Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов
Побудовано математичну модель змішаного емпіричного пуасонівського випадкового процесу сегментів (ВПС) на сфері S 2, за допомогою теорії змішаних емпіричних маркірованих точкових процесів. Знайдено моментну міру першого порядку ВПС для сферичних множин спеціального виду...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84239 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов / Н.Г. Семейко // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 119-130. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84239 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-842392015-07-05T03:01:58Z Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов Семейко, Н.Г. Системный анализ Побудовано математичну модель змішаного емпіричного пуасонівського випадкового процесу сегментів (ВПС) на сфері S 2, за допомогою теорії змішаних емпіричних маркірованих точкових процесів. Знайдено моментну міру першого порядку ВПС для сферичних множин спеціального виду A mathematical model of a mixed empirical Poisson random cap process (RCP) on the sphere S 2 is investigated using the theory of mixed empirical marked point processes. The first-order moment measure of the RCP is proposed for spherical sets of special forms 2011 Article Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов / Н.Г. Семейко // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 119-130. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84239 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Семейко, Н.Г. Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов Кибернетика и системный анализ |
| description |
Побудовано математичну модель змішаного емпіричного пуасонівського випадкового процесу сегментів (ВПС) на сфері S 2, за допомогою теорії змішаних емпіричних маркірованих точкових процесів. Знайдено моментну міру першого порядку ВПС для сферичних множин спеціального виду |
| format |
Article |
| author |
Семейко, Н.Г. |
| author_facet |
Семейко, Н.Г. |
| author_sort |
Семейко, Н.Г. |
| title |
Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов |
| title_short |
Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов |
| title_full |
Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов |
| title_fullStr |
Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов |
| title_full_unstemmed |
Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов |
| title_sort |
смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84239 |
| citation_txt |
Смешанный эмпирический пуассоновский случайный процесс сферических сегментов / Н.Г. Семейко // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, № 5. — С. 119-130. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT semejkong smešannyjémpiričeskijpuassonovskijslučajnyjprocesssferičeskihsegmentov |
| first_indexed |
2025-07-06T11:11:08Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:11:08Z |
| _version_ |
1836895718985433088 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Í.Ã. ÑÅÌÅÉÊÎ
ÑÌÅØÀÍÍÛÉ ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÈÉ
ÑËÓ×ÀÉÍÛÉ ÏÐÎÖÅÑÑ ÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÅÃÌÅÍÒÎÂ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñôåðè÷åñêàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, ýìïèðè÷åñêèé
ìàðêèðîâàííûé òî÷å÷íûé ïðîöåññ, ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñåãìåíòîâ, ìîìåíò-
íàÿ ìåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñåãìåíòîâ (ÑÏÑ) íà äâóìåðíîé åâêëèäîâîé ñôåðå
~
S 2 ÿâ-
ëÿåòñÿ âàæíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ â ñôåðè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé ãåîìåò-
ðèè (ÑÃ), ìàòåìàòè÷åñêîé ìîðôîëîãèè è ýôôåêòèâíî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ìîäå-
ëèðîâàíèè è îáðàáîòêå ðåçóëüòàòîâ ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ â ðÿäå åñòåñòâåí-
íûõ íàóê: ìîðôîìåòðèè ìèêðîñòðóêòóð â áèîëîãèè è ìåäèöèíå (âèðóñîëîãèè,
öèòîëîãèè, ãèñòîëîãèè, ãåìàòîëîãèè), ñåëåíîãðàôèè, ñåéñìîëîãèè, êîñìîëîãèè,
àñòðîíîìèè. Ïðèâåäåì ïðèìåðû òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Ïîêðûòèþ ñôåðû
~
S 2 ñëó÷àéíî ðàñïîëîæåííûìè ïîëóñôåðàìè èëè ïîëóñôå-
ðè÷åñêèìè ñåãìåíòàìè áûëî îòäàíî ïðåäïî÷òåíèå êàê ìîäåëè íåéòðàëèçàöèè âè-
ðóñíîé ÷àñòèöû, àòàêóåìîé àíòèòåëàìè. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ê ïîâåðõíîñòè âèðóñíîé
÷àñòèöû (ïðåäïîëîæèòåëüíî ñôåðè÷åñêîé) àíòèòåëà ïðèêðåïëÿþòñÿ ñëó÷àéíî,
à ñàìè àíòèòåëà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëåíüêèå ïîëóñôåðè÷åñêèå ñåãìåíòû [1, 2].
Îñîáûé èíòåðåñ â öèòîëîãèè âûçûâàåò êîëè÷åñòâåííàÿ ìîðôîëîãèÿ (ìîðôî-
ìåòðèÿ) ïîïóëÿöèè ïîð ÿäåðíîé îáîëî÷êè (êàðèîëåììû) ðåöåïòîðíîãî íåéðîíà.
Ðå÷ü èäåò îá îïèñàíèè ïîïóëÿöèè ïîð êàðèîëåììû (ïñåâäîâûïóêëîé ïîâåðõíîñ-
òè) íåéðîíà ñ ïîìîùüþ êîëè÷åñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèê, ïîçâîëÿþùèõ âíîñèòü
ñóùåñòâåííûé âêëàä â ðàçðàáîòêó ïðîãíîçà è èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ñî-
ñòîÿíèÿ êëåòêè è åå ÿäðà â íîðìå, ýêñïåðèìåíòå è ïàòîëîãèè. Â ïåðâîì ïðèáëè-
æåíèè êàðèîëåììó ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñôåðîé
~
S 2 åäèíè÷íîãî ðàäèóñà,
à ïîðû ÑÏÑ — íà ñôåðå
~
S 2 [3].
Èíòåðåñíîå ïðèìåíåíèå òåîðèè ïîêðûòèé íà ñôåðå
~
S 2 ñîâìåñòíî ñ ìîäå-
ëèðîâàíèåì íà ÝÂÌ âñòðå÷àåòñÿ ïðè èçó÷åíèè ëóííûõ êðàòåðîâ [4], èõ ìîäåëè íå-
îáõîäèìû äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî èñòîðèè è ñòðóêòóðà Ëóíû [5].
Èññëåäîâàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ çâåçä è ãàëàêòèê íà íåáåñíîé ñôåðå ïðîâåäåíî
Íåéìàíîì è Ñêîòòîì [6].
Ïîòðåáíîñòü â ìåòîäàõ ñôåðè÷åñêîé Ñà âîçíèêàåò è ïðè ðåøåíèè âîïðîñîâ,
îòíîñÿùèõñÿ ê îõâàòó çåìíîé ïîâåðõíîñòè ñèñòåìîé êîñìè÷åñêîé ñâÿçè ÷åðåç
èñêóññòâåííûå ñïóòíèêè Çåìëè, âðàùàþùèåñÿ ïî ñëó÷àéíûì îðáèòàì. Ê ýòîé æå
êàòåãîðèè îòíîñèòñÿ ïðîáëåìà îáçîðà íåáåñíîé ñôåðû ñëó÷àéíî ðàñïîëîæåííû-
ìè íàáëþäàòåëÿìè [7].
