Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса

Розглянуто можливість використання в математичних моделях прийняття рішень багатовимірного складного пуасонівського процесу, керованого ланцюгом Маркова з неперервним часом. Приведено визначення такого процесу та наведено приклади його застосування до формалізації понять «невизначеність» і «ризик»,...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Война, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84225
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса / А.А. Война // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 165-175. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84225
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-842252015-07-04T03:02:18Z Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса Война, А.А. Системный анализ Розглянуто можливість використання в математичних моделях прийняття рішень багатовимірного складного пуасонівського процесу, керованого ланцюгом Маркова з неперервним часом. Приведено визначення такого процесу та наведено приклади його застосування до формалізації понять «невизначеність» і «ризик», побудови функції ризику і цільової функції відповідних оптимізаційних задач. Запропоновано декілька підходів до їх розв’язання: безпосередній аналітичний підхід, який полягає в знаходженні функції ризику, та метод, побудований на використанні граничних теорем теорії випадкових процесів, для знаходженні наближених розв’язків. We consider how a multidimensional compound Poisson process controlled by a Markov process with continuous time can be used in mathematical decision-making models. We will present a definition of this process and examples of its use to formalize the concepts of «uncertainty» and «risk», to determine the risk function and objective function for the corresponding optimization problems. Some approaches are proposed to solve these problems: a direct analytic approach of finding explicit formulas for the risk function and a method of approximate solution based on the limit theorems of the stochastic process theory. 2011 Article Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса / А.А. Война // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 165-175. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84225 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Война, А.А. Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса Кибернетика и системный анализ
description	Розглянуто можливість використання в математичних моделях прийняття рішень багатовимірного складного пуасонівського процесу, керованого ланцюгом Маркова з неперервним часом. Приведено визначення такого процесу та наведено приклади його застосування до формалізації понять «невизначеність» і «ризик», побудови функції ризику і цільової функції відповідних оптимізаційних задач. Запропоновано декілька підходів до їх розв’язання: безпосередній аналітичний підхід, який полягає в знаходженні функції ризику, та метод, побудований на використанні граничних теорем теорії випадкових процесів, для знаходженні наближених розв’язків.
format	Article
author	Война, А.А.
author_facet	Война, А.А.
author_sort	Война, А.А.
title	Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса
title_short	Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса
title_full	Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса
title_fullStr	Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса
title_full_unstemmed	Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса
title_sort	асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84225
citation_txt	Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса / А.А. Война // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 165-175. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT vojnaaa asimptotičeskaâoptimizaciâdlâstohastičeskihmodelejpostroennyhnaosnovaniisložnogopuassonovskogoprocessa
first_indexed	2025-07-06T11:10:18Z
last_indexed	2025-07-06T11:10:18Z
_version_	1836895666040733696
