Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев
В трехмерной постановке рассмотрена задача упругого равновесия трехслойной изотропной пластины симметричного строения. На лицевых плоскостях пластины выполняются условия плоского торца, а на границе раздела слоев имеет место скользящий контакт. Получены однородные решения уравнений равновесия в пер...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84358 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, М.В. Фоменко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 61-66. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84358 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-843582015-07-07T03:02:19Z Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. Механіка В трехмерной постановке рассмотрена задача упругого равновесия трехслойной изотропной пластины симметричного строения. На лицевых плоскостях пластины выполняются условия плоского торца, а на границе раздела слоев имеет место скользящий контакт. Получены однородные решения уравнений равновесия в перемещениях в виде суммы бигармонического, вихревого и потенциального состояний. Выполнены аналитические и численные исследования трансцендентных уравнений для нахождения собственных значений. Исследован характер проявления краевого эффекта. У тривимiрнiй постановцi розглянуто задачу пружної рiвноваги тришарової iзотропної пластини симетричної будови. На лицьових площинах пластини виконуються умови плоского торця, а на межi подiлу шарiв має мiсце ковзний контакт. Одержано однорiднi розв’язки рiвнянь рiвноваги в перемiщеннях у виглядi суми бiгармонiчного, вихрового i потенцiального станiв. Здiйснено аналiтичнi та чисельнi дослiдження трансцендентних рiвнянь для знаходження власних значень. Дослiджено характер прояву крайового ефекту. In the three-dimensional statement, the problem of elastic equilibrium of a three-layer isotropic plate of symmetric structure is considered. The conditions of flat end hold at the plate faces, and the sliding contact is satisfied on the interface of layers. The homogeneous solutions of the system of equations of equilibrium in displacements are obtained as a sum of biharmonic, vortex, and potential states. The analytical and computational researches of the transcendental equations for the eigenvalues are carried out. The nature of a manifestation of the edge effect is studied. 2012 Article Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, М.В. Фоменко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 61-66. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84358 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев Доповіді НАН України |
| description |
В трехмерной постановке рассмотрена задача упругого равновесия трехслойной изотропной пластины симметричного строения. На лицевых плоскостях пластины выполняются условия плоского торца, а на границе раздела слоев имеет место скользящий
контакт. Получены однородные решения уравнений равновесия в перемещениях в виде
суммы бигармонического, вихревого и потенциального состояний. Выполнены аналитические и численные исследования трансцендентных уравнений для нахождения собственных значений. Исследован характер проявления краевого эффекта. |
| format |
Article |
| author |
Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. |
| author_facet |
Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. |
| author_sort |
Шевченко, В.П. |
| title |
Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев |
| title_short |
Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев |
| title_full |
Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев |
| title_fullStr |
Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев |
| title_full_unstemmed |
Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев |
| title_sort |
деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84358 |
| citation_txt |
Деформация трехслойных пластин со скользящей заделкой торцов и несовершенным контактом слоев / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, М.В. Фоменко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 8. — С. 61-66. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT ševčenkovp deformaciâtrehslojnyhplastinsoskolʹzâŝejzadelkojtorcovinesoveršennymkontaktomsloev AT altuhovev deformaciâtrehslojnyhplastinsoskolʹzâŝejzadelkojtorcovinesoveršennymkontaktomsloev AT fomenkomv deformaciâtrehslojnyhplastinsoskolʹzâŝejzadelkojtorcovinesoveršennymkontaktomsloev |
| first_indexed |
2025-07-06T11:21:00Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:21:00Z |
| _version_ |
1836896340138786816 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2012
Академик НАН Украины В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов,
М. В. Фоменко
Деформация трехслойных пластин со скользящей
заделкой торцов и несовершенным контактом слоев
В трехмерной постановке рассмотрена задача упругого равновесия трехслойной изо-
тропной пластины симметричного строения. На лицевых плоскостях пластины выпол-
няются условия плоского торца, а на границе раздела слоев имеет место скользящий
контакт. Получены однородные решения уравнений равновесия в перемещениях в виде
суммы бигармонического, вихревого и потенциального состояний. Выполнены аналити-
ческие и численные исследования трансцендентных уравнений для нахождения собст-
венных значений. Исследован характер проявления краевого эффекта.