Ñîãëàñíî èäåÿì Äýâèäñîíà è Êåíäàëëà [8] âî ìíîãèõ çàäà÷àõ Ñà ñëó÷àéíûå
ïðîöåññû ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ íóæíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåâîäÿòñÿ â òðà-
åêòîðèè ìàðêèðîâàííûõ òî÷å÷íûõ ïðîöåññîâ (ÌÒÏ) â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðà-
ìåòðè÷åñêèõ (ôàçîâûõ) ïðîñòðàíñòâàõ è èññëåäóþòñÿ êàê òàêîâûå.
 íàñòîÿùèé ñòàòüå ñ ïîìîùüþ òåîðèè ñìåøàííîãî ýìïèðè÷åñêîãî ÌÒÏ
â ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå âïåðâûå ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñìå-
øàííîãî ýìïèðè÷åñêîãî ïóàññîíîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ïîëóñôåðè÷åñêèõ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 119
� Í.Ã. Cåìåéêî, 2011
ñåãìåíòîâ íà ñôåðå
~
S 2 . Ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî óïîðÿäî÷åííîãî òî÷å÷-
íîãî ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûì ìàðêèðîâàíèåì (ÒÏÍÌ) íàéäåíà ìîìåíòíàÿ ìåðà
ïåðâîãî ïîðÿäêà ÌÒÏ ïàðàìåòðîâ, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà âû÷èñëèòü ìîìåíòíóþ
ìåðó ïåðâîãî ïîðÿäêà ÑÏÑ äëÿ ñôåðè÷åñêèõ ìíîæåñòâ ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ðàñ-
ñìîòðåíû äâà ïðèìåðà, êîãäà öåíòðû ïîëóñôåðè÷åñêèõ ñåãìåíòîâ ðàñïðåäåëåíû
íà ñôåðû
~
S 2 ïî ðàâíîìåðíîìó çàêîíó è çàêîíó Ôèøåðà [9].
Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé äàþò âîçìîæíîñòü îöåíèâàòü ïëîòíîñòü è ñðåäíåå
÷èñëî ïîð êàðèîëåììû íåéðîíà [3]. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ
äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòðîåíèÿ êëåòî÷íûõ îðãàíåëë íåéðîíà â îíòîãåíåçå, à òàêæå
åãî ðåàêòèâíûõ èçìåíåíèé ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ âîçäåéñòâèÿõ ïðè ïàòîëîãèè.
ÑËÓ×ÀÉÍÛÉ ÏÐÎÖÅÑÑ ÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÅÃÌÅÍÒÎÂ
Êàê èçâåñòíî, äâóìåðíàÿ åâêëèäîâà ñôåðà
~
\ ( , , ), ( , , ) ( , ) :( , )S S x x x2 2 0 0 1 0 0 1� � � �{ } { }� � � � �
åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ âûêîëîòûìè òî÷êàìè T x1 0 0 1� ( , , ) è T x2 0 0 1� �( , , ) («ñå-
âåðíûé» è «þæíûé» ïîëþñû), ãäå ( , )� � — ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû,
� � � � � � �{ }( , ) : , / /� � � � � � �0 2 2 , ÿâëÿåòñÿ ïðåäêîìïàêòíûì ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì [10], åñëè ðàññòîÿíèå r x x
S
~ ( , )
2 1 2 ìåæäó äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè
íåàíòèïîëÿðíûìè òî÷êàìè x x S1 2
2,
~
� ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
r x x x x
S
~ ( , ) |
2 1 2 1 2� (x x1 2 — íàèìåíüøàÿ äóãà áîëüøîé îêðóæíîñòè ñôåðû
~
S 2 ,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè x1 è x2) [11]. Ñôåðó
~
S 2 âìåñòå ñ �-àëãåáðîé A ~
S 2 åå
áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ ìîæíî íàäåëèòü ñòðóêòóðîé îãðàíè÷åííîãî ïðîñòðà-
íñòâà (ÎÏ) (
~
, , )~ ~S B
S S
2
2 2A [12], ãäå ñîâîêóïíîñòü B
S
~2 âñåõ îãðàíè÷åííûõ
ìíîæåñòâ èç
~
S 2 ñîäåðæèò âñå ïîäìíîæåñòâà èç
~
S 2 .
Èíòåðâàë K A� [ , ]0 , ãäå A çíà÷èòåëüíî ìåíüøå � �( )A�� , ñ âûäåëåííîé
�-àëãåáðîé áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ A K — êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî,
à ñîâîêóïíîñòü BK âñåõ îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ èç K ñîäåðæèò âñå ïîäìíîæåñòâà
èç èíòåðâàëà K.
Ïîñòðîèì îãðàíè÷åííîå ïðîñòðàíñòâî ( , , )Y BY YA , ãäå Y S K� �
~ 2
� � �{ }( ( , ), ) : ( , )
~
,x a x S a K� � � � 2 — äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå îñíîâíûõ ïðî-
ñòðàíñòâ
~
S 2 è K, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïðåäêîìïàêòíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì
ñ ìåòðèêîé r x aY (( , )1 1 , ( , )) ( , ) | | ,~x a r x x a a
S2 2 1 2 1 22�
� A A AY S K� �~2 — �-àë-
ãåáðà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Y (ïðîèçâåäåíèå �-àëãåáð A ~
S 2 è A K ).
Ñòðóêòóðà îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ B B BY S K� �~2
ïðîñòðàíñòâà Y ñîñòîèò èç
ïðîèçâîëüíûõ ïîäìíîæåñòâ èç Y , à ìíîæåñòâî �Y Y YB� �A îãðàíè÷åííûõ èç-
ìåðèìûõ ìíîæåñòâ èç Y ñîâïàäàåò ñ �-àëãåáðîé AY .
Íàïîìíèì [11], ÷òî ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ïîëóñôåðè÷åñ-
êèì, åñëè îíî ñîäåðæèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå â îäíîé ïîëóñôåðå ñôåðû
~
S 2 . Ðàñ-
ñìîòðèì ïîëóñôåðè÷åñêèé çàìêíóòûé ñåãìåíò Q óãëîâîãî (ñôåðè÷åñêîãî) äèà-
ìåòðà a a A( )0 � � ñ öåíòðîì â òî÷êå u Q u a( , ): ( ( , ), )� � � � � {x x S:
~
,� 2
| | /ux a� 2}. Ñåãìåíò Q u a( ( , ), ),� � îãðàíè÷åííûé îêðóæíîñòüþ �Q u a( ( , ), )� � ,
èìååò ïëîùàäü s Q a( ) sin ( / )� 4 42� è ïåðèìåòð p Q a( ) sin ( / )� � 2 2� [11].
