Некоторые теоремы о неподвижных точках

Некоторые теоремы о неподвижных точках

Изложены результаты исследования по усилению теоремы Брауэра. Элементарными средствами осуществляется доказательство уточненных теорем. Это приводит к расширению класса точечно - точечных отображений, обладающих неподвижными точками....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2003
1. Verfasser: Ненахов, Э.И.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2003
Schriftenreihe:Теорія оптимальних рішень
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84864
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Некоторые теоремы о неподвижных точках / Э.И. Ненахов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 120-126. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-84864
record_format dspace
spelling irk-123456789-848642018-03-24T11:54:19Z Некоторые теоремы о неподвижных точках Ненахов, Э.И. Изложены результаты исследования по усилению теоремы Брауэра. Элементарными средствами осуществляется доказательство уточненных теорем. Это приводит к расширению класса точечно - точечных отображений, обладающих неподвижными точками. Викладені результати дослідження по підсиленню теореми Брауера. Елементарними засобами здійснено доведення уточнених теорем. Це призводить до розширення класу точково - точкових відображень, які мають нерухомі точки. The results of investigations in strehgthening Brower theorem are stated. The proof of improved theorems is realized by elementary means. This leads to extending a class of point - to - point mappings with fixed points. 2003 Article Некоторые теоремы о неподвижных точках / Э.И. Ненахов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 120-126. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. XXXX-0013 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84864 519.8 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Изложены результаты исследования по усилению теоремы Брауэра. Элементарными средствами осуществляется доказательство уточненных теорем. Это приводит к расширению класса точечно - точечных отображений, обладающих неподвижными точками.
format Article
author Ненахов, Э.И.
spellingShingle Ненахов, Э.И.
Некоторые теоремы о неподвижных точках
Теорія оптимальних рішень
author_facet Ненахов, Э.И.
author_sort Ненахов, Э.И.
title Некоторые теоремы о неподвижных точках
title_short Некоторые теоремы о неподвижных точках
title_full Некоторые теоремы о неподвижных точках
title_fullStr Некоторые теоремы о неподвижных точках
title_full_unstemmed Некоторые теоремы о неподвижных точках
title_sort некоторые теоремы о неподвижных точках
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2003
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/84864
citation_txt Некоторые теоремы о неподвижных точках / Э.И. Ненахов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 120-126. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv AT nenahovéi nekotoryeteoremyonepodvižnyhtočkah
first_indexed 2025-07-06T11:59:19Z
last_indexed 2025-07-06T11:59:19Z
_version_ 1836898750460592128
