Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання
Знайдено асимптотику субгармонiчної функцiї покращеного регулярного зростання за кутовою щiльнiстю її мiри Рiса. Для цього доведено новий варiант так званої леми про зсув....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8444 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання / М.О. Гiрник // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 13-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8444 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-84442010-05-31T12:02:07Z Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання Гірник, М.О. Математика Знайдено асимптотику субгармонiчної функцiї покращеного регулярного зростання за кутовою щiльнiстю її мiри Рiса. Для цього доведено новий варiант так званої леми про зсув. We find the asymptotic of a subharmonic function with improved regular growth in the terms of the angular density of its Riesz measure. A new version of the so-called shift lemma is proved. 2009 Article Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання / М.О. Гiрник // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 13-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8444 517.53 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Гірник, М.О. Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання |
| description |
Знайдено асимптотику субгармонiчної функцiї покращеного регулярного зростання за кутовою щiльнiстю її мiри Рiса. Для цього доведено новий варiант так званої леми про зсув. |
| format |
Article |
| author |
Гірник, М.О. |
| author_facet |
Гірник, М.О. |
| author_sort |
Гірник, М.О. |
| title |
Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання |
| title_short |
Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання |
| title_full |
Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання |
| title_fullStr |
Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання |
| title_full_unstemmed |
Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання |
| title_sort |
субгармонічні функції покращеного регулярного зростання |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8444 |
| citation_txt |
Субгармонічні функції покращеного регулярного зростання / М.О. Гiрник // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 13-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gírnikmo subgarmoníčnífunkcíípokraŝenogoregulârnogozrostannâ |
| first_indexed |
2025-07-02T11:07:04Z |
| last_indexed |
2025-07-02T11:07:04Z |
| _version_ |
1836533075521044480 |
| fulltext |
УДК 517.53
© 2009
М. О. Гiрник
Субгармонiчнi функцiї покращеного регулярного
зростання
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Знайдено асимптотику субгармонiчної функцiї покращеного регулярного зростання
за кутовою щiльнiстю її мiри Рiса. Для цього доведено новий варiант так званої ле-
ми про зсув.
Клас цiлих функцiй покращеного регулярного зростання ввели у розгляд i дослiджували
Б.В. Винницький та Р.В. Хаць [1–5]. Вони довели критерiй для цiєї регулярностi у випад-
ку, коли нулi зосередженi на скiнченнiй множинi променiв. Ми ж у даному повiдомленнi
розглядаємо загальний випадок субгармонiчних функцiй, для яких iснує покращена кутова
щiльнiсть мiри Рiса.
Застосовуватимемо стандартнi позначення i основнi факти теорiї потенцiалу [6] та те-
орiї цiлих функцiй цiлком регулярного зростання [7]. Позначатимемо через C з iндекса-
ми додатнi сталi, через n(r, θ1, θ2) — мiру Рiса µ сектора {z : |z| 6 r, θ1 < arg z 6 θ2},
n(r) := n(r, 0, 2π), n(z, t) := µ({ξ : |ξ − z| 6 t}). Для формулювання наших результатiв по-
трiбнi кiлька означень. Кажуть, що мiра Рiса має покращену кутову щiльнiсть, якщо для
всiх θ1, θ2, 0 6 θ1 < θ2 6 2π, крiм, можливо, не бiльше злiченної множини, виконується
спiввiдношення
n(r, θ1, θ2) = ∆(θ1, θ2)r
ρ + o(rρ1), r → ∞, (1)
рiвномiрно за θ1, θ2, де 0 < ρ1 < ρ. Продовжимо функцiю ∆(θ) := ∆(0, θ) на всю множину
дiйсних чисел через спiввiдношення ∆(θ + 2π) := ∆(θ) + ∆(2π).
Теорема 1. Нехай субгармонiчна функцiя u порядку ρ задовольняє умову (1) з нецi-
лим ρ, [ρ] = p < ρ1 < ρ. Тодi iснують дiйсне число ρ2, ρ1 < ρ2 < ρ, та виняткова
множина S такi, що
u(reiϕ) = h(ϕ)rρ + o(rρ2), S 6∋ reiϕ → ∞, (2)
де
h(ϕ) =
π
sin(πρ)
2π
∫
0
cos(ρ(|ϕ − θ| − π)) d∆(θ), (3)
а
S ⊂
⋃
k
{z : |z − zk| 6 rk},
∑
|zk|6R
rk = o(R), R → ∞. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 13
Теорема 2. Нехай субгармонiчна функцiя
u(z) = m log |z| + Re P (z) +
∫
C
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p
)
∣
∣
∣
∣
dµ(ξ) (5)
порядку ρ задовольняє умову (1) з натуральним ρ, [ρ] = p. Тут E(w, p) — первинний
множник Вейєрштрасса роду p, m > 0 — цiле число, P (z) — многочлен степеня не вище p,
ap — його старший коефiцiєнт,
∫
{ξ : |ξ|6r}
ξ−ρdµ(ξ) = δ + o(rρ3−ρ), r → +∞, (6)
де δ ∈ C, 0 < ρ3 < ρ. Тодi iснують дiйсне число ρ2, ρ1 < ρ2 < ρ, та виняткова множина S
такi, що мають мiсце (2) та (4) з
h(ϕ) =
2π+ϕ
∫
ϕ
(ϕ − θ) sin(ρ(θ − ϕ)) d∆(θ) + τ cos(ρϕ + σ), (7)
де τ = |δ/ρ + ap|, σ = arg(δ/ρ + ap).