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
( (
(
Íà ñôåðå
~
S 2 ðàññìîòðèì êîíå÷íûé óïîðÿäî÷åííûé ÑÏÑ � , êàæäàÿ òðà-
åêòîðèÿ E� êîòîðîãî ñ÷èòàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì, ñîñòîÿùèì èç n
çàìêíóòûõ ïîëóñôåðè÷åñêèõ ñåãìåíòîâ:
E Q u a Q u a Q ui i i i i n n n� � ( ( ( , ), ), , ( ( , ), ), , ( (1 1 1 1 1� � � � �� � , ), ))�n na ,
ðàñïîëîæåííûõ ñëó÷àéíûì îáðàçîì íà
~
S 2 , ãäå ui i i( , )� � — öåíòðû ñåãìåíòîâ,
( , )� �i i — èõ ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû, ai — óãëîâûå äèàìåòðû ñåãìåíòîâ
( )a Ki � , n — ÷èñëî ñåãìåíòîâ òðàåêòîðèè E� , ïðè÷åì äëÿ âñåõ i j,
( ; , , )i j i j n� �1 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå u ui i i j j j i i( , ) ( , )(( , )� � � � � �� �
� ( , ))� �j j è a ai j� . Ñôåðè÷åñêèå ñåãìåíòû Q u ai i i i i( ( , ), )� � òðàåêòîðèè E�
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íà
~
S 2 óïîðÿäî÷åííûìè ïàðàìè [ ( , ); ]u ai i i i� � ,
êîòîðûå îáðàçóþò óïîðÿäî÷åííîå ðàçðåæåííîå ìíîæåñòâî (ÐÌ) E�
* �
� ([ ( , ); ], , [ ( , ); ], , [ ( , ); ]u a u a u ai i i i n n n n1 1 1 1� � � � � �� � ) â îãðàíè÷åííîì ïðî-
ñòðàíñòâå ( , , )Y BY YA .
Ìíîæåñòâî E�
* ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òðàåêòîðèþ êîíå÷íîãî óïîðÿäî-
÷åííîãî ñòðîãî ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî ÌÒÏ ( , , )* * *E X� � �P â ÎÏ (
~
, ~S K
S
2
2 �A
� �A K S KB B, )~2
[13], ãäå
~
S 2 — ïðîñòðàíñòâî ïîëîæåíèé, K — ïðîñòðàíñòâî
ìàðîê, ui i i( , )� � — òî÷êè ïîëîæåíèÿ, ai — èõ ìàðêè. Î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò
âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñåãìåíòàìè Q u ai i i( , ) òðàåêòîðèè EA
è ìàðêèðîâàííûìè òî÷êàìè [ ; ]u ai i ðàçðåæåííîãî ìíîæåñòâà E�
* . Ïîýòîìó ÑÏÑ
� íà ñôåðå
~
S 2 áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê êîíå÷íûé óïîðÿäî÷åííûé ñòðîãî ïðî-
ñòîé ñëó÷àéíûé ÌÒÏ ( , , )* * *E X� � �P â ÎÏ (
~
, , ) :~ ~S K B B
S K S K
2
2 2 � � �A A
�
� ( , , )* * *E X� � �P , èíäóöèðîâàííûé ñåãìåíòàìè íà ãèïåðöèëèíäðå
~
S K2 . Öåíòðû
ui i i( , )� � ñåãìåíòîâ îáðàçóþò óïîðÿäî÷åííîå ïðîñòîå ÐÌ E pr E
S
~ ~ *
� �� �2
� ( ( , ), , ( , ), , ( , ))u u ui i i i n n n� � � � � �1 1 � � â ÎÏ (
~
, , )~ ~S B
S S
2
2 2A , êîòîðîå ìîæ-
íî ñ÷èòàòü òðàåêòîðèåé êîíå÷íîãî óïîðÿäî÷åííîãî ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî òî÷å÷-
íîãî ïðîöåññà (ÒÏ) òî÷åê ïîëîæåíèé �
� � � � � �
~
~ ~ ~ ~
* * *( , , ) ( , , )� �E X E XP P
S
pr 2 íà
ñôåðå
~
S 2 [14].
Òàê êàê ïîëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ñåãìåíòà Q u ai i i i i( ( , ), )� � íà ñôåðå
~
S 2
âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ïàðàìåòðîâ (òî÷êîé)
[ , ; ]� �i i ia ïðîñòðàíñòâà Z K� � , òî êàæäîé òðàåêòîðèè E�
* ñëó÷àéíîãî ïðî-
öåññà � ñîîòâåòñòâóåò óïîðÿäî÷åííîå ñòðîãî ïðîñòîå ðàçðåæåííîå ìíîæåñòâî
ïàðàìåòðîâ
E z z z a aD i n i i i n
* ( , , , ... ) ([ , ; ], , [ , ; ], , [� �1 1 1 1� � �� � � � � , ; ])�n na
â ïðîñòðàíñòâå Z, ïðè÷åì ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, ãäå
z ai i i i� [ , ; ]� � , ( , )� � �i i i� — òî÷êè ïîëîæåíèÿ, ai — èõ ìàðêè è � i j,
( ; , )i j i j n� �1 1 âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ( , ) ( , )� � � � � �i i i j j j� � � è a ai j� .
Òàêèì îáðàçîì, ÑÏÑ íà ñôåðå
~
S 2 ñîîòâåòñòâóåò êîíå÷íûé ñòðîãî ïðîñòîé
ñëó÷àéíûé óïîðÿäî÷åííûé ÌÒÏ (ÓÌÒÏ) ïàðàìåòðîâ D PD D D� ( , , )* * *E X ñ òðàåê-
òîðèÿìè ED
* â ÎÏ ( , , )Z BZ ZA , ãäå A A A AZ K� �� �, — �-àëãåáðà èçìå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 121
ðèìûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ïîëîæåíèé �, B B BZ K� ��
, B� — ñòðóêòóðà
îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ (ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîäìíîæåñòâ) ïðîñòðàíñòâà �.
Òî÷êè ïîëîæåíèÿ ( , )� �i i ÌÒÏ D îáðàçóþò óïîðÿäî÷åííîå ïðîñòîå ÐÌ
E pr E
D D i i n n~ * (( , ), , ( , ), , ( , ))� �� � � � � � �1 1 � � , êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü òðà-
åêòîðèåé êîíå÷íîãî óïîðÿäî÷åííîãî ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî ÒÏ òî÷åê ïîëî-
æåíèé D E X
D D D
~
~ ~ ~( , , )� P â ÎÏ ( , , )� � �A B . ÒÏ ( , , )~ ~ ~E X
D D D
P ñëåäóåò ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê ïðîåêöèþ ÓÌÒÏ ïàðàìåòðîâ D íà ïðîñòðàíñòâî ïîëîæåíèé �
[14]: ( , , ) ( , , )~ ~ ~E X E X
D D D D
*
D
*
D
*P P� pr� . Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå
(ïðîåêòèðîâàíèå) R èçìåðèìîãî ïðîñòðàíñòâà ( , )E XD
*
D
* â èçìåðèìîå ïðîñòðà-
íñòâî ( , )~ ~E X
D D
( ( , ) ( , ))~ ~R E X E XD
*
D
*
D D
: � [14].
Òåîðåìà 1 [14]. Ïðîåêòèðîâàíèå R ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì îòîáðàæåíèåì ïðî-
ñòðàíñòâà ( , )* *E XD D â ïðîñòðàíñòâî ( , )~ ~E X
D D
.