Анализ теорий поперечно-неоднородных упругих пластин и методов решения конкретных
задач отражен в работах [1–5]. В них отмечается актуальность развития аналитических
методов исследования напряженно-деформированного состояния слоистых конструкций на
основе уравнений пространственной теории упругости. Для трехслойных пластин важную
роль сыграли однородные решения [5–9], предложенные А.И. Лурье [10]. В работе [7] рас-
смотрен случай идеального контакта слоев пластины.
В данной работе получены и исследованы однородные решения уравнений упругого
равновесия трехслойной пластины при скользящей заделке торцов и неидеальном контакте
слоев.
Постановка задачи. Рассмотрим трехслойную пластину симметричного строения от-
носительно ее срединной плоскости со слоями из изотропных материалов и находящихся
друг с другом в условиях скользящего контакта. На лицевых гранях пластины имеют место
смешанные граничные условия типа плоского торца. На боковой поверхности действуют
внешние усилия.
Построение однородных решений задачи об упругом равновесии рассматриваемой плас-
тины сводится к интегрированию известных уравнений [4] для каждого слоя
1
λ2
∂2
3umj +D2umj + νm0∂jθm = 0 (j = 1, 2),
1
λ2
∂2
3um3 +D2um3 +
1
λ
νm0∂3θm = 0
(1)
с учетом граничных условий
σ1j3(x1, x2,±1) = 0, u13(x1, x2,±1) = 0,
u13(x1, x2,±λ2) = u23(x1, x2,±λ2), σ133(x1, x2,±λ2) = σ233(x1, x2,±λ2),
σ1j3(x1, x2,±λ2) = 0, σ2j3(x1, x2,±λ2) = 0,
(2)
где
∂i =
∂
∂xi
, D2 = ∂2
1 + ∂2
2 , θm = ∂1um1 + ∂2um2 + λ−1∂3um3, νm0 =
1
1− 2νm
.
Другие обозначения здесь и ниже соответствуют принятым в работе [7].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 61
Построение однородных решений. Однородные решения задачи (1), (2) для сим-
метричной (обозначаемой значком “+” вверху) и кососимметричной (обозначаемой значком
“−”) деформаций можно представить в виде суммы вихревого, потенциального и бигармо-
нического состояний:
u±mi(x1, x2, x3)=u±miV (x1, x2, x3)+u±miP (x1, x2, x3)+u±miB(x1, x2, x3) (i= 1, 3;m = 1, 2).
Перемещения вихревого состояния имеют вид
u±m1V (x1, x2, x3) =
∞
∑
k=1
p±mk(x3)∂2B
±
k (x1, x2),
u±m2V (x1, x2, x3) = −
∞
∑
k=1
p±mk(x3)∂1B
±
k (x1, x2), u±m3V = 0.
Здесь
p±
1k(x3) = cos δ±k (x3 − λ2), p±
2k(x3) = 0, когда δ±k λ1 = πk;
p+
1k(x3) = 0, p+
2k(x3) = cos δ+k x3 при δ+k λ2 = πk;
p−
1k(x3) = 0, p−
2k(x3) =
1
δ−k
sin δ−k x3 в случае δ−k λ2 =
2k − 1
2
π;
D2B±
k (x1, x2)−
(
δ±k
λ
)2
B±
k (x1, x2) = 0.
Компоненты вектора перемещений потенциального состояния определяются соотноше-
ниями
u±mjP (x1, x2, x3) =
∞
∑
p=1
n±
mp(x3)∂jC
±
p (x1, x2) (j = 1, 2),
u±m3P (x1, x2, x3) =
∞
∑
p=1
q±mp(x3)C
±
p (x1, x2).
