåñòîâîãî ïðèìåðà. ×èñëåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2), (5)–(8), ïîëó÷åííûå èíòåãðî-èíòåðïîëÿ- öèîííûì ìåòîäîì, óäîâëåòâîðÿþò îöåíêàì èç òåîðåì 1 è 2, ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöà- òåëüíûìè îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè â óñëîâèÿõ íåóáûâàþùåãî ðûíêà óñëóã ( / � )d dt� 0 0� . Â òåñòîâîì ïðèìåðå ïðîöåññ êîíêóðåíöèè çàòðàãèâàåò òðè ïðåä- ïðèÿòèÿ. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå îñíîâàíî íà ñöåíàðèè âûâîäà âòîðîãî ïðåä- ïðèÿòèÿ íà âûñîêèé óðîâåíü êîíêóðåíöèè (50 % äîëè ðûíêà) (ñì. ðèñ. 3). Ðåøåíèå çàäà÷è âîçìîæíî ïðè çíà÷èòåëüíîì äîìèíèðîâàíèè èíâåñòèöèîííûõ ðåñóðñîâ äàííîé êîìïàíèè ïî ñðàâíåíèþ ñ èíâåñòèöèÿìè äðóãèõ êîìïàíèé. Ñ îäíîé ñòîðîíû, íåîáõîäèìîñòü áîëüøèõ èíâåñòèöèé îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âòî- ðîå ïðåäïðèÿòèå íå äîìèíèðóåò íàä ïåðâûì ( ) ( )1 2� , à ñ äðóãîé, âîçìîæíîñòü çà- âîåâàíèÿ 50 % ðûíêà îáóñëîâëåíî äîìèíèðîâàíèåì âòîðîãî ïðåäïðèÿòèÿ íàä òðåòüèì ( ) ( )2 3� . Ïðè ýòîì ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ u ti (� ) (ñì. ðèñ. 4) ÿâëÿþòñÿ ìî- íîòîííî âîçðàñòàþùèìè è ïðèíèìàþò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, îãðà- íè÷åííûå ðàçìåðàìè âíóòðåííèõ èíâåñòèöèé. Â ñèëó áîëüøîãî êîëè÷åñòâà èí- òåðâàëîâ ~ M , çàäàþùèõ ó÷àñòêè êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé u ti (� ) , èíòåðïîëÿ- öèîííûå ãðàôèêè íà ðèñ. 4 â âûáðàííîì ìàñøòàáå ïîêàçûâàþò ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûå çàâèñèìîñòè ôóíêöèé óïðàâëåíèÿ îò âðåìåíè. Â öåëîì ìîæíî ñäå- ëàòü âûâîä î ïðèìåíèìîñòè ðàññìîòðåííîãî â ðàáîòå ïîäõîäà ê ïîñòðîåíèþ ìî- äåëåé êîíêóðåíöèè è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ðàçðàáîòêè ñèñòåì ïîääåðæ- êè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïî óïðàâëåíèþ èíâåñòèöèîííûìè ïðîåêòàìè ïðåäïðèÿòèé, ðàáîòàþùèõ â ñôåðå èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàöèîííûõ óñëóã. 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 Ðèñ. 4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 2 3 0,2 0,1 t u ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2012, ¹ 5 111 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ì î è ñ å å â Í . Í . Ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è ñèñòåìíîãî àíàëèçà. — Ì.: Íàóêà., 1986. — 487 c. 2. Ì å ñ à ð î â è ÷ Ì . , Ì à ê î Ä . , Ò à ê à õ à ð à È . Òåîðèÿ èåðàðõè÷åñêèõ ìíîãîóðîâíåâûõ ñèñòåì. — Ì.: Ìèð, 1973. — 344 ñ. 3. Ñ è ñ ò å ì û : äåêîìïîçèöèÿ, îïòèìèçàöèÿ è óïðàâëåíèå / Ñîñò. Ì. Ñèíãõ, À. Òèòëè — Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1986. — 496 ñ. 4. Í î â è ê î â Ä . À . Ñåòåâûå ñòðóêòóðû è îðãàíèçàöèîííûå ñèñòåìû. — Ì.: ÈÏÓÐÀÍ, 2003. — 102 ñ. 5. È í ò ð è ë è ã à ò î ð Ì . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îïòèìèçàöèè è ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ. — Ì.: Àéðèñ-Ïðåññ, 2002. — 553 ñ. 6. À ê è ì å í ê î Â . Â . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Ã . , Ñ ó ã î í ÿ ê È . È . Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè â ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ èåðàðõèåé // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2007. — ¹ 1. — C. 134–146. 7. T a k e u c h i Y . Global dynamical properties of Lotka–Volterra systems. — Singapore: World Sci. Publ., 1996. — 297 p. 8. À ê è ì å í ê î Â . Â . , Ñ ó ã î í ÿ ê È . È . Íåëèíåéíîå ìîäåëèðîâàíèå ìíîãîìåðíîãî ïðîöåññà äèôôóçèè èííîâàöèé íà îñíîâå ìåòîäà ðàñùåïëåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 4. — C. 120–133. 9. Àê³ìåíêî Â.Â., Ñóãîíÿê ².². Äèíàì³÷í³ ìîäåë³ æèòòºâîãî öèêëó ³ííîâàö³é â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñò³ // Â³ñí. Êè¿â. óí-òó. Ñåð. ô³ç.-ìàò. íàóê. — 2007. — ¹ 3. — C. 149–155. 10. M e n a l d i J . L . , R o f m a n E . , S u l e m A . Optimal control and partial differential equations — innovations & applications. — Amsterdam: IOS Press, 2001. — 600 p. 11. K u n i s c h K . , L e u g e r i n g G . , S p r e k e l s J . , T r o l t z s c h F . Control of coupled partial differential equations. International series of numerical mathematics, Vol. 155. — Springer, 2007. — Issue VI. — 382 p. 12. Ë è Ý . , Ì à ð ê ó ñ Ë . Îñíîâû òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà. — 1972. — 576 ñ. 13. À ê è ì å í ê î Â . Â . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Ã . Ìîäåëè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè ìåæðåãèîíàëüíîé ìèãðàöèè â óñëîâèÿõ ðèñêîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 107–122. 14. À ê è ì å í ê î Â . Â . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Ã . , Ò ð î ô è ì ÷ ó ê Î . Þ . Ìîäåëü îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ âûðîæäàþùåéñÿ ïàðàáîëè÷íîñòüþ // Òàì æå. — 2007. — ¹ 6. — C. 90–102. 15. Ò è õ î í î â À . Í . , À ð ñ å í è í Â . ß . Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 286 ñ. 16. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 624 ñ. 17. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1989. — 616 c. 18. À ê è ì å í ê î Â . Â . , Å ô è ì å í ê î À . À . ×èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ äèôôóçèîííîé ñèñòåìû Ëîòêå–Âîëüòåððà ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè äëÿ çàäà÷è êîíêóðåíöèè êîìïàíèé // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òååõíè÷åñêèé æóðíàë «Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2012. — ¹ 2. — C. 42–50. 19. À ê è ì å í ê î Â . Â . , × å ð å ì í û õ Î . Ê . Ìîäåëèðîâàíèå âèõðåâûõ òå÷åíèé íà ôîíå äâóìåðíîãî ïðîöåññà êîíâåêòèâíîãî òåïëîìàññîáìåíà // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2004. — ¹ 2. — C. 64–80. 20. À ê è ì å í ê î Â . Â . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Ã . , Â î ë î ù ó ê Ñ . Ä . Ñöåíàðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ìåæðåãèîíàëüíûìè ìèãðàöèîííûìè ïðîöåññàìè â óñëîâèÿõ ðèñêîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 1. — C. 16–33. Ïîñòóïèëà 04.04.2011

Модель оптимального управления фондами и конкурентоспособностью информационно-коммуникационного предприятия

Репозитарії

Схожі ресурси