Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца
Запропоновано математичнi моделi для системи пiдтримки прийняття рiшень у страховому забезпеченнi лiкування онкологiчних захворювань. Моделi включають як опис процесу росту онкологiчного утворення, так i багатостадiйнi ймовiрнiснi моделi з метою страхування....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84634 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца / В.П. Марценюк, I.Є. Андрущак, I.С. Гвоздецька, Н.Я. Климук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 34-39. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84634 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-846342015-07-12T03:02:29Z Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. Климук, Н.Я. Інформатика та кібернетика Запропоновано математичнi моделi для системи пiдтримки прийняття рiшень у страховому забезпеченнi лiкування онкологiчних захворювань. Моделi включають як опис процесу росту онкологiчного утворення, так i багатостадiйнi ймовiрнiснi моделi з метою страхування. Предложены математические модели для системы поддержки принятия решений в страховом обеспечении лечения онкологических заболеваний. Модели включают как описание процесса роста онкологического образования, так и многостадийные вероятностные модели с целью страхования. We have proposed models for a decision supporting system in the oncological diseases’ treatment insurance. The models describe the growth of oncological formations and include multistage probability models aimed at the insurance. 2012 Article Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца / В.П. Марценюк, I.Є. Андрущак, I.С. Гвоздецька, Н.Я. Климук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 34-39. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84634 519.21 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. Климук, Н.Я. Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца Доповіді НАН України |
| description |
Запропоновано математичнi моделi для системи пiдтримки прийняття рiшень у страховому забезпеченнi лiкування онкологiчних захворювань. Моделi включають як опис
процесу росту онкологiчного утворення, так i багатостадiйнi ймовiрнiснi моделi з метою страхування. |
| format |
Article |
| author |
Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. Климук, Н.Я. |
| author_facet |
Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Гвоздецька, І.С. Климук, Н.Я. |
| author_sort |
Марценюк, В.П. |
| title |
Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца |
| title_short |
Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца |
| title_full |
Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца |
| title_fullStr |
Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца |
| title_full_unstemmed |
Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца |
| title_sort |
математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки гомперца |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84634 |
| citation_txt |
Математичні моделі в системі підтримки прийняття рішень страхового забезпечення лікування онкологічних захворювань: підхід на основі динаміки Гомперца / В.П. Марценюк, I.Є. Андрущак, I.С. Гвоздецька, Н.Я. Климук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 34-39. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT marcenûkvp matematičnímodelívsistemípídtrimkiprijnâttâríšenʹstrahovogozabezpečennâlíkuvannâonkologíčnihzahvorûvanʹpídhídnaosnovídinamíkigomperca AT andruŝakíê matematičnímodelívsistemípídtrimkiprijnâttâríšenʹstrahovogozabezpečennâlíkuvannâonkologíčnihzahvorûvanʹpídhídnaosnovídinamíkigomperca AT gvozdecʹkaís matematičnímodelívsistemípídtrimkiprijnâttâríšenʹstrahovogozabezpečennâlíkuvannâonkologíčnihzahvorûvanʹpídhídnaosnovídinamíkigomperca AT klimuknâ matematičnímodelívsistemípídtrimkiprijnâttâríšenʹstrahovogozabezpečennâlíkuvannâonkologíčnihzahvorûvanʹpídhídnaosnovídinamíkigomperca |
| first_indexed |
2025-07-06T11:42:10Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:42:10Z |
| _version_ |
1836897671166558208 |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2012
В.П. Марценюк, I. Є. Андрущак, I. С. Гвоздецька, Н.Я. Климук
Математичнi моделi в системi пiдтримки прийняття
рiшень страхового забезпечення лiкування онкологiчних
захворювань: пiдхiд на основi динамiки Гомперца
(Представлено академiком НАН України I.М. Коваленком)
Запропоновано математичнi моделi для системи пiдтримки прийняття рiшень у стра-
ховому забезпеченнi лiкування онкологiчних захворювань. Моделi включають як опис
процесу росту онкологiчного утворення, так i багатостадiйнi ймовiрнiснi моделi з ме-
тою страхування.