Здесь
D2C±(x1, x2)−
(
γ±
λ
)2
C±(x1, x2) = 0;
n±
1
(x3) = H±
1
cos γ±(x3 − λ2) +H±
2
sin γ±(x3 − λ2) +H±
3
(x3 − λ2) cos γ
±(x3 − λ2) +
+H±
4
(x3 − λ2) sin γ
±(x3 − λ2);
q±
1
(x3) = Q±
1
sin γ±(x3 − λ2) +Q±
2
cos γ±(x3 − λ2) +Q±
3
((x3 − λ2) sin γ
±(x3 − λ2) +
+ k±
13
cos γ±(x3 − λ2)) +Q±
4
((x3 − λ2) cos γ
±(x3 − λ2)− k±
13
sin γ±(x3 − λ2));
n+
2
(x3) = H+
5
cos γ+x3 +H+
6
x3 sin γ
+x3;
q+
2
(x3) = Q+
5
sin γ+x3 +Q+
6
(x3 cos γ
+x3 − k+
23
sin γ+x3);
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
n−
2
(x3) = H−
5
sin γ−x3 +H−
6
x3 cos γ
−x3;
q−
2
(x3) = Q−
5
cos γ−x3 +Q−
6
(x3 sin γ
−x3 + k−
23
cos γ−x3);
k±m3
=
3− 4νm
γ±
; Q±
i =
1
λ
a±i H
±
i (i = 1, 6);
a±
1
= a±
3
= −γ±, a±
2
= a±
4
= γ±, a±
5
= ∓γ±, a±
6
= ±γ±;
H±
1
= (1− ν2)((1 − 2ν1) sin 2γ
±λ1 − 2γ±λ1)(1 ∓ cos 2γ±λ2);
H±
2
= 2(1− 2ν1)(1 − ν2)sin
2γ±λ1(1∓ cos 2γ±λ2);
H±
3
= 2(1− ν2)γ
± sin2 γ±λ1(1∓ cos 2γ±λ2);
H±
4
= −(1− ν2)γ
± sin 2γ±λ1(1∓ cos 2γ±λ2);
H±
5
= ∓4(1− ν1) sin
2 γ±λ1
(
(1− 2ν2)
sin
cos
γ±λ2 ∓ γ±λ2
cos
sin
γ±λ2
)
;
H±
6
= 4(1− ν1)γ
±sin2γ±λ1
sin
cos
γ±λ2.
Отметим, что собственные значения γ± удовлетворяют уравнениям
F±(γ) = 2(1 − ν1) sin
2 γ±λ1 sin 2γ
±λ2 ± 2γ±λ2 ±
±G(1− ν2)(sin 2γ
±λ1 + 2γ±λ1)(1 ∓ cos 2γ±λ2) = 0. (3)
Все корни уравнений (3) являются действительными или комплексными, расположен-
ными симметрично в четырех квадрантах плоскости. Рассмотрим некоторые частные слу-
чаи трансцендентных уравнений (3).
Если G = 0 (внешние слои — абсолютно мягкие), то корни уравнений (3) асимптотически
приближаются к множеству корней уравнений
sin2γ±λ1(sin 2γ
±λ2 ± 2γ±λ2) = 0.
Когда G = ∞ (внутренний слой — абсолютно мягкий), то множество собственных зна-
чений γ± трансформируется к совокупности корней уравнений
(sin 2γ±λ1 + 2γ±λ1)(1 ∓ cos 2γ±λ2) = 0.
В случае λ1 = 0 дисперсионные уравнения (3) сводятся к следующим:
sin2γ+ = 0, cos2γ− = 0.
При λ2 = 0 из уравнений (3) следует
sin2γ+ = 0, sin 2γ− + 2γ− = 0.
Для G = 1, ν1 = ν2, λ1 = λ2 = 1/2 уравнения (3) принимают вид
(sin γ+ + γ+)sin2
γ+
2
= 0, sin 2γ− + 2γ− = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 63
Перемещения бигармонического состояния имеют вид
u±
11B(x1, x2, x3) = ∂1(Φ
± +Φ±
C + a±
2
(x3 − 1)2D2Φ±),
u±
12B(x1, x2, x3)= ∂2(Φ
±− Φ±
C+ a±
2
(x3− 1)2D2Φ±), u±
13B(x1, x2, x3)= a±
1
(x3− 1)D2Φ±,
u+
21B(x1, x2, x3) = ∂1(e
+
0
Φ+ +Φ+
C + e+
2
x23D
2Φ+), u−
21B(x1, x2, x3) = ∂1(e
−
1
x3D
2Φ−),
u+
22B(x1, x2, x3) = ∂2(e
+
0
Φ+ − Φ+
C + e+
2
x23D
2Φ+), u−
22B(x1, x2, x3) = ∂2(e
−
1
x3D
2Φ−),
u+
23B(x1, x2, x3) = e+
1
x3D
2Φ+, u−
23B(x1, x2, x3) = e−
0
D2Φ−.