Èç òåîðåìû 1 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî � �W~ ~
D D
X
P W P W~ ~
*
~( )
D D D D
R{ } { }� �1 . (1)
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ ED
* ïðîöåññà D ïîëó÷åíà â ðåçóëüòà-
òå äåéñòâèÿ ñëåäóþùåãî âåðîÿòíîñòíîãî ìåõàíèçìà. Äëÿ åãî îïèñàíèÿ ââåäåì ÷å-
òûðå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû: � � � � � � �� �( ) ( ( ), ( )), a a� ( )� è �� ( ),
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:
1) íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � � � �( ), ( ), ( )a è öåëî÷èñëåííàÿ íå-
îòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà �( ) îïðåäåëåíû íà îñíîâíîì âåðîÿòíîñòíîì
ïðîñòðàíñòâå ( , , )� I � ;
2) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � �( ), ( )a è �( ) ïðèíèìàþò ñîîòâåòñòâåííî
çíà÷åíèÿ èç âûáîðî÷íûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ ( , , )� �A P� , ( , , )K PK aA
è ( , , )Z PZ
A , ãäå A Z
— �-àëãåáðà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà
Z
, âåðîÿòíîñòíûå ìåðû èìåþò âèä
P B B B B� � � �
( ) : ( ) ( ) ( )� � � � �� � � ��{ } 1 A ,
P B a B B Ba K K K K K( ) : ( ) ( ) ( )� � � ��{ }� �
2 A ,
P B BZ Z � �( ) : ( )
� ��{ } ( )BZ Z
� A
è ðàñïðåäåëåíèÿ P� è Pa ðàññìàòðèâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êàê àáñîëþòíî íå-
ïðåðûâíûå îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà â ïðîñòðàíñòâàõ ( , )� �A è ( , )K KA
ñ ïëîòíîñòÿìè f1 ( , )� � è f u2 ( );
3) � � � � �( ), ( ), ( )a è �( ) — íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå âåëè-
÷èíû.
Íà �-àëãåáðå áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ A A AZ K� �� ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà
Z K� � ââåäåì ïðîèçâåäåíèå âåðîÿòíîñòíûõ ìåð P P Pz a� �� . Òîãäà
( , , )Z PZ zA áóäåì ñ÷èòàòü âûáîðî÷íûì âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû z a( ) [ ( ); ( )]� � � �� ñ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé
P B B a B Bz K K( ) :[ ( ); ( )]� � � � ��{ }� � � �
� � � � � �� � �{ } = { { } { }� � � � � � � � �: ( ) , ( ) : ( ) : ( )B a B B a BK K� �
� � �
1 2( ) ( ) ( ) ( )B B B B B BK K K Z� � � A .
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Ïóñòü G1 è G2 — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ýêñïåðèìåíòû, êîòîðûå ïîðîæäàþò
âûáîðî÷íûå âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà ( , , )� �A P� è ( , , )K PK aA ; òîãäà
G G G� ( , )1 2 — ñîñòàâíîé ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñ âûáîðî÷íûì âåðîÿòíîñòíûì
ïðîñòðàíñòâîì ( , , )Z PZ zA . Ñëó÷àéíî (â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïðåäåëåíèåì
âåðîÿòíîñòåé P ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ���) âûáèðàåòñÿ ÷èñëî n Z�
, à çàòåì êàæ-
äàÿ òðàåêòîðèÿ E a a ai i n nD
* ([ ; ], ,[ ; ], ,[ ; ])� � � �1 1 � � îáúåìà n ÓÌÒÏ D ïîëó÷àåò-
ñÿ â ðåçóëüòàòå n íåçàâèñèìûõ ïîâòîðåíèé îäíîãî è òîãî æå ñëó÷àéíîãî ñîñòàâíîãî
ýêñïåðèìåíòà G G G� ( , ),1 2 çàêëþ÷àþùåãîñÿ â ñëó÷àéíîì âûáîðå áåç âîçâðàùåíèÿ
ìàðêèðîâàííîé ïàðû Z ai i i� [ ; ]� ( , )i n�1 èç ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà Z K� � : òî÷êè
ïîëîæåíèÿ � � �i i i� ( , ) èç ïðîñòðàíñòâà � (ýêñïåðèìåíò G1 ) è ìàðêè ai èç
ïðîñòðàíñòâà K (ýêñïåðèìåíò G2 ). Òîãäà òðàåêòîðèþ ED
* ìîæíî ñ÷èòàòü âûáîðêîé
( , , )� �i j i j
a a i j� � � êîíå÷íîãî îáúåìà n, ïîëó÷åííîé ïðîñòûì ñëó÷àéíûì âû-
áîðîì áåç âîçâðàùåíèÿ èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Z K� � çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû z a( ) [ ( ); ( )],� � � �� èìåþùåé ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå P P Pz a� �� .
Òàêèì îáðàçîì, òðàåêòîðèþ ED
* ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåàëèçàöèþ íà
âûáîðî÷íîì èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå ( , )Z ZA êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
E E a ai iD D
* *
( )( ) ([ ( ); ( )], , [ ( ); ( )], , [� �� � � � � � � � �1 1 � � ( ); ( )])( )� � �a (2)
ñëó÷àéíîãî îáúåìà �( ) íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí z ai i i( ) [ ( ); ( )]� � � �� ñ ðàñïðåäåëåíèåì Pz , îïðåäåëåííûõ íà îñíîâ-
íîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� I � .
Cëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ìîæíî ïðåäîñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � � �
�
�N E Z E Z I zZ
z E
* * *( , ) [ ] ( )
*
D D
D
card ,
ãäå N E Z* *( , )D — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿþùàÿ ÷èñëî òî÷åê ìíîæåñòâà
ED
* â ïðîñòðàíñòâå Z, I Z ( )� — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðîñòðàíñòâà Z.
Îïðåäåëåíèå 1. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( , , )* * *E XD D DP áóäåì íàçûâàòü êîíå÷-
íûì ñòðîãî ïðîñòûì ñìåøàííûì ýìïèðè÷åñêèì ÓÌÒÏ ïàðàìåòðîì ñ íåçàâèñè-
ìûì ìàðêèðîâàíèåì â ÎÏ ( , , )Z BZ ZA [13, 15].
Òåîðåìà 2 [16]. Åñëè:
1) cëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà �� ( ) ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåò-
ðîì
P k P E N E Z k
k
k
k
{ } { } exp� � � � � �D D D
* * * *: ( , )
!
( ) ( , , , .0 1 2 .. ),
ãäå
� �M N E Z M[ ( , )] [ ]* *
D ;
2) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íåçàâèñèìà îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (2);
3) N E B I aZ B i i
i
Z
* *( , ) ([ ; ])D �
�
� �
1
— ñëó÷àéíà ýìïèðè÷åñêàÿ ìåðà ÓÌÒÏ D
( )BZ Z�A ;
4) {B B B B
Z
j j
K
j j� �
� � �: A , B
K
j
K�A , j s�1, , s � 2} — ïðîèçâîëüíàÿ êîíå÷-
íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ
ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Z B B
Z
i
Z
j: �� ( , ,i j s�1 , i j� ),
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 123
òî:
a) ìåðà N E B
Z
j* *( , )D ( , )j s�1 ýìïèðè÷åñêîãî ÓÌÒÏ ( , , )* * *E XD D DP ðàñïðåäå-
ëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà �( ( ))
B
Z
j ñ ïàðàìåòðè÷åñêîé ìåðîé
( )B
Z
j
P E N E B k
B
k
B
Z
j
j
Z
j k
j
Z
j
j
D D D
* * * *: ( , )
[ ( )]
!
