Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро

На основi теорем про голоморфнiсть функцiй та умов ортогональностi Стро (Stroh) побудовано iнтегральнi рiвняння для неперiодичних та перiодичних задач магнiтоелектропружностi. Отриманi спiввiдношення записанi вiдносно розривiв фiзико-механiчних полiв на розiмкнутих або замкнутих контурах, що дало м...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
1. Verfasser:	Пастернак, Я.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84781
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро / Я.М. Пастернак // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 66-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-84781
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-847812015-07-16T03:01:54Z Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро Пастернак, Я.М. Механіка На основi теорем про голоморфнiсть функцiй та умов ортогональностi Стро (Stroh) побудовано iнтегральнi рiвняння для неперiодичних та перiодичних задач магнiтоелектропружностi. Отриманi спiввiдношення записанi вiдносно розривiв фiзико-механiчних полiв на розiмкнутих або замкнутих контурах, що дало можливiсть побудувати аналiтичнi розв’язки для систем спiввiсних проникних та непроникних трiщин у магнiтоелектропружному середовищi. На основе теорем о голоморфности функций и условий ортогональности Стро (Stroh) построены интегральные уравнения для непериодических и периодических задач магнитоэлектроупругости. Полученные соотношения записаны относительно разрывов физико-механических полей на разомкнутых или замкнутых контурах, что дало возможность построить аналитические решения для систем соосных проницаемых и непроницаемых трещин в магнитоэлектроупругой среде. Based on the theorems on the holomorphy of functions and the Stroh orthogonality relations, the integral equations for non-periodic and periodic problems of magnetoelectroelasticity are constructed. The obtained relations are written for the discontinuities of physical and mechanical fields, which allows obtaining the closed-form solutions for the sets of colinear permeable and impermeable cracks in a magnetoelectroelastic medium. 2012 Article Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро / Я.М. Пастернак // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 66-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84781 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Пастернак, Я.М. Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро Доповіді НАН України
description	На основi теорем про голоморфнiсть функцiй та умов ортогональностi Стро (Stroh) побудовано iнтегральнi рiвняння для неперiодичних та перiодичних задач магнiтоелектропружностi. Отриманi спiввiдношення записанi вiдносно розривiв фiзико-механiчних полiв на розiмкнутих або замкнутих контурах, що дало можливiсть побудувати аналiтичнi розв’язки для систем спiввiсних проникних та непроникних трiщин у магнiтоелектропружному середовищi.
format	Article
author	Пастернак, Я.М.
author_facet	Пастернак, Я.М.
author_sort	Пастернак, Я.М.
title	Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро
title_short	Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро
title_full	Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро
title_fullStr	Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро
title_full_unstemmed	Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро
title_sort	побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму стро
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84781
citation_txt	Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро / Я.М. Пастернак // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 66-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT pasternakâm pobudovaíntegralʹnihrívnânʹmagnítoelektropružnostínaosnovíformalízmustro
first_indexed	2025-07-06T11:54:44Z
last_indexed	2025-07-06T11:54:44Z
_version_	1836898461504503808
fulltext	УДК 539.3 © 2012 Я.М. Пастернак Побудова iнтегральних рiвнянь магнiтоелектропружностi на основi формалiзму Стро (Представлено членом-кореспондентом НАН України О.Є. Андрейкiвим) На основi теорем про голоморфнiсть функцiй та умов ортогональностi Стро (Stroh) побудовано iнтегральнi рiвняння для неперiодичних та перiодичних задач магнiтоелект- ропружностi. Отриманi спiввiдношення записанi вiдносно розривiв фiзико-механiчних полiв на розiмкнутих або замкнутих контурах, що дало можливiсть побудувати ана- лiтичнi розв’язки для систем спiввiсних проникних та непроникних трiщин у магнi- тоелектропружному середовищi. Iнтегральнi рiвняння для задач лiнiйної магнiтоелектропружностi (МЕП), зазвичай, виво- дять за допомогою [1] варiацiйних принципiв, методу зважених нев’язок або теорем взаєм- ностi. Зокрема, у роботi [2] побудовано фундаментальнi розв’язки та використано розшире- ну тотожнiсть Сомiльяни для отримання вiдповiдної системи iнтегральних рiвнянь плоскої задачi. У [3] на прикладi задач електропружностi доведено, що симетрiя тензора МЕП ста- лих дає можливiсть сформулювати теореми взаємностi робiт типу Беттi та з використанням фундаментальних розв’язкiв одержати iнтегральнi рiвняння типу Сомiльяни. Побудовi ж iнтегральних рiвнянь iз використанням теорiї аналiтичних функцiй присвя- чено значно менше робiт, хоча такий пiдхiд є значно продуктивнiшим та дає можливiсть без значних перешкод розглядати також перiодичнi задачi, пiвпростори, смуги тощо. Зокрема, у роботах [4, 5] з використанням комплексних потенцiалiв Стро (Stroh) та iнтегральних формул Кошi побудовано iнтегральнi рiвняння для дослiдження анiзотропних та п’єзоеле- ктричних тiл iз трiщинами. У [6] отримано iнтегральнi рiвняння плоскої електро- та магнi- топружностi для комплексних потенцiалiв типу Лехнiцького. У роботi [7] на основi теорiї аналiтичних функцiй одержано iнтегральнi рiвняння анiзотропної теорiї пружностi тiл iз трiщинами та тонкими включеннями. Нижче з використанням розширених комплексних потенцiалiв Стро [1] та теореми про голоморфнiсть функцiй [8, 9] отримано iнтегральнi рiвняння для задач магнiтоелектро- пружностi. Такi рiвняння мають як загальнотеоретичне, так i важливе прикладне значення, адже їх можна без особливих перешкод внести в обчислювальну схему методу граничних елементiв [3], що дає можливiсть високоточного числового розв’язування неперiодичних та перiодичних задач магнiтоелектропружностi. Основнi спiввiдношення магнiтоелектропружностi. Формалiзм Стро. Розгля- немо стацiонарнi фiзико-механiчнi поля, що дiють у безмежному анiзотропному МЕП сере- довищi, з яким пов’язана глобальна система координат Ox1x2x3. Балансовi рiвняння для вiдповiдних фiзико-механiчних полiв у стацiонарному випадку набудуть вигляду [1, 10]: σij,j + fi = 0, Di,i − q = 0, Bi,i = 0 (i, j = 1, 2, 3). (1) Тут σij — компоненти тензора