Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями

С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нелинейности...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
1. Verfasser:	Гололобов, В.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84638
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями / В.И. Гололобов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 50-55. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84638
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-846382015-07-12T03:02:11Z Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями Гололобов, В.И. Механіка С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нелинейности. Iз застосуванням методу Бубнова–Гальоркiна розглянуто задачу про вимушенi резонанснi коливання круглої гнучкої в’язкопружної пластини при електромеханiчному навантаженнi. Наведено результати розрахунку резонансних характеристик пластини з двома п’єзоперетворювачами з урахуванням геометричної нелiнiйностi. By the Bubnov–Galerkin method, the problem of forced resonance vibrations of a flexible circular viscoelastic plate under an electromechanical load is considered. The results of calculations of the resonance characteristics of a plate with two piezoelectric transducers with regard for a geometric nonlinearity are presented. 2012 Article Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями / В.И. Гололобов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 50-55. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84638 539 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Гололобов, В.И. Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями Доповіді НАН України
description	С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нелинейности.
format	Article
author	Гололобов, В.И.
author_facet	Гололобов, В.И.
author_sort	Гололобов, В.И.
title	Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями
title_short	Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями
title_full	Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями
title_fullStr	Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями
title_full_unstemmed	Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями
title_sort	осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84638
citation_txt	Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями / В.И. Гололобов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 50-55. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gololobovvi osesimmetričnyerezonansnyekolebaniâgibkojšarnirnoopertojvâzkouprugojplastinyspʹezosloâmi
first_indexed	2025-07-06T11:42:24Z
last_indexed	2025-07-06T11:42:24Z
_version_	1836897685332819968
fulltext	УДК 539 © 2012 В.И. Гололобов Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями (Представлено академиком НАН Украины Ю.Н. Шевченко) С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резо- нансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нелинейности. Для уменьшения интенсивности вибраций конструктивных элементов широко применяются демпфирующие материалы. Наряду с этим, нанесение пьезослоев на поверхности пластин и использование их в качестве электромеханических преобразователей дает возможность оказывать дополнительное воздействие с целью частичной компенсации вибронагрузок и та- ким образом осуществлять управление интенсивностью колебаний электрическим путем. В работе рассматривается задача о колебаниях тонкой пластинки под поперечной на- грузкой, синусоидально изменяющейся во времени в области частот, близких к резонан- сной. Трехслойная пластина радиусом a с вязкоупругим внутренним слоем толщиной h имеет два наружных пьезокерамических слоя толщиной δ. Эти слои поляризованы в осе- вом направлении и на их поверхности