Сучасний стан охорони здоров’я тiсно пов’язаний з орiєнтацiєю на доказову медицину,
головними напрямами якої є: стандартизацiя охорони здоров’я та медичних дослiджень,
активне використання систем пiдтримки рiшень в медичних наукових дослiдженнях, роз-
робка клiнiчних довiдкових систем.
Подоланню суперечностей мiж обсягом медичної iнформацiї i можливiстю її повноцiн-
ного аналiзу буде сприяти використання в медицинi iнформацiйних систем, що спираються
на методи моделювання, системного аналiзу та теорiї прийняття рiшень.
При цьому основою для декомпозицiї в алгоритмах системного аналiзу в медицинi є змi-
стовна модель захворювання. Поняття захворювання розумiємо як iнтеграцiю патологiчних
процесiв, що характеризується обмеженням захисно-пристосувальних явищ та зниженням
працездатностi людини [1]. Звiдси визначальним в аналiзi захворювання має бути вивче-
ння патологiчного процесу. До того ж при використаннi моделей захворювань в клiнiчнiй
практицi необхiдно враховувати такi процеси, як фармакокiнетика та фармакодинамiка
лiкарського препарату.
З iншого боку, системно-аналiтичне обгрунтування застосування схем та методик лi-
кування повинно спиратися на адекватнi фiнансовi моделi, такi як медичне страхування
з розрахунком тривалостi перебування пацiєнта на стадiї захворювання, вартостi лiкуван-
ня, визначенням основних показникiв полiсу медичного страхування.
Наведена вище проблематика спонукає до розробки iнформацiйно-аналiтичної системи
пiдтримки прийняття рiшень, нацiленої на розв’язання задач вибору оптимальних схем
лiкування на основi iнтеграцiї моделей патологiчного процесу та медичного страхування.
Критерiями якостi в таких моделях є як характеристики патологiчного процесу, показники
токсичностi лiкування, так i основнi параметри медичного страхового полiсу.
Аналiз програмного забезпечення даної проблеми. Аналiзуючи iснуюче програм-
не забезпечення системних медичних дослiджень [2], наобхiдно вказати на вiдсутнiсть про-
грамних продуктiв, якi б iнтегрували математичнi моделi патологiчних процесiв з ураху-
ванням фармакокiнетики та моделi медичного страхування. Створення таких продуктiв
приводить до необхiдної розробки ефективних математичних моделей та методiв.
Основнi твердження. Одним з найскладнiших патологiчних процесiв є процес росту
патологiчного утворення. В роботi [3] для опису пухлинного росту запропоновано викорис-
товувати динамiку Гомперца. Тому в данiй роботi як базова модель пропонується модель
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
протипухлинного iмунiтету з урахуванням впливу пошкодженого органу-мiшенi на iмунну
вiдповiдь. До того ж практичнi задачi, пов’язанi з радiотерапевтичним та радiохiрургiчним
(гаманiж, кiбернiж) лiкуванням вимагають розгляду iмпульсних впливiв в таких моделях.
Отже, для патологiчного процесу застосовується модель
dL(t)
dt
= αLL(t) ln
θL
L(t)
− γLF (t)L(t),
dC(t)
dt
= ξ(m)αL(t − τ)F (t− τ)− µC(C(t)− C0),
dF (t)
dt
= bfC(t)− (µf + ηγLL(t))F (t),
dm(t)
dt
= σL(t)− µmm(t), t 6= nT, n ∈ N,
∆L(t) = −pL(t) (0 < p < 1),
∆C(t) = ∆F (t) = 0,
∆m(t) = −pm(t)
t = nT, n ∈ N
(1)
з початковими умовами
(φ1(s), φ2(s), φ3(s), φ4(s)) ∈ C+ = C([−τ, 0], R4
+),
φi(0) > 0 (i = 1, 3).
(2)
Система (1) розглядається в бiологiчно значущiй областi
D = {(L,C, F,m) | L,C, F,m > 0}.