fulltext	ÓÄÊ 519.21 À.À. ÂÎÉÍÀ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÄËß ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ, ÏÎÑÒÐÎÅÍÍÛÕ ÍÀ ÎÑÍÎÂÀÍÈÈ ÑËÎÆÍÎÃÎ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ, öåïü Ìàðêîâà, ôóíêöèÿ ðèñêà, îïòèìàëüíîå ðåøåíèå, àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç, ïðåäåëüíàÿ ìîäåëü, ïðèáëè- æåííîå ðåøåíèå. Èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïðèíÿòèÿ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè ïðåäóñìàòðèâàåò ôîðìàëèçàöèþ ôàêòîðà íåîïðå- äåëåííîñòè, à òàêæå ïîñòðîåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè öåëè [10]. Ïîýòîìó ïîëåçíîé â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèÿõ ìîæåò áûòü ðàññìîòðåííàÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå îáùàÿ ìîäåëü, êîòîðóþ îõàðàêòåðèçóåì êàê ìíîãîìåðíûé ñëîæíûé ïóàñ- ñîíîâñêèé ïðîöåññ, óïðàâëÿåìûé öåïüþ Ìàðêîâà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì. Ïî- ëó÷åííûå çäåñü ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò íàõîäèòü ôóíêöèþ ðèñêà â ïðåäëîæåí- íîé ìîäåëè, èñïîëüçóÿ òî÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ôîðìóëû. Êðîìå òîãî, â ñòàòüå ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ìîæíî ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿòü ìåòîäû àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïðèâåäåì âíà÷àëå êîíñòðóêòèâíîå îïðåäåëåíèå óïðàâëÿåìîãî ïóàññîíîâ- ñêîãî ïðîöåññà, îïèðàÿñü íà åãî èíòåðïðåòàöèþ â ïðèêëàäíûõ ìîäåëÿõ. Ïóñòü îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé: Z { }� 1 2, , ,� m . Ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèé èññëåäóåìîé ñèñòåìû îïèñûâàåò öåïü Ìàðêî- âà x t( ), t � 0, ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, ñ ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Z { }� 1 2, , ,� m è ìàòðèöåé èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäîâ A aij� [ ], i j m, , , ,�1 2 � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ i�Z îïðåäåëåíà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � i ñ ôóíêöèåé ðàñ- ïðåäåëåíèÿ U x P x i mi i( ) , , , ,� � � �{ } Z { }� 1 2 � . Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� I P êðîìå öåïè x t t( ), � 0, è ñåìåéñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { Z}� i i, � îïðåäåëåí íåçàâèñèìûé îò íèõ ïóàññî- íîâñêèé ïðîöåññ �( ),t t � 0, ñ ïàðàìåòðîì �. Ïóñòü òàêæå òî÷å÷íûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ S k( ) [ , )� � 0 ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì k � 0 1 2, , ,� îïèñûâàåò ïîòîê ñî- áûòèé ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà �( ),t t � 0, ò.å. S ( )0 0� , �( ) : ( )t k S k t� max { }. Ìíîãîìåðíûì ñëîæíûì ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì, óïðàâëÿåìûì öåïüþ Ìàðêîâà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíûé ñëó÷àéíûé ïðî- öåññ � � � �( ) ( ), ( ), , ( )t t t tm� { }1 2 � , êîòîðûé ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t � 0 ïî- ëàãàåì �( ) }0 0 0 0� { , , , m � � �� . Èçìåíåíèÿ êîîðäèíàò ïðîöåññà �( )t ïðîèñõîäÿò â ìîìåíòû âðåìåíè S k( ), ïðè÷åì åñëè x S k i( ( )) � , òî çíà÷åíèå êîîðäèíàòû � i t( ) óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó � i : � � �i i iS k S k( ( ) ) ( ( ))� � �0 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 165 � À.À. Âîéíà, 2011 Âñå îñòàëüíûå êîîðäèíàòû íå èçìåíÿþòñÿ: � �j jS k S k j i j( ( ) ) ( ( )), ,� � � �0 Z . Ïóñòü z z z zm� �{ }1 2 0, , ,� — íåêîòîðûé âåêòîð ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîîð- äèíàòàìè � �i i iz t t z i m( ) min { : ( ) }, , ,� �1 � , � � � � �( ) ( , , , ) min { ( ), ( ), , ( )}z z z z z z zm m� �1 2 1 2� � , ò.å. �( , , , )z z zm1 2 � — ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ ïðîöåññîì � � �( ) ( ), ( ),t t t� { 1 2 � �, ( )�m t } óðîâíÿ z z z zm� { }1 2, , ,� . Â ïðèêëàäíûõ ìîäåëÿõ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷è- íà �( )z ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ôàêòîð íåîïðåäåëåííîñòè [10, ñ. 33] èññëåäóåìîé ñèñòåìû è ñâÿçàííûé ñ íèì ðèñê ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Îïðåäåëèì �( )z , ãäå z z z z Rm m� �{ }1 2, , ,� , êàê ìíîæåñòâî â m-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, äëÿ ýëåìåí- òîâ x x x x zm� �{ }1 2, , , ( )� � êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x z , ò.å. äëÿ âñåõ êîîðäèíàò i m�1 2, , ,� èìååì x zi i . Òîãäà ïîäìíîæåñòâî �( )z R m� ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü, êàê ïðîñòðàíñòâî «áåçîïàñíûõ» äëÿ èññëåäîâàííîé ñèñòåìû ñîñòîÿíèé, à �( , , , )z z zm1 2 � — ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ ïðîöåññîì � � � �( ) ( ), ( ), , ( )t t t tm� { }1 2 � óðîâíÿ z z z zm� { }1 2, , ,� , áóäåò ìîìåíòîì âûõî- äà ñèñòåìû èç ýòîãî ïîäìíîæåñòâà. Â òàêîì ñëó÷àå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ R t z R t z z z P z tm( , ) ( , , , , ) ( )� � �1 2 � { }� ìîìåíòà �( , , , )z z zm1 2 � ìîæíî ðàñ- ñìàòðèâàòü, êàê ôóíêöèþ ðèñêà è èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ öåëåâîé ôóíê- öèè ñîîòâåòñòâóþùåé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è. Ââåäåì ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { Z }� i k i k( ), , , , ,� � 