О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием
В работе получены условия связной асимптотической устойчивости крупномасштабных систем с запаздыванием и импульсным воздействием. Использованы векторная функция Ляпунова и метод Разумихина....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84299 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием / А.А. Мартынюк, И.Л. Иванов // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 60-66. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84299 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-842992015-07-07T03:02:09Z О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. Механіка В работе получены условия связной асимптотической устойчивости крупномасштабных систем с запаздыванием и импульсным воздействием. Использованы векторная функция Ляпунова и метод Разумихина. У роботi встановлено умови зв’язної асимптотичної стiйкостi великомасштабних систем iз запiзненням та iмпульсною дiєю. Використано векторну функцiю Ляпунова i метод Разумiхiна. We establish the stability conditions for large-scale systems with delay and impulses via the vector Lyapunov function and the Razumikhin method. 2012 Article О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием / А.А. Мартынюк, И.Л. Иванов // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 60-66. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84299 517.36 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием Доповіді НАН України |
| description |
В работе получены условия связной асимптотической устойчивости крупномасштабных систем с запаздыванием и импульсным воздействием. Использованы векторная функция Ляпунова и метод Разумихина. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Иванов, И.Л. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием |
| title_short |
О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием |
| title_full |
О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием |
| title_fullStr |
О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием |
| title_sort |
о связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84299 |
| citation_txt |
О связной устойчивости импульсных крупномасштабных систем с запаздыванием / А.А. Мартынюк, И.Л. Иванов // Доп. НАН України. — 2012. — № 7. — С. 60-66. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa osvâznojustojčivostiimpulʹsnyhkrupnomasštabnyhsistemszapazdyvaniem AT ivanovil osvâznojustojčivostiimpulʹsnyhkrupnomasštabnyhsistemszapazdyvaniem |
| first_indexed |
2025-07-06T11:17:28Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:17:28Z |
| _version_ |
1836896120161173504 |
| fulltext |
УДК 517.36
© 2012
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк, И. Л. Иванов
О связной устойчивости импульсных
крупномасштабных систем с запаздыванием
В работе получены условия связной асимптотической устойчивости крупномасшта-
бных систем с запаздыванием и импульсным воздействием. Использованы векторная
функция Ляпунова и метод Разумихина.
Системы с импульсным возмущением [1, 2] при значительных размерностях вектора состоя-
ния x(t) исследованы при помощи векторных либо матричных функций Ляпунова. Эти ре-
зультаты изложены в работах [3, 4]. Для систем с запаздыванием элементы теории связной
устойчивости приведены в [5]. В работе [6] изложены результаты анализа устойчивости
систем с запаздыванием на основе матричнозначных функционалов Ляпунова.
Постановка задачи. Пусть n ∈ N, r > 0, E = {ϕ : [−r, 0] → R
n}, Ei = {ϕi : [−r, 0] →
→ R
ni}. Введем нормы: ‖.‖ — эвклидова норма в R
n либо в R
ni , ‖ϕ‖E = sup
θ∈[−r,0]
‖ϕ(θ)‖ — для
произвольного ϕ : [−r, 0] → R
n; ‖ϕi‖Ei
= sup
θ∈[−r,0]
‖ϕi(θ)‖ для произвольного ϕi : [−r, 0] → R
ni .
Рассмотрим крупномасштабную систему уравнений с запаздыванием и импульсным во-
здействием следующего вида:
dx
dt
= f(t, xt), t 6= τk, k ∈ N,
∆x(τk) = Ik(x),
(1)
где f : [t0 − r,∞) × E → R
n, моменты импульсного воздействия удовлетворяют условию
0 < τ1 < τ2 < · · · < τk < · · · → +∞, τk ∈ [t0 − r,∞), f(t, 0) = 0, ∆x(τk) = x(τ+k ) − x(τk),
k ∈ N.
Предположим, что в системе (1) функция f : [t0 − r,∞) × E → R
n такова, что решение
этой системы существует и единственно на [t0 − r,∞).
Зададим начальные условия для системы (1)
x(t) = ϕ0(t− t0), t ∈ [t0 − r, t0], t0 > 0. (2)
Решение x(t; t0, ϕ0) коротко будем обозначать через x(t) либо в виде однопараметриче-
ского семейства функций через xt(t0, ϕ0) ∈ E.
