Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями
В развитие методов и алгоритмов на основе штрафных функций в конечномерном пространстве [1, 2] построены конструкции слабого дифференциала (дифференциала Гато) и производной Фреше по управляющим функциям для функционалов вида кратных интегралов с негладкими подинтегральными функциями в оптимизационн...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2003
|
| Назва видання: | Теорія оптимальних рішень |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84853 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 36-42. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-84853 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-848532018-03-24T10:59:18Z Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями Токарева, О.Н. В развитие методов и алгоритмов на основе штрафных функций в конечномерном пространстве [1, 2] построены конструкции слабого дифференциала (дифференциала Гато) и производной Фреше по управляющим функциям для функционалов вида кратных интегралов с негладкими подинтегральными функциями в оптимизационной модели проектирования механичеких систем с операторными ограничениями в форме эллиптической краевой задачи. Неоднородные неустойчивые граничные условия последней сведены к однородным. Дана теорема существования и единственности решения сопряженных краевых задач. В розвиток методів і алгоритмів на основі штрафних функцій у скінченовимірному просторі [1, 2 ] побудовано конструкції слабкого диференціала (диференціала Гато) та похідної Фреше по управляючих функціях для функціоналів виду кратних інтегралів з негладкими підінтегральними функціями в оптимізаційній моделі проектування механічних систем з операторними обмеженнями у формі еліптичної крайової задачі. Неоднорідні нестійкі крайові умови останньої зведено до однорідних. Подано теорему існування та єдиності розв`язку спряжених крайових задач. Construction of weak Gato differential and Freshe derivative are created within the framework of the development of methods and algorithms based on penalty functions in a finite-dimensional space [1, 2]. This is done with respect to controllihg functions for functionals like multiple integrals with nonsmooth subintegral functions in an optimisation model of design of mechanical systems with operator constraints in the form of an elliptical boundary-value 2003 Article Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 36-42. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84853 517.958.539.3 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В развитие методов и алгоритмов на основе штрафных функций в конечномерном пространстве [1, 2] построены конструкции слабого дифференциала (дифференциала Гато) и производной Фреше по управляющим функциям для функционалов вида кратных интегралов с негладкими подинтегральными функциями в оптимизационной модели проектирования механичеких систем с операторными ограничениями в форме эллиптической краевой задачи. Неоднородные неустойчивые граничные условия последней сведены к однородным. Дана теорема существования и единственности решения сопряженных краевых задач. |
| format |
Article |
| author |
Токарева, О.Н. |
| spellingShingle |
Токарева, О.Н. Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Токарева, О.Н. |
| author_sort |
Токарева, О.Н. |
| title |
Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями |
| title_short |
Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями |
| title_full |
Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями |
| title_fullStr |
Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями |
| title_full_unstemmed |
Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями |
| title_sort |
оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84853 |
| citation_txt |
Оптимизация систем, описываемых эллиптическими краевыми задачами с неоднородными неустойчивыми граничными условиями / О.Н. Токарева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 36-42. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT tokarevaon optimizaciâsistemopisyvaemyhélliptičeskimikraevymizadačamisneodnorodnymineustojčivymigraničnymiusloviâmi |
| first_indexed |
2025-07-06T11:58:43Z |
| last_indexed |
2025-07-06T11:58:43Z |
| _version_ |
1836898712763236352 |
| fulltext |
36 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
В развитие методов и алгорит-
мов на основе штрафных функций
в конечномерном пространстве
[1, 2] построены конструкции
слабого дифференциала (диффе-
ренциала Гато) и производной
Фреше по управляющим функциям
для функционалов вида кратных
интегралов с негладкими подин-
тегральными функциями в опти-
мизационной модели проектиро-
вания механичеких систем с опе-
раторными ограничениями в
форме эллиптической краевой
задачи. Неоднородные неустойчи-
вые граничные условия последней
сведены к однородным. Дана тео-
рема существования и единствен-
ности решения сопряженных
краевых задач.