( ( ){ } exp� � �
), (3)
ãäå
( ) ( )B P B
Z
j
z Z
j� , k j � 0 1 2, , ,� ;
á) ìåðû { }N E B j s
Z
j* *( , ), ,D �1 — íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû
P E N E B j s P E N E B
Z
j
j
s
Z
j
D D D D D D
* * * * * * * *: ( , ), , : ( ,{ } {� �
�
�1
1
) � k j }. (4)
Ñëåäñòâèå 1. Ïðîöåññ ïàðàìåòðîâ D E XD D D� ( , , )* * *P ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü
êàê ñìåøàííûé ýìïèðè÷åñêèé êîíå÷íûé ñòðîãî ïðîñòîé ñëó÷àéíûé ÓÌÒÏ ñ íå-
çàâèñèìûì ìàðêèðîâàíèåì â ÎÏ ( , , )Z BZ ZA [15], ðàñïðåäåëåííûé ïî îáùåìó
çàêîíó Ïóàññîíà �( ( ))
BZ ñ ïàðàìåòðè÷åñêîé ìåðîé
( )BZ ,
M N E B BZ Z[ ( , )] ( )* *
D �
( )BZ Z�A . (5)
Îïðåäåëåíèå 2. ÑÏÑ � � � �� ( , , ),* * *E X P êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ñìåøàí-
íûé ýìïèðè÷åñêèé ÓÌÒÏ ïàðàìåòðîâ D E XD D D� ( , , )* * *P , ðàñïðåäåëåííûé ïî
îáùåìó çàêîíó Ïóàññîíà â ÎÏ ( , , )Z BZ ZA , áóäåì íàçûâàòü ñìåøàííûì ýìïèðè-
÷åñêèì ïóàññîíîâñêèì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì ñôåðè÷åñêèõ ñåãìåíòîâ.
Çàìå÷àíèå.  òåîðåìå 2 áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî B B K
Z
j j�
�
� �j s1, ( )s � 2 .
Î÷åâèäíî,
( ) ( ) ( ) ( )B B K B
Z
j j j� �1 2 1� �
, òàê êàê
2 1( )K � . Ðàññìîòðèì ïðî-
èçâîëüíîå ìíîæåñòâî W E N E B K kj
j
* * * * *: ( , )� � �{ }D D DX
�
( , )j s�1 . Òîãäà
P W P E N E B K k
B
k
j
j
j k
j
j
D D D D
* * * * * *: ( , )
[ ( )]
!
{ } { } e� � �
�
�
1
xp ( ( )).�
1 B j
�
(6)
Îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ R ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì îòîáðàæåíèåì èç
ïðîñòðàíñòâà ( , )* *E XD D â ïðîñòðàíñòâî ( , )~* ~*E X
D D
(òåîðåìà 1), ïîýòîìó ñó-
ùåñòâóåò ìíîæåñòâî W~ ~
D D
X� òàêîå, ÷òî W W* ~( ).� �R
D
1 Òàê êàê D — ñòðîãî
ïðîñòîé ÓÌÒÏ, òî W W E N E B kj
j~ * ~ ~( ) : ( , )
D D D
R� � �{ }
�
, ãäå N E B j( , )~
D �
�
� �card [ ]~E B j
D �
— ñëó÷àéíàÿ ýìïèðè÷åñêàÿ ìåðà ÓÒÏ
~
D. Ñ ó÷åòîì ôîð-
ìóë (1), (6) èìååì
P W P W P W P E N E B j
D D D D D D D D
R* * * ~ ~ ~ ~ ~ ~( ) : ( , ){ } { } { } {� � � ��1
�
k j }, (7)
P E N E B k
B
k
Bj
j
j k
j
j
j
~ ~ ~: ( , )
[ ( )]
!
( (
D D D
{ } exp
�
�
�
� � �
1
1 )) . (8)
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
Àíàëîãè÷íî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà W E N E B Kj* * * *: ( , )� �{ D D �
k j sj , , *� �1 } XD , ãäå B Bi j
� �
�� ( , , , )i j s i j� �1 , íàéäåòñÿ òàêîå ìíîæåñòâî
W E N E B kj
j~ ~ ~: ( , )
D D D
� �{
�
, j s� �1, ~} X
D
, ÷òî W W* ~( )� �R
D
1 . Èç ôîðìóë (1),
(4), (7) èìååì
P W P W P WD D D D D
R* * * ~ ~ ~( ){ } = { } { }� �1 ,
P E N E B k j s P E N E B kj
j
j
j~ ~ ~ ~ ~ ~: ( , ) , , : ( , )
D D D D D D
{ } {
� �
� � � �1 }
j
s
�
�
1
.
Òàêèì îáðàçîì, ÓÒÏ òî÷åê ïîëîæåíèé
~
( , , )~ ~ ~D E X
D D D
� P åñòü ñìåøàííûé
ýìïèðè÷åñêèé êîíå÷íûé ïðîñòîé ñëó÷àéíûé ÒÏ Ïóàññîíà �( ( ))
1 B� ñ ïàðà-
ìåòðè÷åñêîé ìåðîé
1 ( )B� â ÎÏ ( , , )� � �A B : M N E B B[ ( , )] ( )~
D � �� �
1
� ~
( ) ( )
D
1 B� ( )B� ��A , ãäå ~ ( )
D
(1) � — ìîìåíòíàÿ ìåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà ÒÏ
~
D.
Ïóñòü BZ — ïðîèçâîëüíîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî èç �-àëãåáðû A Z áîðåëåâ-
ñêèõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Z è
D D
( ) * *( ) [ ( , )]1 B M N E BZ Z� — ìîìåíòíàÿ ìåðà
ïåðâîãî ïîðÿäêà ÌÒÏ D:
D
E
D D D
D D
( ) * * * *( ) ( , ) ( )
* *
1 B N E B P dEZ
E
Z�
�
� .
Òåîðåìà 3. Åñëè D E XD D D� ( , , )* * *P — ñìåøàííûé ýìïèðè÷åñêèé êîíå÷íûé
ñòðîãî ïðîñòîé ñëó÷àéíûé ÓÌÒÏ ïàðàìåòðîâ ñ íåçàâèñèìûì ìàðêèðîâàíèåì â
ÎÏ ( , , )Z BZ ZA , ðàñïðåäåëåííûé ïî çàêîíó Ïóàññîíà �( ( ))
BZ ñ ïàðàìåòðè-
÷åñêîé ìåðîé
( ),BZ òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà BZ Z�A
åãî ìîìåíòíàÿ ìåðà
D
( ) ( )1 BZ ïåðâîãî ïîðÿäêà èìååò âèä
� � � �
� �
D D
( ) ( ) ( , ) ( )1
1 2B f f a d d da z dzZ
B BZ Z
� ���� � , (9)
ãäå
� �
� �D D( ) ( , , ) ( , ) ( )z a f f a� � 1 2 — ôóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè ÌÒÏ D.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ôîðìóëó (9) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ïðÿ-
ìîóãîëüíèêà B B B B BZ K Z K K� � � �� � �A A A( , ), èñïîëüçóÿ óñëîâèå 2.