fulltext 120 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 ÒÅÎÐ²ß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ Ð²ØÅÍÜ Изложены результаты исследо- вания по усилению теоремы Брау- эра. Элементарными средствами осуществляется доказательство уточненных теорем. Это приво- дит к расширению класса точеч- но - точечных отображений, об- ладающих неподвижными точка- ми.  Э. И. Ненахов, 2003 ÓÄÊ 519.8 Ý.È. ÍÅÍÀÕΠÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛ Î ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÛÕ ÒÎ×ÊÀÕ Пусть X − некоторое множество, и :)(xf X X→ − отображение множества X в X . Та особая точка x * , которая переходит снова в x * , называется неподвижной точкой ото- бражения f . Факт существования непод- вижной точки существенно зависит от топо- логической природы множества X и ото- бражения f . Весьма сильная теорема суще- ствования неподвижных точек была получе- на Брауэром в начале прошлого века, в пери- од, когда топология еще только формирова- лась. Этой теоремой утверждается существо- вание неподвижной точки в случае, когда X − компактное выпуклое множество, а отображение f непрерывно. Теореме Брау- эра позднее была придана более полезная формулировка, что не только открыло воз- можность многочисленных приложений к экономической теории и родственным во- просам, но и стимулировало дальнейшие ис- следования. Для установления теоремы существования неподвижной точки отображения, опреде- ленного на выпуклом множестве, обычно осуществляется переход от этого множества к специальной конечной ε - сети, в которой затем некоторым образом выбирается при- ближение неподвижной точки, например, с помощью леммы Шпернера, теоремы Хансе- на - Скарфа. Для случая, когда непрерывное точечно- точечное отображение действует из сферы в шар, ограниченный этой сферой, усиление теоремы Брауэра установлено неэлементар- ными и неконструктивными методами в [1]. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 121 В данной работе приводятся уточненные теоремы о неподвижных точках, которые доказываются известными методами лишь за счет некоторого усиления аргументации. Вначале теорема Брауэра будет рассматриваться не для произ- вольных выпуклых множеств из R n , а для симплексов, построенных на задан- ных линейно независимых векторах x i mi , ,= 1 . Обозначим { }Ω Ω= = = = ≥        = = ∑ ∑x x x S x xm m i i i m i i i m 1 2 1 1 1 0, , ... , , ( ) : ,ξ ξ ξ . Пусть Ω Ω1 , ... , l − конечные подмножества Sm ( )Ω , каждое из которых содер- жит m линейно независимых векторов. Определение. Симплексы S Sm m l( ) , ... , ( )Ω Ω1 являются подразделением симплекса Sm ( )Ω , если выполнены следующие условия : 1. S Sm i m i l ( ) ( )Ω Ω= = 1 U . 2. Точка, являющаяся вершиной одного из симплексов подразделения, есть также вершина всех симплексов подразделения, которым эта точка принадле- жит. 3. Общие точки любых двух симплексов подразделения, не являющиеся их вершинами, принадлежат их общим граням. Далее будет использоваться процедура допустимого помечивания целыми числами от 1 до m точек множества по следующим правилам : 1) вершина xi исходного симплекса помечается числом i ; 2) каждая точка x , не принадлежащая грани симплекса Sm ( )Ω , помечается произвольно; 3) пометка каждой точки x , принадлежащей грани симплекса Sm ( )Ω , выбира- ется произвольно, но из множества пометок вершин этой грани. Лемма 1 [2]. Какое бы ни было ε > 0 , существует целое число I ε и конеч- ные подмножества Ω Ωi mS i Iε ε⊂ =( ) , ,1 , содержащие m линейно независи- мых векторов, такие, что симплексы Sm i( )Ω ε есть подразделение симплекса Sm ( )Ω и ( )ρ ε ε εx x x x i Ij j j j i′ ′ ′ ′ ′ ′≤ ∀ ∈ =, , , , ,Ω 1 . В дальнейшем будет рассматриваться стандартный симплекс S x Rn n i i n = ∈ =         + = ∑: ξ 1 1 . Э.