0 1 2 � , íå çàâè- ñÿùèõ îò ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ x t( ), �( )t è òàêèõ, ÷òî äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé èíäåêñà k âåëè÷èíû � i k( ) âçàèìíî íåçàâèñèìû, èõ ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò èíäåêñà k è îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ U xi ( ), i m�1 2, , ,� . Ïóñòü ñèìâîë S k( ) äëÿ íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèé k �1 2, , ... îçíà÷àåò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, èìåþùóþ ðàñïðåäåëåíèå Ýðëàíãà ñ ïàðàìåòðàìè ( , )k � . Îïðåäåëèì îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì �( ), , , ,k k � 0 1 2 � , êîòîðàÿ èìååò êîíå÷- íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé Z { }� 1 2, , ,� m . Íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå öåïè �( )k ñî- âïàäàåò ñ íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ïðîöåññà x t t( ), � 0, à ýëåìåíòû pij ìàòðè- öû P pij� \| \| \| \|, i j m, , , ,�1 2 � , ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé çà îäèí øàã îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé p p a i j mij ij ik kj k m � � � � � �� , , , , , 1 1 2 � . (1) Îáîçíà÷èì � � � �n i k k n i k i( ) [ ( ) ]( )� � � � � 1 , �j n jz n j z j m( ) min : ( ) }, , , ,� �{ 1 2 � , ( ) ( , , , ) min ( ), ( ), , ( )z z z z z z zm m� �1 2 1 2� �{ }, ãäå �( )A — èíäèêàòîð ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A, ò.å. �( )A �1, åñëè ñîáûòèå A ñîñòîÿëîñü, è �( )A � 0 — â ïðîòèâíîì ñëó÷àå; �ij i j i j � � � � � � 1 0 , , , . åñëè åñëè Òåîðåìà 1. Äëÿ ìíîãîìåðíîãî ñëîæíîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, óïðàâëÿ- åìîãî öåïüþ Ìàðêîâà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, ôóíêöèþ ðèñêà ìîæíî îïðåäå- ëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 R t z z z P S z tm( , , , , ) ( ( ))1 2 � � �{ } , (2) èëè ýêâèâàëåíòíî R t z z z P t zm( , , , , ) ( )1 2 1� � � �{ } , (3) ãäå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: ( ) ( ), ( ), , ( )t t t tm� { }1 2 � , � � � �i t i k k t t i k i i m( ) ( ) [ ( ) ], , , ,( ) ( ) ( ) � � � � � � �� 1 1 2 � . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî îïèñàííàÿ â òåîðåìå 1 öåïü Ìàðêî- âà �( ), , , ,k k � 0 1 2 �, îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå öåïè x t( ) â ìîìåíò íàñòóïëåíèÿ k-ãî ïî ïîðÿäêó ñîáûòèÿ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà �( )t , t � 0, ò.å. �( ) ( ( )), , , ,k x S k k� � 0 1 2 � Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü p t P x t j x iij ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � 0 îçíà÷àåò ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ öåïè x t( ), à ~ ( ) ( )p s e p t dtij st ij� � � 0 — åå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà. Ïóñòü äàëåå ñèìâîë �1 îçíà÷àåò ìîìåíò íà- ñòóïëåíèÿ ïåðâîãî ïî ïîðÿäêó ñîáûòèÿ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà �( ),t t � 0 . Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî �1 èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì �, ïî- ëó÷èì p P j i P x S j x S iij � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 1 0 1 0 � � � � � � �� P x j x i P x t j x i v ( ) ( ) ( ) ( ) � 1 0 0 0 � ��e dtvt � � � � �� v e p t dt v p vt ij ij � ( ) ~ ( ) 0 . (4) Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöà P p i m j mij( ) [ ~ ( )], , , , , ,� � �� 1 1� � , ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé. Âû÷èñëÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êàæäîãî óðàâíå- íèÿ ïðÿìîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà äëÿ ïåðåõîä- íîé ôóíêöèè p tij ( ), ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâ- íåíèé s p s p s a i j mij ij ik kj k m � � � � � � �~ ( ) ~ ( ) , , , , ,� 1 1 2 � , îòêóäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (4) ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (1) äëÿ îïðåäåëå- íèÿ ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé öåïè Ìàðêîâà �( )k . Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ñëó- ÷àéíûõ ïðîöåññîâ � � � �( ) ( ), ( ), , ( )t t t tm� { }1 2 � è { }� n i i m( ), , , ,�1 2 � ïðèõî- äèì ê âûâîäó, ÷òî äëÿ ìîìåíòà ïåðåñå÷åíèÿ óðîâíÿ z z z zm� { }1 2, , ,� ïðîöåñ- ñîì �( )t èìååò ìåñòî � ( ) ( ( ))z S z� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 167 Ïîýòîìó ðàâåíñòâî (2) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ðèñ- êà R t z( , ) . Ïîñêîëüêó � � i t it i t( ) ( ) ( )( )� �� , òî ñîãëàñíî ñîáûòèþ { } ( )t z� â èíòåðâàëå [ , )0 t ìíîãîìåðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( )t áóäåò íàõîäèòüñÿ â ïîäìíîæåñòâå �( )z . Ýòî è äîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (3). Òåîðåìà 1 ïîçâîëÿåò îïèñàòü ìíîãîìåðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì �( ),t t � 0, ñ ïîìîùüþ ñõåìû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïðåäåëåííûõ íà äèñ- êðåòíîé öåïè Ìàðêîâà [9]. Ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó 2, êîòîðàÿ äàåò âîçìîæíîñòü àíàëèòè÷åñêè âû÷èñëèòü ôóíêöèþ ðèñêà R t z z zm( , , , , )1 2 � , è îïèøåì êîíöåïöèþ åå äîêàçàòåëüñòâà (òåõíè÷åñêèå äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [3, 4], ãäå ïðèâåäåíû òàêæå ïðèìåðû ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïîäîáíûõ ìîäåëåé). Îáîçíà÷èì ~ ( ) [ ] ( ) ( ) u s E e e dU xi i s s x i i i i� �� 1 0 è îïðåäåëèì äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ðàçìåðà m m� ~ ( , , , ) [~ ( ), , , , ]U s s s u s i mm i i1 2 1 2� �� diag ñ ýëåìåíòàìè ~ ( )u si i íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ââåäåì òàêæå ôóíêöèþ � ~( , , , , ) ( , , , )r w s s s e e d R t x xm m s x s x wt t m m m 1 2 1 1 1 � � � �� 0 1 00 �� ! ! dx dxm ... . Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñîñòîÿíèÿ i m�{ }1 2, , ,� âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå: P i{� �0 1} . Òîãäà ~( , , , , ) ~ ( , , )r w s s s P E w P U s sm m1 2 1 1 � �� " # $ % & ' � � � � � � � � � � � � � ( ~ ( , , )) ( ) E U s s I w s s m m 1 1 � � � � , (5) ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m m� , I — m-ìåðíûé åäèíè÷íûé âåê- òîð-ñòîëáåö; � � � �� { }1 2, , ,� m — âåêòîð íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåñ- ñà x t t( ), � 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ñåìåéñòâî óñëîâíûõ ôóíêöèé ðèñêà ñëåäóþ- ùèì îáðàçîì: R t z P z t z j iij ( , ) ( ) ; ( ( )) ( ) � � � � � � � � � � � � � 0 . (6) Ââåäåì ìíîæåñòâî {F t z z iij n m ( ) ( , , , ), ,1 1� �� , m j m, , ,�1 � }, n � 0 1 2, , ,� , óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F t z P S n t z m z n j ij n n n m( ) ( , ) ( ) ; ( ) , , ( ) , ( ) ( � � � � � �� 1 11 � 0) � � � � � � �i è ìíîæåñòâî { ~ ( , , , ), , ,( )F w s s i mij n m1 1� �� , j m�1, ,� }, n � 0 1 2, , ,� , óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ~ ( , , , ) [ ( ( ) ( ) ( ) F w s s E e e n ij n m w S n s l l m l n 1 1 � � � �� ( � � � 1 0 ) ] ( ) � � � � � � � � � ! ! ! ! j i� . (7) 168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 Îáîçíà÷èì ~ ( , , , ) [ ~ ( , , , )], , , , ,( ) ( )F w s s F w s s i m jn m ij n m1 1 1 1� � �� , m, ìàòðèöó, ñîñòàâëåííóþ èç óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé (7). Ñîãëàñíî ïðèíÿòûì ïðåäïîëîæåíèÿì ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí { }� i i m, , ,�1 � è ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ �( ),t t � 0, âçàèìíî íåçàâèñèìû, à äëÿ ñëó÷àéíîé âå- ëè÷èíû S k( ) ïðè ëþáîì k �1 2, ,� ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî S k k( ) � � �� 1 � , ãäå � �1, ,� k — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì �. Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F t zij n( ) ( , ), ñâîéñòâ öåïåé Ìàðêîâà, à òàêæå ðàññóæäå- íèé, àíàëîãè÷íûõ èçëîæåííûì â ðàáîòàõ [3, 4], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà ~ ( , )( )F w sn îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì ~ ( , ) [ ~ ( , )]( )F w s P P H w sn n� � � , ãäå ~ ( , , , ) ~ ( , , )H w s s w U s sm m1 1� �� . Åñëè ~ ( , )R w s îçíà÷àåò ìàòðèöó ïðåîá- ðàçîâàíèé Ëàïëàñà–Ñòèëòüåñà óñëîâíûõ ôóíêöèé ðèñêà (6), ò.å. ìàòðèöó, ñî- ñòàâëåííóþ èç ôóíêöèé � ~ ( , ) ( , , , )r w s e e d R t x xij m s x s x wt t ij m m m� � � � � �� 0 1 0 1 1 �� ! ! dx dxm ... 1 0 , òî ìîæíî äîêàçàòü ðàâåíñòâî ~ ( , ) [ ~ ( , )] ( , )R w s P P H w s D w sn n � � � " # $ $ % & ' ' � � � 0 , ãäå D w s d w sii( , ) [ ( , )� diag , i m�1 2, , , ]� — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m m� ñ ýëåìåíòàìè d w s u s w s s i mii i i m ( , ) ( ~ ( )) ( ) , , ,� � � � � � � � � � 1 1 1 � � , íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïðèíÿòûå óñëîâèÿ ãàðàíòèðóþò ñõîäèìîñòü ìàòðè÷íîãî ðÿäà â ôîðìóëå, îïðåäåëÿþùåé ìàòðèöó ~ ( , )R w s , ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 2. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñëîæíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ, óïðàâëÿåìûé ïðî- ñòûì ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì ðåãåíåðàöèè, èëè ÷àñòíûé ñëó÷àé èçëîæåííîé ìî- äåëè, êîãäà ïðîöåññ x t( ) èìååò äâà ñîñòîÿíèÿ: Z { }� 1 2, , à ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ ÿâëÿåòñÿ ïîêàçàòåëüíûì. Ïóñòü, êàê è ðàíåå, �( )t , t � 0, — ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì �, à x t( ), t � 0, — ïðîñòîé ìàðêîâ- ñêèé ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè ñ ïàðàìåòðàìè ( , ) . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìÿ ïðåáû- âàíèÿ ïðîöåññà x t( ) â ñîñòîÿíèè { }1 ÿâëÿåòñÿ ïîêàçàòåëüíûì ñ ïàðàìåòðîì , â ñîñòîÿíèè { }2 — ïîêàçàòåëüíûì ñ ïàðàìåòðîì . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïðåäåëåíû äâå ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: �k , k � 0 1 2, , ,� , è � k , k � 0 1 2, , ,� , íå çà- âèñèìûõ îò ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ �( )t è x t( ), âçàèìíî íåçàâèñèìûõ äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé èíäåêñà k, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðûõ íå çàâèñèò îò èíäåêñà k, à S k( ) , k �1 2, ,� , îçíà÷àåò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, èìåþùóþ ðàñïðåäåëåíèå Ýðëàíãà ñ ïàðàìåòðàìè ( , )k � . Ñëîæíûì ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì, óïðàâëÿåìûì ïðîñòûì ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì ðåãåíåðàöèè, íàçîâåì äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( ( )� t , �( ))t , t � 0, ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 169 îïðåäåëåííûé ñëåäóþùèì îáðàçîì: � � �( ) [ ( ( )) ] ( ) t x S ki k t � � � � � 1 1 � ; � � �( ) [ ( ( )) ] ( ) t x S ki k t � � � � � 2 1 � . Ïóñòü �1 1( ) : ( )z t t z� min { }, �2 2( ) : ( )z t t z� min { }, �( , )z z1 2 — ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ ïðîöåññîì ( ( ), ( ))� �t t óðîâíÿ z z z� { }1 2, , � ( , ) ( ), ( )z z z z1 2 1 2� min { }. Ôóíêöèþ R t z z P z z t( , , ) ( , )1 2 1 2� { }� ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, êàê ôóíêöèþ ðèñêà â ìîäåëÿõ, ïîñòðîåííûõ íà îñíîâà- íèè ïðîöåññà ( ( ), ( ))� �t t , t � 0. Ââåäåì ôóíêöèþ r w s s e e d R t z z d s z s z wt t( , , ) ( , , )1 2 1 2 0 1 1 2 2� " # $ $ % & ' ' � � � � z dz2 1 00 �� . Òåîðåìà 3. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � i , i � 0 1 2, , ,� , è � j , j � 0 1 2, , ,� , èìåþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâåííî ñ ïàðàìåòðàìè k è d: U x K x P x ei kx 1 1( ) ( )� � � � � �{ }� , U x D x P x ei dx 2 1( ) ( )� � � � � �{ }� , â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t � 0 ïðîöåññ x t( ) íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè { }1 P x{ }( )0 1 1� � , òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî r w s s w d s B d s w k s d s V ( , , ) [( )( ) ] ( ) ( )( ) 1 2 2 2 2 1 2 � � � � � � � � � � � ( , , )w s s1 2 � � � � � � B k s w w k s d s V w s s � � 1 1 2 1 2( )( )( )( ) ( , , ) , ãäå V w s s w d k s k d s ( , , ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 21� � � � � � � � � � � � � � � � ( )( )k s d s� � � 1 2 � � � � � � � 3 2 1 2( ) ( )( )w kd k s d s , B � � � � � . Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 2. Ñîãëàñíî ïðèíÿòûì â òåîðåìå 3 ïðåäïîëîæåíèÿì ~ ( ) ( )u s E e k k s s 1 1 1� � � � � , ~ ( ) ( )u s E e d d s s 2 2 2� � � � � . 170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 Ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäîâ A aij� [ ] , i j, ,�1 2, äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé â òåîðåìå 3 öåïè Ìàðêîâà x t( ) èìååò âèä A � � � � � � � ! . Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (1) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé öåïè Ìàðêîâà �( )k ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä: p p p p p p p p 11 11 12 12 12 11 22 22 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � , , � � � � � � � � � � � � �� p p p p 21 21 21 22 , . Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî p p p p 11 12 21 22 1 1 � � � � � � � , , ïîëó÷èì P � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ! ! ! � � � � � � � . Îêîí÷àòåëüíîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 ïîëó÷èì íåïîñðåäñòâåííî èç òåî- ðåìû 2, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5) è ïðîèçâîäÿ íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî èññëåäóåìàÿ â òåîðåìå 1 è òåîðåìå 2 ñèñòåìà äîëæíà èñïîëíÿòü ñâîè ôóíêöèè íà ïðîòÿæåíèè íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà âðåìå- íè [ , ]0 T . «Óñïåøíîå» åå ôóíêöèîíèðîâàíèå îçíà÷àåò, ÷òî íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ýòîãî âðåìåíè îíà áóäåò íàõîäèòüñÿ âî ìíîæåñòâå «áåçîïàñíûõ» äëÿ íåå ñîñòîÿ- íèé. Ïóñòü, êðîìå òîãî, âåêòîð z z z zm� �{ }1 2 0, , ,� , êîòîðûé îïðåäåëÿåò ïðî- ñòðàíñòâî �( )z R m� «áåçîïàñíûõ» äëÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû ñîñòîÿíèé, èìååò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: ñóììà êîîðäèíàò âåêòîðà z z z zm� { }1 2, , ,� ïîñòîÿííà è ðàâíà D, ò.