Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров
Исследованы вопросы оптимального управления состоянием эллиптико-параболической системы. Получены явные выражения градиентов функционалов-невязок для идентификации мощностей потоков воздействия на систему....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Компьютерная математика |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84729 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров / И.В. Дейнека // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 61-68. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84729 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-847292015-07-15T03:02:00Z Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров Дейнека, И.В. Системный анализ Исследованы вопросы оптимального управления состоянием эллиптико-параболической системы. Получены явные выражения градиентов функционалов-невязок для идентификации мощностей потоков воздействия на систему. Досліджені питання оптимального управління станом еліптико-параболічної системи. Отримані явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації потужностей потоків впливів на систему. Problems of optimal control of the state of an elliptic-parabolic system are investigated. Explicit expressions for gradients of residual functionals for identification of the impact of flows on the system are obtained. 2013 Article Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров / И.В. Дейнека // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 61-68. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. ХХХХ-0003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84729 519.6 ru Компьютерная математика Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Дейнека, И.В. Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров Компьютерная математика |
| description |
Исследованы вопросы оптимального управления состоянием эллиптико-параболической системы. Получены явные выражения градиентов функционалов-невязок для идентификации мощностей потоков воздействия на систему. |
| format |
Article |
| author |
Дейнека, И.В. |
| author_facet |
Дейнека, И.В. |
| author_sort |
Дейнека, И.В. |
| title |
Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров |
| title_short |
Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров |
| title_full |
Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров |
| title_fullStr |
Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров |
| title_full_unstemmed |
Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров |
| title_sort |
оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84729 |
| citation_txt |
Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической системы и идентификация ее параметров / И.В. Дейнека // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 61-68. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Компьютерная математика |
| work_keys_str_mv |
AT dejnekaiv optimalʹnoeupravleniesostoâniemélliptikoparaboličeskojsistemyiidentifikaciâeeparametrov |
| first_indexed |
2025-07-06T11:47:32Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:47:32Z |
| _version_ |
1836898008873041920 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2013, № 1 61
Исследованы вопросы оптималь-
ного управления состоянием эл-
липтико-параболической систе-
мы. Получены явные выражения
градиентов функционалов-невязок
для идентификации мощностей
потоков воздействия на систему.
И.В. Дейнека, 2013
УДК 519.6
И.В. ДЕЙНЕКА
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
СОСТОЯНИЕМ
ЭЛЛИПТИКО-
ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ЕЕ ПАРАМЕТРОВ
Введение. При исследовании движения жид-
кости в грунтовых средах с упруго-сжима-
емыми и несжимаемыми составляющими
возникает необходимость в решении началь-
но-краевых задач для эллиптико-параболи-
ческих уравнений с неточно заданными ис-
ходными данными, например, коэффициен-
тов фильтрации.
Следуя [1−3], в данной работе на основе
полученных результатов теории оптимально-
го управления построены явные выражения
градиентов функционалов-невязок для иден-
тификации некоторых параметров эллипти-
ко-параболических систем.
1. Оптимальное управление состоянием
эллиптико-параболической системы
Пусть на области =Ω×Ω=Ω (),0( TT
))0),,(),,0(, 22 11 ∞<<ξ<ξ=Ωξ=ΩΩ∪Ω= ll
определено эллиптико-параболическое урав-
нение
1( ) ( , )
y y
k f x t
t x x
∂ ∂ ∂ χ Ω = + ∂ ∂ ∂
, (1)
где
1 1 1 1( ) 1 при и ( ) 0 при .х хχ Ω = ∈Ω χ Ω = ∉Ω
Краевые условия
И.В. ДЕЙНЕКА
62 Компьютерная математика. 2013, № 1
).,0(,,
),,0(,0,
Ttlxu
x
у
k
Ttxу
x
у
k
∈==
∂
∂
∈=β+α−=
∂
∂−
(2)
И.В. ДЕЙНЕКА
62 Компьютерная математика. 2013, № 1
Условия сопряжения
),,0(,,0,0][ Ttx
x
у
ky ∈ξ==
∂
∂= (3)
где ),0(,][ tx ±ξϕ=ϕϕ−ϕ=ϕ ±−+
ξ= .
Начальное условие
210 ),()0,( Ω∪Ω∈= xxyxу . (4)
Функционал качества имеет вид
,)),0;(()(
0
2
0
2 dtuadtztuyuJ
TT
g ∫∫ +−= (5)
где 0>= consta .
Полученная задача (1)−(5) состоит в определении элемента =⊂∈ ∂ UUu
]),0([ TC= , при котором имеет место выражение
)(inf)( vJuJ
v ∂∈
=
U
, (6)
где ∂U − замкнутое выпуклое подмножество в пространстве управлений U.
