Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева
Найдены достаточные условия непрерывности по параметру решений многоточечных линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по нормам соболевских пространств (Wp^n)^m, где m, n принадлежат N, 1 ≤ p < ∞. Аналогичные результаты получены для матриц Грина...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84772 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева / Т.И. Кодлюк, В.А. Михайлец // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 15-19. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84772 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-847722015-07-16T03:02:08Z Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева Кодлюк, Т.И. Михайлец, В.А. Математика Найдены достаточные условия непрерывности по параметру решений многоточечных линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по нормам соболевских пространств (Wp^n)^m, где m, n принадлежат N, 1 ≤ p < ∞. Аналогичные результаты получены для матриц Грина рассмотренных задач. Знайдено достатнi умови неперервностi за параметром розв’язкiв багатоточкових лiнiйних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку за нормами соболєвських просторiв (Wp^n)^m, де m, n належать N, 1 ≤ p < ∞. Аналогiчнi результати отримано для матриць Грiна розглянутих задач. Sufficient conditions are found for the continuous dependence of the solutions of multipoint boun- dary-value problems on a parameter for systems of first-order linear differential equations with respect to the norms of Sobolev spaces (Wp^n)^m, m, n belongs N, 1 ≤ p < ∞. The similar results for Green’s matrices are found. 2012 Article Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева / Т.И. Кодлюк, В.А. Михайлец // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 15-19. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84772 517.927 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Кодлюк, Т.И. Михайлец, В.А. Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева Доповіді НАН України |
| description |
Найдены достаточные условия непрерывности по параметру решений многоточечных
линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка по нормам соболевских пространств (Wp^n)^m, где m, n принадлежат N, 1 ≤ p < ∞. Аналогичные результаты получены для матриц Грина рассмотренных задач. |
| format |
Article |
| author |
Кодлюк, Т.И. Михайлец, В.А. |
| author_facet |
Кодлюк, Т.И. Михайлец, В.А. |
| author_sort |
Кодлюк, Т.И. |
| title |
Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева |
| title_short |
Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева |
| title_full |
Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева |
| title_fullStr |
Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева |
| title_full_unstemmed |
Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева |
| title_sort |
многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах соболева |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84772 |
| citation_txt |
Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева / Т.И. Кодлюк, В.А. Михайлец // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 15-19. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kodlûkti mnogotočečnyekraevyezadačisparametromvprostranstvahsoboleva AT mihajlecva mnogotočečnyekraevyezadačisparametromvprostranstvahsoboleva |
| first_indexed |
2025-07-06T11:54:12Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:54:12Z |
| _version_ |
1836898428799418368 |
| fulltext |
УДК 517.927
© 2012
Т.И. Кодлюк, В. А. Михайлец
Многоточечные краевые задачи с параметром
в пространствах Соболева
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Найдены достаточные условия непрерывности по параметру решений многоточечных
линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка по нормам соболевских пространств (Wn
p
)m, где m,n ∈ N, 1 6 p < ∞. Аналоги-
чные результаты получены для матриц Грина рассмотренных задач.
1. Постановка задачи. Пусть заданы числа
m,n, k − 1 ∈ N, p ∈ [1;∞), ε0 > 0;
конечный интервал (a, b) ⊂ R и его разбиение a = a1 < a2 < · · · < ak = b.
Рассмотрим параметризированное числом ε ∈ [0, ε0] семейство неоднородных многото-
чечных линейных краевых задач для системы m дифференциальных уравнений первого
порядка
y′(t; ε) = A(t; ε)y(t; ε) + f(t; ε), t ∈ (a, b), (1)
k
∑
j=1
Bj(ε)y(aj ; ε) = cε, (2)
где вектор-функции f(·, ε) ∈ (W n−1
p )([a, b],Cm), векторы cε ∈ C
m, а матрицы Bj(ε) ∈ C
m×m.
Относительно комплекснозначных коэффициентов уравнений предполагается, что A(·; ε) ∈
∈ W n−1
p ([a, b],Cm×m) =: (W n−1
p )m×m, (W 0
p )
m×m := Lp([a, b],C
m×m).
Под решением системы (1), (2) понимается вектор-функция y(·; ε) ∈ (W n
p )
m, которая
удовлетворяет уравнениям (1) всюду, при n = 1 почти всюду, на интервале (a, b) и краевым
условиям (2).
Многоточечные краевые задачи являются классическим объектом исследования теории
обыкновенных дифференциальных уравнений [1–10]. Непрерывность по параметру их ре-
шений в равномерной норме ‖ · ‖∞ исследовалась ранее в работах [8–10]. Полученные там
результаты носят законченный характер и близки к окончательным.