О.Н. Токарева, 2003
ÓÄÊ 517.958.539.3
Î.Í. ÒÎÊÀÐÅÂÀ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÑÈÑÒÅÌ,
ÎÏÈÑÛÂÀÅÌÛÕ ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÈÌÈ
ÊÐÀÅÂÛÌÈ ÇÀÄÀ×ÀÌÈ Ñ
ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÌÈ ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÛÌÈ
ÃÐÀÍÈ×ÍÛÌÈ ÓÑËÎÂÈßÌÈ
В работе получила развитие техника диффе-
ренцирования функционалов по направлени-
ям в функциональном пространстве, исполь-
зуемая в одномерной теории оптимального
управления [3], применительно к оптималь-
ному управлению системами с распределен-
ными параметрами.
Рассмотрим краевую задачу
Au f= вΩ ; ,u u1 20 0= = наΓ0 ,
B u g= на Γ1 . (1)
Здесь A A A
T= −[ , ]1 2 векторный эллипти-
ческий дифференциальный оператор порядка
2 1 1 2k k B B B
T, ; [ , ]= = − векторный
дифференциальный оператор первого поряд-
ка; u u x u x
T= −[ ( ) , ( ) ]1 2 вектор состояния,
x x x
T= ∈[ , ] ,1 2 Ω
u W W∈ −[ ( ) ] , ( )
( ) ( )
2
2 2
2
2Ω Ω гильбертово
пространство, элементами которого служат
те функции из L 2 ( )Ω , у которых есть обоб-
щенные производные в Ω до второго по-
рядка включительно; L 2 ( )Ω − гильбертово
пространство функций квадратично интегри-
руемых (в смысле Лебега) в области
Ω Ω Ω; ,⊂ −R
2 ограниченное открытое
связное множество из 2
R ;
∈= T
xfxff ])(,)([ 21
2
2 ])([ ΩL ,
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ ...
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 37
,)([ 1 xgg = fLxg
T
,)]([])(
2
122 Γ∈ – управляющая функция; Γ Γ0 1, − непересе-
кающиеся открытые части липшицевой границы Γ , имеющие ненулевую раз-
мерность ( ) .Γ Γ Γ0 1+ =
Построим слабый дифференциал или дифференциал Гато для функционала
[ ] [ ]{ }Ψ
Ω
f b u x dx( .) ( ) ,= − > −∫ ζ ζ 0 константа.
Сведем краевую задачу (1) с неоднородными граничными условиями на Γ1
к краевой задаче с однородными краевыми условиями. Предположим, что мо-
жет быть найдена функция w w x W= ∈( ) [ ( ) ]
( )
2
2 2Ω , удовлетворяющая условию
B w g= на Γ1 и условию Aw L∈[ ( )] .2
2Ω Если искать решение задачи (1) в
виде u w z z W= + ∈, [ ]
( )
2
2 2 , то для функции z с учетом B w g= на Γ1 получа-
ются условия A z f A w= + в Ω , ,z z1 20 0= = на Γ 0 0, B z = на Γ1 . По предпо-
ложению f L A w L∈ ∈[ ( ) ] , [ ( ) ]2
2
2
2Ω Ω , так что для функции a f A w= +
также справедливо a L∈[ ( ) ]2
2Ω . Задача
A z a= в Ω , ,z z1 20 0= = на Γ 0 0, B z = на Γ1 (2)
есть краевая задача с однородными граничными условиями.
Краевая задача в вариациях для задачи (2) запишется
A z a z zδ δ δ δ= = =; 1 2 0 на Γ 0 0; B zδ = на Γ1 ,
δ δ δ δ τz x sr x a x f x f x s x( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) ( )= = = , (3)
где s - любое малое неотрицательное число.
С учетом u x z x w x( ) ( ) ( ),= + где w x( ) - известная функция, перейдем от
функционала { }Ψ
Ω
[ ( . ) ] [ ( ) ]f b u x dx= −∫ ζ к функционалу F f[ ( . ) ]=
{ }= −∫ ω ζ[ ( )] .z x dx
Ω
Разобъем область Ω на три множества
Ω Ω Ω0 , , :+ −
x ∈Ω0 , если [ ]ω z x x( ) ; ( ),= ∈ + −0 Ω Ω если [ ]ω z x( ) ( ).> <0 0 Для
функционала F в точке f s(.) (.)+ τ имеем
[ ] [ ] [ ]F f s z x s z x r x dx o s dxz(.) (.) ( ) ( ) ( ) ( )+ = + + − =∫ ∫τ ω ω ζ
Ω Ω
[ ]{ }= + + − +∫ ∫∫
−+
s x r x dx z x s x r x d x z xz z
Ω ΩΩ0
ω ω ω ω[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) { [ ( )]
О.Н. ТОКАРЕВА
38 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
+ + − =∫s x r x dx o s d x x z x zz zω ζ ω ∂ω ∂[ ] ( )} ( ) , [ ] [ ( )] / .