нанесены круговые электроды, к которым приложе- но компенсационное электрическое напряжение, синусоидально изменяющееся во времени и совпадающее по частоте с основной нагрузкой. Отнесем сечение пластины к осям r и γ, где ось γ направлена параллельно оси вращения, совместив начало координат с точкой пересечения оси вращения со срединной плоскостью основного слоя. Электрическое напряжение амплитуды V приложено к пьезослоям таким образом, что возникающие в защемленном элементе пластины механические напряжения эквивалентны моменту Me. Нагрузки представим в виде p(r, t) = p1(t)p0(r), Me(r, t) = m1(t)[H(r)−H(r − r2)], где H(r) — единичная ступенчатая функция; при r2 = a выражение для Me представляет равномерно распределенную по площади пластины электрическую нагрузку. Обозначим через u(r) и w(r) амплитуды перемещений точек срединной поверхности основного слоя в направлении осей r и γ. При вибрационном возбуждении колебаний пластинки в околорезонансной области по- перечные перемещения не будут малыми по сравнению с толщиной и для описания дина- мического процесса используется геометрически нелинейная теория изгиба пластин. При этом влияние пьезоэлектрических слоев учитывается на основе предположения о незави- симости электрической индукции от толщинной координаты. Вследствие этого для вычис- лении жесткостных характеристик элемента пластинки в случае растяжении используется 50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10 жесткостная характеристика пьезоматериала для плоского напряженного состояния cE11, а в случае изгиба — приведенная жесткость материала [1] c = cE11 + e2 ε ( 1− 3 4 h2 + 2hδ + δ2 3 4 h2 + 3 2 hδ + δ2 ) , где величины cE11, e и ε определяются по стандартным характеристикам пьезоматериала [2] cE11 = sE 11 (sE 11 )2 − (sE 12 )2 , e = d31 sE 11 + sE 12 , ε = εT33 − 2d31e. Представим свойства материала вязкоупругого слоя в виде [3] σ(t) = E0ε(t) + t ∫ 0 ε(τ) dE(t − τ ) d(t− τ) dτ = E0E ∗ ε(t), где E0 — мгновенный модуль; E(t) — релаксационный модуль. Считая, что коэффициент ν принимает одинаковые значения для всех слоев, опреде- ляющие соотношения для элемента пластины можно записать в виде Nr = (D′′ N +D′ NE∗)(εr + νεθ), Mr = (D′′ M +D′ ME∗)(κr + νκθ) +Me, Nθ = (D′′ N +D′ NE∗)(νεr + εθ), Mθ = (D′′ M +D′ ME∗)(νκr + κθ) +Me, где D′ N = E0h 1− ν2 , D′ M = E0h 3 12(1 − ν2) , D′′ N = 2cE11δ, D′′ M = 2 3 c [( h 2 + δ )3 − ( h 2 )3] , ν = − sE 12 sE 11 , Me = e(δ + h)V. Остальные уравнения геометрически нелинейной теории колебаний пластинки [4] имеют вид: геометрические εr = ∂u ∂r + 1 2 ( ∂w ∂r )2 , εθ = u r , κr = − ∂2w ∂r2 , κθ = − 1 r ∂w ∂r , ϑ = − ∂w ∂r , уравнений движения 1 r ∂ ∂r (rMr) = 1 r Mθ +Q, 1 r ∂ ∂r [ r ( Q+Nr ∂w ∂r )] = ρh ∂2w ∂t2 − p, ∂ ∂r (rNr) = Nθ, где ρh = ρ1h + 2ρ2δ — удельная масса элемента пластинки. Здесь не учитывается состав- ляющая сил инерции, действующая в плоскости пластинки. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 51 Введем безразмерные величины r = aρ, h = a ⌢ h, w = a ⌢ w, σ = E0 ⌢ σ, p = E0q, κr = 1 a ⌢ κρ, κθ = 1 a ⌢ κθ, E = E0 ⌢ E, τ = √ E0 ρha t, ωt = ⌢ ωτ, Q = E0a ⌢ Q, Nr = E0a ⌢ Nρ, Nθ = E0a ⌢ N θ, Mr = E0a 2 ⌢ Mρ, Mθ = E0a 2 ⌢ Mθ, Me = E0a 2 ⌢ M e, D′ N = E0a ⌢ D ′ N , D′ M = E0a 3 ⌢ D ′ M . Исключив Q из уравнений движения, преобразуем полученное уравнение 1 r ∂ ∂r [ ∂(rMr) ∂r −Mθ ] + 1 r ∂ ∂r [ (rNr) ∂w ∂r ] − ρh ∂2w ∂t2 + p(r, t) = 0 и остальные исходные уравнения к виду ( ⌢ D ′′ M + ⌢ D ′ ME∗ ) ∆∆ ⌢ w − ( ⌢ Nϑ 1 ρ ∂ ⌢ w ∂ρ + ⌢ Nρ ∂2 ⌢ w ∂ρ2 ) −∆ ⌢ Me + ∂2 ⌢ w ∂τ2 − ⌢ q(ρ, τ ) = 0, ∂ ∂ρ ( ρ ⌢ N θ ) = ⌢ Nρ − 1− ν2 2 ( ⌢ D ′′ N + ⌢ D ′ NE∗ )( ∂ ⌢ w ∂ρ )2 , ∂ ∂ρ ( ρ ⌢ Nρ ) = ⌢ N θ, где ∆ — оператор ∂2 ∂ρ2 + 1 ρ ∂ ∂ρ . Граничные условия для шарнирного опирания наружного контура имеют вид при r = 0 