Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів
Наводяться основнi твердження методу скiнченних елементiв з оптимальним вибором параметрiв, базисних функцiй та координат вузлiв елементiв.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8448 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів / О.М. Литвин, I.В. Нефьодова // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 33-38. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8448 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-84482010-05-31T12:02:08Z Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів Литвин, О.М. Нефьодова, І.В. Інформатика та кібернетика Наводяться основнi твердження методу скiнченних елементiв з оптимальним вибором параметрiв, базисних функцiй та координат вузлiв елементiв. The finite element method scheme with optimal choice of the parameters, basic functions, and knots is proposed. 2009 Article Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів / О.М. Литвин, I.В. Нефьодова // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 33-38. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8448 519.6 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Литвин, О.М. Нефьодова, І.В. Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів |
| description |
Наводяться основнi твердження методу скiнченних елементiв з оптимальним вибором параметрiв, базисних функцiй та координат вузлiв елементiв. |
| format |
Article |
| author |
Литвин, О.М. Нефьодова, І.В. |
| author_facet |
Литвин, О.М. Нефьодова, І.В. |
| author_sort |
Литвин, О.М. |
| title |
Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів |
| title_short |
Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів |
| title_full |
Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів |
| title_fullStr |
Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів |
| title_full_unstemmed |
Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів |
| title_sort |
деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8448 |
| citation_txt |
Деякі аспекти чисельної реалізації методу скінченних елементів з оптимальним вибором параметрів, базисних функцій та координат вузлів елементів / О.М. Литвин, I.В. Нефьодова // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 33-38. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom deâkíaspektičiselʹnoírealízacíímetoduskínčennihelementívzoptimalʹnimviboromparametrívbazisnihfunkcíjtakoordinatvuzlívelementív AT nefʹodovaív deâkíaspektičiselʹnoírealízacíímetoduskínčennihelementívzoptimalʹnimviboromparametrívbazisnihfunkcíjtakoordinatvuzlívelementív |
| first_indexed |
2025-07-02T11:07:14Z |
| last_indexed |
2025-07-02T11:07:14Z |
| _version_ |
1836533085457350656 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2009
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
© 2009
О.М. Литвин, I. В. Нефьодова
Деякi аспекти чисельної реалiзацiї методу скiнченних
елементiв з оптимальним вибором параметрiв, базисних
функцiй та координат вузлiв елементiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Наводяться основнi твердження методу скiнченних елементiв з оптимальним вибором
параметрiв, базисних функцiй та координат вузлiв елементiв.
1. Постановка задачi. У данiй роботi дослiджуються схеми методу скiнченних елементiв
(МСЕ) розв’язування задачi Дiрiхле для двовимiрного рiвняння елiптичного типу другого
порядку, в яких з умови мiнiмуму функцiонала знаходяться вузловi параметри, базиснi
функцiї та координати вузлiв сiтки, на яку розбивається область iнтегрування. В обчис-
лювальнiй математицi вiдомi методи наближення функцiй за допомогою деякого набору
їх значень у фiксованих точках (вузлах), точнiсть яких покращується при оптимальному
виборi вузлiв (полiноми Чебишова П.Л., квадратурнi формули Гаусса тощо, якi приводять
до оптимальних алгоритмiв). Тому дослiдження схем МСЕ з оптимальним вибором вузлiв
сiтки є актуальною задачею.
2. Аналiз останнiх дослiджень i публiкацiй. Проблемi оптимального або близько-
го до оптимального вибору вузлiв в МСЕ були присвяченi роботи [1, 2], в яких дано апо-
стерiорний аналiз похибки i викладено адаптивний процес проведення обчислень в МСЕ.