Пусть система (1) допускает декомпозицию вида
dx
dt
= gi(t, xt,i) + hi(t, xt), t 6= τk, k ∈ N,
∆x(τk) = Jik(xi) +Kik(x),
(3)
где функции gi : [−r,+∞)×Ei → R
ni , Jik : R
ni → R
ni описывают динамику подсистемы (3)
без взаимосвязей с другими подсистемами (1), а функции hi : [−r,+∞)×E → R
ni , Kik : R
n →
→ R
ni отвечают только за взаимосвязи.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
Далее введем некоторые понятия из теории связной устойчивости для системы (3) ана-
логично тому, как это сделано в работе [7] для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Функции h(t, x) и Kk(x), отвечающие за взаимосвязи, будем представлять зависимыми
от так называемых матриц взаимосвязи E = [eij ]
s
i,j=1 и E′ = [e′ij ]
s
i,j=1, определяемых сле-
дующим образом:
eij =
{
1, если непрерывная часть Sj действует на непрерывную часть Si,
0, если непрерывная часть Sj не действует на непрерывную часть Si,
e′ij =
{
1, если дискретная часть Sj действует на дискретную часть Si,
0, если дискретная часть Sj не действует на дискретную часть Si.
Эта зависимость имеет следующий вид:
hi(t, xt) ≡ hi(t, ei1xt,1, ei2xt,2, . . . , eisxt,s),
Kik ≡ Kik(t, ei1x1, ei2x2, . . . , eisxs),
где i = 1, s.
Определение 1. Положение равновесия x = 0 системы (1) называется:
а) устойчивым, если для любого ε > 0, t0 ∈ R+ существует δ = δ(ε, t0) > 0 такое, что из
условия ‖ϕ0‖E < δ следует неравенство ‖x(t; t0, ϕ0)‖ < ε при всех t ∈ [t0,+∞);
б) равномерно устойчивым, если величина δ в пункте а не зависит от t0;
в) асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и существует δ0 > 0 такое, что из
условия ‖ϕ0‖E < δ0 следует lim
t→+∞
x(t; t0, ϕ0) = 0;
г) равномерно асимптотически устойчивым, если выполняются условия определений б
и в;
д) устойчивым в целом, если в определении 1, а при ε → +∞ можно выбрать δ(ε, t0)
так, чтобы δ(ε, t0) → +∞.
Определение 2. Крупномасштабная система связно устойчива, если она устойчива
в смысле Ляпунова для любых матриц взаимосвязи E и E′.
Определение 3 [7]. Фундаментальной матрицей взаимосвязи Ef называется матри-
ца E, соответствующая ситуации, когда все существующие между подсистемами (3) связи
“включены”, т. е. равны единице соответствующие им элементы eij .
Определение 4 [2]. Функция v(t, x) принадлежит классу V0, если выполняются усло-
вия:
1) v(t, x) непрерывно дифференцируема на множестве T ×R
n, где T = [t0−r,∞)\{τk}k∈N;
2) существуют функции a, b класса Хана, такие, что выполняется двусторонняя оценка
a(‖x‖) 6 v(t, x) 6 b(‖x‖) при всех (t, x) ∈ R+ × R
n;
3) существуют пределы
lim
t→τk−0
v(t, x) = v(τk, x), lim
t→τk+0
v(t, x) = v(τk + 0, x) при всех k = 1, 2, . . . .
Таким образом, задача состоит в получении условий связной асимптотической устойчи-
вости указанного класса нелинейных систем на основе метода агрегирования крупномас-
штабной системы с последействием при импульсном возмущении.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 61
Основной результат. Далее понадобится следующее утверждение.
Теорема 1 (ср. [8]). Пусть система уравнений (1) такова, что существует функция
v(t, x) класса V0, число p ∈ N и непрерывная неубывающая функция p(s) > s при s > 0,
удовлетворяющие условиям:
1) D+v(t, x)|(1) 6 −κ‖x‖p, (t, x) ∈ R+ × N ,
где N ∈ R
n, κ > 0 (D+v(t, x)|(1) означает верхнюю правую производную функции v(t, x)
вдоль решений (1)), если
p(v(t, x)) > v(t+ ζ, ϕ(ζ)), ζ ∈ [−r, 0];
2) v(τi + 0, x(τi + 0)) 6 v(τi, x(τi)) при всех i ∈ N.
Тогда состояние равновесия x = 0 системы (1) асимптотически устойчиво.
Замечание 1. В работе [8] теорема 1 рассмотрена для линейной системы и при p = 2.
Доказательство общего случая проводится без изменения способа доказательства.