Прокоментуємо цi теореми. Розглянуто загальний випадок субгармонiчних функцiй по-
кращеного регулярного зростання, однак виняткова множина бiльша, нiж у вищевказаних
роботах Винницького та Хаця, де ця множина мiститься в об’єднаннi кругiв зi скiнченною
сумою радiусiв. Коротко пояснимо хiд доведенння теорем 1 та 2. Ми в основному наслiдуємо
класичну схему знаходження асимптотики цiлих функцiй цiлком регулярного зростання [7,
роздiл 2]. Новий момент полягає в тому, що так звана лема про зсув нулiв [7, с. 130–140,
143–147; 8, с. 416] не застосовна в нашiй ситуацiї, оскiльки це приводить до погiршення
точностi залишкового члена асимптотики. З огляду на вказану обставину ми використо-
вуємо прийом з [9]. Сформулюємо нашi аналоги леми про зсув для випадкiв нецiлого та
цiлого порядкiв i доведемо один з них (доведення у випадку цiлого порядку подiбне, однак
пов’язане з подоланням деяких труднощiв технiчного характеру).
Лема 1. Для довiльних дiйсних чисел ε > 0, ρ, ρ1 (p = [ρ] < ρ1 < ρ), R > 1, γ, 0 < γ < 1,
i для будь-яких канонiчних iнтегралiв нецiлого порядку ρ
Lj(z) =
∫
C
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p
)
∣
∣
∣
∣
dµj(ξ), j = 1, 2,
що мають скiнченнi верхнi щiльностi їхнiх мiр Рiса по вiдношенню до rρ i dµ2(ξ) =
= dµ1(Tξ), де вiдображення T : C → C вимiрне за Борелем та задовольняє умови |Tξ| = |ξ|,
|Tξ − ξ|/|ξ| < R−γ, iснують сталi C1, C2 такi, що
|L1(z) − L2(z)| < C1R
ρ−γ+ε
для z ∈ {ξ : R 6 |ξ| < 2R} \ S, де S є винятковою множиною, що мiститься в об’єднаннi
кругiв iз сумою радiусiв, меншою нiж C2R
1−ε.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Лема 2. Для довiльних дiйсних чисел ε > 0, ρ, ρ1(p − 1 < ρ1 < ρ = [ρ] = p ∈ N), R > 1,
γ, 0 < γ < 1, i будь-яких iнтегралiв цiлого порядку ρ
Lj(z) :=
∫
{ξ : |ξ|6R}
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p − 1
)
∣
∣
∣
∣
dµj(ξ) +
∫
{ξ : |ξ|>R}
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p
)
∣
∣
∣
∣
dµj(ξ), j = 1, 2,
що мають скiнченнi верхнi щiльностi їхнiх мiр Рiса по вiдношенню до rρ i dµ2(ξ) =
= dµ1(Tξ), де вiдображення T : C → C вимiрне за Борелем та задовольняє умови |Tξ| = |ξ|,
|Tξ − ξ|/|ξ| < R−γ, iснують сталi C2, C3 такi, що
|L1(z) − L2(z)| < C3R
ρ−γ+ε
для z ∈ {ξ : R 6 |ξ| < 2R} \ S, де S є винятковою множиною, що мiститься в об’єднаннi
кругiв iз сумою радiусiв, меншою нiж C2R
1−ε.
Доведення леми 1. Не зменшуючи загальностi, вважаємо, що n(1) = µ1({z : |z| 6
6 1}) = µ2({z : |z| 6 1}) = 0. Зобразимо канонiчнi iнтеграли Lj, j = 1, 2, у формi
Lj(z) =
k=4
∑
k=1
Lj,k(z),
де
Lj,1(z) :=
∫
{ξ : |ξ|6R/2}
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p
)∣
∣
∣
∣
dµj(ξ),
Lj,2(z) :=
∫
{ξ : |ξ|>4R}
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p
)
∣
∣
∣
∣
dµj(ξ),
Lj,3(z) :=
∫
{ξ : R/2<|ξ|64R}
Re
(
z
ξ
+ · · · +
1
p(z/ξ)p
)
dµj(ξ),
Lj,4(z) :=
∫
{ξ : R/2<|ξ|64R}
log
∣
∣
∣
∣
1 −
z
ξ
∣
∣
∣
∣
dµj(ξ).