Ω
(4)
Дифференциал Гато функционала F вычисляется по формуле
[ ] [ ]D F f
d
d s
F f s x r x d xs z(.) , (.) (.) (.) [ ] ( )τ τ ω= + = += ∫0
0Ω
+ −
+
∫ω z x r x dx[ ] ( )
Ω
ω z x r x dx[ ] ( ) .
Ω −
∫ (5)
Для исключения функции r x( ) найдем функции ξ ξ( ), ( , ),x x x′ заданные со-
ответственно на Ω и Ω Ω× 0 , из решения следующих краевых задач, сопряжен-
ных краевой задаче в вариациях (3):
A x xξ ρ( ) ( )= в Ω , ξ ξ1 2 0= = на Γ0 0, B ξ = на Γ1,
{ }ρ ω ω( ) [ ], ; , ; [ ], ;x x x x x xz z= ∈ ∈ − ∈+ −Ω Ω Ω0 0
A x x x x x x xzξ ω δ ξ ξ( , ) [ ] ( , ; , ),′ = ′ ′ ′ = =1 1 2 2 1 2 0 на Γ0, (6)
Bξ = 0 на Γ Ω1
0, ,′ ∈x (7)
δ δ δ( , ; , ) ( ) ( )x x x x x x x x1 1 2 2 1 1 2 2′ ′ = − ′ − ′ - символическая двумерная дельта-
функция для прямоугольной декартовой системы координат.
Оператор A является симметричным на линеале
[ ]M WA = ∈ =
υ υ2
2
2
0
( )
; на Γ0 0; Bυ = на }Γ1 .
Для получения окончательной формулы для дифференциала Гато
D F f[ (.), (.)]τ умножим скалярно на ξ ( )x соотношение A r x x( ) ( )= τ и про-
интегрируем полученное выражение по области Ω. При этом, используя (6),
имеем
ω ω ξ τz zx r x dx x r x dx x x dx[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) .− =
−+
∫ ∫∫
Ω ΩΩ
(8)
Умножим скалярно A r x x( ) ( )= τ на ξ ( , )x x′ и с учетом (7), запишем
ω δ ξ τz x x x x x r x x x x[ ] ( , ; , ) ( ) ( , ) ( ).′ ′ ′ = ′1 1 2 2 (9)
Проинтегрируем (9) по области Ω
ω δ ξ τz x x x x x r x dx x x x dx
Ω Ω
∫ ∫′ ′ ′ = ′[ ] ( , ; , ) ( ) ( , ) ( ) .1 1 2 2 (10)
На основе зависимости ω δz x x x x x r x dx
Ω
∫ ′ ′ ′ =[ ] ( , ; , ) ( )1 1 2 2 ω z x r x[ ] ( )′ ′
представим (10) в виде
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ ...
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 39
ω z x r x[ ] ( )′ ′ = ′∫ ξ τ
Ω
( , ) ( ) .x x x dx (11)
Поскольку δ z x sr x( ) ( )= есть решение уравнения в вариациях (3), r x( ) яв-
ляется непрерывной функцией и интеграл вида δ ( , ; , ) ( )x x x x r x dx1 1 2 2′ ′∫ имеет
смысл.