Значення змiнних та коефiцiєнтiв моделi описанi в роботi [1].
Вiдзначимо, що iмпульснi диференцiальнi рiвняння в загальному виглядi можуть не
мати жодного розв’язку, навiть коли вiдповiднi диференцiальнi рiвняння є досить гладкими.
Тому в роботi [4] запропоновано оцiнки розв’язкiв системи (1), (2) в термiнах параметрiв
моделi в явному виглядi.
Модель (1), (2) може бути використана для опису патологiчного процесу пухлинного
росту та для вибору схем лiкування в задачах оптимального керування. В той же час за-
дачi медичного страхування у випадку онкологiчних захворювань вимагають поряд з (1),
(2) розгляду моделей для визначення основних показникiв страхового полiсу — вижива-
нiсть пацiєнта, розмiр страхових премiй, розрахунок вартостi лiкування тощо. Це вимагає
розгляду ймовiрнiсних моделей багатостадiйних захворювань, у яких параметри розподiлiв
показникiв пухлинного росту випливають з моделi (1), (2).
У роботi [5] запропоновано багатостадiйну модель онкологiчного захворювання як ком-
партментний процес, для якого вiдомi закони розподiлу часу перебування пацiєнта на кож-
нiй iз стадiй. Так чотиристадiйна модель захворювання має вигляд, наведений на рис. 1.
Тут Vi, i = 0, 2, — час перебування пацiєнта на стадiї i, i = 0, 2, до моменту переходу на
стадiю i+1, i = 0, 2; Ui — час перебування пацiєнта на стадiї i, i = 0, 2, до настання смертi,
тобто переходу на стадiю 3 (для коректностi вважаємо, що V2 = U2).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 35
Рис. 1. Компартментна модель чотиристадiйного захворювання
Щоб отримати перехiднi ймовiрностi та розрахунок ряду страхових функцiй, вводяться
такi випадковi величини:
Hi = min(Ui, Vi), i = 0, 2,
Wi = Ui − Vi, i = 0, 2,
Yij =
j
∑
k−1
Hk, i 6 j = 0, 2.
Основний результат роботи стверджує
Теорема 1. Перехiднi ймовiрностi qij(t), i 6 j = 0, 2, можуть бути розрахованi згiдно
з спiввiдношеннями
qij(t) = P
{
S(t) =
j
S(0) = i
}
= P{Wk > 0, k = i, j − 1} ×
×
(
P
{
Yij > t/Wk > 0, k = i, j − 1
}
− P
{
Yij−1 > t/Wk > 0, k = i, j − 1
}
)
.
(3)
Припустимо далi експоненцiальний розподiл величин Ui та Vi, i = 0, 2, а саме:
Ui ∼ exp(θ), i = 0, 2, Vi ∼ exp(λi), i = 0, 1. (4)
Теорема 2. У випадку припущення (4) щодо характеру розподiлу величин Ui та Vi,
i = 0, 2, перехiднi ймовiрностi qij(t), i 6 j = 0, 2, можуть бути розрахованi таким чином:
q00(t) = e−(θ0+λ0)t, t > 0,
q01(t) =
λ0
θ0 + λ0
(
θ0 + λ0
θ1 + λ1 − θ0 − λ0
e−(θ1+λ1)t − e−(θ0+λ0)t
)
, t > 0,
q02(t) =
λ0λ1
(θ0 + λ0)(θ1 + λ1)
×
×
(
(θ0 + λ0)(θ1 + λ1)e
−θ2t
(θ1 + λ1 − θ0 − λ0)(θ2 − θ1 − λ1)θ2
− (θ0 + λ0)
(θ1 + λ1 − θ0 − λ0)
e−(θ1+λ1)t
)
, t > 0,
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
q03(t) = 1− q00(t)− q01(t)− q02(t), t > 0,
q11(t) = e−(θ1+λ1)t, t > 0,
q12(t) =
λ1
θ1 + λ1
(
θ1 + λ1
θ2 − θ1 − λ1
e−θ2t − e−(θ1+λ1)t
)
, t > 0,
q13(t) = 1− q11(t)− q12(t), t > 0,
q22(t) = e−(θ2+λ2)t, t > 0,
q23(t) = 1− e−(θ2+λ2)t, t > 0.