При каждом фиксированном U∈u вместо классического решения началь-
но-краевой задачи (1)−(4) будем использовать ее обобщенное решение,
т. е. функцию ),0(),;()( TWtxuyuyy ∈== , которая 0( )w x V∀ ∈ удовлетворяет
равенствам
,),(
),;(),(,
2100
)( 12
Ω∪Ω∈=
=+
=
Ω
xxyy
wиlwyaw
dt
dy
t
L (7)
где
),0()();(),0(),0(),( wlwuwиlwtydx
x
w
x
y
kwya β+=α+
∂
∂
∂
∂= ∫
Ω
2 2
2
1
2 ξ
1
0 2
(0, ) { : (0, ; ), (0, ; ( ))},
{ ( , ) : ( ), 1,2, [ ] 0, (0, )},
{ ( ) : ( ), 1,2, [ ] 0}.
i
i
i x
i x
v
W T f f L T V L T L
t
V v x t v W i v t T
V v x v W i v
Ω =
Ω =ξ
∂= ∈ ∈ Ω
∂
= ∈ Ω = = ∈
= ∈ Ω = =
Следуя [3], легко установить справедливость утверждения.
Теорема 1. При каждом фиксированном U∈u решение == )(uуу
),0(),;( TWtxuy ∈= задачи (7) существует и единственно.
Пусть )(),( uyyuyy ′′=′′′=′ − решения из ),0( TW задачи (7) при функции u,
равной соответственно u′, u′′. Тогда с учетом теорем вложения [4] получаем:
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ….
Компьютерная математика. 2013, № 1 63
2
1
22
)( 122
1
VVL yyuucyyyy
dt
d ′′−′′′−′≤′′−′δ+′′−′ Ω U
, (7′)
где
2
2 22 2 2
1
1 0
, const 0, ( ) ,
i
T
V
i
c v v v dx v v dt
= Ω
′δ = > = + =∑∫ ∫U
.
Следовательно,
uu
c
yy LV
′′−′
δ
≤′′−′ ×
1
2
. (7″)
Полученное неравенство обеспечивает непрерывность билинейной формы
π(⋅,⋅) и линейной формы L(⋅) представления
2
)0()(2),()(
H
yzuLuuuJ g −+−π= , (8)
где
π(u,v) = (y(u) − y(0), y(v) − y(0) ∫+
T
dtvua
0
)H ,
L(v) = (zg − y(0), y(v) − y(0) H) , ∫=
T
dttuytvyuyvy
0
),0;(),0;())(),(( H .
На основании [5, гл. 1, теорема 1.1] доказано утверждение.
Теорема 2. Пусть состояние системы определяется как решение задачи (7).
Тогда существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множест-
ва ∂U , для которого
)(inf)( vJuJ
v ∂∈
=
U
. (9)
Следуя [3, 5], легко установить, что управление ∂∈Uu оптимально тогда и
только тогда, когда
(y(u) − zg, y(v) − y(u) ∂∈∀≥−+ UUH vuvua 0),() . (10)
Сопряженное состояние p(v) для управления v∈U определим равенствами
1( ) 0, ( , ) ,T
p p
k x t
t x x
∂ ∂ ∂ −χ Ω − = ∈Ω ∂ ∂ ∂
( ; , ) , 0, (0, ),g
p
k p y v x t z x t T
x
∂− = −α + − = ∈
∂
0, , (0, ),
p
k x l t T
x
∂ = = ∈
∂
( , ) 0, .p x T x= ∈Ω (11)
И.В. ДЕЙНЕКА
64 Компьютерная математика. 2013, № 1
Единственное обобщенное решение задачи (11) находим как функцию
p(v)∈W(0,T), которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет равенствам
.,0
),,0( ),0()),0;((),(,
)( 12
Ω∈=
∈−=+
−
=
Ω
xp
Ttwztvywpaw
dt
dp
Tt
g
L (12)
Выбирая в тождестве (12) вместо функции w разность y(v)−y(и), с учетом (7),
получаем
.),0()())()(,(
))()(,))()(,)((
00
0 )( 12
dttpuvdtuyvypa
dtuyvy
dt
dp
uyvyzuy
TT
T
L
g
∫∫
∫
−=−+
+
−−=−−
Ω
H
(13)
Учитывая (13), условие оптимальности (10) управления ∂∈Uu принимает
вид:
0)( )),0((
0
≥−+∫ dtuvuatp
T
. (14)
При UU =∂ из (14) получаем
atpu ),0(−= . (15)
Следовательно, оптимальное управление UU =∈ ∂u находим как состав-
ляющая решения Τ),,( upy задачи (7), (12), (15).