Цель данной работы — исследовать непрерывность решений задачи (1), (2) по парамет-
ру ε в точке ε = 0 относительно двупараметрического семейства норм ‖ · ‖n,p пространств
Соболева (W n
p )
m, каждая из которых сильнее, чем равномерная норма пространства (C)m.
Это позволяет существенно дополнить и уточнить результаты работ [8–10].
Кроме этого, мы исследуем непрерывность по параметру ε нормированных матриц
Грина G(t, s; ε), отвечающих задачам (1), (2), относительно норм семейства пространств
(W n
p )
m×m на прямоугольниках (a, b)× (aj , aj+1), j = {1, . . . , k− 1}. Теоремы 1, 3 и 4 работы
являются новыми и для двуточечных краевых задач, т. е. при k = 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 15
2. Непрерывность решений по параметру. Будем предполагать всюду далее, что
выполнено
Предположение E. Предельная однородная краевая задача
y′(t; 0) = A(t; 0)y(t; 0),
k
∑
j=1
Bj(0)y(aj ; 0) = 0
имеет только тривиальное решение.
Это условие равносильно тому, что неоднородная предельная краевая задача (1), (2)
имеет ровно одно решение при любых значениях правых частей f(·; 0) ∈ (W p
n)
m и c0 ∈ C
m.
Основным результатом этого пункта является
Теорема 1. Пусть при ε → 0+ справедливы условия:
1) ‖A(·; ε) − A(·; 0)‖n−1,p → 0;
2) ‖f(·; ε) − f(·; 0)‖n−1,p → 0;
3) cε → c0;
4) ‖Bj(ε) − Bj(0)‖ → 0, j = {1, 2, . . . , k}.
Тогда при достаточно малых ε задачи (1), (2) имеют единственное решение и
‖y(·; ε) − y(·; 0)‖n,p → 0, ε → 0 + .
При n = 1, p = 1 данное утверждение установлено ранее в работе [10].
3. Матрицы Грина. Рассмотрим теперь полуоднородную многоточечную краевую за-
дачу
y′(t) = A(t)y(t) + f(t), t ∈ (a, b), (3)
k
∑
j=1
Bjy(aj) = 0, (4)
где матрица-функция A(·) ∈ (W n−1
p )m×m, вектор-функция f(·) ∈ (W n−1
p )m, матрицы Bj ∈
∈ C
m×m.
Предположим, что для нее выполнено условие единственности E .
Матрицей Грина полуоднородной задачи (3), (4) будем называть матричную функцию
G(t, s) такую, что для каждого t ∈ (a, b) функция
G(t, ·) ∈ Lq([a, b];C
m×m),
1
p
+
1
q
= 1,
и с помощью которой решение задачи (3), (4) представляется в виде
y(t) =
b
∫
a
G(t, s)f(s) ds, t ∈ (a, b),
для каждой вектор-функции f(·) ∈ (W n−1
p )m.
Эта матрица Грина определяется, вообще говоря, неоднозначно.
Пусть далее Y (t) — единственное решение матричного дифференциального уравнения
Y ′(t) = A(t)Y (t),
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
с начальным условием
Y (a) = Im,
где Im — единичная (m × m)-матрица.
Теорема 2. Условие единственности E решения задачи (3), (4) равносильно тому, что
det
[
B1 +
k
∑
j=2
BjY (aj)
]
6= 0.
Если оно выполнено, то существует матрица Грина G(t, s) полуоднородной многоточеч-
ной краевой задачи (3), (4), которая имеет следующее представление:
G(t, s) =
−Y (t)
[
B1 +
k
∑
j=2
BjY (aj)
]
−1
Z(s), t 6 s;
Y (t)Y −1(s)− Y (t)
[
B1 +
k
∑
j=2
BjY (aj)
]
−1
Z(s), s < t.
(5)
где
Z(s) =
∑
j:aj6s
BjY (aj)Y
−1(s).
Такую матрицу Грина будем называть нормированной. Она определяется однозначно.
Следствие. Нормированная матрица Грина G(t, s) является разрывной функцией на
диагонали s = t, а при k > 3 и на отрезках s = aj , j = {2, . . . , k − 1}.
4. Зависимость нормированной матрицы Грина от параметра. Для семейства
полуоднородных многоточечных краевых задач
y′(t; ε) = A(t; ε)y(t; ε) + f(t; ε), t ∈ [a, b], ε ∈ [0, ε0],
k
∑
j=1
Bj(ε)Y (aj ; ε) = 0,
нормированная матрица Грина будет зависеть от параметра ε. Поэтому интересным для
исследования является вопрос о непрерывности по ε матричной функции G(t, s; ε).