В предположениях, представленных ниже, используются следующие обозначения [9]:
D+
t vi(t, xi) = lim
θ→0+
sup
{
vi(t+ θ, xi)− vi(t, xi)
θ
}
;
D+
xij
vi(t, xi) = lim
θ→0+, ‖xij‖→0
sup
{
vi(t+ θ, xi + Ii,j+1∆xi)− vi(t+ θ, xi + Ii,j∆xi)
∆xij
}
;
D+
xi
vi(t, xi) = (D+
xi1
vi(t, xi),D
+
xi2
vi(t, xi), . . . ,D
+
xini
vi(t, xi))
T .
Легко проверить, что D+vi(t, xi) 6 D+vi(t, xi) + (D+
xi
vi(t, xi))
Tdxi/dt.
Не уменьшая общности, положим t0 = 0 и сформулируем некоторые условия.
Предположение 1. Существуют открытые связные окрестности Ni ⊂ R
ni состоя-
ний xi = 0, функции vi : R × R
ni → R+, Γik : R
ni → R+, строго возрастающая функция
p(s) > s, p(0) = 0, действительные числа αij , βij , αi, βi такие, что:
1) функции vi и Γik положительно определены на Ni, i = 1, s, k ∈ N;
2) αi < 0, βi ∈ {−1, 0}, i = 1, s;
3) αij > 0, βij > 0, i, j = 1, s, i 6= j;
4) существует вектор u0 ∈ R
s, u0 > 0 такой, что
Au0 < 0, Bu0 6 0,
где A, B ∈ R
s×s, A = {aij}
s
i,j=1, B = {bij}
s
i,j=1, aij = αiδij + eijαij , bij = δijβi + e′ijβij ;
5) vi(τk, xi + Jik(xi)) − vi(τk, xi) 6 βiΓik(xi);
6) vi(τk, xi + Jik(xi) +Kik(x)) − vi(τk, xi + Jik(xi)(x)) 6
s
∑
j=1
e′ijβijΓjk(xj);
7) D+
t vi(t, xi) + (D+
xi
vi(t, xi))
T gi(t, xt,i) 6 αi‖xi‖, ∀ (t, xi) ∈ [−r,+∞) ×Ni, если
vi(t, x) > p(vi(t+ ζ, x(t+ ζ))), ∀ ζ ∈ [−r, 0]. (4)
Здесь vi(t, x) = bTV (t, x), V (t, x) = (v1(t, x1), v2(t, x2), . . . , vs(t, xs))
T , b = −(AT )−1c1, где
b, c ∈ R
s, b > 0, c > 0 (возможность одновременного выполнения последних двух нера-
венств гарантируется условием 4 данного предположения);
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
8) (D+
xi
vi(t, xi))
Thi(t, xt) 6
s
∑
j=1
eijαij , ∀ (t, xi) ∈ [−r,+∞)×Ni, если выполняется условие
Разумихина (4).
Теорема 2. Пусть
а) выполняются условия предположения 1 при E = Ef , E
′ = E′
f ;
б) функции vi(t, xi) положительно определенные на [−r,+∞) ×Ni, i = 1, s.
Тогда состояние равновесия x = 0 системы (1) связно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Согласно условию 4 предположения 1, существуют векторы b, c1,
c2 ∈ R
s, b > 0, c1 > 0, c2 > 0 такие, что c2 = −BT b, b = −(AT )−1c1.
Пусть A — матрица, соответствующая фундаментальной матрице взаимодействия Ef .
Аналогично введем матрицу B. Тогда матрицы A и B, соответствующие произвольным
матрицам взаимодействия E и E′, ввиду неотрицательности элементов αij и βij , удовлетво-
ряют матричным неравенствам
A 6 A, B 6 B. (5)
Из условий 5, 6 предположения 1 и второго неравенства в (5) следует, что в окрестности
N = N1 × N2 × · · · × Ns выполняется оценка:
v(τk, x(τ
+
k ))− v(τk, x(τk)) = v(τk, x+ Ik(x))− v(τk, x) =
= bTV (τk, x+ Ik(x))− bTV (τk, x) =
= bT ((V (τk, x+ Ik(x))− V (τk, x+ Jk(x))) + (V (τk, x+ Jk(x))− V (τk, x))) 6
6 bT ([e′ijβij]
s
i,j=1 + diag(β1, β2, . . . , βs)) · (Γ1k(x1),Γ2k(x2), . . . ,Γsk(xs))
T =
= bTBγk(x) 6 bTBγk(x) = −cT2 γk(x) 6 0 (6)
для всех (t, x) ∈ R+ × N .