2. Идентификация плотности теплового потока
Пусть состояние системы описывается задачей (7), где U∈u – неизвестное.
Считаем, что в точке x = 0 при ),0( Tt∈ известно решение задачи (7):
),0(),(),0( 0 Tttftу ∈= . (15′)
Функционал-невязка имеет вид
dttftuyuJ
T
∫ −=
0
2
0 ))(),0;((
2
1
)( . (16)
Задача идентификации состоит в определении элемента U∈u , при котором
выполняется выражение
)(inf)( vJuJ
v U∈
= .
Для решения задачи (7), (16) используем градиентные методы [6]:
∗
+ =β−= nnpuu nnnn ,...,1,0,1 , (17)
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ….
Компьютерная математика. 2013, № 1 65
где направления спуска np и коэффициент nβ определяются формулой
2
2
,
n
n
u
n
nun
J
e
Jp
′
=β′= ,
где
nuJ ′ − градиент функционала (16) при )(),0;(, 0 tftuyeuu nnn −== .
Поскольку
dtutpdtuyuyfuyuJ
T
n
T
xnnnnun ∫∫ ∆=−−=〉∆′〈 =+
00
010 ),0())()()()((, ,
то dttpJtpJ
T
uu nn ∫=′=′
0
22
),0(),,0( , ),( txp − решение сопряженной задачи (12)
при U∈= nuu .
3. Оптимальное управление состоянием эллиптико-параболической
системы с условиями сопряжения неидеального контакта
Пусть на области 2 21 1(0, ), ( , (0, ), ( , ),T T lΩ = Ω × Ω = Ω ∪ Ω Ω = ξ Ω = ξ
))0 ∞<<ξ< l определено уравнение (1). Краевые условия имеют вид (2). Усло-
вия сопряжения неидеального контакта запишем в виде
),0(,],[,0 Ttxyr
x
у
k
x
у
k ∈ξ==
∂
∂=
∂
∂ ±
. (18)
При t = 0 имеем начальное условие (4).
При каждом фиксированном UU ⊂∈ ∂u вместо классического решения на-
чально-краевой задачи (1), (2), (4), (18) будем использовать ее обобщенное ре-
шение, т. е. функцию ( ) ( ; , ) (0, )y y u y u x t W T= = ∈ , которая 0( )w x V∀ ∈ удовле-
творяет тождеству
.,
),,0( ),;(),(,
2100
)( 12
Ω∪Ω∈=
∈=+
=
Ω
xyy
Ttwulwyaw
dt
dy
t
L (19)
где
),0()();(),0(),0(]][[),( wlwuwиlwtywyrdx
x
w
x
y
kwya β+=α++
∂
∂
∂
∂= ∫
Ω
}.2,1),(:)({)},,0(,2,1),(:),({ 1
20
1
2 =Ω∈=∈=Ω∈= ΩΩ iWvxvVTtiWvtxvV ii ii
Имеет место теорема, аналогичная теореме 1. Пусть )(),( uyyuyy ′′=′′′=′ −
решения из ),0( TW при функции u, равной соответственно U∈′′′ uu , . Имеет
место неравенство (7′), обеспечивающее выполнение неравенства (7″), где
И.В. ДЕЙНЕКА
66 Компьютерная математика. 2013, № 1
dx
x
v
v
i
V
i
∑ ∫
= Ω
∂
∂+=ϕ
2
1
2
22 .
Неравенство (7″) обеспечивает непрерывность билинейной формы π(⋅,⋅) и
линейной формы L(⋅) представления (8) функционала (5).
На основании [5, гл. 1, теорема 1.1] доказано утверждение.
Теорема 3. Пусть состояние системы определяется как решение задачи (19).
Тогда существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множест-
ва ∂U , для которого справедливо выражение (9).
Сопряженное состояние p(v) для управления v∈U определим системой
равенств
1
1 2
( ) 0, ( , ) ,
( ; , ) , 0, (0, ),
0, , (0, ),
0, [ ], , (0, ),
0, .