И. НЕНАХОВ 122 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 Теорема 1 ( теорема Брауэра ). Пусть точечно - точечное отображение ( )f x x x S Sn n n( ) ( ) , ... , ( ) := →ϕ ϕ1 непрерывно. Тогда существует точка x Sn * ∈ , такая, что x f x * *( )= . Доказательство. Возьмем ε = 1/ k ( k − целое). В соответствии с леммой 1 существует целое число I ε и подмножества Ωi nSε ⊂ , такие, что расстояние между любыми двумя вершинами симплексов Sm i( )Ω ε не превышает ε и симплексы Sm i( )Ω ε есть подразделение симплекса Sn . Пусть ωε ε ε = = Ωi i I 1 U и x ∈ ωε . Пометим точку x целым числом j x( ) = min{ }j xj j jϕ ξ ξ( ) ,≤ > 0 . Очевидно, что для x пометка j x( ) существует. Так как лишь i - я коорди- ната вершины x li i= симплекса Sn отлична от нуля, то вершина xi получает пометку i . В силу этого каждая точка x , принадлежащая грани симплекса Sn , получит пометку одной из вершин этой грани. Таким образом, помечивание точек x множества ωε числами j x( ) - допус- тимо. Поэтому по лемме Шпернера существует симплекс подразделения, вер- шины которого имеют все пометки от 1 до n . Вершину этого симплекса, имеющую пометку j , обозначим ( )kkk j n jj x ξξ= ,...,1 . Так как ( )ρ x x k j k j k′ ′ ′ ≤, /1 , то можно считать, что lim ,* k j x x jk → ∞ = ∀ . В силу выбранного правила помечи- вания справедливы неравенства ϕ ξj j j j x j nk k( ) , ,≤ =1 . (1) Переходя в неравенствах (1) к пределу и учитывая непрерывность отобра- жения f x( ) , получаем ϕ ξj jx j n( ) , ,* *≤ = 1 . (2) Так как сумма левых частей неравенств (2) равна 1 и сумма правых частей этих неравенств также равна 1, то в (2) строгое неравенство невозможно, т.е. ϕ ξj jx j n( ) , ,* *= = 1 , или x f x * *( )= . Примечание. Так как увеличением размерности пространства на единицу можно от телесного симплекса D x Rn n j j n = ∈ ≤         + = ∑: ξ 1 1 перейти к стандарт- ному симлексу Sn + 1 в R n + 1 , то теорема 1 верна также и для Dn . Кроме того, в формулировке этой теоремы Sn можно заменить на Sm ( )Ω . НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 123 Теорема 2. Пусть непрерывное точечно-точечное отображение ( ):)(,...,)()( 1 xxxf nϕϕ= n n RD +→ такое, что f x D x Sn n( ) ,∈ ∀ ∈ . Тогда су- ществует точка x Dn * ∈ , такая, что x f x * *( )= . Доказательство. Рассмотрим пространство R n + 1 векторов вида ( ; )x nξ + 1 и в этом пространстве стандартный симплекс S x Rn n n i i n + + + + = + = ∈ =         ∑1 1 1 1 1 1( ; ) :ξ ξ . Как и в доказательстве теоремы 1 по ε = 1/ k строим подразделение S i In i+ =1 1( ) , ,Ω ε ε , симплекса Sn + 1 и осу- ществляем помечивание точек ( ; )x nξ + 1 множества ω ε целыми числами j x n( ; )ξ + 1 , определяемыми формулой j x n( ; )ξ + =1 { }    >ξξ≤ϕ >ξξ≤ϕ∃+ иначе.,0,)(min ,0,)(что такого,,не,1 jjj jjj xj xjn Описанное помечивание является допустимым. Действительно, если x Sn∈ , т.