Аналогично, условия 7, 8 предположения 1 и первое неравенство в (5) гарантируют
существование окрестности N = N1 × N2 × · · · × Ns такой, что при выполнении условия
Разумихина (4) имеет место оценка
D+(t, x)|(1) 6 bTAω(x) 6 bTAω(x) = −cT1 ω(x) (7)
для всех (t, x) ∈ R+ × N , где ω(x) = (‖x1‖, ‖x2‖, . . . , ‖xs‖)
T .
Функции v и D+v, свойства которых описываются выражениями (6) и (7), удовлетво-
ряют условиям теоремы 1 при p = 1. Поэтому (1) связно асимптотически устойчива.
Предположение 2. Существуют открытые связные окрестности Ni ⊂ R
ni состоя-
ний xi = 0, функции vi : R × R
ni → R+, Γik : R
ni → R+, строго возрастающая функция
p(s) > s, p(0) = 0, действительные числа αij , βij , αi, βi такие, что:
1) функции vi и Γik положительно определены на Ni, i = 1, s, k ∈ N;
2) αi < 0, βi ∈ {−1, 0}, i = 1, s;
3) αij > 0, βij > 0, i, j = 1, s, i 6= j;
4) существует диагональная матрица с положительными элементами D = diag(d1,
d2, . . . , ds) такая, что
ATD +DA < 0, BTD +DB 6 0,
где A, B ∈ R
s×s, A = {aij}
s
i,j=1, B = {bij}
s
i,j=1, aij = αiδij + eijαij , bij = δijβi + e′ijβij ;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 63
5) vi(τk, xi + Jik(xi)) − vi(τk, xi) 6 βiΓ
2
ik(xi);
6) vi(τk, xi + Jik(xi) +Kik(x)) − vi(τk, xi + Jik(xi)(x)) 6 Γik(xi)
s
∑
j=1
e′ijβijΓjk(xj);
7) D+
t vi(t, xi) + (D+
xi
vi(t, xi))
T gi(t, xt,i) 6 αi‖xi‖
2, ∀ (t, xi) ∈ [−r,+∞) × Ni, если выпол-
няется условие (4), где v(t, x) = dTV (t, x), V (t, x) = (v1(t, x1), v2(t, x2), . . . , vs(t, xs)), d =
= (d1, d2, . . . , ds)
T ;
8) (D+
xi
vi(t, xi))
Thi(t, xt) 6 ‖xi‖
s
∑
j=1
eijαij, ∀ (t, xi) ∈ [−r,+∞) × Ni, если выполняется
условие Разумихина (4).
Теорема 3. Пусть
а) выполняются условия предположения 2 при E = Ef , E
′ = E′
f ;
б) существуют положительные числа ηi1, ηi2 такие, что
ηi1‖xi‖
2
6 vi(t, xi) 6 ηi2‖xi‖
2
при всех (t, xi) ∈ [−r,+∞) × Ni, i = 1, s.
Тогда состояние равновесия x = 0 системы (1) связно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Рассмотрим функцию v(t, x) = dTV (t, x). Положительность компо-
нент вектора d, положительная определенность функций vi на Ni при всех i = 1, 2, . . . , s
и свойства всех окрестностей Ni обеспечивают существование окрестности N ⊂ N1×· · ·×Ns,
в которой выполняется оценка
v(τk, x(τ
+
k ))− v(τk, x(τk)) = v(τk, x+ Ik(x))− v(τk, x) =
= dTV (τk,+Ik(x))− dTV (τk, x) =
= dT ((V (τk, x+ Jk(x))− V (τk, x+ Ik(x))) + (V (τk, x+ Jk(x))− V (τk, x))) 6
6 dT
([
Γik(xi)
s
∑
j=1
βije
′
ijΓjk(xj)
]s
i=1
+ [βiΓik(xi)]
s
i=1
)
=
= dT
[
Γik(xi)
(
βiΓik(xi) +
s
∑
j=1
βije
′
ijΓjk(xi)
)]s
i=1
=
= γTk (x)
[
di
(
βiΓik(xi) +
s
∑
j=1
βije
′
ijΓjk(xj)
)]s
i=1
6
6 γTk (x)(D diag(β1, . . . , βs) +D[βij ]
s
i,j=1)γk(x) = γTk (x)DBγk(x) =
=
1
2
γTk (x)(DB +B
T
D)γk(x) 6 0. (8)
Аналогично, условия 7, 8 предположения 2 и первое неравенство в (5) гарантируют, что
в окрестности N ⊂ N1×· · ·×Ns при выполнении условия Разумихина выполняется оценка:
D+v(t, x)|(1) = dT [D+vi(t, x)]
s
i=1|(1) = dT [D+
t vi(t, xi) + (D+
xi
vi(t, x))
T gi(t, xt,i) +
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
+ (D+
xi
vi(t, xi))
Thi(t, xt,i)]
s
i=1 6 dT
[
αi‖xi‖
2 + ‖xi‖
s
∑
j=1
eijαij‖xj‖
]s
i=1
6
6 dT
[
αi‖xi‖
2+‖xi‖
s
∑
j=1
eijαij‖xj‖
]s
i=1
= ωT (x)
[
di
(
αi‖xi‖+
s
∑
j=1
eijαij‖xj‖
)]s
i=1
=
= ωT (x)DAω(x) =
1
2
ωT (x)(DA +A
T
D)ω(x) 6
1