напружень; fi — компоненти вектора об’ємних сил; Di — електричне змiщення; q — густина вiльних зарядiв; Bi — компоненти вектора магнiтної 66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11 iндукцiї. У формулах прийняте правило Ейнштейна пiдсумовування за iндексом, що по- вторюється. Кома в нижнiх iндексах означає операцiю диференцiювання за координатою, iндекс якої стоїть пiсля коми, тобто, ui,j ≡ ∂ui/∂xj . Конститутивнi спiввiдношення лiнiйної магнiтоелектропружностi вiдповiдно до [1, 10] мають такий вигляд: σij = Cijkmεkm − epijEp − hpijHp, Di = eikmεkm + κipEp + βipHp, Bi = hikmεkm + βipEp + µipHp, (2) де εij = (ui,j + uj,i)/2 — деформацiї; Ei = −φ,i, Hi = −ψ,i — компоненти векторiв напруже- ностi електричного та магнiтного полiв; ui — складовi вектора перемiщень точок тiла; φ, ψ — електричний та магнiтний потенцiали; Cijkm — компоненти тензора пружних сталих; eijk, hijk — п’єзоелектричнi та п’єзомагнiтнi сталi; κij, µij, βij — дiелектрична, магнiтна та електромагнiтна проникностi матерiалу. Розглянемо двовимiрнi електричнi, магнiтнi та механiчнi поля, при яких перемiщення, електричний та магнiтний потенцiали точок цилiндричного тiла не змiнюються з коорди- натою x3 (ui,3 ≡ 0, E3 = −φ,3 ≡ 0, H3 = −ψ,3 ≡ 0). Введемо, згiдно з [1, 3], узагальненi величини ũi = ui, ũ4 = φ, ũ5 = ψ; f̃i = fi, f̃4 = −q, f̃5 = 0; σ̃ij = σij, σ̃4j = Dj , σ̃5j = Bj ; C̃ijkm = Cijkm, C̃ij4m = emij , C̃4jkm = ejkm, C̃4j4m = −κjm, C̃ij5m = hmij , C̃5jkm = hjkm, C̃5j5m = −µjm, C̃4j5m = −βjm, C̃5j4m = −βjm (i, k = 1, 2, 3; j,m = 1, 2). (3) Iз використанням позначень (3) визначальнi спiввiдношення (2) можна записати в унi- фiкованiй компактнiй формi σ̃ij = C̃ijkmũk,m (i, k = 1, .., 5; j,m = 1, 2), (4) а балансовi рiвняння (1) для стацiонарних механiчних, електричних та магнiтних полiв набудуть вигляду σ̃ij,j + f̃i ≡ C̃ijkmũk,jm + f̃i = 0 (i, k = 1, .., 5; j,m = 1, 2). (5) Вiдповiдно до [1] однорiдний (для випадку f̃i = 0) розв’язок рiвнянь (5) має вигляд ũi = 2ℜ[AiαFα(zα)], ϕ̃i = 2ℜ[BiαFα(zα)] (i, α = 1, .., 5), (6) де A ≡ [Aiα] = [a1, . . . ,a5], B ≡ [Biα] = [b1, . . . ,b5] — матрицi комплексних сталих; zα = = x1+pαx2; pα — коренi характеристичного рiвняння; ϕ̃i — узагальнена функцiя напружень, електричних змiщень та магнiтної iндукцiї (розширена функцiя напружень); Fα(zα) — роз- ширенi комплекснi потенцiали Стро для задач магнiтоелектропружностi. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 67 Компоненти розширеного тензора напружень дорiвнюють похiдним вiд вiдповiдних ком- понент розширеної функцiї напружень ϕ̃: σ̃i1 = −ϕ̃i,2, σ̃i2 = ϕ̃i,1 (i = 1, . . . , 5). (7) Вектори aα, що формують матрицю A, та вiдповiднi їм комплекснi сталi pα визначаються iз задачi на власнi значення формалiзму Стро [1] [Q+ pα(R+RT) + p2αT]aα = 0, (8) де компоненти 5 × 5 матриць Q, R, T дорiвнюють [1]: Qik = C̃i1k1, Tik = C̃i2k2, Rik = = C̃i1k2 = C̃k2i1. Вектори bα означенi так [1]: bα = (RT + pαT)aα = −(Q+ pαR)aα/pα. (9) При цьому матрицi A та B нормують спiввiдношеннями [1] BTA+ATB = I, BTA+ATB = 0, (10) що iз використанням (6) дають можливiсть легко обчислити значення комплексних потен- цiалiв Стро через дiйснi розширенi функцiї перемiщень ũ та напружень ϕ̃ f = AT ϕ̃+BTũ, (11) де f = [F1(z1), F2(z2), . . . , F5(z5)] T — вектор комплексних потенцiалiв Стро. Побудова iнтегральних спiввiдношень типу Сомiльяни. Розглянемо безмежну комплексну площину iз