Запропонований в цих роботах вибiр оптимальної або близької до оптимальної сiтки вузлiв
iстотно оснований на припущеннi, що базиснi функцiї в МСЕ є вiдомими сплайнами. У [3]
дослiджуються питання найкращого вибору вузлiв при iнтерполюваннi функцiй ермiтови-
ми сплайнами, зокрема отриманi явнi вирази для асимптотично оптимального розмiщення
вузлiв ермiтових сплайнiв. Цi результати можуть бути з вiдповiдними змiнами перенесенi на
випадок МСЕ, основаного на використаннi полiномiальних сплайнiв. У роботi [4] дослiджу-
ються деякi питання дiагностики особливостей точного розв’язання задачi Кошi методом
згущення сiтки.
У роботах О.М. Литвина та його учнiв [5] дослiджувалися схеми МСЕ, в яких опти-
мально вибиралися як вузловi параметри, так i базиснi функцiї при фiксованому наборi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 33
вузлiв розбиття. Тому актуальною є задача дослiдження схем МСЕ з оптимальним вибо-
ром вузлових параметрiв, базисних функцiй та координат вузлiв.
3. Формулювання цiлей роботи (постановка завдання). Метою даної роботи є
формулювання задачi оптимального вибору вузлових параметрiв, базисних функцiй та ко-
ординат вузлiв у методi скiнченних елементiв задачi Дiрiхле для рiвняння елiптичного типу
другого порядку (прямокутнi елементи) та обгрунтування запропонованого методу її розв’я-
зання; розробка алгоритму чисельної реалiзацiї запропонованої оптимiзацiйної задачi.
4. Допомiжнi твердження. Припустимо, що область Ω розбита лiнiями x = xk (k =
= 1,m), y = yl (l = 1, n) на елементи Πk,l = [xk, xk+1] × [yl, yl+1] (k = 1,m− 1, l = 1, n − 1)
i в кожному з цих елементiв наближений розв’язок ũ(x, y) крайової задачi
Lu(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ω, (1)
u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, (2)
де
Lu(x, y) = −
∂
∂x
(
p1(x, y)
∂u(x, y)
∂x
)
−
∂
∂x
(
p2(x, y)
∂u(x, y)
∂y
)
+ q(x, y)u(x, y),
p1, p2 ∈ C1(Ω), q ∈ C(Ω), f ∈ L2(Ω),
зображується у виглядi: ũ(x, y) = uk,l(x, y), (x, y) ∈ Πk,l ⊂ Ω
uk,l(x, y) =
1∑
µ=0
1∑
ν=0
Ck+µ,l+νh1
µ
k+µ,l+ν(s)h2
ν
k+µ,l+ν(t) = wk,l(s, t), (3)
де
s =
x− xk
xk+1 − xk
, t =
y − yl
yl+1 − yl
, h1µ
k,l(s), h2ν
k,l(t) ∈ C2[0, 1]
i мають властивостi
h10
k,l(0) = h20
k,l(0) = 1, h10
k,l(1) = h20
k,l(1) = 0,
h11
k,l(0) = h21
k,l(0) = 0, h11
k,l(1) = h21
k,l(1) = 1, ∀ (xk, yl) ∈ Ω.
(4)
Лема 1. Якщо функцiї h1µ
k,l(s), h2
ν
k,l(t) ∈ C2[0, 1] задовольняють властивостi (4), то
формула (3) задовольняє такi властивостi:
1) uk,l(xk+µ, yl+ν) = Ck+µ,l+ν, 0 6 µ, ν 6 1, Πk,l ⊂ Ω;
2) ũ(x, y) ∈ C(Ω)
⋂
W 1
2 (Ω);
3) якщо Ck,l = 0 ∀(xk, yl) ∈ ∂Ω, то ũ(x, y) ∈
◦
W 1
2 (Ω) = {u ∈ W 1
2 (Ω) | u(x, y) = 0, (x, y) ∈
∈ ∂Ω}.
Зауваження. Можна також припустити, що h1µ
k,l(s), h2
ν
k,l(t) ∈ C1[0, 1].