2
λmax(DA+A
T
D)‖x‖2 (9)
для всех (t, x) ∈ R+×N , где ω(x) = (‖x1‖, ‖x2‖, . . . , ‖xs‖)
T , λmax(DA+A
T
D) — максимальное
собственное значение матрицы DA + A
T
D.
Поскольку λmax(DA+A
T
D) < 0, то функции v и D+v, свойства которых описываются
выражениями (8) и (9), удовлетворяют условиям теоремы А при p = 2. Поэтому (1) связно
асимптотически устойчива. Теорема доказана.
Заключительные замечания. В работах [10–12] изложены некоторые результаты ана-
лиза устойчивости систем с запаздыванием при импульсном воздействии. Условия связной
асимптотической устойчивости, приведенные в настоящей работе, сводятся к проверке сов-
местимости некоторых неравенств (см. условие 4 ) и это может оказаться эффективным
способом анализа в случаях, предусмотренных предположениями 1, 2.
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 282 с.
2. Lakshmikantam V., Bainov D.D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore:
World Scientific, 1989. – 520 p.
3. Haddad W.M., Chellaboina V. S., Nersesov S.G. Impulsive and hybrid dynamical systems. – Princeton,
NJ: Princeton Univ. Press, 2006. – 504 p.
4. Martynyuk A.A. Qualitative Methods in nonlinear dynamics. Novel approaches to Liapunov’s matrix functi-
ons. – New York, Marcel Dekker, 2002. – 301 p.
5. Shigui R. Connective stability for large scale systems described by functional differential equations // IEEE
Trans. Automatic Control. – 1988. – 33, No 2. – P. 198–200.
6. Martynyuk A.A. Stability of motion. The role of multicomponent Liapunov’s functions. – Cambridge:
Cambridge Sci. Publ., 2007. – 322 p.
7. Siljak D.D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. – New York: North-Holland, 1978. –
416 p.
8. Слынько В.И. Об условиях устойчивости движения линейных импульсных систем с запаздыванием //
Прикл. механика. – 2005. – 41, № 6. – С. 130–138.
9. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных возмущениях. – Киев: Наук. думка, 1984. – 308 с.
10. Shen J., Luo Z., Liu X. Impulsive stabilization of functional differential equations via Liapunov functio-
nals // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – 240. – P. 1–15.
11. Shen J., Yan J. Razumikhin type stability theorems for impulsive functional differential equations //
Nonlinear Anal. – 1998. – 33. – P. 519–531.
12. Martynyuk A.A., Shen J. H., Stavroulakis I. P. Stability theorems in impulsive functional differential
equations with infinite delay // Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century / Ed.
A.A. Martynyuk. – London: Taylor & Francis, 2003. – 13. – P. 153–174.
Поступило в редакцию 12.09.2011Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №7 65
Академiк НАН України А.А. Мартинюк, I.Л. Iванов
Про зв’язну стiйкiсть iмпульсних великомасштабних систем
iз запiзненням
У роботi встановлено умови зв’язної асимптотичної стiйкостi великомасштабних систем
iз запiзненням та iмпульсною дiєю. Використано векторну функцiю Ляпунова i метод Ра-
зумiхiна.
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk, I. L. Ivanov
On the connective stability of impulsive large scale systems with delay
We establish the stability conditions for large-scale systems with delay and impulses via the vector
Lyapunov function and the Razumikhin method.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №7
|