Согласно (11)
ω z x r x dx
Ω0
∫ ′ ′ ′[ ] ( ) = ′ ′∫∫ ξ τ( , ) ( ) .x x x dx dx
ΩΩ0
(12)
Произведя в (5) замену в соответствии с (8), (12), получим формулу для
дифференциала Гато функционала F в точке f ( .) при приращении τ ( .):
[ ]D F f x x x dx dx x x dx( .) , ( .) ( , ) ( ) ( ) ( ) .τ ξ τ ξ τ= ′ ′ +∫∫ ∫
ΩΩ Ω0
(13)
Если me s Ω0 0= , то функционал F дифференцируем по Фреше; его про-
изводная вычисляется после решения одной задачи (6) из соотношения
∂ ∂ ξF f f x[ ( .) ] / ( .) ( ) .= (14)
В качестве примера рассматриваемых задач оптимального управления сис-
темами с распределенными параметрами, описываемыми уравнениями с част-
ными производными, в которых используется соотношение (14), приведем мо-
дель стены здания в форме поиска управляющей вектор-функции
[ ]f x L( ) ( )∈ 2
2
Ω , удовлетворяющей следующей системе ограничений
{ }Ψ Θ
Ω
1 1 1 1 10[ ( .) ] [ ( ) ] , [ ( )] ( ) ,f h u x d x h u x u x≡ − ≤ =∫
{ }Ψ Θ
Ω
2 2 2 2 20[ (.) ] [ ( ) ] , [ ( )] ( ) ,f h u x d x h u x u x≡ − ≤ =∫ (15)
f f x f1 1 1≤ ≤( ) ,
f f x f2 2 2≤ ≤( ) , (16)
A u f= в [ ]Ω ∆, ( )A u grad div u u f= − + − =λ µ µ в Ω ,
∆ = +∂ ∂ ∂ ∂2
1
2 2
2
2
/ / ,x x
u = 0 на Γ0 , B u g= на [ ]Γ1 1 2, , ,B B B
T
=
B u
u
x
u
x
u
x
u
x
1 1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2= + + + +( ) ,λ µ ν
∂
∂
µ ν
∂
∂
λ ν
∂
∂
µ ν
∂
∂
О.Н. ТОКАРЕВА
40 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
B u
u
x
u
x
u
x
u
x
2 1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2= + + + +µ ν
∂
∂
λ ν
∂
∂
λ µ
∂
∂
µ ν
∂
∂
( ) , (17)
где ν ν1 2, − компоненты вектора единичной нормали ν λ µ; ,> > −0 0 приве-
денные коэффициенты Ламе; [ ] [ ]u u x u x W u xi= ∈ −1 2 2
2
2
( ) , ( ) ( ) , ( )
( ) Ω компо-
нента вектора перемещений в направлении оси xi . Напряженно-
деформированное состояние стены здания описывается смешанной плоской за-
дачей теории упругости с оператором A для изотропного однородного тела и
неоднородными неустойчивыми граничными условиями B u g= на части гра-
ницы Γ1 области [ ]Ω Γ⊂ ∈R g L
2
2 1
2
3[ ]; ( ) .
Для минимизируемого функционала { {Ψ
Ω
0
1
2
0= −
=
∑ ∫max , [ ( ) ]
i
ih u x
} }− Θi dx дифференциал Гато (случай }{ h u x dxi i[ ( )] − >∫ Θ
Ω
0 ) имеет вид
[ ]D F f x x x dx dx x x dx
i
i
i
ii
0
1
2
1
2
0
( .) , ( .) ( , ) ( ) ( ) ( ) ,τ ξ τ ξ τ= ′ ′ +∫∫∑ ∫∑
= =ΩΩ Ω
где [ ] { }F f q z x dx xi i
i
i
0
1
2
( .) [ ( )] , ( )= − −∫∑
=
Θ
Ω
ξ решение задачи (6) с
ρ( )x { }= = ∈ ∈ − ∈ ′ −+ −ρ ξi
z
i i
z
i i
x q x x x q x x x x( ) [ ], ; , ; [ ], ; ( , )( ) ( ) ( )Ω Ω Ω0 0
решение задачи (7) с правой частью операторного уравнения, равной
q x x x x xi z [ ] ( , ; , ) .′ ′ ′δ 1 1 2 2
Следующая теорема выражает факт существования и единственности реше-
ния задачи (6).
Теорема 1. Пусть заданы
(i) полное нормированное векторное пространство
V v W= ∈ ={ [ ( ) ] ;
( )
2
1 2 0Ω υ на Γ0 };
(ii) непрерывная билинейная форма α ξ( , ): ,z V V R× → симметричная и
V – эллиптическая, то есть ∃ >π 0 , что для ∀ ∈ ≤ξ π ξ α ξ ξV
2
( , ) ;
(iii) непрерывная линейная форма L V R: .→
Тогда задача минимизации функционала F L= −
1
2
α ξ ξ ξ( , ) ( ) имеет
единственное решение.