е. ξn + =1 0 , то в силу включения f S Dn n( ) ⊂ существует индекс j0 , такой, что ϕ ξ ξj j jx 0 0 0 0( ) ,≤ > , т. е. 1 0≤ ≤j x n( ; ) и j x( ; )0 совпадает с пометкой одной из вершин грани симплекса Sn + 1 , содержащей ( ; )x 0 . Если же x Sn∈ , то ξn + >1 0 , так что и в этом случае j x n( ; )ξ +1 совпадает с пометкой одной из вершин грани симплекса Sn + 1 , содержащей ( ; )x nξ +1 . Поэтому по лемме Шпернера существует симплекс подразделения, вершины которого имеют все пометки от 1 до n + 1 . В силу выбранного правила помечивания приходим к неравенствам (1). Кроме того, ϕ ξj n k j n k x j n( ) , ,+ +≥ =1 1 1 . (3) Действительно, если координата ξ j n k+ 1 вектора x n k+ 1 равна нулю, то для индекса j неравенство (3) выполнено в силу предположения f x n k( )+ ≥1 0 , а для остальных индексов, т. е. для индексов, соответствую- щих положительным координатам, − в силу правила помечивания . Переходя в (1), (3) к пределу при k → ∞ , получаем ϕ ξ ϕ ξj j j jx j n x j n( ) , , , ( ) , ,* * * *≤ = ≥ =1 1 . Следовательно, ξ ϕj j x j n * *( ) , ,= =1 , так что x Dn * ∈ , x f x * *( )= . Э.И. НЕНАХОВ 124 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 Теорема 3. Пусть непрерывное точечно-точечное отображение f x D Rn n( ) : → таково, что f x D x Dn n( ) ,∈ ∀ ∈ ∂ . Тогда существует точка x Dn * ∈ , такая, что x f x * *( )= . Доказательство. Для установления существования неподвижной точки в данном случае достаточно полностью повторить доказательство теоремы 2. При этом справедливость неравенства (3) для внутренних точек x n k+ 1 множества Dn непосредственно следует из правила помечивания, а для точек x D n k n + ∈1 ∂ это неравенство выполняется в силу предположения f D Dn n( )∂ ⊂ и правила помечивания. Лемма 2 [2]. Каково бы ни было выпуклое замкнутое ограниченное множе- ство Ω ⊂ R n существует гомеоморфизм g и симплекс Sm , такие, что g S g Sm m( ) , ( )Ω Ω= =−1 . Теорема 4. Пусть Ω ⊂ −R n выпуклое замкнутое ограниченное множество и f x( ) : Ω Ω→ непрерывное точечно - точечное отображение. Тогда существу- ет точка y * ∈Ω , такая, что y f y * *( )= . Доказательство. Пусть g − гомеоморфизм, а Sm − симплекс, существо- вание которых обеспечивает лемма 2. Рассмотрим непрерывное на Sm отобра- жение g f g x S Sm m( ( ( ))) :− →1 . В силу замечания к теореме 1 существует вектор x Sm * ∈ , такой, что g f g x x f g x g x( ( ( ))) , ( ( )) ( )* * * *− − −= =1 1 1 . Обозначим y g x * *( )= −1 . Очевидно, что y * ∈Ω , y f y * *( )= . Определим { }Ω = ∈ ≤x R x n : ( )ϕ0 0 , где ϕ0 ( )x − выпуклая функция. Теорема 5. Пусть на множестве Ω , удовлетворяющем условиям а) Ω − ограничено; б) Dn ⊂ Ω , задано непрерывное точечно - точечное отображение f x R n( ) : Ω → , такое, что f x x( ) ,∈ ∀ ∈Ω Ω∂ . Тогда существует точка x * ∈ Ω такая, что x f x * *( )= . Доказательство. Построим гомеоморфизм g x( ) , переводящий выпуклое тело Ω в симплексе Dn таким образом, что S g g Sn n⊂ ⊂−( ) , ( )∂ ∂Ω Ω1 . Очевидно, что ~ , ... , intx n n = + +       ∈ 1 1 1 1 Ω . Для каждой точки y ∈ ∂Ω оп- ределим g y x y y x( ) ~ ( ) ( ~ )= + −τ , где { }τ τ τ( ) arg max : ~ ( ~ )y x y x Dn= > + − ∈0 . НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 125 Каждой точке z x y x z= + − > ∈~ ( ~ ) , ,τ τ 0 Ω , поставим в соответствие g z x y z x( ) ~ ( ) ( ~ )= + −τ . Построенное точечно - точечное отображение имеет точечно - точечное обратное отображение g x −1 ( ) и S gn ⊂ ( ) ,∂ Ω g