T
g
t T
p p
k x t
t x x
p
k p y v x t z x t T
x
p
k x l t T
x
p p
k k r p x t T
x x
p x
±
=
∂ ∂ ∂ − χ Ω − = ∈Ω ∂ ∂ ∂
∂− = −α + − = ∈
∂
∂ = = ∈
∂
∂ ∂ = = = ξ ∈ ∂ ∂
= ∈Ω ∪ Ω
(20)
Единственное обобщенное решение задачи (20) определим как функцию
p(v)∈W(0,T), которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет равенствам
.,0
),,0( ),0()),0;((),(,
)( 12
Ω∈=
∈−=+
−
=
Ω
xp
Ttwztvywpaw
dt
dp
Tt
g
L (21)
Выбирая в тождестве (21) вместо функции w разность y(v)−y(и), с учетом
(19), получаем выражение вида (13), а следовательно и равенство (15). Для
определения оптимального управления U∈u задачи (1), (2), (4), (18), (5) полу-
чаем дифференциальную задачу:
1( ) ( , ), ( , ) ,T
y y
k f x t x t
t x x
∂ ∂ ∂ −χ Ω = + ∈Ω ∂ ∂ ∂
1( ) 0, ( , ) ,T
p p
k x t
t x x
∂ ∂ ∂ −χ Ω − = ∈Ω ∂ ∂ ∂
, 0, (0, ),
y
k y x t T
x
∂− = −α + β = ∈
∂
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ….
Компьютерная математика. 2013, № 1 67
, 0, (0, ),g
p
k p y z x t T
x
∂− = −α + − = ∈
∂
, 0, , (0, ),
y p
k p a k x l t T
x x
∂ ∂= − = = ∈
∂ ∂
0, [ ], , (0, ),
y y
k k r y x t T
x x
±∂ ∂ = = = ξ ∈ ∂ ∂
0, [ ], , (0, ),
p p
k k r p x t T
x x
±∂ ∂ = = = ξ ∈ ∂ ∂
0 1 20
( ), 0, .
t t T
y y x p x
= =
= = ∈Ω ∪ Ω (22)
Решив задачу (22), оптимальное управление UU =∈ ∂u находим с помощью
равенства (15).
4. Идентификация плотности теплового потока
Пусть состояние системы описывается начально-краевой задачей (1), (2),
(4), (18), где U∈u – неизвестное. Считаем, что в точке x = 0 при ),0( Tt∈ из-
вестно решение задачи (19), заданное равенством (15′). Функционал-невязка
имеет вид (16). Задачу идентификации (19), (16) будем решать с помощью гра-
диентных методов (17). Поскольку
0 1 0
0 0
, ( ( ) )( ( ) ( )) (0, ) ,
n
T T
u n n n n nx
J u y u f y u y u dt p t u dt+ =
′〈 ∆ 〉 = − − = ∆∫ ∫ (23)
то ),0( tpJ
nu =′ .
Замечание 1. Если восстанавливаемый параметр и предполагается постоян-
ным, т. е. R=U , то
dttpJdttpJ
T
u
T
u nn ∫∫ =′=′
00
),0(,),0( .
Замечание 2. Если восстанавливаемый параметр и ищется в виде
,)()(
1
ttuu i
m
i
im ϕα== ∑
=
где m
ii t 1)}({ =ϕ − система линейно независимых функций на отрезке ],0[ T , то
∑∫
=
= ψ=′ϕ=ψψ=′
m
i
iu
T
ii
m
iiu nn
JdttptJ
1
22
0
1
~,),0()(~,}~{ .
И.В. ДЕЙНЕКА
68 Компьютерная математика. 2013, № 1
Заключение. Исследованы вопросы оптимального управления состоянием
эллиптико-параболической системы для случаев идеального и неидеального
контактов составляющих среды. Получены явные выражения градиентов функ-
ционалов-невязок для идентификации мощности потока внешнего воздействия.
І.В. Дейнека
ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ СТАНОМ ЕЛІПТИКО-ПАРАБОЛІЧНОЇ СИСТЕМИ
ТА ІДЕНТИФІКАЦІЯ ЇЇ ПАРАМЕТРІВ
Досліджені питання оптимального управління станом еліптико-параболічної системи.
Отримані явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації потужностей
потоків впливів на систему.
I.V. Deineka
OPTIMAL CONTROL OF THE STATE OF AN ELLIPTIC-PARABOLIC SYSTEM
AND IDENTIFICATION OF ITS PARAMETERS
Problems of optimal control of the state of an elliptic-parabolic system are investigated. Explicit ex-
pressions for gradients of residual functionals for identification of the impact of flows on the system
are obtained.
1. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных
систем. – Киев: Наук. думка, 2009. – 640 с.
2. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение комбинированных обратных задач для параболи-
ческих многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.
– 2007. – № 2 – 5. – С. 48–71.
3. Дейнека В.С. Оптимальное управление эллиптическими многокомпонентными распреде-
ленными системами. – Киев: Наук. думка, 2005. – 364 с.
4. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптиче-
ского типа. – М.: Наука, 1973. – 576 с.
5. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с част-
ными производными. − М.: Мир, 1972. − 414 с.
6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некор-
ректных задач. − М.: Наука, 1988. − 288 с.
Получено 14.02.2013
Об авторе:
Дейнека Игорь Васильевич,
кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
Е-mail: vdeineka@ukr.net
|