Òàê êàê èçâåñòíà ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ìåðà (5) ÌÒÏ D, òî
D D
( ) * *( ) [ ( , )] ( )1 B B M N E B B B BK K K� � � � � �
� � ��� �
� � � �1 2 1 2( ) ( ) ( , ) ( )B B f d d f a daK
B BK
�
�
� �
���
� � � �
f f a d d da B B
B B
k
K
1 2
1
2( , ) ( ) ( ) ( )~
( )
�
�
D
. (10)
Ôîðìóëà (10) ïîêàçûâàåò, ÷òî ìåðà
D
( )1 ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìåð
~ ( )
D
(1) B� è
2
1
2( ) : ( )
~BK D D
(1)� � . Òàê êàê ôîðìóëà (9) ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðî-
èçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ïðÿìîóãîëüíèêà èç �-àëãåáðû A Z , òî â ñèëó òåîðåìû
åäèíñòâåííîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ìåð [17, ñ. 144] ôîðìóëà (9) ñïðàâåäëèâà è äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà BZ Z�A .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 125
ÌÎÌÅÍÒÍÀß ÌÅÐÀ ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ ÑÌÅØÀÍÍÎÃÎ ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ
ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÅÃÌÅÍÒÎÂ
Ðàññìîòðèì íà ñôåðå
~
S 2 ñôåðè÷åñêèé ïîÿñ B ( )� , îãðàíè÷åííûé ìàëûìè
îêðóæíîñòÿìè G1 è G2 , (ðèñ. 1). Ñôåðè÷åñêîìó ïîÿñó â ïðîñòðàíñòâå � ñîîò-
âåòñòâóåò ïðÿìîóãîëüíèê C � � � � �{ }( , ) : ,� � � � � � �0 2 1 2 , ïðè÷åì óãëû
�1 2� �WOC è �2 1� �WOC óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì: ( ) /�
� � �� � �A 2 1 2
� �( ) /� A 2 , � �2 1� � � . Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî Z B Z( ( ))� � ñëåäóþùèì îáðà-
çîì:
Z B z z a Z Q u a B( ( )) : [ , ; ] , ( ( , ), ) ( )� �� � � � ��{ }� � � � , (11)
ãäå Q u a( ( , ), )� � — ñôåðè÷åñêèé ñåãìåíò, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå
z a� [ , ; ]� � èç ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Z. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè-
÷èíó K E B( , ( ))*
� � � {÷èñëî ñåãìåíòîâ ïðîöåññà �, êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ ñî
ñôåðè÷åñêèì ïîÿñîì B E B( ) [ ( )].*
� �} card� �� Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ (11)
ìíîæåñòâà Z B( ( ))�
K E B N E Z B( , ( )) ( , ( ( )))* * *
� � �� D ,
� ( ) * * * ( )( ( )) [ ( , ( ))] [ ( , ( ( ))] (1 1B M K E B M N E Z B� � �� � �� D D
Z B( ( ))� , (12)
ãäå � ( ) ( )1 � — ìîìåíòíàÿ ìåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðîöåññà ñôåðè÷åñêèõ ñåãìåí-
òîâ �.
Òåîðåìà 4. Åñëè � � � �� ( , , )* * *E X P — ñìåøàííûé ýìïèðè÷åñêèé êîíå÷íûé
óïîðÿäî÷åííûé ñëó÷àéíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñåãìåíòîâ íà åäèíè÷íîé ñôå-
ðå
~
S 2 , òî ìîìåíòíàÿ ìåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà � ( ) ( ( ))1 B � ïðîöåññà � èìååò âèä
�
� � � �( ) ~ ~( ( )) ( , ) ( ) ( ( , ) ( )1
1B P u B P u B a
K
� �� �
�
�� �
{ } { }
�
�
�
�
�
�
�
�P u B a f a da~ ( , ) ( ) ) ( )
�
{ }� �
2 2 , (13)
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
O
T1
w
T2
C2
C1
è2
è1
G3
G1
G
G2
G4
B1(a)
B(?)
B2(a)
Ðèñ. 1. Èçîáðàæåíèå ïåðåñå÷åíèÿ ñåãìåíòîâ Q Qn1 , ,� ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñî ñôåðè÷åñêèì
ïîÿñîì B ( )�
B ( )�
B à1 ( )
B à2 ( )
ãäå B a1 ( ) è B a2 ( ) — íåïåðåñåêàþùèåñÿ ñôåðè÷åñêèå ïîÿñà, îãðàíè÷åííûå ñî-
îòâåòñòâåííî ìàëûìè îêðóæíîñòÿìè G G1 3, è G G2 4, (ñì. ðèñ. 1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèé (9) è (12) èìååì
�
� � � �( )
( ( ))
( ( )) ( , ) ( )1
1 2B f f a d d da
Z B
�
�
� ��� . (14)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (14) ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî Z B( ( ))� â ñëåäóþùåì
âèäå:
Z B C a a
a K
( ( )) [ ( ) ],� �
�
{ }
ãäå C a a Z B Q u a B( ) ( , ):( , , ) ( ( )), ( ( , ), ) ( )� � � ��{ }� � � � � �� � — ñå÷åíèå ìíî-
æåñòâà Z B( ( ))� â òî÷êå a. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî C a C C a( ) ( )� 0 , ãäå
C a C Q u a B C a C0 1 2( ) ( , ):( , ) , ( ( , ), ) ( ) ( ) (� � � �� � { }� � � � � � � a),
C a a1 2 20 2 2( ) ( , ) : [ , ), ( , / ]� � �
{ }� � � � � � � ,
C a a2 1 10 2 2( ) ( , ) : [ , ), [ / , )� � � �{ }� � � � � � � .