Вiдзначимо, що припущення (4) щодо експоненцiального розподiлу величин Ui та Vi,
i = 0, 2, хоча й дає явний вигляд формул для обчислення перехiдних ймовiрностей i може
бути застосоване в багатьох випадках, та все ж не зовсiм вiдповiдає пухлинному росту,
який, як пiдтверджено експериментально [3], вiдповiдає динамiцi Гомперца. Даному закону
розподiлу пiдлягають i виживанiсть онкохворих, а також час їх перебування на стадiях
захворювання. Тому далi також розглядаємо випадок, коли величини Ui, Vi, i = 0, 2, мають
розподiл Гомперца, тобто Ui ∼ G(µi, ηi), Vi ∼ G(αi, βi), i = 0, 2. При цьому використовується
переозначення параметрiв розподiлу Гомперца, вiдповiдно до якого
FUi
(t) = 1− exp
[
−e(t−µi)/ηi
]
,
FVi
(t) = 1− exp
[
−e(t−αi)/βi
]
, i = 0, 2.
У подальшому розглядатимемо лише випадок, коли ηi = βi, i = 0, 2.
Теорема 3. Нехай U ∼ G(µ, η) i V ∼ G(α, β) — випадковi величини, розподiленi вiд-
повiдно до розподiлу Гомперца, причому η = β. Тодi рiзниця W = U − V розподiлена за
законом розподiлу iз щiльнiстю
fU−V (t) =
ηe−(t+µ+α)/η
(
e−µ/η + e−(t+α)/η
)2 . (5)
При розрахунку загального часу перебування на стадiях захворювання в даному випад-
ку ми неодмiнно прийдемо до спецiальних функцiй. Як приклад — результат, отриманий
у випадку моделi при вiдсутностi смертностi на промiжних стадiях захворювання.
Теорема 4. Нехай V0 — розподiлена вiдповiдно G(µ, η), а V1 — вiдповiдно, G(0, η)-неза-
лежнi випадковi величини. Тут µ, η > 0.
Тодi випадкова величина Y = V0 + V1 має функцiю розподiлу
FY (t) = 1− 2
√
ZK1
(
2
√
Z
)
, (6)
де Z = e(t−µ)/η , а K1(·) — модифiкована функцiя Бесселя другого роду.
Далi наведемо порядок обчислення в моделi страхових функцiй, пов’язаних iз рiвнем
премiй, очiкуваних виплат i тривалiстю життя. Бiльш детально такi страховi функцiї опи-
санi в роботi [6].
Виплати i премiї переважно описуються в термiнах грошових одиниць (наприклад $1).
Майбутня виплата в $1 для особи, яка пережила t одиниць часу, зараз становить $e−δt, де
δ — сила зацiкавленостi. Цей $1 буде виплачено лише якщо особа виживе i буде на стадiї j
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 37
в момент t. Позначимо Ei(t) поточну очiкувану вартiсть для особи, яка зараз знаходиться
на стадiї i. Тодi Ei(t) =
2
∑
j=i
(поточна вартiсть $1) qij(t). Звiдси загальна разова премiя для
t-рiчного страхування для особи на стадiї i в момент видачi страхового полiсу становить:
Ei(t) =
2
∑
j=i
e−δtqij(t).
Страховий полiс з неперервним ануiтетом на t рокiв для особи, яка знаходиться на стадiї i,
має вартiсть:
ai(t) =
2
∑
j=i
t
∫
0
e−δsqij(s) ds.
Це можна переписати як
ai(t) =
2
∑
j=i
t
∫
0
Q∗
ij(t), де Q∗
ij(t) =
t
∫
0
e−δsqij(s) ds, i 6 j 6 2.