системою гладких розiмкнутих дуг Γ = ⋃ j Γj, що не перетинаються. Вiдповiдно до [8, 9] для того, щоб функцiї φ+(s), φ−(s) класу H∗ на Γ (включаючи початки i кiнцi дуг) були граничними значеннями кусково-голоморфної зовнi Γ функцiї φ(z), що дорiвнює нулю на безмежностi, необхiдним i достатнiм є виконання умови 1 2 Σφ(s) = 1 2πi ∫ Γ ∆φ(τ) τ − s dτ, (12) де Σ(·) = (·)+ + (·)−, ∆(·) = (·)+ − (·)−; i = √ −1. Використовуючи означення (7) розширеної функцiї напружень ϕ̃, спiввiдношення dZα = = −(n2−n1pα)dΓ, балансовi рiвняння ∫ Γ Σt̃j(x) dΓ(x) = 0 та метод iнтегрування частинами, на основi спiввiдношень (11) та (12) отримаємо такi необхiднi i достатнi умови голоморфно- стi комплексних потенцiалiв Стро Fα(zα) у площинах zα: 1 2 ΣFα(Zα(y)) = 1 2πi ∫ Γ ∆Fα(Zα(x)) Zα(x− y) dZα(x) = = 1 2πi ∫ Γ Ajα lnZα(x− y)Σt̃j(x)dΓ(x)− − 1 2πi ∫ Γ Bjα(n2 − n1pα) Zα(x− y) ∆ũj(x)dΓ(x) (x,y ∈ Γ), (13) 68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11 де Zα(x) = x1 + pαx2; n1, n2 — компоненти вектора нормалi n = n+ до кривої Γ у точцi x; t̃±i = σ̃±ijn ± j — граничнi значення компонент розширеного вектора напружень. На основi (6), (7) та (13) легко отримати такi сингулярнi iнтегральнi рiвняння для задач магнiтоелектропружностi: 1 2 Σũi(y) = ∫ Γ Uij(x,y)Σt̃j(x) dΓ(x) − ∫ Γ Tij(x,y)∆ũj(x) dΓ(x), 1 2 ∆t̃i(y) = n+j (y) [∫ Γ Dijk(x,y)Σt̃k(x) dΓ(x) − ∫ Γ Sijk(x,y)∆ũk(x) dΓ(x) ] . (14) У (14) сингулярнi та гiперсингулярнi iнтеграли слiд обчислювати в сенсi головного значення або скiнченної частини. Ядра рiвнянь (14) заданi спiввiдношеннями Uij(x,y) = 1 π ℑ[AiαAjα lnZα(x− y)], Tij(x,y) = 1 π ℑ [ AiαBjα (n2 − n1pα) Zα(x− y) ] , Dijk(x,y) = − 1 π ℑ [ (δ2j − δ1jpα)BiαAkα 1 Zα(x− y) ] , Sijk(x,y) = 1 π ℑ [ (δ2j − δ1jpα)BiαBkα n2 − n1pα [Zα(x− y)]2 ] . (15) Iнтегральнi рiвняння (14) цiлком аналогiчнi спiввiдношенням, отриманим у роботах [1–3] на пiдставi теорем взаємностi робiт. Вiдповiдно до [8, 9] формули для замкнутих контурiв можна трактувати як частковий випадок формул для розiмкнутих контурiв. Для цього слiд лише вважати, що на замкну- тому контурi φ+(s) = φ(s), а φ−(s) ≡ 0. Iнтегральнi спiввiдношення перiодичних задач. У роботi [8] доведено, що для того щоб функцiї φ+(s), φ−(s) класу H∗ на Γ були граничними значеннями перiодичної з перiодом π кусково-голоморфної зовнi Γ i розташованих iз тим же перiодом конгруентних до Γ контурiв функцiї φ(z), необхiдно i достатньо, щоб виконувалася умова 1 2 Σφ(s) = 1 2πi ∫ Γ ∆φ(τ) ctg(τ − s) dτ. (16) Лiнiйне перетворення z = πZ/(ωx1 + iωx2 ) дає можливiсть перейти у цих залежностях до задачi з довiльним перiодом ω = [ωx1 , ωx2 ]T. Внаслiдок лiнiйностi задачi для випадку перiодичних систем дуг Γ комплекснi потен- цiали Стро можна подати у виглядi суми зумовлених дiєю прикладеного на безмежностi навантаження потенцiалiв F∞ α (zα) та збурених перiодичних складових F ∗ α(zα). Тодi на осно- вi теореми голоморфностi (16) iз використанням спiввiдношень (6), (7) та (11) отримаємо такi iнтегральнi рiвняння перiодичних задач магнiтоелектропружностi: 1 2 Σũi(y) = ∫ Γ Up ij(x,y)Σt̃j(x) dΓ(x) − ∫ Γ T p ij(x,y)∆ũj(x) dΓ(x) + ũ∞i (y), 1 2 ∆t̃i(y) = n+j (y) [∫ Γ Dp ijk(x,y)Σt̃k(x) dΓ(x) − ∫ Γ Sp ijk(x,y)∆ũk(x) dΓ(x) + σ̃∞ij ] , (17) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 69 де ũ∞i (y) — зумовленi дiєю вiддаленого навантаження σ̃∞ij компоненти розширеного вектора перемiщень. Ядра рiвнянь (17) означенi виразами