Обозначим через Mm класс всех семейств комплекснозначных (m×m)-матриц-функций
R(·; ε) : [0, ε0] → (L1)
m×m,
для которых матричное решение Z(t; ε) задачи Коши
Z ′(t; ε) = R(t; ε)Z(t; ε), Z(a; ε) ≡ Im
удовлетворяет предельному соотношению
lim
ε→+0
‖Z(t; ε) − Im‖∞ = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 17
В работах [4, 5, 8, 10] найдены необходимые и достаточные условия того, что матрич-
ная функция R(t; ε) ∈ Mm при выполнении различных дополнительных предположений.
Сформулируем их.
Пусть для матрицы-функции R(·) ∈ (L1)
m×m
R∨(t) :=
t
∫
a
R(s) ds,
тогда верно (см. [5, 6])
Утверждение 1. Если при ε → 0+ выполнено любое из четырех условий:
(α) ‖R(·; ε)‖1 = O(1);
(β) ‖R∨(·; ε)R(·; ε)‖1 → 0;
(γ) ‖R(·; ε)R∨(·; ε)‖1 → 0;
(∆) ‖R∨(·; ε)R(·; ε) − R(·; ε)R∨(·; ε)‖1 → 0,
то условие
R(t; ε) := A(t; ε) −A(t; 0) ∈ Mm
эквивалентно соотношению
‖R∨(·; ε)‖∞ → 0, ε → 0 + .
Пользуясь теоремой 2 и утверждением 1, можно показать, что верна
Теорема 3. Пусть
det
[
B1(0) +
k
∑
j=2
Bj(0)Y (aj)(0)
]
6= 0,
и при ε → 0+ выполняются условия:
1) A(·; ε) − A(·; 0) ∈ Mm;
2) ‖Bj(ε) − Bj(0)‖ → 0, j = {1, 2, . . . , k}.
Тогда для достаточно малых ε существуют нормированные матрицы Грина рассмот-
ренных задач и на открытом множестве (a, b) × (a, b)
‖G(·, ·; ε) −G(·, ·; 0)‖∞ → 0, ε → 0 + .
Уточнением теоремы 3 является
Теорема 4. Пусть
det
[
B1(0) +
k
∑
j=2
Bj(0)Y (aj)(0)
]
6= 0
и при ε → 0+ выполняются условия:
1) ‖A(·; ε) − A(·; 0)‖n−1,p → 0;
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
2) ‖Bj(ε) − Bj(0)‖ → 0, j = {1, 2, . . . , k}.
Тогда для достаточно малых ε существуют нормированные матрицы Грина рассмотрен-
ных задач и на каждом из k − 1 прямоугольников (a, b) × (aj , aj+1)
‖G(·, ·; ε) −G(·, ·; 0)‖n,p → 0, ε → 0 + .
Исследование выполнено при поддержке российско-украинского гранта НАН Украины 01/01-12.
1. Cole R.H. General boundary conditions for an ordinary linear differential system // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1964. – 111. – P. 521–550.
2. Bryan R.N. A linear differential system with general linear boundary conditions // J. Different. Equat. –
1969. – 5. – P. 38–48.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Москва: Наука, 1965. –
703 с.
4. Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Соврем.
проблемы математики. Новейшие достижения. – Москва: ВИНИТИ, 1987. – Т. 30. – С. 3–103.
5. Левин А.Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ = An(t)X // Докл. АН СССР. –
1967. – 176, № 4. – С. 774–777.
6. Левин А.Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения. I // Вестн.
Ярослав. ун-та. – 1973. – Вып. 5. – С. 105–132.
7. Левин А.Ю. О многоточечной краевой задаче // Науч. докл. высш. школы. – 1985. – № 5. – С. 34–37.
8. Левин А.Ю. О дифференциальных свойствах функции Грина многоточечной краевой задачи //
Докл. АН СССР. – 1961. – 136, № 5. – С. 1022–1025.
9. Михайлец В.А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру решений общих краевых задач / Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 5, № 1. – С. 227–239.
10. Рева Н.В. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв лiнiйних крайових задач: Дис. . . . канд. фiз.-мат.
наук / Iн-т математики НАН України. – Київ, 2009. – 148 с.
Поступило в редакцию 23.05.2012Институт математики НАН Украины, Киев
Т. I. Кодлюк, В.А. Михайлець
Багатоточковi крайовi задачi з параметром в просторах Соболєва
Знайдено достатнi умови неперервностi за параметром розв’язкiв багатоточкових лiнiйних
крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку за нормами
соболєвських просторiв (Wn
p
)m, де m,n ∈ N, 1 6 p < ∞. Аналогiчнi результати отримано
для матриць Грiна розглянутих задач.
T. I. Kodliuk, V. A. Mikhailets
Multipoint boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces
Sufficient conditions are found for the continuous dependence of the solutions of multipoint boun-
dary-value problems on a parameter for systems of first-order linear differential equations with
respect to the norms of Sobolev spaces (Wn
p
)m, m,n ∈ N, 1 6 p < ∞. The similar results for
Green’s matrices are found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 19
|