Ìíîæåñòâàì ïàðàìåòðîâ C a1 ( ) è C a2 ( ) ñîîòâåòñòâóþò íà ñôåðå äâà íåïåðå-
ñåêàþùèõñÿ ñôåðè÷åñêèõ ïîÿñà: B a1 ( ) è B a2 ( ), îãðàíè÷åííûå ñîîòâåòñòâåííî
ìàëûìè îêðóæíîñòÿìè G G1 3, è G G2 4, (ñì. ðèñ. 1). Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ
ìíîæåñòâ Z B( ( ))� è C a C a1 2( ), ( ), èìååì
�
� � � � � � � �( )
( )
( ( )) ( ) ( , ) ( , )1
2 1 1
1
B f a f d d f d d
C C a
� �
�� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
���� f d d da
C aK
1
2
( , )
( )
� � � �
� �
�
� � � � �f a P u B P u B a P u2 1( )[ ( , ) ( ) ( , ) ( ) (~ ~ ~
� � �
{ } { } {� , ) ( ) ]� � �� B a da
K
2 }
� �
�
��
� �P u B~ ( , ) ( )
�
{ }�
�
� �
��� ( ( , ) ( ) ( , ) ( ) ) ( )~ ~P u B a P u B a f a da
K
� �
{ } { }� � � �1 2 2 . (15)
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ïðèìåð 1. Åñëè êîìïîíåíòû � �( ) è � �( ) âåêòîðà � � � � � �( ) ( ( ), ( ))� — íå-
çàâèñèìûå íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � �( ) ðàâ-
íîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà ñôåðå
~
S 2 ñ ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåé êîì-
ïîíåíò � �( ), � �( ) [9]:
f1 4
0
( , )
cos
, ( , ) ,
, ( , ) .
� �
�
�
� �
� �
� �
!
"
#
$
%$
�
�
 ýòîì ñëó÷àå � �BZ ZФA ìîìåíòíàÿ ìåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà ÌÒÏ ïàðàìåò-
ðîâ D èìååò âèä
�
� � �
D
( ) ( ) cos ( )1
2
4
B f a d d daZ
BZ
� ��� . Ýòà ôîðìóëà ñîâïàäàåò ñ
âûðàæåíèåì äëÿ ìîìåíòíîé ìåðû ïåðâîãî ïîðÿäêà
� � �
D
A( ) ( ) cos ( ) ( )1
0Z f a d d da Z
Z
Z� ���� ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 127
êîòîðóþ àâòîð ïîëó÷èë â ðàáîòå [18] äëÿ íåóïîðÿäî÷åííîãî ïðîöåññà ñôåðè-
÷åñêèõ ñåãìåíòîâ �, ãäå
�0 4� / — èíòåíñèâíîñòü ÌÒÏ ïàðàìåòðîâ D.
Òàê êàê P u B d d
s B
C
~ ( , ) ( ) cos
( ( ))
�
{ }� �
�
� � �
�
� � ����
�1
4 4
,
P u B a
s B a
P u B a
s B
~ ~( , ) ( )
( ( ))
, ( , ) ( )
(
� �
{ } { }� �
�
� �� � � �1
1
2
4
2
4
( ))a
�
( ( ( ))s B � , s B a( ( ))1 , s B a( ( ))2 — ñîîòâåòñòâåííî ïëîùàäè îáëàñòåé B ( )� , B a1 ( ),
B a2 ( )), èç ôîðìóëû (15) èìååì
�
�
( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )1
1 2 2
4
B s B s B a s B a f a da
K
� ��
� { }
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �4
1
2
1
2
2[ ( ( )) ( ( )) ( ) ( )],s B p B p Q s Q� � � (16)
ãäå p B p G p G( ( )) ( ) ( )� �
1 2 — ïàðàìåòð ñôåðè÷åñêîãî ïîÿñà B ( )� ; p Q( )� �
� �2 2 2� sin ( / ) ( ) ,a f a da
K
s Q a f a da
K
( ) sin ( / ) ( )� �4 42
2� — ñðåäíèé ïåðèìåòð è
ñðåäíÿÿ ïëîùàäü ñôåðè÷åñêèõ ñåãìåíòîâ ïðîöåññà � , � 2
2 2
11 4� � �
( ) ( )m p G�
� �( ) ( )1 4 2 2
2
n p G� , ïðè ýòîì m �1 , n � 2, åñëè �1 0& , �2 0& ; m �1, n �1,
åñëè �1 0� , �2 0& ; m � 2 , n �1 , åñëè �1 0� , �2 0� .
Ñëåäñòâèå 2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó K E G E( , ) [* *
� �1 � �card
� �G1 ] {÷èñëî ñåãìåíòîâ ïðîöåññà �, ïåðåñåêàþùèõñÿ ñ ìàëîé îêðóæíîñòüþ G1
ñôåðû
~
S 2 } (ñì. ðèñ. 1). Åñëè ïðè � � 0 îáëàñòü B G( )� � 1 â ìåòðèêå Õàóñäîðôà,
òî ñïðàâåäëèâû òàêèå ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ: s B( ( ))� � 0, p G p G( ) ( )2 1� ,
� 2 0� è K E B K E G( , ( )) ( , )* *
� �
� � 1 , M K E B M K E G[ ( , ( ))] [ ( , )]* *
� �
� � 1 , ïðè
ýòîì
�
�
( ) *( ) [ ( , )] ( ) ( )1
1 1 2 1
4
G M K E G p G p Q� � �
�
. (17)
Ñëåäñòâèå 3. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó K E G E G( , ) [ , ]* *
� �
� �card {÷èñ-
ëî ñôåðè÷åñêèõ ñåãìåíòîâ ïðîöåññà � ïåðåñåêàþùèõñÿ ñ áîëüøîé îêðóæíîñòüþ
G ñôåðû
~
S 2 } (cì. ðèñ. 1). Åñëè ïðè � � 0 îáëàñòü B G( )� � â ìåòðèêå Õàóñäîðôà,
òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ: s B( ( ))� � 0, p G p G( )( ( ))1 2 �
� �p G( ) 2�, �1 0� è K E B K E G( , ( )) ( , )* *
� �
� � , M K E B M K E G[ ( , ( )] [ ( , ]* *
� �
� � ,
ïðè ýòîì
�
�
( ) *( ) [ ( , )] ( )1
2
G M K E G p Q� � �
�
.
(18)
Ïðèìåð 2. Äëÿ íåçàâèñèìûõ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � �( ) è � �( )
áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � � � � � �( ) ( ( ), ( ))� ðàñïðåäåëåíà íà
ñôåðå
~
S 2 ïî óíèìîäàëüíîìó çàêîíó Ôèøåðà ñ ñîâìåñòíîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé
ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé
f k
k
sh k
k
1 4
0
( , ; ) ( )
( sin )cos , ( , ) ,
, ( , )
� � �
� � � �
� �
�
�
�
exp �
� ,
"
#
$
%$
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
ãäå k — ïàðàìåòð êîíöåíòðàöèè ìàññû ðàñïðåäåëåíèÿ [9]. Ñëåäóåò îòìåòèòü,
÷òî äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà k ìàññà ðàñïðåäåëåíèÿ â îñíîâíîì êîí-
öåíòðèðóåòñÿ íà ìàëîé ÷àñòè ñôåðû
~
S 2 âîêðóã «ñåâåðíîãî» ïîëþñà; åñëè
k � 0, òî ìàññà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà ñôåðå
~
S 2 .
 ýòîì ñëó÷àå ìîìåíòíàÿ ìåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà ÌÒÏ ïàðàìåòðîâ D èìååò âèä
�
� � � �( ) ( )
( )
( sin )cos ( )1
2
4
B
k
sh k
k f a d d daZ
BZ
� ��� exp .