Up ij(x,y) = 1 π ℑ [ AiαAjα ln sin πZα(x− y) Zα(ω) ] , T p ij(x,y) = ℑ [ AiαBjα (n2 − n1pα) Zα(ω) ctg πZα(x− y) Zα(ω) ] , Dp ijk(x,y) = −ℑ [ (δ2j − δ1jpα) BiαAkα Zα(ω) ctg πZα(x− y) Zα(ω) ] , Sp ijk(x,y) = πℑ [ (δ2j − δ1jpα)BiαBkα n2 − n1pα [Zα(ω)]2 cosec2 πZα(x− y) Zα(ω) ] . (18) Системи спiввiсних трiщин у МЕП середовищi. Новими i важливими для до- слiдження видаються перiодичнi задачi магнiтоелектропружностi, тому здiйснимо аналiз прикладiв для перiодичних систем трiщин у МЕП середовищах. Як i в суто пружних за- дачах теорiї трiщин [11], у МЕП середовищах поблизу вершин трiщиноподiбних дефектiв поля напружень, електричних змiщень та магнiтної iндукцiї також мають кореневу особли- вiсть [1, 3]. Коефiцiєнти iнтенсивностi цих полiв бiля вершини трiщини обчислюються за формулою [3] k̃(1) = lim s→0 √ π 8s L ·∆ũ(s), (19) де k̃(1) = [KII,KI,KIII,KD,KB ] T — вектор коефiцiєнтiв iнтенсивностi напружень, електрич- них змiщень та магнiтної iндукцiї (КIНЕЗМI); L = −2 √ −1BBT — дiйсний тензор Barnett– Lothe [1]. Механiчнi, електричнi та магнiтнi поля у локальнiй полярнiй системi координат Ox′1x ′ 2 iз розташованим у вершинi трiщини початком O та спрямованою вздовж дотичної до лiнiї трiщини вiссю Ox′1 означенi залежностями [3] σ̃1 = [σ̃i1] = −ϕ̃,2 = − 1√ 2π ℜ{B〈p∗Z−1/2 ∗ 〉B−1k̃(1)}, σ̃2 = [σ̃i2] = ϕ̃,1 = 1√ 2π ℜ{B〈Z−1/2 ∗ 〉B−1k̃(1)}, (20) де 〈Z−1/2 ∗ 〉 = diag[Z −1/2 1 , Z −1/2 2 , . . . , Z −1/2 5 ]. Розглянемо перiодичну систему розташованих уздовж осi Ox1 на вiдстанi d (ω = [d, 0]T) одна вiд одної спiввiсних трiщин завдовжки 2a, що перебувають пiд впливом заданого ком- понентами σ̃∞ij розширеного тензора напружень, електричних змiщень та магнiтної iндукцiї навантаження на нескiнченностi. За вiдсутностi електричного та магнiтного контакту бере- гiв (непроникнi трiщини) iнтегральнi рiвняння (17) набудуть вигляду 1 π a∫ −a ∆ũi,1 [ π d ctg π(x− ξ) d ] dx = −2L−1 ij σ̃ ∞ j2 (i, j = 1, . . . , 5). (21) 70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11 У випадку проникних трiщин, береги яких перебувають в iдеальному електричному та магнiтному контактi (∆ũ4,1 = ∆ũ5,1 = 0), система iнтегральних рiвнянь (17) зведеться до 1 π a∫ −a ∆ũi,1 [ π d ctg π(x− ξ) d ] dx = −L−1 ij (2σ̃j2 + δj4∆t̃4 + δj5∆t̃5). (22) Згiдно з [11], розв’язок рiвнянь типу (21) має вигляд k̃ (1) i = σ̃i2 √ πaK0, K0 = √ tg(z) z , (23) де z = πλ/2; λ = 2a/d. Важливо наголосити, що при однорiдному навантаженнi на не- скiнченностi КIНЕЗМI перiодичної системи спiввiсних непроникних трiщин не залежать вiд властивостей МЕП матерiалу. Коефiцiєнти iнтенсивностi напружень у цьому випадку тотожнi розв’язкам плоскої задачi теорiї пружностi iзотропного тiла [11]. Розв’язуючи систему рiвнянь (22), отримаємо значення КIНЕЗМI для спiввiсних елект- рично та магнiтно проникних трiщин: k̃ (1) i = ( σ̃i2 + δi4∆t̃4 + δi5∆t̃5 2 ) K0√πa, ∆t̃4 = 2 (L−1 5i L −1 45 − L−1 4i L −1 55 )σ̃i2 L−1 44 L −1 55 − L−1 45 L −1 54 , ∆t̃5 = 2 (L−1 4i L −1 54 − L−1 5i L −1 44 )σ̃i2 L−1 44 L −1 55 − L−1 45 L −1 54 . (24) На вiдмiну вiд (23), розв’язок (24) для проникних трiщин залежить вiд властивостей МЕП середовища, заданих компонентами Lij тензора Barnett–Lothe. Таким чином, формалiзм Стро є компактним та елегантним пiдходом для дослiдження плоских задач магнiтоелектропружностi. Завдяки спiввiдношенням ортогональностi вiн дає можливiсть отримати простi зв’язки мiж комплексними потенцiалами та функцiями пере- мiщень i напружень. Поєднання цього формалiзму iз теоремами про голоморфнiсть функ- цiй дає змогу побудувати iнтегральнi рiвняння типу Сомiльяни, якi у загальному випадку найзручнiше розв’язувати методом граничних елементiв. Зокрема, отриманi в такий спосiб спiввiдношення для перiодичних задач дали можливiсть одержати замкнутi розв’язки для систем спiввiсних проникних та непроникних трiщин у МЕП середовищi. 