Розпочнемо з оцiнки рiзницi |L1,1(z)−L2,1(z)|, для цього застосуємо метод з [9,
с. 970–975]:
|L1,1(z) − L2,1(z)| =
∣
∣
∣
∣
∣
∫
|ξ|6R/2
(
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p
)
∣
∣
∣
∣
− log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
Tξ
, p
)
∣
∣
∣
∣
)
dµ1(ξ)
∣
∣
∣
∣
∣
. (8)
Виберемо однозначну вiтку функцiї H(θ) := log E(z/(teiθ), p) на дузi ξ̂, T ξ. Зазначимо, що
глобальний вибiр такої вiтки на колi {teiθ : t = |ξ|} неможливий. Застосовуючи формулу
H ′(θ) = −
(
z
|ξ|
e−iθ
)p
1 −
z
|ξ|
e−iθ
z
|ξ|
e−iθ(−i),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 15
отримуємо оцiнку
∣
∣
∣
∣
log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
ξ
, p
)
− log
∣
∣
∣
∣
E
(
z
Tξ
, p
)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6 |H(arg ξ) − H(arg Tξ)| 6
6 max
θ∈[arg ξ,arg Tξ]
H ′(θ)R−γ
6 max
θ∈[arg ξ,arg Tξ]
|z|p+1|ξ|−p/|ξ − z|R−γ . (9)
Застосовуючи (9), продовжимо оцiнку (8), стандартно (див., напр., [7, с. 22–23]) оцiню-
ючи iнтеграл Стiльтьєса
|L1,1(z) − L2,1(z)| 6 C4R
p+1−γ
R/2
∫
0
dn(t)
(|z| − t)tp
6 C5R
p−γ
R/2
∫
0
dn(t)
tp
6 C6R
ρ−γ . (10)
Подiбнi мiркування дають оцiнку
|L1,2(z) − L2,2(z)| 6 C7R
p+1−γ
∞
∫
4R
dn(t)
(t − |z|)tp
6 C8R
p+1−γ
∞
∫
4R
dn(t)
tp+1
6 C9R
ρ−γ . (11)
Перейдемо до оцiнки
|L1,3(z) − L2,3(z)| =
∣
∣
∣
∣
∣
∫
{R/2<|ξ|64R}
Re
k=p
∑
k=1
1
k
((
z
ξ
)k
−
(
z
Tξ
)k)
dµ1(ξ)
∣
∣
∣
∣
∣
6
6
∫
{R/2<|ξ|64R}
k=p
∑
k=1
|z|k
k
∣
∣
∣
∣
1
ξk
−
1
(Tξ)k
∣
∣
∣
∣
dµ1(ξ) 6
6
∫
{R/2<|ξ|64R}
k=p
∑
k=1
|z|k
k
max
w∈[ξ,T ξ]
k
|w|k+1
|ξ − Tξ| dµ1(ξ) 6
6 C10R
−γ
4R
∫
R/2
dn(t) 6 C11R
ρ−γ . (12)
Далi,
L1,4(z) − L2,4(z) =
∫
R/2<|ξ|64R
(
log
∣
∣
∣
∣
1 −
z
ξ
∣
∣
∣
∣
− log
∣
∣
∣
∣
1 −
z
Tξ
∣
∣
∣
∣
)
dµ1(ξ) =
=
∫
R/2<|ξ|64R
log
∣
∣
∣
∣
1 +
Tξ − ξ
z − Tξ
∣
∣
∣
∣
dµ1(ξ) 6
∫
R/2<|ξ|64R
log
(
1 +
|Tξ − ξ|
|z − Tξ|
)
dµ1(ξ) 6
6
∫
R/2<|ξ|64R
log
(
1 +
R−γ |ξ|
|z − Tξ|
)
dµ1(ξ) 6
∫
R/2<|ξ|64R
log
(
1 +
4R1−γ
|z − Tξ|
)
dµ1(ξ) =
=
∫
R/2<|ξ|64R
log
(
1 +
4R1−γ
|z − ξ|
)
dµ2(ξ). (13)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Позначимо через ν(z, t) мiру µ2({ξ : R/2 < |ξ| 6 4R}
⋂
{ξ : |ξ − z| 6 t}). Продовжимо оцiн-
ку (13):
L1,4(z) − L2,4(z) =
∫
R/2<|ξ|64R
log
(
1 +
4R1−γ
|z − ξ|
)
dµ2(ξ) =
=
8R
∫
0
log
(
1 +
4R1−γ
t
)
dν(z, t) = log
(
1 +
4R1−γ
8R
)
ν(z, 8R) +
+
8R
∫
0
1
1+
4R1−γ
t
4R1−γ
t2
ν(z, t)dt 6
1
2Rγ
n(10R) + 4R1−γ
8R
∫
0
1
t+4R1−γ
n(z, t)
t
dt. (14)
Застосуємо метод з роботи Хеймана [10]. Назвемо точку z легкою вiдносно мiри µ(z ∈
∈ L(µ)), якщо для кожного t ∈ (0,4R1−γ ] виконується умова n(z, t) < tRρ−1+ε0 < ε < 1.