Ïîñêîëüêó
P u B
sh k
e e
k k
~
sin sin
( , ) ( )
( )
[ ]
�
{ }� � � �� � ��
1
2
2 1 , (19)
P u B a
sh k
e e
k a k
~
sin( / ) sin
( , ) ( )
( )
[ ]
�
{ }� � � �� � �
1
21
2
2 2 ,
(20)
P u B a
sh k
e e
k k a
~
sin sin( / )
( , ) ( )
( )
[ ]
�
{ }� � � �� � � �
2
21
2
1 1 ,
(21)
òî, ïîäñòàâëÿÿ (19)–(21) â ôîðìóëó (15), èìååì
�
� �( ) sin ( / ) sin ( / )
( ( ))
( )
[ ]1 2 2
2
2 2B
sh k
e e f
k a k a
�
�� �
� �
2 ( )a da
K
� .
Ñëåäñòâèå 4. Åñëè ïðè � � 0 îáëàñòü B G( )� � 1 â ìåòðèêå Õàóñäîðôà, òî
ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå � �( ) ( )( ( )) ( )1 1
1B G� � , ãäå
�
��( ) sin cos( / )
( )
( )
[ cos ( )sin ( / )]1
1
2
2
2 2G
sh k
e sh k a
k a� f a da
K
2 ( )� .
Ñëåäñòâèå 5. Åñëè â ôîðìóëå (21) ïîëàãàòü, ÷òî �2 0� , òî ïðè � � 0 îáëàñòü
B G( )� � â ìåòðèêå Õàóñäîðôà è � �( ) ( )( ( )) ( )1 1B G� � , ãäå
�
( ) ( )
( )
[ sin( / )] ( )1
22G
sh k
sh k a f a da
K
� � .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîäîëæàþòñÿ èññëåäîâàíèÿ àâñòðàëèéñêîãî ìàòåìàòèêà
Ð.Å. Ìàéëñà (R.Å. Miles) [11] â îáëàñòè ÑÃ. Åñëè Ð.Å. Ìàéëñ â îñíîâíîì èñ-
ïîëüçîâàë ìåòîäû èíòåãðàëüíîé ãåîìåòðèè, òî â äàííîé ðàáîòå ïðåäëîæåí íî-
âûé ïîäõîä ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè ñìåøàííûõ ýìïèðè÷åñêèõ ÌÒÏ .
Àïïàðàò ñìåøàííûõ ýìïèðè÷åñêèõ ÌÒÏ áîëåå óíèâåðñàëåí è ïîçâîëÿåò èñ-
ñëåäîâàòü çàäà÷è ÑÃ, ó êîòîðûõ ãåîìåòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû ñëó÷àéíîé ïðèðî-
äû íå îáÿçàòåëüíî ðàñïîëîæåíû ðàâíîìåðíî â ïðîñòðàíñòâàõ R 2 , R 3 èëè S 2 .
Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñôåðè÷åñêîé Ñà — åùå îäèí øàã âïåðåä äëÿ ïîëó-
÷åíèÿ ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíîé èíôîðìàöèè íà
êàðèîëåììå ÿäðà êëåòêè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5 129
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê å í ä à ë ë Ì . , Ì î ð à í Ï . Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1972. — 192 ñ.
2. M o r a n P . A . P . , F a z e k a s S . Random circles on a sphere // Biometrics. — 1962. — 49, N 3,
4. — P. 389–396.
3. Ñ å ì å é ê î Í . à . , Ï å ò ó í è í Þ . È . , ß ö å í ê î  . Ï . Èññëåäîâàíèå ìîðôîìåòðè÷åñêèõ
õàðàêòåðèñòèê ïîðîâûõ êîìïëåêñîâ ÿäåðíîé îáîëî÷êè ñåíñîðíîãî íåéðîíà ìåòîäàìè
ñôåðè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé ãåîìåòðèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — 42,
¹ 6. — C. 175–182.
4. C r o s s C . A . , F i s h e r D . L . The computer simulation of lunar crates // Month. Not. Roy. Aus-
tral. Soc. — 1968. — 139. — P. 261–272.
5. M a r c u s A . H . Some point process models of lunar and planetary surfaces // Stochastic point pro-
cesses: statistical analysis, theory and applications / Ed. P.A.W. Lewis. — New York, 1972. —
P. 682–699.
6. N e y m a n J . , S c o t t R . L . Statistical approach to problems of cosmology // J. Roy. Stat. Soc.
Ser. B. — 1958. — 20. — P. 1–43.
7. G i l b e r t E . N . The probability of covering a sphere with N circular caps // Biometrics. — 1965.
— 52, N 3, 4. — P. 323–330.
8. H a r d i n g E . P . , K e n d a l l D . G . Stochastic geometry. — New York: Wiley, 1974. — 400 p.
9. M a r d i a K . V . Statistics of directional data. — London: Academ. Press, 1972. — 248 p.
10. Á ó ð á à ê è Í . Îáùàÿ òîïîëîãèÿ. — Ì.: Ôèçìàòãàç, 1958. — 324 ñ.
11. M i l e s R . E . Random points, set and tessellations on the surface of a sphere // Sankhya. Ser. A. —
1971. — 33, N 2. — P. 145–174.
12. R i p l e y B . D . Locally finite random sets: Foundations for point process theory // Ann. Prob. —
1976. — 4, N 6. — P. 983–994.
13. Ï å ò ó í ³ í Þ . ² . , Ñ å ì å é ê î Ì . à . Çì³øàí³ åìï³ðè÷í³ âèïàäêîâ³ òî÷êîâ³ ïðîöåñè
â êîìïàêòíèõ ìåòðè÷íèõ ïðîñòîðàõ. 1 // Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé. òà ìàò. ñòàòèñòèêà. — 2006. —
Âèï. 74. — Ñ. 99–109.
14. Ï å ò ó í è í Þ . È . , Ñ å ì å é ê î Í . à . Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñåãìåíòîâ íà äâóìåðíîé
åâêëèäîâîé ñôåðå. 1 // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1988. — Âûï. 39. —
Ñ. 107–113.
15. Ï å ò ó í ³ í Þ . ² . , Ñ å ì å é ê î Ì . à . Çì³øàí³ åìï³ðè÷í³ âèïàäêîâ³ òî÷êîâ³ ïðîöåñè
â êîìïàêòíèõ ìåòðè÷íèõ ïðîñòîðàõ. 2 // Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé. òà ìàò. ñòàòèñòèêà. — 2006. —
Âèï. 75. — Ñ. 121–126.
16. Ñ å ì å é ê î Ì . à . Çì³øàí³ åìï³ðè÷í³ âèïàäêîâ³ ìàðê³ðîâàí³ òî÷êîâ³ ïðîöåñè â êîìïàêòíèõ
ìåòðè÷íèõ ïðîñòîðàõ // Òàì æå. — 2009.
17. Ë î ý â Ì . Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. — Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1962. — 719 ñ.
18. Ï å ò ó í è í Þ . È . , Ñ å ì å é ê î Í . à . Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñåãìåíòîâ íà äâóìåðíîé
åâêëèäîâîé ñôåðå. 2. // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1988. — Âûï. 41. —
Ñ. 88–96.
Ïîñòóïèëà 04.02.2010
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 5
|