Введемо позначення
J̃k,l =
∫∫
Πk,l
(
p1
(
∂uk,l
∂x
)2
+ p2
(
∂uk,l
∂y
)2
+ qu2
k,l − 2fuk,l
)
dxdy,
p1 = p1(x, y), p2 = p2(x, y), q = q(x, y), f = f(x, y), uk,l = uk,l(x, y).
(5)
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Лема 2. Для функцiоналiв J̃k,l виконується рiвнiсть J̃k,l = Jk,l, де
Jk,l =
1∫
0
1∫
0
(
p1k,l(s, t)
(
∂wk,l(s, t)
∂s
)2
∆1−2
k + p2k,l(s, t)
(
∂wk,l(s, t)
∂t
)2
∆2−2
k +
+ qk,l(s, t)w
2
k,l(s, t) − 2fk,l(s, t)wk,l(s, t)
)
∆1k∆2ldsdt, (6)
∆1k = xk+1 − xk, ∆2l = yl+1 − yl,
p1k,l(s, t) = p1(s∆1k + xk, t∆2l + yl), p2k,l(s, t) = p2(s∆1k + xk, t∆2l + yl),
qk,l(s, t) = q(s∆1k + xk, t∆2l + yl), fk,l(s, t) = f(s∆1k + xk, t∆2l + yl).
Основнi твердження роботи.
Теорема 1. Функцiя h1i
k+i,l(s) входить у функцiонали Jk,l, Jk,l−1. Тому з урахуван-
ням того, що JΩ(u) =
∑
∏
k,l⊂Ω
Jk,l, рiвняння Ейлера для функцiонала JΩ, вiдносно функцiї
h1i
k+i,l(s), i = 0, 1, матиме вигляд
1∑
µ=0
1∑
ν=0
∂
∂s
(
(A1i,0
k,l,µ,ν(s) +A1i,1
k,l−1,µ,ν(s))
dh1µ
k+µ,l+ν(s)
ds
)
−
−
1∑
µ=0
1∑
ν=0
(B1i,0
k,l,µ,ν(s) +B1i,1
k,l−1,µ,ν(s))h1
µ
k+µ,l+ν(s) − F1i,0
k,l(s) − F1i,1
k,l−1(s) = 0, (7)
де
A1i,0
k,l,µ,ν(s) = Ck+µ,l+νCk+i,l
∆2l
∆1k
1∫
0
(p1k,l(s, t)h2
ν
k+µ,l+ν(t)h2
0
k+i,l(t))dt,
A1i,1
k,l−1,µ,ν(s) = Ck+µ,l+νCk+i,l
∆2l−1
∆1k
1∫
0
(p1k,l−1(s, t)h2
ν
k+µ,l+ν(t)h2
1
k+i,l(t))dt,
B1i,0
k,l,µ,ν(s) =
(
∆1k
∆2l
1∫
0
(
p2k,l(s, t)
dh2ν
k+µ,l+ν(t)
dt
dh20
k+i,l(t)
dt
)
dt −
− ∆1k∆2l
1∫
0
(qk,l(s, t)h2
ν
k+µ,l+ν(t)h2
0
k+i,l(t))dt
)
Ck+µ,l+νCk+i,l,
B1i,1
k,l−1,µ,ν(s) =
(
∆1k
∆2l−1
1∫
0
(
p2k,l−1(s, t)
dh2ν
k+µ,l+ν(t)
dt
·
dh21
k+i,l(t)
dt
)
dt−
− ∆1k∆2l−1
1∫
0
(qk,l−1(s, t)h2
ν
k+µ,l+ν(t)h21
k+i,l(t))dt
)
Ck+µ,l+νCk+i,l,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 35
F1i,0
k,l(s) = Ck+i,l∆1k∆2l
1∫
0
fk,l(s, t)h2
0
k+i,l(t)dt,
F1i,1
k,l(s) = Ck+i,l∆1k∆2l−1
1∫
0
fk,l−1(s, t)h2
1
k+i,l(t)dt.