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ ...
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 41
Билинейная форма
α ξ λ µ
∂ ξ
∂
∂
∂
λ
∂ξ
∂
∂
∂
( , ) [ ( )z
x
z
x x
z
x
= + + +∫ 2
1
1
1
1
1
1
2
2Ω
µ
∂ ξ
∂
∂
∂
µ
∂ξ
∂
∂
∂
1
2
1
2
1
2
2
1x
z
x x
z
x
+ +
+ + + +µ
∂ ξ
∂
∂
∂
µ
∂ ξ
∂
∂
∂
λ
∂ξ
∂
∂
∂
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1x
z
x x
z
x x
z
x
( )λ µ
∂ξ
∂
∂
∂
+
2
2
2
2
2x
z
x
dx получена
применением формулы Грина к ξ A z dx
Ω
∫ , ξ ξ ρξ, ; ( ) .z M L dxA∈ = ∫
Ω
Минимизация функционала F на V равносильна задаче (6). Минимизация
функционала Φ = −
1
2
α ( , ) ( )z z l z на V l z a z dx, ( ) = ∫
Ω
равносильна задаче (2),
α ξ α ξ( , ) ( , ).z z= При этом для задачи (2) справедлива теорема, аналогичная
вышеприведенной. Полученные в работе конструкции производных Гато и
Фреше включены в оптимизационные модули на основе штрафных функций [1],
[2], вместе с программными блоками, реализующими метод суперэлементов [4]
для решения прямой и сопряженных краевых задач.
О.М. Токарєва
ОПТИМІЗАЦІЯ СИСТЕМ, ЩО ОПИСУЮТЬСЯ ЕЛІПТИЧНИМИ КРАЙОВИМИ
ЗАДАЧАМИ З НЕОДНОРІДНИМИ НЕСТІЙКИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ
В розвиток методів і алгоритмів на основі штрафних функцій у скінченовимірному просторі
[1, 2 ] побудовано конструкції слабкого диференціала (диференціала Гато) та похідної Фре-
ше по управляючих функціях для функціоналів виду кратних інтегралів з негладкими
підінтегральними функціями в оптимізаційній моделі проектування механі-
чних систем з операторними обмеженнями у формі еліптичної крайової задачі. Неод-
норідні нестійкі крайові умови останньої зведено до однорідних. Подано теорему
існування та єдиності розв`язку спряжених крайових задач.
O.N. Tokareva
OPTIMISATION OF SYSTEMS DESCRIBED BY ELLIPTICAL BOUNDARY-VALUE
PROBLEMS WITH HETEROGENEOUS UNSTABLE BOUNDARY CONDITIONS
Construction of weak Gato differential and Freshe derivative are created within the framework of
the development of methods and algorithms based on penalty functions in a finite-dimensional
space [1, 2]. This is done with respect to controllihg functions for functio-
nals like multiple integrals with nonsmooth subintegral functions in an optimisation model of
design of mechanical systems with operator constraints in the form of an elliptical boundary-value
О.Н. ТОКАРЕВА
42 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
problem. Heterogeneous unstable boundary conditions of the latter are reduced to homogeneous
ones. The paper presents the theorem about existence and uniqueness of a solution to conjugated
boundary-value problems.
1. Токарева О.Н. К вопросу использования одного класса оптимизационных алгоритмов для
решения задач нелинейного программирования большой размерности // Кибернетика. −
1988. − 1, № 5. − С. 70 - 77, 86; 2, № 6. − С. 47–55.
2. Токарева О.Н. Об одном методе конечномерной оптимизации механических конструкций
в пространстве состояний // Теория и вычислительные проблемы оптимизации. - Киев: Ин-
т кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, 1993. − С.59–63.
3. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. − М.:
Наука, 1978. − 486 с.
4. Репях В.В. Применение одного варианта метода суперэлементов к решению плоской зада-
чи теории упругости // ЖВМ и МФ. − 1986. − 26, № 11. − С.1643-1653.
Получено 15.07.2003
|