Загальна разова премiя для такого страхового полiсу з неперервним t-рiчним ануiтетом
може бути розрахована так:
Ai(t) =
2
∑
j=i
t
∫
0
θ′j
t
∫
0
e−δsqij(s) ds =
2
∑
j=i
θ′jQ
′
ij(t),
де θ′j — параметр смертностi для особи на стадiї j, тобто θ′j = θj.
I, нарештi, отримуємо загальну неперервно сплачувану премiю за одиницю часу для
t-рiчного страхового полiсу з неперервним ануiтетом для особи, що перебуває на стадiї i
в момент видачi полiсу:
P i(t) =
Ai(t)
ai(t)
.
Очiкувана тривалiсть життя для особи на стадiї i становить
ei =
2
∑
j=i
θ′j
∞
∫
0
tqij(t) dt =
2
∑
j=i
θj
∞
∫
0
tqij(t) dt =
2
∑
j=i
θjQij,
де Qij =
∞
∫
0
tqij(t) dt.
Очевидно, що параметри страхового полiсу повиннi випливати з вартостi медичних по-
слуг, якi будуть надаватися. Так вартiсть t-рiчного полiсу з неперервним ануiтетом ai(t) має
вiдповiдати очiкуванiй вартостi медичних послуг для особи, яка знаходиться в даний час
на стадiї i з урахуванням вартостi $1 в майбутньому. Наприклад, вартiсть медичних послуг
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
для особи, яка зараз знаходиться на стадiї i = 0, 1, яка впродовж часу (0, t) переходить на
завершальну стадiю 2, може бути обчислена як
H(t, i) =
t
∫
0
(c1i + c2ie
his)e−δsqi2(s) ds,
де c1s, c2s, h1 — додатнi сталi. Тут c1i — деяка фiксована вартiсть медичних послуг для
стадiї i (наприклад, вартiсть основного лiкування); c2e
his (0 < s < t) — змiнна вартiсть
лiкування, яка визначається початковою стадiєю i та часом s.
1. Патологическая физиология / Под ред. А.Д. Адо и Л.М. Ишимовой. – Москва, 1980. – 535 с.
2. Андрущак I.Є. Програмне забезпечення фармакокiнетичних системних дослiджень // Медична iн-
форматика та iнженерiя. – 2009. – № 3. – С. 76–82.
3. Laird A.K. Dynamics of tumor growth // Br J. of Cancer. – 1964. – 18. – P. 490–502.
4. Марценюк В.П., Андрущак И.Е., Гвоздецкая И.С. Построение оценок решений в модели противо-
опухолевого иммунитета с импульсными возмущениями // Кибернетика и системный анализ. – 2012. –
№ 2. – С. 50–54.
5. Марценюк В.П., Климук Н.Я. Модель багатостадiйного захворювання для задач медичного страху-
вання // Штучний iнтелект. – 2012. – № 1. – С. 40–46.
6. Bowers N. L., Yerber H.U., Hickmen J. C. et al. Actuarial mathematics. – Schaumbury: The Society of
Actuaries, 1997. — 753 p.
Надiйшло до редакцiї 29.03.2012Тернопiльський державний медичний унiверситет
iм. I.Я. Горбачевського
В.П. Марценюк, И. Е. Андрущак, И. С. Гвоздецкая, Н. Я. Климук
Математические модели в системе поддержки принятия решений
страхового обеспечения лечения онкологических заболеваний:
подход на основе динамики Гомперца
Предложены математические модели для системы поддержки принятия решений в стра-
ховом обеспечении лечения онкологических заболеваний. Модели включают как описание про-
цесса роста онкологического образования, так и многостадийные вероятностные модели
с целью страхования.
V.P. Martsenyuk, I. E. Аndrushchak, I. S. Gvozdetska, N. Y. Кlymuk
Mathematical models in a system of the support of decisions for the
oncological treatment ensurance: an approach based on the Homperzian
dynamics
We have proposed models for a decision supporting system in the oncological diseases’ treatment
insurance. The models describe the growth of oncological formations and include multistage probabi-
lity models aimed at the insurance.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 39
|