Q = ϑ = 0, Nθ = Nr, при r = a w = Mr = 0, Nr = 0 (Nθ − νNr = u = 0). В [5] для получения приближенного решения такой системы интегро-дифференциаль- ных уравнений в области частот, близких к резонансной частоте, используется подход, осно- ванный на последовательном применении метода Бубнова–Галеркина и метода гармониче- ского баланса. На первом этапе на основе приближенного представления резонансной фор- мы колебаний в виде трехчленной полиномиальной функции методом Бубнова–Галеркина задача приводится к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно амплитуды. Следуя в общем этой методике, представим прогиб пластинки в околорезонансной об- ласти в виде ⌢ w ≈ η(τ) ⌢ w1(ρ), взяв за основу первую резонансную форму изгибных колебаний ⌢ w1(ρ) для соответствующей однородной электроупругой задачи ( ⌢ E1 ⌢ D ′ M + ⌢ D ′′ M ) ∆∆ ⌢ w + ⌢ ω 2⌢ w = 0 52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10 при тех же граничных условиях. Здесь ⌢ E1(ω) — действительная часть комплексного мо- дуля. Определение ⌢ w1(ρ) проводится численно и в таком виде используется в дальнейшем. Принято, что ⌢ w1(0) = 1. Из уравнений плоской задачи видно, что усилия при этом будут иметь вид ⌢ N θ = N ′ θ(ρ) ( D′′ N D′ N + E∗ ) η2(τ), ⌢ Nρ = N ′ ρ(ρ) ( D′′ N D′ N + E∗ ) η2(τ), где N ′ ρ и N ′ θ являются численным решением краевой задачи ∂ ∂ρ (ρN ′ θ) = N ′ ρ − 1− ν2 2 ⌢ D ′ N ( ∂ ⌢ w1(ρ) ∂ρ )2 , ∂ ∂ρ (ρN ′ ρ) = N ′ θ, N ′ θ −N ′ ρ = 0 при ρ = 0 и N ′ θ − νN ′ ρ = 0 или N ′ ρ = 0 при ρ = 1. С учетом этого представления прогиба и усилий проинтегрируем по площади уравнение изгиба, предварительно умноженное на ⌢ w1(ρ). Полученное уравнение нелинейного осциллятора описывает вынужденные колебания системы вблизи резонансной частоты u2η̈ + ⌢ ω 2 1 ( ⌢ D ′′ M + ⌢ D ′ M ⌢ E1 ) u2 ( ⌢ D ′′ M + ⌢ D ′ ME∗ ) η − u3η ( D′′ N D′ N + E∗ ) η2 = Q, где u1 = 1 ∫ 0 ⌢ w1ρdρ, u2 = 1 ∫ 0 ⌢ w1 ⌢ w1ρdρ, u3 = 1 ∫ 0 ( ⌢ N θ 1 ρ ∂ ⌢ w1 ∂ρ + ⌢ Nρ ∂2 ⌢ w1 ∂ρ2 ) ⌢ w1ρdρ, Q = q1(τ)uq +m1(τ)uE , uq = 1 ∫ 0 q0(ρ) ⌢ w1ρdρ, uE = 1 m1(τ) 1 ∫ 0 ∆ ⌢ M e(ρ) ⌢ w1ρdρ = 1 m1(τ) lim ρ1→1 ρ1 ∫ 0 ∆ ⌢ Me(ρ) ⌢ w1ρdρ = − ⌢ ϑ1(1). Пусть q1(τ) = (q′ cos ⌢ ωτ − q′′ sin ⌢ ωτ), m1(τ) = (M ′ cos ⌢ ωτ − M ′′ sin ⌢ ωτ). Тогда уровень общей электромеханической нагрузки на осциллятор будет Q = q′ cos ⌢ ωτ − q′′ sin ⌢ ωτ, где q′ = (q′uq +M ′uE), q ′′ = (q′′uq +M ′′uE). Отсюда видно, что при известной механической нагрузке уровнем возбуждения можно управлять электрическим способом путем выбора параметров M ′ и M ′′ или амплитуды электрического напряжения. В соответствии с методом гармонической линеаризации для слабонелинейных задач используется представление амплитуды прогиба в виде гармонической функции времени, соответствующей закону изменения внешней нагрузки η(τ) = η′ cos ⌢ ωτ − η′′ sin ⌢ ωτ. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 53 На таких историях деформации определяющие соотношения между деформациями и на- пряжениями формулируются с помощью комплексных модулей, и интегральные операторы принимают вид E ∗ ( cos ⌢ ωτ ) = ⌢ E1 cos ⌢ ωτ − ⌢ E2 sin ⌢ ωτ, E ∗ ( sin ⌢ ωτ ) = ⌢ E2 cos ⌢ ωτ + ⌢ E1 sin ⌢ ωτ, E ∗ (1) = ⌢ E∞, E ∗ ( cos2 ⌢ ωτ ) = 1 2 ⌢ E∞ + 1 2 ⌢ E11 cos 2 ⌢ ωτ − 1 2 ⌢ E22 sin 2 ⌢ ωτ, E ∗ ( sin2 ⌢ ωτ ) = 1 2 ⌢ E∞ − 1 2 ⌢ E11 cos 2 ⌢ ωτ + 1 2 ⌢ E22 sin 2 ⌢ ωτ. Здесь E∞ — длительный модуль вязкоупругого материала; E1 и E2 — компоненты комп- лексного модуля при частоте колебаний ⌢ ω, а E11 и E22 — компоненты комплексного модуля при частоте колебаний 2 ⌢ ω. Представив нелинейный член в уравнении осциллятора двумя элементами из его разло- жения в ряд Фурье, а именно членами с sin ⌢ ωτ и cos ⌢ ωτ , получим систему двух уравнений ( ⌢ ω 2 c − ⌢ ω 2) η′ + ( − ⌢ E2 ⌢ E1 +D′′ M/D′ M ⌢ ω 2 1 − u3 u2 ⌢ E22 \|η\|2 4 ) η′′ = q′ u2 , ( − ⌢ E2 ⌢ E1 +D′′ M/D′ M ⌢ ω 2 1 − u3 u2 ⌢ E22 \|η\|2 4 ) η′ − ( ⌢ ω 2 c − ⌢ ω 2) η′′ = q′′ u2 , где ⌢ ω 2 c = ⌢ ω 2 1 + ξ\|η\|2, ξ = u3 2u2 ( E∞ + D′′ N D′ N + 1 2 ( E11 + D′′ N D′ N )) — уравнение скелетной кривой, представляющей зависимость квадрата собственной частоты колебаний консервативной системы от амплитуды. Возводя эти уравнения в квадрат и складывая, получаем [ ( ⌢ ω 2 c − ⌢ ω 2)2 + ( − ⌢ E2 ⌢ E1 +D′′ M/D′ M ⌢ ω 2 1 − u3 u2 ⌢ E22 \|η\|2 4 )2] \|η\|2 = (q′)2 + (q′′)2 u2 2 или ⌢ ω 2 = ⌢ ω 2 1 + ξ\|η\|2 ± √ √ √ √ (q′)2 + (q′′)2 u2 2 \|η\|2 − ( ⌢ E2 ⌢ E1 +D′′ M/D′ M ⌢ ω 2 1 + u3 u2 ⌢ E22 \|η\|2 4 )2 . Приняв в околорезонансной области значения компонентов комплексных модулей не зави- сящими от частоты и для E1, E2 отнесенными к частоте ω1, а E11, E22 — к частоте 2ω1, последнее выражение можем рассматривать как зависимость квадрата частоты от ампли- туды. В качестве примера применения изложенной методики рассмотрим установившиеся осе- симметричные колебания шарнирно опертой трехслойной пластинки при следующих зна- чениях параметров: a = 0,1 м, h = 0,0025 м, δ = 0, ρ2 = 2500 кг/м3. Материал пьезослоев 54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10 PZT − 4, а свойства вязкоупругого материала основного слоя определяются стандартной моделью вязкоупругого тела и характеризуются значениями модулей E0 = 1,1 · 1011 Па, E∞ = 1011 Па и постоянной времени в релаксационном процессе p1 = 10−6 с. Решение краевых задач и определение коэффициентов уравнения, описывающего колебания осцил- лятора, проводилось численными методами. Первая собственная частота электроупругой пластинки с короткозамкнутыми электродами ⌢ ω1 = 0,00587. Колебания возбуждаются рав- номерно распределенной по площади пластины электромеханической нагрузкой с амплиту- дой, эквивалентной 140 Па механической нагрузки. При этом относительный прогиб плас- тинки w/h равен 0,94, резонансная кривая имеет характерный для жесткой нелинейности вид и область неоднозначности при ⌢ ω/ ⌢ ω1 = 1,003. 1. Гололобов В.И. Соотношения упругости для многослойных пьезокерамических пластин // Докл АН УССР. Сер. А. – 1983. – № 11. – С. 38–40. 2. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с. 3. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – Москва: Мир, 1974. – 338 с. 4. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. – Киев: Вища шк., 1983. – 286 с. 5. Карнаухов В. Г., Карнаухова Т.В., Зражевская В.Ф. Активное демпфирование резонансных изгиб- ных колебаний гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины при помощи пьезоактуаторов // Теорет. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 45. – С. 114–123. Поступило в редакцию 20.01.2012Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев B. I. Гололобов Осесиметричнi резонанснi коливання гнучкої шарнiрно опертої в’язкопружної пластини з п’єзошарами Iз застосуванням методу Бубнова–Гальоркiна розглянуто задачу про вимушенi резонан- снi коливання круглої гнучкої в’язкопружної пластини при електромеханiчному наванта- женнi. Наведено результати розрахунку резонансних характеристик пластини з двома п’єзоперетворювачами з урахуванням геометричної нелiнiйностi. V. I. Gololobov Axisymmetric resonance vibrations of a flexible hindged viscoelastic laminated piezoelectric plate By the Bubnov–Galerkin method, the problem of forced resonance vibrations of a flexible circular viscoelastic plate under an electromechanical load is considered. The results of calculations of the resonance characteristics of a plate with two piezoelectric transducers with regard for a geometric nonlinearity are presented. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 55

Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями

Institution

Ähnliche Einträge