Здесь
D2D2Φ±(x1, x2) = 0; e+
0
=
(λ1ν1ν2 + λ2)G+ λ1(1− ν1)(1 + ν2)
∆
;
e+
1
= −λλ1
∆1
∆
, e+
2
=
λ2λ1
2
∆1
∆
, a+
1
= λλ2
∆1
∆
, a+
2
= −
λ2λ2
2
∆1
∆
;
∆1 = ν1(1− ν2)G− ν2(1− ν1), ∆ = λ2(1 + ν1)(1− ν2)G+ λ2ν1ν2 + λ1;
e−
0
= −λλ1
ν1
1 + ν1
, e−
1
= λ2λ1
ν1
1 + ν1
, a−
1
= λ
ν1
1 + ν1
, a−
2
= −
λ2
2
ν1
1 + ν1
.
Гармонические функции Φ±
C(x1, x2) связаны с бигармоническими Φ±(x1, x2) соотноше-
нием
∂2
2Φ
±
C = −∂2
1Φ
±
C = a±
0
D2Φ±,
в котором
a+
0
=
λ2(1− ν2)G+ λ1(1− ν1)
∆
, a−
0
=
1
1 + ν1
.
Анализ результатов исследований трансцендентных уравнений. Для численно-
го нахождения комплексных корней характеристических уравнений (3) был использован
принцип аргумента в сочетании с итерационным методом Ньютона и контурным числен-
ным интегрированием.
В табл. 1 при различных относительных жесткостях G и для ν1 = ν2 = 0,3, λ1 = 0,1 при-
ведены значения первых пяти корней γ±p уравнений (3) из первого квадранта комплексной
плоскости. Ячейки таблицы содержат два значения: в числителе — собственные значения
при симметричной деформации, а в знаменателе — при кососимметричной.
На рис. 1 приведены графики изменения модуля первого собственного значения γ±
1
урав-
нений (3) в зависимости от относительной жесткости G при λ1 = 0,5 (рис. 1, а) и отно-
сительной толщины внешних слоев λ1 при G = 1 (рис. 1, б ). Значения коэффициентов
Пуассона ν1, ν2 принимались равными 0,3. Кривые 1 соответствуют симметричной задаче,
кривые 2 — кососимметричной.
Уравнения (3) не имеют мнимых корней, поэтому потенциальное состояние представляет
собой решение типа погранслоя, и характер проникания его внутрь области определяется
первым по модулю корнем γ±
1
. При этом на интервале G ∈ (0;∞) величины γ±
1
являются
комплексными. Для различных жесткостей слоев величина γ+
1
является первым корнем
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
Таблица 1
p
G = 1,2 G = 2 G = 10
Reγ
±
p Im γ
±
p Reγ
±
p Im γ
±
p Reγ
±
p Im γ
±
p
1
3,2986550
1,6387903
0,6511617
0,3375179
3,3656792
1,6782295
0,5308196
0,2722138
3,4625671
1,7310300
0,2549146
0,1282909
2
6,6870923
4,9836930
1,1564473
0,9251128
6,7780742
5,0660329
0,9739256
0,7660662
6,9291189
5,1951009
0,4966435
0,3782366
3
10,126354
8,4023289
1,5124667
1,3500764
10,228531
8,4993655
1,3105504
1,1547254
10,403985
8,6651721
0,7117064
0,6084501
4
13,602394
11,859013
1,7632317
1,6489835
13,713506
11,965885
1,5539416
1,4433662
13,894330
12,146579
0,8815033
0,8038923
5
17,141195
15,360803
1,9274459
1,8566744
17,256314
15,475231
1,6992836
1,6409098
17,411069
15,648802
0,9714106
0,9395790
Рис. 1. Зависимость модуля первого собственного значения γ
±
1 от параметров G, λ1
уравнения sin γ + γ = 0, и модуль ее значения |γ+
1
| ≈ 4,78, а значение |γ−
1
| < π. При
G → ∞ величина γ−
1
стремится к π, а при G → 0 — к нулю. Следовательно, в трехслойной
пластине с более жестким заполнителем потенциальное решение проникает внутрь области
сильнее, чем в пластине со слабым средним слоем. Чем жестче заполнитель, тем характер
проникания сильнее.