Аналогiчну систему рiвнянь можна отримати при мiнiмiзацiї функцiонала JΩ за функ-
цiями h2j
k,l+j(s), j = 0, 1,
1∑
µ=0
1∑
ν=0
∂
∂t
(
(A20,j
k,l,µ,ν(t) +A21,j
k−1,l,µ,ν(t))
dh2ν
k+µ,l+ν(t)
dt
)
−
−
1∑
µ=0
1∑
ν=0
(B20,j
k,l,µ,ν(t) +B21,j
k−1,l,µ,ν(t))h2
ν
k+µ,l+ν(t) − F20,j
k,l (t) − F21,j
k−1,l(t) = 0. (8)
Вирази для вiдповiдних коефiцiєнтiв опускаємо.
Системи (7), (8) являють собою систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь з такою влас-
тивiстю: система (7) є системою диференцiальних рiвнянь, коефiцiєнти якої А1, В1 залежать
вiд функцiй h2ν
k+µ,l+ν(t) i навпаки, система (8) є системою диференцiальних рiвнянь, ко-
ефiцiєнти якої А2, В2 залежать вiд функцiй h1µ
k+µ,l+ν(s). Ця властивiсть лежить в основi
запропонованого методу наближеного знаходження розв’язку поставленої оптимiзацiйної
задачi.
Теорема 2. Якщо наближений розв’язок задачi (1), (2) шукати у виглядi ũ(x, y), то
для знаходження Ck,l отримаємо систему Рiтца
∑
(xk,yl)∈Ω
γm,n,k,lCk,l = βm,n, (xm, yn) ∈ Ω, (9)
де γm,n,k,l = [h1k,l(x)h2k,l(y), h1m,n(x)h2m,n(y)],
[ϕ(x, y), ψ(x, y)] :=
∫∫
Ω
(
p1(x, y)
∂ϕ(x, y)
∂x
∂ψ(x, y)
∂x
+ p2(x, y)
∂ϕ(x, y)
∂y
∂ψ(x, y)
∂y
+
+ g(x, y)ϕ(x, y)ψ(x, y)
)
dxdy,
βm,n =
∫∫
Ω
f(x, y)h1m,n(x)h2m,n(y) dxdy.
Для знаходження невiдомих функцiй h1k,l(x), h2k,l(y) необхiдно розв’язати систему iн-
тегро-диференцiальних рiвнянь
δh1µ
k,l
JΩ(ũ) = 0, δh2ν
k,l
JΩ(ũ) = 0, ∀ (k, l) : (xk, yl) ∈ Ω, 0 6 µ, ν 6 1. (10)
Для оптимального вибору вузлiв (xk, yl) потрiбно розв’язати задачу
JΩ(ũ) → min
(xk,yl)∈Ω
, (11)
де мiнiмiзацiя функцiонала проводиться при умовi, що h1µ
k,l, h2
ν
k,l знайденi.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Алгоритм чисельного розв’язання оптимiзацiйної задачi (9)–(11). Мiнiмiзацiя
функцiонала JΩ(ũ) за сталими Ck,l, функцiями h1µ
k,l(s), h2
ν
k,l(t) та вузлами (xk, yl) повинна
проводитись одночасно, але з практичної точки зору зручним є iтерацiйний процес, який
опишемо за кроками.
К р о к 1. Задаємо початкове розбиття областi Ω на прямокутнi елементи
∏
k,l
прямими
x = xk (k = 1,m1) та y = yl (l = 1,m2). Отриманi вузли (xk, yl) будемо вважати початковим
наближенням системи вузлiв i позначати (x
〈0〉
k , y
〈0〉
l ).
К р о к 2. Задаємо початковi базиснi функцiї h1
µ〈0〉
k,l (s), h2
ν〈0〉
k,l (t) у виглядi довiльних функ-
цiй з властивостями (4).
К р о к 3. Знаходимо початкове наближення C
〈0〉
k,l для невiдомих параметрiв Ck,l шляхом
розв’язання вiдповiдної системи Рiтца (9).