Sn − ⊂1 ( ) ∂Ω . Докажем непрерывность отображений g x( ) и g x −1 ( ) . Вначале докажем, что скалярная функция τ ( )y непрерывна на ∂Ω . Пусть y y k → ∈~ ∂Ω . Без ограничения общности можно считать, что lim ( ) ~ k k y → ∞ =τ τ . Покажем, что lim ( ) ( ~ ) k k y y → ∞ =τ τ . Для этого предположим противное, т. е. ~ ( ~ )τ τ≠ y . Оче- видно, что ~ ~ ( ~ ~ )x y x Dn+ − ∈τ . Поэтому из сделанного предположения следует, что ~ ( ~ )τ τ< y . Пусть τ τ τ∈ ( ~ , ( ~ ))y . Тогда выполняется 0)~~(~ >−τ+ xyx , ∑ = <ξ−ητ+ξ n i iii 1 1)) ~~( ~ ( . В силу сходимости y k к ~ y для достаточно больших k приходим к спра- ведливости неравенств ~ ( ~ ) , ( ~ ( ~ ))x y x k i i k i i n + − > + − < = ∑τ ξ τ η ξ0 1 1 , из которых следует, что τ τ( )y k > , т. е. ~ τ τ≥ . Полученное противоречие означает, что lim ( ) ( ~ ) k k y y → ∞ =τ τ , т. е. функция )(yτ , непрерывна. Из ее непрерывности следует непрерывность g x( ) на ∂Ω . Пусть z z k z z x k k→ → ∞ ∈ ≠~ , , , ~ ~Ω и { } { }τ τ τ τ ϕ τk k k x z x x z x= > + − ∈ = > + − ≤arg max : ~ ( ~ ) arg max : ( ~ ( ~ ))0 0 00Ω . Обозначим ~ limτ τ= → ∞k k , тогда ϕ τ0 0( ~ ~ ( ~ ~ ))x z x+ − = и = ∞→ k k ylim Ω∂∈=−τ+=−τ+= ∞→ yxzxxzx k k k ~)~~(~~))~(~(lim . Поэтому lim ( ) ~ ( ~ ) ( ~ ~ ) ( ~ ) k k g z x y z x g z → ∞ = + − =τ . Таким образом, отображе- ние g x( ) непрерывно в точках x x≠ ~ . Остается убедиться в непрерывности g x( ) в точке ~ x . Пусть z x k k → → ∞~ , . Очевидно, g z x z x k k( ) ~ ~− ≤ − . Поэтому lim ( ) ~ k k g z x → ∞ = = = g x( ~ ) и, следовательно, непрерывность g x( ) полностью доказана. Аналогич- Э.И. НЕНАХОВ 126 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 но доказывается непрерывность g x −1 ( ) . Значит, отображение g − гомеомор- физм. Рассмотрим непрерывное отображение g f g x D Rn n( ( ( ))) :− →1 . Оно удов- летворяет условиям теоремы 3, в соответствии с которой существует вектор z Dn * ∈ , такой, что z g f g z * *( ( ( )))= −1 . Положим x g z * *( )= −1 . Тогда x x f x * * *, ( )∈ =Ω . При ϕ0 1( )x x= − получаем теорему, доказанную в [1] с помощью теоре- мы Сарда. Теорема 6. Пусть { } { }S x R x D x R x n n= ∈ = = ∈ ≤: , :1 1 и непрерыв- ное точечно-точечное отображение f x D R n( ) : → , такое, что f x D x S( ) ,∈ ∀ ∈ . Тогда существует точка y D * ∈ , такая, что y f y * *( )= . Итак, с использованием лишь леммы Шпернера доказаны теоремы 2 и 3, ко- торые несколько уточняют теорему Брауэра. Приводится теорема 6, являющаяся следствием теоремы 3, которая уточняет теорему 4. Е. І. Ненахов ДЕЯКІ ТЕОРЕМИ ПРО НЕРУХОМІ ТОЧКИ Викладені результати дослідження по підсиленню теореми Брауера. Елементарними засобами здійснено доведення уточнених теорем. Це призводить до розширення класу точково - точко- вих відображень, які мають нерухомі точки. E. I. Nenakhov SOME THEOREMS ON FIXED POINTS The results of investigations in strehgthening Brower theorem are stated. The proof of improved theorems is realized by elementary means. This leads to extending a class of point - to - point map- pings with fixed points. 1. Брекер Т., Ландер Д. Дифференцируемые ростки и катастрофы. − М.: Мир, 1977. − 208 с. 2. Томпкинс Ч. Лемма Шпернера и некоторые ее обобщения // Прикладная комбинаторная математика. − М.: Мир, 1968. − С. 243-287. Получено 17.09.2003

Ähnliche Einträge