Изменение |γ±
1
| в зависимости от λ1 носит более сложный характер (см. рис. 1, б ). Вели-
чины γ±
1
на всем интервале изменения λ1 ∈ (0; 1) также остаются комплексными. В случае
симметричной деформации (кривая 1 ) промежуток (0; 1) изменения параметра λ1 условно
разбивается на два интервала (0; 0,5), (0,5; 1) в зависимости от характера поведения модуля
первого собственного значения. В окрестности точки λ1 = 0,5 величина |γ+
1
| достигает наи-
большего значения, приближенно равного 4,78, и потенциальное решение проникает внутрь
области слабее. В точках λ1 = 0 или λ1 = 1 величина γ+
1
= π, и характер проникания по-
тенциального решения внутрь области наиболее сильный. В случае кососимметричной де-
формации (кривая 2 ) величина γ−
1
на интервале λ1 ∈ (0; 1) изменяется от π/2 (при λ1 = 0)
до ≈3,02 (при λ1 ≈ 0,76), а в точке λ1 = 1 значение |γ−
1
| ≈ 2,39.
1. Altenbach H. Theories for laminated and sandwich plates. A review // Mech. of Composite Mater. – 1998. –
34, No 3. – P. 243–252.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №8 65
2. Carrera E. Historical review of Zig-Zag theories for multilayered plates and shells // Appl. Mechan. Rev. –
2003. – 56, No 3. – P. 287–308.
3. Пискунов В. Г., Рассказов А.О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек // Прикл. механика. –
2002. – 38, № 2. – С. 22–56.
4. Космодамианский А.С., Шалдырван В.А. Толстые многосвязные пластины. – Киев.: Наук. думка,
1978. – 240 с.
5. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. – Ростов-на-Дону: ООО
ЦВВР, 2006. – 257 с.
6. Алтухов Е.В., Кулиш И.Е. Равновесие трехслойной пластины с жесткими торцами // Вiсн. Донецьк.
ун-ту. Сер. А. Природничi науки. – 2001. – № 1. – С. 314–321.
7. Алтухов Е. В., Фоменко М.В. Деформация трехслойных пластин в случае смешанных граничных
условий на торцах // Теорет. и прикл. механика. – 2011. – № 2(48). – С. 29–39.
8. Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругое равновесие трехслойной пластины с покрытыми диафрагмой
плоскими гранями // Вiсн. Донецьк. нац. ун-ту. Сер. А. Природничi науки. – 2011. – № 1. – С. 19–26.
9. Ворович И.И., Кадомцев И. Г. Качественное исследование напряженно-деформированного состояния
трехслойной плиты // Прикл. математика и механика. – 1970. – 34, № 5. – С. 870–876.
10. Лурье А.И. К теории толстых плит // Там же. – 1942. – 6, № 2–3. – С. 151–168.
Поступило в редакцию 27.12.2011Донецкий национальный университет
Академiк НАН України В.П. Шевченко, Є.В. Алтухов, М.В. Фоменко
Деформацiя тришарових пластин з ковзним закрiпленням торцiв
i недосконалим контактом шарiв
У тривимiрнiй постановцi розглянуто задачу пружної рiвноваги тришарової iзотропної
пластини симетричної будови. На лицьових площинах пластини виконуються умови плос-
кого торця, а на межi подiлу шарiв має мiсце ковзний контакт. Одержано однорiднi роз-
в’язки рiвнянь рiвноваги в перемiщеннях у виглядi суми бiгармонiчного, вихрового i потен-
цiального станiв. Здiйснено аналiтичнi та чисельнi дослiдження трансцендентних рiвнянь
для знаходження власних значень. Дослiджено характер прояву крайового ефекту.
Academician of the NAS of Ukraine V.P. Shevchenko, E.V. Altukhov,
M.V. Fomenko
Deformation of three-layer plates with the sliding clamping of ends and
the incomplete contact of layers
In the three-dimensional statement, the problem of elastic equilibrium of a three-layer isotropic
plate of symmetric structure is considered. The conditions of flat end hold at the plate faces, and
the sliding contact is satisfied on the interface of layers. The homogeneous solutions of the system
of equations of equilibrium in displacements are obtained as a sum of biharmonic, vortex, and
potential states. The analytical and computational researches of the transcendental equations for
the eigenvalues are carried out. The nature of a manifestation of the edge effect is studied.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №8
|