К р о к 4. Знаходимо оптимальнi значення (x
〈1〉
k , y
〈1〉
l ), якi вiдповiдають базисним функ-
цiям h1
µ〈0〉
k,l (s), h2
ν〈0〉
k,l (t), з умови JΩ(uk,l) → min
(xk ,yl)∈Ω
, якщо Ck,l змiнюється на кожнiй iте-
рацiї, тобто на кожнiй iтерацiї Ck,l знаходиться шляхом розв’язання вiдповiдної системи
Рiтца.
Кроки 1–4 завершують блок, який умовно можна назвати блоком оптимального вибору
вузлiв (xk, yl) при вiдомих базисних функцiях h1
µ〈0〉
k,l (s), h2
ν〈0〉
k,l (t). Наступний блок умовно
можна назвати блоком оптимального вибору базисних функцiй h1µ
k,l(s), h2
ν
k,l(t) при заданiй
сiтцi розбиття з вузлами (xk, yl).
К р о к 5. Пiдставляємо у функцiонал JΩ(uk,l) знайденi значення C
〈1〉
k,l , вузли (x
〈1〉
k , y
〈1〉
l ) та
початкове наближення до функцiй h2
ν〈0〉
k,l (t). В результатi JΩ(ũ) буде функцiоналом, який
залежить лише вiд невiдомих функцiй h1k,l(s), h1
′
k,l(s) та вiд змiнної s, тобто JΩ(ũ) =
= J1(h1k,l(s), h1
′
k,l(s), s).
Знаходимо цi функцiї з умови мiнiмуму функцiонала JΩ(ũ), розв’язуючи систему рiв-
нянь (7), коефiцiєнти якої залежать вiд функцiй h2
ν〈0〉
k,l (t). Знайденi h1k,l(s) позначимо як
h1
µ〈1〉
k,l (s) i пiдставимо їх у систему (8). З цiєї системи знаходимо h2k,l(t) та позначаємо
h2
ν〈1〉
k,l (t).
Крок 5 дозволяє знову повторити кроки 1–4, тобто вибрати оптимальну сiтку при умовi,
що базиснi функцiї h1µ
k,l(s), h2
ν
k,l(t) вибранi оптимально на кроцi 5.
Процес цей продовжуємо до тих пiр, поки не буде виконуватись одна iз умов:
1) |J
〈r〉
Ω (ũ) − J
〈r−1〉
Ω (ũ)| < ε,
2) |x
〈r〉
k − x
〈r−1〉
k | < ε1, |y
〈r〉
l − y
〈r−1〉
l | < ε1,
де ε та ε1 — заданi дослiдником числа.
Таким чином, в роботi запропоновано загальний метод побудови схем МСЕ з оптималь-
ним вибором вузлових параметрiв, базисних функцiй та вузлiв.
1. Kelly D.W., Gago J. P. de S. R., Zienkiewicz O.C., Babuska I. A posteriori error analysis and adaptive
processes in the finite element method: Part I. Error analysis // Int. J. for numer. methods in Eng. –
1983. – 19. – P. 1593–1619.
2. Kelly D.W., Gago J. P. de S. R., Zienkiewicz O.C., Babuska I. A posteriori error analysis and adaptive
processes in the finite element method: Part II. Adaptive mesh refinement // Ibid. – P. 1621–1656.
3. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при интерполировании функций эрмитовыми
сплайнами // Analysis math., 3. – 1976. – № 2. – С. 267–275.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 37
4. Альшина Е.А., Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Диагностика особенностей точного решения методом
сгущения сеток // Докл. АН. – 2005. – 404, № 3. – С. 295–299.
5. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 331 с.
Надiйшло до редакцiї 16.09.2008Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
O.M. Lytvyn, I. V. Nefodova
Some aspects of numerical realization of the finite element method with
optimal choice of the parameters, basic functions, and coordinates of
knots of elements
The finite element method scheme with optimal choice of the parameters, basic functions, and
knots is proposed.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|