В iншому випадку точка z називається важкою (z ∈ H(µ)). У випадку легкої точки z ∈ L(µ)
продовжимо оцiнку (14):
4R1−γ
4R1−γ
∫
0
1
t + 4R1−γ
n(z, t)
t
dt 6
4R1−γ
∫
0
Rρ−1+εdt 6 C12R
ρ−γ+ε. (15)
Крiм цього,
4R1−γ
8R
∫
4R1−γ
1
t + 4R1−γ
n(z, t)
t
dt 6 4R1−γ
10R
∫
0
n(t)dt
t2
6 C13R
−γ+1
10R
∫
0
tρ−2dt 6
6 C14R
ρ−γ . (16)
Оцiнимо розмiр виняткової множини важких точок H(µ)
⋂
{ξ : R 6 |ξ| < 2R}. З одного
боку, має мiсце мiра
n(2R) 6 C15R
ρ. (17)
З iншого боку, якщо z ∈ H(µ), то iснує tz ∈ (0,4R1−γ ] таке, що має мiсце нерiвнiсть n(z, tz) >
> tzR
ρ−1+ε, i звiдси стандартними мiркуваннями (див., напр., [9, с. 972–973]) отримуємо,
що множина H(µ)
⋂
{z : R < |z| 6 2R}) покривається не бiльш нiж злiченною множиною
кругiв вигляду {z : |z − zj | 6 tj}, де точка tj — важка, i виконується
∑
R<|zj |62R
tjR
ρ−1+ε
6 6µ(H(µ)
⋂
{z : R < |z| 6 2R}) 6 C16R
ρ,
звiдки випливає
∑
R<|zj |62R
tj < C17R
1−ε. (18)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 17
Функцiї L1,4(z) i L2,4(z) рiвноправнi, тому для z ∈ {ξ : R < |ξ| 6 2R} зовнi виняткової
множини H(Tµ) такого ж розмiру, що й H(µ), виконується нерiвнiсть
L2,4(z) − L1,4(z) 6 C17R
ρ−γ . (19)
З нерiвностей (10)–(12), (16), (18), (19) випливає твердження леми 1.
1. Vynnyts’kyi B. V., Khats’ R. V. On asymptotic behavior of entire functions of order less than one // Мат.
студiї. – 2003. – 19, № 1. – С. 97–105.
2. Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про асимптотичну поведiнку цiлих функцiй нецiлого порядку // Там
само. – 2004. – 21, № 2. – С. 140–150.
3. Хаць Р. В. Про асимптотичне поводження канонiчного добутку цiлого порядку // Там само. – 2004. –
22, № 1. – С. 105–110.
4. Хаць Р.В. Про коефiцiєнти Фур’є одного класу цiлих функцiй // Там само. – 2005. – 23, № 1. –
С. 99–102.
5. Винницький Б.В., Хаць Р. В. Про регулярнiсть зростання цiлої функцiї нецiлого порядку з нулями
на скiнченнiй системi променiв // Там само. – 2005. – 24, № 1. – С. 31–38.
6. Hayman W.K., Kennedy P. B. Subharmonic functions. Vol. 1. – London; New York; San Francisco:
Academic Press, 1976. – 285 p.
7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – Москва: Гостехтеоретиздат, 1956. – 632 с.
8. Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. IV //
Мат. сб. – 1965. – 66, № 3. – С. 411–457.
9. Гирнык М.А. Об асимптотических свойствах некоторых канонических произведений. II // Сиб. мат.
журн. – 1976. – 17, № 5. – С. 967–985.
10. Hayman W.K. Questions of regularity connected with the Phragmén–Lindelöf principle // J. Math. pures
et appl. – 1956. – 35. – P. 113–126.
Надiйшло до редакцiї 10.07.2008Львiвська комерцiйна академiя
M.O. Hirnyk
Subharmonic functions of improved regular growth
We find the asymptotic of a subharmonic function with improved regular growth in the terms of
the angular density of its Riesz measure. A new version of the so-called shift lemma is proved.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|