å. z z z Dm1 2� � � �� . Ôóíêöèÿ R T z z zm( , , , , )1 2 � îïðåäåëÿåò âåðîÿò- íîñòü âîçíèêíîâåíèÿ «àâàðèéíîé ñèòóàöèè» è ìîæåò áûòü ôóíêöèåé ðèñêà ñèñòåìû. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ îïòè- ìàëüíîé ñòðóêòóðû ñèñòåìû, ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òîáû íàéòè òàêîé âåêòîð d d d dm� { }1 2, , ,� , äëÿ êîòîðîãî d d d Dm1 2� � � �� , (8) d d dm1 20 0 0� � �, , ,� , (9) ïðè ýòîì R T d d dm( , , , , ) min1 2 � ) . (10) Èç ñôîðìóëèðîâàííûõ âûøå òåîðåì ñëåäóåò, ÷òî äàæå â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è óñëîæíåíî, ïîñêîëüêó ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ~( , , , , )r w s s sm1 2 � íå âñåãäà ïðîñòî âîññòàíîâèòü ôóíêöèþ R T d d dm( , , , , )1 2 � . Ïîýòîìó äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ áîëåå ïðèåìëåìûì áóäåò ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè, ñîãëàñíî êîòîðîìó âíà÷àëå íåîáõîäèìî ïðîâåñòè àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç èññëåäóåìîé ìîäåëè, à çàòåì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 171 íàõîäèòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è íà îñíîâàíèè ïðåäåëüíîé ìîäåëè. Îñíîâíûì ïðåäïîëîæåíèåì, ïîçâîëÿþùèì èñïîëüçîâàòü ìåòîä àñèìïòîòè- ÷åñêîé îïòèìèçàöèè äëÿ ñëó÷àÿ ñëîæíîãî óïðàâëÿåìîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåñ- ñà, ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåçà, ñîãëàñíî êîòîðîé � i D�� äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ i m� �Z { }1 2, , ,� , è ïðè ýòîì èíòåíñèâíîñòü � ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà �( )t äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ. Ïîñêîëüêó äëÿ òî÷å÷íîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà S k( ), k �1 2, ,� , ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå S k k( ) � � � �� 1 2 � , ãäå � i i k, , , ,�1 2 � , — íåçàâèñèìûå ìåæäó ñîáîé ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþ- ùèå ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì �, òî ïðèíÿòîå ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà � i ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíû- ìè ñîáûòèÿìè ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà �( )t çíà÷èòåëüíî ìåíüøå äëèíû T ïðîìåæóòêà âðåìåíè, â êîòîðîì ñèñòåìà äîëæíà ôóíêöèîíèðîâàòü «áåç àâàðèé»: � i T i�� , , ,1 2 � Ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ïàðàìåòðè÷åñêîé ìîäåëè, çàâèñÿùåé îò ìàëîãî ïàðàìåòðà �, è èññëå- äîâàíèè åå ïîâåäåíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî � ) 0 (íàïðèìåð, [1, 6–8]). Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñïåöèàëüíûõ ìíîãîìåðíûõ ñõåì îñòàíîâêè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ïîëó÷åííûå â ðàáîòàõ [1, 2, 5, 7, 8], äàþò òåîðåòè÷åñêèå ïðåäïîñûëêè ñ÷èòàòü ïðåäåëüíóþ ìîäåëü ïðèáëèæåíèåì ê èñõîäíîé. «Ïðèáëèæåííàÿ» ìîäåëü ñ ìàòå- ìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ çíà÷èòåëüíî óïðîùåííàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òî÷íîé, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü åå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ñôîðìóëèðî- âàííîé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è. Ïàðàìåòðèçàöèÿ èññëåäóåìîé â íàñòîÿùåé ñòàòüå ìîäåëè ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èñõîäíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí çàâèñèò îò íåêîòîðîãî ìàëîãî ïàðàìåòðà �, ò.å. { Z }� � �i k i k( ) , ( ), , , , , ,� � 0 1 2 0� , ïðè÷åì çàâèñèò òàêèì îáðàçîì, ÷òî â íåêîòîðîì ñìûñëå � �i k( ) ( ) ) 0 ïðè � ) 0. Ïàðàìåòð � �( ), � 0, ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà çàâèñèò îò òîãî æå ìàëîãî ïàðà- ìåòðà � òàêèì îáðàçîì, ÷òî � �( ) ) ïðè � ) 0 . Ââåäåì ôóíêöèè u s E e i mi s i � � � ( ) ( ), , , , ( ) ( )� �� 1 1 2{ }� . Ìàòðèöà A a i j mij( ) [ ( )], , , , ,� �� 1 2 � , èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäîâ öåïè Ìàðêîâà çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà � òàêèì îáðàçîì, ÷òî aij ( )� ) ïðè � ) 0 äëÿ ïðîèçâîëüíûõ i j m, , , ,�1 2 � . Íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå q qi( ) ( ),� �� { i m�1, ,� } öåïè Ìàðêîâà ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîìó ðàñïðåäåëåíèþ q q( ) ( )� ) 0 ïðè � ) 0. Ïóñòü n� — íåêîòîðàÿ íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî n� ) ïðè � ) 0. Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì x t� ( ), t � 0, öåïü Ìàðêîâà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, êîòî- ðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäîâ A( )� , è íà÷àëüíûì ðàñïðå- äåëåíèåì q( )� , à ñèìâîëîì �� ( ),t t � 0, — ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì � �( ). Ïóñòü S k� ( ), k � 0 1 2, , ,� , — ñîîòâåòñòâóþùèé äëÿ �� ( )t , t � 0, òî÷å÷íûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Îïðåäåëèì ìíîãîìåðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâ- íûì âðåìåíåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: � � � �� ( ) ( , ), ( , ), , ( , )t t t t m� { }1 2 � , ãäå � � � �� ( , ) ( ) [ ( ( )) ], , , ,( ) [ ] t i x S k i ii k k n t � � � � � � � 1 1 2 � m , 172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 à ñèìâîë [ ]a îçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà a: [ ] [ ]a a a � �1. Ïóñòü òàêæå �� ( )t , t � 0, — ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, �� ( ) ([ ]),t S n t t� � � 0, à âåëè÷èíû p i j mij ( ), , , , ,� �1 2 � , ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé p b p b i j mij ij ik kj k j ij( )( ( )) ( ) , , , , ,� � � �1 1 2� � � � � � � � , ãäå b a ij ij ( ) ( ) ( ) � � � � � , i j m, , , ,�1 2 � . Òåîðåìà 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé ìîäåëè âûïîëíåíû ñëå- äóþùåå óñëîâèÿ. 1. Ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå u s n a s o n i i� � � ( ) ( )� � � " # $$ % & ''1 1 1 , i m� { }1 2 0, , , ,� � , (ò.å. äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ i m�{ }1 2, , ,� ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè- ÷èíû � �i ( ) ( )1 íàõîäèòñÿ â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ íåêîòîðîãî áåçãðàíè÷íî äåëèìî- ãî çàêîíà ñ êóìóëÿíòîé a sj ( ) [5]). 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé i j m, , , ,�1 2 � ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim � � ) � � 0 0 1 2p p i j mij ij( ) ( ), , , , ,� . 3. Ìàòðèöà P p i j mij( ) [ ( )], , , , ,0 0 1 2� � � , ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñòîõàñòè÷åñêîé, à îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà � 0 ( )k , k � 0 1 2, , ,� , ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì è ñ êî- íå÷íûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Z { }� 1 2, , ,� m , â êîòîðîé ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè çà îäèí øàã îïðåäåëÿþòñÿ ìàòðèöåé P ( )0 , íåïðèâîäèìà è íåïåðèîäè÷åñêàÿ. 4. Ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim � � � � � ) � 0 0 ( ) n . Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ öåïè x t� ( ), t � 0, êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z t t t t t t t� � � � � � �� ( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( , ), ( , ), , ( ,� � 1 2 � m t)), ,� 0 0� , ñõîäÿòñÿ ñëàáî ïðè � ) 0 ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì âåêòîðíîãî ñëó- ÷àéíîãî ïðîöåññà z t t t t t t t m t( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( , ), ( , ), , ( , )),� � �� 1 2 0� . Êðîìå òîãî, èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïðîöåññà z t� ( ) â J-òîïîëîãèè Ñêîðîõîäà z t z t J � � ( ) ( )* )0 , ò.å. äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà t 0 è ïðîèçâîëüíîãî íåïðå- ðûâíîãî íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè [ , ]0 t â J-òîïîëîãèè Ñêîðîõîäà ôóíêöèîíà- ëà f ðàñïðåäåëåíèå f z t( ( ))� ñõîäèòñÿ ñëàáî ïðè � ) 0 ê ðàñïðåäåëåíèþ f z t( ( ))� . Ïðè ýòîì êîîðäèíàòû ïðåäåëüíîãî ïðîöåññà z t( ) èìåþò ñòðóêòóðó � � ( ) ,t t t� � 0 0 , � � �( , ) ( ), , , ,t j t j mj j� � �0 1 2{ }� , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 173 ãäå { }� j t j m t0 1 2 0( ), , , , ,� �� , îçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü íåçàâèñèìûõ ìåæäó ñî- áîé îäíîðîäíûõ ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè ñ êóìóëÿíòàìè a sj ( ), j m�1 2, , ,� . Âåêòîð � � � �� ( , , , )1 2 � m ïðåäñòàâëÿåò ñòàöèîíàðíîå ðàñ- ïðåäåëåíèå öåïè Ìàðêîâà � 0 ( )k , k � 0 1 2, , ,� , è îïðåäåëÿåòñÿ êàê åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé � �� P ( )0 , � � �1 2 1� � � �� m . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 ïðåäïîëàãàåò èñïîëüçîâàíèå ñïåöèàëüíûõ ìåòîäîâ èç îáëàñòè ïðåäåëüíûõ òåîðåì òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ ññûëêàìè íà ðàáîòû [8, c. 212] è [5, c. 525]. Ðàññìîòðèì âàæíûé ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé ÷àñòíûé ñëó- ÷àé òåîðåìû 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: E a o a j mj s j j[ ( )] ( ), , , , ,( )� � � �� 0 1 2 � ; � � � � �� ( ) ,� ; a a i j mij ij ( ) , , , , ,� � � �1 2 � . Ïîëîæèì n� � � 1 , è ïóñòü R T d d dm� ( , , , , )1 2 � — ôóíêöèÿ ðèñêà äëÿ ïàðàìåò- ðè÷åñêîé ìîäåëè. Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ôóíêöèé u si� ( ), i m�{ }1 2, , ,� , ñïðàâåäëè- âî ïðåäñòàâëåíèå u s s a o i mi i� � �( ) ( ) ( ), , , ,� � � � � �1 1 2{ }� , �� , è ïîâåäåíèå ôóíêöèè ðèñêà ïðè óñëîâèè, ÷òî � ) 0, ìîæíî èññëåäîâàòü, èñ- ïîëüçóÿ òåîðåìó 2. Çàìåòèì, ÷òî òàêîé ïîäõîä ñîïðÿæåí ñ áîëüøûìè àíàëè- òè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè, â òî âðåìÿ êàê èñïîëüçîâàíèå òåîðåìû 4 ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü òîò æå ðåçóëüòàò çíà÷èòåëüíî ïðîùå. Ïðè ïðèíÿòûõ ïðåäïîëîæåíè- ÿõ êîîðäèíàòà �( )t ïðåäåëüíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z t( ) áóäåò íåñëó÷àéíîé ôóíêöèåé: � � ( ) ,t t t� � 0. Êîîðäèíàòû [ ( , ), ( , ), , ( , )],� � �t t t m t1 2 0� � , áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèÿìè � �( , ) , , , , ,t j a t t j mj j� � � � �0 1 2 � , ãäå âåêòîð � � � �� ( , , , )1 2 � m ïðåäñòàâëÿåò ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå îä- íîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà, äëÿ êîòîðîé ìàòðèöà P pij� [ ] , i j m, , , ,�1 2 � , ïåðå- õîäíûõ âåðîÿòíîñòåé çà îäèí øàã îïðåäåëÿåòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé p a p a j mij ij ik kj k j ij� � " # $ $ % & ' '� � � � � �1 1 2 � � � , , , ,� . Èñõîäÿ èç ýòîãî, ìîæíî íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (8)–(10), êîòî- ðîå îïðåäåëÿåò îïòèìàëüíóþ ñòðóêòóðó ñèñòåìû. Îïèðàÿñü íà òåîðåìû 1 è 4, ìîæ- íî óòâåðæäàòü, ÷òî lim åñëè åñëè� � � � ) � 0 1 2 1 0 R T d d d d T d m( , , , , ) , ( ( )) ; , ( ( � )) . � � � T Ïðè ýòîì � � � ( ( )) * * * d d a j j j � � � 1 , 174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 ãäå d a d a d a j j j m m m * * * , , � � �� min 1 1 1 � . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñõîäÿ èç âåðîÿòíîñòè âîçíèêíîâåíèÿ â ñèñòåìå «àâàðèéíîé ñèòóàöèè», îïòèìàëüíûì áóäåò âûáîð âåêòîðà d d d dm* , , ,* * � { }1 2 � òàêèì îá- ðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ d d d Dm1 2 * � � � �� , d d dm1 20 0 0 * , , ,� � �� , d a d a d a m m m 1 1 1 2 2 2 * * � � �� . Â çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïèñàííûõ â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ðàññìàòðèâàëèñü â ðàáîòàõ [3, 4], ãäå èçó÷àëèñü çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèåì ðèñêîì â ìíîãîìåðíûõ ìîäå- ëÿõ ñòðàõîâàíèÿ è ìîäåëÿõ óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. Êàê ñëåäóåò èç ïîëó÷åííûõ ðå- çóëüòàòîâ, ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ çàäà÷ ìîæíî ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü òî÷- íûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ, à òàêæå íàõîäèòü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ, ïðèìå- íÿÿ ìåòîäû àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À í è ñ è ì î â Â . Â . Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ äèñêðåòíîé êîìïîíåíòîé. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. — Êèåâ: «Âèùà øê.», 1988. — 184 ñ. 2. À í è ñ è ì î â Â . Â . , Â î é í à À . À . Î ñëó÷àéíîé îñòàíîâêå ìíîãîìåðíûõ ïðîöåññîâ // ÄÀÍ ÓÑÑÐ. Ñåð. À. — 1977. — ¹ 9. — C. 771–775. 3. Â î é í à À . À . Óïðàâëåíèå ðèñêîì â ìíîãîìåðíûõ ìîäåëÿõ ñòðàõîâàíèÿ // Æóðí. âû÷èñë. è ïðèêëàä. ìàòåìàòèêè. — 2007. — ¹ 2(95). — C. 13–23. 4. Â î é í à À . A . , Ê ë î ä ç è í ñ ü ê à A . Ôóíêöèÿ ðèñêà â ìíîãîìåðíûõ ìîäåëÿõ óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè, ôóíêöèîíèðóþùèõ â ñëó÷àéíîé ìàðêîâñêîé ñðåäå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 4. — C. 150–155. 5. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 568 ñ. 6. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ìåòîäû ðàñ÷åòà âûñîêîíàäåæíûõ ñèñòåì. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1988. — 176 ñ. 7. Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . , Ò ó ð á è í À . Ô . Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû ôàçîâîãî óêðóïíåíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978, — 220 ñ. 8. Ñ è ë ü â å ñ ò ð î â Ä . Ñ . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëîæíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. — Êèåâ: Âèùà øê., 1974. — 317 ñ. 9. V o i n a A . A . Statistical estimation in a scheme of random variables on Markov chains with in- complete observations // Theor. Prob. and Math. Statist. — 1988. — N 37. — P. 19–28. 10. W o j n a A . Ryzyko w procesach finansowych oraz metody badañ koniunktury. — Politechnika Koszaliñska (Polska), 2009. — 446 s. Ïîñòóïèëà 17.02.2010 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 4 175

Асимптотическая оптимизация для стохастических моделей, построенных на основании сложного пуассоновского процесса

Репозитарії

Схожі ресурси