1. Qin Q.H. Green’s function and boundary elements of multifield materials. – Oxford: Elsevier, 2007. – 254 p. 2. Ding H., Jiang A. A boundary integral formulation and solution for 2D problems in magneto-electro-elastic media // Computers and Structures. – 2004. – 82. – P. 1599–1607. 3. Pasternak Ia. Coupled 2D electric and mechanical fields in piezoelectric solids containing cracks and thin inhomogeneities // Engng. Anal. Bound. Elem. – 2011. – 35, No 4. – P. 678–690. 4. Wu K.C. A new boundary integral equation method for analysis of cracked linear elastic bodies // Journal of the Chinese Institute of Engineers. – 2004. – 27, No 6. – P. 937–941. 5. Wu K.C. A new boundary integral equation method for cracked piezoelectric bodies // Key Eng. Mat. – 2006. – Vols. 306–308. – P. 465–470. 6. Bardzokas D. I., Filshtinsky M.L., Filshtinsky L. A. Mathematical methods in electro-magneto-elasticity. – New York: Springer, 2007. – 530 p. 7. Сулим Г.Т. Основи математичної теорiї термопружної рiвноваги деформiвних твердих тiл з тонкими включеннями. – Львiв: Дослiдно-видавн. центр НТШ, 2007. – 716 с. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 71 8. Линьков А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. – СПб.: Наука, 1999. – 382 с. 9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Изд. 3-е, испр. и дополн. – Москва: Наука, 1968. – 512 с. 10. Калоеров С.А., Петренко А.В. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел. – Донецк: Юго-Восток, 2011. – 232 с. 11. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – Киев: Наук. думка, 1981. – 324 с. Надiйшло до редакцiї 28.11.2011Луцький нацiональний технiчний унiверситет Пiсля доопрацювання — 23.02.2012 Я.М. Пастернак Построение интегральных уравнений магнитоэлектроупругости на основе формализма Стро На основе теорем о голоморфности функций и условий ортогональности Стро (Stroh) по- строены интегральные уравнения для непериодических и периодических задач магнито- электроупругости. Полученные соотношения записаны относительно разрывов физи- ко-механических полей на разомкнутых или замкнутых контурах, что дало возможность построить аналитические решения для систем соосных проницаемых и непроницаемых трещин в магнитоэлектроупругой среде. Ia.M. Pasternak Construction of the integral equations of magnetoelectroelasticity using the Stroh formalism Based on the theorems on the holomorphy of functions and the Stroh orthogonality relations, the integral equations for non-periodic and periodic problems of magnetoelectroelasticity are constructed. The obtained relations are written for the discontinuities of physical and mechanical fields, which allows obtaining the closed-form solutions for the sets of colinear permeable and impermeable cracks in a magnetoelectroelastic medium. 72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11

Побудова інтегральних рівнянь магнітоелектропружності на основі формалізму Стро

Institution

Ähnliche Einträge